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北京市第四中学2024~2025学年下学期七年级数学期末数学试卷
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确)
1．2025年1月20日，中国DeepSeek-R1模型发布，模型以低成本、开源特性打破美国AI垄断，性能比肩ChatGPT，推动全球AI技术平民化，如图为中国Deepseek的Logo，在下列选项中，能由此Logo通过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：根据平移定义得：
平移得到.
故答案为：D.
【分析】根据平移的定义及性质即可得到答案．
2．如图，小明用手盖住的点的坐标可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵小明用手盖住的第二象限，第二象限的坐标符号特征为，
∴符合题意，
故选：B．
【分析】本题考查了坐标特征与象限的关系，第一象限中的点的横坐标（x）大于0，纵坐标（y）大于0。第二象限中的点的横坐标（x）小于0，纵坐标（y）大于0。第三象限中的点的横坐标（x）小于0，纵坐标（y）小于0。第四象限中的点的横坐标（x）大于0，纵坐标（y）小于0，据此作答，即可得到答案.
3．下列调查中，最适合全面调查的是（　　）
A．对长江流域水质情况的调查
B．对合肥市2025年空气质量情况的调查
C．对一批新生产的鞭炮质量的调查
D．对某个航班乘机人员携带物品情况调查
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、长江流域范围广，全面调查难度大，成本过高，应采用抽样调查，故A错误.
B、空气质量需长期监测且涉及整个城市，通常通过抽样监测点完成，非全面调查，故B错误.
C、鞭炮质量检测具有破坏性，全面调查会导致产品无法使用，需抽样检查，故C错误.
D、航班乘客数量有限，安检需确保所有物品安全，必须进行全面调查，故D正确.
故答案为：D．
【分析】根据全面调查适用于范围小、精确度高或个体数量少的情形，而抽样调查适用于范围大、破坏性或无法全面调查的情况，结合A、B、C、D各选项情景判断即可得答案.
4．如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若，则等（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；含30°角的直角三角形；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：将一块含有角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】
根据直角三角形的两个锐角互余及平行线的性质即可解答．
5．下列几个变形中，正确的是（　　）
A．如果， 那么 B．如果， 那么
C．如果， 那么 D．如果， 那么
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、如果，那么，不成立，故A错误.
B、如果，（）才成立，故B错误.
C、如果，，那么，故C正确.
D、如果，当时，，故D错误.
故答案为：C．
【分析】根据不等式性质分别对A、B、C、D各选项进行判断即可得答案.
6．如下图，在数轴上，点A表示． 点B表示，则A． B之间表示整数的点共有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示；无理数的估值；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：如图，
，，
∴，
，之间表示整数的点有，，，四个，
故答案为：B．
【分析】根据A与B表示的数表示出范围，即可得答案.
7．2025年6月1日~10日嘉嘉与琪琪相约去跑步，两人的手机“微信运动”的步数折线统计图如右图，则下列结论正确的是（　　）
A．嘉嘉的步数最多是11步
B．琪琪的步数高于嘉嘉的天数有7天
C．嘉嘉的步数逐天增加
D．第11日，嘉嘉的步数一定比琪琪的步数多
【答案】C
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：如图，
A．通过折线统计图，纵轴单位是 “千步”，嘉嘉步数最多是11千步，不是11步，故A错误.
B．通过折线统计图可得琪琪的步数高于嘉嘉的天数有5天，故B错误.
C．通过折线统计图可得嘉嘉的步数逐天增加，故C正确.
D．第11日图形没有给出，只能预测，所以不一定，故D错误.
故答案为：C．
【分析】根据统计图得纵轴单位是 “千步”，嘉嘉步数最多是11千步，琪琪的步数高于嘉嘉的天数有5天，嘉嘉的步数逐天增加，第11日图形没有给出，只能预测，所以不一定，即可得答案.
8．若关于x的不等式组 下列说法不正确的是（　　）
A．若不等式组的解集是， 则
B．若不是不等式组的一个解，那么
C．若不等式组只有3个整数解，则
D．若不等式组无解，则
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为.
A、若解集为，则，解集的右端为，当解集为时，显然，正确，故A错误.
B、若不是解，则，若不在解集中，则需满足，正确，故B错误.
C、若不等式组有3个整数解，则，整数解为时，需满足，但C断言，而包含的情况，错误，故C正确.
D、若不等式组无解，则，当时，解集无交集，正确，故D错误.
故答案为：C．
【分析】先解题目不等式组，得到解集为，再分别分析Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项的说法即可得答案.
9．如图，，，，，、两点分别在线段、轴上．则的最小值为（　　）
A．4 B． C． D．5
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；垂线段最短及其应用；三角形的面积；等积变换
【解析】【解答】解：如图，连接，当、、三点共线，且时，的值最小，最小值是，
，，，
，，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】本题主要考查垂线段最短的性质、坐标与图形的关系以及三角形面积的计算，解题的核心是利用垂线段最短的性质来确定最值。连接，当、、三点共线，且满足时，可以取得最小值，该最小值就是线段的长度。结合题目条件可以得到，，再根据三角形面积的两种不同表示方法，即可计算出最终结果。
10．如图，则与的数量关系是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】设
则
∵
∴
∴
故选：D．
【分析】本题考查了平行线的性质，设，得到，由，求得，，得到，即可求解.
二、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分)
11．在，，0.101001，，这几个数中，无理数有　 　个．
【答案】1
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：在，，0.101001，，这几个数中，无理数只有，共1个.
故答案为：1．
【分析】根据无理数定义判断即可得答案.
12．若关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值为　 　
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵数轴上不等式的解集为，
∴，解得：.
故答案为： ．
【分析】解得，根据根据数轴得不等式的解集为，即可列方程，解出即可得答案.
13．把命题“同旁内角互补”写成“如果…，那么…．”的形式为　 　．
【答案】如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补
【知识点】命题的概念与组成
【解析】【解答】解：把命题“同旁内角互补”改写为“如果那么”的形式是：如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补.
故答案为：如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补．
【分析】任何一个命题都包括条件和结论两部分，命题都可写成“如果那么”的形式，其中如果后面的部分是题设，那么后面的部分是结论；此命题的条件是两个角的位置关系，两个角是同旁内角，结论是两个角的数量关系，这两个角互补.
14．长征是中国共产党和中国革命事业从挫折走向胜利的伟大转折点．如图是红一方面军长征路线图，如果表示会宁会师的点的坐标为，表示吴起镇会师的点的坐标为，则表示瑞金的点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
表示瑞金的点的坐标为．
故答案为：．
【分析】我们可以先根据题目给出的已知点建立对应的平面直角坐标系，确定原点的位置，之后就可以得到题目的答案了。
15．已知点到x轴的距离为4， 则a的值为　 　．
【答案】0或8
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解∶∵点到x轴的距离为4，
∴，解得或8，
故答案为∶0或8．
【分析】根据点到x轴的距离为4，即可列方程，解出即可得答案.
16．如图，直线与直线相交于点O，平分，，，求的度数　 　．
【答案】108°
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
设，则，
∴，解得：，
∴，
∴，
∵平分，
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】根据垂直定义得等于90度，再根据，可得等于，即可得等于，根据角平分线定义得等于72度，即可得等于的和，等于108度．
17．关于的二元一次方程（是常数），，，对于任意一个满足条件的，此二元一次方程都有一个公共解，这个公共解为　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程的解；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴
∴
∵对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解，
∴
∴公共解为，
故答案为：．
【分析】先将，代入，化简得到，则得到方程组，解出方程组即可得答案.
18．某班级共有 名学生，现在需要投票评选出 名“优秀少先队员”．班内所有学生都具有评选资格．每位学生需给n名不同学生投票(n为正整数)．所有人的投票都被有效计入，最终要保证得票最多名学生都获得不少于班级一半学生的选票，则n的最小值为　 　．
【答案】20
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：每位学生需给n名不同学生投票(n为正整数)．
∴总票数为，
∵最终要保证得票最多名学生都获得不少于班级一半学生的选票，
∴得票最多名学生都获得票，
∴所有学生得票数不超过，则总票数最多为票，
∴
解得：
又n是正整数，
∴n的最小值为，
故答案为∶．
【分析】设每位学生需给n名不同学生投票，根据题意列不等式，求出最小整数解即可．
三、解答题(本大题共8小题，共54分)
19．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解∶原式
（2）解：原式
【知识点】实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据算术平方根的定义，立方根的定义，乘方法则计算得
，再合并即可得答案.
（2）先去的括号，绝对值得，再根据实数的混合运算法则计算即可得答案.
（1）解∶原式
；
（2）解：原式
．
20．解不等式组在数轴上表示它的解集，并写出它的最大整数解．
【答案】解∶
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式的解集为，
在数轴上表示为∶
，
∴最大整数解为1．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别解题目不等式组得不等式的解集为，然后在数轴上表示解集即可得最大整数解为1．
21．如图，点D在上，点B在上．，求证：．
证明： ∵ ( ① ) ，
又：∵，
∴．
∴( ② )．
∴ ③ ．
∵，
∴ ④ ．
∴ ( ⑤ )
∴( ⑥ ) ．
【答案】证明：如图，
∵ (对顶角相等) ，
又：∵，
∴．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴．
∵，
∴．
∴ （两直线平行，同旁内角互补）．
∴（同角的补角相等）．
故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等．
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】观察图形发现，是对顶角，即可得的理由是对顶角相等，观察图形发现是同位角，且，即可得的理由是同位角相等，两直线平行，根据，结合是同旁内角，即可得，根据，且是内错角，即可得，即可得同旁内角，理由是两直线平行，同旁内角互补，
进一步得，理由是同角的补角相等.
22．黄山位于安徽省南部，是世界文化与自然双重遗产、世界地质公园、国家级旅游景区、全国文明风景旅游区示范点、中华十大名山、天下第一奇山．某学校计划组织学生到货山游学，如果租用甲种客车2辆，乙种客车3辆，则可载145人，如果租用甲种客车3辆，乙种客车1辆，则可载130人．
（1）请问每辆甲、乙两种客车分别能载客多少人？
（2）若该学校有 238 名学生参加这次游学活动，学校计划每辆车安排一名老师，老师也需一个座位．
①现打算同时租甲、乙两种客车共8辆，则至少租多少辆甲种客车？
②出发前，一名老师生病无法参与，学校只能安排 7 名老师．为保证所租的每辆车均有一名老师，还需要租用若干辆 45 座的丙种客车，并且所租的三种客车的座位恰好坐满，请直接写出所有可行的租车方案．
【答案】（1）解：设甲种客车每辆能载客x人，乙种客车每辆能载客y人，根据题意得：
，解之得：，
答：甲种客车每辆能载客35人，乙种客车每辆能载客25人.
（2）解：①设租甲种客车a辆，则租乙种客车辆，依题意得：，解得：，
又∵a是正整数，
∴最小正整数a为5，
∴至少租甲种客车5辆.
②所以租车方案为：①租35座的客车1辆，25座的客车3辆，45座的3辆.②租35座的客车3辆，25座的客车2辆，45座的2辆.③租35座的客车5辆，25座的客车1辆，45座的1辆．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】（2）②设同时租35座、25座和45座的大小三种客车各m辆，n辆，辆，则：，解得：
∵，
∴符合题意的有：，，；，，；，，.
∴租车方案为：①租35座的客车1辆，25座的客车3辆，45座的3辆；②租35座的客车3辆，25座的客车2辆，45座的2辆；③租35座的客车5辆，25座的客车1辆，45座的1辆．
【分析】（1）设甲种客车每辆能载客x人，乙种客车每辆能载客y人，根据题目情境即可列方程，解出即可得甲种客车每辆能载客35人，乙种客车每辆能载客25人.
（2）①设租甲种客车a辆，则租乙种客车辆，根据题目情境列不等式，解出即可得，再根据a是正整数，得最小正整数a为5，即可得答案.
②设同时租35座、25座和45座的大小三种客车各m辆，n辆，辆，根据已知得出方程，解方程得到m与n满足的关系，根据题意得出m，n的取值范围，即可得，，；，，；，，，进一步可得租车方案.
（1）解：设甲种客车每辆能载客x人，乙种客车每辆能载客y人，根据题意得
，解之得：，
答：甲种客车每辆能载客35人，乙种客车每辆能载客25人；
（2）解：①设租甲种客车a辆，则租乙种客车辆，
依题意得，
解得，
又a是正整数，
∴最小正整数a为5，
∴至少租甲种客车5辆；
②设同时租35座、25座和45座的大小三种客车各m辆，n辆，辆，
根据题意得出：，
整理得出：，
∵，
∴符合题意的有：，，；，，；，，
租车方案为：①租35座的客车1辆，25座的客车3辆，45座的3辆；②租35座的客车3辆，25座的客车2辆，45座的2辆；③租35座的客车5辆，25座的客车1辆，45座的1辆．
23．如图， ，，是三角形的三个顶点， 点为边中点，三角形沿某方向平移一段距离后得到三角形，点的对应点与点关于原点对称．
（1）点的坐标为 ；
（2）请画出平移后的三角形；
（3）请直接写出三角形内部一点经过平移后的对应点的坐标为 ；
（4）若点是三角形内部一点，则平移后得到对应点，则点的坐标为 ．
【答案】（1）
（2）解：由（）得，，
∵点的对应点与点关于原点对称，
∴，
∴三角形向右平移个单位，向上平移个单位得到三角形如图：
（3）.
（4）．
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵，，点为边中点，
∴，
∴，
故答案为：.
（3）由（）得三角形向右平移个单位，向上平移个单位得到三角形，
∴三角形内部一点经过平移后的对应点的坐标为.
故答案为：.
（4）由（）得三角形向右平移个单位，向上平移个单位得到三角形，
∵点是三角形内部一点，则平移后得到对应点，
∴，，解得，，
∴点.
故答案为：．
【分析】（），，点为边中点，即可得.
（）由（）得，根据与点关于原点对称，得，再根据三角形向右平移个单位，向上平移个单位得到三角形，即可作图.
（）由（）得三角形向右平移个单位，向上平移个单位得到三角形，则三角形内部一点经过平移后的对应点的坐标为，即可得答案.
（）由（）得三角形向右平移个单位，向上平移个单位得到三角形，得到，，求出，即可．
（1）解：∵，，点为边中点，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：由（）得，，
∵点的对应点与点关于原点对称，
∴，
∴三角形向右平移个单位，向上平移个单位得到三角形，
如图，
（3）解：由（）得三角形向右平移个单位，向上平移个单位得到三角形，
∴三角形内部一点经过平移后的对应点的坐标为，
故答案为：；
（4）解：由（）得三角形向右平移个单位，向上平移个单位得到三角形，
∵点是三角形内部一点，则平移后得到对应点，
∴，，
解得，，
∴点，
故答案为：．
24．如图，在三角形中， D，E分别是边上的点，连接，F是上一点， 连接．已知， ．
（1）求证：；
（2）若， 平分， ，求的度数．
【答案】（1）证明：如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）根据和为180度，和为180度，即可得相等，即可证明
平行，即可得相等，再根据相等，即可得相等，根据平行线判定定理得平行即可.
（2）根据平行线的性质，结合平行得和为180度，根据得，进一步得等于50度，再根据角平分线定义得等于35度，根据得等于35度，进一步得，再根据得即可.
（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
25．读书是探寻真理的重要途径，经过历史积淀而流传下来的经典，往往承载着人类最基本的思想观念和价值取向，蕴含着丰富的人生哲理和人文内涵．某校本学期开展了“品读经典”的读书活动，为了解本校的学生参与情况，随机抽取了若干名学生进行调查，获得了他们每天读书时间的数据(单位：)，并对数据进行了整理、分析与描述，部分信息如下：
a．每天读书时间的频数分布表、频数分布直方图、扇形图如下：
组别 读书时间 频数
A 10
B 15
C 25
D m
E 20
b． 每天读书时间在这一组具体时长的是： 80、81、81、81、82、82、83、83、84、84、84、84、84、85、85、85、85、85、85、85、86、87、87、87、87、88、88、89、89、89．根据以上信息，回答下列问题：
（1）在统计表中， 并补全直方图：
（2）扇形统计图中“D组”所对应的圆心角的度数是 度；
（3）若该校共有2000名学生，估计该校每天读书时间尚未达到70分钟的学生人数；
（4）该校准备确定一个时间标准t(单位：)，对每天读书时间不低于t的学生进行表扬．若要使的学生得到表扬，则估计的t的值是 ．
【答案】（1）解：30.
补全直方图如下：
（2）108
（3）解：根据题意得：（人）.
答：估计该校每天读书时间尚未达到70分钟的学生人数为500人.
（4）88
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：
，
故答案为：30.
（2）根据题意得：
故答案为：108.
（4）根据题意得：，组学生有20人，
组学生中第25个学生的读书时长为.
∴估计的值为88．
故答案为：88.
【分析】（1）根据组的频数除以Ａ组的比例即可求出总数，再用总数乘以组人数所占的百分数，即可求出的值，进而补全直方图即可.
（2）用360度乘以组人数所占的百分数，即可得“D组”所对应的圆心角的度数.
（3）先计算每天读书时间尚未达到70分钟的学生百分数，再用校学生人数乘以百分数即可得该校每天读书时间尚未达到70分钟的学生人数为500人.
（4）求出的学生人数，进而确定组学生有20人，根据组学生中第25个学生的读书时长为即可得答案.
（1）解：；补全直方图如图：
（2）；
故答案为：108；
（3）（人）；
答：估计该校每天读书时间尚未达到70分钟的学生人数为500人；
（4），组学生有20人，
组学生中第25个学生的读书时长为；
∴估计的值为88．
26．在平面直角坐标系中，称横、纵坐标都是整数的点为格点．对于点，，给出如下定义： ．
（1）已知点，．
① ；
②格点C在图 1中的区域a（四边形）内部及其边线上，且满足，求点C的坐标；
③当点D与图1中的点 （填，，，，或）重合时，满足；
④若点E是第一象限的格点，则满足的点有 个．
（2）对于第一象限内的格点和坐标平面内四点，，，，四边形的内部及边上的所有点X 均满足．
①当，时，请直接写出t的取值范围为 ．
②若存在唯一的整数t满足题意，请直接写出满足条件的点N有 个．
【答案】（1）①11；
②由图可知，点，，，，
∵格点C在图 1中的区域a（四边形）内部及其边线上，
∴设，x、y为正整数，且，，
∴
，
∵，
∴，
∵x、y为正整数，且，，
∴当时，，
当时，，
当时，，
∴点C的坐标为或或；
③，；
④8个
（2）①；
②7
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标；坐标与图形性质；点的坐标与象限的关系；四边形的综合
【解析】【解答】（1）解：①根据题意，，
故答案为：11；
③由图可知，点，，，，，，
∴，
，
，
，
，
，
∴点D与图1中的点，重合时，满足；
故答案为：，；
④如图：
∵点E是第一象限的格点，
∴设点，其中，，且均为整数，
当格点E在图中的区域a，此时，，
此时
，
∴，
∴，
∵为整数，
∴该区域的点不符合题意；
当格点E在图中的区域b，此时，，
此时
，
∴，
∴，
∵，
∴该区域的点不符合题意；
当格点E在图中的区域c，此时，，
此时
，
∵，，且均为整数，
∴该区域的整数点均符合题意，包括，，，，，，，共8个；
当格点E在图中的区域d，此时，，
此时
，
∴，即，
∵，，即，
∴该区域的点不符合题意；
当格点E在图中的区域e，此时，，
此时
，
∴，即，
∵，，即，
∴该区域的点不符合题意；
当格点E在图中的区域f，此时，，
此时
，
∴，即，
∵，
∴该区域的点不符合题意；
当格点E在图中的区域g，此时，，
此时
，
∴，即，
∵，，
∴该区域的点不符合题意；
当格点E在图中的区域h，此时，，
此时
，
∴，即
∵，，
∴该区域的点不符合题意；
当格点E在图中的区域i，此时，，
此时
，
∴，即
∵，
∴该区域的点不符合题意；
综上所述，点E是第一象限的格点，则满足的点有8个；
（2）解：①坐标平面内四点，，，，
四边形为正方形，
四边形的内部及边上的所有点X 均满足，格点，
当，时，，
由题意可知，正方形在的上方，如图所示：
那么可知当在点时，取最小值，当在点时，取最大值，
，，
，
；
②坐标平面内四点，，，，
四边形为正方形，
四边形的内部及边上的所有点X 均满足，格点，
由题意可知，正方形与点有以下三种位置关系：
第一种：当且时，如图所示：
那么可知当在点时，取最小值，当在点时，取最大值，
，，
，
，
存在唯一的整数t满足题意，
，
，
，
，
，
是第一象限内的格点，
最小为1，
，，为整数，
或，，
当时，，，此时点为；
当时，，，此时点为；
当时，，，此时点为；
点可以为，，；
第二种：当且时，如图所示：
那么可知当在点时，取最小值，当在点时，取最大值，
，，
，
，
存在唯一的整数t满足题意，
，
，
，
，
，
是第一象限内的格点，
最小为1，
，，为整数，
或，，
当时，，，此时点为；
当时，，，此时点为；
当时，，，此时点为；
点可以为，，；
第三种：当且时，如图所示，
那么可知当在点时，取最小值，当在点时，取最大值，
，，
，
，
存在唯一的整数t满足题意，
，
，
，
，即；
为整数，
，
，，
，，
，
，，
此时点坐标为；
综上，故存在唯一的整数t，满足条件的点N有，，，，，，，共7个；
故答案为：7．
【分析】（1）①根据点的新定义进行计算，进而即可求解；
②先根据题意结合图片得到点，，，，设，x、y为正整数，且，，进而根据得到点C的坐标；
③先读出各点的坐标，进而计算，从而判断大小即可求解；
④根据点A和点B的坐标，进而分类讨论即可求解；
（2）①由题意可知，正方形在的上方， 那么可知当在点时，取最小值，当在点时，取最大值，由，，可知，从而解得范围；②由题意可知，正方形与点有以下三种位置关系，第一种：且， 第二种：且， 第三种：当且时，分类讨论即可求得答案．
（1）解：①根据题意，，
故答案为：11；
②由图可知，点，，，，
∵格点C在图 1中的区域a（四边形）内部及其边线上，
∴设，x、y为正整数，且，，
∴
，
∵，
∴，
∵x、y为正整数，且，，
∴当时，，
当时，，
当时，，
∴点C的坐标为或或；
③由图可知，点，，，，，，
∴，
，
，
，
，
，
∴点D与图1中的点，重合时，满足；
故答案为：，；
④如图：
∵点E是第一象限的格点，
∴设点，其中，，且均为整数，
当格点E在图中的区域a，此时，，
此时
，
∴，
∴，
∵为整数，
∴该区域的点不符合题意；
当格点E在图中的区域b，此时，，
此时
，
∴，
∴，
∵，
∴该区域的点不符合题意；
当格点E在图中的区域c，此时，，
此时
，
∵，，且均为整数，
∴该区域的整数点均符合题意，包括，，，，，，，共8个；
当格点E在图中的区域d，此时，，
此时
，
∴，即，
∵，，即，
∴该区域的点不符合题意；
当格点E在图中的区域e，此时，，
此时
，
∴，即，
∵，，即，
∴该区域的点不符合题意；
当格点E在图中的区域f，此时，，
此时
，
∴，即，
∵，
∴该区域的点不符合题意；
当格点E在图中的区域g，此时，，
此时
，
∴，即，
∵，，
∴该区域的点不符合题意；
当格点E在图中的区域h，此时，，
此时
，
∴，即
∵，，
∴该区域的点不符合题意；
当格点E在图中的区域i，此时，，
此时
，
∴，即
∵，
∴该区域的点不符合题意；
综上所述，点E是第一象限的格点，则满足的点有8个；
（2）解：①坐标平面内四点，，，，
四边形为正方形，
四边形的内部及边上的所有点X 均满足，格点，
当，时，，
由题意可知，正方形在的上方，如图所示：
那么可知当在点时，取最小值，当在点时，取最大值，
，，
，
；
②坐标平面内四点，，，，
四边形为正方形，
四边形的内部及边上的所有点X 均满足，格点，
由题意可知，正方形与点有以下三种位置关系：
第一种：当且时，如图所示：
那么可知当在点时，取最小值，当在点时，取最大值，
，，
，
，
存在唯一的整数t满足题意，
，
，
，
，
，
是第一象限内的格点，
最小为1，
，，为整数，
或，，
当时，，，此时点为；
当时，，，此时点为；
当时，，，此时点为；
点可以为，，；
第二种：当且时，如图所示：
那么可知当在点时，取最小值，当在点时，取最大值，
，，
，
，
存在唯一的整数t满足题意，
，
，
，
，
，
是第一象限内的格点，
最小为1，
，，为整数，
或，，
当时，，，此时点为；
当时，，，此时点为；
当时，，，此时点为；
点可以为，，；
第三种：当且时，如图所示，
当
那么可知当在点时，取最小值，当在点时，取最大值，
，，
，
，
存在唯一的整数t满足题意，
，
，
，
，即；
为整数，
，
，，
，，
，
，，
此时点坐标为；
综上，故存在唯一的整数t，满足条件的点N有，，，，，，，共7个；
故答案为：7．
1 / 1北京市第四中学2024~2025学年下学期七年级数学期末数学试卷
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确)
1．2025年1月20日，中国DeepSeek-R1模型发布，模型以低成本、开源特性打破美国AI垄断，性能比肩ChatGPT，推动全球AI技术平民化，如图为中国Deepseek的Logo，在下列选项中，能由此Logo通过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，小明用手盖住的点的坐标可能为（　　）
A． B． C． D．
3．下列调查中，最适合全面调查的是（　　）
A．对长江流域水质情况的调查
B．对合肥市2025年空气质量情况的调查
C．对一批新生产的鞭炮质量的调查
D．对某个航班乘机人员携带物品情况调查
4．如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若，则等（　　）
A． B． C． D．
5．下列几个变形中，正确的是（　　）
A．如果， 那么 B．如果， 那么
C．如果， 那么 D．如果， 那么
6．如下图，在数轴上，点A表示． 点B表示，则A． B之间表示整数的点共有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7．2025年6月1日~10日嘉嘉与琪琪相约去跑步，两人的手机“微信运动”的步数折线统计图如右图，则下列结论正确的是（　　）
A．嘉嘉的步数最多是11步
B．琪琪的步数高于嘉嘉的天数有7天
C．嘉嘉的步数逐天增加
D．第11日，嘉嘉的步数一定比琪琪的步数多
8．若关于x的不等式组 下列说法不正确的是（　　）
A．若不等式组的解集是， 则
B．若不是不等式组的一个解，那么
C．若不等式组只有3个整数解，则
D．若不等式组无解，则
9．如图，，，，，、两点分别在线段、轴上．则的最小值为（　　）
A．4 B． C． D．5
10．如图，则与的数量关系是(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分)
11．在，，0.101001，，这几个数中，无理数有　 　个．
12．若关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值为　 　
13．把命题“同旁内角互补”写成“如果…，那么…．”的形式为　 　．
14．长征是中国共产党和中国革命事业从挫折走向胜利的伟大转折点．如图是红一方面军长征路线图，如果表示会宁会师的点的坐标为，表示吴起镇会师的点的坐标为，则表示瑞金的点的坐标为　 　．
15．已知点到x轴的距离为4， 则a的值为　 　．
16．如图，直线与直线相交于点O，平分，，，求的度数　 　．
17．关于的二元一次方程（是常数），，，对于任意一个满足条件的，此二元一次方程都有一个公共解，这个公共解为　 　．
18．某班级共有 名学生，现在需要投票评选出 名“优秀少先队员”．班内所有学生都具有评选资格．每位学生需给n名不同学生投票(n为正整数)．所有人的投票都被有效计入，最终要保证得票最多名学生都获得不少于班级一半学生的选票，则n的最小值为　 　．
三、解答题(本大题共8小题，共54分)
19．计算：
（1）
（2）
20．解不等式组在数轴上表示它的解集，并写出它的最大整数解．
21．如图，点D在上，点B在上．，求证：．
证明： ∵ ( ① ) ，
又：∵，
∴．
∴( ② )．
∴ ③ ．
∵，
∴ ④ ．
∴ ( ⑤ )
∴( ⑥ ) ．
22．黄山位于安徽省南部，是世界文化与自然双重遗产、世界地质公园、国家级旅游景区、全国文明风景旅游区示范点、中华十大名山、天下第一奇山．某学校计划组织学生到货山游学，如果租用甲种客车2辆，乙种客车3辆，则可载145人，如果租用甲种客车3辆，乙种客车1辆，则可载130人．
（1）请问每辆甲、乙两种客车分别能载客多少人？
（2）若该学校有 238 名学生参加这次游学活动，学校计划每辆车安排一名老师，老师也需一个座位．
①现打算同时租甲、乙两种客车共8辆，则至少租多少辆甲种客车？
②出发前，一名老师生病无法参与，学校只能安排 7 名老师．为保证所租的每辆车均有一名老师，还需要租用若干辆 45 座的丙种客车，并且所租的三种客车的座位恰好坐满，请直接写出所有可行的租车方案．
23．如图， ，，是三角形的三个顶点， 点为边中点，三角形沿某方向平移一段距离后得到三角形，点的对应点与点关于原点对称．
（1）点的坐标为 ；
（2）请画出平移后的三角形；
（3）请直接写出三角形内部一点经过平移后的对应点的坐标为 ；
（4）若点是三角形内部一点，则平移后得到对应点，则点的坐标为 ．
24．如图，在三角形中， D，E分别是边上的点，连接，F是上一点， 连接．已知， ．
（1）求证：；
（2）若， 平分， ，求的度数．
25．读书是探寻真理的重要途径，经过历史积淀而流传下来的经典，往往承载着人类最基本的思想观念和价值取向，蕴含着丰富的人生哲理和人文内涵．某校本学期开展了“品读经典”的读书活动，为了解本校的学生参与情况，随机抽取了若干名学生进行调查，获得了他们每天读书时间的数据(单位：)，并对数据进行了整理、分析与描述，部分信息如下：
a．每天读书时间的频数分布表、频数分布直方图、扇形图如下：
组别 读书时间 频数
A 10
B 15
C 25
D m
E 20
b． 每天读书时间在这一组具体时长的是： 80、81、81、81、82、82、83、83、84、84、84、84、84、85、85、85、85、85、85、85、86、87、87、87、87、88、88、89、89、89．根据以上信息，回答下列问题：
（1）在统计表中， 并补全直方图：
（2）扇形统计图中“D组”所对应的圆心角的度数是 度；
（3）若该校共有2000名学生，估计该校每天读书时间尚未达到70分钟的学生人数；
（4）该校准备确定一个时间标准t(单位：)，对每天读书时间不低于t的学生进行表扬．若要使的学生得到表扬，则估计的t的值是 ．
26．在平面直角坐标系中，称横、纵坐标都是整数的点为格点．对于点，，给出如下定义： ．
（1）已知点，．
① ；
②格点C在图 1中的区域a（四边形）内部及其边线上，且满足，求点C的坐标；
③当点D与图1中的点 （填，，，，或）重合时，满足；
④若点E是第一象限的格点，则满足的点有 个．
（2）对于第一象限内的格点和坐标平面内四点，，，，四边形的内部及边上的所有点X 均满足．
①当，时，请直接写出t的取值范围为 ．
②若存在唯一的整数t满足题意，请直接写出满足条件的点N有 个．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：根据平移定义得：
平移得到.
故答案为：D.
【分析】根据平移的定义及性质即可得到答案．
2．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵小明用手盖住的第二象限，第二象限的坐标符号特征为，
∴符合题意，
故选：B．
【分析】本题考查了坐标特征与象限的关系，第一象限中的点的横坐标（x）大于0，纵坐标（y）大于0。第二象限中的点的横坐标（x）小于0，纵坐标（y）大于0。第三象限中的点的横坐标（x）小于0，纵坐标（y）小于0。第四象限中的点的横坐标（x）大于0，纵坐标（y）小于0，据此作答，即可得到答案.
3．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、长江流域范围广，全面调查难度大，成本过高，应采用抽样调查，故A错误.
B、空气质量需长期监测且涉及整个城市，通常通过抽样监测点完成，非全面调查，故B错误.
C、鞭炮质量检测具有破坏性，全面调查会导致产品无法使用，需抽样检查，故C错误.
D、航班乘客数量有限，安检需确保所有物品安全，必须进行全面调查，故D正确.
故答案为：D．
【分析】根据全面调查适用于范围小、精确度高或个体数量少的情形，而抽样调查适用于范围大、破坏性或无法全面调查的情况，结合A、B、C、D各选项情景判断即可得答案.
4．【答案】D
【知识点】角的运算；含30°角的直角三角形；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：将一块含有角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】
根据直角三角形的两个锐角互余及平行线的性质即可解答．
5．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、如果，那么，不成立，故A错误.
B、如果，（）才成立，故B错误.
C、如果，，那么，故C正确.
D、如果，当时，，故D错误.
故答案为：C．
【分析】根据不等式性质分别对A、B、C、D各选项进行判断即可得答案.
6．【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示；无理数的估值；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：如图，
，，
∴，
，之间表示整数的点有，，，四个，
故答案为：B．
【分析】根据A与B表示的数表示出范围，即可得答案.
7．【答案】C
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：如图，
A．通过折线统计图，纵轴单位是 “千步”，嘉嘉步数最多是11千步，不是11步，故A错误.
B．通过折线统计图可得琪琪的步数高于嘉嘉的天数有5天，故B错误.
C．通过折线统计图可得嘉嘉的步数逐天增加，故C正确.
D．第11日图形没有给出，只能预测，所以不一定，故D错误.
故答案为：C．
【分析】根据统计图得纵轴单位是 “千步”，嘉嘉步数最多是11千步，琪琪的步数高于嘉嘉的天数有5天，嘉嘉的步数逐天增加，第11日图形没有给出，只能预测，所以不一定，即可得答案.
8．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为.
A、若解集为，则，解集的右端为，当解集为时，显然，正确，故A错误.
B、若不是解，则，若不在解集中，则需满足，正确，故B错误.
C、若不等式组有3个整数解，则，整数解为时，需满足，但C断言，而包含的情况，错误，故C正确.
D、若不等式组无解，则，当时，解集无交集，正确，故D错误.
故答案为：C．
【分析】先解题目不等式组，得到解集为，再分别分析Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项的说法即可得答案.
9．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；垂线段最短及其应用；三角形的面积；等积变换
【解析】【解答】解：如图，连接，当、、三点共线，且时，的值最小，最小值是，
，，，
，，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】本题主要考查垂线段最短的性质、坐标与图形的关系以及三角形面积的计算，解题的核心是利用垂线段最短的性质来确定最值。连接，当、、三点共线，且满足时，可以取得最小值，该最小值就是线段的长度。结合题目条件可以得到，，再根据三角形面积的两种不同表示方法，即可计算出最终结果。
10．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】设
则
∵
∴
∴
故选：D．
【分析】本题考查了平行线的性质，设，得到，由，求得，，得到，即可求解.
11．【答案】1
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：在，，0.101001，，这几个数中，无理数只有，共1个.
故答案为：1．
【分析】根据无理数定义判断即可得答案.
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵数轴上不等式的解集为，
∴，解得：.
故答案为： ．
【分析】解得，根据根据数轴得不等式的解集为，即可列方程，解出即可得答案.
13．【答案】如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补
【知识点】命题的概念与组成
【解析】【解答】解：把命题“同旁内角互补”改写为“如果那么”的形式是：如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补.
故答案为：如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补．
【分析】任何一个命题都包括条件和结论两部分，命题都可写成“如果那么”的形式，其中如果后面的部分是题设，那么后面的部分是结论；此命题的条件是两个角的位置关系，两个角是同旁内角，结论是两个角的数量关系，这两个角互补.
14．【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
表示瑞金的点的坐标为．
故答案为：．
【分析】我们可以先根据题目给出的已知点建立对应的平面直角坐标系，确定原点的位置，之后就可以得到题目的答案了。
15．【答案】0或8
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解∶∵点到x轴的距离为4，
∴，解得或8，
故答案为∶0或8．
【分析】根据点到x轴的距离为4，即可列方程，解出即可得答案.
16．【答案】108°
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
设，则，
∴，解得：，
∴，
∴，
∵平分，
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】根据垂直定义得等于90度，再根据，可得等于，即可得等于，根据角平分线定义得等于72度，即可得等于的和，等于108度．
17．【答案】
【知识点】二元一次方程的解；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴
∴
∵对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解，
∴
∴公共解为，
故答案为：．
【分析】先将，代入，化简得到，则得到方程组，解出方程组即可得答案.
18．【答案】20
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：每位学生需给n名不同学生投票(n为正整数)．
∴总票数为，
∵最终要保证得票最多名学生都获得不少于班级一半学生的选票，
∴得票最多名学生都获得票，
∴所有学生得票数不超过，则总票数最多为票，
∴
解得：
又n是正整数，
∴n的最小值为，
故答案为∶．
【分析】设每位学生需给n名不同学生投票，根据题意列不等式，求出最小整数解即可．
19．【答案】（1）解∶原式
（2）解：原式
【知识点】实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据算术平方根的定义，立方根的定义，乘方法则计算得
，再合并即可得答案.
（2）先去的括号，绝对值得，再根据实数的混合运算法则计算即可得答案.
（1）解∶原式
；
（2）解：原式
．
20．【答案】解∶
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式的解集为，
在数轴上表示为∶
，
∴最大整数解为1．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别解题目不等式组得不等式的解集为，然后在数轴上表示解集即可得最大整数解为1．
21．【答案】证明：如图，
∵ (对顶角相等) ，
又：∵，
∴．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴．
∵，
∴．
∴ （两直线平行，同旁内角互补）．
∴（同角的补角相等）．
故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等．
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】观察图形发现，是对顶角，即可得的理由是对顶角相等，观察图形发现是同位角，且，即可得的理由是同位角相等，两直线平行，根据，结合是同旁内角，即可得，根据，且是内错角，即可得，即可得同旁内角，理由是两直线平行，同旁内角互补，
进一步得，理由是同角的补角相等.
22．【答案】（1）解：设甲种客车每辆能载客x人，乙种客车每辆能载客y人，根据题意得：
，解之得：，
答：甲种客车每辆能载客35人，乙种客车每辆能载客25人.
（2）解：①设租甲种客车a辆，则租乙种客车辆，依题意得：，解得：，
又∵a是正整数，
∴最小正整数a为5，
∴至少租甲种客车5辆.
②所以租车方案为：①租35座的客车1辆，25座的客车3辆，45座的3辆.②租35座的客车3辆，25座的客车2辆，45座的2辆.③租35座的客车5辆，25座的客车1辆，45座的1辆．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】（2）②设同时租35座、25座和45座的大小三种客车各m辆，n辆，辆，则：，解得：
∵，
∴符合题意的有：，，；，，；，，.
∴租车方案为：①租35座的客车1辆，25座的客车3辆，45座的3辆；②租35座的客车3辆，25座的客车2辆，45座的2辆；③租35座的客车5辆，25座的客车1辆，45座的1辆．
【分析】（1）设甲种客车每辆能载客x人，乙种客车每辆能载客y人，根据题目情境即可列方程，解出即可得甲种客车每辆能载客35人，乙种客车每辆能载客25人.
（2）①设租甲种客车a辆，则租乙种客车辆，根据题目情境列不等式，解出即可得，再根据a是正整数，得最小正整数a为5，即可得答案.
②设同时租35座、25座和45座的大小三种客车各m辆，n辆，辆，根据已知得出方程，解方程得到m与n满足的关系，根据题意得出m，n的取值范围，即可得，，；，，；，，，进一步可得租车方案.
（1）解：设甲种客车每辆能载客x人，乙种客车每辆能载客y人，根据题意得
，解之得：，
答：甲种客车每辆能载客35人，乙种客车每辆能载客25人；
（2）解：①设租甲种客车a辆，则租乙种客车辆，
依题意得，
解得，
又a是正整数，
∴最小正整数a为5，
∴至少租甲种客车5辆；
②设同时租35座、25座和45座的大小三种客车各m辆，n辆，辆，
根据题意得出：，
整理得出：，
∵，
∴符合题意的有：，，；，，；，，
租车方案为：①租35座的客车1辆，25座的客车3辆，45座的3辆；②租35座的客车3辆，25座的客车2辆，45座的2辆；③租35座的客车5辆，25座的客车1辆，45座的1辆．
23．【答案】（1）
（2）解：由（）得，，
∵点的对应点与点关于原点对称，
∴，
∴三角形向右平移个单位，向上平移个单位得到三角形如图：
（3）.
（4）．
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵，，点为边中点，
∴，
∴，
故答案为：.
（3）由（）得三角形向右平移个单位，向上平移个单位得到三角形，
∴三角形内部一点经过平移后的对应点的坐标为.
故答案为：.
（4）由（）得三角形向右平移个单位，向上平移个单位得到三角形，
∵点是三角形内部一点，则平移后得到对应点，
∴，，解得，，
∴点.
故答案为：．
【分析】（），，点为边中点，即可得.
（）由（）得，根据与点关于原点对称，得，再根据三角形向右平移个单位，向上平移个单位得到三角形，即可作图.
（）由（）得三角形向右平移个单位，向上平移个单位得到三角形，则三角形内部一点经过平移后的对应点的坐标为，即可得答案.
（）由（）得三角形向右平移个单位，向上平移个单位得到三角形，得到，，求出，即可．
（1）解：∵，，点为边中点，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：由（）得，，
∵点的对应点与点关于原点对称，
∴，
∴三角形向右平移个单位，向上平移个单位得到三角形，
如图，
（3）解：由（）得三角形向右平移个单位，向上平移个单位得到三角形，
∴三角形内部一点经过平移后的对应点的坐标为，
故答案为：；
（4）解：由（）得三角形向右平移个单位，向上平移个单位得到三角形，
∵点是三角形内部一点，则平移后得到对应点，
∴，，
解得，，
∴点，
故答案为：．
24．【答案】（1）证明：如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）根据和为180度，和为180度，即可得相等，即可证明
平行，即可得相等，再根据相等，即可得相等，根据平行线判定定理得平行即可.
（2）根据平行线的性质，结合平行得和为180度，根据得，进一步得等于50度，再根据角平分线定义得等于35度，根据得等于35度，进一步得，再根据得即可.
（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
25．【答案】（1）解：30.
补全直方图如下：
（2）108
（3）解：根据题意得：（人）.
答：估计该校每天读书时间尚未达到70分钟的学生人数为500人.
（4）88
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：
，
故答案为：30.
（2）根据题意得：
故答案为：108.
（4）根据题意得：，组学生有20人，
组学生中第25个学生的读书时长为.
∴估计的值为88．
故答案为：88.
【分析】（1）根据组的频数除以Ａ组的比例即可求出总数，再用总数乘以组人数所占的百分数，即可求出的值，进而补全直方图即可.
（2）用360度乘以组人数所占的百分数，即可得“D组”所对应的圆心角的度数.
（3）先计算每天读书时间尚未达到70分钟的学生百分数，再用校学生人数乘以百分数即可得该校每天读书时间尚未达到70分钟的学生人数为500人.
（4）求出的学生人数，进而确定组学生有20人，根据组学生中第25个学生的读书时长为即可得答案.
（1）解：；补全直方图如图：
（2）；
故答案为：108；
（3）（人）；
答：估计该校每天读书时间尚未达到70分钟的学生人数为500人；
（4），组学生有20人，
组学生中第25个学生的读书时长为；
∴估计的值为88．
26．【答案】（1）①11；
②由图可知，点，，，，
∵格点C在图 1中的区域a（四边形）内部及其边线上，
∴设，x、y为正整数，且，，
∴
，
∵，
∴，
∵x、y为正整数，且，，
∴当时，，
当时，，
当时，，
∴点C的坐标为或或；
③，；
④8个
（2）①；
②7
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标；坐标与图形性质；点的坐标与象限的关系；四边形的综合
【解析】【解答】（1）解：①根据题意，，
故答案为：11；
③由图可知，点，，，，，，
∴，
，
，
，
，
，
∴点D与图1中的点，重合时，满足；
故答案为：，；
④如图：
∵点E是第一象限的格点，
∴设点，其中，，且均为整数，
当格点E在图中的区域a，此时，，
此时
，
∴，
∴，
∵为整数，
∴该区域的点不符合题意；
当格点E在图中的区域b，此时，，
此时
，
∴，
∴，
∵，
∴该区域的点不符合题意；
当格点E在图中的区域c，此时，，
此时
，
∵，，且均为整数，
∴该区域的整数点均符合题意，包括，，，，，，，共8个；
当格点E在图中的区域d，此时，，
此时
，
∴，即，
∵，，即，
∴该区域的点不符合题意；
当格点E在图中的区域e，此时，，
此时
，
∴，即，
∵，，即，
∴该区域的点不符合题意；
当格点E在图中的区域f，此时，，
此时
，
∴，即，
∵，
∴该区域的点不符合题意；
当格点E在图中的区域g，此时，，
此时
，
∴，即，
∵，，
∴该区域的点不符合题意；
当格点E在图中的区域h，此时，，
此时
，
∴，即
∵，，
∴该区域的点不符合题意；
当格点E在图中的区域i，此时，，
此时
，
∴，即
∵，
∴该区域的点不符合题意；
综上所述，点E是第一象限的格点，则满足的点有8个；
（2）解：①坐标平面内四点，，，，
四边形为正方形，
四边形的内部及边上的所有点X 均满足，格点，
当，时，，
由题意可知，正方形在的上方，如图所示：
那么可知当在点时，取最小值，当在点时，取最大值，
，，
，
；
②坐标平面内四点，，，，
四边形为正方形，
四边形的内部及边上的所有点X 均满足，格点，
由题意可知，正方形与点有以下三种位置关系：
第一种：当且时，如图所示：
那么可知当在点时，取最小值，当在点时，取最大值，
，，
，
，
存在唯一的整数t满足题意，
，
，
，
，
，
是第一象限内的格点，
最小为1，
，，为整数，
或，，
当时，，，此时点为；
当时，，，此时点为；
当时，，，此时点为；
点可以为，，；
第二种：当且时，如图所示：
那么可知当在点时，取最小值，当在点时，取最大值，
，，
，
，
存在唯一的整数t满足题意，
，
，
，
，
，
是第一象限内的格点，
最小为1，
，，为整数，
或，，
当时，，，此时点为；
当时，，，此时点为；
当时，，，此时点为；
点可以为，，；
第三种：当且时，如图所示，
那么可知当在点时，取最小值，当在点时，取最大值，
，，
，
，
存在唯一的整数t满足题意，
，
，
，
，即；
为整数，
，
，，
，，
，
，，
此时点坐标为；
综上，故存在唯一的整数t，满足条件的点N有，，，，，，，共7个；
故答案为：7．
【分析】（1）①根据点的新定义进行计算，进而即可求解；
②先根据题意结合图片得到点，，，，设，x、y为正整数，且，，进而根据得到点C的坐标；
③先读出各点的坐标，进而计算，从而判断大小即可求解；
④根据点A和点B的坐标，进而分类讨论即可求解；
（2）①由题意可知，正方形在的上方， 那么可知当在点时，取最小值，当在点时，取最大值，由，，可知，从而解得范围；②由题意可知，正方形与点有以下三种位置关系，第一种：且， 第二种：且， 第三种：当且时，分类讨论即可求得答案．
（1）解：①根据题意，，
故答案为：11；
②由图可知，点，，，，
∵格点C在图 1中的区域a（四边形）内部及其边线上，
∴设，x、y为正整数，且，，
∴
，
∵，
∴，
∵x、y为正整数，且，，
∴当时，，
当时，，
当时，，
∴点C的坐标为或或；
③由图可知，点，，，，，，
∴，
，
，
，
，
，
∴点D与图1中的点，重合时，满足；
故答案为：，；
④如图：
∵点E是第一象限的格点，
∴设点，其中，，且均为整数，
当格点E在图中的区域a，此时，，
此时
，
∴，
∴，
∵为整数，
∴该区域的点不符合题意；
当格点E在图中的区域b，此时，，
此时
，
∴，
∴，
∵，
∴该区域的点不符合题意；
当格点E在图中的区域c，此时，，
此时
，
∵，，且均为整数，
∴该区域的整数点均符合题意，包括，，，，，，，共8个；
当格点E在图中的区域d，此时，，
此时
，
∴，即，
∵，，即，
∴该区域的点不符合题意；
当格点E在图中的区域e，此时，，
此时
，
∴，即，
∵，，即，
∴该区域的点不符合题意；
当格点E在图中的区域f，此时，，
此时
，
∴，即，
∵，
∴该区域的点不符合题意；
当格点E在图中的区域g，此时，，
此时
，
∴，即，
∵，，
∴该区域的点不符合题意；
当格点E在图中的区域h，此时，，
此时
，
∴，即
∵，，
∴该区域的点不符合题意；
当格点E在图中的区域i，此时，，
此时
，
∴，即
∵，
∴该区域的点不符合题意；
综上所述，点E是第一象限的格点，则满足的点有8个；
（2）解：①坐标平面内四点，，，，
四边形为正方形，
四边形的内部及边上的所有点X 均满足，格点，
当，时，，
由题意可知，正方形在的上方，如图所示：
那么可知当在点时，取最小值，当在点时，取最大值，
，，
，
；
②坐标平面内四点，，，，
四边形为正方形，
四边形的内部及边上的所有点X 均满足，格点，
由题意可知，正方形与点有以下三种位置关系：
第一种：当且时，如图所示：
那么可知当在点时，取最小值，当在点时，取最大值，
，，
，
，
存在唯一的整数t满足题意，
，
，
，
，
，
是第一象限内的格点，
最小为1，
，，为整数，
或，，
当时，，，此时点为；
当时，，，此时点为；
当时，，，此时点为；
点可以为，，；
第二种：当且时，如图所示：
那么可知当在点时，取最小值，当在点时，取最大值，
，，
，
，
存在唯一的整数t满足题意，
，
，
，
，
，
是第一象限内的格点，
最小为1，
，，为整数，
或，，
当时，，，此时点为；
当时，，，此时点为；
当时，，，此时点为；
点可以为，，；
第三种：当且时，如图所示，
当
那么可知当在点时，取最小值，当在点时，取最大值，
，，
，
，
存在唯一的整数t满足题意，
，
，
，
，即；
为整数，
，
，，
，，
，
，，
此时点坐标为；
综上，故存在唯一的整数t，满足条件的点N有，，，，，，，共7个；
故答案为：7．
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