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第九章 静电场
1．通过实验，了解静电现象。能用原子结构模型和电荷守恒的知识分析静电现象。
2．知道点电荷模型。知道两个点电荷间相互作用的规律。体会探究库仑定律过程中的科学思想和方法。
3．知道电场是一种物质。了解电场强度，体会用物理量之比定义新物理量的方法。会用电场线描述电场。
4．了解生产生活中关于静电的利用与防护。
5．知道静电场中的电荷具有电势能。了解电势能、电势和电势差的含义。
6．知道匀强电场中电势差与电场强度的关系。
7．能分析带电粒子在电场中的运动情况，能解释相关的物理现象。
8．观察常见电容器，了解电容器的电容，观察电容器的充、放电现象。能举例说明电容器的应用。
9．实验10　观察电容器的充、放电现象
静电场 库仑定律 2025年：河北卷T8
2024年：山东卷T10
2023年：海南卷T8；湖南卷T5
2022年：辽宁卷T10
电场的性质 2025年：湖南卷T8；浙江1月选考T4；云南卷T4；广西卷T4；海南卷T6；河南卷T4；海南卷T2；北京卷T8；甘肃卷T5；陕晋宁青卷T1；河北卷T1；湖北卷T10；山东卷T11
2024年：河北卷T2、T7；甘肃卷T9；北京卷T11；黑吉辽卷T6；安徽卷T8；广东卷T8；江苏卷T1；湖南卷T5；湖北卷T8；全国甲卷T18
2023年：河北卷T7；全国乙卷T24；湖北卷T3；山东卷T11；湖南卷T5；辽宁卷T9；海南卷T12
静电场 电容器 2025年：黑吉辽内蒙古卷T4；江苏卷T9；重庆卷T13
2024年：江西卷T1；甘肃卷T7；黑吉辽卷T5
2023年：浙江6月选考T12
带电粒子(带电体)在电场中的运动 2025年：安徽卷T10；黑吉辽内蒙古卷T7；河南卷T13；四川卷T13；陕晋宁青卷15；广东卷T15；福建卷T4；江苏卷T13；重庆卷T5；甘肃卷T7；四川卷T3
2024年：江西卷T10；黑吉辽卷T6
2023年：全国甲卷T18；湖北卷T10；浙江6月选考T8；新课标卷T25
实验：观察电容器的充、放电现象 2024年：广西卷T12；海南卷T16；浙江1月选考T17
2023年：新课标卷T22；山东卷T14；福建卷T13
1．关注库仑定律、电场线及其性质、电场强度、电势能和电势高低的判断、电容器等知识。
2．利用带电粒子在电场中的运动，加强与运动学、牛顿运动定律、功能关系等其他知识结合的计算题的训练。
3．关注与实际生活、科学研究密切联系的新的情境或新的素材等相关习题的训练，如喷墨打印机、静电除尘、示波管、加速器等。
4．注重实验原理、实验操作、数据处理方法的复习，掌握电容器充、放电过程。
第1讲　电场力的性质
1.掌握库仑定律的内容，并会用来解决问题。2.理解电场强度的定义，并会计算电场强度的大小，判断电场强度的方向。3.理解电场线的特点，会用电场线的特点解决相关问题。
目标
要求
1
强基础 固本增分
2
研考点 精准突破
3
限时规范训练
栏
目
导
引
强基础
固本增分
一、电荷及电荷守恒定律
1．电荷量、元电荷、点电荷
(1)电荷量：电荷的多少叫作电荷量。
(2)元电荷：e＝____________ C，所有带电体的电荷量都是元电荷的______，其中质子、正电子的电荷量与元电荷相同。
(3)点电荷：当带电体本身的大小和形状对研究的问题影响很小时，可以将带电体视为点电荷。
1.6×10-19
整数倍
2．电荷守恒定律：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体____到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持____。
3．起电方式：摩擦起电、接触起电、感应起电。物体带电的实质是________。
转移
不变
得失电子
二、库仑定律
1．内容：____中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的____________成正比，与它们的____________成反比。作用力的方向在它们的连线上，同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
2．表达式：F＝k_____，式中k＝_________ N·m2/C2，叫作静电力常量。
3．适用条件：真空中静止的______。
三、电场强度、点电荷的场强
1．定义：放入电场中某点的电荷受到的电场力F与它的电荷量q的____。
真空
电荷量的乘积
距离的二次方
9.0×109
点电荷
比值
2．定义式：E＝。单位：N/C或V/m。
3．点电荷的电场强度：真空中点电荷形成的电场中某点的电场强度E＝____。
4．矢量性：规定______在电场中某点所受______的方向为该点的电场强度方向。
5．电场强度的叠加：电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的____和，遵从平行四边形定则。
k
正电荷
电场力
矢量
四、电场线
1．特点
(1)电场线从正电荷或______处出发，终止于______或无限远处。
(2)在同一电场中，电场线越密的地方场强____。
(3)电场线上某点的切线方向表示该点的____方向。
(4)电场线在电场中不相交。
(5)沿电场线方向电势逐渐____。
无限远
负电荷
越大
场强
降低
2．几种典型电场的电场线
点电荷的电场　　等量异种点电荷的电场
五、静电平衡
导体放入电场中，导体内的自由电子不再发生________，导体处于静电平衡状态。处于静电平衡状态下的导体，其内部的电场强度处处为_。
定向移动
0
×
√
1．判断正误
(1)物体带电的实质是电子的转移。( )
(2)相互作用的两个点电荷，电荷量大的，受到库仑力也大。( )
(3)根据F＝k，当r→0时，F→∞。( )
(4)由E＝可知电场强度与电场力成正比。( )
(5)电场中某一点的场强与放入该点的试探电荷的正负无关。( )
×
×
√
2．(2025·海南卷，6)带正电的金属球靠近不带电验电
器金属小球a，则关于验电器金属小球a和金属箔b，下
列说法正确的是(　　)
A．a、b都带正电
B．a、b都带负电
C．a带负电、b带正电
D．a带正电、b带负电
解析：C　由图可知，验电器本来不带电，由于同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引，正金属球靠近不带电验电器金属小球a，使得金属球a带负电荷，从而导致金属箔b带上正电荷。故选C。
C
3．(鲁科版教材原题改编)两个带电荷量分别为－Q和＋4Q的金属小球(均可视为点电荷)，固定在相距为r的两点处，它们间库仑力的大小为F。两小球相互接触后将其固定在距离为r的两点处，则两球间库仑力的大小为
(　　)
A．9F B．F
C．F D．12F
解析：B　两球相距为r时，根据库仑定律得F＝k；接触后各自带电荷量变为Q′＝，则此时有F′＝kF，故B正确。
B
4．(人教版教材原题改编)如图所示为某区域的电场线分布，下列说法正确的是(　　)
A．这个电场可能是正点电荷形成的
B．D处的电场强度为零，因为那里没有电场线
C．点电荷q在A点所受的静电力比在B点所受静电力小
D．负电荷在C点受到的静电力方向沿C点切线方向
C
解析：C　正点电荷的电场线是从正点电荷出发的直线，故A错误；电场线是为了更形象地描述电场而人为画出的，没有电场线的地方，电场强度不一定为零，故B错误；由题图知B点处电场线比A点处电场线密集，故EB>EA，所以点电荷q在A点所受的静电力小于在B点所受的静电力，C正确；负电荷在C点所受静电力方向与C点切线方向相反，故D错误。
研考点
精准突破
考点一　库仑定律的理解及应用
考向1　电荷守恒定律与库仑定律综合
(多选)(2025·河北卷，8)如图，真空中固定在绝缘台上的两个相同的金属小球A和B，带有等量同种电荷，电荷量为q，两者间距远大于小球直径，两者之间的静电力大小为F。用一个电荷量为Q的同样的金属小球C先跟A接触，再跟B接触，移走C后，A和B之间的静电力大小仍为F，则Q∶q的绝对值可能是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．5
AD
解析：AD　设A、B间的距离为r，原来A、B间的静电力F＝，小球C先跟A接触，此时A、C的电荷量都变为q1＝，C再跟B接触，C、B的电荷量都变为q2＝，移走C后，A和B之间的静电力F＝，整理得Q2＋4Qq－5q2＝0，因式分解可得(Q＋5q)(Q－q)＝0，解得Q＝－5q或Q＝q，所以＝5或＝1，故AD正确，BC错误。
归纳总结：完全相同的金属小球相互接触带同种电荷，总电荷量平均分配，两球的电荷量都等于。如果带异种电荷，先中和再将剩余的电荷量。
考向2　库仑力作用下的平衡问题
(2025·宁夏石嘴山模拟)如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q。现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在静电力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为(　　)
A．正，B的右边0.4 m处　　　　
B．正，B的左边0.2 m处
C．负，A的左边0.2 m处
D．负，A的右边0.2 m处
C
解析：C　根据库仑定律，当C在A的左侧时，C受到A、B库仑力的合力才可能为0，则C在A的左边；为使A受到B、C的库仑力的合力为0，C应带负电；设C在A左侧距A为x处，由于C处于平衡状态，所以k，解得x＝0.2 m，C正确。
[归纳总结]　模型特点
(2025·陕西商洛三模)如图所示，用两根同样长的绝缘细绳把两个带同种电荷的小球悬挂在一点。小球A的质量大于小球B的质量，小球A所带的电荷量大于小球B所带的电荷量。两小球静止时，细绳与竖直方向的夹角分别为α和β，两小球均可视为点电荷，下列说法正确的是(　　)
A．小球A受到的库仑力大于小球B受到的库仑力
B．小球A受到的库仑力小于小球B受到的库仑力
C．α＜β
D．α＞β
C
解析：C　由牛顿第三定律可知，小球A受到的库仑力与小球B受到的库仑力大小相等，故AB错误；对两小球受力分析，如图所示，每个小球均为三力平衡，有，且mA>mB，所以d2>d1，又由d1sin θ＝L sin α，d2sin θ＝L sin β，解得α<β，故C正确，D错误。
考向3　库仑力作用下的动力学问题
(多选)(2025·广东深圳实验学校期中)质量均为m的三个带电小球A、B、C用三根长度均为l的绝缘丝线相互连接，放置在光滑绝缘的水平面上，A球的电荷量为＋q，在C球上施加一个水平向右的恒力F之后，三个小球一起向右运动，三根丝线刚好都伸直且没有弹力，F的作用线的反向延长线与A、B间的丝线相交于丝线的中点，如图所示。已知静电力常量为k，下列说法正确的是(　　)
A．B球的电荷量可能为＋2q
B．C球的电荷量为－2q
C．三个小球一起运动的加速度大小为
D．恒力F的大小为
BC
解析：BC　根据对称性可知，A球的电荷量和B球的电荷量相同，故A错误；设C球的电荷量大小为qC，以A球为研究对象，B球对A球的库仑斥力为FBA＝，C球对A球的库仑引力为FCA＝，由题意可知小球运动的加速度方向与F的作用线平行，则有FCAsin 30°＝FBA，FCAcos 30°＝ma，解得qC＝2q，a＝，C球带负电，故C球的电荷量为－2q，故B、C正确；以三个小球整体为研究对象，根据牛顿第二
定律可得F＝3ma＝，故D错误。,
库仑力作用下力学问题的分析思路
考点二　电场强度的理解和计算
(2024·江苏卷，1)在静电场中有a、b两点，试探
电荷在两点的静电力F与电荷量q满足如图所示的关系，
请问a、b两点的电场强度大小关系是(　　)
A．Ea＝Eb B．Ea＝2Eb
C．EaEb
解析：D　根据电场强度公式E＝可知F-q图像的斜率表示电场强度，由题图可知a、b两图线斜率之比为4∶1，则a、b两点的场强关系为Ea＝4Eb，故选D。
D
电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q无关，它取决于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置。
(多选)(2025·湖北卷，10)如图所示，在xOy平面内有一以O点为中心的正五边形，顶点到O点的距离为R，在正五边形的顶点上顺时针方向依次固定电荷量为q、2q、3q、4q、5q的正点电荷，且电荷量为3q的电荷在y轴正半轴上。静电力常量为k，则O点处的电场强度(　　)
A．方向沿x轴负方向
B．方向与x轴负方向成18°夹角斜向下
C．大小为(cos 54°＋cos 18°)
D．大小为(2cos 54°＋cos 18°)
AD
解析：AD　分别作出五个点电荷在O点的场强如图所示，则O点的电场强度大小沿y轴正方向的分量大小为Ey＝sin 54°－sin 18°－sin 18°＋sin 54°＝·(sin 54°－sin 18°)－＝0，沿x轴正方向的分量大小为Ex＝cos 54°＋cos 18°－cos 18°－cos 54°＝－(2cos 54°
＋cos 18°)，所以O点的电场强度方向沿x轴负方向，大小为(2cos 54°＋cos 18°)，AD正确，BC错误。
如果有几个静止电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和。
考点三　电场线的理解与应用
(多选)(2025·甘肃会宁一中三模)避雷针是利用尖
端放电的原理保护建筑物避免雷击的一种设施。某次
雷雨天气，避雷针上方有雷雨云时，避雷针附近的电
场线分布如图所示，AB表示避雷针，CD为水平地面。
以下说法正确的是(　　)
A．M点的电场强度大于N点的电场强度
B．P点的电势低于Q点的电势
C．尖端放电时，避雷针的尖端B源源不断向外释放正电荷
D．雷雨云中积累有带负电的电荷
BD
解析：BD　电场线的疏密体现电场的强弱，N点电场强度大小大于M点电场强度大小，故A错误；沿电场线方向电势逐渐降低，P点的电势比Q点的低，故B正确；尖端放电时，空气中的电荷被电离，负电荷源源不断奔向尖端，空气中正电荷背离尖端运动，尖端没有向外释放正电荷，故C错误；从电场线方向知，雷雨云中积累有带负电的电荷，故D正确。
电场线的应用
(1)判断电场强度的大小：电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小。
(2)判断静电力的方向：正电荷受力方向与电场线在该点切线方向相同，负电荷受力方向与电场线在该点切线方向相反。
(3)判断电势的高低与电势降低的快慢：沿电场线方向电势降低最快，且电场线密集处比稀疏处降低更快。
(2025·江苏淮安高三期中)电场线能直观地反映电场的分布情况。如图甲所示是等量异种点电荷形成的电场，图乙是电场中的一些点；O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，B、C和A、D分别是两电荷连线上关于O对称的两点。则(　　)
A．E、F两点电场强度不同
B．A、D两点电场强度不同
C．B、O、C三点中，O点电
场强度最小
D．从C点向O点运动的电子加
速度逐渐增大
图甲　　　　　　　　图乙
C
解析：C　等量异种点电荷连线的中垂线是一条等势线，电场强度方向与等势线垂直，因此E、F两点电场强度方向相同，由于E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，则其电场强度大小也相等，故A错误；根据对称性可知，A、D两点处电场线疏密程度相同，则A、D两点电场强度大小相等，由题图甲看出，A、D两点电场强度方向相同，故B错误；由题图甲看出，B、O、C三点比较，O点处的电场线最稀疏，电场强度最小，故C正确；由题图可知，电子从C点向O点
运动过程中，电场强度逐渐减小，则静
电力逐渐减小，由牛顿第二定律可知电
子的加速度逐渐减小，故D错误。
图甲　　　　　　　图乙
素养拓展　四类非点电荷电场强度的叠加
1．等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景。
例如：一个点电荷＋q与一个无限
大薄金属板形成的电场，等效为
两个等量异种点电荷形成的电场，
如图甲、乙所示。
图甲　　　　　　　图乙
2．对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题简化。常见的圆环、圆盘等在轴对称的两点产生的电场具有对称性。
3．填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍。
4．微元法
将带电圆环、带电平面等分成许多微元电荷，每个微元电荷可看成点电荷，再利用公式和电场强度叠加原理求出合电场强度。
(2026·河南信阳高级中学期中)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，＝2R，静电力常量为k，已知M点的电场强度大小为E，则N点的电场强度大小为(　　)
A．－E B．
C．－E D．＋E
A
解析：A　把在O点的球壳补为完整的带电荷量为2q的带电球壳，则在M、N两点产生的电场强度大小为E0＝。题图中左半球壳在M点产生的电场强度为E，则右半球壳在M点产生的电场强度为E′＝E0－E＝－E，由对称性知，左半球壳在N点产生的电场强度大小也为－E，A正确。
(2024·河北卷，7)如图，真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷，分别固定在正三角形ABC的顶点B、C，M为三角形ABC的中心，沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为。已知正三角形ABC的边长为a，M点的电场强度为0，静电力常量为k。顶点A处的电场强度大小为(　　)
A．
C．
D
解析：D　由点电荷的场强公式和场强叠加原理可知，
两点电荷在M点产生的电场强度大小为E＝cos 60°
＝，方向沿MA方向，又M点的电场强度为0，所以
细杆在M处产生的电场强度大小也为E＝，方向沿AM方向，由对称性可知细杆在A处产生的电场强度大小也为E＝，方向沿MA方向，又由点电荷的场强公式和场强叠加原理可知，两点电荷在A处产生的电场强度大小为E′＝cos 30°＝，方向沿MA方向，所以A处的电场强度大小为EA＝E＋E′＝，D正确。
(2025·湖南长沙三模)如图所示，两个均匀带电的圆环正对放置，圆环的半径均为R，A、B为两圆环的圆心。两圆环的带电量均为＋Q，A、B间距离为4R，则A、B两点之间连线上场强为0的点的个数为(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
B
解析：B　设A、B之间的连线上某点P到A的距离为x，到B的距离为4R－x，由于两个圆环带同种电荷，它们在P点产生的场强方向相反，将带电圆环进行微元分割，如图所示，可得左环在P点的场强大小为EA＝，同理可
知，右环在P点的场强大小为EB＝，场强为零的条件为EA－EB＝0，即，当x＝0时，则有EA＝0，EB≠0，合场强不为零；当x＝4R时，则有EA≠0，EB＝0，合场强不为零；当x＝2R
时，则有EA≠0，EB≠0，由于EA＝EB，方向相反，故合场强为零；因此，在03
4
5
6
7
8
9
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12
11
1
2
限时规范
训练(44)　电场力的性质
(建议用时：40分钟　满分：76分)
(选择题1～7题每题5分，8～11题每题6分，13题7分，共66分)
[基础巩固练]
1．(2025·陕晋宁青卷，1)某同学绘制了四幅静电场的电场线分布图，其中可能正确的是(　　)
解析：B　静电场是由静止电荷产生的电场，电场线不交叉不闭合，若电场线相互平行，应等间距，ACD错误，B正确。
13
B
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1
3
4
5
6
7
8
9
10
12
11
2．(2025·广西卷，4)用带电玻璃棒接触验电器的金属球，移
走玻璃棒，验电器内的两片金属箔张开，稳定后如图。图中
a、b、c、d四点电场强度最强的是(　　)
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
解析：D　带电玻璃棒与金属球接触后，金属球带电，金属箔与金属球通过导体棒连接，金属箔与金属球带同种电荷；净电荷在尖锐的地方聚集，因此d点的电荷聚集最多，电场强度最强，A、B、C错误，D正确。
D
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11
3．(2026·湖北武汉高三质检)用电场线能直观、方便地比较电场中各点的场强大小与方向。如图是静电除尘集尘板与放电极间的电场线，A、B是电场中的两点，则(　　)
A．EA＜EB，方向不同
B．EA＜EB，方向相同
C．EA＞EB，方向不同
D．EA＞EB，方向相同
解析：C　根据电场线的疏密表示电场强度的大小，知EA＞EB。电场强度的方向为电场线上该点的切线方向，可知，A、B两点的场强方向不同。故选C。
C　
13
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11
4．(2025·江苏南京盐城一模)一个带正电的小球用绝缘细线悬挂于O点，在其右侧放置一个不带电的枕形导体时，小球将在细线与竖直方向成θ角处保持静止，如图所示。若将导体的A端接地，当重新平衡时，细线与竖直方向的夹角将(　　)
A．不变
B．变大
C．变为零
D．变小但不为零
13
B
2
3
4
5
6
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8
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11
1
解析：B　根据平衡可知tan θ＝，将导体的A端接地，负电荷会从大地运动到枕形导体上，A端带负电电量变大，则与球之间的吸引力F变大，细线与竖直方向的夹角变大。故选B。
13
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5．如图所示，真空中A、B两点分别固定两个相同的带电金属小球(均可视为点电荷)，所带电荷量分别为＋Q和－5Q，在A、B的延长线上的C点处固定一电荷量为q的电荷，该电荷受到的静电力大小为F1，已知AB＝BC；若将两带电金属小球接触后再放回A、B两处时，电荷受到的静电力大小为F2，则为(　　)
A．
C．
13
C
2
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解析：C　设AB＝BC＝l，根据库仑定律得F1＝，将两带电金属小球接触后，两小球所带电荷量均为－2Q，根据库仑定律得F2＝，所以，故选C。
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6．(2025·河南郑州一模)如图所示，空间中有一均匀带正电的绝缘球壳ABCD，P、Q为竖直直径BD延长线上的两点，且OP＝OQ，AC为水平直径。在P点放置一质量为m1、电荷量为＋q(q>0且q极小)的小球甲，小球甲恰能静止；移走小球甲，并截除半球壳ABC(不影响半球壳ADC的电荷分布)，在Q点放置质量为m2、电荷量为－q的小球乙，小球乙也恰能静止。重力加速度为g，则半球壳ADC对小球甲的作用力大小为(　　)
A．(m1－m2)g B．(m1＋m2)g
C．
13
A
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1
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解析：A　截除ABC前，设半球壳ABC对甲球的作用力大小为FB，ADC对甲球的作用力大小为FD，则FB＋FD＝m1g，移走ABC后，根据位置关系可知，ADC对乙球的作用力大小与ABC对甲球的作用力大小相等，即FD′＝FB＝m2g，则FD＝(m1－m2)g，故选A。
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7．如图，在点电荷－q的电场中，放着一块带有一定电荷量、电荷均匀分布的绝缘矩形薄板，MN为其对称轴，O点为几何中心，点电荷－q与a、O、b之间的距离分别为d、2d、3d。已知图中a点的电场强度为零，则带电薄板在图中b点处产生的电场强度的大小和方向分别为(　　)
A．，水平向右
B．，水平向左
C．，水平向右
D．，水平向右
A　
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解析：A　由电场的矢量叠加原理，可知矩形薄板在a点处产生的电场强度与点电荷－q在a点处产生的电场强度等大反向，即大小为E＝，方向水平向左，则矩形薄板带负电；由对称性可知，矩形薄板在b点处产生的电场强度大小也为E＝，方向水平向右，故A正确。
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[能力提升练]
8．(2025·江西部分重点高中一模)探究两个可以视为点电荷的带电小球之间的作用力，带电荷量为Q的小球C固定在绝缘支架上，用轻质绝缘细线将带电荷量为q的小球P悬挂在铁架台上，平衡时两小球连线水平，之间的距离为r，悬挂小球P的细线与竖直方向的夹角为θ，如图所示。已知小球P的质量为m，静电力常量为k，则剪断细线的瞬间，小球P的加速度大小为(　　)
A．
C．
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A
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解析：A　带电小球C与P之间的库仑力F＝，根据受力分析，由平衡条件可得，细线中的拉力大小F拉＝，剪断细线的瞬间，小球P受重力和库仑力作用，它们的合力大小与原拉力的大小相等，即F合＝，此时根据牛顿第二定律有F合＝ma，解得加速度大小a＝，故选A。
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9．(2024·贵州卷，7)如图，A、B、C三个点位于以O为圆心的圆上，直径AB与弦BC间的夹角为30°。A、B两点分别放有电荷量大小为qA、qB的点电荷时，C点的电场强度方向恰好沿圆的切线方向，则等于(　　)
A．
C． D．2
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B
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解析：B　分析可知，若A、B两点处的点电荷为同种电荷，则C点的电场强度不可能沿圆的切线方向，可知两点电荷为异种电荷。假设A点处的点电荷为正电荷，B点处的点电荷为负电荷，则两点电荷在C点产生电场的场强如图所示，有EA＝，设圆的半径为r，根据几何
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知识可得AC＝2r sin 30°＝r，BC＝2r cos 30°＝r，tan 60°＝，联立解得；同理，若A点处的点电荷为负电荷，B点处的点电荷为正电荷，仍可得。故选B。
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10．(多选)(2025·山东威海三模)如图所示，正方形的三个顶点a、b、c分别固定三个点电荷q1、q2、q3，若d点合场强为0，则下列说法正确的是(　　)
A．三电荷的电性相同
B．q1与q3电性相同，与q2相反
C．|q1|∶|q2|∶|q3|＝1∶2∶1
D．|q1|∶|q2|∶|q3|＝1∶∶1
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BC
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解析：BC　根据场强叠加可知，若三电荷的电性相同，则d点的场强不可能为零，选项A错误；若q1与q3电性相同，与q2相反，且q1与q3在d点的合场强与q2在d点的场强等大反向，则此时d点的场强为零，此时q1与q3在d点的场强大小相等，相互垂直，则由场强叠加可知，可得q2＝2＝1∶2∶1，选项BC正确，D错误。
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11．(2025·河北一模)如图所示质量为3m、电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，带有电荷量为Q的小球B固定在O点正下方绝缘柱上。其中O点与小球A的间距为l，O点与小球B的间距为l。当小球A平衡时，悬线与竖直方向夹角θ＝30°，带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k，则(　　)
A．A、B间库仑力大小F＝
B．A、B间库仑力F＝
C．小球B的带电荷量为
D．细线拉力大小FT＝mg
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D
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解析：D　A的受力如图所示，几何三角形OAB与力三角形相似，由对应边成比例，解得FT＝mg，故D正确；由余弦定理得AB＝＝l，几何三角形OAB与力三角形相似，由对应边成比例，可得FT＝F＝k，解得Q＝，故ABC错误。
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12．(10分)(2023·全国乙卷，11)如图，等边三角形△ABC
位于竖直平面内，AB边水平，顶点C在AB边上方，3个点
电荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB边中点M处
的电场强度方向竖直向下，BC边中点N处的电场强度方向
竖直向上，A点处点电荷的电荷量的绝对值为q，求
(1)B点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3个点电荷的正负；
(2)C点处点电荷的电荷量。
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解析：(1)题中已知M点的场强竖直向下，可知A、B处点电荷在M点产生的场强等大反向，C处点电荷带正电，又M为AB边的中点，结合点电荷的场强公式E＝可知两点电荷的电荷量大小相等，电性相同，即B点处点电荷的电荷量的绝对值为q，C处点电荷在N点产生的电场强度方向为N→B，假设A、B两点处点电荷均带负电，则三个点电荷在N处产生的合场强方向不可能竖直向上，所以A、B两点处点电荷均带正电，即3个点电荷均带正电。
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(2)设C点处点电荷的电荷量为qC，等边三角形的边长为2L，则AN＝L，对三个点电荷在N处产生的电场强度分析，如图所示，其中EBC是B、C处点电荷在N处产生的合场强，EAN是A处点电荷在N处产生的场强，EN为N点处的合场强
根据几何关系得＝tan 30°
故tan 30°
解得qC＝q。
答案：(1)q　均带正电　(2)q
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[培优创新练]
13．(多选)(2025·安徽卷，10)如图，两个倾角相等、底端相连的光滑绝缘轨道被固定在竖直平面内，空间存在平行于该竖直平面水平向右的匀强电场。带正电的甲、乙小球(均可视为质点)在轨道上同一高度保持静止，间距为L，甲、乙所带电荷量分别为q、2q，质量分别为m、2m，静电力常量为k，重力加速度大小为g。甲、乙所受静电力的合力大小分别为F1、F2，匀强电场的电场强度大小为E，不计空气阻力，则(　　)
A．F1＝F2
B．E＝
C．若将甲、乙互换位置，二者仍能保持静止
D．若撤去甲，乙下滑至底端时的速度大小v＝
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ABD
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解析：ABD　设轨道倾角为θ，则对甲小球由力的平衡条件有F1＝mg tan θ，对乙小球由力的平衡条件有F2＝2mg tan θ，故F1＝，A正确；甲小球受到的静电力的合力大小F1＝－qE，乙小球受到的静电
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力的合力大小F2＝＋2qE，结合A项分析可得E＝，B正确；甲、乙互换位置后，对交换位置后的甲小球分析，其所受合力一定平行于轨道，大小为F合＝cos θ－mg sin θ，又F1＝－qE＝mg tan θ，可得F合＞0，所以甲小球一定不能保持静止，C错误；若撤去甲，对乙小球的下滑过程，由动能定理有2mg·tan θ－2qE·×2mv2，结合A、B项分析可得v＝ ，D正确。
第1讲　电场力的性质
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按ESC键退出全屏播放限时规范训练(44)　电场力的性质
(建议用时：40分钟　满分：76分)
(选择题1～7题每题5分，8～11题每题6分，13题7分，共66分)
[基础巩固练]
1．(2025·陕晋宁青卷，1)某同学绘制了四幅静电场的电场线分布图，其中可能正确的是(　　)
解析：B　静电场是由静止电荷产生的电场，电场线不交叉不闭合，若电场线相互平行，应等间距，ACD错误，B正确。
2．(2025·广西卷，4)用带电玻璃棒接触验电器的金属球，移走玻璃棒，验电器内的两片金属箔张开，稳定后如图。图中a、b、c、d四点电场强度最强的是(　　)
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
解析：D　带电玻璃棒与金属球接触后，金属球带电，金属箔与金属球通过导体棒连接，金属箔与金属球带同种电荷；净电荷在尖锐的地方聚集，因此d点的电荷聚集最多，电场强度最强，A、B、C错误，D正确。
3．(2026·湖北武汉高三质检)用电场线能直观、方便地比较电场中各点的场强大小与方向。如图是静电除尘集尘板与放电极间的电场线，A、B是电场中的两点，则(　　)
A．EA＜EB，方向不同
B．EA＜EB，方向相同
C．EA＞EB，方向不同
D．EA＞EB，方向相同
解析：C　根据电场线的疏密表示电场强度的大小，知EA＞EB。电场强度的方向为电场线上该点的切线方向，可知，A、B两点的场强方向不同。故选C。
4．(2025·江苏南京盐城一模)一个带正电的小球用绝缘细线悬挂于O点，在其右侧放置一个不带电的枕形导体时，小球将在细线与竖直方向成θ角处保持静止，如图所示。若将导体的A端接地，当重新平衡时，细线与竖直方向的夹角将(　　)
A．不变 B．变大
C．变为零 D．变小但不为零
解析：B　根据平衡可知tan θ＝，将导体的A端接地，负电荷会从大地运动到枕形导体上，A端带负电电量变大，则与球之间的吸引力F变大，细线与竖直方向的夹角变大。故选B。
5．如图所示，真空中A、B两点分别固定两个相同的带电金属小球(均可视为点电荷)，所带电荷量分别为＋Q和－5Q，在A、B的延长线上的C点处固定一电荷量为q的电荷，该电荷受到的静电力大小为F1，已知AB＝BC；若将两带电金属小球接触后再放回A、B两处时，电荷受到的静电力大小为F2，则为(　　)
A．
C．
解析：C　设AB＝BC＝l，根据库仑定律得F1＝，将两带电金属小球接触后，两小球所带电荷量均为－2Q，根据库仑定律得F2＝，所以，故选C。
6．(2025·河南郑州一模)如图所示，空间中有一均匀带正电的绝缘球壳ABCD，P、Q为竖直直径BD延长线上的两点，且OP＝OQ，AC为水平直径。在P点放置一质量为m1、电荷量为＋q(q>0且q极小)的小球甲，小球甲恰能静止；移走小球甲，并截除半球壳ABC(不影响半球壳ADC的电荷分布)，在Q点放置质量为m2、电荷量为－q的小球乙，小球乙也恰能静止。重力加速度为g，则半球壳ADC对小球甲的作用力大小为(　　)
A．(m1－m2)g B．(m1＋m2)g
C．
解析：A　截除ABC前，设半球壳ABC对甲球的作用力大小为FB，ADC对甲球的作用力大小为FD，则FB＋FD＝m1g，移走ABC后，根据位置关系可知，ADC对乙球的作用力大小与ABC对甲球的作用力大小相等，即FD′＝FB＝m2g，则FD＝(m1－m2)g，故选A。
7．如图，在点电荷－q的电场中，放着一块带有一定电荷量、电荷均匀分布的绝缘矩形薄板，MN为其对称轴，O点为几何中心，点电荷－q与a、O、b之间的距离分别为d、2d、3d。已知图中a点的电场强度为零，则带电薄板在图中b点处产生的电场强度的大小和方向分别为(　　)
A．，水平向右
B．，水平向左
C．，水平向右
D．，水平向右
解析：A　由电场的矢量叠加原理，可知矩形薄板在a点处产生的电场强度与点电荷－q在a点处产生的电场强度等大反向，即大小为E＝，方向水平向左，则矩形薄板带负电；由对称性可知，矩形薄板在b点处产生的电场强度大小也为E＝，方向水平向右，故A正确。
[能力提升练]
8．(2025·江西部分重点高中一模)探究两个可以视为点电荷的带电小球之间的作用力，带电荷量为Q的小球C固定在绝缘支架上，用轻质绝缘细线将带电荷量为q的小球P悬挂在铁架台上，平衡时两小球连线水平，之间的距离为r，悬挂小球P的细线与竖直方向的夹角为θ，如图所示。已知小球P的质量为m，静电力常量为k，则剪断细线的瞬间，小球P的加速度大小为(　　)
A．
C．
解析：A　带电小球C与P之间的库仑力F＝，根据受力分析，由平衡条件可得，细线中的拉力大小F拉＝，剪断细线的瞬间，小球P受重力和库仑力作用，它们的合力大小与原拉力的大小相等，即F合＝，此时根据牛顿第二定律有F合＝ma，解得加速度大小a＝，故选A。
9．(2024·贵州卷，7)如图，A、B、C三个点位于以O为圆心的圆上，直径AB与弦BC间的夹角为30°。A、B两点分别放有电荷量大小为qA、qB的点电荷时，C点的电场强度方向恰好沿圆的切线方向，则等于(　　)
A．
C． D．2
解析：B　分析可知，若A、B两点处的点电荷为同种电荷，则C点的电场强度不可能沿圆的切线方向，可知两点电荷为异种电荷。假设A点处的点电荷为正电荷，B点处的点电荷为负电荷，则两点电荷在C点产生电场的场强如图所示，有EA＝，设圆的半径为r，根据几何知识可得AC＝2r sin 30°＝r，BC＝2r cos 30°＝r，tan 60°＝，联立解得；同理，若A点处的点电荷为负电荷，B点处的点电荷为正电荷，仍可得。故选B。
10．(多选)(2025·山东威海三模)如图所示，正方形的三个顶点a、b、c分别固定三个点电荷q1、q2、q3，若d点合场强为0，则下列说法正确的是(　　)
A．三电荷的电性相同
B．q1与q3电性相同，与q2相反
C．|q1|∶|q2|∶|q3|＝1∶2∶1
D．|q1|∶|q2|∶|q3|＝1∶∶1
解析：BC　根据场强叠加可知，若三电荷的电性相同，则d点的场强不可能为零，选项A错误；若q1与q3电性相同，与q2相反，且q1与q3在d点的合场强与q2在d点的场强等大反向，则此时d点的场强为零，此时q1与q3在d点的场强大小相等，相互垂直，则由场强叠加可知，可得q2＝2＝1∶2∶1，选项BC正确，D错误。
11．(2025·河北一模)如图所示质量为3m、电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，带有电荷量为Q的小球B固定在O点正下方绝缘柱上。其中O点与小球A的间距为l，O点与小球B的间距为l。当小球A平衡时，悬线与竖直方向夹角θ＝30°，带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k，则(　　)
A．A、B间库仑力大小F＝
B．A、B间库仑力F＝
C．小球B的带电荷量为
D．细线拉力大小FT＝mg
解析：D　A的受力如图所示，几何三角形OAB与力三角形相似，由对应边成比例，解得FT＝mg，故D正确；由余弦定理得AB＝＝l，几何三角形OAB与力三角形相似，由对应边成比例，可得FT＝F＝k，解得Q＝，故ABC错误。
12．(10分)(2023·全国乙卷，11)如图，等边三角形△ABC位于竖直平面内，AB边水平，顶点C在AB边上方，3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB边中点M处的电场强度方向竖直向下，BC边中点N处的电场强度方向竖直向上，A点处点电荷的电荷量的绝对值为q，求
(1)B点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3个点电荷的正负；
(2)C点处点电荷的电荷量。
解析：(1)题中已知M点的场强竖直向下，可知A、B处点电荷在M点产生的场强等大反向，C处点电荷带正电，又M为AB边的中点，结合点电荷的场强公式E＝可知两点电荷的电荷量大小相等，电性相同，即B点处点电荷的电荷量的绝对值为q，C处点电荷在N点产生的电场强度方向为N→B，假设A、B两点处点电荷均带负电，则三个点电荷在N处产生的合场强方向不可能竖直向上，所以A、B两点处点电荷均带正电，即3个点电荷均带正电。
(2)设C点处点电荷的电荷量为qC，等边三角形的边长为2L，则AN＝L，对三个点电荷在N处产生的电场强度分析，如图所示，其中EBC是B、C处点电荷在N处产生的合场强，EAN是A处点电荷在N处产生的场强，EN为N点处的合场强
根据几何关系得＝tan 30°
故tan 30°
解得qC＝q。
答案：(1)q　均带正电　(2)q
[培优创新练]
13．(多选)(2025·安徽卷，10)如图，两个倾角相等、底端相连的光滑绝缘轨道被固定在竖直平面内，空间存在平行于该竖直平面水平向右的匀强电场。带正电的甲、乙小球(均可视为质点)在轨道上同一高度保持静止，间距为L，甲、乙所带电荷量分别为q、2q，质量分别为m、2m，静电力常量为k，重力加速度大小为g。甲、乙所受静电力的合力大小分别为F1、F2，匀强电场的电场强度大小为E，不计空气阻力，则(　　)
A．F1＝F2
B．E＝
C．若将甲、乙互换位置，二者仍能保持静止
D．若撤去甲，乙下滑至底端时的速度大小v＝
解析：ABD　设轨道倾角为θ，则对甲小球由力的平衡条件有F1＝mg tan θ，对乙小球由力的平衡条件有F2＝2mg tan θ，故F1＝，A正确；甲小球受到的静电力的合力大小F1＝－qE，乙小球受到的静电力的合力大小F2＝＋2qE，结合A项分析可得E＝，B正确；甲、乙互换位置后，对交换位置后的甲小球分析，其所受合力一定平行于轨道，大小为F合＝cos θ－mg sin θ，又F1＝－qE＝mg tan θ，可得F合＞0，所以甲小球一定不能保持静止，C错误；若撤去甲，对乙小球的下滑过程，由动能定理有2mg·tan θ－2qE·×2mv2，结合A、B项分析可得v＝ ，D正确。1．通过实验，了解静电现象。能用原子结构模型和电荷守恒的知识分析静电现象。
2．知道点电荷模型。知道两个点电荷间相互作用的规律。体会探究库仑定律过程中的科学思想和方法。
3．知道电场是一种物质。了解电场强度，体会用物理量之比定义新物理量的方法。会用电场线描述电场。
4．了解生产生活中关于静电的利用与防护。
5．知道静电场中的电荷具有电势能。了解电势能、电势和电势差的含义。
6．知道匀强电场中电势差与电场强度的关系。
7．能分析带电粒子在电场中的运动情况，能解释相关的物理现象。
8．观察常见电容器，了解电容器的电容，观察电容器的充、放电现象。能举例说明电容器的应用。
9．实验10　观察电容器的充、放电现象
静电场 库仑定律 2025年：河北卷T8 2024年：山东卷T10 2023年：海南卷T8；湖南卷T5 2022年：辽宁卷T10
电场的性质 2025年：湖南卷T8；浙江1月选考T4；云南卷T4；广西卷T4；海南卷T6；河南卷T4；海南卷T2；北京卷T8；甘肃卷T5；陕晋宁青卷T1；河北卷T1；湖北卷T10；山东卷T11 2024年：河北卷T2、T7；甘肃卷T9；北京卷T11；黑吉辽卷T6；安徽卷T8；广东卷T8；江苏卷T1；湖南卷T5；湖北卷T8；全国甲卷T18 2023年：河北卷T7；全国乙卷T24；湖北卷T3；山东卷T11；湖南卷T5；辽宁卷T9；海南卷T12
电容器 2025年：黑吉辽内蒙古卷T4；江苏卷T9；重庆卷T13 2024年：江西卷T1；甘肃卷T7；黑吉辽卷T5 2023年：浙江6月选考T12
带电粒子(带电体)在电场中的运动 2025年：安徽卷T10；黑吉辽内蒙古卷T7；河南卷T13；四川卷T13；陕晋宁青卷15；广东卷T15；福建卷T4；江苏卷T13；重庆卷T5；甘肃卷T7；四川卷T3 2024年：江西卷T10；黑吉辽卷T6 2023年：全国甲卷T18；湖北卷T10；浙江6月选考T8；新课标卷T25
实验：观察电容器的充、放电现象 2024年：广西卷T12；海南卷T16；浙江1月选考T17 2023年：新课标卷T22；山东卷T14；福建卷T13
1．关注库仑定律、电场线及其性质、电场强度、电势能和电势高低的判断、电容器等知识。
2．利用带电粒子在电场中的运动，加强与运动学、牛顿运动定律、功能关系等其他知识结合的计算题的训练。
3．关注与实际生活、科学研究密切联系的新的情境或新的素材等相关习题的训练，如喷墨打印机、静电除尘、示波管、加速器等。
4．注重实验原理、实验操作、数据处理方法的复习，掌握电容器充、放电过程。
第1讲　电场力的性质
目标 要求 　 　 1.掌握库仑定律的内容，并会用来解决问题。2.理解电场强度的定义，并会计算电场强度的大小，判断电场强度的方向。3.理解电场线的特点，会用电场线的特点解决相关问题。
一、电荷及电荷守恒定律
1．电荷量、元电荷、点电荷
(1)电荷量：电荷的多少叫作电荷量。
(2)元电荷：e＝1.6×10-19 C，所有带电体的电荷量都是元电荷的整数倍，其中质子、正电子的电荷量与元电荷相同。
(3)点电荷：当带电体本身的大小和形状对研究的问题影响很小时，可以将带电体视为点电荷。
2．电荷守恒定律：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持不变。
3．起电方式：摩擦起电、接触起电、感应起电。物体带电的实质是得失电子。
二、库仑定律
1．内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比。作用力的方向在它们的连线上，同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
2．表达式：F＝k，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫作静电力常量。
3．适用条件：真空中静止的点电荷。
三、电场强度、点电荷的场强
1．定义：放入电场中某点的电荷受到的电场力F与它的电荷量q的比值。
2．定义式：E＝。单位：N/C或V/m。
3．点电荷的电场强度：真空中点电荷形成的电场中某点的电场强度E＝k。
4．矢量性：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点的电场强度方向。
5．电场强度的叠加：电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和，遵从平行四边形定则。
四、电场线
1．特点
(1)电场线从正电荷或无限远处出发，终止于负电荷或无限远处。
(2)在同一电场中，电场线越密的地方场强越大。
(3)电场线上某点的切线方向表示该点的场强方向。
(4)电场线在电场中不相交。
(5)沿电场线方向电势逐渐降低。
2．几种典型电场的电场线
点电荷的电场　　等量异种点电荷的电场
五、静电平衡
导体放入电场中，导体内的自由电子不再发生定向移动，导体处于静电平衡状态。处于静电平衡状态下的导体，其内部的电场强度处处为0。
1．判断正误
(1)物体带电的实质是电子的转移。(√)
(2)相互作用的两个点电荷，电荷量大的，受到库仑力也大。(×)
(3)根据F＝k，当r→0时，F→∞。(×)
(4)由E＝可知电场强度与电场力成正比。(×)
(5)电场中某一点的场强与放入该点的试探电荷的正负无关。(√)
2．(2025·海南卷，6)带正电的金属球靠近不带电验电器金属小球a，则关于验电器金属小球a和金属箔b，下列说法正确的是(　　)
A．a、b都带正电
B．a、b都带负电
C．a带负电、b带正电
D．a带正电、b带负电
解析：C　由图可知，验电器本来不带电，由于同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引，正金属球靠近不带电验电器金属小球a，使得金属球a带负电荷，从而导致金属箔b带上正电荷。故选C。
3．(鲁科版教材原题改编)两个带电荷量分别为－Q和＋4Q的金属小球(均可视为点电荷)，固定在相距为r的两点处，它们间库仑力的大小为F。两小球相互接触后将其固定在距离为r的两点处，则两球间库仑力的大小为(　　)
A．9F B．F
C．F D．12F
解析：B　两球相距为r时，根据库仑定律得F＝k；接触后各自带电荷量变为Q′＝，则此时有F′＝kF，故B正确。
4．(人教版教材原题改编)如图所示为某区域的电场线分布，下列说法正确的是(　　)
A．这个电场可能是正点电荷形成的
B．D处的电场强度为零，因为那里没有电场线
C．点电荷q在A点所受的静电力比在B点所受静电力小
D．负电荷在C点受到的静电力方向沿C点切线方向
解析：C　正点电荷的电场线是从正点电荷出发的直线，故A错误；电场线是为了更形象地描述电场而人为画出的，没有电场线的地方，电场强度不一定为零，故B错误；由题图知B点处电场线比A点处电场线密集，故EB>EA，所以点电荷q在A点所受的静电力小于在B点所受的静电力，C正确；负电荷在C点所受静电力方向与C点切线方向相反，故D错误。
考点一　库仑定律的理解及应用
考向1　电荷守恒定律与库仑定律综合
　(多选)(2025·河北卷，8)如图，真空中固定在绝缘台上的两个相同的金属小球A和B，带有等量同种电荷，电荷量为q，两者间距远大于小球直径，两者之间的静电力大小为F。用一个电荷量为Q的同样的金属小球C先跟A接触，再跟B接触，移走C后，A和B之间的静电力大小仍为F，则Q∶q的绝对值可能是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．5
解析：AD　设A、B间的距离为r，原来A、B间的静电力F＝，小球C先跟A接触，此时A、C的电荷量都变为q1＝，C再跟B接触，C、B的电荷量都变为q2＝，移走C后，A和B之间的静电力F＝，整理得Q2＋4Qq－5q2＝0，因式分解可得(Q＋5q)(Q－q)＝0，解得Q＝－5q或Q＝q，所以＝5或＝1，故AD正确，BC错误。
归纳总结：完全相同的金属小球相互接触带同种电荷，总电荷量平均分配，两球的电荷量都等于。如果带异种电荷，先中和再将剩余的电荷量。
考向2　库仑力作用下的平衡问题
　(2025·宁夏石嘴山模拟)如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q。现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在静电力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为(　　)
A．正，B的右边0.4 m处　　　　B．正，B的左边0.2 m处
C．负，A的左边0.2 m处 D．负，A的右边0.2 m处
解析：C　根据库仑定律，当C在A的左侧时，C受到A、B库仑力的合力才可能为0，则C在A的左边；为使A受到B、C的库仑力的合力为0，C应带负电；设C在A左侧距A为x处，由于C处于平衡状态，所以k，解得x＝0.2 m，C正确。
[归纳总结]　模型特点
　(2025·陕西商洛三模)如图所示，用两根同样长的绝缘细绳把两个带同种电荷的小球悬挂在一点。小球A的质量大于小球B的质量，小球A所带的电荷量大于小球B所带的电荷量。两小球静止时，细绳与竖直方向的夹角分别为α和β，两小球均可视为点电荷，下列说法正确的是(　　)
A．小球A受到的库仑力大于小球B受到的库仑力
B．小球A受到的库仑力小于小球B受到的库仑力
C．α＜β
D．α＞β
解析：C　由牛顿第三定律可知，小球A受到的库仑力与小球B受到的库仑力大小相等，故AB错误；对两小球受力分析，如图所示，每个小球均为三力平衡，有，且mA>mB，所以d2>d1，又由d1sin θ＝L sin α，d2sin θ＝L sin β，解得α<β，故C正确，D错误。
考向3　库仑力作用下的动力学问题
　(多选)(2025·广东深圳实验学校期中)质量均为m的三个带电小球A、B、C用三根长度均为l的绝缘丝线相互连接，放置在光滑绝缘的水平面上，A球的电荷量为＋q，在C球上施加一个水平向右的恒力F之后，三个小球一起向右运动，三根丝线刚好都伸直且没有弹力，F的作用线的反向延长线与A、B间的丝线相交于丝线的中点，如图所示。已知静电力常量为k，下列说法正确的是(　　)
A．B球的电荷量可能为＋2q
B．C球的电荷量为－2q
C．三个小球一起运动的加速度大小为
D．恒力F的大小为
解析：BC　根据对称性可知，A球的电荷量和B球的电荷量相同，故A错误；设C球的电荷量大小为qC，以A球为研究对象，B球对A球的库仑斥力为FBA＝，C球对A球的库仑引力为FCA＝，由题意可知小球运动的加速度方向与F的作用线平行，则有FCAsin 30°＝FBA，FCAcos 30°＝ma，解得qC＝2q，a＝，C球带负电，故C球的电荷量为－2q，故B、C正确；以三个小球整体为研究对象，根据牛顿第二定律可得F＝3ma＝，故D错误。,
库仑力作用下力学问题的分析思路
考点二　电场强度的理解和计算
　(2024·江苏卷，1)在静电场中有a、b两点，试探电荷在两点的静电力F与电荷量q满足如图所示的关系，请问a、b两点的电场强度大小关系是(　　)
A．Ea＝Eb B．Ea＝2Eb
C．EaEb
解析：D　根据电场强度公式E＝可知F-q图像的斜率表示电场强度，由题图可知a、b两图线斜率之比为4∶1，则a、b两点的场强关系为Ea＝4Eb，故选D。
电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q无关，它取决于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置。
　(多选)(2025·湖北卷，10)如图所示，在xOy平面内有一以O点为中心的正五边形，顶点到O点的距离为R，在正五边形的顶点上顺时针方向依次固定电荷量为q、2q、3q、4q、5q的正点电荷，且电荷量为3q的电荷在y轴正半轴上。静电力常量为k，则O点处的电场强度(　　)
A．方向沿x轴负方向
B．方向与x轴负方向成18°夹角斜向下
C．大小为(cos 54°＋cos 18°)
D．大小为(2cos 54°＋cos 18°)
解析：AD　分别作出五个点电荷在O点的场强如图所示，则O点的电场强度大小沿y轴正方向的分量大小为Ey＝sin 54°－sin 18°－sin 18°＋sin 54°＝·(sin 54°－sin 18°)－＝0，沿x轴正方向的分量大小为Ex＝cos 54°＋cos 18°－cos 18°－cos 54°＝－(2cos 54°＋cos 18°)，所以O点的电场强度方向沿x轴负方向，大小为(2cos 54°＋cos 18°)，AD正确，BC错误。
如果有几个静止电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和。
考点三　电场线的理解与应用
　(多选)(2025·甘肃会宁一中三模)避雷针是利用尖端放电的原理保护建筑物避免雷击的一种设施。某次雷雨天气，避雷针上方有雷雨云时，避雷针附近的电场线分布如图所示，AB表示避雷针，CD为水平地面。以下说法正确的是(　　)
A．M点的电场强度大于N点的电场强度
B．P点的电势低于Q点的电势
C．尖端放电时，避雷针的尖端B源源不断向外释放正电荷
D．雷雨云中积累有带负电的电荷
解析：BD　电场线的疏密体现电场的强弱，N点电场强度大小大于M点电场强度大小，故A错误；沿电场线方向电势逐渐降低，P点的电势比Q点的低，故B正确；尖端放电时，空气中的电荷被电离，负电荷源源不断奔向尖端，空气中正电荷背离尖端运动，尖端没有向外释放正电荷，故C错误；从电场线方向知，雷雨云中积累有带负电的电荷，故D正确。
电场线的应用
(1)判断电场强度的大小：电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小。
(2)判断静电力的方向：正电荷受力方向与电场线在该点切线方向相同，负电荷受力方向与电场线在该点切线方向相反。
(3)判断电势的高低与电势降低的快慢：沿电场线方向电势降低最快，且电场线密集处比稀疏处降低更快。
　(2025·江苏淮安高三期中)电场线能直观地反映电场的分布情况。如图甲所示是等量异种点电荷形成的电场，图乙是电场中的一些点；O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，B、C和A、D分别是两电荷连线上关于O对称的两点。则(　　)
图甲　　　　　　　　图乙
A．E、F两点电场强度不同
B．A、D两点电场强度不同
C．B、O、C三点中，O点电场强度最小
D．从C点向O点运动的电子加速度逐渐增大
解析：C　等量异种点电荷连线的中垂线是一条等势线，电场强度方向与等势线垂直，因此E、F两点电场强度方向相同，由于E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，则其电场强度大小也相等，故A错误；根据对称性可知，A、D两点处电场线疏密程度相同，则A、D两点电场强度大小相等，由题图甲看出，A、D两点电场强度方向相同，故B错误；由题图甲看出，B、O、C三点比较，O点处的电场线最稀疏，电场强度最小，故C正确；由题图可知，电子从C点向O点运动过程中，电场强度逐渐减小，则静电力逐渐减小，由牛顿第二定律可知电子的加速度逐渐减小，故D错误。
素养拓展　四类非点电荷电场强度的叠加
1．等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景。
例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个等量异种点电荷形成的电场，如图甲、乙所示。
图甲　　　　　　　图乙
2．对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题简化。常见的圆环、圆盘等在轴对称的两点产生的电场具有对称性。
3．填补法
将有缺口的带电圆环或圆板补全为完整的圆环或圆板，将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍。
4．微元法
将带电圆环、带电平面等分成许多微元电荷，每个微元电荷可看成点电荷，再利用公式和电场强度叠加原理求出合电场强度。
　(2026·河南信阳高级中学期中)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，＝2R，静电力常量为k，已知M点的电场强度大小为E，则N点的电场强度大小为(　　)
A．－E B．
C．－E D．＋E
解析：A　把在O点的球壳补为完整的带电荷量为2q的带电球壳，则在M、N两点产生的电场强度大小为E0＝。题图中左半球壳在M点产生的电场强度为E，则右半球壳在M点产生的电场强度为E′＝E0－E＝－E，由对称性知，左半球壳在N点产生的电场强度大小也为－E，A正确。
　(2024·河北卷，7)如图，真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷，分别固定在正三角形ABC的顶点B、C，M为三角形ABC的中心，沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为。已知正三角形ABC的边长为a，M点的电场强度为0，静电力常量为k。顶点A处的电场强度大小为(　　)
A．
C．
解析：D　由点电荷的场强公式和场强叠加原理可知，两点电荷在M点产生的电场强度大小为E＝cos 60°＝，方向沿MA方向，又M点的电场强度为0，所以细杆在M处产生的电场强度大小也为E＝，方向沿AM方向，由对称性可知细杆在A处产生的电场强度大小也为E＝，方向沿MA方向，又由点电荷的场强公式和场强叠加原理可知，两点电荷在A处产生的电场强度大小为E′＝cos 30°＝，方向沿MA方向，所以A处的电场强度大小为EA＝E＋E′＝，D正确。
　(2025·湖南长沙三模)如图所示，两个均匀带电的圆环正对放置，圆环的半径均为R，A、B为两圆环的圆心。两圆环的带电量均为＋Q，A、B间距离为4R，则A、B两点之间连线上场强为0的点的个数为(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：B　设A、B之间的连线上某点P到A的距离为x，到B的距离为4R－x，由于两个圆环带同种电荷，它们在P点产生的场强方向相反，将带电圆环进行微元分割，如图所示，可得左环在P点的场强大小为EA＝，同理可知，右环在P点的场强大小为EB＝，场强为零的条件为EA－EB＝0，即，当x＝0时，则有EA＝0，EB≠0，合场强不为零；当x＝4R时，则有EA≠0，EB＝0，合场强不为零；当x＝2R时，则有EA≠0，EB≠0，由于EA＝EB，方向相反，故合场强为零；因此，在0限时规范训练(44)　电场力的性质
(建议用时：40分钟　满分：76分)
(选择题1～7题每题5分，8～11题每题6分，13题7分，共66分)
[基础巩固练]
1．(2025·陕晋宁青卷，1)某同学绘制了四幅静电场的电场线分布图，其中可能正确的是(　　)
解析：B　静电场是由静止电荷产生的电场，电场线不交叉不闭合，若电场线相互平行，应等间距，ACD错误，B正确。
2．(2025·广西卷，4)用带电玻璃棒接触验电器的金属球，移走玻璃棒，验电器内的两片金属箔张开，稳定后如图。图中a、b、c、d四点电场强度最强的是(　　)
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
解析：D　带电玻璃棒与金属球接触后，金属球带电，金属箔与金属球通过导体棒连接，金属箔与金属球带同种电荷；净电荷在尖锐的地方聚集，因此d点的电荷聚集最多，电场强度最强，A、B、C错误，D正确。
3．(2026·湖北武汉高三质检)用电场线能直观、方便地比较电场中各点的场强大小与方向。如图是静电除尘集尘板与放电极间的电场线，A、B是电场中的两点，则(　　)
A．EA＜EB，方向不同
B．EA＜EB，方向相同
C．EA＞EB，方向不同
D．EA＞EB，方向相同
解析：C　根据电场线的疏密表示电场强度的大小，知EA＞EB。电场强度的方向为电场线上该点的切线方向，可知，A、B两点的场强方向不同。故选C。
4．(2025·江苏南京盐城一模)一个带正电的小球用绝缘细线悬挂于O点，在其右侧放置一个不带电的枕形导体时，小球将在细线与竖直方向成θ角处保持静止，如图所示。若将导体的A端接地，当重新平衡时，细线与竖直方向的夹角将(　　)
A．不变 B．变大
C．变为零 D．变小但不为零
解析：B　根据平衡可知tan θ＝，将导体的A端接地，负电荷会从大地运动到枕形导体上，A端带负电电量变大，则与球之间的吸引力F变大，细线与竖直方向的夹角变大。故选B。
5．如图所示，真空中A、B两点分别固定两个相同的带电金属小球(均可视为点电荷)，所带电荷量分别为＋Q和－5Q，在A、B的延长线上的C点处固定一电荷量为q的电荷，该电荷受到的静电力大小为F1，已知AB＝BC；若将两带电金属小球接触后再放回A、B两处时，电荷受到的静电力大小为F2，则为(　　)
A．
C．
解析：C　设AB＝BC＝l，根据库仑定律得F1＝，将两带电金属小球接触后，两小球所带电荷量均为－2Q，根据库仑定律得F2＝，所以，故选C。
6．(2025·河南郑州一模)如图所示，空间中有一均匀带正电的绝缘球壳ABCD，P、Q为竖直直径BD延长线上的两点，且OP＝OQ，AC为水平直径。在P点放置一质量为m1、电荷量为＋q(q>0且q极小)的小球甲，小球甲恰能静止；移走小球甲，并截除半球壳ABC(不影响半球壳ADC的电荷分布)，在Q点放置质量为m2、电荷量为－q的小球乙，小球乙也恰能静止。重力加速度为g，则半球壳ADC对小球甲的作用力大小为(　　)
A．(m1－m2)g B．(m1＋m2)g
C．
解析：A　截除ABC前，设半球壳ABC对甲球的作用力大小为FB，ADC对甲球的作用力大小为FD，则FB＋FD＝m1g，移走ABC后，根据位置关系可知，ADC对乙球的作用力大小与ABC对甲球的作用力大小相等，即FD′＝FB＝m2g，则FD＝(m1－m2)g，故选A。
7．如图，在点电荷－q的电场中，放着一块带有一定电荷量、电荷均匀分布的绝缘矩形薄板，MN为其对称轴，O点为几何中心，点电荷－q与a、O、b之间的距离分别为d、2d、3d。已知图中a点的电场强度为零，则带电薄板在图中b点处产生的电场强度的大小和方向分别为(　　)
A．，水平向右
B．，水平向左
C．，水平向右
D．，水平向右
解析：A　由电场的矢量叠加原理，可知矩形薄板在a点处产生的电场强度与点电荷－q在a点处产生的电场强度等大反向，即大小为E＝，方向水平向左，则矩形薄板带负电；由对称性可知，矩形薄板在b点处产生的电场强度大小也为E＝，方向水平向右，故A正确。
[能力提升练]
8．(2025·江西部分重点高中一模)探究两个可以视为点电荷的带电小球之间的作用力，带电荷量为Q的小球C固定在绝缘支架上，用轻质绝缘细线将带电荷量为q的小球P悬挂在铁架台上，平衡时两小球连线水平，之间的距离为r，悬挂小球P的细线与竖直方向的夹角为θ，如图所示。已知小球P的质量为m，静电力常量为k，则剪断细线的瞬间，小球P的加速度大小为(　　)
A．
C．
解析：A　带电小球C与P之间的库仑力F＝，根据受力分析，由平衡条件可得，细线中的拉力大小F拉＝，剪断细线的瞬间，小球P受重力和库仑力作用，它们的合力大小与原拉力的大小相等，即F合＝，此时根据牛顿第二定律有F合＝ma，解得加速度大小a＝，故选A。
9．(2024·贵州卷，7)如图，A、B、C三个点位于以O为圆心的圆上，直径AB与弦BC间的夹角为30°。A、B两点分别放有电荷量大小为qA、qB的点电荷时，C点的电场强度方向恰好沿圆的切线方向，则等于(　　)
A．
C． D．2
解析：B　分析可知，若A、B两点处的点电荷为同种电荷，则C点的电场强度不可能沿圆的切线方向，可知两点电荷为异种电荷。假设A点处的点电荷为正电荷，B点处的点电荷为负电荷，则两点电荷在C点产生电场的场强如图所示，有EA＝，设圆的半径为r，根据几何知识可得AC＝2r sin 30°＝r，BC＝2r cos 30°＝r，tan 60°＝，联立解得；同理，若A点处的点电荷为负电荷，B点处的点电荷为正电荷，仍可得。故选B。
10．(多选)(2025·山东威海三模)如图所示，正方形的三个顶点a、b、c分别固定三个点电荷q1、q2、q3，若d点合场强为0，则下列说法正确的是(　　)
A．三电荷的电性相同
B．q1与q3电性相同，与q2相反
C．|q1|∶|q2|∶|q3|＝1∶2∶1
D．|q1|∶|q2|∶|q3|＝1∶∶1
解析：BC　根据场强叠加可知，若三电荷的电性相同，则d点的场强不可能为零，选项A错误；若q1与q3电性相同，与q2相反，且q1与q3在d点的合场强与q2在d点的场强等大反向，则此时d点的场强为零，此时q1与q3在d点的场强大小相等，相互垂直，则由场强叠加可知，可得q2＝2＝1∶2∶1，选项BC正确，D错误。
11．(2025·河北一模)如图所示质量为3m、电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，带有电荷量为Q的小球B固定在O点正下方绝缘柱上。其中O点与小球A的间距为l，O点与小球B的间距为l。当小球A平衡时，悬线与竖直方向夹角θ＝30°，带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k，则(　　)
A．A、B间库仑力大小F＝
B．A、B间库仑力F＝
C．小球B的带电荷量为
D．细线拉力大小FT＝mg
解析：D　A的受力如图所示，几何三角形OAB与力三角形相似，由对应边成比例，解得FT＝mg，故D正确；由余弦定理得AB＝＝l，几何三角形OAB与力三角形相似，由对应边成比例，可得FT＝F＝k，解得Q＝，故ABC错误。
12．(10分)(2023·全国乙卷，11)如图，等边三角形△ABC位于竖直平面内，AB边水平，顶点C在AB边上方，3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB边中点M处的电场强度方向竖直向下，BC边中点N处的电场强度方向竖直向上，A点处点电荷的电荷量的绝对值为q，求
(1)B点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3个点电荷的正负；
(2)C点处点电荷的电荷量。
解析：(1)题中已知M点的场强竖直向下，可知A、B处点电荷在M点产生的场强等大反向，C处点电荷带正电，又M为AB边的中点，结合点电荷的场强公式E＝可知两点电荷的电荷量大小相等，电性相同，即B点处点电荷的电荷量的绝对值为q，C处点电荷在N点产生的电场强度方向为N→B，假设A、B两点处点电荷均带负电，则三个点电荷在N处产生的合场强方向不可能竖直向上，所以A、B两点处点电荷均带正电，即3个点电荷均带正电。
(2)设C点处点电荷的电荷量为qC，等边三角形的边长为2L，则AN＝L，对三个点电荷在N处产生的电场强度分析，如图所示，其中EBC是B、C处点电荷在N处产生的合场强，EAN是A处点电荷在N处产生的场强，EN为N点处的合场强
根据几何关系得＝tan 30°
故tan 30°
解得qC＝q。
答案：(1)q　均带正电　(2)q
[培优创新练]
13．(多选)(2025·安徽卷，10)如图，两个倾角相等、底端相连的光滑绝缘轨道被固定在竖直平面内，空间存在平行于该竖直平面水平向右的匀强电场。带正电的甲、乙小球(均可视为质点)在轨道上同一高度保持静止，间距为L，甲、乙所带电荷量分别为q、2q，质量分别为m、2m，静电力常量为k，重力加速度大小为g。甲、乙所受静电力的合力大小分别为F1、F2，匀强电场的电场强度大小为E，不计空气阻力，则(　　)
A．F1＝F2
B．E＝
C．若将甲、乙互换位置，二者仍能保持静止
D．若撤去甲，乙下滑至底端时的速度大小v＝
解析：ABD　设轨道倾角为θ，则对甲小球由力的平衡条件有F1＝mg tan θ，对乙小球由力的平衡条件有F2＝2mg tan θ，故F1＝，A正确；甲小球受到的静电力的合力大小F1＝－qE，乙小球受到的静电力的合力大小F2＝＋2qE，结合A项分析可得E＝，B正确；甲、乙互换位置后，对交换位置后的甲小球分析，其所受合力一定平行于轨道，大小为F合＝cos θ－mg sin θ，又F1＝－qE＝mg tan θ，可得F合＞0，所以甲小球一定不能保持静止，C错误；若撤去甲，对乙小球的下滑过程，由动能定理有2mg·tan θ－2qE·×2mv2，结合A、B项分析可得v＝ ，D正确。

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