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(共67张PPT)
第2讲　电场能的性质
1.理解电势、电势能、电势差的概念，掌握电势差与电场强度的关系。2.会用静电力做功与电势能变化的关系解决问题。3.会解决电场线、等势面及运动轨迹的综合问题。
目标
要求
1
强基础 固本增分
2
研考点 精准突破
3
限时规范训练
栏
目
导
引
强基础
固本增分
一、电势能　电势　等势面
1．静电力做功
(1)特点：与路径无关，只与____位置和终止位置有关。
(2)四种计算方法
①定义式法：WAB＝qEl cos α(匀强电场)。
②电势差法：WAB＝qUAB(适用于任何电场)。
③电势能变化法：WAB＝EpA－EpB。
④动能定理法：W静电力＋W其他力＝ΔEk。
起始
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中某点具有的势能，等于将电荷从该点移到______位置时电场力所做的功。
(2)电场力做功与电势能变化的关系：电场力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp。
零势能
3．电势
(1)定义：电荷在电场中某点具有的______与它的电荷量的比值。
(2)定义式：φ＝。
(3)矢标性：电势是____，有正负之分，其正(负)表示该点电势比________高(低)。
(4)相对性：电势具有______，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同，通常取无限远或地球的电势为零。
电势能
标量
零电势点
相对性
4．等势面
(1)定义：电场中________的各点构成的面。
(2)特点
①同一等势面上的任意两点间移动电荷电场力______。
②等势面一定跟电场线____，即跟场强的方向垂直。
③电场线总是从电势较__的等势面指向电势较__的等势面。
④等差等势面越密的地方场强越__，反之越小。
电势相同
不做功
垂直
高
低
大
(3)几种常见的电场的等势面的特点
电场 等势面(虚线)图样 特点
匀强电场 垂直于电场线的一簇平面
点电荷 的电场 以点电荷为球心的一簇球面
电场 等势面(虚线)图样 特点
等量异种 点电荷的 电场 两电荷连线的中垂面为等势面
等量正 点电荷 的电场 在电荷连线上，中点电势最低；在中垂线上，中点电势最高
二、电势差　匀强电场中电势差与场强的关系
1．电势差
(1)定义：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时，电场力做的功与移动的电荷的______的比值。
(2)定义式：UAB＝。
(3)电势差与电势的关系：UAB＝______，UAB＝－UBA。
(4)影响因素：电势差UAB由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及电场力做的功WAB____，与零电势点的选取____。
电荷量
φA－φB
无关
无关
2．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)电势差与场强的关系式UAB＝Ed，其中d为电场中两点间沿场强方向的距离。
(2)在匀强电场中，场强在数值上等于沿____方向每单位距离上降低的电势。
提醒：电场中，场强方向是指电势降落最快的方向。
场强
×
√
1．判断正误
(1)电场力做功与重力做功相似，均与路径无关。( )
(2)电场中电场强度为零的地方电势一定为零。( )
(3)电场强度处处相同的区域内，电势一定也处处相同。( )
(4)沿电场线方向电场强度越来越小，电势逐渐降低。( )
(5)电势的大小由电场的性质决定，与零电势点的选取无关。( )
(6)电场线越密集的地方，等差等势线也越密集。( )
×
×
×
√
2．(2025·河北卷，1)《汉书》记载“姑句家矛端生火”，
表明古人很早就发现了尖端放电现象。若带电长矛尖端
附近某条电场线如图，则a、b、c、d四点中电势最高的
是(　　)
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
解析：D　沿电场线方向电势逐渐降低，由题图可知，φd>φc>φb＞φa，D正确。
D
3．(人教版教材原题改编)关于电场中两点电势高低的判断，下列说法正确的是(　　)
A．若＋q在A点的电势能比在B点的大，则A点电势高于B点电势
B．若－q在C点的电势能比在D点的大，则C点电势高于D点电势
C．若－q在E点的电势能为负值，则E点电势为负值
D．电势降低的方向即为电场线方向
解析：A　由Ep＝qφ知，正电荷在电势越高的地方电势能越大，负电荷在电势越低的地方电势能越大，故A正确，B错误；根据Ep＝qφ可知，若－q在E点的电势能Ep为负值，则φ为正值，故C错误；电势降低最快的方向为电场线方向，故D错误。
A
4．(人教版教材原题改编)如图所示，匀强电场的电
场强度为E，A与B两点间的距离为d，AB与电场线的
夹角为α，则A、B两点间的电势差为(　　)
A．Ed B．Ed cos α
C．Ed sin α D．Ed tan α
解析：B　题图中A、B两点之间沿电场方向的距离为d cos α，则电势差UAB＝Ed cos α，故B正确，A、C、D错误。
B
研考点
精准突破
考点一　电势高低与电势能大小的判断
(2025·四川自贡一模)如图甲、乙、丙所示为三种带电体产生的电场线和等差等势面示意图，下列说法正确的是(　　)
D
图甲　　　　　 　图乙　　　　　　　图丙
A．甲图中A点和B点电场强度相同
B．乙图中带电体表面上C点和D点电势相等，电场强度大小相等
C．丙图中F点的电势小于E点电势
D．丙图中电子在E点的电势能大于在F点的电势能
图甲　　　　　 　图乙　　　　　　　图丙
解析：D　电场强度是矢量，甲图中A点和B点电场强度大小相等，方向不同，所以电场强度不相同，故A错误；孤立的带电导体本身是一个等势体，其表面是一个等势面，所以乙图中带电体表面上C点和D点电势相等，由电场线疏密程度知电场强度大小不相等，故B错误；丙图中下极板带正电，上极板带负电，电场线方向向上，沿电场线方向电势降低，所以丙图中F点电势高于E点电势，故C错误；根据Ep＝qφ可知，负电荷在电势高的地方电势能小，所以电子在F点电势能比较小，故D正确。
图甲　　 　图乙 　　　图丙
(1)静电力做正功，电势能减少；静电力做负功，电势能增加。
(2)正电荷在电势越高处电势能越大；负电荷在电势越高处电势能越小。
(多选)(2024·广东卷，8)污水中的污泥絮体经处理后带负电，可利用电泳技术对其进行沉淀去污，基本原理如图所示。涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极，金属圆盘置于容器底部，金属棒插入污水中，形成如图所示的电场分布，其中实线为电场线，虚线为等势面。M点和N点在同一电场线上，M点和P点在同一等势面上。下列说法正确的有(　　)
A．M点的电势比N点的低
B．N点的电场强度比P点的大
C．污泥絮体从M点移到N点，电场力对其做正功
D．污泥絮体在N点的电势能比其在P点的大
AC　
解析：AC　M、N在一条电场线上，沿电场线方向电势降低，故φM<φN，A正确；电场线疏密程度反映电场强度大小，电场线密的地方电场强度大，故EN点拨：沿电场线方向电势逐渐降低。
考点二　等势面、电场线与带电粒子运动轨迹
考向1　等势线的理解
(2025·北京卷，8)某小山坡的等高线如图，M
表示山顶，A、B是同一等高线上两点，MA、MB分
别是沿左、右坡面的直滑道。山顶的小球沿滑道从
静止滑下，不考虑阻力，则(　　)
A．小球沿MA运动的加速度比沿MB的大
B．小球分别运动到A、B点时速度大小不同
C．若把等高线看成某静电场的等势线，则A点电场强度比B点大
D．若把等高线看成某静电场的等势线，则右侧电势比左侧降落得快
D
解析：D　等高线越密集，坡面越陡，根据牛顿第二定律可得a＝g sin θ(θ为坡面与水平面夹角)，MB对应的等高线更密集，坡面更陡，小球沿着MB运动时加速度比沿着MA运动时加速度大，A错误；A、B在同一等高线，小球下落高度相同，根据机械能守恒，运动到A、B点时速度大小相同，B错误；等势线越密集，电场强度越大，B处等势线更密集，A点电场强度比B点小，C错误；等势线越密集，电势降落越快，右侧等势线更密集，右侧电势比左侧降落得快，D正确。
[教考衔接]　高考真题命题情境和考查角度与人教版必修第三册P37T3相近，两题都考查等势面的理解及应用，可看成教材习题的改编或延伸。
[教材原题]　如图是某初中地理教科书中的等高线
图(图中数字的单位是米)。小山坡的左边a和右边b，
哪一边的地势更陡些？如果把一个球分别从山坡左
右两边滚下(把山坡的两边看成两个斜面，不考虑摩
擦等阻碍)，哪边的加速度更大？
现在把该图看成一个描述电势高低的等势线图，图中的单位是伏特，a和b哪一边电势降落得快？哪一边的电场强度大？
答案：b　b
考向2　等势面与运动轨迹综合问题
(2026·陕晋宁青高三开学联考)如图所示，实线是等差等势线，虚线是某带电粒子的运动轨迹，a、b是运动轨迹上的两点。若带电粒子在运动过程中仅受静电力的作用，下列说法正确的是(　　)
A．粒子在a点的加速度大于在 b点的加速度
B．粒子一定是从b点运动到a点
C．a点的电势一定高于b点的电势
D．粒子可能做匀变速曲线运动
A
解析：A　等差等势线越密，电场强度越大，则a点场强大于b点场强，粒子在a点受到的电场力大于在b点受到的电场力，粒子在a点的加速度大于在b点的加速度，故A正确；根据题意无法判断粒子的运动方向，故B错误；粒子受到的静电力方向与等势线垂直，但由于粒子的电性未知，故无法比较电势高低，故C错误；由于电场不是匀强电场，粒子不可能做匀变速曲线运动，故D错误。故选A。
点拨
(1)带电粒子所受电场力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断电场强度的方向。
(2)若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加。
考向3　电场线和运动轨迹问题
(多选)(2026·山东名校考试联盟高三摸底)细胞电转染的原理简化如图所示，两带电的平行金属板间，由于细胞的存在形成如图所示的电场。其中实线为电场线，关于y轴对称分布。虚线为带电的外源DNA进入细胞膜的轨迹，M、N为轨迹上的两点，P点与N点关于y轴对称，下列说法正确的是(　　)
A．N、P两点的电场强度相同
B．M点的电势比P点的电势低
C．DNA分子在M点的加速度比在N点小
D．DNA分子在M点的电势能比在N点大
BCD　
解析：BCD　N、P两点的电场强度大小相同，但方向不同，A错误；沿电场线方向电势逐渐降低，N、P两点电势相等，N点电势高于M点电势，可知M点的电势比P点的电势低，B正确；N点电场线较M点密集，可知N点场强较大，则DNA分子在M点的加速度比在N点小，C正确；由图可知DNA分子从M点到N点电场力做正功，则动能增加，电势能减小，可知DNA分子在M点的电势能比在N点大，D正确。
考点三　电势差与电场强度的关系
(2025·浙江省名校协作体高三检测)电子焊接机中的电场线如图中虚线所示。圆弧形极板K为阴极，A为阳极，两极之间的距离为d，在两极之间加上高压U，有一电子在K极由静止被加速；不考虑电子重力，元电荷为e，则下列说法正确的是(　　)
A．由K到A电势逐渐降低
B．A和K之间的电场强度大小为
C．A极与K、A中点的电势差大于
D．电子由K运动到A的过程中，其电势能增加了eU
C　
解析：C　沿着电场线的方向电势降低，由K到A为逆着电场线方向，因此电势升高，A错误；A和K之间的电场为非匀强电场，所以场强大小不是，B错误；从A到K电势降低，若K、A之间为匀强电场，则A极与K、A中点的电势差为U1＝，由题图可知，越靠近A极
电场线密度越大，即越靠近A极电场强度越大，则A极与K、A中点的电势差大于，C正确；电子由K运动到A的过程中，静电力做正功，电势能减少了eU，D错误。
归纳总结
(1)根据E＝，等差等势面越密，电场强度越大。
(2)根据U＝Ed，距离相等的两点间，E越大，U越大。
(多选)(2025·湖南卷，8)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内A点和B点的位置如图所示。电荷量为＋q、－q和＋2q的三个试探电荷先后分别置于O点、A点和B点时，电势能均为Ep(Ep>0)。下列说法正确的是
(　　)
A．OA中点的电势为零
B．电场的方向与x轴正方向成60°角
C．电场强度的大小为
D．电场强度的大小为
AD
解析：AD　根据题意结合电势能公式有Ep＝qφO＝－qφA＝2qφB，解得φO＝、φA＝－、φB＝，则OA中点的电势φ1＝＝0，A正确；在OA线段上找出一与B点等势的点M，可知xOM＝d，BM连线为等势线，与BM连线垂直的线为电场线，如图所示，则根据几何关系可知，电场线与x轴正方向夹角θ＝45°，根据场强与电势差的关系可
知，E＝，B、C错误，D正确。
点拨
(1)匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图所示。
(2)匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图所示。
如图所示，A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点，场强方向平行于正方形ABCD所在平面。已知A、B、C三点的电势分别为φA＝9 V，φB＝3 V，φC＝－3 V，则(　　)
A．D点的电势φD＝3 V，场强方向平行于AB方向
B．D点的电势φD＝3 V，场强方向平行于AC方向
C．D点的电势φD＝3 V，场强方向平行于BC方向
D．把一个电子从C移到B，电场力做功为4 eV
B　
解析：B　匀强电场中，由公式U＝Ed可知，沿着任意方向，每前进相同的距离，电势差都相等，则电场线如图所示，连接AC，AC连线的中点为E，则E点的电势为φE＝ V＝3 V，连接BE，则BE为一条等势线，D点在BE连线上，所以D点电势φD＝3 V，电场线垂直于等势线，且由高电势指向低电势，故图中所示场强方向平行AC方向，故AC错误，B正确；把一个电子从C移到B，电场力做正功W＝qUCB＝(－e)·(－3－3)V＝6 eV，故D错误。
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2
限时规范
训练(45)　电场能的性质
(建议用时：40分钟　满分：72分)
(选择题1～7题每题5分，8～12题每题6分，13题7分，共72分)
[基础巩固练]
1．(2024·河北卷，2)我国古人最早发现了尖端放电现象，并将其用于生产生活，如许多古塔的顶端采用“伞状”金属饰物在雷雨天时保护古塔。雷雨中某时刻，一古塔顶端附近等势线分布如图所示，相邻等势线电势差相等，则a、b、c、d四点中电场强度最大的是(　　)
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
13
C　
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解析：C　等差等势面的疏密反映电场强弱，等差等势面越密集的地方电场强度越大，则c点为电场强度最大的点，故选C。
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2．(2025·河南卷，4)如图，在与纸面平行的匀强电场中有a、b、c三点，其电势分别为6 V、4 V、2 V；a、b、c分别位于纸面内一等边三角形的顶点上。下列图中箭头表示a点电场的方向，则正确的是(　　)
13
C　
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解析：C　取ac边的中点d，则在匀强电场中有φd＝＝4 V＝φb，所以bd连线为该电场的等势线，又电场方向垂直于等势线，且由高电势指向低电势，可知a点的电场方向从a指向c，C正确。
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3．(2025·甘肃卷，5)如图，两极板不平行的电容器与直流电源相连，极板间形成非匀强电场，实线为电场线，虚线表示等势面。M、N点在同一等势面上，N、P点在同一电场线上。下列说法正确的是(　　)
A．M点的电势比P点的低
B．M点的电场强度比N点的小
C．负电荷从M点运动到P点，速度增大
D．负电荷从M点运动到P点，电场力做负功
D
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解析：D　上极板与电源正极相连，电势高，下极板与电源负极相连，电势低，电场线从上极板沿实线指向下极板，沿着电场线方向电势降低，φM＝φN>φP，A错误；电场线疏密程度表示电场强度，M处的电场线密集，故EM>EN，B错误；电势能Ep＝φq，φM>φP，负电荷q<0，故M点电势能低于P点电势能，电场力做负功，故M点的动能大于P点动能，M点速度大于P点速度，C错误、D正确。
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4．(2025·北京西城一模)如图所示，正点电荷Q周围的两个等势面是同心圆，两个带正电的试探电荷q1和q2分别置于M、N两点，将两个试探电荷移动到无穷远的过程中静电力做的功相等，取无穷远处的电势为零。下列说法正确的是(　　)
A．M点电势比N点电势低
B．q1在M点的电势能大于q2在N点的电势能
C．q1的电荷量大于q2的电荷量
D．若Q的电荷量变为原来的2倍，则M、N两点的电势差变为原来的2倍
13
D
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解析：D　因M点距离正电荷较近，可知M点电势比N点电
势高，选项A错误；电场力做功等于电势能的变化量，因
将两个试探电荷移动到无穷远的过程中静电力做的功相等，
可知q1在M点的电势能等于q2在N点的电势能，选项B错误；
由题意可知φMq1＝φNq2，因φM>φN 可得q113
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5．(2025·浙江1月选考，4)三个点电荷的电场线和等势线如图所示，其中的d、e与e、f两点间的距离相等，则(　　)
A．a点电势高于b点电势
B．a、c两点的电场强度相同
C．d、f间电势差为d、e间电势差的两倍
D．从a到b与从f到b，电场力对电子做的功相等
13
D
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解析：D　电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷，即电场线由高等势面指向低等势面，由题图可知b点的电势高于a点的电势，A错误；a、c两点电场强度方向沿电场线的切线方向，则a、c两点的电场强度不同，B错误；电场线的密疏反映电场强度的大小，从d→e→f电场线越来越稀疏，则电场强度
13
逐渐减小，所以de段的平均电场强度大于ef段的平均电场强度，又de＝ef，由公式U＝Ed可知|Ued|>|Uef|，则|Ufd|<2|Ued|，C错误；由题图可知，a、f两点在同一等势线上，则a、f两点的电势相等，则φa－φb＝φf－φb，即Uab＝Ufb，由静电力做的功与电势差的关系知Wab＝qUab，则从a到b与从f到b，电场力对电子做的功相等，D正确。
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6．(2025·云南卷，4)某介电电泳实验使用非匀强电场，该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为－2 V、－1 V、1 V、2 V的等势线上，则(　　)
A．a、b、c、d中a点电场强度最小
B．a、b、c、d中d点电场强度最大
C．一个电子从b点移动到c点电场力做功为2 eV
D．一个电子从a点移动到d点电势能增加了4 eV
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C　
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解析：C　由题意可知相邻两等势线间的电势差相等，则图中的等势线为等差等势线，由图可知a点的电场强度最大，c点的电场强度最小，A、B错误；一个电子从b点移动到c点的过程，电场力做功为Wbc＝qUbc，又q＝－e、Ubc＝φb－φc，代入数据解得Wbc＝2 eV，C正确；同理，一个电子从a点移动到d点的过程，电场力做功为Wad＝qUad，又Uad＝φa－φd，代入数据解得Wad＝4 eV，该过程电子的电势能减少了4 eV，D错误。
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7．(多选)(2024·甘肃卷，9)某带电体产生电场的等势面分布如图中实线所示，虚线是一带电粒子仅在此电场作用下的运动轨迹，M、N分别是运动轨迹与等势面b、a的交点。下列说法正确的是(　　)
A．粒子带负电荷
B．M点的电场强度比N点的小
C．粒子在运动轨迹上存在动能最小的点
D．粒子在M点的电势能大于在N点的电势能
BCD　
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解析：BCD　根据电场线与等势面垂直，且由电势高的等势面指向电势低的等势面可知，M点的电场线方向如图所示，由曲线运动中物体所受合力指向轨迹凹侧知，粒子所受静电力方向与电场强度方向相同，故粒子带正电荷，A错误；等差等势面中，等势面越密，电场强度越大，故M点的电场强度小于N点的电场强度，B正确；粒子离带电体最近时，克服静电力做功最多，动能最小，故粒子在运动轨迹上存在动能最小的点，C正确；由Ep＝φq，且φM＞φN，q＞0可知，粒子在M点的电势能大于在N点的电势能，D正确。
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[能力提升练]
8．(2026·浙江G12高三开学考)空间中存在一对异
种点电荷，其中A电荷带正电，B电荷带负电，电
场线和等势线如图所示，相邻等势面电势差相等。
其中a、d两点关于点电荷连线对称，下列说法正
确的是(　　)
A．a、d两处电场强度相同
B．A电荷的电荷量大于B电荷的电荷量
C．移动电子经过cd点和ab点，两个过程中电场力做的功相同
D．若带正电的粒子从a处静止释放，则粒子可能沿着电场线运动到b点
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C　
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解析：C　电场强度是矢量，a、d两处电场强度大小相等，但方向不同(电场强度方向沿电场线切线方向)，所以 a、d两处电场强度不同，A错误；电场线的疏密程度反映电场强度的大小，B电荷周围的电场线更密集，说明B电荷的电荷量大于 A 电荷的电荷量，B错误；相邻等势面电势差相等，设
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电势差为U，电子电荷量为q，c、d两点间的电势差与a、b两点间的电势差相等，根据电场力做功W＝qU，移动电子经过 cd 点和 ab 点，两个过程中电场力做的功相同，C正确；电场线是曲线，带正电的粒子从 a 处静止释放，粒子受到的电场力方向沿电场线切线方向，粒子不会沿着电场线运动到 b 点，D错误。
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9．(2025·浙江杭州模拟)太极图形象地表达了阴阳相互转化、相互统一的形式美与和谐美。图为由绝缘框架构成的太极图形，O为大圆圆心，O1为上侧阳半圆的圆心，O2为下侧阴半圆的圆心，O、O1、O2在同一竖直线上，A、B为大圆水平直径的两个顶点，C、D为大圆竖直直径的两个顶点，P、Q分别是AO和BO的中点。整个框架单位长度所带电荷量均相等，其中圆弧O—D—B—C带正电，圆弧O—C—A—D带负电，规定无穷远处电势为零，下列说法正确的是(　　)
A．O点的电场强度为0
B．O1、O2两点的电场强度相等
C．O1、O2两点的电势相等
D．P、Q两点的电势相等
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B　
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解析：B　把太极图沿竖直直径分成左右两部分，根据对称性，左右两部分在O点产生的场强大小相等，但方向并非相反(因为左右部分电荷分布关于竖直直径不对称) ，故O点合场强不为0，故A错误；电场线从正电荷出发终止于负电荷，画出该图电场线，由对称性可
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知，O1、O2两点的电场强度大小相等，方向相同，即O1、O2两点的电场强度相等，故B正确；靠近负电荷电势低，靠近正电荷电势高，O1点靠近负电荷，O2点靠近正电荷，所以O1点电势低于O2点电势，故C错误；P靠近负电荷，Q靠近正电荷，故Q点电势高于P点电势，故D错误。
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10．(2024·北京卷，11)如图所示，两个等量异种点电荷分别位于M、N两点，P、Q是MN连线上的两点，且MP＝QN。下列说法正确的是(　　)
A．P点电场强度比Q点电场强度大
B．P点电势与Q点电势相等
C．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，P点电场强度大小也变为原来的2倍
D．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，P、Q两点间电势差不变
C　
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解析：C　由等量异种点电荷的电场线分布特点知，P、Q两点电场强度大小相等，A错误；由沿电场线方向电势越来越低知，P点电势高于Q点电势，B错误；由电场叠加得P点电场强度E＝k，若仅两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，则P点电场强度大小也变为原来的2倍，同理Q点电场强度大小也变为原来的2倍，而PQ间距不变，故P、Q两点间电势差变大，C正确，D错误。
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11．(2025·河南部分示范高中一模)如图，半径为R的圆处于匀强电场中，电场方向与圆平面平行。a、b、c是圆周上的三个点，且△abc为正三角形。从b点在圆平面内向不同方向以相同的速率射出相同的带正电粒子，粒子经过圆周上各点中c点的动能最大，粒子从b点到c点静电力做功为W，粒子带电荷量为q，不计粒子所受重力，取b点电势为零，则下列说法正确的是(　　)
A．电场的方向由b指向c
B．c点的电势为
C．粒子从b点到a点静电力做功为－W
D．粒子在圆心O点的电势能为－W
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解析：D　粒子经过圆周上各点中c点的动能最大，而粒子带正电，可知c点电势最低，场强方向垂直于过c点的切线方向，即电场的方向由O指向c，选项A错误；粒子从b点到c点静电力做功为W，可知Ubc＝φb－φc＝， b点电势为
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零，可得φc＝－，选项B错误；因ab与电场线垂直，则ab为等势线，电势均为零，则粒子从b点到a点静电力做功为0，选项C错误；场强E＝，O点电势为φO＝－ER sin 30°＝－，粒子在圆心O点的电势能为EpO＝φOq＝－W，选项D正确。
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12．(多选)(2025·八省联考云南卷)空间中有方向与纸面平行的匀强电场，其中纸面内P、Q和R三点分别是等边三角形abc三边的中点，如图所示。已知三角形的边长为2 m，a、b和c三点的电势分别为1 V、2 V和3 V。下列说法正确的是(　　)
A．该电场的电场强度大小为1 V/m
B．电子在R点的电势能大于在P点的电势能
C．将一个电子从P点移动到Q点，电场力做功为＋0.5 eV
D．将一个电子从P点移动到R点，电场力做功为＋0.5 eV
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AD
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解析：AD　根据匀强电场中沿任意方向两点间中点的电势为两点电势的平均值，则有P点电势为φP＝＝2 V＝φb，可知bP是等势面，则场强方向由c点指向a点，场强大小E＝＝ V/m＝1 V/m，选项A正确；R点的电
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势为φR＝＝2.5 V>φP＝2 V，可知电子在R点的电势能小于在P点的电势能，选项B错误；Q点的电势为φQ＝＝1.5 V，将一个电子从P点移动到Q点，电场力做功为WPQ＝UPQ(－e)＝－0.5 eV，选项C错误；将一个电子从P点移动到R点，电场力做功为WPR＝UPR(－e)＝＋0.5 eV，选项D正确。
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[培优创新练]
13．(多选)(2025·山东卷，11)球心为O、半径为R的半球形光滑绝缘碗固定于水平地面上，带电荷量分别为＋2q和＋q的小球甲、乙刚好静止于碗内壁A、B两点，过O、A、B的截面如图所示，C、D均为圆弧上的点，OC沿竖直方向，∠AOC＝45°，OD⊥AB，A、B两点间距离为R，E、F为AB连线的三等分点。下列说法正确的是(　　)
A．甲的质量小于乙的质量
B．C点电势高于D点电势
C．E、F两点电场强度大小相等，方向相同
D．沿直线从O点到D点，电势先升高后降低
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BD
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解析：BD　设小球甲、乙间的库仑力大小为F，对小球甲、乙受力分析如图所示，小球甲沿绝缘碗切线方向由平衡条件有m甲g cos 45°＝F cos 60°，对小球乙沿绝缘碗切线方向由平衡条件有m乙g cos 15°＝F cos 60°，联立可得m甲>m乙，A错误；将小球甲、乙形
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成的电场视为A、B处为一对带电荷量均为＋q的等量同种点电荷与A处为带电荷量为＋q的点电荷形成电场的叠加，在A处单个点电荷形成的电场中，由于C点与点电荷的距离更近，则C点的电势更高，在等量同种点电荷形成的电场中，沿OD垂线方向从C点移动到OD上的过程，电势逐渐降低，然后继续移向D点，电势继续降低，综上由电势的叠加原理可知，C
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点电势高于D点电势，B正确；由点电荷产生场强公式和场强叠加原理可知，E点场强大小为EE＝，F点的场强大小EF＝，E、F两点场强的大小显然不相等，C错误；单独研究小球甲、乙形成的电场，沿直线从O点运动
到D点，电势均先升高后降低，所以由电势的
叠加原理可知，沿直线从O点运动到D点，电
势先升高后降低，D正确。
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第2讲　电场能的性质
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按ESC键退出全屏播放限时规范训练(45)　电场能的性质
(建议用时：40分钟　满分：72分)
(选择题1～7题每题5分，8～12题每题6分，13题7分，共72分)
[基础巩固练]
1．(2024·河北卷，2)我国古人最早发现了尖端放电现象，并将其用于生产生活，如许多古塔的顶端采用“伞状”金属饰物在雷雨天时保护古塔。雷雨中某时刻，一古塔顶端附近等势线分布如图所示，相邻等势线电势差相等，则a、b、c、d四点中电场强度最大的是(　　)
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
解析：C　等差等势面的疏密反映电场强弱，等差等势面越密集的地方电场强度越大，则c点为电场强度最大的点，故选C。
2．(2025·河南卷，4)如图，在与纸面平行的匀强电场中有a、b、c三点，其电势分别为6 V、4 V、2 V；a、b、c分别位于纸面内一等边三角形的顶点上。下列图中箭头表示a点电场的方向，则正确的是(　　)
解析：C　取ac边的中点d，则在匀强电场中有φd＝＝4 V＝φb，所以bd连线为该电场的等势线，又电场方向垂直于等势线，且由高电势指向低电势，可知a点的电场方向从a指向c，C正确。
3．(2025·甘肃卷，5)如图，两极板不平行的电容器与直流电源相连，极板间形成非匀强电场，实线为电场线，虚线表示等势面。M、N点在同一等势面上，N、P点在同一电场线上。下列说法正确的是(　　)
A．M点的电势比P点的低
B．M点的电场强度比N点的小
C．负电荷从M点运动到P点，速度增大
D．负电荷从M点运动到P点，电场力做负功
解析：D　上极板与电源正极相连，电势高，下极板与电源负极相连，电势低，电场线从上极板沿实线指向下极板，沿着电场线方向电势降低，φM＝φN>φP，A错误；电场线疏密程度表示电场强度，M处的电场线密集，故EM>EN，B错误；电势能Ep＝φq，φM>φP，负电荷q<0，故M点电势能低于P点电势能，电场力做负功，故M点的动能大于P点动能，M点速度大于P点速度，C错误、D正确。
4．(2025·北京西城一模)如图所示，正点电荷Q周围的两个等势面是同心圆，两个带正电的试探电荷q1和q2分别置于M、N两点，将两个试探电荷移动到无穷远的过程中静电力做的功相等，取无穷远处的电势为零。下列说法正确的是(　　)
A．M点电势比N点电势低
B．q1在M点的电势能大于q2在N点的电势能
C．q1的电荷量大于q2的电荷量
D．若Q的电荷量变为原来的2倍，则M、N两点的电势差变为原来的2倍
解析：D　因M点距离正电荷较近，可知M点电势比N点电势高，选项A错误；电场力做功等于电势能的变化量，因将两个试探电荷移动到无穷远的过程中静电力做的功相等，可知q1在M点的电势能等于q2在N点的电势能，选项B错误；由题意可知φMq1＝φNq2，因φM>φN 可得q15．(2025·浙江1月选考，4)三个点电荷的电场线和等势线如图所示，其中的d、e与e、f两点间的距离相等，则(　　)
A．a点电势高于b点电势
B．a、c两点的电场强度相同
C．d、f间电势差为d、e间电势差的两倍
D．从a到b与从f到b，电场力对电子做的功相等
解析：D　电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷，即电场线由高等势面指向低等势面，由题图可知b点的电势高于a点的电势，A错误；a、c两点电场强度方向沿电场线的切线方向，则a、c两点的电场强度不同，B错误；电场线的密疏反映电场强度的大小，从d→e→f电场线越来越稀疏，则电场强度逐渐减小，所以de段的平均电场强度大于ef段的平均电场强度，又de＝ef，由公式U＝Ed可知|Ued|>|Uef|，则|Ufd|<2|Ued|，C错误；由题图可知，a、f两点在同一等势线上，则a、f两点的电势相等，则φa－φb＝φf－φb，即Uab＝Ufb，由静电力做的功与电势差的关系知Wab＝qUab，则从a到b与从f到b，电场力对电子做的功相等，D正确。
6．(2025·云南卷，4)某介电电泳实验使用非匀强电场，该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为－2 V、－1 V、1 V、2 V的等势线上，则(　　)
A．a、b、c、d中a点电场强度最小
B．a、b、c、d中d点电场强度最大
C．一个电子从b点移动到c点电场力做功为2 eV
D．一个电子从a点移动到d点电势能增加了4 eV
解析：C　由题意可知相邻两等势线间的电势差相等，则图中的等势线为等差等势线，由图可知a点的电场强度最大，c点的电场强度最小，A、B错误；一个电子从b点移动到c点的过程，电场力做功为Wbc＝qUbc，又q＝－e、Ubc＝φb－φc，代入数据解得Wbc＝2 eV，C正确；同理，一个电子从a点移动到d点的过程，电场力做功为Wad＝qUad，又Uad＝φa－φd，代入数据解得Wad＝4 eV，该过程电子的电势能减少了4 eV，D错误。
7．(多选)(2024·甘肃卷，9)某带电体产生电场的等势面分布如图中实线所示，虚线是一带电粒子仅在此电场作用下的运动轨迹，M、N分别是运动轨迹与等势面b、a的交点。下列说法正确的是(　　)
A．粒子带负电荷
B．M点的电场强度比N点的小
C．粒子在运动轨迹上存在动能最小的点
D．粒子在M点的电势能大于在N点的电势能
解析：BCD　根据电场线与等势面垂直，且由电势高的等势面指向电势低的等势面可知，M点的电场线方向如图所示，由曲线运动中物体所受合力指向轨迹凹侧知，粒子所受静电力方向与电场强度方向相同，故粒子带正电荷，A错误；等差等势面中，等势面越密，电场强度越大，故M点的电场强度小于N点的电场强度，B正确；粒子离带电体最近时，克服静电力做功最多，动能最小，故粒子在运动轨迹上存在动能最小的点，C正确；由Ep＝φq，且φM＞φN，q＞0可知，粒子在M点的电势能大于在N点的电势能，D正确。
[能力提升练]
8．(2026·浙江G12高三开学考)空间中存在一对异种点电荷，其中A电荷带正电，B电荷带负电，电场线和等势线如图所示，相邻等势面电势差相等。其中a、d两点关于点电荷连线对称，下列说法正确的是(　　)
A．a、d两处电场强度相同
B．A电荷的电荷量大于B电荷的电荷量
C．移动电子经过cd点和ab点，两个过程中电场力做的功相同
D．若带正电的粒子从a处静止释放，则粒子可能沿着电场线运动到b点
解析：C　电场强度是矢量，a、d两处电场强度大小相等，但方向不同(电场强度方向沿电场线切线方向)，所以 a、d两处电场强度不同，A错误；电场线的疏密程度反映电场强度的大小，B电荷周围的电场线更密集，说明B电荷的电荷量大于 A 电荷的电荷量，B错误；相邻等势面电势差相等，设电势差为U，电子电荷量为q，c、d两点间的电势差与a、b两点间的电势差相等，根据电场力做功W＝qU，移动电子经过 cd 点和 ab 点，两个过程中电场力做的功相同，C正确；电场线是曲线，带正电的粒子从 a 处静止释放，粒子受到的电场力方向沿电场线切线方向，粒子不会沿着电场线运动到 b 点，D错误。
9．(2025·浙江杭州模拟)太极图形象地表达了阴阳相互转化、相互统一的形式美与和谐美。图为由绝缘框架构成的太极图形，O为大圆圆心，O1为上侧阳半圆的圆心，O2为下侧阴半圆的圆心，O、O1、O2在同一竖直线上，A、B为大圆水平直径的两个顶点，C、D为大圆竖直直径的两个顶点，P、Q分别是AO和BO的中点。整个框架单位长度所带电荷量均相等，其中圆弧O—D—B—C带正电，圆弧O—C—A—D带负电，规定无穷远处电势为零，下列说法正确的是(　　)
A．O点的电场强度为0
B．O1、O2两点的电场强度相等
C．O1、O2两点的电势相等
D．P、Q两点的电势相等
解析：B　把太极图沿竖直直径分成左右两部分，根据对称性，左右两部分在O点产生的场强大小相等，但方向并非相反(因为左右部分电荷分布关于竖直直径不对称) ，故O点合场强不为0，故A错误；电场线从正电荷出发终止于负电荷，画出该图电场线，由对称性可知，O1、O2两点的电场强度大小相等，方向相同，即O1、O2两点的电场强度相等，故B正确；靠近负电荷电势低，靠近正电荷电势高，O1点靠近负电荷，O2点靠近正电荷，所以O1点电势低于O2点电势，故C错误；P靠近负电荷，Q靠近正电荷，故Q点电势高于P点电势，故D错误。
10．(2024·北京卷，11)如图所示，两个等量异种点电荷分别位于M、N两点，P、Q是MN连线上的两点，且MP＝QN。下列说法正确的是(　　)
A．P点电场强度比Q点电场强度大
B．P点电势与Q点电势相等
C．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，P点电场强度大小也变为原来的2倍
D．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，P、Q两点间电势差不变
解析：C　由等量异种点电荷的电场线分布特点知，P、Q两点电场强度大小相等，A错误；由沿电场线方向电势越来越低知，P点电势高于Q点电势，B错误；由电场叠加得P点电场强度E＝k，若仅两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，则P点电场强度大小也变为原来的2倍，同理Q点电场强度大小也变为原来的2倍，而PQ间距不变，故P、Q两点间电势差变大，C正确，D错误。
11．(2025·河南部分示范高中一模)如图，半径为R的圆处于匀强电场中，电场方向与圆平面平行。a、b、c是圆周上的三个点，且△abc为正三角形。从b点在圆平面内向不同方向以相同的速率射出相同的带正电粒子，粒子经过圆周上各点中c点的动能最大，粒子从b点到c点静电力做功为W，粒子带电荷量为q，不计粒子所受重力，取b点电势为零，则下列说法正确的是(　　)
A．电场的方向由b指向c
B．c点的电势为
C．粒子从b点到a点静电力做功为－W
D．粒子在圆心O点的电势能为－W
解析：D　粒子经过圆周上各点中c点的动能最大，而粒子带正电，可知c点电势最低，场强方向垂直于过c点的切线方向，即电场的方向由O指向c，选项A错误；粒子从b点到c点静电力做功为W，可知Ubc＝φb－φc＝， b点电势为零，可得φc＝－，选项B错误；因ab与电场线垂直，则ab为等势线，电势均为零，则粒子从b点到a点静电力做功为0，选项C错误；场强E＝，O点电势为φO＝－ER sin 30°＝－，粒子在圆心O点的电势能为EpO＝φOq＝－W，选项D正确。
12．(多选)(2025·八省联考云南卷)空间中有方向与纸面平行的匀强电场，其中纸面内P、Q和R三点分别是等边三角形abc三边的中点，如图所示。已知三角形的边长为2 m，a、b和c三点的电势分别为1 V、2 V和3 V。下列说法正确的是(　　)
A．该电场的电场强度大小为1 V/m
B．电子在R点的电势能大于在P点的电势能
C．将一个电子从P点移动到Q点，电场力做功为＋0.5 eV
D．将一个电子从P点移动到R点，电场力做功为＋0.5 eV
解析：AD　根据匀强电场中沿任意方向两点间中点的电势为两点电势的平均值，则有P点电势为φP＝＝2 V＝φb，可知bP是等势面，则场强方向由c点指向a点，场强大小E＝＝ V/m＝1 V/m，选项A正确；R点的电势为φR＝＝2.5 V>φP＝2 V，可知电子在R点的电势能小于在P点的电势能，选项B错误；Q点的电势为φQ＝＝1.5 V，将一个电子从P点移动到Q点，电场力做功为WPQ＝UPQ(－e)＝－0.5 eV，选项C错误；将一个电子从P点移动到R点，电场力做功为WPR＝UPR(－e)＝＋0.5 eV，选项D正确。
[培优创新练]
13．(多选)(2025·山东卷，11)球心为O、半径为R的半球形光滑绝缘碗固定于水平地面上，带电荷量分别为＋2q和＋q的小球甲、乙刚好静止于碗内壁A、B两点，过O、A、B的截面如图所示，C、D均为圆弧上的点，OC沿竖直方向，∠AOC＝45°，OD⊥AB，A、B两点间距离为R，E、F为AB连线的三等分点。下列说法正确的是(　　)
A．甲的质量小于乙的质量
B．C点电势高于D点电势
C．E、F两点电场强度大小相等，方向相同
D．沿直线从O点到D点，电势先升高后降低
解析：BD　设小球甲、乙间的库仑力大小为F，对小球甲、乙受力分析如图所示，小球甲沿绝缘碗切线方向由平衡条件有m甲g cos 45°＝F cos 60°，对小球乙沿绝缘碗切线方向由平衡条件有m乙g cos 15°＝F cos 60°，联立可得m甲>m乙，A错误；将小球甲、乙形成的电场视为A、B处为一对带电荷量均为＋q的等量同种点电荷与A处为带电荷量为＋q的点电荷形成电场的叠加，在A处单个点电荷形成的电场中，由于C点与点电荷的距离更近，则C点的电势更高，在等量同种点电荷形成的电场中，沿OD垂线方向从C点移动到OD上的过程，电势逐渐降低，然后继续移向D点，电势继续降低，综上由电势的叠加原理可知，C点电势高于D点电势，B正确；由点电荷产生场强公式和场强叠加原理可知，E点场强大小为EE＝，F点的场强大小EF＝，E、F两点场强的大小显然不相等，C错误；单独研究小球甲、乙形成的电场，沿直线从O点运动到D点，电势均先升高后降低，所以由电势的叠加原理可知，沿直线从O点运动到D点，电势先升高后降低，D正确。第2讲　电场能的性质
目标 要求 　 　 1.理解电势、电势能、电势差的概念，掌握电势差与电场强度的关系。2.会用静电力做功与电势能变化的关系解决问题。3.会解决电场线、等势面及运动轨迹的综合问题。
一、电势能　电势　等势面
1．静电力做功
(1)特点：与路径无关，只与起始位置和终止位置有关。
(2)四种计算方法
①定义式法：WAB＝qEl cos α(匀强电场)。
②电势差法：WAB＝qUAB(适用于任何电场)。
③电势能变化法：WAB＝EpA－EpB。
④动能定理法：W静电力＋W其他力＝ΔEk。
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中某点具有的势能，等于将电荷从该点移到零势能位置时电场力所做的功。
(2)电场力做功与电势能变化的关系：电场力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp。
3．电势
(1)定义：电荷在电场中某点具有的电势能与它的电荷量的比值。
(2)定义式：φ＝。
(3)矢标性：电势是标量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比零电势点高(低)。
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同，通常取无限远或地球的电势为零。
4．等势面
(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面。
(2)特点
①同一等势面上的任意两点间移动电荷电场力不做功。
②等势面一定跟电场线垂直，即跟场强的方向垂直。
③电场线总是从电势较高的等势面指向电势较低的等势面。
④等差等势面越密的地方场强越大，反之越小。
(3)几种常见的电场的等势面的特点
电场 等势面(虚线)图样 特点
匀强电场 垂直于电场线的一簇平面
点电荷 的电场 以点电荷为球心的一簇球面
等量异种 点电荷的 电场 两电荷连线的中垂面为等势面
等量正 点电荷 的电场 在电荷连线上，中点电势最低；在中垂线上，中点电势最高
二、电势差　匀强电场中电势差与场强的关系
1．电势差
(1)定义：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时，电场力做的功与移动的电荷的电荷量的比值。
(2)定义式：UAB＝。
(3)电势差与电势的关系：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA。
(4)影响因素：电势差UAB由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及电场力做的功WAB无关，与零电势点的选取无关。
2．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)电势差与场强的关系式UAB＝Ed，其中d为电场中两点间沿场强方向的距离。
(2)在匀强电场中，场强在数值上等于沿场强方向每单位距离上降低的电势。
提醒：电场中，场强方向是指电势降落最快的方向。
1．判断正误
(1)电场力做功与重力做功相似，均与路径无关。(√)
(2)电场中电场强度为零的地方电势一定为零。(×)
(3)电场强度处处相同的区域内，电势一定也处处相同。(×)
(4)沿电场线方向电场强度越来越小，电势逐渐降低。(×)
(5)电势的大小由电场的性质决定，与零电势点的选取无关。(×)
(6)电场线越密集的地方，等差等势线也越密集。(√)
2．(2025·河北卷，1)《汉书》记载“姑句家矛端生火”，表明古人很早就发现了尖端放电现象。若带电长矛尖端附近某条电场线如图，则a、b、c、d四点中电势最高的是(　　)
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
解析：D　沿电场线方向电势逐渐降低，由题图可知，φd>φc>φb＞φa，D正确。
3．(人教版教材原题改编)关于电场中两点电势高低的判断，下列说法正确的是(　　)
A．若＋q在A点的电势能比在B点的大，则A点电势高于B点电势
B．若－q在C点的电势能比在D点的大，则C点电势高于D点电势
C．若－q在E点的电势能为负值，则E点电势为负值
D．电势降低的方向即为电场线方向
解析：A　由Ep＝qφ知，正电荷在电势越高的地方电势能越大，负电荷在电势越低的地方电势能越大，故A正确，B错误；根据Ep＝qφ可知，若－q在E点的电势能Ep为负值，则φ为正值，故C错误；电势降低最快的方向为电场线方向，故D错误。
4．(人教版教材原题改编)如图所示，匀强电场的电场强度为E，A与B两点间的距离为d，AB与电场线的夹角为α，则A、B两点间的电势差为(　　)
A．Ed B．Ed cos α
C．Ed sin α D．Ed tan α
解析：B　题图中A、B两点之间沿电场方向的距离为d cos α，则电势差UAB＝Ed cos α，故B正确，A、C、D错误。
考点一　电势高低与电势能大小的判断
　(2025·四川自贡一模)如图甲、乙、丙所示为三种带电体产生的电场线和等差等势面示意图，下列说法正确的是(　　)
图甲　　　　　 　图乙　　　　　　　图丙
A．甲图中A点和B点电场强度相同
B．乙图中带电体表面上C点和D点电势相等，电场强度大小相等
C．丙图中F点的电势小于E点电势
D．丙图中电子在E点的电势能大于在F点的电势能
解析：D　电场强度是矢量，甲图中A点和B点电场强度大小相等，方向不同，所以电场强度不相同，故A错误；孤立的带电导体本身是一个等势体，其表面是一个等势面，所以乙图中带电体表面上C点和D点电势相等，由电场线疏密程度知电场强度大小不相等，故B错误；丙图中下极板带正电，上极板带负电，电场线方向向上，沿电场线方向电势降低，所以丙图中F点电势高于E点电势，故C错误；根据Ep＝qφ可知，负电荷在电势高的地方电势能小，所以电子在F点电势能比较小，故D正确。
(1)静电力做正功，电势能减少；静电力做负功，电势能增加。
(2)正电荷在电势越高处电势能越大；负电荷在电势越高处电势能越小。
　(多选)(2024·广东卷，8)污水中的污泥絮体经处理后带负电，可利用电泳技术对其进行沉淀去污，基本原理如图所示。涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极，金属圆盘置于容器底部，金属棒插入污水中，形成如图所示的电场分布，其中实线为电场线，虚线为等势面。M点和N点在同一电场线上，M点和P点在同一等势面上。下列说法正确的有(　　)
A．M点的电势比N点的低
B．N点的电场强度比P点的大
C．污泥絮体从M点移到N点，电场力对其做正功
D．污泥絮体在N点的电势能比其在P点的大
解析：AC　M、N在一条电场线上，沿电场线方向电势降低，故φM<φN，A正确；电场线疏密程度反映电场强度大小，电场线密的地方电场强度大，故EN考点二　等势面、电场线与带电粒子运动轨迹
考向1　等势线的理解
　(2025·北京卷，8)某小山坡的等高线如图，M表示山顶，A、B是同一等高线上两点，MA、MB分别是沿左、右坡面的直滑道。山顶的小球沿滑道从静止滑下，不考虑阻力，则(　　)
A．小球沿MA运动的加速度比沿MB的大
B．小球分别运动到A、B点时速度大小不同
C．若把等高线看成某静电场的等势线，则A点电场强度比B点大
D．若把等高线看成某静电场的等势线，则右侧电势比左侧降落得快
解析：D　等高线越密集，坡面越陡，根据牛顿第二定律可得a＝g sin θ(θ为坡面与水平面夹角)，MB对应的等高线更密集，坡面更陡，小球沿着MB运动时加速度比沿着MA运动时加速度大，A错误；A、B在同一等高线，小球下落高度相同，根据机械能守恒，运动到A、B点时速度大小相同，B错误；等势线越密集，电场强度越大，B处等势线更密集，A点电场强度比B点小，C错误；等势线越密集，电势降落越快，右侧等势线更密集，右侧电势比左侧降落得快，D正确。
[教考衔接]　高考真题命题情境和考查角度与人教版必修第三册P37T3相近，两题都考查等势面的理解及应用，可看成教材习题的改编或延伸。
[教材原题]　如图是某初中地理教科书中的等高线图(图中数字的单位是米)。小山坡的左边a和右边b，哪一边的地势更陡些？如果把一个球分别从山坡左右两边滚下(把山坡的两边看成两个斜面，不考虑摩擦等阻碍)，哪边的加速度更大？
现在把该图看成一个描述电势高低的等势线图，图中的单位是伏特，a和b哪一边电势降落得快？哪一边的电场强度大？
答案：b　b
点拨：沿电场线方向电势逐渐降低。
考向2　等势面与运动轨迹综合问题
　(2026·陕晋宁青高三开学联考)如图所示，实线是等差等势线，虚线是某带电粒子的运动轨迹，a、b是运动轨迹上的两点。若带电粒子在运动过程中仅受静电力的作用，下列说法正确的是(　　)
A．粒子在a点的加速度大于在 b点的加速度
B．粒子一定是从b点运动到a点
C．a点的电势一定高于b点的电势
D．粒子可能做匀变速曲线运动
解析：A　等差等势线越密，电场强度越大，则a点场强大于b点场强，粒子在a点受到的电场力大于在b点受到的电场力，粒子在a点的加速度大于在b点的加速度，故A正确；根据题意无法判断粒子的运动方向，故B错误；粒子受到的静电力方向与等势线垂直，但由于粒子的电性未知，故无法比较电势高低，故C错误；由于电场不是匀强电场，粒子不可能做匀变速曲线运动，故D错误。故选A。
点拨
(1)带电粒子所受电场力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断电场强度的方向。
(2)若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加。
考向3　电场线和运动轨迹问题
　(多选)(2026·山东名校考试联盟高三摸底)细胞电转染的原理简化如图所示，两带电的平行金属板间，由于细胞的存在形成如图所示的电场。其中实线为电场线，关于y轴对称分布。虚线为带电的外源DNA进入细胞膜的轨迹，M、N为轨迹上的两点，P点与N点关于y轴对称，下列说法正确的是(　　)
A．N、P两点的电场强度相同
B．M点的电势比P点的电势低
C．DNA分子在M点的加速度比在N点小
D．DNA分子在M点的电势能比在N点大
解析：BCD　N、P两点的电场强度大小相同，但方向不同，A错误；沿电场线方向电势逐渐降低，N、P两点电势相等，N点电势高于M点电势，可知M点的电势比P点的电势低，B正确；N点电场线较M点密集，可知N点场强较大，则DNA分子在M点的加速度比在N点小，C正确；由图可知DNA分子从M点到N点电场力做正功，则动能增加，电势能减小，可知DNA分子在M点的电势能比在N点大，D正确。
考点三　电势差与电场强度的关系
　 (2025·浙江省名校协作体高三检测)电子焊接机中的电场线如图中虚线所示。圆弧形极板K为阴极，A为阳极，两极之间的距离为d，在两极之间加上高压U，有一电子在K极由静止被加速；不考虑电子重力，元电荷为e，则下列说法正确的是(　　)
A．由K到A电势逐渐降低
B．A和K之间的电场强度大小为
C．A极与K、A中点的电势差大于
D．电子由K运动到A的过程中，其电势能增加了eU
解析：C　沿着电场线的方向电势降低，由K到A为逆着电场线方向，因此电势升高，A错误；A和K之间的电场为非匀强电场，所以场强大小不是，B错误；从A到K电势降低，若K、A之间为匀强电场，则A极与K、A中点的电势差为U1＝，由题图可知，越靠近A极电场线密度越大，即越靠近A极电场强度越大，则A极与K、A中点的电势差大于，C正确；电子由K运动到A的过程中，静电力做正功，电势能减少了eU，D错误。
归纳总结
(1)根据E＝，等差等势面越密，电场强度越大。
(2)根据U＝Ed，距离相等的两点间，E越大，U越大。
　(多选)(2025·湖南卷，8)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内A点和B点的位置如图所示。电荷量为＋q、－q和＋2q的三个试探电荷先后分别置于O点、A点和B点时，电势能均为Ep(Ep>0)。下列说法正确的是(　　)
A．OA中点的电势为零
B．电场的方向与x轴正方向成60°角
C．电场强度的大小为
D．电场强度的大小为
解析：AD　根据题意结合电势能公式有Ep＝qφO＝－qφA＝2qφB，解得φO＝、φA＝－、φB＝，则OA中点的电势φ1＝＝0，A正确；在OA线段上找出一与B点等势的点M，可知xOM＝d，BM连线为等势线，与BM连线垂直的线为电场线，如图所示，则根据几何关系可知，电场线与x轴正方向夹角θ＝45°，根据场强与电势差的关系可知，E＝，B、C错误，D正确。
点拨
(1)匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图所示。
(2)匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图所示。
　如图所示，A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点，场强方向平行于正方形ABCD所在平面。已知A、B、C三点的电势分别为φA＝9 V，φB＝3 V，φC＝－3 V，则(　　)
A．D点的电势φD＝3 V，场强方向平行于AB方向
B．D点的电势φD＝3 V，场强方向平行于AC方向
C．D点的电势φD＝3 V，场强方向平行于BC方向
D．把一个电子从C移到B，电场力做功为4 eV
解析：B　匀强电场中，由公式U＝Ed可知，沿着任意方向，每前进相同的距离，电势差都相等，则电场线如图所示，连接AC，AC连线的中点为E，则E点的电势为φE＝ V＝3 V，连接BE，则BE为一条等势线，D点在BE连线上，所以D点电势φD＝3 V，电场线垂直于等势线，且由高电势指向低电势，故图中所示场强方向平行AC方向，故AC错误，B正确；把一个电子从C移到B，电场力做正功W＝qUCB＝(－e)·(－3－3)V＝6 eV，故D错误。
限时规范训练(45)　电场能的性质
(建议用时：40分钟　满分：72分)
(选择题1～7题每题5分，8～12题每题6分，13题7分，共72分)
[基础巩固练]
1．(2024·河北卷，2)我国古人最早发现了尖端放电现象，并将其用于生产生活，如许多古塔的顶端采用“伞状”金属饰物在雷雨天时保护古塔。雷雨中某时刻，一古塔顶端附近等势线分布如图所示，相邻等势线电势差相等，则a、b、c、d四点中电场强度最大的是(　　)
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
解析：C　等差等势面的疏密反映电场强弱，等差等势面越密集的地方电场强度越大，则c点为电场强度最大的点，故选C。
2．(2025·河南卷，4)如图，在与纸面平行的匀强电场中有a、b、c三点，其电势分别为6 V、4 V、2 V；a、b、c分别位于纸面内一等边三角形的顶点上。下列图中箭头表示a点电场的方向，则正确的是(　　)
解析：C　取ac边的中点d，则在匀强电场中有φd＝＝4 V＝φb，所以bd连线为该电场的等势线，又电场方向垂直于等势线，且由高电势指向低电势，可知a点的电场方向从a指向c，C正确。
3．(2025·甘肃卷，5)如图，两极板不平行的电容器与直流电源相连，极板间形成非匀强电场，实线为电场线，虚线表示等势面。M、N点在同一等势面上，N、P点在同一电场线上。下列说法正确的是(　　)
A．M点的电势比P点的低
B．M点的电场强度比N点的小
C．负电荷从M点运动到P点，速度增大
D．负电荷从M点运动到P点，电场力做负功
解析：D　上极板与电源正极相连，电势高，下极板与电源负极相连，电势低，电场线从上极板沿实线指向下极板，沿着电场线方向电势降低，φM＝φN>φP，A错误；电场线疏密程度表示电场强度，M处的电场线密集，故EM>EN，B错误；电势能Ep＝φq，φM>φP，负电荷q<0，故M点电势能低于P点电势能，电场力做负功，故M点的动能大于P点动能，M点速度大于P点速度，C错误、D正确。
4．(2025·北京西城一模)如图所示，正点电荷Q周围的两个等势面是同心圆，两个带正电的试探电荷q1和q2分别置于M、N两点，将两个试探电荷移动到无穷远的过程中静电力做的功相等，取无穷远处的电势为零。下列说法正确的是(　　)
A．M点电势比N点电势低
B．q1在M点的电势能大于q2在N点的电势能
C．q1的电荷量大于q2的电荷量
D．若Q的电荷量变为原来的2倍，则M、N两点的电势差变为原来的2倍
解析：D　因M点距离正电荷较近，可知M点电势比N点电势高，选项A错误；电场力做功等于电势能的变化量，因将两个试探电荷移动到无穷远的过程中静电力做的功相等，可知q1在M点的电势能等于q2在N点的电势能，选项B错误；由题意可知φMq1＝φNq2，因φM>φN 可得q15．(2025·浙江1月选考，4)三个点电荷的电场线和等势线如图所示，其中的d、e与e、f两点间的距离相等，则(　　)
A．a点电势高于b点电势
B．a、c两点的电场强度相同
C．d、f间电势差为d、e间电势差的两倍
D．从a到b与从f到b，电场力对电子做的功相等
解析：D　电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷，即电场线由高等势面指向低等势面，由题图可知b点的电势高于a点的电势，A错误；a、c两点电场强度方向沿电场线的切线方向，则a、c两点的电场强度不同，B错误；电场线的密疏反映电场强度的大小，从d→e→f电场线越来越稀疏，则电场强度逐渐减小，所以de段的平均电场强度大于ef段的平均电场强度，又de＝ef，由公式U＝Ed可知|Ued|>|Uef|，则|Ufd|<2|Ued|，C错误；由题图可知，a、f两点在同一等势线上，则a、f两点的电势相等，则φa－φb＝φf－φb，即Uab＝Ufb，由静电力做的功与电势差的关系知Wab＝qUab，则从a到b与从f到b，电场力对电子做的功相等，D正确。
6．(2025·云南卷，4)某介电电泳实验使用非匀强电场，该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为－2 V、－1 V、1 V、2 V的等势线上，则(　　)
A．a、b、c、d中a点电场强度最小
B．a、b、c、d中d点电场强度最大
C．一个电子从b点移动到c点电场力做功为2 eV
D．一个电子从a点移动到d点电势能增加了4 eV
解析：C　由题意可知相邻两等势线间的电势差相等，则图中的等势线为等差等势线，由图可知a点的电场强度最大，c点的电场强度最小，A、B错误；一个电子从b点移动到c点的过程，电场力做功为Wbc＝qUbc，又q＝－e、Ubc＝φb－φc，代入数据解得Wbc＝2 eV，C正确；同理，一个电子从a点移动到d点的过程，电场力做功为Wad＝qUad，又Uad＝φa－φd，代入数据解得Wad＝4 eV，该过程电子的电势能减少了4 eV，D错误。
7．(多选)(2024·甘肃卷，9)某带电体产生电场的等势面分布如图中实线所示，虚线是一带电粒子仅在此电场作用下的运动轨迹，M、N分别是运动轨迹与等势面b、a的交点。下列说法正确的是(　　)
A．粒子带负电荷
B．M点的电场强度比N点的小
C．粒子在运动轨迹上存在动能最小的点
D．粒子在M点的电势能大于在N点的电势能
解析：BCD　根据电场线与等势面垂直，且由电势高的等势面指向电势低的等势面可知，M点的电场线方向如图所示，由曲线运动中物体所受合力指向轨迹凹侧知，粒子所受静电力方向与电场强度方向相同，故粒子带正电荷，A错误；等差等势面中，等势面越密，电场强度越大，故M点的电场强度小于N点的电场强度，B正确；粒子离带电体最近时，克服静电力做功最多，动能最小，故粒子在运动轨迹上存在动能最小的点，C正确；由Ep＝φq，且φM＞φN，q＞0可知，粒子在M点的电势能大于在N点的电势能，D正确。
[能力提升练]
8．(2026·浙江G12高三开学考)空间中存在一对异种点电荷，其中A电荷带正电，B电荷带负电，电场线和等势线如图所示，相邻等势面电势差相等。其中a、d两点关于点电荷连线对称，下列说法正确的是(　　)
A．a、d两处电场强度相同
B．A电荷的电荷量大于B电荷的电荷量
C．移动电子经过cd点和ab点，两个过程中电场力做的功相同
D．若带正电的粒子从a处静止释放，则粒子可能沿着电场线运动到b点
解析：C　电场强度是矢量，a、d两处电场强度大小相等，但方向不同(电场强度方向沿电场线切线方向)，所以 a、d两处电场强度不同，A错误；电场线的疏密程度反映电场强度的大小，B电荷周围的电场线更密集，说明B电荷的电荷量大于 A 电荷的电荷量，B错误；相邻等势面电势差相等，设电势差为U，电子电荷量为q，c、d两点间的电势差与a、b两点间的电势差相等，根据电场力做功W＝qU，移动电子经过 cd 点和 ab 点，两个过程中电场力做的功相同，C正确；电场线是曲线，带正电的粒子从 a 处静止释放，粒子受到的电场力方向沿电场线切线方向，粒子不会沿着电场线运动到 b 点，D错误。
9．(2025·浙江杭州模拟)太极图形象地表达了阴阳相互转化、相互统一的形式美与和谐美。图为由绝缘框架构成的太极图形，O为大圆圆心，O1为上侧阳半圆的圆心，O2为下侧阴半圆的圆心，O、O1、O2在同一竖直线上，A、B为大圆水平直径的两个顶点，C、D为大圆竖直直径的两个顶点，P、Q分别是AO和BO的中点。整个框架单位长度所带电荷量均相等，其中圆弧O—D—B—C带正电，圆弧O—C—A—D带负电，规定无穷远处电势为零，下列说法正确的是(　　)
A．O点的电场强度为0
B．O1、O2两点的电场强度相等
C．O1、O2两点的电势相等
D．P、Q两点的电势相等
解析：B　把太极图沿竖直直径分成左右两部分，根据对称性，左右两部分在O点产生的场强大小相等，但方向并非相反(因为左右部分电荷分布关于竖直直径不对称) ，故O点合场强不为0，故A错误；电场线从正电荷出发终止于负电荷，画出该图电场线，由对称性可知，O1、O2两点的电场强度大小相等，方向相同，即O1、O2两点的电场强度相等，故B正确；靠近负电荷电势低，靠近正电荷电势高，O1点靠近负电荷，O2点靠近正电荷，所以O1点电势低于O2点电势，故C错误；P靠近负电荷，Q靠近正电荷，故Q点电势高于P点电势，故D错误。
10．(2024·北京卷，11)如图所示，两个等量异种点电荷分别位于M、N两点，P、Q是MN连线上的两点，且MP＝QN。下列说法正确的是(　　)
A．P点电场强度比Q点电场强度大
B．P点电势与Q点电势相等
C．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，P点电场强度大小也变为原来的2倍
D．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，P、Q两点间电势差不变
解析：C　由等量异种点电荷的电场线分布特点知，P、Q两点电场强度大小相等，A错误；由沿电场线方向电势越来越低知，P点电势高于Q点电势，B错误；由电场叠加得P点电场强度E＝k，若仅两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，则P点电场强度大小也变为原来的2倍，同理Q点电场强度大小也变为原来的2倍，而PQ间距不变，故P、Q两点间电势差变大，C正确，D错误。
11．(2025·河南部分示范高中一模)如图，半径为R的圆处于匀强电场中，电场方向与圆平面平行。a、b、c是圆周上的三个点，且△abc为正三角形。从b点在圆平面内向不同方向以相同的速率射出相同的带正电粒子，粒子经过圆周上各点中c点的动能最大，粒子从b点到c点静电力做功为W，粒子带电荷量为q，不计粒子所受重力，取b点电势为零，则下列说法正确的是(　　)
A．电场的方向由b指向c
B．c点的电势为
C．粒子从b点到a点静电力做功为－W
D．粒子在圆心O点的电势能为－W
解析：D　粒子经过圆周上各点中c点的动能最大，而粒子带正电，可知c点电势最低，场强方向垂直于过c点的切线方向，即电场的方向由O指向c，选项A错误；粒子从b点到c点静电力做功为W，可知Ubc＝φb－φc＝， b点电势为零，可得φc＝－，选项B错误；因ab与电场线垂直，则ab为等势线，电势均为零，则粒子从b点到a点静电力做功为0，选项C错误；场强E＝，O点电势为φO＝－ER sin 30°＝－，粒子在圆心O点的电势能为EpO＝φOq＝－W，选项D正确。
12．(多选)(2025·八省联考云南卷)空间中有方向与纸面平行的匀强电场，其中纸面内P、Q和R三点分别是等边三角形abc三边的中点，如图所示。已知三角形的边长为2 m，a、b和c三点的电势分别为1 V、2 V和3 V。下列说法正确的是(　　)
A．该电场的电场强度大小为1 V/m
B．电子在R点的电势能大于在P点的电势能
C．将一个电子从P点移动到Q点，电场力做功为＋0.5 eV
D．将一个电子从P点移动到R点，电场力做功为＋0.5 eV
解析：AD　根据匀强电场中沿任意方向两点间中点的电势为两点电势的平均值，则有P点电势为φP＝＝2 V＝φb，可知bP是等势面，则场强方向由c点指向a点，场强大小E＝＝ V/m＝1 V/m，选项A正确；R点的电势为φR＝＝2.5 V>φP＝2 V，可知电子在R点的电势能小于在P点的电势能，选项B错误；Q点的电势为φQ＝＝1.5 V，将一个电子从P点移动到Q点，电场力做功为WPQ＝UPQ(－e)＝－0.5 eV，选项C错误；将一个电子从P点移动到R点，电场力做功为WPR＝UPR(－e)＝＋0.5 eV，选项D正确。
[培优创新练]
13．(多选)(2025·山东卷，11)球心为O、半径为R的半球形光滑绝缘碗固定于水平地面上，带电荷量分别为＋2q和＋q的小球甲、乙刚好静止于碗内壁A、B两点，过O、A、B的截面如图所示，C、D均为圆弧上的点，OC沿竖直方向，∠AOC＝45°，OD⊥AB，A、B两点间距离为R，E、F为AB连线的三等分点。下列说法正确的是(　　)
A．甲的质量小于乙的质量
B．C点电势高于D点电势
C．E、F两点电场强度大小相等，方向相同
D．沿直线从O点到D点，电势先升高后降低
解析：BD　设小球甲、乙间的库仑力大小为F，对小球甲、乙受力分析如图所示，小球甲沿绝缘碗切线方向由平衡条件有m甲g cos 45°＝F cos 60°，对小球乙沿绝缘碗切线方向由平衡条件有m乙g cos 15°＝F cos 60°，联立可得m甲>m乙，A错误；将小球甲、乙形成的电场视为A、B处为一对带电荷量均为＋q的等量同种点电荷与A处为带电荷量为＋q的点电荷形成电场的叠加，在A处单个点电荷形成的电场中，由于C点与点电荷的距离更近，则C点的电势更高，在等量同种点电荷形成的电场中，沿OD垂线方向从C点移动到OD上的过程，电势逐渐降低，然后继续移向D点，电势继续降低，综上由电势的叠加原理可知，C点电势高于D点电势，B正确；由点电荷产生场强公式和场强叠加原理可知，E点场强大小为EE＝，F点的场强大小EF＝，E、F两点场强的大小显然不相等，C错误；单独研究小球甲、乙形成的电场，沿直线从O点运动到D点，电势均先升高后降低，所以由电势的叠加原理可知，沿直线从O点运动到D点，电势先升高后降低，D正确。

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