资源简介

限时规范训练(42)　用单摆测量重力加速度
(建议用时：40分钟　满分：60分)
1．(10分)(2024·广西卷，11)单摆可作为研究简谐运动的理想模型。
(1)制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式的目的是要保持摆动中________不变；
(2)用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙，则摆球直径为________cm；
甲　　　　 乙
丙
(3)若将一个周期为T的单摆，从平衡位置拉开5°的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐运动。当地重力加速度为g，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为________。
解析：(1)选择题图甲方式的目的是要保持单摆在摆动中摆长不变。
(2)由题图丙知，摆球直径为d＝1.1 cm＋6×0.1 mm＝1.16 cm。
(3)根据单摆的周期公式T＝2π可得单摆的摆长为L＝。从平衡位置拉开5°的角度处释放摆球，可得振幅为A＝2L sin 2.5°或近似写为A＝L sin 5°，以该位置为计时起点，根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为x＝A cos ωt＝cos 或写为x＝cos 。
答案：(1)摆长　(2)1.16　
(3)x＝cos 或写为x＝cos
2．(10分)(2026·山东名校联盟摸底)某实验小组利用如图所示装置测量当地重力加速度，其中光电门位于悬点的正下方。
部分实验步骤如下：
(1)先测出小球的直径d，再测出小球竖直悬挂时悬点与小球上端的距离l，则单摆的摆长L＝________，然后调整悬点的高度，使小球能正好通过光电门；
(2)保持细线拉直，使小球在竖直平面内偏离平衡位置一小段距离后静止释放，通过光电计时器记录下小球连续两次经过光电门的时间间隔为t0，则单摆的周期T＝________；
(3)多次改变细线的长度，重复(1)、(2)的操作，记录下多组摆长L和对应的周期T，作出T2-L图像，并得到该图像的斜率k＝4.05 s2/m，则当地重力加速度g＝________m/s2(π2≈9.86，计算结果保留3位有效数字)。
解析：(1)单摆的摆长L＝l＋。
(2)单摆的周期T＝2t0。
(3)根据T＝2π ，可得T2＝L，则k＝＝4.05 s2/m，可得g≈9.74 m/s2。
答案：(1)l＋　(2)2t0　(3)9.74
3．(10分)(2025·黑龙江哈尔滨六中二模)用单摆测量重力加速度的实验中。
(1)用刻度尺测出摆球球心与悬挂点之间的距离作为摆长l的测量值，用停表测量单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g＝________(用l、n、t表示)；
(2)实验时改变摆长，测出几组摆长l和对应的周期T的数据，作出l-T2图像，如图所示。利用A、B两点的坐标可写出重力加速度的表达式为g＝________；若摆球质量分布不均匀，该图像求得g的测量值________(选填“大于”“小于”或“等于”)真实值；
(3)请写出一个测量g的其他方法：_________________________________
_______________________________________________________________。
解析：(1)依题意，单摆周期为T＝，根据单摆的周期公式T＝2π，联立解得g＝。
(2)由第(1)问分析可知l＝T2，结合图像，可得，解得g＝，根据重力加速度的表达式，可知摆球质量分布不均匀不会影响(l2－l1)的结果，不影响图像斜率，所以不会对重力加速度的测量造成影响。该图像求得g的测量值等于真实值。
(3)利用自由落体运动测量重力加速度。
答案：(1)　(2)　等于　(3)见解析
4．(10分)(2026·八省联考，11)如图甲所示，将一个特殊的量角器竖直固定在支架上，量角器的零刻线与竖直杆对齐，圆心固定一个拉力传感器，并与电脑相连接(图中未画出)，将不可伸长的细线一端固定在拉力传感器上，悬点刚好与量角器的圆心重合，另一端与小钢球相连，就构成了可测拉力的摆。龙龙同学想利用此装置验证机械能守恒定律，实验步骤如下。
甲　 乙
丙
(1)实验前用螺旋测微器测量小钢球的直径D，结果如图乙所示，则D＝________mm；还测量了小钢球的质量m和小钢球自然悬垂时的悬线长L。
(2)让小钢球以较小的角度在竖直面内摆动，从计算机中得到拉力随时间的变化，图像如图丙所示，则当地的重力加速度大小为__________(用L、D、T表示)。
(3)将小钢球向左拉到某一高度，悬线伸直并与量角器平面平行，记录悬线处量角器的示数θ。
(4)由静止释放小钢球，小钢球摆动过程中传感器的最大示数为F。
(5)多次改变悬线与竖直方向的初始夹角θ，得到多组θ及其对应的传感器最大示数F，做F-cos θ图像，若小钢球下摆过程中机械能守恒，则图线为一条倾斜直线，且斜率k＝________(用m、L、D、F、T表示)。
解析：(1)螺旋测微器读数6.5 mm＋47.0×0.01 mm＝6.970 mm(6.969～6.971均给分)。
(2)由图丙知单摆的周期为2T，代入单摆的周期公式2T＝2π，可得g＝。
(5)对摆球从某一高度摆到最低点有mg(1－cos θ)＝mv2－0，又最低点F－mg＝m，解得F＝3mg－2mg cos θ，综合可得图像斜率k＝－2mg＝－。
答案：(1)6.970(6.969～6.971均可)　
(2)　(5)－
5．(10分)(2024·湖北卷，12)某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案，所用器材有：2 g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等。具体步骤如下：
①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图(a)所示。
图(a)
②用米尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。
③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。
④用数字计时器记录30次全振动所用时间t。
⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。
该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期T＝2π，其中k为弹簧的劲度系数，M为振子的质量。
图(b)
(1)由步骤④，可知振动周期T＝________。
(2)设弹簧的原长为l0，则l与g、l0、T的关系式为l＝________。
(3)由实验数据作出的l-T2图线如图(b)所示，可得g＝________ m/s2(保留3位有效数字，π2取9.87)。
(4)(多选)本实验的误差来源包括________。
A．空气阻力
B．弹簧质量不为零
C．光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
解析：(1)由于30次全振动所用的时间为t，则1次全振动的时间，即振动周期T＝。
(2)弹簧振子平衡时，由力的平衡条件有k(l－l0)＝Mg，又T＝2π，联立可得l＝l0＋T2。
(3)结合(2)问分析可知l-T2图线的斜率k＝，由题图(b)可知k＝ m/s2，联立解得g＝9.65 m/s2。
(4)空气阻力会使本实验中的振动系统做阻尼振动，即本实验中的振动系统并不是理想化的弹簧振子，而本实验中是将振动系统理想化为弹簧振子，从而测出重力加速度，所以空气阻力是本实验的一个误差来源，A正确；(2)问分析中将弹簧振子的质量等效为托盘及其上物体的总质量，但是实际上弹簧振子的质量为弹簧的质量和托盘及其上物体的总质量之和，所以弹簧质量不为零是本实验的一个误差来源，B正确；由于数字计时器记录的是30次全振动的时间，所以光电门的位置只要在托盘经过的位置均可，即光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置不是本实验的误差来源，C错误。
答案：(1)　(2)l0＋T2　(3)9.65(9.55～9.75均可)　(4)AB
6．(10分)(2026·广东惠州一调)某同学利用双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度。实验装置如图甲所示，测得每根悬线长为L，两悬点间距为2s，小球两侧为光电计数器。实验步骤如下，请回答下列问题：
甲
乙
(1)用游标卡尺测量小球的直径如图乙，则小球的直径D是__________mm。
(2)现将小球垂直于纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向的角度__________5°(选填“大于”或“小于”)。
(3)启动光电计数器，悬线偏离竖直方向后，由静止释放小球，当小球经过平衡位置O时，计时器开始计时，并计为第1次。当光电计数器上显示的计数次数刚好为n时，测得所用的时间为t，由此可知，单摆的振动周期T为________。
A．
C．
(4)根据上述实验方法测量得到的物理量，可得到当地重力加速度g＝__________(用字母L、s、D、T表示)。
解析：(1)小球的直径为D＝15 mm＋4×0.1 mm＝15.4 mm。
(2)现将小球垂直于纸面向外拉动，小球做简谐运动，则应使悬线偏离竖直方向的角度小于5°。
(3)当光电计数器显示数为“1”时是0时刻，故计数次数刚好为n时，周期次数为N＝，故单摆的振动周期T＝，故选D。
(4)摆长等于摆线的有效长度与小球的半径之和，即等效摆长为l＝，根据单摆的周期公式T＝2π，可得g＝l，代入数据得g＝。
答案：(1)15.4　(2)小于　(3)D　
(4)(共50张PPT)
实验9　用单摆测量重力加速度
1
强基础 固本增分
2
研考点 精准突破
3
限时规范训练
栏
目
导
引
强基础
固本增分
原理装置图

测摆长l和周期T，由T＝2π得g＝
实验步骤
1．做单摆：将细线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自然下垂。
2．测摆长：用量程1 m的刻度尺量出悬线长度l′(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径d，则单摆的摆长l＝l′＋。
3．测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度(5°左右)，然后释放小球，记下单摆n次(30～50次)全振动的总时间t(摆球第一次过平衡位置记为零)。算出一次全振动的时间，即为单摆的周期T＝。
4．改变摆长，重做几次实验。
注意事项
1．摆线要选1 m左右、柔软不易伸长的细线，不要过长或过短。
2．悬线长要待悬挂好球后再测，计算摆长时要将悬线长加上摆球半径。
3．单摆要在竖直平面内摆动，不要形成圆锥摆。
4．要从平衡位置开始计时，并数准全振动的次数。
数据 处理 1.公式法：g＝，算出重力加速度g的值，再求出g的平均值。
2．图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作T2-l的图像，由单摆周期公式得T2＝l，图像应是一条通过
原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k，即
可利用g＝求重力加速度。

研考点
精准突破
考点一　教材原型实验
(2025·海南卷，14)实验小组用如图所示单摆测量
当地重力加速度。
(1)用游标卡尺测得小球直径d＝20 mm，刻度尺测得摆
线长l＝79 cm，则单摆摆长L________cm(保留四位有效
数字)；
(2)拉动小球，使摆线伸直且与竖直方向的夹角为θ(θ<5°)，无初速度的释放小球，小球经过________点(选填“最高”或“最低”)时开始计时，记录小球做了30次全振动用时t＝54.00 s，则单摆周期T＝________s，由此可得当地重力加速度g＝________m/s2(π2≈10)。
解析：(1)单摆的摆长为L＝l＋＝80.00 cm。
(2)为减小实验计时误差，需小球经过最低点时开始计时；单摆周期T＝ s＝1.8 s ，根据单摆周期公式T＝2π，可得g＝，代入数值得g≈9.88 m/s2。
答案：(1)80.00　(2)最低　1.8　9.88
(2025·河南省高考适应性演练，12)学生实验小组利用单摆测量当地的重力加速度。实验器材有：铁架台、细线、摆球、秒表、卷尺等。完成下列问题：
(1)实验时，将细线的一端连接摆球，另一端固定在铁架台上O
点，如图1所示。然后将摆球拉离平衡位置，使细线与竖直方向
成夹角θ(θ<5°)，释放摆球，让单摆开始摆动。为了减小计时误
差，应该在摆球摆至________(填“最低点”或“最高点”)时开
始计时。
(2)选取摆线长度为100.0 cm时，测得摆球摆动30个完整周期的
时间(t)为60.60 s。若将摆线长度视为摆长，求得重力加速度大小为________m/s2。(取π2＝9.870，结果保留3位有效数字)
图1
(3)选取不同的摆线长度重复上述实验，相关数据汇总在下表中，在坐标纸上作出摆线长度l和单摆周期的二次方T2的关系曲线，如图2所示。
l/m t/s T2/s2
0.800 54.17 3.26
0.900 57.54 3.68
1.000 60.60 4.08
1.100 63.55 4.49
1.200 66.34 4.89
图2
设直线斜率为k，则重力加速度可表示为g＝________(用k表示)。由图2求得当地的重力加速度大小为________m/s2(结果保留3位有效数字)。
(4)用图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确，原因是________________________________________。
图2
解析：(1)摆球经过最低点的位置时速度最大，在相等的距离误差上引起的时间误差最小，测的周期误差最小，所以为了减小测量周期的误差，摆球应选经过最低点的位置时开始计时。
(2)根据题意可知小球摆动的周期T＝＝2.02 s，根据单摆周期公式T＝2π，其中l＝100.0 cm＝1.000 m，代入数据可得g≈9.68 m/s2。
图1
(3)根据单摆周期公式T＝2π，整理可得l＝·T2，可知l-T2图线斜率k＝，可得重力加速度可表示为g＝4π2k。由图2求得当地的重力加速度大小为g＝4π2× m/s2＝9.87 m/s2。
(4)图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结
果更精确，其原因是用图像法处理数据时，无论是
否考虑摆球的半径，图像斜率均为，对g的测量
没有影响。
答案：(1)最低点　(2)9.68　(3)4π2k　9.87　(4)见解析
图2
考点二　拓展创新实验
(2025·山东临沂质检)班里同学组织春游爬山，在山顶发现一棵合抱古树，他们想知道这棵古树的树围。由于未带卷尺，只备有救生绳(质量不计且不可伸长)，于是他们利用单摆原理对古树的树围进行粗略测量。他们用救生绳绕树一周，截取长度等于树干周长的一段(已预留出打结部分的长度)，然后在这段救生绳的一端系一个小石块。接下来的操作步骤为：
Ⅰ.将截下的救生绳的另一端固定在一根离地足够高的树枝上；
Ⅱ.移动小石块，使伸直的救生绳偏离竖直方向一个小于5°的角度，然后由静止释放，使小石块在同一竖直面内摆动；
Ⅲ.从小石块经过平衡位置(已经选定参考位置)开始，用手机中的“秒表”软件计时(记为第1次经过平衡位置)，至小石块第41次经过平衡位置，测出这一过程所用的总时间为94.20 s。
(1)根据步骤Ⅲ，可得小石块摆动的周期T＝________s。
(2)经查询可知该地区的重力加速度为9.79 m/s2，可估得该古树的树围C＝______m。(结果保留2位有效数字)
(3)若空气阻力的影响可不计，同时小石块摆动的周期T测量结果准确，考虑到该山的海拔较高，则该古树树围的测量值________(选填“>”“<”或“＝”)真实值。
解析：(1)从小石块经过平衡位置(已经选定参考位置)开始，用手机中的“秒表”软件计时(记为第1次经过平衡位置)，至小石块第41次经过平衡位置，共经历n＝＝20个周期，总时间为nT＝t，解得T＝＝4.71 s。
(2)根据单摆的周期公式T＝2π，解得摆长为l＝ m≈5.5 m，摆长即为古树的树围，即C＝l＝5.5 m。
(3)山顶的海拔较高，所以实际重力加速度较小，而计算所使用的重力加速度偏大，所以该古树树围的测量值>真实值。
答案：(1)4.71　(2)5.5　(3)>
[创新角度分析]　本题的创新点在于利用测重力加速度的原理，结合单摆的周期公式计算摆长，进而测量古树的树围，替代用单摆测量重力加速度。
(2024·黑吉辽卷，12)图(a)为一套半圆拱形七色彩虹积木示意图，不同颜色的积木直径不同。某同学通过实验探究这套积木小幅摆动时周期T与外径D之间的关系。
(1)用刻度尺测量不同颜色积木的外径D，其中对蓝色积木的某次测量如图(b)所示，从图中读出D＝________cm。
图(a)　 图(b)
(2)将一块积木静置于硬质水平桌面上，设置积木左端平衡位置的参考点O，将积木的右端按下后释放，如图(c)所示。当积木左端某次与O点等高时记为第0次并开始计时，第20次时停止计时，这一过程中积木摆动了________个周期。
图(c)
(3)换用其他积木重复上述操作，测得多组数据。为了探究T与D之间的函数关系，可用它们的自然对数作为横、纵坐标绘制图像进行研究，数据如下表所示：
颜色 红 橙 黄 绿 青 蓝 紫
ln D 2.9392 2.7881 2.5953 2.4849 2.197 … 1.792
ln T －0.45 －0.53 －0.56 －0.65 －0.78 －0.92 －1.02
根据表中数据绘制出ln T-ln D图像如图
(d)所示，则T与D的近似关系为_____。
A．T∝　　　　　　
B．T∝D2
C．T∝
D．T∝
(4)请写出一条提高该实验精度的改进措施：_____________________。
图(d)
解析：(1)根据刻度尺的读数规则可知D＝7.55 cm。
(2)结合单摆的运动分析可知，积木左端与O点等高后，向下(向上)运动后再次与O点等高，之后向上(向下)运动后又一次与O点等高，此过程为一个周期，则题述过程中积木摆动了10个周期。
图(a)　 图(b)
图(c)
(3)根据题图(d)有ln T＝k ln D＋b，其中k＝，则有ln T＝ln D＋b＝ln ＋b，根据数学知识可得T与D的近似关系为T∝，A正确。
(4)可以多次测量同一颜色的积木的周期求平均值，从而减小实验误差。
图(d)
答案：(1)7.55(7.54～7.56均可)　(2)10　(3)A　(4)多次测量同一颜色的积木的周期求平均值(合理即可)
[创新角度分析]
1．实验目的创新：由“用单摆测量重力加速度”创新为“积木小幅摆动时周期T与外径D之间的关系”。
2．数据处理创新：绘制出ln T-ln D图像分析数据。
3
4
5
6
1
2
限时规范
训练(42)　用单摆测量重力加速度
(建议用时：40分钟　满分：60分)
1．(10分)(2024·广西卷，11)单摆可作为研究简谐运动的理想模型。
(1)制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式的目的是要保持摆动中________不变；
(2)用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如
图丙，则摆球直径为____cm；
甲　　　　 乙
丙
3
4
5
6
1
2
(3)若将一个周期为T的单摆，从平衡位置拉开5°的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐运动。当地重力加速度为g，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为________。
3
4
5
6
1
2
解析：(1)选择题图甲方式的目的是要保持单摆在摆动中摆长不变。
(2)由题图丙知，摆球直径为d＝1.1 cm＋6×0.1 mm＝1.16 cm。
甲　　　　 乙
丙
3
4
5
6
1
2
(3)根据单摆的周期公式T＝2π可得单摆的摆长为L＝。从平衡位置拉开5°的角度处释放摆球，可得振幅为A＝2L sin 2.5°或近似写为A＝L sin 5°，以该位置为计时起点，根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为x＝A cos ωt＝cos 或写为x＝cos 。
答案：(1)摆长　(2)1.16　
(3)x＝cos 或写为x＝cos
2
1
3
4
5
6
2．(10分)(2026·山东名校联盟摸底)某实验小组利用如图所示装置测量当地重力加速度，其中光电门位于悬点的正下方。
部分实验步骤如下：
(1)先测出小球的直径d，再测出小球竖直悬挂时悬点与小球上端的距离l，则单摆的摆长L＝________，然后调整悬点的高度，使小球能正好通过光电门；
2
1
3
4
5
6
(2)保持细线拉直，使小球在竖直平面内偏离平衡位置一小段距离后静止释放，通过光电计时器记录下小球连续两次经过光电门的时间间隔为t0，则单摆的周期T＝________；
(3)多次改变细线的长度，重复(1)、(2)的操作，记录下多组摆
长L和对应的周期T，作出T2-L图像，并得到该图像的斜率k＝
4.05 s2/m，则当地重力加速度g＝________m/s2(π2≈9.86，计算
结果保留3位有效数字)。
2
1
3
4
5
6
解析：(1)单摆的摆长L＝l＋。
(2)单摆的周期T＝2t0。
(3)根据T＝2π ，可得T2＝L，则k＝＝4.05 s2/m，
可得g≈9.74 m/s2。
答案：(1)l＋　(2)2t0　(3)9.74
2
3
1
4
5
6
3．(10分)(2025·黑龙江哈尔滨六中二模)用单摆测量重力加速度的实验中。
(1)用刻度尺测出摆球球心与悬挂点之间的距离作为摆长l的测量值，用停表测量单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g＝________(用l、n、t表示)；
2
3
1
4
5
6
(2)实验时改变摆长，测出几组摆长l和对应的周期T的数据，作出l-T2图像，如图所示。利用A、B两点的坐标可写出重力加速度的表达式为g＝________；若摆球质量分布不均匀，该图像求得g的测量值________(选填“大于”“小于”或“等于”)真实值；
(3)请写出一个测量g的其他方法：_________________________________
_____________________________________________________________。
2
3
1
4
5
6
解析：(1)依题意，单摆周期为T＝，根据单摆的周期
公式T＝2π，联立解得g＝。
(2)由第(1)问分析可知l＝T2，结合图像，可得
，解得g＝，根据重力加速度的表达式，可知摆球质量分布不均匀不会影响(l2－l1)的结果，不影响图像斜率，所以不会对重力加速度的测量造成影响。该图像求得g的测量值等于真实值。
(3)利用自由落体运动测量重力加速度。
答案：(1)　(2)　等于　(3)见解析
2
3
4
1
5
6
4．(10分)(2026·八省联考，11)如图甲所示，将一个特殊的量角器竖直固定在支架上，量角器的零刻线与竖直杆对齐，圆心固定一个拉力传感器，并与电脑相连接(图中未画出)，将不可伸长的细线一端固定在拉力传感器上，悬点刚好与量角器的圆心重合，另一端与小钢球相连，就构成了可测拉力的摆。龙龙同学想利用此装置验证机械能守恒定律，实验步骤如下。
甲
2
3
4
5
6
1
(1)实验前用螺旋测微器测量小钢球的直径D，结果如图乙所示，则D＝________mm；还测量了小钢球的质量m和小钢球自然悬垂时的悬线长L。
(2)让小钢球以较小的角度在竖直面内摆动，从计算机中得到拉力随时间的变化，图像如图丙所示，则当地的重力加速度大小为__________(用L、D、T表示)。
乙 丙
2
3
4
5
6
1
(3)将小钢球向左拉到某一高度，悬线伸直并与量角器平面平行，记录悬线处量角器的示数θ。
(4)由静止释放小钢球，小钢球摆动过程中传感器的最大示数为F。
(5)多次改变悬线与竖直方向的初始夹角θ，得到多组θ及其对应的传感器最大示数F，做F-cos θ图像，若小钢球下摆过程中机械能守恒，则图线为一条倾斜直线，且斜率k＝________(用m、L、D、F、T表示)。
2
3
4
5
6
1
解析：(1)螺旋测微器读数6.5 mm＋47.0×0.01 mm＝6.970 mm(6.969～6.971均给分)。
(2)由图丙知单摆的周期为2T，代入单摆的周期公式2T＝2π，可得g＝。
丙
2
3
4
5
6
1
(5)对摆球从某一高度摆到最低点有mg(1－cos θ)＝mv2－0，又最低点F－mg＝m，解得F＝3mg－2mg cos θ，综合可得图像斜率k＝－2mg＝－。
答案：(1)6.970(6.969～6.971均可)　
(2)　(5)－
2
3
4
5
1
6
5．(10分)(2024·湖北卷，12)某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案，所用器材有：2 g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等。具体步骤如下：
①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图(a)所示。
图(a)
②用米尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。
③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。
④用数字计时器记录30次全振动所用时间t。
2
3
4
5
1
6
⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。
该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期T＝2π，其中k为弹簧的劲度系数，M为振子的质量。
(1)由步骤④，可知振动周期T＝________。
(2)设弹簧的原长为l0，则l与g、l0、T的关系式为l＝________。
2
3
4
5
1
6
(3)由实验数据作出的l-T2图线如图(b)所示，可得g＝________ m/s2(保留3位有效数字，π2取9.87)。
图(b)
2
3
4
5
1
6
(4)(多选)本实验的误差来源包括________。
A．空气阻力
B．弹簧质量不为零
C．光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
2
3
4
5
1
6
解析：(1)由于30次全振动所用的时间为t，则1次全振动的时间，即振动周期T＝。
(2)弹簧振子平衡时，由力的平衡条件有
k(l－l0)＝Mg，又T＝2π，联立可得l＝
l0＋T2。
(3)结合(2)问分析可知l-T2图线的斜率k＝
，由题图(b)可知k＝ m/s2，联
立解得g＝9.65 m/s2。
图(b)
2
3
4
5
1
6
(4)空气阻力会使本实验中的振动系统做阻尼振动，即本实验中的振动系统并不是理想化的弹簧振子，而本实验中是将振动系统理想化为弹簧振子，从而测出重力加速度，所以空气阻力是本实验的一个误差来源，A正确；(2)问分析中将弹簧振子的质量等效为托盘及其上物体的总质量，但是实际上弹簧振子的质量为弹簧的质量和托盘及其上物体的总质量之和，所以弹簧质量不为零是本实验的一个误差来源，B正确；由于数字计时器记录的是30次全振动的时间，所以光电门的位置只要在托盘经过的位置均可，即光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置不是本实验的误差来源，C错误。
答案：(1)　(2)l0＋T2　(3)9.65(9.55～9.75均可)　(4)AB
2
3
4
5
6
1
6．(10分)(2026·广东惠州一调)某同学利用双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度。实验装置如图甲所示，测得每根悬线长为L，两悬点间距为2s，小球两侧为光电计数器。实验步骤如下，请回答下列问题：
图甲
2
3
4
5
6
1
(1)用游标卡尺测量小球的直径如图乙，则小球的直径D是_______mm。
(2)现将小球垂直于纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向的角度_______ 5°(选填“大于”或“小于”)。
图乙
2
3
4
5
6
1
(3)启动光电计数器，悬线偏离竖直方向后，由静止释放小球，当小球经过平衡位置O时，计时器开始计时，并计为第1次。当光电计数器上显示的计数次数刚好为n时，测得所用的时间为t，由此可知，单摆的振动周期T为________。
A．
C．
(4)根据上述实验方法测量得到的物理量，可得到当地重力加速度g＝__________(用字母L、s、D、T表示)。
2
3
4
5
6
1
解析：(1)小球的直径为D＝15 mm＋4×0.1 mm＝15.4 mm。
(2)现将小球垂直于纸面向外拉动，小球做简谐运动，则应使悬线偏离竖直方向的角度小于5°。
(3)当光电计数器显示数为“1”时是0时刻，故计数次数刚好为n时，周期次数为N＝，故单摆的振动周期T＝，故选D。
(4)摆长等于摆线的有效长度与小球的半径之和，即等效摆长为l＝，根据单摆的周期公式T＝2π，可得g＝l，代入数据得g＝。
答案：(1)15.4　(2)小于　(3)D　(4)
实验9　用单摆测量重力加速度
点击进入WORD文档
按ESC键退出全屏播放实验9　用单摆测量重力加速度
原理装置图 实验步骤 注意事项
测摆长l和周期T，由T＝2π得g＝ 1.做单摆：将细线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自然下垂。 2．测摆长：用量程1 m的刻度尺量出悬线长度l′(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径d，则单摆的摆长l＝l′＋。 3．测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度(5°左右)，然后释放小球，记下单摆n次(30～50次)全振动的总时间t(摆球第一次过平衡位置记为零)。算出一次全振动的时间，即为单摆的周期T＝。 4．改变摆长，重做几次实验。 1.摆线要选1 m左右、柔软不易伸长的细线，不要过长或过短。 2．悬线长要待悬挂好球后再测，计算摆长时要将悬线长加上摆球半径。 3．单摆要在竖直平面内摆动，不要形成圆锥摆。 4．要从平衡位置开始计时，并数准全振动的次数。
数据 处理 1.公式法：g＝，算出重力加速度g的值，再求出g的平均值。 2．图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作T2-l的图像，由单摆周期公式得T2＝l，图像应是一条通过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝求重力加速度。
考点一　教材原型实验
　(2025·海南卷，14)实验小组用如图所示单摆测量当地重力加速度。
(1)用游标卡尺测得小球直径d＝20 mm，刻度尺测得摆线长l＝79 cm，则单摆摆长L________cm(保留四位有效数字)；
(2)拉动小球，使摆线伸直且与竖直方向的夹角为θ(θ<5°)，无初速度的释放小球，小球经过________点(选填“最高”或“最低”)时开始计时，记录小球做了30次全振动用时t＝54.00 s，则单摆周期T＝________s，由此可得当地重力加速度g＝________m/s2(π2≈10)。
解析：(1)单摆的摆长为L＝l＋＝80.00 cm。
(2)为减小实验计时误差，需小球经过最低点时开始计时；单摆周期T＝ s＝1.8 s ，根据单摆周期公式T＝2π，可得g＝，代入数值得g≈9.88 m/s2。
答案：(1)80.00　(2)最低　1.8　9.88
　(2025·河南省高考适应性演练，12)学生实验小组利用单摆测量当地的重力加速度。实验器材有：铁架台、细线、摆球、秒表、卷尺等。完成下列问题：
(1)实验时，将细线的一端连接摆球，另一端固定在铁架台上O点，如图1所示。然后将摆球拉离平衡位置，使细线与竖直方向成夹角θ(θ<5°)，释放摆球，让单摆开始摆动。为了减小计时误差，应该在摆球摆至________(填“最低点”或“最高点”)时开始计时。
图1
(2)选取摆线长度为100.0 cm时，测得摆球摆动30个完整周期的时间(t)为60.60 s。若将摆线长度视为摆长，求得重力加速度大小为________m/s2。(取π2＝9.870，结果保留3位有效数字)
(3)选取不同的摆线长度重复上述实验，相关数据汇总在下表中，在坐标纸上作出摆线长度l和单摆周期的二次方T2的关系曲线，如图2所示。
l/m t/s T2/s2
0.800 54.17 3.26
0.900 57.54 3.68
1.000 60.60 4.08
1.100 63.55 4.49
1.200 66.34 4.89
图2
设直线斜率为k，则重力加速度可表示为g＝________(用k表示)。由图2求得当地的重力加速度大小为________m/s2(结果保留3位有效数字)。
(4)用图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确，原因是________________________________________。
解析：(1)摆球经过最低点的位置时速度最大，在相等的距离误差上引起的时间误差最小，测的周期误差最小，所以为了减小测量周期的误差，摆球应选经过最低点的位置时开始计时。
(2)根据题意可知小球摆动的周期T＝＝2.02 s，根据单摆周期公式T＝2π，其中l＝100.0 cm＝1.000 m，代入数据可得g≈9.68 m/s2。
(3)根据单摆周期公式T＝2π，整理可得l＝·T2，可知l-T2图线斜率k＝，可得重力加速度可表示为g＝4π2k。由图2求得当地的重力加速度大小为g＝4π2× m/s2＝9.87 m/s2。
(4)图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确，其原因是用图像法处理数据时，无论是否考虑摆球的半径，图像斜率均为，对g的测量没有影响。
答案：(1)最低点　(2)9.68　(3)4π2k　9.87　(4)见解析
考点二　拓展创新实验
　(2025·山东临沂质检)班里同学组织春游爬山，在山顶发现一棵合抱古树，他们想知道这棵古树的树围。由于未带卷尺，只备有救生绳(质量不计且不可伸长)，于是他们利用单摆原理对古树的树围进行粗略测量。他们用救生绳绕树一周，截取长度等于树干周长的一段(已预留出打结部分的长度)，然后在这段救生绳的一端系一个小石块。接下来的操作步骤为：
Ⅰ.将截下的救生绳的另一端固定在一根离地足够高的树枝上；
Ⅱ.移动小石块，使伸直的救生绳偏离竖直方向一个小于5°的角度，然后由静止释放，使小石块在同一竖直面内摆动；
Ⅲ.从小石块经过平衡位置(已经选定参考位置)开始，用手机中的“秒表”软件计时(记为第1次经过平衡位置)，至小石块第41次经过平衡位置，测出这一过程所用的总时间为94.20 s。
(1)根据步骤Ⅲ，可得小石块摆动的周期T＝________s。
(2)经查询可知该地区的重力加速度为9.79 m/s2，可估得该古树的树围C＝______m。(结果保留2位有效数字)
(3)若空气阻力的影响可不计，同时小石块摆动的周期T测量结果准确，考虑到该山的海拔较高，则该古树树围的测量值________(选填“>”“<”或“＝”)真实值。
解析：(1)从小石块经过平衡位置(已经选定参考位置)开始，用手机中的“秒表”软件计时(记为第1次经过平衡位置)，至小石块第41次经过平衡位置，共经历n＝＝20个周期，总时间为nT＝t，解得T＝＝4.71 s。
(2)根据单摆的周期公式T＝2π，解得摆长为l＝ m≈5.5 m，摆长即为古树的树围，即C＝l＝5.5 m。
(3)山顶的海拔较高，所以实际重力加速度较小，而计算所使用的重力加速度偏大，所以该古树树围的测量值>真实值。
答案：(1)4.71　(2)5.5　(3)>
[创新角度分析]　本题的创新点在于利用测重力加速度的原理，结合单摆的周期公式计算摆长，进而测量古树的树围，替代用单摆测量重力加速度。
　(2024·黑吉辽卷，12)图(a)为一套半圆拱形七色彩虹积木示意图，不同颜色的积木直径不同。某同学通过实验探究这套积木小幅摆动时周期T与外径D之间的关系。
(1)用刻度尺测量不同颜色积木的外径D，其中对蓝色积木的某次测量如图(b)所示，从图中读出D＝________cm。
图(a)　 图(b) 图(c)
(2)将一块积木静置于硬质水平桌面上，设置积木左端平衡位置的参考点O，将积木的右端按下后释放，如图(c)所示。当积木左端某次与O点等高时记为第0次并开始计时，第20次时停止计时，这一过程中积木摆动了________个周期。
(3)换用其他积木重复上述操作，测得多组数据。为了探究T与D之间的函数关系，可用它们的自然对数作为横、纵坐标绘制图像进行研究，数据如下表所示：
颜色 红 橙 黄 绿 青 蓝 紫
ln D 2.9392 2.7881 2.5953 2.4849 2.197 … 1.792
ln T －0.45 －0.53 －0.56 －0.65 －0.78 －0.92 －1.02
图(d)
根据表中数据绘制出ln T-ln D图像如图(d)所示，则T与D的近似关系为________。
A．T∝　　　　　　 B．T∝D2
C．T∝ D．T∝
(4)请写出一条提高该实验精度的改进措施：________________________。
解析：(1)根据刻度尺的读数规则可知D＝7.55 cm。
(2)结合单摆的运动分析可知，积木左端与O点等高后，向下(向上)运动后再次与O点等高，之后向上(向下)运动后又一次与O点等高，此过程为一个周期，则题述过程中积木摆动了10个周期。
(3)根据题图(d)有ln T＝k ln D＋b，其中k＝，则有ln T＝ln D＋b＝ln ＋b，根据数学知识可得T与D的近似关系为T∝，A正确。
(4)可以多次测量同一颜色的积木的周期求平均值，从而减小实验误差。
答案：(1)7.55(7.54～7.56均可)　(2)10　(3)A　(4)多次测量同一颜色的积木的周期求平均值(合理即可)
[创新角度分析]
1．实验目的创新：由“用单摆测量重力加速度”创新为“积木小幅摆动时周期T与外径D之间的关系”。
2．数据处理创新：绘制出ln T-ln D图像分析数据。
限时规范训练(42)　用单摆测量重力加速度
(建议用时：40分钟　满分：60分)
1．(10分)(2024·广西卷，11)单摆可作为研究简谐运动的理想模型。
(1)制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式的目的是要保持摆动中________不变；
(2)用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙，则摆球直径为________cm；
甲　　　　 乙
丙
(3)若将一个周期为T的单摆，从平衡位置拉开5°的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐运动。当地重力加速度为g，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为________。
解析：(1)选择题图甲方式的目的是要保持单摆在摆动中摆长不变。
(2)由题图丙知，摆球直径为d＝1.1 cm＋6×0.1 mm＝1.16 cm。
(3)根据单摆的周期公式T＝2π可得单摆的摆长为L＝。从平衡位置拉开5°的角度处释放摆球，可得振幅为A＝2L sin 2.5°或近似写为A＝L sin 5°，以该位置为计时起点，根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为x＝A cos ωt＝cos 或写为x＝cos 。
答案：(1)摆长　(2)1.16　
(3)x＝cos 或写为x＝cos
2．(10分)(2026·山东名校联盟摸底)某实验小组利用如图所示装置测量当地重力加速度，其中光电门位于悬点的正下方。
部分实验步骤如下：
(1)先测出小球的直径d，再测出小球竖直悬挂时悬点与小球上端的距离l，则单摆的摆长L＝________，然后调整悬点的高度，使小球能正好通过光电门；
(2)保持细线拉直，使小球在竖直平面内偏离平衡位置一小段距离后静止释放，通过光电计时器记录下小球连续两次经过光电门的时间间隔为t0，则单摆的周期T＝________；
(3)多次改变细线的长度，重复(1)、(2)的操作，记录下多组摆长L和对应的周期T，作出T2-L图像，并得到该图像的斜率k＝4.05 s2/m，则当地重力加速度g＝________m/s2(π2≈9.86，计算结果保留3位有效数字)。
解析：(1)单摆的摆长L＝l＋。
(2)单摆的周期T＝2t0。
(3)根据T＝2π ，可得T2＝L，则k＝＝4.05 s2/m，可得g≈9.74 m/s2。
答案：(1)l＋　(2)2t0　(3)9.74
3．(10分)(2025·黑龙江哈尔滨六中二模)用单摆测量重力加速度的实验中。
(1)用刻度尺测出摆球球心与悬挂点之间的距离作为摆长l的测量值，用停表测量单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g＝________(用l、n、t表示)；
(2)实验时改变摆长，测出几组摆长l和对应的周期T的数据，作出l-T2图像，如图所示。利用A、B两点的坐标可写出重力加速度的表达式为g＝________；若摆球质量分布不均匀，该图像求得g的测量值________(选填“大于”“小于”或“等于”)真实值；
(3)请写出一个测量g的其他方法：_________________________________
_______________________________________________________________。
解析：(1)依题意，单摆周期为T＝，根据单摆的周期公式T＝2π，联立解得g＝。
(2)由第(1)问分析可知l＝T2，结合图像，可得，解得g＝，根据重力加速度的表达式，可知摆球质量分布不均匀不会影响(l2－l1)的结果，不影响图像斜率，所以不会对重力加速度的测量造成影响。该图像求得g的测量值等于真实值。
(3)利用自由落体运动测量重力加速度。
答案：(1)　(2)　等于　(3)见解析
4．(10分)(2026·八省联考，11)如图甲所示，将一个特殊的量角器竖直固定在支架上，量角器的零刻线与竖直杆对齐，圆心固定一个拉力传感器，并与电脑相连接(图中未画出)，将不可伸长的细线一端固定在拉力传感器上，悬点刚好与量角器的圆心重合，另一端与小钢球相连，就构成了可测拉力的摆。龙龙同学想利用此装置验证机械能守恒定律，实验步骤如下。
甲　 乙
丙
(1)实验前用螺旋测微器测量小钢球的直径D，结果如图乙所示，则D＝________mm；还测量了小钢球的质量m和小钢球自然悬垂时的悬线长L。
(2)让小钢球以较小的角度在竖直面内摆动，从计算机中得到拉力随时间的变化，图像如图丙所示，则当地的重力加速度大小为__________(用L、D、T表示)。
(3)将小钢球向左拉到某一高度，悬线伸直并与量角器平面平行，记录悬线处量角器的示数θ。
(4)由静止释放小钢球，小钢球摆动过程中传感器的最大示数为F。
(5)多次改变悬线与竖直方向的初始夹角θ，得到多组θ及其对应的传感器最大示数F，做F-cos θ图像，若小钢球下摆过程中机械能守恒，则图线为一条倾斜直线，且斜率k＝________(用m、L、D、F、T表示)。
解析：(1)螺旋测微器读数6.5 mm＋47.0×0.01 mm＝6.970 mm(6.969～6.971均给分)。
(2)由图丙知单摆的周期为2T，代入单摆的周期公式2T＝2π，可得g＝。
(5)对摆球从某一高度摆到最低点有mg(1－cos θ)＝mv2－0，又最低点F－mg＝m，解得F＝3mg－2mg cos θ，综合可得图像斜率k＝－2mg＝－。
答案：(1)6.970(6.969～6.971均可)　
(2)　(5)－
5．(10分)(2024·湖北卷，12)某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案，所用器材有：2 g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等。具体步骤如下：
①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图(a)所示。
图(a)
②用米尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。
③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。
④用数字计时器记录30次全振动所用时间t。
⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。
该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期T＝2π，其中k为弹簧的劲度系数，M为振子的质量。
图(b)
(1)由步骤④，可知振动周期T＝________。
(2)设弹簧的原长为l0，则l与g、l0、T的关系式为l＝________。
(3)由实验数据作出的l-T2图线如图(b)所示，可得g＝________ m/s2(保留3位有效数字，π2取9.87)。
(4)(多选)本实验的误差来源包括________。
A．空气阻力
B．弹簧质量不为零
C．光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
解析：(1)由于30次全振动所用的时间为t，则1次全振动的时间，即振动周期T＝。
(2)弹簧振子平衡时，由力的平衡条件有k(l－l0)＝Mg，又T＝2π，联立可得l＝l0＋T2。
(3)结合(2)问分析可知l-T2图线的斜率k＝，由题图(b)可知k＝ m/s2，联立解得g＝9.65 m/s2。
(4)空气阻力会使本实验中的振动系统做阻尼振动，即本实验中的振动系统并不是理想化的弹簧振子，而本实验中是将振动系统理想化为弹簧振子，从而测出重力加速度，所以空气阻力是本实验的一个误差来源，A正确；(2)问分析中将弹簧振子的质量等效为托盘及其上物体的总质量，但是实际上弹簧振子的质量为弹簧的质量和托盘及其上物体的总质量之和，所以弹簧质量不为零是本实验的一个误差来源，B正确；由于数字计时器记录的是30次全振动的时间，所以光电门的位置只要在托盘经过的位置均可，即光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置不是本实验的误差来源，C错误。
答案：(1)　(2)l0＋T2　(3)9.65(9.55～9.75均可)　(4)AB
6．(10分)(2026·广东惠州一调)某同学利用双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度。实验装置如图甲所示，测得每根悬线长为L，两悬点间距为2s，小球两侧为光电计数器。实验步骤如下，请回答下列问题：
甲
乙
(1)用游标卡尺测量小球的直径如图乙，则小球的直径D是__________mm。
(2)现将小球垂直于纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向的角度__________5°(选填“大于”或“小于”)。
(3)启动光电计数器，悬线偏离竖直方向后，由静止释放小球，当小球经过平衡位置O时，计时器开始计时，并计为第1次。当光电计数器上显示的计数次数刚好为n时，测得所用的时间为t，由此可知，单摆的振动周期T为________。
A．
C．
(4)根据上述实验方法测量得到的物理量，可得到当地重力加速度g＝__________(用字母L、s、D、T表示)。
解析：(1)小球的直径为D＝15 mm＋4×0.1 mm＝15.4 mm。
(2)现将小球垂直于纸面向外拉动，小球做简谐运动，则应使悬线偏离竖直方向的角度小于5°。
(3)当光电计数器显示数为“1”时是0时刻，故计数次数刚好为n时，周期次数为N＝，故单摆的振动周期T＝，故选D。
(4)摆长等于摆线的有效长度与小球的半径之和，即等效摆长为l＝，根据单摆的周期公式T＝2π，可得g＝l，代入数据得g＝。
答案：(1)15.4　(2)小于　(3)D　
(4)

展开更多......

收起↑