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专题突破13　电场中的图像问题及功能关系
目标 要求 　 　 1.掌握电场中的几种常见图像，并会解决相关问题。2.掌握静电力做功的计算方法及电场中常用的功能关系。
考点一　电场中的功能关系
　(2024·黑吉辽卷，6)在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面(纸面)内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线；若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到与O点等高处的过程中(　　)
A．动能减小，电势能增大 B．动能增大，电势能增大
C．动能减小，电势能减小 D．动能增大，电势能减小
解析：D　根据题意可知，小球所受合力方向沿虚线向下，则其所受电场力方向水平向右，小球从O点运动到与O点等高处的过程做类平抛运动，小球的速度增大，动能增大，由于小球所受电场力与小球速度的夹角一直为锐角，则电场力做正功，小球的电势能减小，A、B、C错误，D正确。
点拨：静电力做正功，电势能减少；静电力做负功，电势能增加。
合力做正功，动能增大；合力做负功，动能减小。
　(2025·黑吉辽内蒙古卷，7)如图，光滑绝缘水平面AB与竖直面内光滑绝缘半圆形轨道BC在B点相切，轨道半径为r，圆心为O，O、A间距离为3r。原长为2r的轻质绝缘弹簧一端固定于O点，另一端连接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场，物块所受的电场力与重力大小相等。物块在A点左侧释放后，依次经过 A、B、C三点时的动能分别为EkA、EkB、EkC，则(　　)
A．EkAC．EkA解析：C　由题意可知弹簧的原长为2r，则物块在A点时弹簧的伸长量为r，物块在B点和C点时弹簧的压缩量为r，则弹簧在A、B、C三点的弹性势能相等，设弹簧在这三点处的弹性势能为Ep，小球从A点到B点的过程，由功能关系得EkA＋Ep＋W电＝EkB＋Ep，则有EkA＋W电＝EkB，由于W电＝FxAB>0，解得EkAEkC，又W重＝mg·2r，由以上可知W电>W重，则有EkA　(2025·广西柳州一模)如图所示，绝缘水平面上方存在一方向水平向右、场强大小为1.5×103 N/C的匀强电场。将一质量为0.1 kg、带电荷量为＋2×10-4 C的小滑块由静止释放后，沿水平面向右运动了2 m，已知小滑块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.25，g取10 m/s2，则该过程中小滑块(　　)
A．动能增加了0.1 J
B．电势能减少了0.5 J
C．机械能增加了0.6 J
D．与地面摩擦产生的热量为0.6 J
解析：A　对小滑块受力分析可得其所受合力大小为F合＝qE－μmg＝0.05 N，由动能定理可得，小滑块的动能增加量ΔEk＝F合x＝0.1 J，故A正确；电势能的减少量等于电场力做的功，则电势能减少量ΔEp＝qEx＝0.6 J，故B错误；小滑块的重力势能不变，机械能的增加量等于其动能的增加量，为0.1 J，故C错误；与地面摩擦产生的热量Q＝μmgx＝0.5 J，故D错误。
[归纳总结]　　几种常见的功能关系
(1)合外力做功等于动能的变化，即W合＝Ek2－Ek1＝ΔEk(动能定理)。
(2)重力做功等于物体重力势能的变化，即WG＝EpG1－EpG2＝－ΔEp。
(3)静电力做功等于电势能的变化，即W电＝Ep电1－Ep电2＝－ΔEp电。
(4)弹簧弹力做功等于弹性势能的变化，即W弹＝Ep1－Ep2＝－ΔEp弹。
(5)除了重力和弹簧弹力之外其他力做的总功等于物体机械能的变化，即
W其他力＝E机2－E机1＝ΔE机。
考点二　静电场中的图像问题
　(2026·安徽大联考)在竖直平面内存在一静电场，其电场线分布如图1所示，Ox轴竖直向下。在O点由静止释放一个带电小球，其后小球沿x轴正方向运动的v-t图像如图2所示。已知重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
图1　　　　　　图2
A．小球带正电
B．小球在A点的加速度可能大于g
C．从O到A点，小球的动量变化率先增大再减小
D．从O到A点，小球的电势能一直增大
解析：D　通过题图2知小球加速度先减小后增大，小球向下运动，假设小球带正电，电场力向下，由牛顿第二定律可知mg＋Eq＝ma，电场线从O到A先密集再稀疏，电场强度先增大再减小，加速度先增大再减小，与题图2不符合，故小球带负电，且所受电场力始终小于重力，故A错误；由牛顿第二定律mg－Eq＝ma可知，小球加速度必小于g，故B错误；动量变化率＝F合，由题图2可知小球加速度先减小再增大，故合力也是先减小再增大，动量变化率先减小再增大，故C错误；小球所受电场力方向竖直向上，电场力一直做负功，电势能一直增大，故D正确。
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根据v-t图像的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受静电力的方向与静电力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化。
　(2025·海南卷，2)某静电场电势φ在x轴上分布如图所示，图线关于φ轴对称，M、P、N是x轴上的三点，OM＝ON；有一电子从M点静止释放，仅受x方向的电场力作用，则下列说法正确的是(　　)
A．P点电场强度方向沿x负方向
B．M点的电场强度小于N点的电场强度
C．电子在P点的动能小于在N点的动能
D．电子在M点的电势能大于在P点的电势能
解析：D　由图可知在x正半轴沿＋x方向电势降低，则电场强度方向沿x正方向，故A错误；φ-x图像斜率表示电场强度，由图可知M点的电场强度大小等于N点的电场强度大小，方向相反，故B错误；电子在电势低处电势能大，故电子在P点的电势能小于在N点的电势能，根据能量守恒可知，电子在P点的动能大于在N点的动能，故C错误；电子在电势低处电势能大，故电子在M点的电势能大于在P点的电势能，故D正确。
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(1)电场强度的大小等于φ-x图线斜率的绝对值，电场强度为零处，φ-x图线存在极值，其切线的斜率为零。
(2)在φ-x图像中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。
　(2025·哈尔滨三中一模)某静电场在x轴上的场强E随x的变化关系如图所示，x轴正方向为场强正方向，其中x1、x2、x3、x4是间隔相等的四点，x1到x4范围内的E-x图像所包围的面积为S，下列说法正确的是(　　)
A．x3处电势最高
B．x2和x4处电势相等
C．x1、x2两点之间的电势差等于x3、x4两点之间的电势差
D．电荷量为q，质量为m的正点电荷由x1静止释放仅在电场力作用下运动到x4时的动能Ek＝qS
解析：D　由图可知，0～x1电场方向沿x轴负方向，x1～x4电场方向沿x轴正方向，根据沿着电场线方向电势降低，可知x1处电势最高，x2处电势高于x4处电势，故AB错误；图线与x轴所围的面积表示电势差，由图可知，x1、x2两点之间的电势差小于x3、x4两点之间的电势差，故C错误；x1～x4，根据动能定理可得qU＝qS＝Ek，故D正确。
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在给定了电场的E-x图像后，可以由图线确定电场强度、电势的变化情况，E-x图线与x轴所围图形“面积”表示对应的电势差，两点的电势高低根据电场方向判定。
　(2025·河北部分示范高中三模)质子仅在电场力的作用下从O点开始沿x轴正方向运动，其在O点处的初动能为4 eV。该质子的电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中O～x2段是关于直线x＝x1对称的曲线，x2～x3段是直线。下列说法正确的是(　　)
A．该质子在O～x2段做匀变速直线运动，在x2～x3段做匀速直线运动
B．该质子在x1处的动能为6 eV
C．若x1、x2、x3处的电势分别为φ1、φ2、φ3，则φ1最高
D．该质子最终停在x3处
解析：B　Ep-x图像的斜率可以表示该质子所受电场力F，可知该质子在O～x2段做变加速直线运动，在x2～x3段做匀变速直线运动，故A错误；由题意可得，该质子在O点处的能量为E＝Ek＋Ep＝4 eV＋3 eV＝7 eV，根据能量守恒定律，可得该质子在x1处的动能为Ek′＝7 eV－1 eV＝6 eV，故B正确；根据Ep＝qφ，可知该质子在电势越高的位置电势能越大，若x1、x2、x3处的电势分别为φ1、φ2、φ3，由题图知φ3最高，故C错误；根据能量守恒定律，知该质子在x3处的电势能为7 eV，则动能为零，但是由于受到的电场力不为零，因而不会停在x3处，故D错误。
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Ep-x图像切线的斜率的绝对值表示电场力的大小。
　(2025·安徽黄山二模)如图1所示，真空中x轴原点O处固定一点电荷a，其电荷量Q未知，另一试探点电荷b，其电荷量为q，以初动能Ek0自x2位置沿x轴负方向直线运动，该过程点电荷b的Ek-图像如图2所示。已知静电力常量为k，设无穷远处电势为0，与点电荷a距离r处的电势φ＝，点电荷b仅受电场力作用。下列说法正确的是(　　)
图1　　　　　　　　图2
A．x1、x2两处电场强度之比等于x1∶x2
B．沿x轴正方向电势逐渐升高
C．电荷量Q＝
D．如仅将a的电荷量变为2Q，点电荷b速度减为0时的位置坐标是
解析：D　x1、x2两处电场强度之比为，故A错误；由图可知，点电荷b由x2运动到x1的过程中，动能减小，电势能增大，但由于点电荷b的电性未知，所以不能确定电势的变化，故B错误；根据能量守恒定律可得Ek0＝Ep1－Ep2＝，所以Q＝，故C错误；如仅将a的电荷量变为2Q，点电荷b速度减为0时，有Ek0＝Ep－Ep2＝，解得x＝，故D正确。
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当带电体只有静电力做功时，由动能定理F电x＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek-x图像的切线斜率k＝，其大小表示静电力。
限时规范训练(46)　电场中的图像问题及功能关系
(建议用时：40分钟　满分：66分)
(选择题1～7题每题5分，8～11题每题6分，12题7分，共66分)
[基础巩固练]
1．(2025·北京房山一模)如图甲所示，直线AB是一条电场线。一正电荷仅在静电力作用下，以一定初速度沿电场线从A点运动到B点，运动过程中速度v随时间t变化的图像如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
图甲　　　　图乙
A．该电场线的方向是由B点指向A点
B．该电场可能是负点电荷产生的
C．A点电势小于B点电势
D．A点电场强度大于B点电场强度
解析：D　由图像可知，正电荷从A点到B点做加速度逐渐减小的加速运动，由于电荷带正电，则该电场线的方向是由A指向B，故A错误；根据牛顿第二定律a＝可知，A点处的场强比B点处的场强大，又电场方向由A点指向B点，则该电场不可能是由负点电荷产生的，故D正确，B错误；由于电场方向由A点指向B点，根据沿电场方向电势降低可知，A点电势大于B点电势，故C错误。
2．(2025·八省联考河南卷)某电场的电势φ随位置x的变化关系如图所示，O点为坐标原点，a、b、c、d为x轴上的四个点。一带正电粒子从d点由静止释放，在电场力作用下沿x轴运动，不计重力，则粒子(　　)
A．将在ad之间做周期性运动
B．在d点的电势能大于a点的电势能
C．在b点与c点所受电场力方向相同
D．将沿x轴负方向运动，可以到达O点
解析：A　由图可知，a、d两点电势相等，根据Ep＝qφ可知粒子在d点的电势能等于a点的电势能，故B错误；φ-x图像斜率表示电场强度，由图可知，b点与c点的电场强度方向相反，根据F＝qE可知在b点与c点所受电场力方向相反，故C错误；根据沿着电场线方向电势降低可知在d点电场方向为x轴负方向，粒子带正电，则粒子受到沿着x轴负方向的电场力，即粒子将沿x轴负方向运动，仅有电场力做功，则粒子的动能和电势能之和恒定，根据B选项分析可知，粒子在d点的电势能等于a点的电势能，则粒子在d点的动能等于a点的动能，均为0，即粒子将在ad之间做周期性运动，不能到达O点，故A正确，D错误。故选A。
3．(2025·河北昌黎一中一模)如图所示，竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一带负电小球(可视为质点)，小球获得一定初速度后绕O点在竖直平面内做圆周运动，不考虑空气阻力，则小球从a位置运动到b位置过程中(　　)
A．小球动能不变
B．小球机械能守恒
C．小球所受电场力做正功
D．小球电势能增加
解析：D　小球从a位置运动到b位置过程中，因为小球带负电，小球受到电场力向右，重力竖直向下，整个过程中重力做功为零，但是电场力一直做负功，所以动能会减小，故AC错误；小球从a位置运动到b位置过程中，电场力一直做负功，根据功能关系知小球的电势能增加，机械能减小，故B错误，D正确。
4．(2025·陕西普集中学二模)如图所示，在竖直向上的匀强电场中，A球位于B球的正上方，质量相等的两个小球以相同初速度水平抛出，它们最后落在水平面上同一点，其中只有一个小球带电，不计空气阻力，下列判断正确的是(　　)
A．如果A球带电，则A球一定带正电
B．如果A球带电，则A球的电势能一定减小
C．如果B球带电，则B球一定带负电
D．如果B球带电，则B球的电势能一定减小
解析：B　平抛时的初速度相同，在水平方向通过的位移相同，故下落时间相同，A球在上方，B球在下方，由h＝at2 可知，A球下落的加速度大于B球的加速度；如果A球带电，则A球的加速度大于B球，故A球受到向下的电场力，则A球一定带负电，电场力做正功，电势能一定减小，故A错误，B正确；同理可得，如果B球带电，则B球带正电，电场力对B球做负功，电势能一定增加，故CD错误。
5．(多选)(2025·辽宁沈阳模拟)如图所示，倾角为37°的绝缘粗糙斜面固定在水平面上，斜面上方有平行斜面向上的匀强电场。一质量为m＝1 kg的带正电小物块(视为质点)自斜面底端以v0＝6 m/s的初速度沿斜面向上运动，加速度大小为3 m/s2，方向沿斜面向下，小物块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2，则在小物块沿斜面向上滑行到最大距离的过程中，小物块的(　　)
A．重力势能增加36 J
B．电势能增加42 J
C．机械能增加18 J
D．机械能减少24 J
解析：AC　物块沿斜面向上运动，对其受力分析，根据牛顿第二定律得mg sin θ＋μmg cos θ－qE＝ma，解得qE＝7 N，物块沿斜面运动的位移为x＝＝6 m，重力势能增加了ΔEp＝mgh＝mgx sin 37°＝36 J，A正确；静电力做正功，电势能减小，ΔEp′＝－qEx＝－42 J，B错误；机械能的变化量为ΔE＝E2－E1＝mgh－mv2＝18 J，C正确，D错误。
6．(2024·湖南卷，5)真空中有电荷量为＋4q和－q的两个点电荷，分别固定在x轴上－1和0处。设无限远处电势为0，x正半轴上各点电势φ随x变化的图像正确的是(　　)
解析：D　无限远处电势为0，根据点电荷的电势公式φ＝k可知，x正半轴上，电荷量为＋4q的点电荷在x处产生的电势为φ1＝，电荷量为－q的点电荷在x处产生的电势为φ2＝－k，x正半轴上在x处的电势φx＝k，可知在x＝处电势为0，在x＝0处电势接近负无穷大，则选项D正确。
7．(多选)(2026·成都石室中学高三零模)匀强电场中，质量为m、带电荷量为q(q>0)且可视为质点的小球在长为L的绝缘轻绳拉力作用下绕固定点O在竖直平面内做圆周运动，M点和N点分别为圆周上的最低点和最高点，电场方向平行于圆周平面。已知运动过程中小球速度最小值为(g为重力加速度)，此时绳子拉力恰好为零。小球运动到M点时速度大小为且大于小球经过N点时的速度，不计空气阻力。若O点电势为零，下列说法正确的是(　　)
A．小球受到的电场力与重力的夹角为30°角
B．匀强电场的场强大小为
C．M点的电势为
D．小球从速度最小到速度最大的过程中，电场力做的功为2mgL
解析：BC　因运动过程中小球速度最小值为，此时绳子拉力恰好为零，可知小球受到的合力为F合＝m＝mg，因重力竖直向下，可知电场力大小也为mg，与重力夹角为120°，根据mg＝qE，可知匀强电场的场强大小为E＝，选项A错误，B正确；因MO两点的电势差为UMO＝EL cos 60°＝，O点电势为零，M点的电势为φM＝，选项C正确；小球从速度最小到速度最大的过程中，即从等效最高点Q到等效最低点P的过程中，电场力做的功为W＝qE cos 60°·2L＝mgL，选项D错误。故选BC。
[能力提升练]
8．(2025·山东日照一模)x轴上O、P两点分别固定点电荷甲、乙，电荷量的绝对值分别为q1、q2。一个带负电的试探电荷沿着x轴运动时，在O、P之间的电势能Ep随x变化关系如图所示，在P点右侧，运动到B点时电势能最大。已知OP＝PB，A点为O、P之间的中点，C点为P、B之间的中点，试探电荷运动到A点时加速度大小为a。若试探电荷仅受静电力的作用，下列判断正确的是(　　)
A．点电荷甲带正电，点电荷乙带负电
B．两个点电荷的电荷量满足q1＝2q2
C．P、B之间的电场方向沿着x轴负方向
D．试探电荷运动到C点时加速度大小为
解析：D　根据Ep＝qφ，又因为试探电荷带负电，所以两电荷间的电势沿着x轴的负方向降低，即电场线沿x轴的负方向，即甲带负电，乙带正电，故A错误；因为试探电荷运动到B点时电势能最大，即B点的电场强度为零，即k，解得q1＝4q2，故B错误；由B分析可知，B点的电场强度为零，则P、B之间的电场方向沿着x轴正方向，故C错误；设试探电荷的质量为m，电荷量为q，则试探电荷在A点时，根据牛顿第二定律k＝ma，在C点时，根据牛顿第二定律k＝maC，联立解得aC＝，故D正确。
9．(2025·八省联考内蒙古卷)如图，一带正电小球甲固定在光滑绝缘斜面上，另一带正电小球乙在斜面上由静止释放。以释放点为原点，沿斜面向下为正方向建立x轴。在乙沿x轴加速下滑过程中，其动能Ek和机械能E随位置x变化的图像，可能正确的是(　　)
解析：D　设两个带电小球间距为r，斜面倾角为θ，由动能定理可知(mg sin θ－k) x＝Ek，Ek-x图像的斜率表示合外力，则F合＝mg sin θ－，所以在乙沿x轴加速下滑过程中，两个带电小球间距r逐渐减小，合外力沿斜面向下逐渐减小，则斜率逐渐减小，故A、B不符合题意；E-x图像的斜率表示库仑力，则k斜＝k，所以在乙沿x轴加速下滑过程中，库仑力逐渐增大，E-x图像的斜率逐渐增大，故C不符合题意，D符合题意。故选D。
10．(2026·河南信阳模拟)如图所示，某无限长、竖直放置的粗糙绝缘直杆与等量异种电荷连线的中垂线重合，直杆上有A、B、O三点，其中O为等量异种点电荷连线的中点，AO＝BO＝L。现有一质量为m的带电小圆环从杆上A点以初速度v0向B点滑动，滑到B点时速度恰好为0。重力加速度大小为g，关于小圆环从A运动到B的过程，下列说法正确的是(　　)
A．电场力先做正功后做负功
B．小圆环的加速度先减小后增大
C．摩擦力对小圆环做功为mv02－2mgL
D．小圆环运动到O点时的动能为mv02
解析：D　等量异种点电荷连线的中垂线是等势线，故小圆环从A到B过程，电场力不做功，故A错误；从A到B，电场强度先增大后减小，故小圆环受到的电场力先增大后减小，由小圆环受到的摩擦力大小为Ff＝μFN＝μqE，可知小圆环受到的摩擦力先增大后减小，由牛顿第二定律有a＝，则小圆环的加速度先增大后减小，故B错误；小圆环从A到B过程，由动能定理有－mg×2L＋Wf＝0－mv02，解得摩擦力对圆环做功为Wf＝2mgL－mv02，故C错误；由对称性可知，小圆环从A到O过程和从O到B过程摩擦力做功相等，故小圆环从A到O过程，由动能定理有－mgL＋Wf＝Ek－mv02，解得小圆环运动到O点时的动能为Ek＝mv02，故D正确。故选D。
11．(多选)(2025·四川大数据精准教学联盟一模)三角形OPN是一光滑绝缘斜面，斜面足够长，斜面倾角为θ，以O点为坐标原点，沿斜面向下为x轴正方向，如图1所示，沿斜面加一静电场，其电场强度E随x变化的关系如图2所示，设x轴正方向为电场强度的正方向。现将一质量为m，电荷量为q的带电小球从O静止释放，且小球释放后沿斜面向下运动，已知qE0＝2mg sin θ，则下列说法正确的是(　　)
图1　　　　　　　　图2
A．小球一定带负电
B．小球在x＝x0处的动能为2qE0x0
C．小球沿斜面向下运动过程中最大速度为
D．小球沿斜面向下运动的最大位移为4x0
解析：AC　由题知，取沿斜面向下为x轴正方向，故最开始的电场强度方向沿斜面向上，若小球带正电，则最开始所受电场力沿斜面向上，又qE0＝2mg sin θ大于重力沿斜面向下的分力mg sin θ，故小球刚开始不可能沿斜面向下运动，所以小球带负电，故A正确；当小球运动x＝x0处时，电场强度为0，根据动能定理有mg sin θ·x0＋×qE0x0＝Ek，解得此时的动能为Ek＝qE0x0，故B错误；小球沿斜面向下运动过程中，当有最大速度时加速度为零，则有qE＝mg sin θ，解得E＝E0，由图2可知，设此时电场强度对应的横坐标为x，则有，解得x＝x0，从最开始到最大速度，根据动能定理有mg sin θ(x0＋x0)＋×qE0x0－×qE0×x0＝mvm2，解得vm＝，故C正确；当小球的速度为零时，小球沿斜面向下运动到最大位移设为xm，对应的电场强度为Em，由图2可知，从最开始运动到最大位移，根据动能定理有mg sin θ·xm＋×qE0x0－×qEm×(xm－x0)＝0，联立解得xm＝3x0，故D错误。
[培优创新练]
12．(多选)(2024·江西卷，10)如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为m、带同种电荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q和Q。在图示的坐标系中，小球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从x＝x0处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两点电荷的电势能Ep＝k(r为两点电荷之间的距离，k为静电力常量)。最大静摩擦力等于滑动摩擦力Ff，重力加速度为g。关于小球甲，下列说法正确的是(　　)
A．最低点的位置x＝
B．速率达到最大值时的位置x＝
C．最后停留位置x的区间是≤x≤
D．若在最低点能返回，则初始电势能Ep0<(mg －Ff)
解析：BD　小球甲从开始运动至第一次运动到最低点的过程，根据能量守恒定律有mg(x0－x)＝Ff(x0－x)＋，解得x＝，A错误；小球甲第一次向下运动至速度最大的位置，此时加速度为零，根据平衡条件有mg＝Ff＋，解得x＝，B正确；若小球甲停止是在下降的过程，且停止运动后恰好静止，有mg＋Ff＝，解得x1＝，若小球甲停止是在上升的过程，且停止运动后恰好静止，有mg＝＋Ff，解得x2＝，因此小球甲最后停留位置x的区间为≤x≤，C错误；若小球甲在最低点能返回，则有＞mg＋Ff，解得x＜ ，结合A项分析可知x＝，则有＜ ，可得初始电势能Ep0＝＜(mg－Ff) ，D正确。(共56张PPT)
专题突破13　电场中的图像问题及功能关系
1.掌握电场中的几种常见图像，并会解决相关问题。2.掌握静电力做功的计算方法及电场中常用的功能关系。
目标
要求
1
研考点 精准突破
2
限时规范训练
栏
目
导
引
研考点
精准突破
考点一　电场中的功能关系
(2024·黑吉辽卷，6)在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面(纸面)内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线；若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到与O点等高处的过程中(　　)
A．动能减小，电势能增大
B．动能增大，电势能增大
C．动能减小，电势能减小
D．动能增大，电势能减小
D
解析：D　根据题意可知，小球所受合力方向沿虚线向下，则其所受电场力方向水平向右，小球从O点运动到与O点等高处的过程做类平抛运动，小球的速度增大，动能增大，由于小球所受电场力与小球速度的夹角一直为锐角，则电场力做正功，小球的电势能减小，A、B、C错误，D正确。
点拨：静电力做正功，电势能减少；静电力做负功，电势能增加。
合力做正功，动能增大；合力做负功，动能减小。
C　
(2025·黑吉辽内蒙古卷，7)如图，光滑绝缘水平面AB与竖直面内光滑绝缘半圆形轨道BC在B点相切，轨道半径为r，圆心为O，O、A间距离为3r。原长为2r的轻质绝缘弹簧一端固定于O点，另一端连接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场，物块所受的电场力与重力大小相等。物块在A点左侧释放后，依次经过 A、B、C三点时的动能分别为EkA、EkB、EkC，则(　　)
A．EkAC．EkA解析：C　由题意可知弹簧的原长为2r，则物块在A点
时弹簧的伸长量为r，物块在B点和C点时弹簧的压缩量
为r，则弹簧在A、B、C三点的弹性势能相等，设弹簧
在这三点处的弹性势能为Ep，小球从A点到B点的过程，由功能关系得EkA＋Ep＋W电＝EkB＋Ep，则有EkA＋W电＝EkB，由于W电＝FxAB>0，解得EkAEkC，又W重＝mg·2r，由以上可知W电>W重，则有EkA(2025·广西柳州一模)如图所示，绝缘水平面上方存在一方向水平向右、场强大小为1.5×103 N/C的匀强电场。将一质量为0.1 kg、带电荷量为＋2×10-4 C的小滑块由静止释放后，沿水平面向右运动了2 m，已知小滑块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.25，g取10 m/s2，则该过程中小滑块
(　　)
A．动能增加了0.1 J
B．电势能减少了0.5 J
C．机械能增加了0.6 J
D．与地面摩擦产生的热量为0.6 J
A
解析：A　对小滑块受力分析可得其所受合力大小为F合＝qE－μmg＝0.05 N，由动能定理可得，小滑块的动能增加量ΔEk＝F合x＝0.1 J，故A正确；电势能的减少量等于电场力做的功，则电势能减少量ΔEp＝qEx＝0.6 J，故B错误；小滑块的重力势能不变，机械能的增加量等于其动能的增加量，为0.1 J，故C错误；与地面摩擦产生的热量Q＝μmgx＝0.5 J，故D错误。
[归纳总结]　　几种常见的功能关系
(1)合外力做功等于动能的变化，即W合＝Ek2－Ek1＝ΔEk(动能定理)。
(2)重力做功等于物体重力势能的变化，即WG＝EpG1－EpG2＝－ΔEp。
(3)静电力做功等于电势能的变化，即W电＝Ep电1－Ep电2＝－ΔEp电。
(4)弹簧弹力做功等于弹性势能的变化，即W弹＝Ep1－Ep2＝－ΔEp弹。
(5)除了重力和弹簧弹力之外其他力做的总功等于物体机械能的变化，即
W其他力＝E机2－E机1＝ΔE机。
考点二　静电场中的图像问题
(2026·安徽大联考)在竖直平面内存在一静电场，其电场线分布如图1所示，Ox轴竖直向下。在O点由静止释放一个带电小球，其后小球沿x轴正方向运动的v-t图像如图2所示。已知重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．小球带正电
B．小球在A点的加速度可能大于g
C．从O到A点，小球的动量变化率先增大
再减小
D．从O到A点，小球的电势能一直增大
图1　　　　　　图2
D
解析：D　通过题图2知小球加速度先减小后增大，小球向下运动，假设小球带正电，电场力向下，由牛顿第二定律可知mg＋Eq＝ma，电场线从O到A先密集再稀疏，电场强度先增大再减小，加速度先增大再减小，与题图2不符合，故小球带负电，且所受电场力始终小于重力，故A错误；由牛顿第二定律mg－Eq＝ma可知，小球加速度必小于g，故B错误；动量变化率＝F合，由题图2可知小球加速度先减小再
增大，故合力也是先减小再增大，动量变化率先减
小再增大，故C错误；小球所受电场力方向竖直向
上，电场力一直做负功，电势能一直增大，故D正确。
图1　　　图2
信息获取
根据v-t图像的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化)，可确定电荷所受静电力的方向与静电力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化。
(2025·海南卷，2)某静电场电势φ在x轴上分布如图所示，图线关于φ轴对称，M、P、N是x轴上的三点，OM＝ON；有一电子从M点静止释放，仅受x方向的电场力作用，则下列说法正确的是(　　)
A．P点电场强度方向沿x负方向
B．M点的电场强度小于N点的电场强度
C．电子在P点的动能小于在N点的动能
D．电子在M点的电势能大于在P点的电势能
D
解析：D　由图可知在x正半轴沿＋x方向电势降低，则电场强度方向沿x正方向，故A错误；φ-x图像斜率表示电场强度，由图可知M点的电场强度大小等于N点的电场强度大小，方向相反，故B错误；电子在电势低处电势能大，故电子在P点的电势能小于在N点的电势能，根据能量守恒可知，电子在P点的动能大于在N点的动能，故C错误；电子在电势低处电势能大，故电子在M点的电势能大于在P点的电势能，故D正确。
信息获取
(1)电场强度的大小等于φ-x图线斜率的绝对值，电场强度为零处，φ-x图线存在极值，其切线的斜率为零。
(2)在φ-x图像中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。
(2025·哈尔滨三中一模)某静电场在x轴上的场
强E随x的变化关系如图所示，x轴正方向为场强正方
向，其中x1、x2、x3、x4是间隔相等的四点，x1到x4范
围内的E-x图像所包围的面积为S，下列说法正确的是(　　)
A．x3处电势最高
B．x2和x4处电势相等
C．x1、x2两点之间的电势差等于x3、x4两点之间的电势差
D．电荷量为q，质量为m的正点电荷由x1静止释放仅在电场力作用下运动到x4时的动能Ek＝qS
D
解析：D　由图可知，0～x1电场方向沿x轴负方向，x1～x4电场方向沿x轴正方向，根据沿着电场线方向电势降低，可知x1处电势最高，x2处电势高于x4处电势，故AB错误；图线与x轴所围的面积表示电势差，由图可知，x1、x2两点之间的电势差小于x3、x4两点之间的电势差，故C错误；x1～x4，根据动能定理可得qU＝qS＝Ek，故D正确。
信息获取
在给定了电场的E-x图像后，可以由图线确定电场强度、电势的变化情况，E-x图线与x轴所围图形“面积”表示对应的电势差，两点的电势高低根据电场方向判定。
(2025·河北部分示范高中三模)质子仅在电场
力的作用下从O点开始沿x轴正方向运动，其在O点
处的初动能为4 eV。该质子的电势能Ep随位移x变化
的关系如图所示，其中O～x2段是关于直线x＝x1对称
的曲线，x2～x3段是直线。下列说法正确的是(　　)
A．该质子在O～x2段做匀变速直线运动，在x2～x3段做匀速直线运动
B．该质子在x1处的动能为6 eV
C．若x1、x2、x3处的电势分别为φ1、φ2、φ3，则φ1最高
D．该质子最终停在x3处
B
解析：B　Ep-x图像的斜率可以表示该质子所受电场力F，可知该质子在O～x2段做变加速直线运动，在x2～x3段做匀变速直线运动，故A错误；由题意可得，该质子在O点处的能量为E＝Ek＋Ep＝4 eV＋3 eV＝7 eV，根据能量守恒定律，可得该质子在x1处的动能为Ek′＝7 eV－1 eV＝6 eV，故B正确；根据Ep＝
qφ，可知该质子在电势越高的位置电势能越大，若x1、x2、x3处的电势分别为φ1、φ2、φ3，由题图知φ3最高，故C错误；根据能量守恒定律，知该质子在x3处的电势能为7 eV，则动能为零，但是由于受到的电场力不为零，因而不会停在x3处，故D错误。
信息获取
Ep-x图像切线的斜率的绝对值表示电场力的大小。
(2025·安徽黄山二模)如图1所示，真空中x轴原点O处固定一点电荷a，其电荷量Q未知，另一试探点电荷b，其电荷量为q，以初动能Ek0自x2位置沿x轴负方向直线运动，该过程点电荷b的Ek-图像如图2所示。已知静电力常量为k，设无穷远处电势为0，与点电荷a距离r处的电势φ＝，点电荷b仅受电场力作用。下列说法正确的是(　　)
A．x1、x2两处电场强度之比等于x1∶x2
B．沿x轴正方向电势逐渐升高
C．电荷量Q＝
D．如仅将a的电荷量变为2Q，点电荷b速度减为0时的位置坐标是
图1　　　　　　图2
D
解析：D　x1、x2两处电场强度之比为，故A错误；由图可知，点电荷b由x2运动到x1的过程中，动能减小，电势能增大，但由于点电荷b的电性未知，所以不能确定电势的变化，故B错误；根据能量守恒定律可得Ek0＝Ep1－Ep2＝，所以Q＝，故C错误；如仅将a的电荷量变为2Q，点电荷b速度减为0时，有Ek0＝Ep－Ep2＝，解得x＝，故D正确。
图1　　　　　　图2
信息获取
当带电体只有静电力做功时，由动能定理F电x＝Ek－Ek0＝ΔEk知Ek-x图像的切线斜率k＝，其大小表示静电力。
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限时规范
训练(46)　电场中的图像问题及功能关系
(建议用时：40分钟　满分：66分)
(选择题1～7题每题5分，8～11题每题6分，12题7分，共66分)
[基础巩固练]
1．(2025·北京房山一模)如图甲所示，直线AB是一条电场线。一正电荷仅在静电力作用下，以一定初速度沿电场线从A点运动到B点，运动过程中速度v随时间t变化的图像如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A．该电场线的方向是由B点指向A点
B．该电场可能是负点电荷产生的
C．A点电势小于B点电势
D．A点电场强度大于B点电场强度
图甲　　　图乙
D
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解析：D　由图像可知，正电荷从A点到B点做加速度逐渐减小的加速运动，由于电荷带正电，则该电场线的方向是由A指向B，故A错误；根据牛顿第二定律a＝可知，A点处的场强比B点处的场强大，又电场方向由A点指向B点，则该电场不可能是由负点电荷产生的，故D正确，B错误；由于电场方向由A点指向B点，根据沿电场方向电势降低可知，A点电势大于B点电势，故C错误。
图甲　　　图乙
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2．(2025·八省联考河南卷)某电场的电势φ随位置x的变化关系如图所示，O点为坐标原点，a、b、c、d为x轴上的四个点。一带正电粒子从d点由静止释放，在电场力作用下沿x轴运动，不计重力，则粒子(　　)
A．将在ad之间做周期性运动
B．在d点的电势能大于a点的电势能
C．在b点与c点所受电场力方向相同
D．将沿x轴负方向运动，可以到达O点
A
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解析：A　由图可知，a、d两点电势相等，根据Ep＝qφ可知粒子在d点的电势能等于a点的电势能，故B错误；φ-x图像斜率表示电场强度，由图可知，b点与c点的电场强度方向相反，根据F＝qE可知在b点与c点所受电场力方向相反，故C错误；根据沿着
电场线方向电势降低可知在d点电场方向为x轴负方向，粒子带正电，则粒子受到沿着x轴负方向的电场力，即粒子将沿x轴负方向运动，仅有电场力做功，则粒子的动能和电势能之和恒定，根据B选项分析可知，粒子在d点的电势能等于a点的电势能，则粒子在d点的动能等于a点的动能，均为0，即粒子将在ad之间做周期性运动，不能到达O点，故A正确，D错误。故选A。
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3．(2025·河北昌黎一中一模)如图所示，竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一带负电小球(可视为质点)，小球获得一定初速度后绕O点在竖直平面内做圆周运动，不考虑空气阻力，则小球从a位置运动到b位置过程中(　　)
A．小球动能不变
B．小球机械能守恒
C．小球所受电场力做正功
D．小球电势能增加
D
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解析：D　小球从a位置运动到b位置过程中，因为小球带负电，小球受到电场力向右，重力竖直向下，整个过程中重力做功为零，但是电场力一直做负功，所以动能会减小，故AC错误；小球从a位置运动到b位置过程中，电场力一直做负功，根据功能关系知小球的电势能增加，机械能减小，故B错误，D正确。
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4．(2025·陕西普集中学二模)如图所示，在竖直向上的匀强电场中，A球位于B球的正上方，质量相等的两个小球以相同初速度水平抛出，它们最后落在水平面上同一点，其中只有一个小球带电，不计空气阻力，下列判断正确的是(　　)
A．如果A球带电，则A球一定带正电
B．如果A球带电，则A球的电势能一定减小
C．如果B球带电，则B球一定带负电
D．如果B球带电，则B球的电势能一定减小
B
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解析：B　平抛时的初速度相同，在水平方向通过的位移相同，故下落时间相同，A球在上方，B球在下方，由h＝at2 可知，A球下落的加速度大于B球的加速度；如果A球带电，则A球的加速度大于B球，故A球受到向下的电场力，则A球一定带负电，电场力做正功，电势能一定减小，故A错误，B正确；同理可得，如果B球带电，则B球带正电，电场力对B球做负功，电势能一定增加，故CD错误。
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5．(多选)(2025·辽宁沈阳模拟)如图所示，倾角为37°的绝缘粗糙斜面固定在水平面上，斜面上方有平行斜面向上的匀强电场。一质量为m＝1 kg的带正电小物块(视为质点)自斜面底端以v0＝6 m/s的初速度沿斜面向上运动，加速度大小为3 m/s2，方向沿斜面向下，小物块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2，则在小物块沿斜面向上滑行到最大距离的过程中，小物块的(　　)
A．重力势能增加36 J
B．电势能增加42 J
C．机械能增加18 J
D．机械能减少24 J
AC
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解析：AC　物块沿斜面向上运动，对其受力分析，根据牛顿第二定律得mg sin θ＋μmg cos θ－qE＝ma，解得qE＝7 N，物块沿斜面运动的位移为x＝＝6 m，重力势能增加了ΔEp＝mgh＝mgx sin 37°＝36 J，A正确；静电力做正功，电势能减小，ΔEp′＝－qEx＝－42 J，B错误；机械能的变化量为ΔE＝E2－E1＝mgh－mv2＝18 J，C正确，D错误。
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6．(2024·湖南卷，5)真空中有电荷量为＋4q和－q的两个点电荷，分别固定在x轴上－1和0处。设无限远处电势为0，x正半轴上各点电势φ随x变化的图像正确的是(　　)
D
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解析：D　无限远处电势为0，根据点电荷的电势公式φ＝k可知，x正半轴上，电荷量为＋4q的点电荷在x处产生的电势为φ1＝，电荷量为－q的点电荷在x处产生的电势为φ2＝－k，x正半轴上在x处的电势φx＝k，可知在x＝处电势为0，在x＝0处电势接近负无穷大，则选项D正确。
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7．(多选)(2026·成都石室中学高三零模)匀强电场中，质量为m、带电荷量为q(q>0)且可视为质点的小球在长为L的绝缘轻绳拉力作用下绕固定点O在竖直平面内做圆周运动，M点和N点分别为圆周上的最低点和最高点，电场方向平行于圆周平面。已知运动过程中小球速度最小值为(g为重力加速度)，此时绳子拉力恰好为零。小球运动到M点时速度大小为且大于小球经过N点时的速度，不计空气阻力。若O点电势为零，下列说法正确的是(　　)
A．小球受到的电场力与重力的夹角为30°角
B．匀强电场的场强大小为
C．M点的电势为
D．小球从速度最小到速度最大的过程中，电场力做的功为2mgL
BC
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解析：BC　因运动过程中小球速度最小值为，此时绳子拉力恰好为零，可知小球受到的合力为F合＝m＝mg，因重力竖直向下，可知电场力大小也为mg，与重力夹角为120°，根据mg＝qE，可知匀强电场的场强大小为E＝，选项A错误，B正确；因MO两点的电势
差为UMO＝EL cos 60°＝，O点电势为零，M点的电势为φM＝，选项C正确；小球从速度最小到速度最大的过程中，即从等效最高点Q到等效最低点P的过程中，电场力做的功为W＝qE cos 60°·2L＝mgL，选项D错误。故选BC。
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[能力提升练]
8．(2025·山东日照一模)x轴上O、P两点分别固定点电荷甲、乙，电荷量的绝对值分别为q1、q2。一个带负电的试探电荷沿着x轴运动时，在O、P之间的电势能Ep随x变化关系如图所示，在P点右侧，运动到B点时电势能最大。已知OP＝PB，A点为O、P之间的中点，C点为P、B之间的中点，试探电荷运动到A点时加速度大小为a。若试探电荷仅受静电力的作用，下列判断正确的是(　　)
A．点电荷甲带正电，点电荷乙带负电
B．两个点电荷的电荷量满足q1＝2q2
C．P、B之间的电场方向沿着x轴负方向
D．试探电荷运动到C点时加速度大小为
D
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解析：D　根据Ep＝qφ，又因为试探电荷带负电，所以两电荷间的电势沿着x轴的负方向降低，即电场线沿x轴的负方向，即甲带负电，乙带正电，故A错误；因为试探电荷运动到B点时电势能最大，即B点的电场强度为零，即k，解得q1＝4q2，故B错误；由B分析可知，B点的电场强度为零，则P、B之间的电场方向沿着x轴正方向，故C错误；设试探电荷的质量为m，电荷量为q，则试探电荷在A点时，根据牛顿第二定律k＝ma，在C点时，根据牛顿第二定律
k＝maC，联立解得aC＝，故D正确。
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9．(2025·八省联考内蒙古卷)如图，一带正电小球甲固定在光滑绝缘斜面上，另一带正电小球乙在斜面上由静止释放。以释放点为原点，沿斜面向下为正方向建立x轴。在乙沿x轴加速下滑过程中，其动能Ek和机械能E随位置x变化的图像，可能正确的是(　　)
D
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解析：D　设两个带电小球间距为r，斜面倾角为θ，由动能定理可知(mg sin θ－k) x＝Ek，Ek-x图像的斜率表示合外力，则F合＝mg sin θ－，所以在乙沿x轴加速下滑过程中，两个带电小球间距r逐渐减小，合外力沿斜面向下逐渐减小，则斜率逐渐减小，故A、B不符合题意；E-x图像的斜率表示库仑力，则k斜＝k，所以在乙沿x轴加速下滑过程中，库仑力逐渐增大，E-x图像的斜率逐渐增大，故C不符合题意，D符合题意。故选D。
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10．(2026·河南信阳模拟)如图所示，某无限长、竖直放置的粗糙绝缘直杆与等量异种电荷连线的中垂线重合，直杆上有A、B、O三点，其中O为等量异种点电荷连线的中点，AO＝BO＝L。现有一质量为m的带电小圆环从杆上A点以初速度v0向B点滑动，滑到B点时速度恰好为0。重力加速度大小为g，关于小圆环从A运动到B的过程，下列说法正确的是(　　)
A．电场力先做正功后做负功
B．小圆环的加速度先减小后增大
C．摩擦力对小圆环做功为mv02－2mgL
D．小圆环运动到O点时的动能为mv02
D
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解析：D　等量异种点电荷连线的中垂线是等势线，故小圆环从A到B过程，电场力不做功，故A错误；从A到B，电场强度先增大后减小，故小圆环受到的电场力先增大后减小，由小圆环受到的摩擦力大小为Ff＝μFN＝μqE，可知小圆环受到的摩擦力先增大后减小，由牛顿第二定律有a＝，则小圆环的加速度先增大后减小，故B错误；小圆
环从A到B过程，由动能定理有－mg×2L＋Wf＝0－mv02，解得摩擦力对圆环做功为Wf＝2mgL－mv02，故C错误；由对称性可知，小圆环从A到O过程和从O到B过程摩擦力做功相等，故小圆环从A到O过程，由动能定理有－mgL＋Wf＝Ek－mv02，解得小圆环运动到O点时的动能为Ek＝mv02，故D正确。故选D。
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11．(多选)(2025·四川大数据精准教学联盟一模)三角形OPN是一光滑绝缘斜面，斜面足够长，斜面倾角为θ，以O点为坐标原点，沿斜面向下为x轴正方向，如图1所示，沿斜面加一静电场，其电场强度E随x变化的关系如图2所示，设x轴正方向为电场强度的正方向。现将一质量为m，电荷量为q的带电小球从O静止释放，且小球释放后沿斜面向下运动，已知qE0＝2mg sin θ，则下列说法正确的是(　　)
图1　　　　　　 　　图2
AC
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A．小球一定带负电
B．小球在x＝x0处的动能为2qE0x0
C．小球沿斜面向下运动过程中最大速度为
D．小球沿斜面向下运动的最大位移为4x0
图1　　　　　　 　　图2
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解析：AC　由题知，取沿斜面向下为x轴正方向，故最开始的电场强度方向沿斜面向上，若小球带正电，则最开始所受电场力沿斜面向上，又qE0＝2mg sin θ大于重力沿斜面向下的分力mg sin θ，故小球刚开始不可能沿斜面向下运动，所以小球带负电，故A正确；当小球运动x＝x0处时，电场强度为0，根据动能定理有mg sin θ·x0＋×qE0x0＝Ek，解得此时的动能为Ek＝qE0x0，故B错误；小球沿斜面向下运动过程中，当有最大速度时加速度为零，则有qE＝mg sin θ，解得E＝E0，由图2可知，设此时电场强
图1　　　　　 　　图2
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度对应的横坐标为x，则有，解得x＝x0，从最开始到最大速度，根据动能定理有mg sin θ(x0＋x0)＋×qE0x0－×qE0×x0＝mvm2，解得vm＝，故C正确；当小球的速度为零时，小球沿斜面向下运动到最大位移设为xm，对应的电场强度为Em，由图2可知，从最开始运动到最大位移，根据动能定理有mg sin θ·xm＋×qE0x0－×qEm×(xm－x0)＝0，联立解得xm＝3x0，故D错误。
图1　　　　　 　　图2
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[培优创新练]
12．(多选)(2024·江西卷，10)如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为m、带同种电荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q和Q。在图示的坐标系中，小球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从x＝x0处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两点电荷的电势能Ep＝k(r为两点电荷之间的距离，k为静电力常量)。最大静摩擦力等于滑动摩擦力Ff，重力加速度为g。关于小球甲，下列说法正确的是(　　)
BD
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A．最低点的位置x＝
B．速率达到最大值时的位置x＝
C．最后停留位置x的区间是≤x≤
D．若在最低点能返回，则初始电势能Ep0<(mg －Ff)
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解析：BD　小球甲从开始运动至第一次运动到最低点的过程，根据能量守恒定律有mg(x0－x)＝Ff(x0－x)＋，解得x＝，A错误；小球甲第一次向下运动至速度最大的位置，此时加速度为零，根据平衡条件有mg＝Ff＋，解得x＝，B正确；若小球甲停止是在下降的过程，且停止运动后恰好静止，有mg＋Ff＝，解得x1＝，若小球甲停止是
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在上升的过程，且停止运动后恰好静止，有mg＝＋Ff，解得x2＝，因此小球甲最后停留位置x的区间为≤x≤ ，C错误；若小球甲在最低点能返回，则有＞mg＋Ff，解得x＜ ，结合A项分析可知x＝，则有＜，可得初始电势能Ep0＝＜(mg－Ff) ，D正确。
专题突破13　电场中的图像问题及功能关系
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(建议用时：40分钟　满分：66分)
(选择题1～7题每题5分，8～11题每题6分，12题7分，共66分)
[基础巩固练]
1．(2025·北京房山一模)如图甲所示，直线AB是一条电场线。一正电荷仅在静电力作用下，以一定初速度沿电场线从A点运动到B点，运动过程中速度v随时间t变化的图像如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
图甲　　　　图乙
A．该电场线的方向是由B点指向A点
B．该电场可能是负点电荷产生的
C．A点电势小于B点电势
D．A点电场强度大于B点电场强度
解析：D　由图像可知，正电荷从A点到B点做加速度逐渐减小的加速运动，由于电荷带正电，则该电场线的方向是由A指向B，故A错误；根据牛顿第二定律a＝可知，A点处的场强比B点处的场强大，又电场方向由A点指向B点，则该电场不可能是由负点电荷产生的，故D正确，B错误；由于电场方向由A点指向B点，根据沿电场方向电势降低可知，A点电势大于B点电势，故C错误。
2．(2025·八省联考河南卷)某电场的电势φ随位置x的变化关系如图所示，O点为坐标原点，a、b、c、d为x轴上的四个点。一带正电粒子从d点由静止释放，在电场力作用下沿x轴运动，不计重力，则粒子(　　)
A．将在ad之间做周期性运动
B．在d点的电势能大于a点的电势能
C．在b点与c点所受电场力方向相同
D．将沿x轴负方向运动，可以到达O点
解析：A　由图可知，a、d两点电势相等，根据Ep＝qφ可知粒子在d点的电势能等于a点的电势能，故B错误；φ-x图像斜率表示电场强度，由图可知，b点与c点的电场强度方向相反，根据F＝qE可知在b点与c点所受电场力方向相反，故C错误；根据沿着电场线方向电势降低可知在d点电场方向为x轴负方向，粒子带正电，则粒子受到沿着x轴负方向的电场力，即粒子将沿x轴负方向运动，仅有电场力做功，则粒子的动能和电势能之和恒定，根据B选项分析可知，粒子在d点的电势能等于a点的电势能，则粒子在d点的动能等于a点的动能，均为0，即粒子将在ad之间做周期性运动，不能到达O点，故A正确，D错误。故选A。
3．(2025·河北昌黎一中一模)如图所示，竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一带负电小球(可视为质点)，小球获得一定初速度后绕O点在竖直平面内做圆周运动，不考虑空气阻力，则小球从a位置运动到b位置过程中(　　)
A．小球动能不变
B．小球机械能守恒
C．小球所受电场力做正功
D．小球电势能增加
解析：D　小球从a位置运动到b位置过程中，因为小球带负电，小球受到电场力向右，重力竖直向下，整个过程中重力做功为零，但是电场力一直做负功，所以动能会减小，故AC错误；小球从a位置运动到b位置过程中，电场力一直做负功，根据功能关系知小球的电势能增加，机械能减小，故B错误，D正确。
4．(2025·陕西普集中学二模)如图所示，在竖直向上的匀强电场中，A球位于B球的正上方，质量相等的两个小球以相同初速度水平抛出，它们最后落在水平面上同一点，其中只有一个小球带电，不计空气阻力，下列判断正确的是(　　)
A．如果A球带电，则A球一定带正电
B．如果A球带电，则A球的电势能一定减小
C．如果B球带电，则B球一定带负电
D．如果B球带电，则B球的电势能一定减小
解析：B　平抛时的初速度相同，在水平方向通过的位移相同，故下落时间相同，A球在上方，B球在下方，由h＝at2 可知，A球下落的加速度大于B球的加速度；如果A球带电，则A球的加速度大于B球，故A球受到向下的电场力，则A球一定带负电，电场力做正功，电势能一定减小，故A错误，B正确；同理可得，如果B球带电，则B球带正电，电场力对B球做负功，电势能一定增加，故CD错误。
5．(多选)(2025·辽宁沈阳模拟)如图所示，倾角为37°的绝缘粗糙斜面固定在水平面上，斜面上方有平行斜面向上的匀强电场。一质量为m＝1 kg的带正电小物块(视为质点)自斜面底端以v0＝6 m/s的初速度沿斜面向上运动，加速度大小为3 m/s2，方向沿斜面向下，小物块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2，则在小物块沿斜面向上滑行到最大距离的过程中，小物块的(　　)
A．重力势能增加36 J
B．电势能增加42 J
C．机械能增加18 J
D．机械能减少24 J
解析：AC　物块沿斜面向上运动，对其受力分析，根据牛顿第二定律得mg sin θ＋μmg cos θ－qE＝ma，解得qE＝7 N，物块沿斜面运动的位移为x＝＝6 m，重力势能增加了ΔEp＝mgh＝mgx sin 37°＝36 J，A正确；静电力做正功，电势能减小，ΔEp′＝－qEx＝－42 J，B错误；机械能的变化量为ΔE＝E2－E1＝mgh－mv2＝18 J，C正确，D错误。
6．(2024·湖南卷，5)真空中有电荷量为＋4q和－q的两个点电荷，分别固定在x轴上－1和0处。设无限远处电势为0，x正半轴上各点电势φ随x变化的图像正确的是(　　)
解析：D　无限远处电势为0，根据点电荷的电势公式φ＝k可知，x正半轴上，电荷量为＋4q的点电荷在x处产生的电势为φ1＝，电荷量为－q的点电荷在x处产生的电势为φ2＝－k，x正半轴上在x处的电势φx＝k，可知在x＝处电势为0，在x＝0处电势接近负无穷大，则选项D正确。
7．(多选)(2026·成都石室中学高三零模)匀强电场中，质量为m、带电荷量为q(q>0)且可视为质点的小球在长为L的绝缘轻绳拉力作用下绕固定点O在竖直平面内做圆周运动，M点和N点分别为圆周上的最低点和最高点，电场方向平行于圆周平面。已知运动过程中小球速度最小值为(g为重力加速度)，此时绳子拉力恰好为零。小球运动到M点时速度大小为且大于小球经过N点时的速度，不计空气阻力。若O点电势为零，下列说法正确的是(　　)
A．小球受到的电场力与重力的夹角为30°角
B．匀强电场的场强大小为
C．M点的电势为
D．小球从速度最小到速度最大的过程中，电场力做的功为2mgL
解析：BC　因运动过程中小球速度最小值为，此时绳子拉力恰好为零，可知小球受到的合力为F合＝m＝mg，因重力竖直向下，可知电场力大小也为mg，与重力夹角为120°，根据mg＝qE，可知匀强电场的场强大小为E＝，选项A错误，B正确；因MO两点的电势差为UMO＝EL cos 60°＝，O点电势为零，M点的电势为φM＝，选项C正确；小球从速度最小到速度最大的过程中，即从等效最高点Q到等效最低点P的过程中，电场力做的功为W＝qE cos 60°·2L＝mgL，选项D错误。故选BC。
[能力提升练]
8．(2025·山东日照一模)x轴上O、P两点分别固定点电荷甲、乙，电荷量的绝对值分别为q1、q2。一个带负电的试探电荷沿着x轴运动时，在O、P之间的电势能Ep随x变化关系如图所示，在P点右侧，运动到B点时电势能最大。已知OP＝PB，A点为O、P之间的中点，C点为P、B之间的中点，试探电荷运动到A点时加速度大小为a。若试探电荷仅受静电力的作用，下列判断正确的是(　　)
A．点电荷甲带正电，点电荷乙带负电
B．两个点电荷的电荷量满足q1＝2q2
C．P、B之间的电场方向沿着x轴负方向
D．试探电荷运动到C点时加速度大小为
解析：D　根据Ep＝qφ，又因为试探电荷带负电，所以两电荷间的电势沿着x轴的负方向降低，即电场线沿x轴的负方向，即甲带负电，乙带正电，故A错误；因为试探电荷运动到B点时电势能最大，即B点的电场强度为零，即k，解得q1＝4q2，故B错误；由B分析可知，B点的电场强度为零，则P、B之间的电场方向沿着x轴正方向，故C错误；设试探电荷的质量为m，电荷量为q，则试探电荷在A点时，根据牛顿第二定律k＝ma，在C点时，根据牛顿第二定律k＝maC，联立解得aC＝，故D正确。
9．(2025·八省联考内蒙古卷)如图，一带正电小球甲固定在光滑绝缘斜面上，另一带正电小球乙在斜面上由静止释放。以释放点为原点，沿斜面向下为正方向建立x轴。在乙沿x轴加速下滑过程中，其动能Ek和机械能E随位置x变化的图像，可能正确的是(　　)
解析：D　设两个带电小球间距为r，斜面倾角为θ，由动能定理可知(mg sin θ－k) x＝Ek，Ek-x图像的斜率表示合外力，则F合＝mg sin θ－，所以在乙沿x轴加速下滑过程中，两个带电小球间距r逐渐减小，合外力沿斜面向下逐渐减小，则斜率逐渐减小，故A、B不符合题意；E-x图像的斜率表示库仑力，则k斜＝k，所以在乙沿x轴加速下滑过程中，库仑力逐渐增大，E-x图像的斜率逐渐增大，故C不符合题意，D符合题意。故选D。
10．(2026·河南信阳模拟)如图所示，某无限长、竖直放置的粗糙绝缘直杆与等量异种电荷连线的中垂线重合，直杆上有A、B、O三点，其中O为等量异种点电荷连线的中点，AO＝BO＝L。现有一质量为m的带电小圆环从杆上A点以初速度v0向B点滑动，滑到B点时速度恰好为0。重力加速度大小为g，关于小圆环从A运动到B的过程，下列说法正确的是(　　)
A．电场力先做正功后做负功
B．小圆环的加速度先减小后增大
C．摩擦力对小圆环做功为mv02－2mgL
D．小圆环运动到O点时的动能为mv02
解析：D　等量异种点电荷连线的中垂线是等势线，故小圆环从A到B过程，电场力不做功，故A错误；从A到B，电场强度先增大后减小，故小圆环受到的电场力先增大后减小，由小圆环受到的摩擦力大小为Ff＝μFN＝μqE，可知小圆环受到的摩擦力先增大后减小，由牛顿第二定律有a＝，则小圆环的加速度先增大后减小，故B错误；小圆环从A到B过程，由动能定理有－mg×2L＋Wf＝0－mv02，解得摩擦力对圆环做功为Wf＝2mgL－mv02，故C错误；由对称性可知，小圆环从A到O过程和从O到B过程摩擦力做功相等，故小圆环从A到O过程，由动能定理有－mgL＋Wf＝Ek－mv02，解得小圆环运动到O点时的动能为Ek＝mv02，故D正确。故选D。
11．(多选)(2025·四川大数据精准教学联盟一模)三角形OPN是一光滑绝缘斜面，斜面足够长，斜面倾角为θ，以O点为坐标原点，沿斜面向下为x轴正方向，如图1所示，沿斜面加一静电场，其电场强度E随x变化的关系如图2所示，设x轴正方向为电场强度的正方向。现将一质量为m，电荷量为q的带电小球从O静止释放，且小球释放后沿斜面向下运动，已知qE0＝2mg sin θ，则下列说法正确的是(　　)
图1　　　　　　　　图2
A．小球一定带负电
B．小球在x＝x0处的动能为2qE0x0
C．小球沿斜面向下运动过程中最大速度为
D．小球沿斜面向下运动的最大位移为4x0
解析：AC　由题知，取沿斜面向下为x轴正方向，故最开始的电场强度方向沿斜面向上，若小球带正电，则最开始所受电场力沿斜面向上，又qE0＝2mg sin θ大于重力沿斜面向下的分力mg sin θ，故小球刚开始不可能沿斜面向下运动，所以小球带负电，故A正确；当小球运动x＝x0处时，电场强度为0，根据动能定理有mg sin θ·x0＋×qE0x0＝Ek，解得此时的动能为Ek＝qE0x0，故B错误；小球沿斜面向下运动过程中，当有最大速度时加速度为零，则有qE＝mg sin θ，解得E＝E0，由图2可知，设此时电场强度对应的横坐标为x，则有，解得x＝x0，从最开始到最大速度，根据动能定理有mg sin θ(x0＋x0)＋×qE0x0－×qE0×x0＝mvm2，解得vm＝，故C正确；当小球的速度为零时，小球沿斜面向下运动到最大位移设为xm，对应的电场强度为Em，由图2可知，从最开始运动到最大位移，根据动能定理有mg sin θ·xm＋×qE0x0－×qEm×(xm－x0)＝0，联立解得xm＝3x0，故D错误。
[培优创新练]
12．(多选)(2024·江西卷，10)如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为m、带同种电荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q和Q。在图示的坐标系中，小球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从x＝x0处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两点电荷的电势能Ep＝k(r为两点电荷之间的距离，k为静电力常量)。最大静摩擦力等于滑动摩擦力Ff，重力加速度为g。关于小球甲，下列说法正确的是(　　)
A．最低点的位置x＝
B．速率达到最大值时的位置x＝
C．最后停留位置x的区间是≤x≤
D．若在最低点能返回，则初始电势能Ep0<(mg －Ff)
解析：BD　小球甲从开始运动至第一次运动到最低点的过程，根据能量守恒定律有mg(x0－x)＝Ff(x0－x)＋，解得x＝，A错误；小球甲第一次向下运动至速度最大的位置，此时加速度为零，根据平衡条件有mg＝Ff＋，解得x＝，B正确；若小球甲停止是在下降的过程，且停止运动后恰好静止，有mg＋Ff＝，解得x1＝，若小球甲停止是在上升的过程，且停止运动后恰好静止，有mg＝＋Ff，解得x2＝，因此小球甲最后停留位置x的区间为≤x≤，C错误；若小球甲在最低点能返回，则有＞mg＋Ff，解得x＜ ，结合A项分析可知x＝，则有＜ ，可得初始电势能Ep0＝＜(mg－Ff) ，D正确。

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