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广东省深圳市南山实验教育集团2026年九年级二模数学试卷
1．米斗是古代用于称量粮食的木质量器，其常见的造型为口大底小，如图是它的几何示意图，下列选项是“米斗”的俯视图的是(　　)
A． B．
C． D．
2． T1100级碳纤维是一种高性能碳纤维材料，过去，这项技术长期被国外垄断。如今，深圳大学与长盛科技通过产学研合作实现研发与工程化量产。已知 T1100 级碳纤维单丝直径仅约5微米， 1微米等于0.000001米，则T1100级碳纤维单丝直径为(　　)
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是(　　)
A． B．
C． D．
4．如图，在 ABCD中， AC， BD相交于点O，下列条件不能判定 ABCD为矩形的是(　　)
A．∠BAD=90° B．AC=BD C．OA=OD D．AC⊥BD
5．如图，在平面直角坐标系中，A(3，2)，B(6，-2)，以原点O为位似中心画一个三角形，使它与△AOB位似，位似比为1：2，则点B的对应点B'的坐标是(　　)
A．(3， - 1) B．(12，-4)
C．(3， - 1)或(-3，1) D．(12， - 4)或(-12，4)
6．小南课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着一些档案盒，如图所示，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒的边CD与竖直放置的档案盒的边AB夹角为∠DCB=37°， DF=62cm，档案盒长CD=20m。小南用学过的数学知识计算出了每个档案盒的厚度，它是(　　)(参考数据：
A．5cm B．50cm C．4.75cm D．4.3cm
7．图1是我市梅林水库最深处的某一截面图，水库水面及水面下任意一点A 的压强p(单位：cmHg)与其离水面的深度h(单位：m)的函数解析式为P=kh+8，k为常数且k≠0，其图象如图2所示。根据图中信息分析数据，下列选项错误的是(　　)
A．水库水面大气压强为8cmHg
B．P与h的函数解析式为P=10h+8
C．水库水深29m处的压强为254cmHg
D．函数 P= kh+P0中自变量h的取值范围是0≤h≤58
8．定义：如果二次函数 与 满足 则称它们互为“旋转函数”。已知二次函数 与 互为“旋转函数”，则这两个函数的顶点距离为(　　)
A． B．10 C． D．
9．已知实数a，b满足 则 的值为　 　.
10．一个不透明的袋子中，装有除颜色外均相同的白球和红球共30个，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为0.4，估计袋中红球的个数为　 　。
11．在世界超级摩托车锦标赛 WSBK 葡萄牙站比赛中，张雪机车车手瓦伦丁·德比斯凭借精湛的过弯技术夺得冠军。摩托车过弯时，理想的路线通常遵循“外——内——外”原则，其弯心顶点位置与黄金分割比例有关。在某段弯道中，车手从弯道入口A到出口B的路线总长为50m，车手按黄金分割比例选择入弯点 C (曲线 AC>曲线 CB)，则入弯点 C 到入口 A 的路程AC=　 　m(结果精确到0.1m)
12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOC的边OA在x轴上，点C在反比例函数 图象上，将△AOC绕点O顺时针旋转60°至△BOD，点B 也在反比例函数图象上，且点 D、B、A刚好在一条直线上，若△BOC的面积为 则 k的值为　 　。
13．如图， △ABC中，点O为边AB的中点，连接CO并延长至点D，连接AD， BD，使得CO=OD+DB，若∠ABD+∠DAB=∠DCB， AD=4，则BC=　 　。
14．解不等式组： 并把不等式组的解集表示在数轴上。
15．观察下面的解题过程。
先化简，再求值： 其中a=：
解：原式=
（1）解题过程中开始出现错误的是步骤 ▲ (填序号)，请写出正确的化简过程；
（2）若代入求值后的值是3，求图中被遮住的a的值。
16． 【数据收集】
某教育集团为了从A，B两支篮球校队中选拔队员参加青少年投篮比赛，现组织两支队伍各8名篮球运动员在相同的条件下进行投篮比赛，每位运动员投篮10次，并对A，B两支队伍的运动员选手投中次数进行了数据收集。
【数据整理】
如图，将A，B两支队伍选手依次投中次数绘制成如下条形统计图。
【数据分析】
（1）小华同学利用图表对两队进行分析，请完成下列表格.
球队 平均数 中位数 最大值 方差
A 4次 　 　次 7次 4.25
B 　 　次 4次 5次 0.75
（2）根据小华的分析，你认为A，B两支队伍中谁的成绩更稳定，为什么
（3）集团决定从A队投中次数最高的同学和B队投中次数最高的同学中各选一人参加投篮比赛，请用列表或画树状图的方法，求两队都选中七号队员的概率是多少
17． 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品。请根据下列素材，完成任务。
素材1 某电商平台数据显示，“哭哭马”1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2 万件。
素材2 义乌某店铺以每件60元的价格购进“哭哭马”，当售价为80元/件时，日销量为48件。
素材3 市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加4件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销。
问题解决
任务1 求该电商平台“哭哭马”l月到3月销量的月平均增长率。
任务2 为使每日销售利润达到1020元，则每件“哭哭马”实际售价应定为多少元
18．如图1，在 Rt△ABC中， ∠ACB=90°。
（1）作Rt△ABC的外接圆⊙O；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
（2）在(1)的条件下，如图2，过点O作OE⊥BC于点E，过点C作CD，分别交OE、AB 的延长线于点 F、D，使得∠BCD=∠BOE。
①求证：CD 是⊙O 的切线；
②若
19．在平面直角坐标系中，平移抛物线 的图象，若其顶点 P 始终都在直线y= kx+b (k， b均为常数)上，则称直线y= kx+b为抛物线Q1的“k-b型亲密线”。
（1）当抛物线 Q1满足( 时，
①若此时抛物线 Q1的图象恰好经过原点，求顶点 P 的坐标；
②求该抛物线 Q1的“k-b型亲密线”的表达式；
（2）将抛物线Q1进行平移，得到抛物线 Q2，设抛物线 Q2与y轴交点的纵坐标为n，顶点 P的横坐标为 m，当-2≤m≤1时，n 有最小值 1，若此时抛物线 Q2有“k-3 型亲密线”，求 k 的值。
20．如图1，在菱形ABCD中，点E 是对角线BD上一点，点F 与点B关于AE对称，射线AE分别与直线 DF、BC分别交于点 G、H。
（1）如图2，已知∠ABC=90°，点 F 恰好落在对角线AC上时，
①∠G=　 　；
②若AD=4，则AE·AG=　 　；
（2）试猜想图1中∠G与∠ABC有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，已知 若点 F恰好落在菱形 ABCD 的某条边所在的直线上(不与顶点重合)，请直接写出此时 的值。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题可得俯视图是
故答案为：B.
【分析】利用三视图的定义并结合几何图分析求解即可.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：5微米=，
故答案为：B.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确；
B、∵不是同类项，∴B不正确；
C、∵，∴C不正确；
D、∵，∴D正确；
故答案为：D.
【分析】利用幂的乘方、完全平方公式、单项式乘单项式以及合并同类项的计算方法逐项分析判断即可.
4．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=90°，∴ ABCD为矩形，∴A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴ ABCD为矩形，∴B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，OA=OD，∴ ABCD为矩形，∴C不符合题意；
D∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴ ABCD为菱形，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）分析求解即可.
5．【答案】C
【知识点】点的坐标；图形位似变换的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵以原点O为位似中心画一个三角形，使它与△AOB位似，位似比为1：2，B（6， 2），
∴点B'的坐标为（6×， 2×）或（6×（ ）， 2×（ ），即（3， 1）或（ 3，1），
故答案为：C．
【分析】根据位似变换的性质解答．
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，∠DCB＝37°，CD＝20cm，
∴BD＝CD sin∠DCB＝20×sin37°≈12（cm），
∵DF＝62cm，
∴BF＝DF BD＝50（cm），
∴每个档案盒的厚度为50÷10＝5（cm），
故答案为：A．
【分析】根据题意，利用解直角三角形，求出BD长，结合已知条件，得到BF长，即可得到结果．
7．【答案】B
【知识点】函数解析式；通过函数图象获取信息；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：将h＝0代入P＝kh＋8，可得P＝8，即水库水面大气压强为8cmHg，故选项A正确，不符合题意；
∵点（58，500）在函数P＝kh＋8的图象上
∴58k＋8＝500，得k＝，即P＝h＋8，故选项B错误，符合题意；
当h＝29时，P＝×29＋8＝254，故选项C正确，不符合题意；
由图可知，函数P＝kh＋8中自变量h的取值范围是0≤h≤58，故选项D正确，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据题意和题目中的数据，先求出函数解析式，再将各选项中的数据代入计算并判断即可.
8．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：由题知，
因为二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝3x2＋6x 2互为“旋转函数”，
所以a＝ 3，b＝6，c＝2，
所以这两个函数的解析式为y＝ 3x2＋6x＋2和y＝3x2＋6x 2．
因为y＝ 3x2＋6x＋2＝ 3（x 1）2＋5，y＝3x2＋6x 2＝3（x＋1）2 5，
所以这两个函数图象的顶点坐标为（1，5）和（ 1， 5），
所以这两个函数的顶点之间的距离为：．
故答案为：A．
【分析】根据所给定义，分别求出这两个函数的解析式，据此得出顶点坐标即可解决问题．
9．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴a=，
∴==，
故答案为：.
【分析】利用可得a=，再将其代入计算即可.
10．【答案】18
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵白球和红球共30个，摸到白球的频率约为0.4，
∴红球的个数=30×（1-0.4）=18，
故答案为：18.
【分析】利用“频数=总数×频率”列出算式求解即可.
11．【答案】30.9
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵车手从弯道入口A到出口B的路线总长为50m，车手按黄金分割比例选择入弯点C（曲线AC＞曲线CB），
∴入弯点C到入口A的路程AC＝×50≈0.618×50＝30.9，
故答案为：30.9．
【分析】根据黄金分割的定义列式计算即可．
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；旋转全等模型
【解析】【解答】解：过B点作BE⊥AO于E点，如图，
根据旋转的性质可得：OA＝OB，∠AOB＝60°，∠DBO＝∠CAO，
∴△OAB是等边三角形，
∵BE⊥AO，
∴AE＝EO＝AO，则S△BAO＝2S△BOE＝|k|，
∵点D、B、A刚好在一条直线上，
∴∠DBO＋∠ABO＝180°，
∵∠ABO＝∠BAO＝∠AOB＝60°，
∴∠DBO＝120°，
∴∠CAO＝120°，
∴∠CAD＝60°，
∴∠CAD＝∠ABO，
∵AC∥BO
∴S△BCO＝S△BAO，
∵△BOC的面积为，
∴|k|＝，
∵反比例函数图象在第二象限，则k＜0，
∴k＝ ．
故答案为： ．
【分析】过B点作BE⊥AO于E点，根据旋转的性质可得：OA＝OB，∠AOB＝60°，即有△OAB是等边三角形，则有AE＝EO＝AO，得出S△BAO＝2S△BOE＝|k|，证得AC∥BO，可得S△BCO＝S△BAO，即可求解．
13．【答案】
【知识点】线段的中点；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意，在OC在取点E使得OE＝OD，连接BE．
又∵OA＝OB，∠AOD＝∠BOE，
∴△AOD≌△BOE（SAS）．
∴∠DAO＝∠EBO，AD＝BE＝4．
∵∠ABD＋∠DAB＝∠DCB，
∴∠ABD＋∠EBO＝∠DCB．
又∵∠ABD＋∠EBO＝∠EBD，
∴∠EBD＝∠DCB．
又∵∠EDB＝∠BDC，
∴△EDB∽△BDC．
∴，
即．
∴BD2＝CD ED．
设ED＝a，BD＝x，
∵CO＝OE＋EC＝OD＋BD，OE＝OD，
∴EC＝BD＝x.
∴x2＝（x＋a）a.
∴x2 ax a2＝0，则（）2 （） 1＝0．
∴（负值不合题意，舍去）．
∴．
∴BC＝
BE＝×4＝．
故答案为：．
【分析】依据题意，在OC在取点E使得OE＝OD，连接BE，先证明△AOD≌△BOE，从而∠DAO＝∠EBO，AD＝BE＝4，再证明△EDB∽△BDC，从而，即，则BD2＝CD ED，又设ED＝a，BD＝x，故x2＝（x＋a）a，可得（）2 （） 1＝0，进而求出（负值不合题意，舍去），最后计算可以得解．
14．【答案】解：解不等式①得： x>-3，
解不等式②得： x≤4，
所以不等式组的解集为-3将不等式的解集在数轴上表示如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
15．【答案】（1）解：③
原式
（2）解：∵代入后的值为3，
解得： a=-4
经检验，a=-4为原方程的根
【知识点】分式的化简求值；解分式方程；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）利用分式的乘除法的计算方法分析求解即可；
（2）利用“ 代入求值后的值是3 ”可得，再求出a的值并检验即可.
16．【答案】（1）3.5；4
（2）解：B队成绩更稳定，
因为
方差越小越稳定；
（3）解：A队命中次数最高的同学有两位，为五号和七号，B队命中次数最高的同学有三位，为二号、七号和八号。
共有六种等可能情况，其中A、B两队都选七号的结果只有一种；
P(A、B两队都选七号)
【知识点】用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）A队伍选手投中次数的中位数为：（3＋4）＝3.5；
B队伍选手投中次数的平均数为（3＋5＋3＋4＋3＋4＋5＋5）＝4；
故答案为：3.5，4；
【分析】（1）根据中位数和平均数的定义求解；
（2）根据方差的意义进行判断；
（3）A队投中次数最高为五号、七号，B队投中次数最高为二号、七号、八号，通过画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出两队都选中七号队员的结果数，然后根据概率公式求解．
17．【答案】解：任务1：设该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为x，
根据题意得：
解得： x1=0.1=10%， x2=-2.1 (不符合题意，舍去)
答：该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为10%；
任务2：设每件售价为m元，
(m-60) [48+ (80-m)×4]=1020，
解得：m1=75，m2=77
为了尽快减少库存
∴m=75，
答：每件售价应为75元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为x，利用“ 3月份销量已增至24.2 万件 ”列出方程求解即可；
任务2：设每件售价为m元，利用“ 每日销售利润达到1020元 ”列出方程求解即可.
18．【答案】（1）解：法1：构造三角形任意一边的中垂线
法2：构造等腰△AOC或等腰△BOC
如图⊙O 即为所求
（2）解：①连接OC
∵OE⊥BC
∴∠OEB=90°
∴∠BOE+∠OBE=90°在⊙O中， OC=OB
∴∠OCB=∠OBE
又∵∠BCD=∠BOE
∴∠BCD+∠OCB=90°
即∠OCF=90°
又∵点C在⊙O上
∴CD是⊙O 的切线
由①得： ∠OCF=90°
∴∠BCD+∠OCB=90°
又∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=90°
∴∠BCD=∠ACO
又∵在⊙O中， OC=OB
∴∠A=∠ACO
∴∠BCD=∠A
又∵∠D=∠D
∴△DBC∽△DCA
设BD=x，则 CD=2x
∵AB=9
∴AD=AB+BD=9+x
∴x=3
∴BD长为3
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；尺规作图-作三角形的外接圆
【解析】【分析】（1）利用外接圆的定义，先作出△ABC的外接圆的圆心，再作出圆即可；
（2）①连接OC，先求出∠OCF=90°，再结合点C在⊙O上，即可证出CD是⊙O 的切线；
②先证出△DBC∽△DCA，利用相似三角形的性质可得，再设BD=x，则 CD=2x，可得 ，最后求出x的值即可.
19．【答案】（1）解：
①将(0， 0)代入得：
解得：
其顶点坐标为(-1，-1)
∴其顶点坐标为(h，2h+1)
设x=h，则y=2h+1=2x+1
∴该二次函数“k-b型亲密线”为y=2x+1
（2）解：∵二次函数有“k-3型亲密线”
∴二次函数 平移后的顶点坐标在直线y=kx+3上
则二次函数可表示为
令x=0，则
∵当-2≤m≤1时， n有最小值1
∴①若 即k≥4
当m=-2时， n=7-2k为最小值1，解得k=3 (舍去)
②若 即k≤-2
当m=1时， n=4+k为最小值1，解得k=-3
③若 即-2≤k≤4
当 时， 为最小值1，解得 (舍去)综上，k的值为-3或
【知识点】二次函数的最值；二次函数-动态几何问题；二次函数图象的平移变换；分类讨论
【解析】【分析】（1）①将点（0，0）代入求出h的值可得h的值，再求出顶点坐标即可；
②先求出顶点坐标为(h，2h+1)，再设x=h，则y=2h+1=2x+1，从而得解；
（2）分类讨论：①若 即k≥4；②若 即k≤-2；③若 即-2≤k≤4，再分别求解即可.
20．【答案】（1）45°；16
（2）解：
证明如下：
法1：在菱形ABCD中， AB=AD， AD∥BC
∴∠ABD=∠ADB=∠DBC
∵折叠
∴∠BAE=∠FAE， AB=AF=AD
∴∠AFD=∠ADF
设∠BAE=∠FAE=x°， ∠ABD=∠DBC=y°，
∵AD∥BC
则∠DAF=180°-2x°-2y°，
∵∠AFD=∠FAE+∠G=x°+∠G
.
（3）或或．
【知识点】菱形的性质；四边形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵点F与点B关于AE对称，
∴AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，
∴AF＝AD，
∴∠AFD＝∠ADF，
∵点F在AC上，∠BAC＝∠DAC＝45°，
∴∠BAE＝∠CAE＝22.5°，
∴∠DAF＝90° 2×22.5°＝45°；
∴∠AFD＝＝67.5°，
∵∠AFD＝∠G＋∠FAG，∠FAG＝22.5°，
∴∠G＝67.5° 22.5°＝45°，
故答案为：45°；
②连接DG，由①知∠G＝45°，∠ADB＝45°，
∴∠ADB＝∠G，
又∵∠DAE＝∠GAD，
∴△ADE∽△AGD，
∴，
∴AE AG＝AD2，
∵AD＝4，
∴AE AG＝42＝16，
故答案为：16；
（3）解：分三种情况如下：
情况1：点F落在直线BC上，
∵四边形ABCD是菱形，设AB＝AD＝5，cos∠ABC＝，
由轴对称性质，AB＝AF＝5，
在△ABF中，作AH⊥BC于H，则BH＝AB cos∠ABC＝3，AH＝4，
∴BF＝2BH＝6，CF＝BF BC＝1，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△HBE，△ADG∽△HFG，
由相似比可得：，，
结合BF＝BC＋CF＝5＋CF，FC＝1，
解得；
情况2：点F落在直线CD上，
由轴对称性质，设AB＝AF＝AD＝5，
作AP⊥CD于P，则DP＝AD cos∠ADC＝3，AP＝4，
∴DF＝2DP＝6，CF＝DF CD＝1，
∵AB∥CD，
∴∠G＝∠BAH＝∠FAG，
∴FG＝FA＝5，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△HBE，△DAG∽△CHG，
∴，
，
∴CH＝AD＝，
∴BH＝BC CH＝5 ＝，
∴=，
∴EH＝AH，
又，
∴，
∴EH＝×GH＝GH，
解得：；
情况3：点F落在直线AB上，
由轴对称性质，设AB＝AF＝5，AE⊥BF，F在BA延长线上，AF＝5，
结合菱形边长AD＝5，可得F在A点上方，AF＝5，BH＝，
延长BH交FG于M，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△BMF，△ADE∽△HBE，△HMG∽△ADG，
∴，，，
∴BM＝2AD＝10，HM＝BM BH＝，
∴，，
∴EH＝AH，GH＝AH，
解得：；
综上，的值为或或．
【分析】（1）①利用正方形的性质、轴对称性质，推导角的关系，得∠G＝45°；
②构造相似三角形，利用相似三角形的性质得AE AG＝AD2；
（2）通过轴对称和菱形的性质，证明△ABE≌△AFE，结合等腰三角形性质和四边形内角和，推导∠G＝∠ABC；
（3）分类讨论，先分别画出图形，再利用三角函数、相似三角形性质分别求出的值即可．
1 / 1广东省深圳市南山实验教育集团2026年九年级二模数学试卷
1．米斗是古代用于称量粮食的木质量器，其常见的造型为口大底小，如图是它的几何示意图，下列选项是“米斗”的俯视图的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题可得俯视图是
故答案为：B.
【分析】利用三视图的定义并结合几何图分析求解即可.
2． T1100级碳纤维是一种高性能碳纤维材料，过去，这项技术长期被国外垄断。如今，深圳大学与长盛科技通过产学研合作实现研发与工程化量产。已知 T1100 级碳纤维单丝直径仅约5微米， 1微米等于0.000001米，则T1100级碳纤维单丝直径为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：5微米=，
故答案为：B.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．下列计算正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确；
B、∵不是同类项，∴B不正确；
C、∵，∴C不正确；
D、∵，∴D正确；
故答案为：D.
【分析】利用幂的乘方、完全平方公式、单项式乘单项式以及合并同类项的计算方法逐项分析判断即可.
4．如图，在 ABCD中， AC， BD相交于点O，下列条件不能判定 ABCD为矩形的是(　　)
A．∠BAD=90° B．AC=BD C．OA=OD D．AC⊥BD
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=90°，∴ ABCD为矩形，∴A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴ ABCD为矩形，∴B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，OA=OD，∴ ABCD为矩形，∴C不符合题意；
D∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴ ABCD为菱形，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）分析求解即可.
5．如图，在平面直角坐标系中，A(3，2)，B(6，-2)，以原点O为位似中心画一个三角形，使它与△AOB位似，位似比为1：2，则点B的对应点B'的坐标是(　　)
A．(3， - 1) B．(12，-4)
C．(3， - 1)或(-3，1) D．(12， - 4)或(-12，4)
【答案】C
【知识点】点的坐标；图形位似变换的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵以原点O为位似中心画一个三角形，使它与△AOB位似，位似比为1：2，B（6， 2），
∴点B'的坐标为（6×， 2×）或（6×（ ）， 2×（ ），即（3， 1）或（ 3，1），
故答案为：C．
【分析】根据位似变换的性质解答．
6．小南课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着一些档案盒，如图所示，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒的边CD与竖直放置的档案盒的边AB夹角为∠DCB=37°， DF=62cm，档案盒长CD=20m。小南用学过的数学知识计算出了每个档案盒的厚度，它是(　　)(参考数据：
A．5cm B．50cm C．4.75cm D．4.3cm
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，∠DCB＝37°，CD＝20cm，
∴BD＝CD sin∠DCB＝20×sin37°≈12（cm），
∵DF＝62cm，
∴BF＝DF BD＝50（cm），
∴每个档案盒的厚度为50÷10＝5（cm），
故答案为：A．
【分析】根据题意，利用解直角三角形，求出BD长，结合已知条件，得到BF长，即可得到结果．
7．图1是我市梅林水库最深处的某一截面图，水库水面及水面下任意一点A 的压强p(单位：cmHg)与其离水面的深度h(单位：m)的函数解析式为P=kh+8，k为常数且k≠0，其图象如图2所示。根据图中信息分析数据，下列选项错误的是(　　)
A．水库水面大气压强为8cmHg
B．P与h的函数解析式为P=10h+8
C．水库水深29m处的压强为254cmHg
D．函数 P= kh+P0中自变量h的取值范围是0≤h≤58
【答案】B
【知识点】函数解析式；通过函数图象获取信息；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：将h＝0代入P＝kh＋8，可得P＝8，即水库水面大气压强为8cmHg，故选项A正确，不符合题意；
∵点（58，500）在函数P＝kh＋8的图象上
∴58k＋8＝500，得k＝，即P＝h＋8，故选项B错误，符合题意；
当h＝29时，P＝×29＋8＝254，故选项C正确，不符合题意；
由图可知，函数P＝kh＋8中自变量h的取值范围是0≤h≤58，故选项D正确，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据题意和题目中的数据，先求出函数解析式，再将各选项中的数据代入计算并判断即可.
8．定义：如果二次函数 与 满足 则称它们互为“旋转函数”。已知二次函数 与 互为“旋转函数”，则这两个函数的顶点距离为(　　)
A． B．10 C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：由题知，
因为二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝3x2＋6x 2互为“旋转函数”，
所以a＝ 3，b＝6，c＝2，
所以这两个函数的解析式为y＝ 3x2＋6x＋2和y＝3x2＋6x 2．
因为y＝ 3x2＋6x＋2＝ 3（x 1）2＋5，y＝3x2＋6x 2＝3（x＋1）2 5，
所以这两个函数图象的顶点坐标为（1，5）和（ 1， 5），
所以这两个函数的顶点之间的距离为：．
故答案为：A．
【分析】根据所给定义，分别求出这两个函数的解析式，据此得出顶点坐标即可解决问题．
9．已知实数a，b满足 则 的值为　 　.
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴a=，
∴==，
故答案为：.
【分析】利用可得a=，再将其代入计算即可.
10．一个不透明的袋子中，装有除颜色外均相同的白球和红球共30个，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为0.4，估计袋中红球的个数为　 　。
【答案】18
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵白球和红球共30个，摸到白球的频率约为0.4，
∴红球的个数=30×（1-0.4）=18，
故答案为：18.
【分析】利用“频数=总数×频率”列出算式求解即可.
11．在世界超级摩托车锦标赛 WSBK 葡萄牙站比赛中，张雪机车车手瓦伦丁·德比斯凭借精湛的过弯技术夺得冠军。摩托车过弯时，理想的路线通常遵循“外——内——外”原则，其弯心顶点位置与黄金分割比例有关。在某段弯道中，车手从弯道入口A到出口B的路线总长为50m，车手按黄金分割比例选择入弯点 C (曲线 AC>曲线 CB)，则入弯点 C 到入口 A 的路程AC=　 　m(结果精确到0.1m)
【答案】30.9
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵车手从弯道入口A到出口B的路线总长为50m，车手按黄金分割比例选择入弯点C（曲线AC＞曲线CB），
∴入弯点C到入口A的路程AC＝×50≈0.618×50＝30.9，
故答案为：30.9．
【分析】根据黄金分割的定义列式计算即可．
12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOC的边OA在x轴上，点C在反比例函数 图象上，将△AOC绕点O顺时针旋转60°至△BOD，点B 也在反比例函数图象上，且点 D、B、A刚好在一条直线上，若△BOC的面积为 则 k的值为　 　。
【答案】
【知识点】三角形的面积；旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；旋转全等模型
【解析】【解答】解：过B点作BE⊥AO于E点，如图，
根据旋转的性质可得：OA＝OB，∠AOB＝60°，∠DBO＝∠CAO，
∴△OAB是等边三角形，
∵BE⊥AO，
∴AE＝EO＝AO，则S△BAO＝2S△BOE＝|k|，
∵点D、B、A刚好在一条直线上，
∴∠DBO＋∠ABO＝180°，
∵∠ABO＝∠BAO＝∠AOB＝60°，
∴∠DBO＝120°，
∴∠CAO＝120°，
∴∠CAD＝60°，
∴∠CAD＝∠ABO，
∵AC∥BO
∴S△BCO＝S△BAO，
∵△BOC的面积为，
∴|k|＝，
∵反比例函数图象在第二象限，则k＜0，
∴k＝ ．
故答案为： ．
【分析】过B点作BE⊥AO于E点，根据旋转的性质可得：OA＝OB，∠AOB＝60°，即有△OAB是等边三角形，则有AE＝EO＝AO，得出S△BAO＝2S△BOE＝|k|，证得AC∥BO，可得S△BCO＝S△BAO，即可求解．
13．如图， △ABC中，点O为边AB的中点，连接CO并延长至点D，连接AD， BD，使得CO=OD+DB，若∠ABD+∠DAB=∠DCB， AD=4，则BC=　 　。
【答案】
【知识点】线段的中点；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意，在OC在取点E使得OE＝OD，连接BE．
又∵OA＝OB，∠AOD＝∠BOE，
∴△AOD≌△BOE（SAS）．
∴∠DAO＝∠EBO，AD＝BE＝4．
∵∠ABD＋∠DAB＝∠DCB，
∴∠ABD＋∠EBO＝∠DCB．
又∵∠ABD＋∠EBO＝∠EBD，
∴∠EBD＝∠DCB．
又∵∠EDB＝∠BDC，
∴△EDB∽△BDC．
∴，
即．
∴BD2＝CD ED．
设ED＝a，BD＝x，
∵CO＝OE＋EC＝OD＋BD，OE＝OD，
∴EC＝BD＝x.
∴x2＝（x＋a）a.
∴x2 ax a2＝0，则（）2 （） 1＝0．
∴（负值不合题意，舍去）．
∴．
∴BC＝
BE＝×4＝．
故答案为：．
【分析】依据题意，在OC在取点E使得OE＝OD，连接BE，先证明△AOD≌△BOE，从而∠DAO＝∠EBO，AD＝BE＝4，再证明△EDB∽△BDC，从而，即，则BD2＝CD ED，又设ED＝a，BD＝x，故x2＝（x＋a）a，可得（）2 （） 1＝0，进而求出（负值不合题意，舍去），最后计算可以得解．
14．解不等式组： 并把不等式组的解集表示在数轴上。
【答案】解：解不等式①得： x>-3，
解不等式②得： x≤4，
所以不等式组的解集为-3将不等式的解集在数轴上表示如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
15．观察下面的解题过程。
先化简，再求值： 其中a=：
解：原式=
（1）解题过程中开始出现错误的是步骤 ▲ (填序号)，请写出正确的化简过程；
（2）若代入求值后的值是3，求图中被遮住的a的值。
【答案】（1）解：③
原式
（2）解：∵代入后的值为3，
解得： a=-4
经检验，a=-4为原方程的根
【知识点】分式的化简求值；解分式方程；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）利用分式的乘除法的计算方法分析求解即可；
（2）利用“ 代入求值后的值是3 ”可得，再求出a的值并检验即可.
16． 【数据收集】
某教育集团为了从A，B两支篮球校队中选拔队员参加青少年投篮比赛，现组织两支队伍各8名篮球运动员在相同的条件下进行投篮比赛，每位运动员投篮10次，并对A，B两支队伍的运动员选手投中次数进行了数据收集。
【数据整理】
如图，将A，B两支队伍选手依次投中次数绘制成如下条形统计图。
【数据分析】
（1）小华同学利用图表对两队进行分析，请完成下列表格.
球队 平均数 中位数 最大值 方差
A 4次 　 　次 7次 4.25
B 　 　次 4次 5次 0.75
（2）根据小华的分析，你认为A，B两支队伍中谁的成绩更稳定，为什么
（3）集团决定从A队投中次数最高的同学和B队投中次数最高的同学中各选一人参加投篮比赛，请用列表或画树状图的方法，求两队都选中七号队员的概率是多少
【答案】（1）3.5；4
（2）解：B队成绩更稳定，
因为
方差越小越稳定；
（3）解：A队命中次数最高的同学有两位，为五号和七号，B队命中次数最高的同学有三位，为二号、七号和八号。
共有六种等可能情况，其中A、B两队都选七号的结果只有一种；
P(A、B两队都选七号)
【知识点】用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）A队伍选手投中次数的中位数为：（3＋4）＝3.5；
B队伍选手投中次数的平均数为（3＋5＋3＋4＋3＋4＋5＋5）＝4；
故答案为：3.5，4；
【分析】（1）根据中位数和平均数的定义求解；
（2）根据方差的意义进行判断；
（3）A队投中次数最高为五号、七号，B队投中次数最高为二号、七号、八号，通过画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出两队都选中七号队员的结果数，然后根据概率公式求解．
17． 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品。请根据下列素材，完成任务。
素材1 某电商平台数据显示，“哭哭马”1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2 万件。
素材2 义乌某店铺以每件60元的价格购进“哭哭马”，当售价为80元/件时，日销量为48件。
素材3 市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加4件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销。
问题解决
任务1 求该电商平台“哭哭马”l月到3月销量的月平均增长率。
任务2 为使每日销售利润达到1020元，则每件“哭哭马”实际售价应定为多少元
【答案】解：任务1：设该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为x，
根据题意得：
解得： x1=0.1=10%， x2=-2.1 (不符合题意，舍去)
答：该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为10%；
任务2：设每件售价为m元，
(m-60) [48+ (80-m)×4]=1020，
解得：m1=75，m2=77
为了尽快减少库存
∴m=75，
答：每件售价应为75元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为x，利用“ 3月份销量已增至24.2 万件 ”列出方程求解即可；
任务2：设每件售价为m元，利用“ 每日销售利润达到1020元 ”列出方程求解即可.
18．如图1，在 Rt△ABC中， ∠ACB=90°。
（1）作Rt△ABC的外接圆⊙O；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
（2）在(1)的条件下，如图2，过点O作OE⊥BC于点E，过点C作CD，分别交OE、AB 的延长线于点 F、D，使得∠BCD=∠BOE。
①求证：CD 是⊙O 的切线；
②若
【答案】（1）解：法1：构造三角形任意一边的中垂线
法2：构造等腰△AOC或等腰△BOC
如图⊙O 即为所求
（2）解：①连接OC
∵OE⊥BC
∴∠OEB=90°
∴∠BOE+∠OBE=90°在⊙O中， OC=OB
∴∠OCB=∠OBE
又∵∠BCD=∠BOE
∴∠BCD+∠OCB=90°
即∠OCF=90°
又∵点C在⊙O上
∴CD是⊙O 的切线
由①得： ∠OCF=90°
∴∠BCD+∠OCB=90°
又∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=90°
∴∠BCD=∠ACO
又∵在⊙O中， OC=OB
∴∠A=∠ACO
∴∠BCD=∠A
又∵∠D=∠D
∴△DBC∽△DCA
设BD=x，则 CD=2x
∵AB=9
∴AD=AB+BD=9+x
∴x=3
∴BD长为3
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；尺规作图-作三角形的外接圆
【解析】【分析】（1）利用外接圆的定义，先作出△ABC的外接圆的圆心，再作出圆即可；
（2）①连接OC，先求出∠OCF=90°，再结合点C在⊙O上，即可证出CD是⊙O 的切线；
②先证出△DBC∽△DCA，利用相似三角形的性质可得，再设BD=x，则 CD=2x，可得 ，最后求出x的值即可.
19．在平面直角坐标系中，平移抛物线 的图象，若其顶点 P 始终都在直线y= kx+b (k， b均为常数)上，则称直线y= kx+b为抛物线Q1的“k-b型亲密线”。
（1）当抛物线 Q1满足( 时，
①若此时抛物线 Q1的图象恰好经过原点，求顶点 P 的坐标；
②求该抛物线 Q1的“k-b型亲密线”的表达式；
（2）将抛物线Q1进行平移，得到抛物线 Q2，设抛物线 Q2与y轴交点的纵坐标为n，顶点 P的横坐标为 m，当-2≤m≤1时，n 有最小值 1，若此时抛物线 Q2有“k-3 型亲密线”，求 k 的值。
【答案】（1）解：
①将(0， 0)代入得：
解得：
其顶点坐标为(-1，-1)
∴其顶点坐标为(h，2h+1)
设x=h，则y=2h+1=2x+1
∴该二次函数“k-b型亲密线”为y=2x+1
（2）解：∵二次函数有“k-3型亲密线”
∴二次函数 平移后的顶点坐标在直线y=kx+3上
则二次函数可表示为
令x=0，则
∵当-2≤m≤1时， n有最小值1
∴①若 即k≥4
当m=-2时， n=7-2k为最小值1，解得k=3 (舍去)
②若 即k≤-2
当m=1时， n=4+k为最小值1，解得k=-3
③若 即-2≤k≤4
当 时， 为最小值1，解得 (舍去)综上，k的值为-3或
【知识点】二次函数的最值；二次函数-动态几何问题；二次函数图象的平移变换；分类讨论
【解析】【分析】（1）①将点（0，0）代入求出h的值可得h的值，再求出顶点坐标即可；
②先求出顶点坐标为(h，2h+1)，再设x=h，则y=2h+1=2x+1，从而得解；
（2）分类讨论：①若 即k≥4；②若 即k≤-2；③若 即-2≤k≤4，再分别求解即可.
20．如图1，在菱形ABCD中，点E 是对角线BD上一点，点F 与点B关于AE对称，射线AE分别与直线 DF、BC分别交于点 G、H。
（1）如图2，已知∠ABC=90°，点 F 恰好落在对角线AC上时，
①∠G=　 　；
②若AD=4，则AE·AG=　 　；
（2）试猜想图1中∠G与∠ABC有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，已知 若点 F恰好落在菱形 ABCD 的某条边所在的直线上(不与顶点重合)，请直接写出此时 的值。
【答案】（1）45°；16
（2）解：
证明如下：
法1：在菱形ABCD中， AB=AD， AD∥BC
∴∠ABD=∠ADB=∠DBC
∵折叠
∴∠BAE=∠FAE， AB=AF=AD
∴∠AFD=∠ADF
设∠BAE=∠FAE=x°， ∠ABD=∠DBC=y°，
∵AD∥BC
则∠DAF=180°-2x°-2y°，
∵∠AFD=∠FAE+∠G=x°+∠G
.
（3）或或．
【知识点】菱形的性质；四边形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵点F与点B关于AE对称，
∴AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，
∴AF＝AD，
∴∠AFD＝∠ADF，
∵点F在AC上，∠BAC＝∠DAC＝45°，
∴∠BAE＝∠CAE＝22.5°，
∴∠DAF＝90° 2×22.5°＝45°；
∴∠AFD＝＝67.5°，
∵∠AFD＝∠G＋∠FAG，∠FAG＝22.5°，
∴∠G＝67.5° 22.5°＝45°，
故答案为：45°；
②连接DG，由①知∠G＝45°，∠ADB＝45°，
∴∠ADB＝∠G，
又∵∠DAE＝∠GAD，
∴△ADE∽△AGD，
∴，
∴AE AG＝AD2，
∵AD＝4，
∴AE AG＝42＝16，
故答案为：16；
（3）解：分三种情况如下：
情况1：点F落在直线BC上，
∵四边形ABCD是菱形，设AB＝AD＝5，cos∠ABC＝，
由轴对称性质，AB＝AF＝5，
在△ABF中，作AH⊥BC于H，则BH＝AB cos∠ABC＝3，AH＝4，
∴BF＝2BH＝6，CF＝BF BC＝1，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△HBE，△ADG∽△HFG，
由相似比可得：，，
结合BF＝BC＋CF＝5＋CF，FC＝1，
解得；
情况2：点F落在直线CD上，
由轴对称性质，设AB＝AF＝AD＝5，
作AP⊥CD于P，则DP＝AD cos∠ADC＝3，AP＝4，
∴DF＝2DP＝6，CF＝DF CD＝1，
∵AB∥CD，
∴∠G＝∠BAH＝∠FAG，
∴FG＝FA＝5，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△HBE，△DAG∽△CHG，
∴，
，
∴CH＝AD＝，
∴BH＝BC CH＝5 ＝，
∴=，
∴EH＝AH，
又，
∴，
∴EH＝×GH＝GH，
解得：；
情况3：点F落在直线AB上，
由轴对称性质，设AB＝AF＝5，AE⊥BF，F在BA延长线上，AF＝5，
结合菱形边长AD＝5，可得F在A点上方，AF＝5，BH＝，
延长BH交FG于M，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△BMF，△ADE∽△HBE，△HMG∽△ADG，
∴，，，
∴BM＝2AD＝10，HM＝BM BH＝，
∴，，
∴EH＝AH，GH＝AH，
解得：；
综上，的值为或或．
【分析】（1）①利用正方形的性质、轴对称性质，推导角的关系，得∠G＝45°；
②构造相似三角形，利用相似三角形的性质得AE AG＝AD2；
（2）通过轴对称和菱形的性质，证明△ABE≌△AFE，结合等腰三角形性质和四边形内角和，推导∠G＝∠ABC；
（3）分类讨论，先分别画出图形，再利用三角函数、相似三角形性质分别求出的值即可．
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