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四川成都市2025-2026学年高三下学期定时练习数学试题
1．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．设复数z满足，则（　　）
A． B．1 C． D．2
3．已知点为函数图象上的两个相邻对称中心，则的最小正周期为（　　）
A． B． C． D．
4．某校高三年级有男生300人，女生200人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从该校全体高三学生中抽取一个容量为100的样本，如果样本按比例分配，得到男生 女生的平均身高分别为和，则估计该校高三年级学生的平均身高为（　　）
A． B． C． D．
5．已知数列满足，则（　　）
A． B． C． D．
6．若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（　　）
A． B． C． D．
7．已知，则（　　）
A． B． C． D．
8．若函数在区间上有最大值，则正整数的值有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
9．已知平面向量，则（　　）
A． B．
C． D．
10．已知双曲线的左 右焦点分别为，为双曲线上一点，若，，，中有且仅有个点在双曲线上，则（　　）
A．双曲线的渐近线斜率为 B．
C．的面积为 D．的最小值为
11．若定义在上的函数满足是偶函数，，则（　　）
A． B．是奇函数
C．的图象关于直线对称 D．
12．已知成等比数列，且，若，则　 　.
13．已知圆台的底面半径分别为1和2，高为，底面圆周均在球的球面上，则球的表面积为　 　.
14．已知集合，若函数满足：，都有，则符合条件的函数共有　 　个.
15．在中，角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）若，求的面积.
16．2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图.
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份代码 1 2 3 4 5
我国全口径发电量（单位：万亿千瓦时） 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58
（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立关于的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量.
参考数据：.
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数.
17．如图，在菱形中，，，将沿翻折至，连接构成四棱锥．
（1）证明：平面；
（2）若二面角的余弦值为．
①求的长；
②设在平面上的射影为，直线与交于点，为的中点，证明：平面．
18．已知椭圆的左焦点为.
（1）求的离心率；
（2）为上一点，在处的切线为.
①证明：的方程为；
②设的右顶点为交直线于点与交于点为坐标原点，求的最小值.
19．设函数.
（1）当时，证明：；
（2）已知函数在区间内存在极值点.
①求的取值范围；
②是否存在，使？若存在，比较与的大小；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：，即集合，集合，
则.
故答案为：C.
【分析】解指数不等式求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由，可得，则＝.
故答案为：C.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简求得，再根据复数的模长公式求解即可.
3．【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由题意可知，，则的最小正周期.
故答案为：B.
【分析】根据余弦型函数的图象和性质求解即可.
4．【答案】C
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：易知抽样比为，则抽取的100人中，男生60人，女生40人，
样本平均数为，估计该校学生的平均身高是.
故答案为：C.
【分析】先计算分层抽样的抽样比，再计算抽取的100人中，男生和女生的人数，最后计算样本的平均数，利用样本平均数估计该校学生的平均身高即可.
5．【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由，变形为，
则数列为公差为的等差数列，，即，故．
故答案为：C.
【分析】将数列的递推式变形为，可得数列为公差为的等差数列，利用等差数列求通项公式求得，即可求的值.
6．【答案】D
【知识点】抛物线的标准方程；曲线与方程
【解析】【解答】解：设圆心，圆过点，且与轴相切，
则，化简得，即得，
则圆心的轨迹方程为.
故答案为：D.
【分析】设圆心，根据圆心到点的距离等于到轴距离列式，化简求圆心的轨迹方程即可.
7．【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：将两边平方得，
因为，所以，所以，
则，即.
故答案为：A.
【分析】将已知式子两边平方，结合同角三角函数基本关系以及正弦的二倍角公式求得的值，再根据的范围和，确定的最终范围，最后根据同角三角函数基本关系求解即可.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
令，解得或，
由题意，，，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，
在区间上有最大值，则必须要保证极大值点在区间内且，
即，
整理得 ，即，解得，
又因为，所以可取共5个.
故答案为：C.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，结合在区间上有最大值，列不等式组求解出的取值范围，最后再根据为正整数确定的个数即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：，
A、，则，故A正确；
B、，则，
即，故B正确；
C、由，则，
，因为，所以与不共线，故C错误；
D、由，且，
则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用向量坐标的线性运算，结合向量模的坐标表示求解即可判断A；根据向量坐标的数量积运算求解即可判断B；根据向量的坐标表示判断与是否共线即可判断C；利用响亮的夹角公式求解即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；平面内两点间的距离公式；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线关于原点中心对称，且关于轴，轴轴对称，
因为关于轴对称，关于轴对称，关于原点对称，而与三点既不关于原点中心对称，也不关于轴，轴轴对称，所以在双曲线上，不在双曲线上，
因为在双曲线上，所以，化简得，解得，
所以双曲线的方程为，因此，，，
A、渐近线方程为，斜率为，故A正确；
B、，，，，，所以，故B错误；
C、，，，
的直线方程为，，
到的距离，
所以的面积，故C正确；
D、要使得取最小值，则点在双曲线的右支上，
根据双曲线定义得，即，，
当三点共线且在之间时，最小，
，所以最小值为，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】根据双曲线的对称性，结合题意，确定在曲线上，A不在，将点代入双曲线方程求得，得双曲线的方程，以及基本量，，的值，再求双曲线的渐近线即可判断A；利用两点间的距离公式计算即可判断B；利用两点间距离公式以及点到直线的距离公式和三角形面积公式求解即可判断C；要使得取最小值，则点在双曲线的右支上，利用双曲线定义转化，结合三点共线求最值即可判断D．
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：A、∵，∴，故A正确；
B、∵是偶函数，∴，
∴函数关于直线对称，∴，
∵，∴，∴是奇函数，故B正确；
C、若的图象关于直线对称，则，
但是，，即，这与假设条件矛盾，故错误；
D、∵，∴，∴，∴的周期为，
将代入，得，
将，代入，得，同理可知，
又∵的周期为，∴正奇数项的周期为，
∴
，故正确.
故答案为：ABD.
【分析】由，利用赋值法求值即可判断A；根据为偶函数求得函数关于直线对称，再根据函数奇偶性的性质求解即可判断B；利用反证法，推出矛盾即可判断C；由变形求出函数的周期，利用函数的周期性结合赋值法求和即可判断D.
12．【答案】2
【知识点】等比数列的性质；等比中项
【解析】【解答】解：因为成等比数列，所以，，
则，即，因为，所以，则.
故答案为：2.
【分析】由成等比数列，且，根据等比数列性质求得，再解关于的方程，即可求得a的值.
13．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图是球的大圆截圆台得轴截面是圆的内接等腰梯形，分别是圆台下底、上底圆心，则为圆台的高，直线过，
由已知，，，
设，若在线段上，则，
，即，解得，所以与重合，
若在延长线上，则，
则，解得，即与重合，球半径为，
故表面积为.
故答案为：.
【分析】作球的大圆截圆台得轴截面是圆的内接等腰梯形，分别是圆台下底、上底圆心，则为圆台的高，直线过，设，分在线段上和在延长线上两种情况讨论，求得球半径，再计算表面积即可.
14．【答案】
【知识点】元素与集合的关系；函数的概念及其构成要素；分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：当集合中所有元素只和集合中一个元素对应时，显然符合，都有，此时可以构成个函数；
当集合中元素只和集合中二个元素对应时，这时这两个元素分别为，共5种情况，
以为例，集合中每一个元素都有2种对应方式，因此这样可以形成
个函数，但是会出现集合中所有元素都与或2对应，
因此构成函数的个数为个，
所以这种方式一共有个不同的函数；
当集合中元素只和集合中三个元素对应时，这时这三个元素分别为，共2种情况，
以为例，集合中每一个元素都有3种对应方式，因此这样可以形成
个函数，但是会出现集合中所有元素都与或2或3对应，或，或，或对应，所以可以形成个不同的函数，
所以这种方式构成的函数有个；
当集合中元素和集合中四个元素都对应时，这样出现，不符合题意，
综上所述：符合条件的函数共有个.
故答案为：.
【分析】由题意，根据函数的定义，以及函数值域的性质、分集合中所有元素只和集合中一个元素对应；当集合中元素只和集合中二个元素对应以及当集合中元素只和集合中三个元素对应、当集合中元素和集合中四个元素都对应四种情况讨论，结合分类计数原理和分步计数原理求解即可.
15．【答案】（1）解：，
由正弦定理，
整理得，
因为，所以，又因为，所以；
（2）解：，，
，即，解得，则，
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式化简求角即可；
（2）利用余弦定理，结合三角形的面积公式计算即可．
（1）解：，
利用正弦定理：，
整理得：，
由于，
所以，因为，所以；
（2），，
，即，
解得（负值已舍去），则，
.
16．【答案】（1）解：因为，
所以，
所以，
故可用线性回归模型拟合与的关系；
（2）解：，
则，即经验回归方程为，
令，则，
故预估2026年我国全口径发电量为（万亿千瓦时）.
【知识点】散点图；线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）计算相关系数，根据相关系数判断即可；
（2）根据公式求，得经验回归方程，再令，预测2026年我国全口径发电量即可.
（1）因为，
所以，
所以
，
故可用线性回归模型拟合与的关系；
（2），
则，
则经验回归方程为，
令，则，
故预估2026年我国全口径发电量为（万亿千瓦时）
17．【答案】（1）证明：连接交于点，连接，如图所示：
因为是菱形，所以，所以，，
因为沿翻折至，所以，且，
又平面，，
所以平面；
（2）解：①由（1）知，，平面，平面，
所以是二面角的平面角，故，
菱形中，，，，
所以在中，，
故，即；
②由（1）知平面，因为平面，所以平面平面，
因为在平面上的射影为，平面平面，所以，
过点作平面的垂线，垂足为，连接并延长交于点，连接，如图所示：
由①知，，，故，从而，，
因为与相似，所以，故，所以为的中点，
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面，，所以平面平面，
因为平面，所以平面．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角；解三角形
【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，由为菱形，利用菱形对角线互相垂直，得，再由翻折的不变性，得，结合，根据线面垂直判定定理证明平面即可；
（2）① 由（1）知，，平面，平面，即是二面角的平面角，在菱形中求出，翻折后，再在中，利用余弦定理求即可；
②由（1）知平面，利用面面垂直性质确定在底面的射影在上，再通过相似三角形推出为的中点，利用中位线分别证明、，从而证得平面平面，最后根据面面平行的性质证明平面即可．
（1）连接交于点，连接，
因为是菱形，所以，所以，，
因为沿翻折至，所以，且，
又平面，，
所以平面；
（2）①由（1）知，，平面，平面，
所以是二面角的平面角，故，
菱形中，，，，
所以在中，，
故，即；
②由（1）知平面，因为平面，所以平面平面，
因为在平面上的射影为，平面平面，所以．
过点作平面的垂线，垂足为，连接并延长交于点，连接，
由①知，，，故，从而，，
因为与相似，所以，故，
所以为的中点，
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面，，
所以平面平面，
因为平面，所以平面．
18．【答案】（1）解：由椭圆，可得，，
则的离心率；
（2）解：①由点在椭圆上，得，则点在直线上，
由，联立消去得，
即，
也即，
将代入上式化简，得，
因为，
故切线的方程为；
②由①知，的方程为，当时，，则得，
由于，故直线的斜率，
由于，故直线的斜率，
又与交于点，所以，
设，则，
化简得的轨迹方程为，
，
所以当时，的最小值为．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）直接利用椭圆的离心率公式求解即可；
（2）①、由点在椭圆上，得，则点在直线上，联立直线与椭圆方程，证明与椭圆相切即可；
②、由①知，的方程为，当时，，得，先得到点坐标，再利用斜率公式求直线，的斜率关系，最后利用为定值得到的轨迹方程，表示出进行求解即可．
（1）由椭圆知，
故，所以的离心率；
（2）①由点在椭圆上，得，则点在直线上，
由，联立消去得，
即，
也即，
将代入上式化简，得，
因为，
故切线的方程为；
②由①知，的方程为，当时，，则得，
由于，故直线的斜率，
由于，故直线的斜率，
又与交于点，
所以，
设，则，
化简得的轨迹方程为，
，
所以当时，的最小值为．
19．【答案】（1）证明：设，，
因为，所以，
则函数在上单调递增，所以，当时，，即得证；
（2）解： ，，
因为函数在区间内存在极值点，所以在内有变号零点，
①当时，因为，所以，得 恒成立，
得函数在上单调递减，无极值，不合题意，
当时，令，
则 ，所以函数在上单调递减，
又 ，
若 ，即，
则，得，得函数在上单调递减，无极值，不合题意，
若 ，即，
因为函数在上单调递减，且 ， ，所以存在，使得 ，即，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以是的极大值点，符合题意，故的取值范围为；
②由①知，当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，得，则，得在上单调递减，
故当时，在上单调递增，在上单调递减，
而 ，
，而 ，
由零点存在性定理知，存在唯一的零点，使得，
即存在唯一的零点，使得．
接下来比较与的大小，
因为，
由，得，得，
则 ，
令，
得
，
令，得，
得在上单调递减，得，
而 ，
令，
得，
得在上单调递减，得，
得，
得 ，
得在上单调递减，得，
得 ，而，得 ，
因为，所以，得，而，
而当时，在上单调递减，
得．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，证明即可；
（2）①、求函数的导函数，由题意可得在内有变号零点，分和分类讨论进行求解即可；
②、由①知，当时，得，得在上单调递减，故当时，在上单调递增，在上单调递减，由零点存在性定理进行求解；由，及，得则 ，构造函数，求导判断与0大小关系即可．
（1）设，
则，
因为，所以，
则函数在上单调递增，所以，
得当时，，即得证．
（2） ，
，
因为函数在区间内存在极值点，
所以在内有变号零点．
①当时，因为，所以，
得 恒成立，
得函数在上单调递减，无极值，不合题意，
当时，令，
则 ，
所以函数在上单调递减，
又 ，
若 ，即，
则，得，得函数在上单调递减，无极值，不合题意，
若 ，即，
因为函数在上单调递减，且 ， ，
所以存在，使得 ，即，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以是的极大值点，符合题意，
故的取值范围为：．
②由①知，当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，得，则，
得在上单调递减，
故当时，在上单调递增，在上单调递减，
而 ，
，
而 ，
由零点存在性定理知，存在唯一的零点，使得，
即存在唯一的零点，使得．
接下来比较与的大小，
因为，
由，得，得，
则 ，
令，
得
，
令，得，
得在上单调递减，得，
而 ，
令，
得，
得在上单调递减，得，
得，
得 ，
得在上单调递减，得，
得 ，而，得 ，
因为，所以，得，而，
而当时，在上单调递减，
得．
1 / 1四川成都市2025-2026学年高三下学期定时练习数学试题
1．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：，即集合，集合，
则.
故答案为：C.
【分析】解指数不等式求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
2．设复数z满足，则（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由，可得，则＝.
故答案为：C.
【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简求得，再根据复数的模长公式求解即可.
3．已知点为函数图象上的两个相邻对称中心，则的最小正周期为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由题意可知，，则的最小正周期.
故答案为：B.
【分析】根据余弦型函数的图象和性质求解即可.
4．某校高三年级有男生300人，女生200人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从该校全体高三学生中抽取一个容量为100的样本，如果样本按比例分配，得到男生 女生的平均身高分别为和，则估计该校高三年级学生的平均身高为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：易知抽样比为，则抽取的100人中，男生60人，女生40人，
样本平均数为，估计该校学生的平均身高是.
故答案为：C.
【分析】先计算分层抽样的抽样比，再计算抽取的100人中，男生和女生的人数，最后计算样本的平均数，利用样本平均数估计该校学生的平均身高即可.
5．已知数列满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由，变形为，
则数列为公差为的等差数列，，即，故．
故答案为：C.
【分析】将数列的递推式变形为，可得数列为公差为的等差数列，利用等差数列求通项公式求得，即可求的值.
6．若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】抛物线的标准方程；曲线与方程
【解析】【解答】解：设圆心，圆过点，且与轴相切，
则，化简得，即得，
则圆心的轨迹方程为.
故答案为：D.
【分析】设圆心，根据圆心到点的距离等于到轴距离列式，化简求圆心的轨迹方程即可.
7．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：将两边平方得，
因为，所以，所以，
则，即.
故答案为：A.
【分析】将已知式子两边平方，结合同角三角函数基本关系以及正弦的二倍角公式求得的值，再根据的范围和，确定的最终范围，最后根据同角三角函数基本关系求解即可.
8．若函数在区间上有最大值，则正整数的值有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
令，解得或，
由题意，，，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，
在区间上有最大值，则必须要保证极大值点在区间内且，
即，
整理得 ，即，解得，
又因为，所以可取共5个.
故答案为：C.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，结合在区间上有最大值，列不等式组求解出的取值范围，最后再根据为正整数确定的个数即可.
9．已知平面向量，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：，
A、，则，故A正确；
B、，则，
即，故B正确；
C、由，则，
，因为，所以与不共线，故C错误；
D、由，且，
则，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用向量坐标的线性运算，结合向量模的坐标表示求解即可判断A；根据向量坐标的数量积运算求解即可判断B；根据向量的坐标表示判断与是否共线即可判断C；利用响亮的夹角公式求解即可判断D.
10．已知双曲线的左 右焦点分别为，为双曲线上一点，若，，，中有且仅有个点在双曲线上，则（　　）
A．双曲线的渐近线斜率为 B．
C．的面积为 D．的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；平面内两点间的距离公式；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线关于原点中心对称，且关于轴，轴轴对称，
因为关于轴对称，关于轴对称，关于原点对称，而与三点既不关于原点中心对称，也不关于轴，轴轴对称，所以在双曲线上，不在双曲线上，
因为在双曲线上，所以，化简得，解得，
所以双曲线的方程为，因此，，，
A、渐近线方程为，斜率为，故A正确；
B、，，，，，所以，故B错误；
C、，，，
的直线方程为，，
到的距离，
所以的面积，故C正确；
D、要使得取最小值，则点在双曲线的右支上，
根据双曲线定义得，即，，
当三点共线且在之间时，最小，
，所以最小值为，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】根据双曲线的对称性，结合题意，确定在曲线上，A不在，将点代入双曲线方程求得，得双曲线的方程，以及基本量，，的值，再求双曲线的渐近线即可判断A；利用两点间的距离公式计算即可判断B；利用两点间距离公式以及点到直线的距离公式和三角形面积公式求解即可判断C；要使得取最小值，则点在双曲线的右支上，利用双曲线定义转化，结合三点共线求最值即可判断D．
11．若定义在上的函数满足是偶函数，，则（　　）
A． B．是奇函数
C．的图象关于直线对称 D．
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：A、∵，∴，故A正确；
B、∵是偶函数，∴，
∴函数关于直线对称，∴，
∵，∴，∴是奇函数，故B正确；
C、若的图象关于直线对称，则，
但是，，即，这与假设条件矛盾，故错误；
D、∵，∴，∴，∴的周期为，
将代入，得，
将，代入，得，同理可知，
又∵的周期为，∴正奇数项的周期为，
∴
，故正确.
故答案为：ABD.
【分析】由，利用赋值法求值即可判断A；根据为偶函数求得函数关于直线对称，再根据函数奇偶性的性质求解即可判断B；利用反证法，推出矛盾即可判断C；由变形求出函数的周期，利用函数的周期性结合赋值法求和即可判断D.
12．已知成等比数列，且，若，则　 　.
【答案】2
【知识点】等比数列的性质；等比中项
【解析】【解答】解：因为成等比数列，所以，，
则，即，因为，所以，则.
故答案为：2.
【分析】由成等比数列，且，根据等比数列性质求得，再解关于的方程，即可求得a的值.
13．已知圆台的底面半径分别为1和2，高为，底面圆周均在球的球面上，则球的表面积为　 　.
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图是球的大圆截圆台得轴截面是圆的内接等腰梯形，分别是圆台下底、上底圆心，则为圆台的高，直线过，
由已知，，，
设，若在线段上，则，
，即，解得，所以与重合，
若在延长线上，则，
则，解得，即与重合，球半径为，
故表面积为.
故答案为：.
【分析】作球的大圆截圆台得轴截面是圆的内接等腰梯形，分别是圆台下底、上底圆心，则为圆台的高，直线过，设，分在线段上和在延长线上两种情况讨论，求得球半径，再计算表面积即可.
14．已知集合，若函数满足：，都有，则符合条件的函数共有　 　个.
【答案】
【知识点】元素与集合的关系；函数的概念及其构成要素；分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：当集合中所有元素只和集合中一个元素对应时，显然符合，都有，此时可以构成个函数；
当集合中元素只和集合中二个元素对应时，这时这两个元素分别为，共5种情况，
以为例，集合中每一个元素都有2种对应方式，因此这样可以形成
个函数，但是会出现集合中所有元素都与或2对应，
因此构成函数的个数为个，
所以这种方式一共有个不同的函数；
当集合中元素只和集合中三个元素对应时，这时这三个元素分别为，共2种情况，
以为例，集合中每一个元素都有3种对应方式，因此这样可以形成
个函数，但是会出现集合中所有元素都与或2或3对应，或，或，或对应，所以可以形成个不同的函数，
所以这种方式构成的函数有个；
当集合中元素和集合中四个元素都对应时，这样出现，不符合题意，
综上所述：符合条件的函数共有个.
故答案为：.
【分析】由题意，根据函数的定义，以及函数值域的性质、分集合中所有元素只和集合中一个元素对应；当集合中元素只和集合中二个元素对应以及当集合中元素只和集合中三个元素对应、当集合中元素和集合中四个元素都对应四种情况讨论，结合分类计数原理和分步计数原理求解即可.
15．在中，角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）解：，
由正弦定理，
整理得，
因为，所以，又因为，所以；
（2）解：，，
，即，解得，则，
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式化简求角即可；
（2）利用余弦定理，结合三角形的面积公式计算即可．
（1）解：，
利用正弦定理：，
整理得：，
由于，
所以，因为，所以；
（2），，
，即，
解得（负值已舍去），则，
.
16．2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图.
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份代码 1 2 3 4 5
我国全口径发电量（单位：万亿千瓦时） 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58
（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立关于的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量.
参考数据：.
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数.
【答案】（1）解：因为，
所以，
所以，
故可用线性回归模型拟合与的关系；
（2）解：，
则，即经验回归方程为，
令，则，
故预估2026年我国全口径发电量为（万亿千瓦时）.
【知识点】散点图；线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）计算相关系数，根据相关系数判断即可；
（2）根据公式求，得经验回归方程，再令，预测2026年我国全口径发电量即可.
（1）因为，
所以，
所以
，
故可用线性回归模型拟合与的关系；
（2），
则，
则经验回归方程为，
令，则，
故预估2026年我国全口径发电量为（万亿千瓦时）
17．如图，在菱形中，，，将沿翻折至，连接构成四棱锥．
（1）证明：平面；
（2）若二面角的余弦值为．
①求的长；
②设在平面上的射影为，直线与交于点，为的中点，证明：平面．
【答案】（1）证明：连接交于点，连接，如图所示：
因为是菱形，所以，所以，，
因为沿翻折至，所以，且，
又平面，，
所以平面；
（2）解：①由（1）知，，平面，平面，
所以是二面角的平面角，故，
菱形中，，，，
所以在中，，
故，即；
②由（1）知平面，因为平面，所以平面平面，
因为在平面上的射影为，平面平面，所以，
过点作平面的垂线，垂足为，连接并延长交于点，连接，如图所示：
由①知，，，故，从而，，
因为与相似，所以，故，所以为的中点，
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面，，所以平面平面，
因为平面，所以平面．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角；解三角形
【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，由为菱形，利用菱形对角线互相垂直，得，再由翻折的不变性，得，结合，根据线面垂直判定定理证明平面即可；
（2）① 由（1）知，，平面，平面，即是二面角的平面角，在菱形中求出，翻折后，再在中，利用余弦定理求即可；
②由（1）知平面，利用面面垂直性质确定在底面的射影在上，再通过相似三角形推出为的中点，利用中位线分别证明、，从而证得平面平面，最后根据面面平行的性质证明平面即可．
（1）连接交于点，连接，
因为是菱形，所以，所以，，
因为沿翻折至，所以，且，
又平面，，
所以平面；
（2）①由（1）知，，平面，平面，
所以是二面角的平面角，故，
菱形中，，，，
所以在中，，
故，即；
②由（1）知平面，因为平面，所以平面平面，
因为在平面上的射影为，平面平面，所以．
过点作平面的垂线，垂足为，连接并延长交于点，连接，
由①知，，，故，从而，，
因为与相似，所以，故，
所以为的中点，
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面，，
所以平面平面，
因为平面，所以平面．
18．已知椭圆的左焦点为.
（1）求的离心率；
（2）为上一点，在处的切线为.
①证明：的方程为；
②设的右顶点为交直线于点与交于点为坐标原点，求的最小值.
【答案】（1）解：由椭圆，可得，，
则的离心率；
（2）解：①由点在椭圆上，得，则点在直线上，
由，联立消去得，
即，
也即，
将代入上式化简，得，
因为，
故切线的方程为；
②由①知，的方程为，当时，，则得，
由于，故直线的斜率，
由于，故直线的斜率，
又与交于点，所以，
设，则，
化简得的轨迹方程为，
，
所以当时，的最小值为．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）直接利用椭圆的离心率公式求解即可；
（2）①、由点在椭圆上，得，则点在直线上，联立直线与椭圆方程，证明与椭圆相切即可；
②、由①知，的方程为，当时，，得，先得到点坐标，再利用斜率公式求直线，的斜率关系，最后利用为定值得到的轨迹方程，表示出进行求解即可．
（1）由椭圆知，
故，所以的离心率；
（2）①由点在椭圆上，得，则点在直线上，
由，联立消去得，
即，
也即，
将代入上式化简，得，
因为，
故切线的方程为；
②由①知，的方程为，当时，，则得，
由于，故直线的斜率，
由于，故直线的斜率，
又与交于点，
所以，
设，则，
化简得的轨迹方程为，
，
所以当时，的最小值为．
19．设函数.
（1）当时，证明：；
（2）已知函数在区间内存在极值点.
①求的取值范围；
②是否存在，使？若存在，比较与的大小；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明：设，，
因为，所以，
则函数在上单调递增，所以，当时，，即得证；
（2）解： ，，
因为函数在区间内存在极值点，所以在内有变号零点，
①当时，因为，所以，得 恒成立，
得函数在上单调递减，无极值，不合题意，
当时，令，
则 ，所以函数在上单调递减，
又 ，
若 ，即，
则，得，得函数在上单调递减，无极值，不合题意，
若 ，即，
因为函数在上单调递减，且 ， ，所以存在，使得 ，即，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以是的极大值点，符合题意，故的取值范围为；
②由①知，当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，得，则，得在上单调递减，
故当时，在上单调递增，在上单调递减，
而 ，
，而 ，
由零点存在性定理知，存在唯一的零点，使得，
即存在唯一的零点，使得．
接下来比较与的大小，
因为，
由，得，得，
则 ，
令，
得
，
令，得，
得在上单调递减，得，
而 ，
令，
得，
得在上单调递减，得，
得，
得 ，
得在上单调递减，得，
得 ，而，得 ，
因为，所以，得，而，
而当时，在上单调递减，
得．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，证明即可；
（2）①、求函数的导函数，由题意可得在内有变号零点，分和分类讨论进行求解即可；
②、由①知，当时，得，得在上单调递减，故当时，在上单调递增，在上单调递减，由零点存在性定理进行求解；由，及，得则 ，构造函数，求导判断与0大小关系即可．
（1）设，
则，
因为，所以，
则函数在上单调递增，所以，
得当时，，即得证．
（2） ，
，
因为函数在区间内存在极值点，
所以在内有变号零点．
①当时，因为，所以，
得 恒成立，
得函数在上单调递减，无极值，不合题意，
当时，令，
则 ，
所以函数在上单调递减，
又 ，
若 ，即，
则，得，得函数在上单调递减，无极值，不合题意，
若 ，即，
因为函数在上单调递减，且 ， ，
所以存在，使得 ，即，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以是的极大值点，符合题意，
故的取值范围为：．
②由①知，当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，得，则，
得在上单调递减，
故当时，在上单调递增，在上单调递减，
而 ，
，
而 ，
由零点存在性定理知，存在唯一的零点，使得，
即存在唯一的零点，使得．
接下来比较与的大小，
因为，
由，得，得，
则 ，
令，
得
，
令，得，
得在上单调递减，得，
而 ，
令，
得，
得在上单调递减，得，
得，
得 ，
得在上单调递减，得，
得 ，而，得 ，
因为，所以，得，而，
而当时，在上单调递减，
得．
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