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广东省中山市第一中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、是最简二次根式，故符合题意；
D、，故不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母且不含完全平方因数），逐一判断各选项．
2．下列算式中，运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、∵，∴A正确，不符合题意；
B、∵，∴B正确，不符合题意；
C、∵，∴C正确，不符合题意；
D、∵和不是同类二次根式，不能合并，∴D不正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的性质、二次根式的乘除以及二次根式的加法的计算方法逐项分析判断即可.
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则点C到AB的距离为（ ）
A．4.8 B．5 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】勾股定理；等积变换
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=，
∵S△ABC=AC×BC=AB×CD，
∴CD=，
∴点C到AB的距离为4.8，
故答案为：A.
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用等积法求出CD的长，从而可得答案.
4．如图，为测量位于珠海那洲村某生态农庄中水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD=10m，则A，B之间的距离是（ ）m.
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵分别取OA，OB的中点C，D，
∴CD是△OAB的中位线，
∴CD=AB，
∵CD=10，
∴AB=2CD=20，
故答案为：C.
【分析】先证出CD是△OAB的中位线，再利用中位线的性质求出AB的长即可.
5．下列命题中正确的是（　　）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；
B、正确；
C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；
D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．
故选：B．
【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．
6．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树…依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（ ）
A．1013 B．2027 C．2026 D．2025
【答案】B
【知识点】勾股定理；探索数与式的规律；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，第一个正方形面积为1，设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，
由勾股定理得：a2＋b2＝c2＝1，
∴第一代勾股树中所有正方形的面积为：a2＋b2＋c2＝c2＋c2＝2；
同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为：2a2＋2b2＋c2＝3c2＝3；
第三代勾股树中所有正方形的面积为：4c2＝4；
第n代勾股树中所有正方形的面积为：（n＋1）c2＝n＋1；
∴第2026代勾股树中所有正方形的面积为2027．
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理可得第一代勾股树中所有正方形的面积为2，再一次求出第二代、第三代勾股树中所有正方形的面积，总结出一般规律，即可进行解答．
7．如图，公路AC，BC互相垂直，笔直公路AB的中点M与点C被湖面隔开.若测得AB长为2.4km，则点M，C之间的距离为（ ）
A．1.2km B．0.9km C．0.6km D．0.5km
【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵AC⊥BC，点M为线段AB的中点，
∴CM=AB，
∵AB=2.4，
∴CM=1.2，
故答案为：A.
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）可得CM=AB，再求解即可.
8．如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为三边BC，CA，AB的中点，则图中共有菱形（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，D，E，F分别为三边BC，CA，AB的中点，
∴△AEF、△BDF、△EFD、△CDE均为等边三角形且全等，
∴AF=AE=EF=BF=DF=BD=DE=CE=CD，
∴组成的菱形有：菱形AEDF、菱形EFDB、菱形EFDC，共3个，
故答案为：B.
【分析】先证出AF=AE=EF=BF=DF=BD=DE=CE=CD，再结合图形找出所有的菱形即可.
9．如图，顺次连接任意四边形ABCD各边中点，所得的四边形EFGH是中点四边形．下列四个叙述：①中点四边形EFGH一定是平行四边形；②当四边形ABCD是矩形时，中点四边形EFGH也是矩形；③当四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形时，则四边形ABCD也是菱形；④当四边形ABCD是正方形时，中点四边形EFGH也是正方形．其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定；正方形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：连接AC，BD，
∵E，F，G，H分别是四边形各边的中点，
∴EF//AC，HG//AC，EH//BD，GF//BD，
∴EF//GH，EH//FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；（①正确）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∵EF＝AC，EH＝BD，
∴EF＝EH，
∴四边形EFGH是菱形；（②错误）
∵四边形EFGH是菱形，
∴EF＝EH，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD不一定是菱形；（③错误）
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，AC⊥BD，
∵EF＝AC，EH＝BD，
∴EF＝EH，
∴四边形EFGH是菱形；
∵EF//AC， EH//BD，AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴∠FEH=90°，
∴四边形EFGH是正方形．（④正确）
∴正确的是①④．
故选：B．
【分析】连接AC，BD，根据三角形中位线定理可得EF//AC，HG//AC，EH//BD，GF//BD，根据平行四边形判定定理可判断①；根据矩形性质可得AC＝BD，根据三角形中位线定理可得EF＝AC，EH＝BD，则EF＝EH，根据菱形判定定理可判断②；根据菱形判定定理及性质可判断③；根据正方形性质可得AC＝BD，AC⊥BD，根据边之间的关系可得EF＝EH，根据菱形判定定理可得四边形EFGH是菱形，根据直线平行性质可得EF⊥EH，再根据正方形判定定理可判断④.
10．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点的运动时间为（单位：），下列结论①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或。其中结论正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；四边形-动点问题
11．若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是　 　.
【答案】m≤6
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意可得：6-m≥0，
解得：m≤6，
故答案为：m≤6.
【分析】利用二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）列出不等式求解即可.
12．如图，正方体的棱长为3cm，蚂蚁从顶点A沿表面爬到顶点B的最短路程为　 　 .
【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将点A和点B所在的各面展开为矩形，AB为矩形对角线的长，
如图所示：
由条件可知矩形的长为6cm、宽为3cm，
∴AB＝cm.
故答案为：
【分析】先将点A和点B所在的各面展开为矩形，根据“两点之间线段最短”知AB为矩形的对角线的长即为蚂蚁沿正方体表面爬行的最短距离；然后利用勾股定理求得AB的长．
13．如图，在 ABCD中，AD=3，AE平分∠DAB交CD于点E，BF平分∠ABC交CD于点F，已知EF=1，则 ABCD的周长为　 　.
【答案】16
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由 ABCD知，AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD＝3，
∴∠ABF＝∠CFB，∠EAB＝∠DEA，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，∠CBF＝∠ABF，
∴∠AED＝∠DAE，∠CBF＝∠CFB，
∴AD＝DE，BC＝FC，
∴DE＝CF＝AD＝3，
∴CD＝DE＋CF EF＝3＋3 1＝5，
∴ ABCD的周长为2×（5＋3）＝16．
故答案为：16．
【分析】根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质证明AD＝DE，BC＝FC，再求出CD＝DE＋CF EF＝5，进而计算即可．
14．如图，四边形ABCD，∠A=80°，∠C=140°，DG和BG分别是∠EDC和∠CBF的角平分线，那么∠DGB= 　 　.
【答案】30°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；补角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：连接GC并延长，如图，
∵ABCD是四边形，
∴∠A＋∠C＋∠ADC＋∠ABC＝180°×（4 2）＝360°，
∵∠A＝80°，∠BCD＝140°，
∴∠ADC＋∠ABC＝140°，
∴∠EDC＋∠FBC＝220°，
∵DG和BG分别是∠EDC和∠CBF的角平分线，
∴∠1＋∠2＝110°，
∵∠1＋∠DGC＝∠3，∠2＋∠BGC＝∠4，
∴∠DGB＋∠1＋∠2＝∠DCB＝140°，
∴∠DGB＝140° （∠1＋∠2）＝140° 110°＝30°．
故答案为：30°．
【分析】连接GC并延长，首先根据多边形内角和公式计算出∠ADC＋∠ABC的度数，再根据补角的定义计算出∠EDC＋∠FBC，再根据角平分线定义计算出∠1＋∠2，再根据三角形内角与外角的关系计算出∠C＝∠DGB的度数．
15．如图，在长方形中， ，，，则CE+DF的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：延长到点M，使得，连接，
∵矩形，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
连接
∵，
∴，
故当D，F，M三点共线时，取得最小值，且最小值为
故答案为：．
【分析】延长到点M，使得，连接，根据矩形性质可得，，，根据边之间的关系可得CM，再根据全等三角形判定定理可得，则，连接，根据边之间的关系可得，故当D，F，M三点共线时，取得最小值，且最小值为DM，结合勾股定理即可求出答案.
16．计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：原式=
=
=3-4
=-1
（2）解：原式=
=
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的混合运算的计算方法分析求解即可；
（2）先利用算术平方根、立方根和二次根式的性质化简，再求解即可.
17．为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架AB与小腿支架BC需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：AB=8dm，BC=6dm，AC=10dm，∠CAD=90°.
（1）AB与BC垂直吗？请说明理由；
（2）据设计人员介绍，支架的CD比AD长2dm，求支架AD的长度.
【答案】（1）解：AB 与 BC垂直，理由如下：
∵AB=8dm， BC=6dm， AC=10dm，
∴∠ABC=90°，即 AB⊥BC
（2）解：由题意设AD＝xdm，则CD＝（x＋2）dm，根据勾股定理得：
AC2＋AD2＝CD2，
即102＋x2＝（x＋2）2，
解得x＝24，
所以AD＝24dm.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理列出方程，求出解即可．
18．如图，在梯形ABFE中，AE∥BF，，若点C为BF的中点，连接AC，BE交于点D.
（1）求证：四边形ACFE是平行四边形；
（2）若△ABC是等边三角形，且AE=3，求EF的长.
【答案】（1）证明： ∵AE∥BF，， 点 C为 BF的中点，
∴四边形 ACFE是平行四边形 .
（2）解：由（1）可知，BC＝CF＝AE＝3，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝3，
由（1）可知四边形ACFE是平行四边形，
∴AC＝EF＝3．
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据对边相等且平行的四边形是平行四边形解答即可；
（2）根据平行四边形的性质得出AC＝EF，进而利用等边三角形的性质得出BC＝AC＝3，进而解答即可．
19．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2），则这两点间的距离可用下列公式计算：．
例如：已知P（5，1）、Q（3，-2），则这两点间的距离．特别地，如果两点M（x1，y1），N（x2，y2）所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为MN=|x1-x2|或MN=|y1-y2|．
（1）已知A（1，3）、B（-2，4），求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为8，点B的纵坐标为-2，求A、B两点间的距离；
（3）已知△ABC的顶点坐标分别为A（1，2）、B（2，1）、C（5，4），你能判定△ABC的形状吗？请说明理由．
【答案】（1）解：∵A (1， 3) 、B (-2， 4) ，
（2）解：∵A、B在平行于 y轴的同一条直线上，点 A的纵坐标为 8，点 B的纵坐标为-2，∴AB=|8 - (-2) |=10；
（3）解：△ABC是直角三角形.
理由： ∵A (1， 2) 、B (2， 1) 、C (5， 4) ，
∴△ABC是直角三角形.
【知识点】勾股定理的逆定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）直接利用两点间的距离公式计算；
（2）由于横坐标相同，所以A、B两点间的距离等于纵坐标差的绝对值；
（3）先根据两点间的距离公式计算出AB、BC、AC，然后根据勾股定理的逆定理进行判断．
20．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点P.
（1）判断四边形CODP的形状，并说明理由；
（2）若AB=6，AD=3，求四边形CODP的面积.
【答案】（1）解：四边形 CODP是菱形， ∵CP∥BD， DP∥AC，
∴四边形 CODP 是平行四边形.
∵四边形 ABCD是矩形，
∴AC=BD，且
∴OC=OD.
∴平行四边形 CODP 是菱形
（2）解：由题意可得：
S矩形ABCD＝AB×AD＝6×3＝18，
∴S△OCD＝S矩形ABCD＝×18＝．
∵四边形CODP的形状是菱形，
∴根据对称性，S△OCD＝S△CDP，
∴S四边形CODP＝S△OCD＋S△CDP＝2×＝9．
即四边形CODP的面积为9．
【知识点】三角形的面积；菱形的判定；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形CODP为平行四边形，再利用矩形对角线相等且互相平分的性质得到OC＝OD，结合“一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成判定；
（2）先计算矩形ABCD的面积，再利用矩形对角线分矩形为四个面积相等的三角形得到△OCD的面积，最后根据菱形的面积是△OCD面积的2倍，求出四边形CODP的面积．
21．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1.古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）.
材料2.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S.
（1）利用材料1解决下面的问题：
当a=3，b=5，c=6时，求这个三角形的面积；
（2）利用材料2解决下面的问题：
已知△ABC三条边的长度分别是，记△ABC的周长为C△ABC.
①当x=2时，请直接写出△ABC中最长边的长度 ▲ ；
②若x是满足0＜x≤4的整数，当C△ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积.
【答案】（1）解：∵a＝3，b＝5，c＝6，
∴p＝＝7，
∴S＝＝.
（2）解：①3.
②∵0＜x≤4，
∴，，
∴C△ABC＝＝，
∵C△ABC＝，0＜x≤4，x为整数，
∴当x＝4时，三边为，1，4，
∵＋1＜4，
∴x＝4不合题意，舍去，
当x＝3时，三边为2，2，3，符合题意，此时C△ABC取最大值，
∴a＝2，b＝2，c＝3，
∴S＝
＝
＝．
【知识点】二次根式的实际应用；三角形的面积；三角形三边关系
【解析】【解答】解：（2）①当x＝2时，，，，
∴△ABC中最长边的长度为3．
故答案为：3.
【分析】（1）求出p，把a、b、c、p的值代入海伦公式计算即可求解；
（2）①把x＝2代入计算即可求解；
②根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，进而化简C△ABC，根据C△ABC取最大值且x为整数，确定出a、b、c的值，进而求出的值，代入秦九韶公式计算即可求解．
22．下面是奋斗小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务.
关于“等邻边四边形”的研究报告. 奋斗小组研究对象：等邻边四边形. 研究思路：类比特殊四边形的性质进行研究. 定义：有两组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”. 如图1，四边形ABCD中，若AB=AD，BC=CD，则四边形ABCD是“等邻边四边形”. 如图2，四边形ABCD中，若AB=AD，AD=CD，则四边形ABCD是“等邻边四边形”. 性质探究： 性质：两组邻边相等. 如图3，四边形ABCD中，若∠ABC=∠BCD，BC∥AD，对角线BD恰好平分∠ABC，求证：四边形ABCD是“等邻边四边形”. 证明：∵BC∥AD， ∴…. 任务：
（1）根据“等邻边四边形”的定义，下列常见的四边形中，一定是“等邻边四边形”的是____（多选）.
A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形
（2）请你阅读上述报告，补全证明过程.
（3）如图4，已知△ABC，请你在图4中作一个“等邻边四边形ABCD”，使得点D在AC边右上方（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）.
【答案】（1）A；C
（2）解：∵BC∥AD，
∴∠DBC=∠ADB，
∵对角线 BD恰好平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，
如图 2，过点 D作 DE∥AB交 BC于点 E，
∵BC∥AD， DE∥AB，
∴四边形 ABED是平行四边形， ∠ABC=∠DEC，
∴AB=DE，
∵∠ABC=∠BCD，
∴∠BCD=∠DEC，
∴DE=DC，
∴AB=DC，
∵AB=AD，
∴AD=DC，
∴四边形 ABCD是“等邻边四边形”“等邻边四边形 ABCD”，
（3）解：如图 4即为所求.
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定；尺规作图-作三角形；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质即可得；
（2）先根据平行线的性质及角平分线定义，可得AB＝AD，过点D作DE∥AB交BC与点E，证得四边形ABED是平行四边形，得∠ABC＝∠DEC，再结合等腰三角形的性质从而证得AD＝DC即可得；
（3）根据等邻边四边形定义作图即可．
23．在△ABC中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线.
特殊地，如图1，在Rt△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB，垂足为D，直线CD是△ABC的关于点C的二分割线.
（1）如图2，AB=AC，∠BAC=120°，直线AD交BC于点D.已知AD是△ABC的关于点A的二分割线，点E是BD的中点，那么AE是△ABC的关于点A的二分割线吗？为什么？
（2）已知△ABC中最小的角∠C=18°，若存在关于点B的二分割线，直接写出∠BAC的度数.
（3）如图3，△ABC中，∠B=22.5°，∠BAC为钝角.作AD⊥BC，垂足为D.在CD上方取一点E，使CE=4，DE=6，∠CED=45°.若AD为△ABC关于点A的二分割线，求AE的长.
【答案】（1）解：是， AE是△ABC的关于点 A 的二分割线.
理由如下： ∵∠BAC=120°， AB=AC，
∵AD是△ABC的关于点 A的二分割线，
∴△ABD为直角三角形，△ADC为等腰三角形，
其中 AD=CD， ∠BAD=90°，
∵E是 BD的中点，
即 AE=BE=DE，
由 AD=CD得∠CAD=∠C=30°，
∴∠ADE=∠CAD+∠C=30°+30°=60°，
∴△ADE 是等边三角形， ∠DAE=60°，
∴∠CAE=∠DAE+∠CAD=60°+30°=90°，
∴△AEC为直角三角形，
又△ABE为等腰三角形(因 AE=BE) ，
故 AE是△ABC的关于点 A的二分割线
（2）解： 分两种情况：当△ABD为等腰三角形，△BCD为直角三角形时，
当∠BDC＝90°，DA＝DB时，如图，符合题意；
∴∠BAC＝45°；
当∠DBC＝90°，DA＝DB时，如图，符合题意；
∴∠DAB＝∠DBA，
∵∠CDB＝90° ∠C＝∠DAB＋∠DBA
∴∠DAB＝36°，即∠BAC＝36°，
当△BCD为等腰三角形，△ABD为直角三角形时，
当DB＝DC，∠BAD＝90°时，如图，符合题意；
当DB＝DC，∠ABD＝90°时，如图，符合题意，
此时∠DBC＝∠C＝18°，
∴∠ADB＝18°＋18°＝36°
∴∠BAC＝90° ∠ADB＝54°；
综上：∠BAC的度数为90°或54°或45°或36°。
（3）解：∵AD⊥BC，
∴△ADB为直角三角形，∠2＋∠3＝90°，
∵AD为△ABC关于点A的二分割线，
∴△ADC为等腰三角形，
∴DC＝DA
过点D作DF⊥DE交EC延长线于点F，连接AF，
∴∠1＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
∵∠CED＝45°，DF⊥DE，
∴△DEF是等腰直角三角形，DE＝DF，∠DFE＝∠DEF＝45°，
∴△DCE≌△DAF（SAS），EF＝，
∴CE＝AF＝4，∠DFA＝∠DEC＝45°
∴∠AFE＝∠DFE＋∠DFA＝90°，
∴AE＝.
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理；分类讨论
【解析】【分析】（1）先由等腰三角形性质及∠BAC＝120°求出底角，再根据“二分割线”定义确定△ABD为等腰三角形，△ADC为直角三角形，进而证明AE⊥BC，判断AE是否为关于点A的二分割线；
（2）分两大种情况讨论，即当△BCD为等腰三角形，△ABD为直角三角形时；当△ABD为等腰三角形，△BCD为直角三角形时；再对每一种情况进行细分讨论求解；
（3）先确定△ADC为等腰三角形，DC＝DA，过点D作DF⊥DE交EC延长线于点F，连接AF，然后证明△DCE≌△DAF（SAS），求出EF＝，则CE＝AF＝4，∠DFA＝∠DEC＝45°，证明出∠AFE＝∠DFE＋∠DFA＝90°，最后由勾股定理求解AE＝．
1 / 1广东省中山市第一中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列算式中，运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则点C到AB的距离为（ ）
A．4.8 B．5 C．3 D．4
4．如图，为测量位于珠海那洲村某生态农庄中水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD=10m，则A，B之间的距离是（ ）m.
A．10 B．15 C．20 D．25
5．下列命题中正确的是（　　）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
6．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树…依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（ ）
A．1013 B．2027 C．2026 D．2025
7．如图，公路AC，BC互相垂直，笔直公路AB的中点M与点C被湖面隔开.若测得AB长为2.4km，则点M，C之间的距离为（ ）
A．1.2km B．0.9km C．0.6km D．0.5km
8．如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为三边BC，CA，AB的中点，则图中共有菱形（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．如图，顺次连接任意四边形ABCD各边中点，所得的四边形EFGH是中点四边形．下列四个叙述：①中点四边形EFGH一定是平行四边形；②当四边形ABCD是矩形时，中点四边形EFGH也是矩形；③当四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形时，则四边形ABCD也是菱形；④当四边形ABCD是正方形时，中点四边形EFGH也是正方形．其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点的运动时间为（单位：），下列结论①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或。其中结论正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是　 　.
12．如图，正方体的棱长为3cm，蚂蚁从顶点A沿表面爬到顶点B的最短路程为　 　 .
13．如图，在 ABCD中，AD=3，AE平分∠DAB交CD于点E，BF平分∠ABC交CD于点F，已知EF=1，则 ABCD的周长为　 　.
14．如图，四边形ABCD，∠A=80°，∠C=140°，DG和BG分别是∠EDC和∠CBF的角平分线，那么∠DGB= 　 　.
15．如图，在长方形中， ，，，则CE+DF的最小值是　 　．
16．计算：
（1）；
（2）.
17．为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架AB与小腿支架BC需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：AB=8dm，BC=6dm，AC=10dm，∠CAD=90°.
（1）AB与BC垂直吗？请说明理由；
（2）据设计人员介绍，支架的CD比AD长2dm，求支架AD的长度.
18．如图，在梯形ABFE中，AE∥BF，，若点C为BF的中点，连接AC，BE交于点D.
（1）求证：四边形ACFE是平行四边形；
（2）若△ABC是等边三角形，且AE=3，求EF的长.
19．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2），则这两点间的距离可用下列公式计算：．
例如：已知P（5，1）、Q（3，-2），则这两点间的距离．特别地，如果两点M（x1，y1），N（x2，y2）所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为MN=|x1-x2|或MN=|y1-y2|．
（1）已知A（1，3）、B（-2，4），求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为8，点B的纵坐标为-2，求A、B两点间的距离；
（3）已知△ABC的顶点坐标分别为A（1，2）、B（2，1）、C（5，4），你能判定△ABC的形状吗？请说明理由．
20．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点P.
（1）判断四边形CODP的形状，并说明理由；
（2）若AB=6，AD=3，求四边形CODP的面积.
21．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1.古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）.
材料2.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S.
（1）利用材料1解决下面的问题：
当a=3，b=5，c=6时，求这个三角形的面积；
（2）利用材料2解决下面的问题：
已知△ABC三条边的长度分别是，记△ABC的周长为C△ABC.
①当x=2时，请直接写出△ABC中最长边的长度 ▲ ；
②若x是满足0＜x≤4的整数，当C△ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积.
22．下面是奋斗小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务.
关于“等邻边四边形”的研究报告. 奋斗小组研究对象：等邻边四边形. 研究思路：类比特殊四边形的性质进行研究. 定义：有两组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”. 如图1，四边形ABCD中，若AB=AD，BC=CD，则四边形ABCD是“等邻边四边形”. 如图2，四边形ABCD中，若AB=AD，AD=CD，则四边形ABCD是“等邻边四边形”. 性质探究： 性质：两组邻边相等. 如图3，四边形ABCD中，若∠ABC=∠BCD，BC∥AD，对角线BD恰好平分∠ABC，求证：四边形ABCD是“等邻边四边形”. 证明：∵BC∥AD， ∴…. 任务：
（1）根据“等邻边四边形”的定义，下列常见的四边形中，一定是“等邻边四边形”的是____（多选）.
A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形
（2）请你阅读上述报告，补全证明过程.
（3）如图4，已知△ABC，请你在图4中作一个“等邻边四边形ABCD”，使得点D在AC边右上方（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）.
23．在△ABC中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线.
特殊地，如图1，在Rt△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB，垂足为D，直线CD是△ABC的关于点C的二分割线.
（1）如图2，AB=AC，∠BAC=120°，直线AD交BC于点D.已知AD是△ABC的关于点A的二分割线，点E是BD的中点，那么AE是△ABC的关于点A的二分割线吗？为什么？
（2）已知△ABC中最小的角∠C=18°，若存在关于点B的二分割线，直接写出∠BAC的度数.
（3）如图3，△ABC中，∠B=22.5°，∠BAC为钝角.作AD⊥BC，垂足为D.在CD上方取一点E，使CE=4，DE=6，∠CED=45°.若AD为△ABC关于点A的二分割线，求AE的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、是最简二次根式，故符合题意；
D、，故不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母且不含完全平方因数），逐一判断各选项．
2．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、∵，∴A正确，不符合题意；
B、∵，∴B正确，不符合题意；
C、∵，∴C正确，不符合题意；
D、∵和不是同类二次根式，不能合并，∴D不正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的性质、二次根式的乘除以及二次根式的加法的计算方法逐项分析判断即可.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；等积变换
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=，
∵S△ABC=AC×BC=AB×CD，
∴CD=，
∴点C到AB的距离为4.8，
故答案为：A.
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用等积法求出CD的长，从而可得答案.
4．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵分别取OA，OB的中点C，D，
∴CD是△OAB的中位线，
∴CD=AB，
∵CD=10，
∴AB=2CD=20，
故答案为：C.
【分析】先证出CD是△OAB的中位线，再利用中位线的性质求出AB的长即可.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；
B、正确；
C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；
D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．
故选：B．
【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；探索数与式的规律；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，第一个正方形面积为1，设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，
由勾股定理得：a2＋b2＝c2＝1，
∴第一代勾股树中所有正方形的面积为：a2＋b2＋c2＝c2＋c2＝2；
同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为：2a2＋2b2＋c2＝3c2＝3；
第三代勾股树中所有正方形的面积为：4c2＝4；
第n代勾股树中所有正方形的面积为：（n＋1）c2＝n＋1；
∴第2026代勾股树中所有正方形的面积为2027．
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理可得第一代勾股树中所有正方形的面积为2，再一次求出第二代、第三代勾股树中所有正方形的面积，总结出一般规律，即可进行解答．
7．【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵AC⊥BC，点M为线段AB的中点，
∴CM=AB，
∵AB=2.4，
∴CM=1.2，
故答案为：A.
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）可得CM=AB，再求解即可.
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，D，E，F分别为三边BC，CA，AB的中点，
∴△AEF、△BDF、△EFD、△CDE均为等边三角形且全等，
∴AF=AE=EF=BF=DF=BD=DE=CE=CD，
∴组成的菱形有：菱形AEDF、菱形EFDB、菱形EFDC，共3个，
故答案为：B.
【分析】先证出AF=AE=EF=BF=DF=BD=DE=CE=CD，再结合图形找出所有的菱形即可.
9．【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定；正方形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：连接AC，BD，
∵E，F，G，H分别是四边形各边的中点，
∴EF//AC，HG//AC，EH//BD，GF//BD，
∴EF//GH，EH//FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；（①正确）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∵EF＝AC，EH＝BD，
∴EF＝EH，
∴四边形EFGH是菱形；（②错误）
∵四边形EFGH是菱形，
∴EF＝EH，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD不一定是菱形；（③错误）
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，AC⊥BD，
∵EF＝AC，EH＝BD，
∴EF＝EH，
∴四边形EFGH是菱形；
∵EF//AC， EH//BD，AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴∠FEH=90°，
∴四边形EFGH是正方形．（④正确）
∴正确的是①④．
故选：B．
【分析】连接AC，BD，根据三角形中位线定理可得EF//AC，HG//AC，EH//BD，GF//BD，根据平行四边形判定定理可判断①；根据矩形性质可得AC＝BD，根据三角形中位线定理可得EF＝AC，EH＝BD，则EF＝EH，根据菱形判定定理可判断②；根据菱形判定定理及性质可判断③；根据正方形性质可得AC＝BD，AC⊥BD，根据边之间的关系可得EF＝EH，根据菱形判定定理可得四边形EFGH是菱形，根据直线平行性质可得EF⊥EH，再根据正方形判定定理可判断④.
10．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；四边形-动点问题
11．【答案】m≤6
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意可得：6-m≥0，
解得：m≤6，
故答案为：m≤6.
【分析】利用二次根式有意义的条件（被开方数大于等于0）列出不等式求解即可.
12．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将点A和点B所在的各面展开为矩形，AB为矩形对角线的长，
如图所示：
由条件可知矩形的长为6cm、宽为3cm，
∴AB＝cm.
故答案为：
【分析】先将点A和点B所在的各面展开为矩形，根据“两点之间线段最短”知AB为矩形的对角线的长即为蚂蚁沿正方体表面爬行的最短距离；然后利用勾股定理求得AB的长．
13．【答案】16
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由 ABCD知，AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD＝3，
∴∠ABF＝∠CFB，∠EAB＝∠DEA，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，∠CBF＝∠ABF，
∴∠AED＝∠DAE，∠CBF＝∠CFB，
∴AD＝DE，BC＝FC，
∴DE＝CF＝AD＝3，
∴CD＝DE＋CF EF＝3＋3 1＝5，
∴ ABCD的周长为2×（5＋3）＝16．
故答案为：16．
【分析】根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质证明AD＝DE，BC＝FC，再求出CD＝DE＋CF EF＝5，进而计算即可．
14．【答案】30°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；补角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：连接GC并延长，如图，
∵ABCD是四边形，
∴∠A＋∠C＋∠ADC＋∠ABC＝180°×（4 2）＝360°，
∵∠A＝80°，∠BCD＝140°，
∴∠ADC＋∠ABC＝140°，
∴∠EDC＋∠FBC＝220°，
∵DG和BG分别是∠EDC和∠CBF的角平分线，
∴∠1＋∠2＝110°，
∵∠1＋∠DGC＝∠3，∠2＋∠BGC＝∠4，
∴∠DGB＋∠1＋∠2＝∠DCB＝140°，
∴∠DGB＝140° （∠1＋∠2）＝140° 110°＝30°．
故答案为：30°．
【分析】连接GC并延长，首先根据多边形内角和公式计算出∠ADC＋∠ABC的度数，再根据补角的定义计算出∠EDC＋∠FBC，再根据角平分线定义计算出∠1＋∠2，再根据三角形内角与外角的关系计算出∠C＝∠DGB的度数．
15．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；三角形全等及其性质；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：延长到点M，使得，连接，
∵矩形，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
连接
∵，
∴，
故当D，F，M三点共线时，取得最小值，且最小值为
故答案为：．
【分析】延长到点M，使得，连接，根据矩形性质可得，，，根据边之间的关系可得CM，再根据全等三角形判定定理可得，则，连接，根据边之间的关系可得，故当D，F，M三点共线时，取得最小值，且最小值为DM，结合勾股定理即可求出答案.
16．【答案】（1）解：原式=
=
=3-4
=-1
（2）解：原式=
=
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的混合运算的计算方法分析求解即可；
（2）先利用算术平方根、立方根和二次根式的性质化简，再求解即可.
17．【答案】（1）解：AB 与 BC垂直，理由如下：
∵AB=8dm， BC=6dm， AC=10dm，
∴∠ABC=90°，即 AB⊥BC
（2）解：由题意设AD＝xdm，则CD＝（x＋2）dm，根据勾股定理得：
AC2＋AD2＝CD2，
即102＋x2＝（x＋2）2，
解得x＝24，
所以AD＝24dm.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理列出方程，求出解即可．
18．【答案】（1）证明： ∵AE∥BF，， 点 C为 BF的中点，
∴四边形 ACFE是平行四边形 .
（2）解：由（1）可知，BC＝CF＝AE＝3，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝3，
由（1）可知四边形ACFE是平行四边形，
∴AC＝EF＝3．
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据对边相等且平行的四边形是平行四边形解答即可；
（2）根据平行四边形的性质得出AC＝EF，进而利用等边三角形的性质得出BC＝AC＝3，进而解答即可．
19．【答案】（1）解：∵A (1， 3) 、B (-2， 4) ，
（2）解：∵A、B在平行于 y轴的同一条直线上，点 A的纵坐标为 8，点 B的纵坐标为-2，∴AB=|8 - (-2) |=10；
（3）解：△ABC是直角三角形.
理由： ∵A (1， 2) 、B (2， 1) 、C (5， 4) ，
∴△ABC是直角三角形.
【知识点】勾股定理的逆定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）直接利用两点间的距离公式计算；
（2）由于横坐标相同，所以A、B两点间的距离等于纵坐标差的绝对值；
（3）先根据两点间的距离公式计算出AB、BC、AC，然后根据勾股定理的逆定理进行判断．
20．【答案】（1）解：四边形 CODP是菱形， ∵CP∥BD， DP∥AC，
∴四边形 CODP 是平行四边形.
∵四边形 ABCD是矩形，
∴AC=BD，且
∴OC=OD.
∴平行四边形 CODP 是菱形
（2）解：由题意可得：
S矩形ABCD＝AB×AD＝6×3＝18，
∴S△OCD＝S矩形ABCD＝×18＝．
∵四边形CODP的形状是菱形，
∴根据对称性，S△OCD＝S△CDP，
∴S四边形CODP＝S△OCD＋S△CDP＝2×＝9．
即四边形CODP的面积为9．
【知识点】三角形的面积；菱形的判定；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形CODP为平行四边形，再利用矩形对角线相等且互相平分的性质得到OC＝OD，结合“一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成判定；
（2）先计算矩形ABCD的面积，再利用矩形对角线分矩形为四个面积相等的三角形得到△OCD的面积，最后根据菱形的面积是△OCD面积的2倍，求出四边形CODP的面积．
21．【答案】（1）解：∵a＝3，b＝5，c＝6，
∴p＝＝7，
∴S＝＝.
（2）解：①3.
②∵0＜x≤4，
∴，，
∴C△ABC＝＝，
∵C△ABC＝，0＜x≤4，x为整数，
∴当x＝4时，三边为，1，4，
∵＋1＜4，
∴x＝4不合题意，舍去，
当x＝3时，三边为2，2，3，符合题意，此时C△ABC取最大值，
∴a＝2，b＝2，c＝3，
∴S＝
＝
＝．
【知识点】二次根式的实际应用；三角形的面积；三角形三边关系
【解析】【解答】解：（2）①当x＝2时，，，，
∴△ABC中最长边的长度为3．
故答案为：3.
【分析】（1）求出p，把a、b、c、p的值代入海伦公式计算即可求解；
（2）①把x＝2代入计算即可求解；
②根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，进而化简C△ABC，根据C△ABC取最大值且x为整数，确定出a、b、c的值，进而求出的值，代入秦九韶公式计算即可求解．
22．【答案】（1）A；C
（2）解：∵BC∥AD，
∴∠DBC=∠ADB，
∵对角线 BD恰好平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，
如图 2，过点 D作 DE∥AB交 BC于点 E，
∵BC∥AD， DE∥AB，
∴四边形 ABED是平行四边形， ∠ABC=∠DEC，
∴AB=DE，
∵∠ABC=∠BCD，
∴∠BCD=∠DEC，
∴DE=DC，
∴AB=DC，
∵AB=AD，
∴AD=DC，
∴四边形 ABCD是“等邻边四边形”“等邻边四边形 ABCD”，
（3）解：如图 4即为所求.
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定；尺规作图-作三角形；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质即可得；
（2）先根据平行线的性质及角平分线定义，可得AB＝AD，过点D作DE∥AB交BC与点E，证得四边形ABED是平行四边形，得∠ABC＝∠DEC，再结合等腰三角形的性质从而证得AD＝DC即可得；
（3）根据等邻边四边形定义作图即可．
23．【答案】（1）解：是， AE是△ABC的关于点 A 的二分割线.
理由如下： ∵∠BAC=120°， AB=AC，
∵AD是△ABC的关于点 A的二分割线，
∴△ABD为直角三角形，△ADC为等腰三角形，
其中 AD=CD， ∠BAD=90°，
∵E是 BD的中点，
即 AE=BE=DE，
由 AD=CD得∠CAD=∠C=30°，
∴∠ADE=∠CAD+∠C=30°+30°=60°，
∴△ADE 是等边三角形， ∠DAE=60°，
∴∠CAE=∠DAE+∠CAD=60°+30°=90°，
∴△AEC为直角三角形，
又△ABE为等腰三角形(因 AE=BE) ，
故 AE是△ABC的关于点 A的二分割线
（2）解： 分两种情况：当△ABD为等腰三角形，△BCD为直角三角形时，
当∠BDC＝90°，DA＝DB时，如图，符合题意；
∴∠BAC＝45°；
当∠DBC＝90°，DA＝DB时，如图，符合题意；
∴∠DAB＝∠DBA，
∵∠CDB＝90° ∠C＝∠DAB＋∠DBA
∴∠DAB＝36°，即∠BAC＝36°，
当△BCD为等腰三角形，△ABD为直角三角形时，
当DB＝DC，∠BAD＝90°时，如图，符合题意；
当DB＝DC，∠ABD＝90°时，如图，符合题意，
此时∠DBC＝∠C＝18°，
∴∠ADB＝18°＋18°＝36°
∴∠BAC＝90° ∠ADB＝54°；
综上：∠BAC的度数为90°或54°或45°或36°。
（3）解：∵AD⊥BC，
∴△ADB为直角三角形，∠2＋∠3＝90°，
∵AD为△ABC关于点A的二分割线，
∴△ADC为等腰三角形，
∴DC＝DA
过点D作DF⊥DE交EC延长线于点F，连接AF，
∴∠1＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
∵∠CED＝45°，DF⊥DE，
∴△DEF是等腰直角三角形，DE＝DF，∠DFE＝∠DEF＝45°，
∴△DCE≌△DAF（SAS），EF＝，
∴CE＝AF＝4，∠DFA＝∠DEC＝45°
∴∠AFE＝∠DFE＋∠DFA＝90°，
∴AE＝.
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理；分类讨论
【解析】【分析】（1）先由等腰三角形性质及∠BAC＝120°求出底角，再根据“二分割线”定义确定△ABD为等腰三角形，△ADC为直角三角形，进而证明AE⊥BC，判断AE是否为关于点A的二分割线；
（2）分两大种情况讨论，即当△BCD为等腰三角形，△ABD为直角三角形时；当△ABD为等腰三角形，△BCD为直角三角形时；再对每一种情况进行细分讨论求解；
（3）先确定△ADC为等腰三角形，DC＝DA，过点D作DF⊥DE交EC延长线于点F，连接AF，然后证明△DCE≌△DAF（SAS），求出EF＝，则CE＝AF＝4，∠DFA＝∠DEC＝45°，证明出∠AFE＝∠DFE＋∠DFA＝90°，最后由勾股定理求解AE＝．
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