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专题突破17　带电粒子在有界磁场中的运动
目标 要求 　 　 1.学会处理带电粒子在直线边界、圆形边界、三角形边界及其他多边形边界的运动的问题。2.会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题。
考点一　直线边界磁场
　(2025·广西三模)如图所示，x轴上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子分别以大小相同的速度v，从原点以与x轴正向成45°角的方向射入磁场(忽略重力)。则这一对正、负电子(　　)
A．在磁场中运动的位移相同
B．在磁场中运动的时间相同
C．在离开磁场时的速度相同
D．运动过程中，洛伦兹力对两电子均做正功
解析：C　根据左手定则，正电子逆时针偏转，负电子顺时针偏转，作出正、负电子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示。由几何关系得正、负电子的位移等大反向，A错误；正电子运动时间为T，负电子运动时间为T，运动时间不同，B错误；速度沿轨迹的切线方向，根据圆的对称性，重回边界飞出x轴时的速度大小和方向均相同，C正确；洛伦兹力不做功，D错误。故选C。
直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)。
图(a) 图(b) 图(c)
　(2025·重庆卷，14)研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度大小的装置，如图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。O、N、M均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K(不计长度)位于O点正上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速度大小相同，方向相反，比荷均为。已知OK＝3h，OM＝3h，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。
(1)若K水平发射的粒子在O点产生光点，求粒子的速度大小；
(2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，求粒子的速度大小；
(3)要使(2)问中发射的带正电粒子恰好在M点产生光点，可在粒子发射t时间后关闭磁场，忽略磁场变化的影响，求t的大小。
解析：(1)由题意粒子水平发射后做匀速圆周运动，要在O点产生光点，其运动半径r＝
运动过程中由洛伦兹力提供向心力有qvB＝
联立解得v＝。
(2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，则两端粒子的轨迹正好构成一个完整的圆，且在N点相切，如图所示。
由于K从水平方向逆时针旋转60°，则θ＝30°，根据几何关系可知此时粒子做匀速圆周运动的半径为r1＝2h
根据洛伦兹力提供向心力可知qv1B＝
解得v1＝。
(3)由题意带正电粒子恰好在M点产生光点，则关闭磁场时粒子速度恰好指向M，过M点做正电粒子轨迹的切线，切点为P，如图所示
根据前面解析可知ON＝h，所以NM＝2h
由于O′N＝r1＝2h，且O′N⊥NM
根据几何关系可知∠NO′M＝∠PO′M＝60°，而∠KO′N＝120°，所以α＝120°
粒子在磁场中运动的周期T＝，对应的圆心角α＝120°
所以t＝。
答案：(1)　(2)　(3)
　(2025·湖南岳阳二模)如图所示，在0≤x≤l的真空区域中有足够长的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力)从坐标原点O处沿图示方向射入磁场中，已知θ＝60°。粒子穿过x轴正半轴后刚好没能从右边界射出磁场。则该粒子所带电荷的正负和速度大小是(　　)
A．带正电， B．带正电，
C．带负电， D．带负电，
解析：B　由题知，粒子穿过x轴正半轴后刚好没能从右边界射出磁场，说明粒子进入磁场后向上偏转，根据左手定则，可知粒子带正电，作出其运动轨迹，如图所示，根据几何关系可知∠OO1D＝θ＝60°，设带电粒子在磁场中运动的半径为r，根据几何关系可得r cos 60°＋r＝l，解得r＝，带电粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qBv＝m，解得v＝，故选B。
平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
图(a) 图(b) 图(c)
考点二　圆形边界磁场
　(2025·云南昆明一模)如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，MN为其直径。质量为m、电荷量大小为q的带电粒子在纸面内从M点与MN成30°角射入磁场，一段时间后从N点离开磁场。粒子重力不计，则粒子(　　)
A．在磁场中运动的时间为 B．在磁场中运动的时间为
C．射入磁场时的速度大小为 D．射入磁场时的速度大小为
解析：C　作出粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，由几何知识可知，粒子做圆周运动的半径r＝2R，洛伦兹力提供做圆周运动的向心力则有Bqv＝，解得v＝，C正确，D错误；粒子在磁场中运动的周期T＝，由几何知识可知∠MO′N＝60°，所以粒子在磁场中运动的时间t＝，AB错误。故选C。
圆形边界(进出磁场具有对称性)
(1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。
(2)不沿径向射入时，如图乙所示。
射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ。
图甲 图乙
　(多选)(2025·甘肃卷，10)2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置(BEST)在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R0。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子的速度大小为va＝，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是(　　)
A．外圆半径等于2R0
B．a粒子返回A点所用的最短时间为
C．b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为
D．c粒子的速度大小为va
解析：BD　由题可知，三个粒子在磁场中运动时，均做匀速圆周运动，且轨迹均与外边界圆相切，作出粒子a运动的部分轨迹如图1所示，根据洛伦兹力提供向心力有qvaB＝，又va＝，联立解得Ra＝R0，由几何关系得OOa＝R0，则外圆半径为Ra＋OOa＝R0，A错误；如图1所示，a粒子在内圆运动时间为ta1＝，粒子从射出到第1次返回A点，在磁场区域运动时间为ta2＝2×，所以a粒子返回A点所用的最短时间为ta＝ta1＋ta2＝，B正确；作出b粒子运动轨迹，如图2所示，b返回到A点最短时间为tb＝；作出c粒子运动轨迹，如图3所示，c返回到A点最短时间为tc＝，所以b、c粒子返回到A点最短时间之比为1∶1，C错误；由图3知c粒子轨迹半径为Rc＝，根据qvcB＝，解得vc＝va，D正确。
图1 图2 图3
考点三　三角形边界磁场
　(2025·安徽合肥模拟)边长为L的等边三角形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，带电粒子从A点沿AB边以v≤v0的速度射入磁场时，粒子在磁场中的运动时间相等，v>v0时，粒子在磁场中的运动时间变短。已知粒子质量为m，电荷量大小为q，不计粒子的重力，则(　　)
A．粒子带负电
B．当粒子速度小于v0时，粒子可能从BC边射出
C．磁场的磁感应强度大小为
D．当粒子速度小于v0时，粒子在磁场中的运动时间为
解析：C　根据带电粒子从A点沿AB边以v≤v0的速度射入磁场时，粒子在磁场中的运动时间相等，粒子一定向上偏转，带正电，当从AC边射出时，粒子在磁场中的偏转角相等，都为120°，选项AB错误；根据题意，当粒子以v0射入磁场时，粒子从C点射出，如图所示，粒子的轨道半径r＝，根据qv0B＝，可得B＝，选项C正确；根据t＝T、T＝，可得t＝，代入可知t＝，选项D错误。故选C。
　(多选)(2025·安徽合肥六校期末)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(　　)
A．B>，垂直纸面向里 B．B>，垂直纸面向里
C．B>，垂直纸面向外 D．B>，垂直纸面向外
解析：BD　当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知sin 30°＝，可得r1＝s，由r1＝可得B1＝；当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹即圆弧与OP相切于N点，如图乙所示，设轨迹半径为r2，由几何关系可知s＝＋r2，可得r2＝，又r2＝，所以B2＝，故BD正确，AC错误。
图甲 图乙
限时规范训练(59)　带电粒子在有界磁场中的运动
(建议用时：40分钟　满分：70分)
(选择题1～7题每题5分，8～11题每题6分，共59分)
[基础巩固练]
1．(2025·北京海淀一模)如图所示，MN右侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量为m、电荷量为q的两个电性不同的粒子，均以与MN夹角为θ、大小为v的速度垂直磁场射入。不计重力及粒子间的相互作用。则两粒子(　　)
A．在磁场中运动轨迹的半径不同
B．在磁场中运动的时间不同
C．射出磁场时的速度方向不同
D．射出位置到射入位置的距离不同
解析：B　由qvB＝m，可得r＝，故两粒子在磁场中运动轨迹的半径相同，如图所示正电荷粒子的运动轨迹为大圆弧，负电荷粒子的运动轨迹为小圆弧，射出磁场时的速度方向相同，故AC错误；粒子在磁场中运动周期T＝，若粒子带负电荷，在磁场中运动的时间t1＝，若粒子带正电荷，在磁场中运动的时间t2＝，故两粒子在磁场中运动的时间不同，故B正确；由几何关系可知，两粒子射出位置到射入位置的距离相同，大小等于d＝2r sin θ，故D错误。故选B。
2．(2025·海南三亚模拟)如图所示为一宽度为d的匀强磁场，一束电子以垂直于磁感应强度B且与磁场右边界的垂线成θ＝60°角的速度v射入磁场，其穿出磁场时速度方向恰好和左边界垂直，则下列说法正确的是(　　)
A．电子在磁场中做圆周运动的半径为2d
B．电子在磁场中运动的时间为
C．电子的比荷为
D．若增大电子的速度，则电子在磁场运动时间增大
解析：B　粒子的运动轨迹如图所示，根据几何关系有r sin θ＝d，解得r＝d，故A错误；电子在磁场中运动的时间为t＝，故B正确；根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得，故C错误；由以上分析可知，若增大电子的速度，则电子在磁场运动转过的圆心角减小，则时间变小，故D错误。故选B。
3．(2025·甘肃白银三模)如图所示，在xOy直角坐标系的第一象限以坐标原点为圆心、半径为R的四分之一圆OADC内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，D为圆弧AC的中点；从坐标原点沿x轴正向向磁场内射入各种不同速率的带电粒子，粒子的质量为m、电荷量为－q(q>0)，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。关于粒子在磁场中的运动，下列说法正确的是(　　)
A．粒子在磁场中运动的最长时间为
B．粒子从圆弧边射出时，速度越大，粒子在磁场中运动的时间越长
C．若粒子从D点射出，则粒子出磁场时速度沿y轴正向
D．从A点射出的粒子和从D点射出的粒子在磁场中运动的时间之比为4∶1
解析：C　粒子从y轴射出在磁场中运动的时间最长，最长为tm＝，故A错误；不同速度的粒子从圆弧边射出时，在磁场中运动轨道所对的弦长相同，速度越大，半径越大，轨迹所对的圆心角越小，运动时间越短，故B错误；若粒子从D点出射，运动轨迹如图，根据几何关系，轨迹所对的圆心角为90°，因此粒子从D点出磁场时，速度沿y轴正向，故C正确；从A点出射的粒子在磁场中运动的时间为半个周期，从D点出射的粒子在磁场中运动的时间为四分之一个周期，因此时间之比为2∶1，故D错误。故选C。
4．(2025·北京丰台二模)如图所示，正方形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一不计重力的带电粒子垂直磁场边界从M点射入，从N点射出。下列说法正确的是(　　)
A．粒子带正电
B．粒子在N点速率小于在M点速率
C．若仅增大磁感应强度，则粒子可能从N点下方射出
D．若仅增大入射速率，则粒子在磁场中运动时间变长
解析：C　粒子向右偏转，洛伦兹力方向整体向右，根据左手定则可知，粒子带负电，故A错误；洛伦兹力不做功，根据动能定理可知，粒子的速率不变，即粒子在N点的速率等于在M点的速率，故B错误；粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝m，解得R＝，若增大磁感应强度，则轨道半径减小，可知，粒子可能从N点下方射出，故C正确；结合上述可知，若增大入射速率，则轨道半径增大，粒子将从N点上方射出，对应圆弧的圆心角θ减小，根据qvB＝m，解得T＝，粒子在磁场中运动的时间t＝，圆心角减小，运动时间减小，可知若仅增大入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短，故D错误。
5．(2024·广西卷，5)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为＋q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为(　　)
A．
C．
解析：C　根据题意作出粒子的运动轨迹，根据洛伦兹力提供向心力有qBv＝，可得粒子做圆周运动的半径r＝，由几何关系可以得到P点至O点的距离d＝r＝，C正确。
6．(2025·北京西城二模)如图所示，圆形匀强磁场区域的圆心为O，半径为R，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度的大小为B。一质量为m、电荷量为q的带电粒子以某一速度从P点沿磁场区域的半径方向射入磁场，从Q点射出，PO与OQ成60°角，不计粒子重力。下列说法正确的是(　　)
A．带电粒子在磁场中做圆周运动的半径等于R
B．带电粒子在磁场中的运动时间等于
C．若射入速度变大，粒子运动的半径变小
D．若射入速度变大，粒子在磁场中的运动时间变短
解析：D　粒子运动轨迹如图所示，根据几何关系可得＝tan 30°，解得粒子轨迹半径为r＝R，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，粒子运动周期为T＝，联立可得T＝，带电粒子在磁场中的运动时间为t＝，故AB错误；根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝，解得r＝，可知射入速度变大，粒子运动的半径变大，故C错误；粒子在磁场中的运动周期T＝，粒子在磁场中的运动时间t＝，如果只增大粒子的入射速度v，周期不变，根据r＝可知如果只增大粒子的入射速度v，则偏转半径变大，由几何关系可知偏转角变小，则粒子在磁场中的运动时间变短，故D正确。
7．(多选)(2026·湖北腾云联盟开学考)如图所示，在正六边形ABCDEF区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，甲、乙两个质子以不同的速率，先后从A点沿AD方向射入磁场，其中甲质子从F点射出，乙质子从E点射出。不计质子的重力，则甲、乙两质子(　　)
A．速率之比为1∶3
B．速率之比为3∶1
C．在磁场中运动的时间之比为1∶2
D．在磁场中运动的时间之比为2∶1
解析：AD　如图所示，设正六边形的边长为L，甲、乙两个质子在磁场中均做匀速圆周运动，由几何关系可得r甲＝L，r乙＝L，由Bev＝m，可得v＝，故甲、乙两质子的速率之比为，A正确，B错误；甲、乙两个质子在磁场中做匀速圆周运动，根据周期公式T＝，可得甲、乙两个质子在磁场中做匀速圆周运动的周期相等，由图可得t甲＝，t乙＝T，甲、乙两质子在磁场中运动的时间之比为，C错误，D正确。故选AD。
[能力提升练]
8．(多选)(2025·湖南临澧一中模拟)等腰梯形AFCD区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，梯形上、下底AF、CD长度分别为L和2L，∠D＝60°，下底CD的中点E处有一个α粒子放射源，可以向CD上方(各个方向)射出速率不等的α粒子，α粒子的速度方向与磁场方向垂直，不计粒子间的相互作用力及重力，已知质子的电荷量为e，质量为m，下列说法正确的是(　　)
A．所有从A点射出的粒子在磁场中的运动时间均相等
B．若粒子可以到达F点，则其最小速度为
C．到达A点和到达F点的粒子一定具有相同的速率
D．运动轨迹与AD边相切(由CD边出磁场)的速率最小的粒子在磁场中的运动时间为
解析：BD　由几何关系可知，不同速度的粒子运动到A点时，轨迹圆的弦长相同，半径不同，运动的圆心角不同，运动时间就不相同，故A错误；α粒子运动轨迹如图甲所示时有最小速度，由几何关系可知，此时β＝，轨迹半径为r＝ L，由，可得v＝，故B正确；到达A点和到达F点的α粒子运动半径可以不相同，故速率可能不同，故C错误；如图乙所示，当α＝时，符合题意的α粒子速度最小，运动时间t＝，故D正确。故选BD。
图甲 图乙
9．(多选)(2025·广东佛山二模)如图，空间存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，OA距离为2L，OP是一足够大的荧光屏，粒子打在荧光屏上均被吸收，在O、A之间有大量质量为m、电荷量为＋q的粒子，以相同的速度沿纸面垂直于OA开始运动。其中从OA中点射入的粒子恰好能垂直打在荧光屏上(不计粒子重力及其相互作用)。图中∠POA＝120°，则可判断带电粒子(　　)
A．运动速度大小为
B．在磁场中运动的最长时间为
C．打在荧光屏上的位置距离O点最远为L
D．打在荧光屏上的位置距离O点最远为L
解析：AD　从OA中点射入的粒子恰好能垂直打在荧光屏上，粒子运动轨迹如图1所示，由几何知识可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径r＝L，对粒子，由牛顿第二定律得qvB＝m，解得粒子的速度大小v＝，故A正确；所有粒子速度相同，则粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径相等，从A点射入磁场的粒子打在O点，该粒子在磁场中转过的圆心角最大，该粒子在磁场中的运动时间最长，最大圆心角θ＝180°，粒子在磁场中的最长运动时间tm＝，故B错误；粒子打在荧光屏上时的速度方向平行于AO时，其位置距离O点最远，如图2所示，由几何关系可知粒子打在荧光屏上的位置距离O点的最远距离为d＝L，故C错误，D正确。故选AD。
图1　 图2
10．(多选)(2025·重庆模拟)如图所示，固定、光滑且边长为L的等边三角形abc，处于与其平面垂直、磁感应强度大小为B的匀强磁场中(图中未画出)。一比荷为k的粒子从ab边中点O垂直ab边进入磁场，最后恰好能回到O点。该粒子与三角形各边发生碰撞前后速度大小不变、方向相反，粒子所带电荷量始终不变，不计粒子重力。则该粒子的速度大小可能为(　　)
A．
C．
解析：AC　设粒子速度大小为v，据题分析知，粒子在等边三角形内做匀速圆周运动(设半径为R)，要使粒子恰好回到O点，需满足(2n＋1)R＝，又由qvB＝m，联立可得v＝(其中n＝0，1，2，3，…)，当v＝时，n＝0，故A正确；当v＝时，n＝0.5，故B错误；当v＝时，n＝1，故C正确；当v＝时，n＝1.5，故D错误。故选AC。
11．(多选)(2025·四川卷，10)如图所示，Ⅰ区有垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为正方形；Ⅱ区有垂直于纸面向外的匀强磁场，其外边界为圆形，内边界与Ⅰ区边界重合；正方形与圆形中心同为O点。Ⅰ区和Ⅱ区的磁感应强度大小比值为4∶1。一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上a点沿正方形某一条边的中垂线方向进入磁场，一段时间后从a点离开。取sin 37°＝0.6。则带电粒子(　　)
A．在Ⅰ区的轨迹圆心不在O点
B．在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹半径之比为1∶2
C．在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度之比为127∶37
D．在Ⅰ区和Ⅱ区的运动时间之比为127∶148
解析：AD　粒子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有Bqv＝，解得R＝，由于B1∶B2＝4∶1，则R1∶R2＝1∶4，B错误；作出粒子运动轨迹示意图如图所示，结合几何关系可得粒子在Ⅰ区的轨迹圆心不在O点，A正确；由图中几何关系可知，图中cos θ＝0.8，可知θ＝37°，粒子在Ⅰ区运动的圆心角为θ1＝254°，粒子在Ⅱ区运动的圆心角为θ2＝74°，则粒子在Ⅰ区、Ⅱ区运动轨迹长度之比，由于粒子速度大小不变，故运动时间之比，C错误，D正确。
[培优创新练]
12．(11分)(2025·湖北武汉模拟)如图所示，一足够长的矩形区域abcd内存在一方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在ad边中点O，沿垂直磁场方向射入一速度方向与ad边夹角θ＝30°、大小为v0(未知量)的带正电粒子，已知粒子质量为m，电荷量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计。求：
(1)若粒子恰好不能从磁场下边界射出，求粒子的入射速度大小v01；
(2)若粒子恰好不能从磁场上边界射出，求粒子的入射速度大小v02；
(3)若带电粒子的速度v0大小可取任意值，求粒子在磁场中运动的最长时间。
解析：(1)根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示
由几何关系可得R1－R1sin 30°＝，解得R1＝L
又有qv01B＝m，解得v01＝。
(2)根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示
由几何关系可得，R2＋R2sin 30°＝，解得R2＝
又有qv02B＝m，解得v02＝。
(3)根据题意，由公式t＝T和T＝
可知，粒子在磁场中经过的弧所对的圆心角α越大，在磁场中运动的时间也越长。在磁场中运动的半径r≤R2时，运动时间最长，则圆弧所对圆心角为α＝2π－2θ＝π
所以最长时间为t＝。
答案：(1)　(2)　(3)限时规范训练(59)　带电粒子在有界磁场中的运动
(建议用时：40分钟　满分：70分)
(选择题1～7题每题5分，8～11题每题6分，共59分)
[基础巩固练]
1．(2025·北京海淀一模)如图所示，MN右侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量为m、电荷量为q的两个电性不同的粒子，均以与MN夹角为θ、大小为v的速度垂直磁场射入。不计重力及粒子间的相互作用。则两粒子(　　)
A．在磁场中运动轨迹的半径不同
B．在磁场中运动的时间不同
C．射出磁场时的速度方向不同
D．射出位置到射入位置的距离不同
解析：B　由qvB＝m，可得r＝，故两粒子在磁场中运动轨迹的半径相同，如图所示正电荷粒子的运动轨迹为大圆弧，负电荷粒子的运动轨迹为小圆弧，射出磁场时的速度方向相同，故AC错误；粒子在磁场中运动周期T＝，若粒子带负电荷，在磁场中运动的时间t1＝，若粒子带正电荷，在磁场中运动的时间t2＝，故两粒子在磁场中运动的时间不同，故B正确；由几何关系可知，两粒子射出位置到射入位置的距离相同，大小等于d＝2r sin θ，故D错误。故选B。
2．(2025·海南三亚模拟)如图所示为一宽度为d的匀强磁场，一束电子以垂直于磁感应强度B且与磁场右边界的垂线成θ＝60°角的速度v射入磁场，其穿出磁场时速度方向恰好和左边界垂直，则下列说法正确的是(　　)
A．电子在磁场中做圆周运动的半径为2d
B．电子在磁场中运动的时间为
C．电子的比荷为
D．若增大电子的速度，则电子在磁场运动时间增大
解析：B　粒子的运动轨迹如图所示，根据几何关系有r sin θ＝d，解得r＝d，故A错误；电子在磁场中运动的时间为t＝，故B正确；根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得，故C错误；由以上分析可知，若增大电子的速度，则电子在磁场运动转过的圆心角减小，则时间变小，故D错误。故选B。
3．(2025·甘肃白银三模)如图所示，在xOy直角坐标系的第一象限以坐标原点为圆心、半径为R的四分之一圆OADC内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，D为圆弧AC的中点；从坐标原点沿x轴正向向磁场内射入各种不同速率的带电粒子，粒子的质量为m、电荷量为－q(q>0)，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。关于粒子在磁场中的运动，下列说法正确的是(　　)
A．粒子在磁场中运动的最长时间为
B．粒子从圆弧边射出时，速度越大，粒子在磁场中运动的时间越长
C．若粒子从D点射出，则粒子出磁场时速度沿y轴正向
D．从A点射出的粒子和从D点射出的粒子在磁场中运动的时间之比为4∶1
解析：C　粒子从y轴射出在磁场中运动的时间最长，最长为tm＝，故A错误；不同速度的粒子从圆弧边射出时，在磁场中运动轨道所对的弦长相同，速度越大，半径越大，轨迹所对的圆心角越小，运动时间越短，故B错误；若粒子从D点出射，运动轨迹如图，根据几何关系，轨迹所对的圆心角为90°，因此粒子从D点出磁场时，速度沿y轴正向，故C正确；从A点出射的粒子在磁场中运动的时间为半个周期，从D点出射的粒子在磁场中运动的时间为四分之一个周期，因此时间之比为2∶1，故D错误。故选C。
4．(2025·北京丰台二模)如图所示，正方形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一不计重力的带电粒子垂直磁场边界从M点射入，从N点射出。下列说法正确的是(　　)
A．粒子带正电
B．粒子在N点速率小于在M点速率
C．若仅增大磁感应强度，则粒子可能从N点下方射出
D．若仅增大入射速率，则粒子在磁场中运动时间变长
解析：C　粒子向右偏转，洛伦兹力方向整体向右，根据左手定则可知，粒子带负电，故A错误；洛伦兹力不做功，根据动能定理可知，粒子的速率不变，即粒子在N点的速率等于在M点的速率，故B错误；粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝m，解得R＝，若增大磁感应强度，则轨道半径减小，可知，粒子可能从N点下方射出，故C正确；结合上述可知，若增大入射速率，则轨道半径增大，粒子将从N点上方射出，对应圆弧的圆心角θ减小，根据qvB＝m，解得T＝，粒子在磁场中运动的时间t＝，圆心角减小，运动时间减小，可知若仅增大入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短，故D错误。
5．(2024·广西卷，5)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为＋q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为(　　)
A．
C．
解析：C　根据题意作出粒子的运动轨迹，根据洛伦兹力提供向心力有qBv＝，可得粒子做圆周运动的半径r＝，由几何关系可以得到P点至O点的距离d＝r＝，C正确。
6．(2025·北京西城二模)如图所示，圆形匀强磁场区域的圆心为O，半径为R，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度的大小为B。一质量为m、电荷量为q的带电粒子以某一速度从P点沿磁场区域的半径方向射入磁场，从Q点射出，PO与OQ成60°角，不计粒子重力。下列说法正确的是(　　)
A．带电粒子在磁场中做圆周运动的半径等于R
B．带电粒子在磁场中的运动时间等于
C．若射入速度变大，粒子运动的半径变小
D．若射入速度变大，粒子在磁场中的运动时间变短
解析：D　粒子运动轨迹如图所示，根据几何关系可得＝tan 30°，解得粒子轨迹半径为r＝R，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，粒子运动周期为T＝，联立可得T＝，带电粒子在磁场中的运动时间为t＝，故AB错误；根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝，解得r＝，可知射入速度变大，粒子运动的半径变大，故C错误；粒子在磁场中的运动周期T＝，粒子在磁场中的运动时间t＝，如果只增大粒子的入射速度v，周期不变，根据r＝可知如果只增大粒子的入射速度v，则偏转半径变大，由几何关系可知偏转角变小，则粒子在磁场中的运动时间变短，故D正确。
7．(多选)(2026·湖北腾云联盟开学考)如图所示，在正六边形ABCDEF区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，甲、乙两个质子以不同的速率，先后从A点沿AD方向射入磁场，其中甲质子从F点射出，乙质子从E点射出。不计质子的重力，则甲、乙两质子(　　)
A．速率之比为1∶3
B．速率之比为3∶1
C．在磁场中运动的时间之比为1∶2
D．在磁场中运动的时间之比为2∶1
解析：AD　如图所示，设正六边形的边长为L，甲、乙两个质子在磁场中均做匀速圆周运动，由几何关系可得r甲＝L，r乙＝L，由Bev＝m，可得v＝，故甲、乙两质子的速率之比为，A正确，B错误；甲、乙两个质子在磁场中做匀速圆周运动，根据周期公式T＝，可得甲、乙两个质子在磁场中做匀速圆周运动的周期相等，由图可得t甲＝，t乙＝T，甲、乙两质子在磁场中运动的时间之比为，C错误，D正确。故选AD。
[能力提升练]
8．(多选)(2025·湖南临澧一中模拟)等腰梯形AFCD区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，梯形上、下底AF、CD长度分别为L和2L，∠D＝60°，下底CD的中点E处有一个α粒子放射源，可以向CD上方(各个方向)射出速率不等的α粒子，α粒子的速度方向与磁场方向垂直，不计粒子间的相互作用力及重力，已知质子的电荷量为e，质量为m，下列说法正确的是(　　)
A．所有从A点射出的粒子在磁场中的运动时间均相等
B．若粒子可以到达F点，则其最小速度为
C．到达A点和到达F点的粒子一定具有相同的速率
D．运动轨迹与AD边相切(由CD边出磁场)的速率最小的粒子在磁场中的运动时间为
解析：BD　由几何关系可知，不同速度的粒子运动到A点时，轨迹圆的弦长相同，半径不同，运动的圆心角不同，运动时间就不相同，故A错误；α粒子运动轨迹如图甲所示时有最小速度，由几何关系可知，此时β＝，轨迹半径为r＝ L，由，可得v＝，故B正确；到达A点和到达F点的α粒子运动半径可以不相同，故速率可能不同，故C错误；如图乙所示，当α＝时，符合题意的α粒子速度最小，运动时间t＝，故D正确。故选BD。
图甲 图乙
9．(多选)(2025·广东佛山二模)如图，空间存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，OA距离为2L，OP是一足够大的荧光屏，粒子打在荧光屏上均被吸收，在O、A之间有大量质量为m、电荷量为＋q的粒子，以相同的速度沿纸面垂直于OA开始运动。其中从OA中点射入的粒子恰好能垂直打在荧光屏上(不计粒子重力及其相互作用)。图中∠POA＝120°，则可判断带电粒子(　　)
A．运动速度大小为
B．在磁场中运动的最长时间为
C．打在荧光屏上的位置距离O点最远为L
D．打在荧光屏上的位置距离O点最远为L
解析：AD　从OA中点射入的粒子恰好能垂直打在荧光屏上，粒子运动轨迹如图1所示，由几何知识可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径r＝L，对粒子，由牛顿第二定律得qvB＝m，解得粒子的速度大小v＝，故A正确；所有粒子速度相同，则粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径相等，从A点射入磁场的粒子打在O点，该粒子在磁场中转过的圆心角最大，该粒子在磁场中的运动时间最长，最大圆心角θ＝180°，粒子在磁场中的最长运动时间tm＝，故B错误；粒子打在荧光屏上时的速度方向平行于AO时，其位置距离O点最远，如图2所示，由几何关系可知粒子打在荧光屏上的位置距离O点的最远距离为d＝L，故C错误，D正确。故选AD。
图1　 图2
10．(多选)(2025·重庆模拟)如图所示，固定、光滑且边长为L的等边三角形abc，处于与其平面垂直、磁感应强度大小为B的匀强磁场中(图中未画出)。一比荷为k的粒子从ab边中点O垂直ab边进入磁场，最后恰好能回到O点。该粒子与三角形各边发生碰撞前后速度大小不变、方向相反，粒子所带电荷量始终不变，不计粒子重力。则该粒子的速度大小可能为(　　)
A．
C．
解析：AC　设粒子速度大小为v，据题分析知，粒子在等边三角形内做匀速圆周运动(设半径为R)，要使粒子恰好回到O点，需满足(2n＋1)R＝，又由qvB＝m，联立可得v＝(其中n＝0，1，2，3，…)，当v＝时，n＝0，故A正确；当v＝时，n＝0.5，故B错误；当v＝时，n＝1，故C正确；当v＝时，n＝1.5，故D错误。故选AC。
11．(多选)(2025·四川卷，10)如图所示，Ⅰ区有垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为正方形；Ⅱ区有垂直于纸面向外的匀强磁场，其外边界为圆形，内边界与Ⅰ区边界重合；正方形与圆形中心同为O点。Ⅰ区和Ⅱ区的磁感应强度大小比值为4∶1。一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上a点沿正方形某一条边的中垂线方向进入磁场，一段时间后从a点离开。取sin 37°＝0.6。则带电粒子(　　)
A．在Ⅰ区的轨迹圆心不在O点
B．在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹半径之比为1∶2
C．在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度之比为127∶37
D．在Ⅰ区和Ⅱ区的运动时间之比为127∶148
解析：AD　粒子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有Bqv＝，解得R＝，由于B1∶B2＝4∶1，则R1∶R2＝1∶4，B错误；作出粒子运动轨迹示意图如图所示，结合几何关系可得粒子在Ⅰ区的轨迹圆心不在O点，A正确；由图中几何关系可知，图中cos θ＝0.8，可知θ＝37°，粒子在Ⅰ区运动的圆心角为θ1＝254°，粒子在Ⅱ区运动的圆心角为θ2＝74°，则粒子在Ⅰ区、Ⅱ区运动轨迹长度之比，由于粒子速度大小不变，故运动时间之比，C错误，D正确。
[培优创新练]
12．(11分)(2025·湖北武汉模拟)如图所示，一足够长的矩形区域abcd内存在一方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在ad边中点O，沿垂直磁场方向射入一速度方向与ad边夹角θ＝30°、大小为v0(未知量)的带正电粒子，已知粒子质量为m，电荷量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计。求：
(1)若粒子恰好不能从磁场下边界射出，求粒子的入射速度大小v01；
(2)若粒子恰好不能从磁场上边界射出，求粒子的入射速度大小v02；
(3)若带电粒子的速度v0大小可取任意值，求粒子在磁场中运动的最长时间。
解析：(1)根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示
由几何关系可得R1－R1sin 30°＝，解得R1＝L
又有qv01B＝m，解得v01＝。
(2)根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示
由几何关系可得，R2＋R2sin 30°＝，解得R2＝
又有qv02B＝m，解得v02＝。
(3)根据题意，由公式t＝T和T＝
可知，粒子在磁场中经过的弧所对的圆心角α越大，在磁场中运动的时间也越长。在磁场中运动的半径r≤R2时，运动时间最长，则圆弧所对圆心角为α＝2π－2θ＝π
所以最长时间为t＝。
答案：(1)　(2)　(3)(共51张PPT)
专题突破17　带电粒子在有界磁场中的运动
1.学会处理带电粒子在直线边界、圆形边界、三角形边界及其他多边形边界的运动的问题。2.会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题。
目标
要求
1
研考点 精准突破
2
限时规范训练
栏
目
导
引
研考点
精准突破
考点一　直线边界磁场
(2025·广西三模)如图所示，x轴上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子分别以大小相同的速度v，从原点以与x轴正向成45°角的方向射入磁场(忽略重力)。则这一对正、负电子(　　)
A．在磁场中运动的位移相同
B．在磁场中运动的时间相同
C．在离开磁场时的速度相同
D．运动过程中，洛伦兹力对两电子均做正功
C　
解析：C　根据左手定则，正电子逆时针偏转，负电子顺时针偏转，作出正、负电子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示。由几何关系得正、负电子的位移等大反向，A错误；正电子运动时间为T，负电子运动时间为T，运动时间不同，B错误；速度沿轨迹的切线方向，根据圆的对称性，重回边界飞出x轴时的速度大小和方向均相同，C正确；洛伦兹力不做功，D错误。故选C。
直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)。
图(a) 图(b) 图(c)
(2025·重庆卷，14)研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度大小的装置，如图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。O、N、M均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K(不计长度)位于O点正上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、
负粒子速度大小相同，方向相反，比荷均为。已
知OK＝3h，OM＝3h，不计粒子所受重力及粒子
间相互作用。
(1)若K水平发射的粒子在O点产生光点，求粒子的速度大小；
(2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，求粒子的速度大小；
(3)要使(2)问中发射的带正电粒子恰好在M点产生光点，可在粒子发射t时间后关闭磁场，忽略磁场变化的影响，求t的大小。
解析：(1)由题意粒子水平发射后做匀速圆周运动，要在O点产生光点，其运动半径r＝
运动过程中由洛伦兹力提供向心力有qvB＝
联立解得v＝。
(2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，则两端粒子的轨迹正好构成一个完整的圆，且在N点相切，如图所示。
由于K从水平方向逆时针旋转60°，则θ＝30°，根据几何关系可知此时粒子做匀速圆周运动的半径为r1＝2h
根据洛伦兹力提供向心力可知qv1B＝
解得v1＝。
(3)由题意带正电粒子恰好在M点产生光点，则关闭磁场时粒子速度恰好指向M，过M点做正电粒子轨迹的切线，切点为P，如图所示
根据前面解析可知ON＝h，所以NM＝2h
由于O′N＝r1＝2h，且O′N⊥NM
根据几何关系可知∠NO′M＝∠PO′M＝60°，
而∠KO′N＝120°，所以α＝120°
粒子在磁场中运动的周期T＝，对应的圆心角α＝120°
所以t＝。
答案：(1)　(2)　(3)
(2025·湖南岳阳二模)如图所示，在0≤x≤l的真空区域中有足够长的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力)从坐标原点O处沿图示方向射入磁场中，已知θ＝60°。粒子穿过x轴正半轴后刚好没能从右边界射出磁场。则该粒子所带电荷的正负和速度大小是(　　)
A．带正电， B．带正电，
C．带负电， D．带负电，
B
解析：B　由题知，粒子穿过x轴正半轴后刚好没能从右边界射出磁场，说明粒子进入磁场后向上偏转，根据左手定则，可知粒子带正电，作出其运动轨迹，如图所示，根据几何关系可知∠OO1D＝θ＝60°，设带电粒子在磁场中运动的半径为r，根据几何关系可得r cos 60°＋r＝l，解得r＝，带电粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qBv＝m，解得v＝，故选B。
平行边界(往往存在临界条件，如图所示)
图(a) 图(b) 图(c)
考点二　圆形边界磁场
(2025·云南昆明一模)如图所示，半径为R的圆形
区域内有垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁
场，MN为其直径。质量为m、电荷量大小为q的带电粒
子在纸面内从M点与MN成30°角射入磁场，一段时间
后从N点离开磁场。粒子重力不计，则粒子(　　)
A．在磁场中运动的时间为 B．在磁场中运动的时间为
C．射入磁场时的速度大小为 D．射入磁场时的速度大小为
C
解析：C　作出粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，由几何知识可知，粒子做圆周运动的半径r＝2R，洛伦兹力提供做圆周运动的向心力则有Bqv＝，解得v＝，C正确，D错误；粒子在磁场中运动的周期T＝，由几何知识可知∠MO′N＝60°，所以粒子在磁场中运动的时间t＝，AB错误。故选C。
圆形边界(进出磁场具有对称性)
(1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。
(2)不沿径向射入时，如图乙所示。
射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ。
图甲 图乙
(多选)(2025·甘肃卷，10)2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置(BEST)在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R0。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返
回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子的速度大小为va＝，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是(　　)
BD
A．外圆半径等于2R0
B．a粒子返回A点所用的最短时间为
C．b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为
D．c粒子的速度大小为va
解析：BD　由题可知，三个粒子在磁场中运动时，均
做匀速圆周运动，且轨迹均与外边界圆相切，作出粒子
a运动的部分轨迹如图1所示，根据洛伦兹力提供向心力
有qvaB＝，又va＝，联立解得Ra＝R0，由几何关
系得OOa＝R0，则外圆半径为Ra＋OOa＝R0，
A错误；如图1所示，a粒子在内圆运动时间为ta1＝，粒子从射出到第1次返回A点，在磁场区域运动时间为ta2＝2×，所以a粒子返回A点所用的最短时间为ta＝ta1＋ta2＝，B正确；作出b粒子
图1
运动轨迹，如图2所示，b返回到A点最短时间为tb＝；作出c粒子运动轨迹，如图3所示，c返回到A点最短时间为tc＝，所以b、c粒子返回到A点最短时间之比为1∶1，C错误；由图3知c粒子轨迹半径为Rc＝，根据qvcB＝，解得vc＝va，D正确。
图2 图3
考点三　三角形边界磁场
(2025·安徽合肥模拟)边长为L的等边三角形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，带电粒子从A点沿AB边以v≤v0的速度射入磁场时，粒子在磁场中的运动时间相等，v>v0时，粒子在磁场中的运动时间变短。已知粒子质量为m，电荷量大小为q，不计粒子的重力，则(　　)
A．粒子带负电
B．当粒子速度小于v0时，粒子可能从BC边射出
C．磁场的磁感应强度大小为
D．当粒子速度小于v0时，粒子在磁场中的运动时间为
C
解析：C　根据带电粒子从A点沿AB边以v≤v0的速度射入磁场时，粒子在磁场中的运动时间相等，粒子一定向上偏转，带正电，当从AC边射出时，粒子在磁场中的偏转角相等，都为120°，选项AB错误；根据题意，当粒子以v0射入磁场时，粒子从C点射出，如图所示，粒
子的轨道半径r＝，根据qv0B＝，可得B＝，选项C正确；根据t＝T、T＝，可得t＝，代入可知t＝，选项D错误。故选C。
(多选)(2025·安徽合肥六校期末)如图所示，A点的
离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的
重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，
可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，
负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(　　)
A．B>，垂直纸面向里 B．B>，垂直纸面向里
C．B>，垂直纸面向外 D．B>，垂直纸面向外
BD
解析：BD　当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知sin 30°＝，可得r1＝s，由r1＝可得B1＝；当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹即圆弧与OP相切于N点，如图乙所示，设轨迹半径为r2，由几何关系可知s＝＋r2，可得r2＝，又r2＝，所以B2＝，故BD正确，AC错误。
图甲 图乙
3
4
5
6
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8
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12
11
1
2
限时规范
训练(59)　带电粒子在有界磁场中的运动
(建议用时：40分钟　满分：70分)
(选择题1～7题每题5分，8～11题每题6分，共59分)
[基础巩固练]
1．(2025·北京海淀一模)如图所示，MN右侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量为m、电荷量为q的两个电性不同的粒子，均以与MN夹角为θ、大小为v的速度垂直磁场射入。不计
重力及粒子间的相互作用。则两粒子(　　)
A．在磁场中运动轨迹的半径不同
B．在磁场中运动的时间不同
C．射出磁场时的速度方向不同
D．射出位置到射入位置的距离不同
B
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6
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8
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11
1
2
解析：B　由qvB＝m，可得r＝，故两粒子在磁场中运动轨迹的半径相同，如图所示正电荷粒子的运动轨迹为大圆弧，负电荷粒子的运动轨迹为小圆弧，射出磁场时的速度方向相同，故AC错误；粒子在磁场中运动周期T＝，若粒子带负电荷，在磁场中运动的
时间t1＝，若粒子带正电荷，在磁场中运动的时间t2＝，故两粒子在磁场中运动的时间不同，故B正确；由几何关系可知，两粒子射出位置到射入位置的距离相同，大小等于d＝2r sin θ，故D错误。故选B。
2
1
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11
2．(2025·海南三亚模拟)如图所示为一宽度为d的匀强磁场，一束电子以垂直于磁感应强度B且与磁场右边界的垂线成θ＝60°角的速度v射入磁场，其穿出磁场时速度方向恰好和左边界垂直，则下列说法正确的是
(　　)
A．电子在磁场中做圆周运动的半径为2d
B．电子在磁场中运动的时间为
C．电子的比荷为
D．若增大电子的速度，则电子在磁场运动时间增大
B
2
1
3
4
5
6
7
8
9
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12
11
解析：B　粒子的运动轨迹如图所示，根据几何关系有r sin θ＝d，解得r＝d，故A错误；电子在磁场中运动的时间为t＝，故B正确；根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得，故C错误；由以上分析可知，若增大电子的速度，则电子在磁场运动转过的圆心角减小，则时间变小，故D错误。故选B。
2
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1
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11
3．(2025·甘肃白银三模)如图所示，在xOy直角坐标系的第一象限以坐标原点为圆心、半径为R的四分之一圆OADC内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，D为圆弧AC的中点；从坐标原点沿x轴正向向磁场内射入各种不同速率的带电粒子，粒子的质量为
m、电荷量为－q(q>0)，不计粒子的重力及粒子间的相互
作用。关于粒子在磁场中的运动，下列说法正确的是(　　)
A．粒子在磁场中运动的最长时间为
B．粒子从圆弧边射出时，速度越大，粒子在磁场中运动的时间越长
C．若粒子从D点射出，则粒子出磁场时速度沿y轴正向
D．从A点射出的粒子和从D点射出的粒子在磁场中运动的时间之比为4∶1
C
2
3
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11
解析：C　粒子从y轴射出在磁场中运动的时间最长，最长为tm＝，故A错误；不同速度的粒子从圆弧边射出时，在磁场中运动轨道所对的弦长相同，速度越大，半径越大，轨迹所对的圆心角越小，运动时间越短，故B错误；若粒子从D点出射，运动轨迹如
图，根据几何关系，轨迹所对的圆心角为90°，因此粒子从D点出磁场时，速度沿y轴正向，故C正确；从A点出射的粒子在磁场中运动的时间为半个周期，从D点出射的粒子在磁场中运动的时间为四分之一个周期，因此时间之比为2∶1，故D错误。故选C。
2
3
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5
6
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11
4．(2025·北京丰台二模)如图所示，正方形区域内存在
垂直纸面向里的匀强磁场，一不计重力的带电粒子垂直磁场边界从M点射入，从N点射出。下列说法正确的是(　　)
A．粒子带正电
B．粒子在N点速率小于在M点速率
C．若仅增大磁感应强度，则粒子可能从N点下方射出
D．若仅增大入射速率，则粒子在磁场中运动时间变长
C
2
3
4
5
6
7
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解析：C　粒子向右偏转，洛伦兹力方向整体向右，根据左手定则可知，粒子带负电，故A错误；洛伦兹力不做功，根据动能定理可知，粒子的速率不变，即粒子在N点的速率等于在M点的速率，故B错误；粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝m，解得R＝，若增大磁
感应强度，则轨道半径减小，可知，粒子可能从N点下方射出，故C正确；结合上述可知，若增大入射速率，则轨道半径增大，粒子将从N点上方射出，对应圆弧的圆心角θ减小，根据qvB＝m，解得T＝，粒子在磁场中运动的时间t＝，圆心角减小，运动时间减小，可知若仅增大入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短，故D错误。
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5．(2024·广西卷，5)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为＋q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为(　　)
A．
C．
C
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解析：C　根据题意作出粒子的运动轨迹，根据洛伦兹力提供向心力有qBv＝，可得粒子做圆周运动的半径r＝，由几何关系可以得到P点至O点的距离d＝r＝，C正确。
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6．(2025·北京西城二模)如图所示，圆形匀强磁场区域的圆心为O，半径为R，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度的大小为B。一质量为m、电荷量为q的带电粒子以某一速度从P点沿磁场区域的半径方向射入磁场，从Q点射出，PO与OQ成60°角，不计粒子重力。下列说法正确的是
(　　)
A．带电粒子在磁场中做圆周运动的半径等于R
B．带电粒子在磁场中的运动时间等于
C．若射入速度变大，粒子运动的半径变小
D．若射入速度变大，粒子在磁场中的运动时间变短
D
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解析：D　粒子运动轨迹如图所示，根据几何关系可得＝tan 30°，解得粒子轨迹半径为r＝R，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，粒子运动周期为T＝，联立可得T＝，带电粒子在磁场中的运动时间为t＝，故AB错误；根据洛伦兹力提
供向心力，有qvB＝，解得r＝，可知射入速度变大，粒子运动的半径变大，故C错误；粒子在磁场中的运动周期T＝，粒子在磁场中的运动时间t＝，如果只增大粒子的入射速度v，周期不变，根据r＝可知如果只增大粒子的入射速度v，则偏转半径变大，由几何关系可知偏转角变小，则粒子在磁场中的运动时间变短，故D正确。
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7．(多选)(2026·湖北腾云联盟开学考)如图所示，在正六边形ABCDEF区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，甲、乙两个质子以不同的速率，先后从A点沿AD方向射入磁场，其中甲质子从F点射出，乙质子从E点射出。不计质子的重力，则甲、乙两质子(　　)
A．速率之比为1∶3
B．速率之比为3∶1
C．在磁场中运动的时间之比为1∶2
D．在磁场中运动的时间之比为2∶1
AD
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解析：AD　如图所示，设正六边形的边长为L，甲、乙两个质子在磁场中均做匀速圆周运动，由几何关系可得
r甲＝L，r乙＝L，由Bev＝m，可得v＝，故甲、乙两质子的速率之比为，A正确，B错误；甲、乙两个质子在磁场中做匀速圆周运动，根据周期公
式T＝，可得甲、乙两个质子在磁场中做匀速圆周运动的周期相等，由图可得t甲＝，t乙＝T，甲、乙两质子在磁场中运动的时间之比为，C错误，D正确。故选AD。
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[能力提升练]
8．(多选)(2025·湖南临澧一中模拟)等腰梯形AFCD区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，梯形上、下底AF、CD长度分别为L和2L，∠D＝60°，下底CD的中点E处有一个α粒子放射源，可以向CD上方(各个方向)射出速率不等的α粒子，α粒子的速度方向与磁场方向垂直，不计粒子间的相互作用力及重力，已知质子的电荷量为e，质量为m，下列说法正确的是(　　)
A．所有从A点射出的粒子在磁场中的运动时间均相等
B．若粒子可以到达F点，则其最小速度为
C．到达A点和到达F点的粒子一定具有相同的速率
D．运动轨迹与AD边相切(由CD边出磁场)的速率最小的粒子在磁场中的运动时间为
BD
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解析：BD　由几何关系可知，不同速度的粒子运动到A点时，轨迹圆的弦长相同，半径不同，运动的圆心角不同，运动时间就不相同，故A错误；α粒子运动轨迹如图甲所示时有最小速度，由几何关系可知，此时β＝，轨迹半径为r＝ L，由，可得v＝，故B正确；到达A点和到达F点的α粒子运动半径可以不相同，故速率可能不同，故C错误；如图乙所示，当α＝时，符合题意的α粒子速度最小，运动时间t＝，故D正确。故选BD。
图甲 图乙
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9．(多选)(2025·广东佛山二模)如图，空间存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，OA距离为2L，OP是一足够大的荧光屏，粒子打在荧光屏上均被吸收，在O、A之间有大量质量为m、电荷量为＋q的粒子，以相同的速度沿纸面垂直于OA开始运动。其中从OA中点射入的粒子恰好能垂直打在荧光屏上(不计粒子重力及其相互作用)。图中∠POA＝120°，则可判断带电粒子(　　)
A．运动速度大小为
B．在磁场中运动的最长时间为
C．打在荧光屏上的位置距离O点最远为L
D．打在荧光屏上的位置距离O点最远为L
AD
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解析：AD　从OA中点射入的粒子恰好能垂直打在荧光屏上，粒子运动轨迹如图1所示，由几何知识可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径r＝L，对粒子，由牛顿第二定律得qvB＝m，解得粒子的速度大小v＝，故A正确；所有粒子速度相同，则粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径相等，从A点射入磁场的粒子打在O点，该粒子在磁场中转过的圆心角最大，该粒子在磁场中的运动时间最长，最大圆心
图1
图2
角θ＝180°，粒子在磁场中的最长运动时间tm＝，故B错误；粒子打在荧光屏上时的速度方向平行于AO时，其位置距离O点最远，如图2所示，由几何关系可知粒子打在荧光屏上的位置距离O点的最远距离为d＝L，故C错误，D正确。故选AD。
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10．(多选)(2025·重庆模拟)如图所示，固定、光滑且边长为L的等边三角形abc，处于与其平面垂直、磁感应强度大小为B的匀强磁场中(图中未画出)。一比荷为k的粒子从ab边中点O垂直ab边进入磁场，最后恰好能回到O点。该粒子与三角形各边发生碰撞前后速度大小不变、方向相反，粒子所带电荷量始终不变，不计粒子重力。则该粒子的速度大小可能为(　　)
A．
C．
AC
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解析：AC　设粒子速度大小为v，据题分析知，粒子
在等边三角形内做匀速圆周运动(设半径为R)，要使粒
子恰好回到O点，需满足(2n＋1)R＝，又由qvB＝m
，联立可得v＝(其中n＝0，1，2，3，…)，
当v＝时，n＝0，故A正确；当v＝时，n＝0.5，故B错误；当v＝时，n＝1，故C正确；当v＝时，n＝1.5，故D错误。故选AC。
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11．(多选)(2025·四川卷，10)如图所示，Ⅰ区有垂直于纸面向里的匀强磁场，其边界为正方形；Ⅱ区有垂直于纸面向外的匀强磁场，其外边界为圆形，内边界与Ⅰ区边界重合；正方形与圆形中心同为O点。Ⅰ区和Ⅱ区的磁感应强度大小比值为4∶1。一带正电的粒子从Ⅱ区外边界上a点沿正方形某一条边的中垂线方向进入磁场，一段时间后从a点离开。取sin 37°＝0.6。则带电粒子(　　)
A．在Ⅰ区的轨迹圆心不在O点
B．在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹半径之比为1∶2
C．在Ⅰ区和Ⅱ区的轨迹长度之比为127∶37
D．在Ⅰ区和Ⅱ区的运动时间之比为127∶148
AD
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解析：AD　粒子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有Bqv＝，解得R＝，由于B1∶B2＝4∶1，则R1∶R2＝1∶4，B错误；作出粒子运动轨迹示意图如图所示，结合几何关系可得粒子在Ⅰ区的轨迹圆心不在O点，A正确；由图中几何关系可知，图中cos θ＝0.8，可知θ＝37°，粒子在Ⅰ区运动的圆心角为θ1＝254°，粒子在Ⅱ区运动
的圆心角为θ2＝74°，则粒子在Ⅰ区、Ⅱ区运动轨迹长度之比，由于粒子速度大小不变，故运动时间之比，C错误，D正确。
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[培优创新练]
12．(11分)(2025·湖北武汉模拟)如图所示，一足够长的矩形区域abcd内存在一方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在ad边中点O，沿垂直磁场方向射入一速度方向与ad边夹角θ＝30°、大小为v0(未知量)的带正电粒子，已知粒子质量为m，电荷量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计。求：
(1)若粒子恰好不能从磁场下边界射出，求粒子的入
射速度大小v01；
(2)若粒子恰好不能从磁场上边界射出，求粒子的入射速度大小v02；
(3)若带电粒子的速度v0大小可取任意值，求粒子在磁场中运动的最长时间。
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解析：(1)根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示

由几何关系可得R1－R1sin 30°＝，解得R1＝L
又有qv01B＝m，解得v01＝。
(2)根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示
由几何关系可得，R2＋R2sin 30°＝，解得R2＝
又有qv02B＝m，解得v02＝。
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(3)根据题意，由公式t＝T和T＝
可知，粒子在磁场中经过的弧所对的圆心角α越大，在磁场中运动的时间也越长。在磁场中运动的半径r≤R2时，运动时间最长，则圆弧所对圆心角为α＝2π－2θ＝π
所以最长时间为t＝。
答案：(1)　(2)　(3)
专题突破17　带电粒子在有界磁场中的运动
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