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专题突破18　运用动态圆解决临界极值问题
目标 要求 　 　 1.理解“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”的适用条件并会用其分析临界问题。2.理解磁聚焦、磁发散的原理并会分析解决相关问题。
考点一　放缩圆
　(2025·广西二模)如图，空间存在垂直纸面向外的匀强磁场(未画出)，A、B、C、D、E为磁场中的五个点，B为AD的中点，C为BD中垂线上的一点，且DE＝AB＝2BC，BC平行于DE。一束带正电的同种粒子(不计重力)垂直AD由A点沿纸面向上射入磁场，各粒子速度大小不同，用tB、tC、tD、tE分别表示第一次到达B、C、D、E四点的粒子所经历的时间，下列说法正确的是(　　)
A．tB＝tD>tC>tE B．tC>tB＝tD>tE
C．tB＝tD>tC＝tE D．tE>tB＝tD>tC
解析：C　粒子通过B、C、D、E各点的轨迹如图，由几何关系可知：从A到B和A到D，粒子运动轨迹对应的圆心角为180°；从A到C和A到E，粒子运动轨迹对应的圆心角小于180°，且相等；带电粒子垂直进入匀强磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即qBv＝m，则v＝，运动周期T＝，周期与速度无关，故粒子从A点沿纸面向上射入磁场，运动轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长，所以tB＝tD>tC＝tE，故选C。
模型图示
(1)条件：同性带电粒子在同一点射入匀强磁场，入射速度的方向一定，但大小不同。
(2)特点：带电粒子做圆周运动的轨迹圆的圆心，一定位于沿着粒子在入射点所受洛伦兹力方向的射线上，速度越大，半径越大，圆心离入射点越远。
　(多选) (2025·陕西安康模拟)如图所示，边长为L的正方形abcd内(包括边界)有垂直纸面向里的匀强磁场(未画出)，磁感应强度为B，有三个相同带电粒子分别从a点沿ac方向以不同速度大小射入匀强磁场，甲粒子的速度大小为v，从ab边中点离开磁场，乙粒子从b点离开磁场，丙粒子从bc边上某点垂直bc边离开磁场。不计粒子重力及粒子间的相互作用，则下列判断正确的是(　　)
A．粒子带正电
B．粒子的比荷为
C．三个粒子在磁场内运动时间之比t甲∶t乙∶t丙＝1∶2∶4
D．三个粒子在磁场内运动速率之比v甲∶v乙∶v丙＝1∶2∶4
解析：AD　由题意可知粒子逆时针运动，如图所示，由左手定则可判定粒子带正电，A正确；甲粒子从ab边中点离开磁场，由几何关系可知r＝L，根据qvB＝m，得，B错误；甲、乙、丙粒子在磁场内偏转角度分别为90°、90°、45°，粒子运动周期相同，根据t＝T，可知在磁场中运动时间之比为2∶2∶1，C错误；由几何关系可知三粒子的运动半径之比为1∶2∶4，根据qvB＝m，得v＝，可得v甲∶v乙∶v丙＝1∶2∶4，D正确。故选AD。
考点二　旋转圆
　(2025·湖南名校联考)如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度的大小为B，场区足够宽，磁场内有一块足够长平面感光薄板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离L处有一个点状的放射源S，它在纸面内均匀的向各个方向发射比荷相等的带正电的粒子，粒子的速度大小都满足v＝，不计重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是(　　)
A．击中ab板的粒子运动的最长时间为
B．击中ab板的粒子运动的最短时间为
C．ab上被粒子打中的区域的长度为L
D．放射源S发射的粒子中有20%的粒子可以击中ab板
解析：C　若击中ab板的粒子中运动最长时间，则粒子竖直向下运动，轨迹圆与ab相切，轨迹圆的弧长为周长，所用时长t1＝，故A错误；击中ab板的粒子运动的最短时间，应使粒子与竖直方向成30°向上运动，轨迹圆的弦长最短，此时粒子在磁场中运动的时间最短，轨迹圆的弧长为周长，所用时长t2＝，故B错误；由牛顿第二定律得qvB＝m，解得R＝L，轨迹如图所示，ab上被粒子打中的区域的长度x＝L＋＝L，故C正确；沿竖直向上方向和沿竖直向下方向射出的粒子均与屏相切，即射出在S点右侧的粒子可以打在ab平面感光板上，射出方向所占夹角为180°，故各个方向均匀发射的粒子中有50%的粒子可以击中ab板，故D错误。故选C。
模型图示
(1)条件：同性带电粒子在同一点射入匀强磁场，入射速度的大小一定，但方向不同。
(2)特点：所有沿不同方向入射的粒子的轨迹圆半径相同，其轨迹圆的圆心在以入射点为圆心，半径等于轨迹圆半径的圆周上。
　(2025·安徽芜湖二模)如图所示，在xOy坐标系第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在P点有一粒子源，P点坐标为(d，d)。打开粒子源发射装置，能够沿纸面以相同的速率向各个方向均匀发射带负电的粒子，粒子质量为m，电荷量为－q，速率v＝。不计粒子重力及粒子间的相互作用力，M点坐标为(0，d)，则下列说法正确的是(　　)
A．从x轴射出磁场的粒子数占总粒子数的
B．从OM之间射出磁场的粒子数占总粒子数的
C．到达x轴的粒子在磁场中运动的最短时间为
D．粒子在磁场中运动的最长路径与最短路径之比为9∶2
解析：B　粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，解得r＝＝d，如图1所示，可知从x轴射出磁场的粒子所对应的角度范围为90°，则从x轴射出磁场的粒子数占总粒子数的，故A错误；如图2所示，由几何关系可知从OM之间射出磁场的粒子所对应的角度范围为30°，则从OM之间射出磁场的粒子数占总粒子数的，故B正确；如图3所示，到达x轴的粒子中，当粒子到达P点正下方位置对应圆心角最小，所用时间最短，则有tmin＝，故C错误；如图4所示，粒子在磁场中运动的最长路径对应的圆心角为360°，最短路径对应的圆心角为60°，可知粒子在磁场中运动的最长路径与最短路径之比为smax∶smin＝360°∶60°＝6∶1，故D错误。故选B。
图1 图2
图3 图4
考点三　平移圆
　(2025·陕西宝鸡二模)如图，直角三角形ACD区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向内的匀强磁场，CD＝L，θ＝30°。质量为m、电荷量为q且均匀分布的带正电粒子以相同的速度沿纸面垂直AD边射入磁场，若粒子的速度大小为，不考虑重力及粒子间的作用，＝1.732，则粒子经磁场偏转后能返回到AD边的粒子数占射入到AD边总粒子数的百分比为(　　)
A．40% B．47.3%
C．52.7% D．60%
解析：C　粒子在磁场中洛伦兹力提供向心力qvB＝m，可得r＝＝0.3L，当粒子的轨迹与AC边相切时为粒子经磁场偏转后能返回到AD边的右侧临近点，设此时入射点为E，则－r＝0.3L，当粒子的轨迹与CD边相切时为粒子经磁场偏转后能返回到AD边的左侧临近点，设此时入射点为F，则＋r＝0.6464L，则粒子经磁场偏转后能返回到AD边的入射点的长度为＝1.0536L，所以，粒子经磁场偏转后能返回到AD边的粒子数占射入到AD边总粒子数的百分比为×100%＝52.68%≈52.7%，故选C。
模型图示
(1)条件：带电粒子射入匀强磁场的速度大小和方向相同，入射点不同但在同一直线上。
(2)特点：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，而且圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行。
　(2025·江西师大附中高三月考)如图，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，AC边长为l，∠B为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从C点开始在一定范围垂直AC边射入，射入的粒子恰好不从AB边射出，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为2t0，则下列说法中不正确的是(　　)
A．磁感应强度大小为
B．粒子运动的轨道半径为l
C．粒子射入磁场的速度大小为
D．粒子在磁场中扫过的面积为l2
解析：B　带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直BC边射出的粒子在磁场中运动的时间是，由T＝，可得t0，解得B＝，故A正确，不符题意；设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为θ，则有T＝2t0，又由t0得θ＝，画出该粒子的运动轨迹如图，设轨迹半径为R，由几何知识得＋R cos 30°＝l，可得R＝l，故B错误，符合题意；粒子射入磁场的速度大小为v＝，故C正确，不符题意；射入的粒子恰好不从AB边射出，粒子在磁场中扫过的面积为S＝＋R·R cos 30°＝l2，故D正确，不符题意。故选B。
素养拓展　“磁发散”和“磁聚焦”
1．磁聚焦
如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出(汇聚)。
证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点。
2．磁发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，从P点以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行(发散)。
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A、O2B、O3C均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)。
图甲 图乙
　(多选)(2025·江西萍乡三模)如图，空间中一半径为R的圆形区域(包括边界)内有方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。磁场左侧宽度为R的区域里，大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子以相同的水平速度平行射入圆形磁场，其中从A点沿AO方向射入的粒子，恰好能从圆形磁场最高点M点飞出，已知过A、O两点的直线水平且是有带电粒子射入区域的中心线，不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是(　　)
A．粒子做圆周运动的半径为
B．粒子的初速度大小为
C．粒子在磁场中运动的最短时间为
D．粒子在磁场中运动的最长时间为
解析：BD　由几何关系可知粒子圆周运动的半径r＝R，由洛伦兹力提供向心力得qv0B＝，解得粒子的初速度大小为v0＝，故A错误，B正确；如图所示，由C点入射的粒子运动时间最短，设运动轨迹对应的圆心角为α，则有cos α＝，粒子做圆周运动的周期为T＝，粒子运动的最短时间tC＝，同理，由D点入射的粒子运动时间最长，对应的圆心角为120°，则最长时间为tD＝，故C错误，D正确。故选BD。
　(2021·湖南卷，13)带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一。带电粒子流(每个粒子的质量为m、电荷量为＋q)以初速度v垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在xOy平面内的粒子，求解以下问题。
图甲　 图乙
(1) 如图甲，宽度为2r1的带电粒子流沿x轴正方向射入圆心为A(0，r1)、半径为r1的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，求该磁场磁感应强度B1的大小；
(2) 如图甲，虚线框为边长等于2r2的正方形，其几何中心位于C(0，－r2)。在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到O点的带电粒子流经过该区域后宽度变为2r2，并沿x轴正方向射出。求该磁场磁感应强度B2的大小和方向，以及该磁场区域的面积(无需写出面积最小的证明过程)；
(3) 如图乙，虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于r3的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于r4的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为2r3的带电粒子流沿x轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点O，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为2r4，并沿x轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积(无需写出面积最小的证明过程)。
解析：(1) 粒子垂直x进入圆形磁场，在坐标原点O汇聚，满足磁聚焦的条件，即粒子在磁场中运动的半径等于圆形磁场的半径r1，粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力qvB1＝m，解得B1＝。
(2) 粒子从O点进入下方虚线区域，若要从聚焦的O点飞入然后平行x轴飞出，为磁发散的过程，即粒子在下方圆形磁场运动的轨迹半径等于磁场半径，粒子轨迹最大的边界如图1所示，图中圆形磁场即为最小的匀强磁场区域。磁场半径为r2，根据qvB＝m，可知磁感应强度为B2＝，根据左手定则可知磁场的方向为垂直纸面向里，圆形磁场的面积为S2＝πr22。
图1
(3) 粒子在磁场中运动，3和4为粒子运动的轨迹圆，1和2为粒子运动的磁场的圆周。根据qvB＝m，可知Ⅰ和Ⅲ中的磁感应强度为BⅠ＝，BⅢ＝，图中箭头部分的实线为粒子运动的轨迹，可知磁场的最小面积为叶子形状，取Ⅰ区域如图3，图中阴影部分面积的一半为四分之一圆周SAOB与三角形SAOB之差，所以阴影部分的面积为S1＝2(SAOB－SAOB)＝2×r32 ，同理可知Ⅳ区域的阴影部分面积为SⅣ＝r42，根据对称性可知Ⅱ中的匀强磁场面积为SⅡ＝r32。
图2　 图3
答案：(1)　(2)，垂直于纸面向里　πr22　(3)r32　r42
限时规范训练(60)　运用动态圆解决临界极值问题
(建议用时：40分钟　满分：65分)
(选择题1～6题每题5分，7～8题每题6分，共42分)
[基础巩固练]
1．(2025·安徽蚌埠期末)如图所示，一线状粒子源垂直于磁场边界不断地发射速度相同的同种粒子，粒子源的长度小于粒子在磁场中做圆周运动的直径，磁场区域足够大，不考虑粒子间的相互作用，则磁场中有粒子经过的区域(阴影部分)是(　　)
解析：A　根据左手定则可知，粒子带负电，粒子垂直于边界入射，则粒子在磁场中的轨迹为半个圆周，粒子源的长度小于离子在磁场中做圆周运动的直径，将线状粒子源左端粒子在磁场中运动的半个圆轨迹向右平移至与线状粒子源右端粒子在磁场中运动的半个圆轨迹重合，则线状粒子源左端粒子在磁场中运动的半个圆轨迹平移过程扫过的面积为磁场中有粒子经过的区域，因粒子的轨迹的直径均大于线状粒子源的宽度，可知，第一个选择项满足要求，故选A。
2．(2025·湖南邵东期末)如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小相等的带正电的粒子(重力和粒子间的相互作用力不计)，已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr。则粒子在磁场中运动的最长时间为(　　)
A．
C．
解析：C　粒子在磁场中运动的半径为R＝＝2r；当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹对应的圆心角最大，此时弦长最大，其最大值为圆磁场的直径2r，则圆心角最大为，故t＝，故选项C正确。
3．(2025·山西晋中三模)极光是由太阳抛射出的高能带电粒子受到地磁场作用，在地球南北极附近与大气碰撞产生的发光现象。赤道平面的地磁场，可简化为如图所示：O为地球球心，R为地球半径，将地磁场在半径为R到3R之间的圆环区域看成是匀强磁场，磁感应强度大小为B。磁场边缘A处有一粒子源，可在赤道平面内以相同速率v0向各个方向射入某种带正电粒子。不计粒子重力、粒子间的相互作用及大气对粒子运动的影响，不考虑相对论效应。其中沿半径方向(图中1方向)射入磁场的粒子恰不能到达地球表面。若和AO方向成θ角向上方(图中2方向)射入磁场的粒子也恰好不能到达地球表面，则(　　)
A．sin θ＝ B．sin θ＝
C．tan θ＝ D．tan θ＝
解析：A　若高能粒子仍以速率v0射入地球磁场，可知沿径向方向射入的粒子会和地球相切而出，和AO方向成θ角向上方射入磁场的粒子也恰从地球上沿相切射出，在此角范围内的粒子能到达地球，其余进入磁场粒子不能到达地球，作A点该速度垂直和过切点与O点连线延长线交于F点，则F点为圆心，如图所示，由图中几何关系可得AF＝r＝4R，AO＝FO＝3R，则有sin θ＝，故选A。
4．(2025·河北邯郸三模)如图所示，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，BC边长为L，AB边长为2L，大量质量为m、电荷量为q、速度大小为v的带负电粒子垂直AC边射入磁场。带电粒子在磁场中运动后只从AB和BC边射出磁场。不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用，则匀强磁场的最大磁感应强度为(　　)
A．
C．
解析：C　当粒子运动轨迹与A、B边相切于D点，右边刚好从C点射出，此时对应的磁感应强度有最大值，粒子运动轨迹如图所示。根据几何关系，有，解得r＝L，根据洛伦兹力提供向心力qvB＝m，联立解得B＝，故选C。
5．(多选)(2025·甘肃白银三模)如图所示，两足够长的平行金属板相距4d，金属板间充满方向垂直纸面向里的匀强磁场，板间中心有一电子发射源S向纸面内各个方向均匀发射初速度大小为v0的电子。已知电子的质量为m，电荷量为e，匀强磁场的磁感应强度大小B＝，不计电子重力及电子间的相互作用，下列说法正确的是(　　)
A．电子在磁场中运动的轨道半径R＝2d
B．电子在磁场中运动的周期T＝
C．两金属板上有电子打到的区域总长度为
D．打在两金属板上的电子占发射电子总数的50%
解析：AC　根据洛伦兹力提供向心力有ev0B＝，解得R＝2d，A正确；电子在磁场中运动的周期T＝，B错误；如图所示，SA为电子轨迹圆的直径，C为电子轨迹圆与金属板的切点，由几何关系知AO＝，OC＝R＝2d，所以两金属板上有电子打到的区域总长度l＝2(AO＋OC)＝4d，C正确；由图可知，由S发出的电子都将打在金属板上，故打到金属板上的电子占发射电子总数的100%，D错误。故选AC。
6．(多选)(2025·福建龙岩一模)如图所示，一个半径为R的圆形区域内分布磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一粒子源从圆上的A点向各个方向不停地发射出相同速率的带负电粒子，粒子的质量均为m、所带电荷量均为q、运动的半径均为r，粒子重力忽略不计。下列说法正确的是(　　)
A．若r＝2R，则粒子在磁场中运动的最长时间为
B．若r＝2R，则粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是半个圆周
C．若r＝R，则粒子在磁场中运动的最长时间为
D．若r＝R，则粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是六分之一个圆周
解析：AD　若r＝2R，根据几何关系可知，粒子沿不同方向射入磁场，会从磁场圆的不同位置出射，范围是整个圆周长；其中粒子在磁场中运动的时间最长时，运动轨迹的弦是磁场区域的直径，作出轨迹如图1所示，因为r＝2R，则圆心角α＝60°，粒子在磁场中运动的最长时间为tmax＝，故A正确，B错误；若r＝R，粒子在磁场圆的出射点都在AP之间，如图2所示，由几何关系可知，AP弧长对应的圆心角为60°，所以粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是六分之一圆周长，在磁场中运动时间最长的粒子正好转过了一周，时间为tmax＝T＝，故C错误，D正确。故选AD。
图1　 图2
[能力提升练]
7．(2025·山西一模)直角三角形abc中∠a＝30°，ab边长为2L，其内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。在ac边的中点d有一粒子源，能平行纸面向磁场内各个方向发出速率v＝、质量为m、电荷量为q的正粒子。不考虑粒子间的相互作用，则(　　)
A．从bc边射出的粒子，在磁场中运动的时间可能是
B．从bc边射出的粒子，在磁场发生的位移最大为L
C．bc边有粒子射出的区域的长度是L
D．从c点射出的粒子，射出时速度方向与射入时速度方向相反
解析：A　由题意，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由左手定则知，从ac边射出的粒子沿顺时针方向运动到bc边，根据qvB＝m，得半径r＝L，结合几何关系，可知从bc边射出的粒子在磁场中运动轨迹与ab相切时，对应在磁场中运动的时间最长，由几何知识求得轨迹对应圆心角为90°，从c点射出时，时间最短，轨迹对应圆心角为60°，运动轨迹如图所示。根据T＝T，可知从bc边射出的粒子，在磁场中运动的时间满足，故A正确；由几何知识，可得从bc边射出的粒子，在磁场发生的位移最大为df＝L，故B错误；bc边有粒子射出的区域长度为fc＝r＝L，故C错误；从c点射出的粒子，由几何知识判断知速度方向偏转60°，故D错误，故选A。
8．(多选)(2025·河南八市5月质检)如图，在长方形ABCD区域(含边界)存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。已知AB＝a，AD＝4a，O是AD中点，O点为粒子源，某时刻自O点向磁场各个方向同时发射速率相同、带负电的同种粒子，速度均垂直于磁场方向。其中速度方向沿OA的粒子t0时刻自E点离开磁场区域，BE＝a。忽略粒子重力和粒子间相互作用。则以下选项中正确的是(　　)
A．粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为a
B．粒子的比荷为
C．在t0时刻，仍在磁场中的粒子初速度方向与OA的夹角范围为90°≤α≤135°
D．在磁场中运动时间最长的粒子运动时间为2t0
解析：ACD　沿OA方向入射的粒子，自E点离开，根据几何关系可得，轨迹半径R＝a，故A正确；从E点离开的粒子运动离开磁场，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，可得T＝，则有t0＝，可得比荷为，故B错误；当粒子初速度方向与OA垂直时，t0时刻粒子恰在磁场边界，转过的圆心角为，当粒子初速度方向与OA夹角为135°时，t0时刻粒子恰好在AD边界上，转过的圆心角为；可知在t0时刻，仍在磁场中的粒子初速度方向与OA的夹角范围为90°≤α≤135°，故C正确；垂直AD边入射的粒子转过的圆心角为π，在磁场中运动的时间最长，用时为tmax＝T＝2t0，故D正确。故选ACD。
9．(10分)(2025·山西临汾三模)如图所示，凹型虚线为荧光屏，粒子打到荧光屏上会发光。虚线上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。P为直线Oa上一点，从P点可以发射具有不同速率的粒子，速度方向都垂直于Oa。粒子的质量均为m，电荷量均为＋q，已知Pa＝L，ab＝cd＝L，bc＝L，不计粒子的重力和粒子间的作用力。求：
(1)粒子在磁场中运动的最长时间及对应粒子的速度大小；
(2)bc边发光的区域长度。
解析：(1)由分析可知，运动时间最长的粒子打到了b点，粒子转过了270°角，所以最长时间tmax＝T
粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝
所以最长时间tmax＝
对应粒子运动的轨道半径r＝L
由qvB＝m，得r＝
可得对应粒子的速度大小v＝。
(2)粒子到达bc边的右边界为粒子轨迹恰好在d点与cd相切，射到bc边的e点。此时粒子的轨迹半径r＝(Pa＋bc)＝ L
则fd＝r－O′f＝r－
所以bc边发光的区域长度be＝bc－fd＝L。
答案：(1)　(2)L
[培优创新练]
10．(13分)(2025·重庆多区县3月联考)如图所示，在PM和QK之间有大量相同的带电粒子以初速度v0沿水平方向射入半径为R的圆形区域，PM与圆心O在同一水平直线上，PM和QK之间的距离为0.5R，圆形区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，所有粒子均从O点正下方的N点射出圆形区域，已知带电粒子的质量为m，带电荷量为q，不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用。求：
(1)匀强磁场的磁感应强度大小B；
(2)匀强磁场的最小面积S。
解析：(1)根据题意可知，粒子在匀强磁场中做圆周运动，轨迹半径为R。由洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝m
解得B＝。
(2)画出两临界粒子的运动轨迹如图所示
设轨迹MN与虚线劣弧围成的面积为S1，轨迹KN与虚线劣弧围成的面积为S2。根据几何关系有θ＝60°
则S1＝2
解得匀强磁场的最小面积S＝S1－S2＝。
答案：(1)　(2)限时规范训练(60)　运用动态圆解决临界极值问题
(建议用时：40分钟　满分：65分)
(选择题1～6题每题5分，7～8题每题6分，共42分)
[基础巩固练]
1．(2025·安徽蚌埠期末)如图所示，一线状粒子源垂直于磁场边界不断地发射速度相同的同种粒子，粒子源的长度小于粒子在磁场中做圆周运动的直径，磁场区域足够大，不考虑粒子间的相互作用，则磁场中有粒子经过的区域(阴影部分)是(　　)
解析：A　根据左手定则可知，粒子带负电，粒子垂直于边界入射，则粒子在磁场中的轨迹为半个圆周，粒子源的长度小于离子在磁场中做圆周运动的直径，将线状粒子源左端粒子在磁场中运动的半个圆轨迹向右平移至与线状粒子源右端粒子在磁场中运动的半个圆轨迹重合，则线状粒子源左端粒子在磁场中运动的半个圆轨迹平移过程扫过的面积为磁场中有粒子经过的区域，因粒子的轨迹的直径均大于线状粒子源的宽度，可知，第一个选择项满足要求，故选A。
2．(2025·湖南邵东期末)如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小相等的带正电的粒子(重力和粒子间的相互作用力不计)，已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr。则粒子在磁场中运动的最长时间为(　　)
A．
C．
解析：C　粒子在磁场中运动的半径为R＝＝2r；当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹对应的圆心角最大，此时弦长最大，其最大值为圆磁场的直径2r，则圆心角最大为，故t＝，故选项C正确。
3．(2025·山西晋中三模)极光是由太阳抛射出的高能带电粒子受到地磁场作用，在地球南北极附近与大气碰撞产生的发光现象。赤道平面的地磁场，可简化为如图所示：O为地球球心，R为地球半径，将地磁场在半径为R到3R之间的圆环区域看成是匀强磁场，磁感应强度大小为B。磁场边缘A处有一粒子源，可在赤道平面内以相同速率v0向各个方向射入某种带正电粒子。不计粒子重力、粒子间的相互作用及大气对粒子运动的影响，不考虑相对论效应。其中沿半径方向(图中1方向)射入磁场的粒子恰不能到达地球表面。若和AO方向成θ角向上方(图中2方向)射入磁场的粒子也恰好不能到达地球表面，则(　　)
A．sin θ＝ B．sin θ＝
C．tan θ＝ D．tan θ＝
解析：A　若高能粒子仍以速率v0射入地球磁场，可知沿径向方向射入的粒子会和地球相切而出，和AO方向成θ角向上方射入磁场的粒子也恰从地球上沿相切射出，在此角范围内的粒子能到达地球，其余进入磁场粒子不能到达地球，作A点该速度垂直和过切点与O点连线延长线交于F点，则F点为圆心，如图所示，由图中几何关系可得AF＝r＝4R，AO＝FO＝3R，则有sin θ＝，故选A。
4．(2025·河北邯郸三模)如图所示，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，BC边长为L，AB边长为2L，大量质量为m、电荷量为q、速度大小为v的带负电粒子垂直AC边射入磁场。带电粒子在磁场中运动后只从AB和BC边射出磁场。不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用，则匀强磁场的最大磁感应强度为(　　)
A．
C．
解析：C　当粒子运动轨迹与A、B边相切于D点，右边刚好从C点射出，此时对应的磁感应强度有最大值，粒子运动轨迹如图所示。根据几何关系，有，解得r＝L，根据洛伦兹力提供向心力qvB＝m，联立解得B＝，故选C。
5．(多选)(2025·甘肃白银三模)如图所示，两足够长的平行金属板相距4d，金属板间充满方向垂直纸面向里的匀强磁场，板间中心有一电子发射源S向纸面内各个方向均匀发射初速度大小为v0的电子。已知电子的质量为m，电荷量为e，匀强磁场的磁感应强度大小B＝，不计电子重力及电子间的相互作用，下列说法正确的是(　　)
A．电子在磁场中运动的轨道半径R＝2d
B．电子在磁场中运动的周期T＝
C．两金属板上有电子打到的区域总长度为
D．打在两金属板上的电子占发射电子总数的50%
解析：AC　根据洛伦兹力提供向心力有ev0B＝，解得R＝2d，A正确；电子在磁场中运动的周期T＝，B错误；如图所示，SA为电子轨迹圆的直径，C为电子轨迹圆与金属板的切点，由几何关系知AO＝，OC＝R＝2d，所以两金属板上有电子打到的区域总长度l＝2(AO＋OC)＝4d，C正确；由图可知，由S发出的电子都将打在金属板上，故打到金属板上的电子占发射电子总数的100%，D错误。故选AC。
6．(多选)(2025·福建龙岩一模)如图所示，一个半径为R的圆形区域内分布磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一粒子源从圆上的A点向各个方向不停地发射出相同速率的带负电粒子，粒子的质量均为m、所带电荷量均为q、运动的半径均为r，粒子重力忽略不计。下列说法正确的是(　　)
A．若r＝2R，则粒子在磁场中运动的最长时间为
B．若r＝2R，则粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是半个圆周
C．若r＝R，则粒子在磁场中运动的最长时间为
D．若r＝R，则粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是六分之一个圆周
解析：AD　若r＝2R，根据几何关系可知，粒子沿不同方向射入磁场，会从磁场圆的不同位置出射，范围是整个圆周长；其中粒子在磁场中运动的时间最长时，运动轨迹的弦是磁场区域的直径，作出轨迹如图1所示，因为r＝2R，则圆心角α＝60°，粒子在磁场中运动的最长时间为tmax＝，故A正确，B错误；若r＝R，粒子在磁场圆的出射点都在AP之间，如图2所示，由几何关系可知，AP弧长对应的圆心角为60°，所以粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是六分之一圆周长，在磁场中运动时间最长的粒子正好转过了一周，时间为tmax＝T＝，故C错误，D正确。故选AD。
图1　 图2
[能力提升练]
7．(2025·山西一模)直角三角形abc中∠a＝30°，ab边长为2L，其内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。在ac边的中点d有一粒子源，能平行纸面向磁场内各个方向发出速率v＝、质量为m、电荷量为q的正粒子。不考虑粒子间的相互作用，则(　　)
A．从bc边射出的粒子，在磁场中运动的时间可能是
B．从bc边射出的粒子，在磁场发生的位移最大为L
C．bc边有粒子射出的区域的长度是L
D．从c点射出的粒子，射出时速度方向与射入时速度方向相反
解析：A　由题意，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由左手定则知，从ac边射出的粒子沿顺时针方向运动到bc边，根据qvB＝m，得半径r＝L，结合几何关系，可知从bc边射出的粒子在磁场中运动轨迹与ab相切时，对应在磁场中运动的时间最长，由几何知识求得轨迹对应圆心角为90°，从c点射出时，时间最短，轨迹对应圆心角为60°，运动轨迹如图所示。根据T＝T，可知从bc边射出的粒子，在磁场中运动的时间满足，故A正确；由几何知识，可得从bc边射出的粒子，在磁场发生的位移最大为df＝L，故B错误；bc边有粒子射出的区域长度为fc＝r＝L，故C错误；从c点射出的粒子，由几何知识判断知速度方向偏转60°，故D错误，故选A。
8．(多选)(2025·河南八市5月质检)如图，在长方形ABCD区域(含边界)存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。已知AB＝a，AD＝4a，O是AD中点，O点为粒子源，某时刻自O点向磁场各个方向同时发射速率相同、带负电的同种粒子，速度均垂直于磁场方向。其中速度方向沿OA的粒子t0时刻自E点离开磁场区域，BE＝a。忽略粒子重力和粒子间相互作用。则以下选项中正确的是(　　)
A．粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为a
B．粒子的比荷为
C．在t0时刻，仍在磁场中的粒子初速度方向与OA的夹角范围为90°≤α≤135°
D．在磁场中运动时间最长的粒子运动时间为2t0
解析：ACD　沿OA方向入射的粒子，自E点离开，根据几何关系可得，轨迹半径R＝a，故A正确；从E点离开的粒子运动离开磁场，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，可得T＝，则有t0＝，可得比荷为，故B错误；当粒子初速度方向与OA垂直时，t0时刻粒子恰在磁场边界，转过的圆心角为，当粒子初速度方向与OA夹角为135°时，t0时刻粒子恰好在AD边界上，转过的圆心角为；可知在t0时刻，仍在磁场中的粒子初速度方向与OA的夹角范围为90°≤α≤135°，故C正确；垂直AD边入射的粒子转过的圆心角为π，在磁场中运动的时间最长，用时为tmax＝T＝2t0，故D正确。故选ACD。
9．(10分)(2025·山西临汾三模)如图所示，凹型虚线为荧光屏，粒子打到荧光屏上会发光。虚线上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。P为直线Oa上一点，从P点可以发射具有不同速率的粒子，速度方向都垂直于Oa。粒子的质量均为m，电荷量均为＋q，已知Pa＝L，ab＝cd＝L，bc＝L，不计粒子的重力和粒子间的作用力。求：
(1)粒子在磁场中运动的最长时间及对应粒子的速度大小；
(2)bc边发光的区域长度。
解析：(1)由分析可知，运动时间最长的粒子打到了b点，粒子转过了270°角，所以最长时间tmax＝T
粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝
所以最长时间tmax＝
对应粒子运动的轨道半径r＝L
由qvB＝m，得r＝
可得对应粒子的速度大小v＝。
(2)粒子到达bc边的右边界为粒子轨迹恰好在d点与cd相切，射到bc边的e点。此时粒子的轨迹半径r＝(Pa＋bc)＝ L
则fd＝r－O′f＝r－
所以bc边发光的区域长度be＝bc－fd＝L。
答案：(1)　(2)L
[培优创新练]
10．(13分)(2025·重庆多区县3月联考)如图所示，在PM和QK之间有大量相同的带电粒子以初速度v0沿水平方向射入半径为R的圆形区域，PM与圆心O在同一水平直线上，PM和QK之间的距离为0.5R，圆形区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，所有粒子均从O点正下方的N点射出圆形区域，已知带电粒子的质量为m，带电荷量为q，不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用。求：
(1)匀强磁场的磁感应强度大小B；
(2)匀强磁场的最小面积S。
解析：(1)根据题意可知，粒子在匀强磁场中做圆周运动，轨迹半径为R。由洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝m
解得B＝。
(2)画出两临界粒子的运动轨迹如图所示
设轨迹MN与虚线劣弧围成的面积为S1，轨迹KN与虚线劣弧围成的面积为S2。根据几何关系有θ＝60°
则S1＝2
解得匀强磁场的最小面积S＝S1－S2＝。
答案：(1)　(2)(共49张PPT)
专题突破18　运用动态圆解决临界极值问题
1.理解“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”的适用条件并会用其分析临界问题。2.理解磁聚焦、磁发散的原理并会分析解决相关问题。
目标
要求
1
研考点 精准突破
2
限时规范训练
栏
目
导
引
研考点
精准突破
考点一　放缩圆
(2025·广西二模)如图，空间存在垂直纸面向外的匀强磁场(未画出)，A、B、C、D、E为磁场中的五个点，B为AD的中点，C为BD中垂线上的一点，且DE＝AB＝2BC，BC平行于DE。一束带正电的同种粒子(不计重力)垂直AD由A点沿纸面向上射入磁场，各粒子速度大小不同，用tB、tC、tD、tE分别表示第一次到达B、C、D、E四点的粒子所经历的时间，下列说法正确的是(　　)
A．tB＝tD>tC>tE B．tC>tB＝tD>tE
C．tB＝tD>tC＝tE D．tE>tB＝tD>tC
C　
解析：C　粒子通过B、C、D、E各点的轨迹如图，由几何关系可知：从A到B和A到D，粒子运动轨迹对应的圆心角为180°；从A到C和A到E，粒子运动轨迹对应的圆心角小于180°，且相等；带电粒子垂直进入匀强磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即qBv＝m，则v＝，运动周期T＝，周期与速度无关，故粒子从A点沿纸面向上射入磁场，运动轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长，所以tB＝tD>tC＝tE，故选C。
模型图示
(1)条件：同性带电粒子在同一点射入匀强磁场，入射速度的方向一定，但大小不同。
(2)特点：带电粒子做圆周运动的轨迹圆的圆心，一定位于沿着粒子在入射点所受洛伦兹力方向的射线上，速度越大，半径越大，圆心离入射点越远。
(多选) (2025·陕西安康模拟)如图所示，边长为L的正方形abcd内(包括边界)有垂直纸面向里的匀强磁场(未画出)，磁感应强度为B，有三个相同带电粒子分别从a点沿ac方向以不同速度大小射入匀强磁场，甲粒子的速度大小为v，从ab边中点离开磁场，乙粒子从b点离开磁场，丙粒子从bc边上某点垂直bc边离开磁场。不计粒子重力及粒子间的相互作用，则下列判断正确的是(　　)
A．粒子带正电
B．粒子的比荷为
C．三个粒子在磁场内运动时间之比t甲∶t乙∶t丙＝1∶2∶4
D．三个粒子在磁场内运动速率之比v甲∶v乙∶v丙＝1∶2∶4
AD
解析：AD　由题意可知粒子逆时针运动，如图所示，由左手定则可判定粒子带正电，A正确；甲粒子从ab边中点离开磁场，由几何关系可知r＝L，根据qvB＝m，得，B错误；甲、乙、丙粒子在磁场内偏转角度分别为90°、90°、45°，粒子运动周期相同，根据t＝T，可知在磁场中运动时间之比为2∶2∶1，C错误；由几何关系
可知三粒子的运动半径之比为1∶2∶4，根据qvB＝m，得v＝，可得v甲∶v乙∶v丙＝1∶2∶4，D正确。故选AD。
考点二　旋转圆
(2025·湖南名校联考)如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度的大小为B，场区足够宽，磁场内有一块足够长平面感光薄板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离L处有一个点状的放射源S，它在纸面内均匀的向各个方向发射比荷相等的带正电的粒子，粒子的速度大小都满足v＝，不计重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是(　　)
A．击中ab板的粒子运动的最长时间为
B．击中ab板的粒子运动的最短时间为
C．ab上被粒子打中的区域的长度为L
D．放射源S发射的粒子中有20%的粒子可以击中ab板
C　
解析：C　若击中ab板的粒子中运动最长时间，则粒子竖直向下运动，轨迹圆与ab相切，轨迹圆的弧长为周长，所用时长t1＝，故A错误；击中ab板的粒子运动的最短时间，应使粒子与竖直方向成30°向上运动，轨迹圆的弦长最短，此
时粒子在磁场中运动的时间最短，轨迹圆的弧长为周长，所用时长t2＝，故B错误；由牛顿第二定律得qvB＝m，解得R＝L，轨迹如图所示，ab上被粒子打中的区域的长度x＝L＋＝L，故C正确；沿竖直向上方向和沿竖直向下方向射出的粒子均与屏相切，即射出在S点右侧的粒子可以打在ab平面感光板上，射出方向所占夹角为180°，故各个方向均匀发射的粒子中有50%的粒子可以击中ab板，故D错误。故选C。
模型图示
(1)条件：同性带电粒子在同一点射入匀强磁场，入射速度的大小一定，但方向不同。
(2)特点：所有沿不同方向入射的粒子的轨迹圆半径相同，其轨迹圆的圆心在以入射点为圆心，半径等于轨迹圆半径的圆周上。
(2025·安徽芜湖二模)如图所示，在xOy坐标系第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在P点有一粒子源，P点坐标为(d，d)。打开粒子源发射装置，能够沿纸面以相同的速率向各个方向均匀发射带负电的粒子，粒子质量为m，电荷量为－q，速率v＝。不计粒子重力及粒子间的相互作用力，M点坐标为(0，d)，则下列说法正确的是(　　)
A．从x轴射出磁场的粒子数占总粒子数的
B．从OM之间射出磁场的粒子数占总粒子数的
C．到达x轴的粒子在磁场中运动的最短时间为
D．粒子在磁场中运动的最长路径与最短路径之比为9∶2
B　
解析：B　粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，解得r＝＝d，如图1所示，可知从x轴射出磁场的粒子所对应的角度范围为90°，则从x轴射出磁场的粒子数占总粒子数的，故A错误；如图2所示，由几何关系可知从OM之间射出磁场的粒子所对应的角度范围为30°，则从OM之间射出磁场的粒子数占总粒子数的，故B正
图1
图2
确；如图3所示，到达x轴的粒子中，当粒子到达P点正下方位置对应圆心角最小，所用时间最短，则有tmin＝，故C错误；如图4所示，粒子在磁场中运动的最长路径对应的圆心角为360°，最短路径对应的圆心角为60°，可知粒子在磁场中运动的最长路径与最短路径之比为smax∶smin＝360°∶60°＝6∶1，故D错误。故选B。
图3
图4
考点三　平移圆
(2025·陕西宝鸡二模)如图，直角三角形ACD区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向内的匀强磁场，CD＝L，θ＝30°。质量为m、电荷量为q且均匀分布的带正电粒子以相同的速度沿纸面垂直AD边射入磁场，若粒子的速度大小为，不考虑重力及粒子间的作用，＝1.732，则粒子经磁场偏转后能返回到AD边的粒子数占射入到AD边总粒子数的百分比为(　　)
A．40% B．47.3%
C．52.7% D．60%
C　
解析：C　粒子在磁场中洛伦兹力提供向心力qvB＝m，可得r＝＝0.3L，当粒子的轨迹与AC边相切时为粒子经磁场偏转后能返回到AD边的右侧临近点，设此时入射点为E，则－r＝0.3L，当粒子的轨迹与CD边相切时为粒子经磁场偏转后能返回到AD边的左侧临近点，设此时入射点为F，则＋r＝0.6464L，则粒子经磁场偏转后能返回到AD边的入射点的长度为＝1.0536L，所以，粒子经磁场偏转后能返回到AD边的粒子数占射入到AD边总
粒子数的百分比为×100%＝52.68%≈52.7%，故
选C。
模型图示
(1)条件：带电粒子射入匀强磁场的速度大小和方向相同，入射点不同但在同一直线上。
(2)特点：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，而且圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行。
(2025·江西师大附中高三月考)如图，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，AC边长为l，∠B为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从C点开始在一定范围垂直AC边射入，射入的粒子恰好不从AB边射出，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为2t0，则下列说法中不正确的是(　　)
A．磁感应强度大小为
B．粒子运动的轨道半径为l
C．粒子射入磁场的速度大小为
D．粒子在磁场中扫过的面积为l2
B　
解析：B　带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直BC边射出的粒子在磁场中运动的时间是，由T＝，可得t0，解得B＝，故A正确，不符题意；设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为θ，则有T＝2t0，又由
t0得θ＝，画出该粒子的运动轨迹如图，设轨迹半径为R，由几何知识得＋R cos 30°＝l，可得R＝l，故B错误，符合题意；粒子射入磁场的速度大小为v＝，故C正确，不符题意；射入的粒子恰好不从AB边射出，粒子在磁场中扫过的面积为S＝＋R·R cos 30°＝l2，故D正确，不符题意。故选B。
素养拓展　“磁发散”和“磁聚焦”
1．磁聚焦
如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出(汇聚)。
证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点。
2．磁发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，从P点以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行(发散)。
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A、O2B、O3C均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)。
图甲 图乙
(多选)(2025·江西萍乡三模)如图，空间中一半径为R的圆形区域(包括边界)内有方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。磁场左侧宽度为R的区域里，大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子以相同的水平速度平行射入圆形磁场，其中从A点沿AO方向射入的粒子，恰好能从圆形磁场最高点M点飞出，已知过A、O两点的直线水平且是有带电粒子射入区域的中心线，不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是(　　)
A．粒子做圆周运动的半径为
B．粒子的初速度大小为
C．粒子在磁场中运动的最短时间为
D．粒子在磁场中运动的最长时间为
BD
解析：BD　由几何关系可知粒子圆周运动的半径r＝R，由洛伦兹力提供向心力得qv0B＝，解得粒子的初速度大小为v0＝，故A错误，B正确；如图所示，由C点入射的粒子运动时间最短，设运动轨迹对应的圆
心角为α，则有cos α＝，粒子做圆周运动的周期为T＝，粒子运动的最短时间tC＝，同理，由D点入射的粒子运动时间最长，对应的圆心角为120°，则最长时间为tD＝，故C错误，D正确。故选BD。
(2021·湖南卷，13)带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一。带电粒子流(每个粒子的质量为m、电荷量为＋q)以初速度v垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在xOy平面内的粒子，求解以下问题。
(1) 如图甲，宽度为2r1的带电粒子流沿x轴正方向射入圆心
为A(0，r1)、半径为r1的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经
过磁场后都汇聚到坐标原点O，求该磁场磁感应强度B1的大小；
图甲
(2) 如图甲，虚线框为边长等于2r2的正方形，其几何中心位于
C(0，－r2)。在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，
使汇聚到O点的带电粒子流经过该区域后宽度变为2r2，并沿
x轴正方向射出。求该磁场磁感应强度B2的大小和方向，以及该磁场区域的面积(无需写出面积最小的证明过程)；
(3) 如图乙，虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于r3的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于r4的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为2r3的带电粒子流沿x轴正方向射入Ⅰ和
Ⅱ后汇聚到坐标原点O，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为2r4，
并沿x轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积(无需写出面积最小的证明过程)。
图乙
解析：(1) 粒子垂直x进入圆形磁场，在坐标原点O汇聚，满足磁聚焦的条件，即粒子在磁场中运动的半径等于圆形磁场的半径r1，粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力qvB1＝m，解得B1＝。
(2) 粒子从O点进入下方虚线区域，若要从聚焦的O点飞
入然后平行x轴飞出，为磁发散的过程，即粒子在下方圆
形磁场运动的轨迹半径等于磁场半径，粒子轨迹最大的
边界如图1所示，图中圆形磁场即为最小的匀强磁场区
域。磁场半径为r2，根据qvB＝m，可知磁感应强度为B2＝，根据左手定则可知磁场的方向为垂直纸面向里，圆形磁场的面积为S2＝πr22。
图1
(3)粒子在磁场中运动，3和4为粒子运动的轨迹圆，1和2为粒子运动的磁场的圆周。根据qvB＝m，可知Ⅰ和Ⅲ中的磁感应强度为BⅠ＝，BⅢ＝，图中箭头部分的实线为粒子运动的轨迹，可知磁场的最小面积为叶子形状，取Ⅰ区域如图3，图中阴影部分面积的一半为四分之一圆周SAOB与三角形SAOB之差，所以阴影部分的面积为S1＝2(SAOB－SAOB)＝2×r32 ，同理可知Ⅳ区域的阴影部分面积为SⅣ＝ r42，根据对称性
可知Ⅱ中的匀强磁场面积为SⅡ＝r32。
答案：(1) (2)，垂直于纸面向里 πr22 (3)r32r42
图3
图2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
限时规范
训练(60)　运用动态圆解决临界极值问题
(建议用时：40分钟　满分：65分)
(选择题1～6题每题5分，7～8题每题6分，共42分)
[基础巩固练]
1．(2025·安徽蚌埠期末)如图所示，一线状粒子源垂直于磁场边界不断地发射速度相同的同种粒子，粒子源的长度小于粒子在磁场中做圆周运动的直径，磁场区域足够大，不考虑粒子间的相互作用，则磁场中有粒子经过的区域(阴影部分)是(　　)
A
3
4
5
6
7
8
9
10
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解析：A　根据左手定则可知，粒子带负电，粒子垂直于边界入射，则粒子在磁场中的轨迹为半个圆周，粒子源的长度小于离子在磁场中做圆周运动的直径，将线状粒子源左端粒子在磁场中运动的半个圆轨迹向右平移至与线状粒子源右端粒子在磁场中运动的半个圆轨迹重合，则线状粒子源左端粒子在磁场中运动的半个圆轨迹平移过程扫过的面积为磁场中有粒子经过的区域，因粒子的轨迹的直径均大于线状粒子源的宽度，可知，第一个选择项满足要求，故选A。
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2．(2025·湖南邵东期末)如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小相等的带正电的粒子(重力和粒子间的相互作用力不计)，已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr。则粒子在磁场中运动的最长时间为(　　)
A．
C．
C　
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解析：C　粒子在磁场中运动的半径为R＝＝2r；当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹对应的圆心角最大，此时弦长最大，其最大值为圆磁场的直径2r，则圆心角最大为，故t＝，故选项C正确。
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3．(2025·山西晋中三模)极光是由太阳抛射出的高能带电粒子受到地磁场作用，在地球南北极附近与大气碰撞产生的发光现象。赤道平面的地磁场，可简化为如图所示：O为地球球心，R为地球半径，将地磁场在半径为R到3R之间的圆环区域看成是匀强磁场，磁感应强度大小为B。磁场边缘A处有一粒子源，可在赤道平面内以相同速率v0向各个方向射入某种带正电粒子。不计粒子重力、粒子间的相互作用及大气对粒子运动的影响，不考虑相对论效应。其中沿半径方向(图中1方向)射入磁场的粒子恰不能到达地球表面。若和AO方向成θ角向上方(图中2方
向)射入磁场的粒子也恰好不能到达地球表面，则(　　)
A．sin θ＝ B．sin θ＝
C．tan θ＝ D．tan θ＝
A
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解析：A　若高能粒子仍以速率v0射入地球磁场，可知沿径向方向射入的粒子会和地球相切而出，和AO方向成θ角向上方射入磁场的粒子也恰从地球上沿相切射出，在此角范围内的粒子能到达地球，其余进入磁场粒子不能到达地球，作A点该速度垂直和过切点与O点连线延长线交于F点，则F点为圆心，如图所示，由图中几何关系可得AF＝r＝4R，AO＝FO＝3R，则有sin θ＝，故选A。
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4．(2025·河北邯郸三模)如图所示，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，BC边长为L，AB边长为2L，大量质量为m、电荷量为q、速度大小为v的带负电粒子垂直AC边射入磁场。带电粒子在磁场中运动后只从AB和BC边射出磁场。不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用，则匀强磁场的最大磁感应强度为(　　)
A．
C．
C
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解析：C　当粒子运动轨迹与A、B边相切于D点，右边刚好从C点射出，此时对应的磁感应强度有最大值，粒子运动轨迹如图所示。根据几何关系，有，解得r＝L，根据洛伦兹力提供向心力qvB＝m，联立解得B＝，故选C。
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5．(多选)(2025·甘肃白银三模)如图所示，两足够长的平行金属板相距4d，金属板间充满方向垂直纸面向里的匀强磁场，板间中心有一电子发射源S向纸面内各个方向均匀发射初速度大小为v0的电子。已知电子的质量为m，电荷量为e，匀强磁场的磁感应强度大小B＝，不计电子重力及电子间的相互作用，下列说法正确的是(　　)
A．电子在磁场中运动的轨道半径R＝2d
B．电子在磁场中运动的周期T＝
C．两金属板上有电子打到的区域总长度为
D．打在两金属板上的电子占发射电子总数的50%
AC
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解析：AC　根据洛伦兹力提供向心力有ev0B＝，解得R＝2d，A正确；电子在磁场中运动的周期T＝，B错误；如图所示，SA为电子轨迹圆的直径，C为电子轨迹圆与金属板的切点，由几何关系知AO＝，OC＝R＝2d，所以两金属板上有电子打到的区域总长度l＝2(AO＋OC)＝4d，C正确；由图可知，由S发出的电子都将打在金属板上，故打到金属板上的电子占发射电子总数的100%，D错误。故选AC。
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6．(多选)(2025·福建龙岩一模)如图所示，一个半径为R的圆形区域内分布磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一粒子源从圆上的A点向各个方向不停地发射出相同速率的带负电粒子，粒子的质量均为m、所带电荷量均为q、运动的半径均为r，粒子重力忽略不计。下列说法正确的是(　　)
A．若r＝2R，则粒子在磁场中运动的最长时间为
B．若r＝2R，则粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是
半个圆周
C．若r＝R，则粒子在磁场中运动的最长时间为
D．若r＝R，则粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是六分之一个圆周
AD
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解析：AD　若r＝2R，根据几何关系可知，粒子沿不同方向射入磁场，会从磁场圆的不同位置出射，范围是整个圆周长；其中粒子在磁场中运动的时间最长时，运动轨迹的弦是磁场区域的直径，作出轨迹如图1所示，因为r＝2R，则圆心角α＝60°，粒子在磁场中运动的最长时间为
tmax＝，故A正确，B错误；若r＝R，粒子在磁场圆的出射点都在AP之间，如图2所示，由几何关系可知，AP弧长对应的圆心角为60°，所以粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是六分之一圆周长，在磁场中运动时间最长的粒子正好转过了一周，时间为tmax＝T＝，故C错误，D正确。故选AD。
图1
图2
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[能力提升练]
7．(2025·山西一模)直角三角形abc中∠a＝30°，ab边长为2L，其内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。在ac边的中点d有一粒子源，能平行纸面向磁场内各个方向发出速率v＝、质量为m、电荷量为q的正粒子。不考虑粒子间的相互作用，则(　　)
A．从bc边射出的粒子，在磁场中运动的时间可能是
B．从bc边射出的粒子，在磁场发生的位移最大为L
C．bc边有粒子射出的区域的长度是L
D．从c点射出的粒子，射出时速度方向与射入时速度方向相反
A
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解析：A　由题意，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由左手定则知，从ac边射出的粒子沿顺时针方向运动到bc边，根据qvB＝m，得半径r＝L，结合几何关系，可知从bc边射出的粒子在磁场中运动轨迹与ab相切时，对应在磁场中运动的时间最长，由几何知识求得轨迹对应圆心角为90°，从c点射出时，时间最短，轨迹对应圆心角为60°，运动轨迹如图所示。根据T＝ T，
可知从bc边射出的粒子，在磁场中运动的时间满足，故A正确；由几何知识，可得从bc边射出的粒子，在磁场发生的位移最大为df＝L，故B错误；bc边有粒子射出的区域长度为fc＝r＝L，故C错误；从c点射出的粒子，由几何知识判断知速度方向偏转60°，故D错误，故选A。
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8．(多选)(2025·河南八市5月质检)如图，在长方形ABCD区域(含边界)存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。已知AB＝a，AD＝4a，O是AD中点，O点为粒子源，某时刻自O点向磁场各个方向同时发射速率相同、带负电的同种粒子，速度均垂直于磁场方向。其中速度方向沿OA的粒子t0时刻自E点离开磁场区域，BE＝a。忽略粒子重力和粒子间相互作用。则以下选项中正确的是(　　)
A．粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为a
B．粒子的比荷为
C．在t0时刻，仍在磁场中的粒子初速度方向与OA的夹角范围为90°≤α≤135°
D．在磁场中运动时间最长的粒子运动时间为2t0
ACD
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解析：ACD　沿OA方向入射的粒子，自E点离开，根据几何关系可得，轨迹半径R＝a，故A正确；从E点离开的粒子运动离开磁场，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，可得T＝，则有t0＝，可得比荷为，故B错误；当粒子初速度方向与OA垂直时，t0时刻粒子恰在磁场边界，转过的圆心角为，当粒子初速度方向与OA夹角为135°时，t0时刻粒子恰好
在AD边界上，转过的圆心角为；可知在t0时刻，仍在磁场中的粒子初速度方向与OA的夹角范围为90°≤α≤135°，故C正确；垂直AD边入射的粒子转过的圆心角为π，在磁场中运动的时间最长，用时为tmax＝T＝2t0，故D正确。故选ACD。
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9．(10分)(2025·山西临汾三模)如图所示，凹型虚线为荧光屏，粒子打到荧光屏上会发光。虚线上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。P为直线Oa上一点，从P点可以发射具有不同速率的粒子，速度方向都垂直于Oa。粒子的质量均为m，电荷量均为＋q，已知Pa＝L，ab＝cd＝L，bc＝L，不计粒子的重力和粒子间的作用力。求：
(1)粒子在磁场中运动的最长时间及对应粒子的速度大小；
(2)bc边发光的区域长度。
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解析：(1)由分析可知，运动时间最长的粒子打到了b点，粒子转过了270°角，所以最长时间tmax＝T
粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝
所以最长时间tmax＝
对应粒子运动的轨道半径r＝L
由qvB＝m，得r＝
可得对应粒子的速度大小v＝。
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(2)粒子到达bc边的右边界为粒子轨迹恰好在d点与cd相切，射到bc边的e点。此时粒子的轨迹半径r＝(Pa＋bc)＝ L
则fd＝r－O′f＝r－
所以bc边发光的区域长度be＝bc－fd＝L。
答案：(1)　(2)L
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[培优创新练]
10．(13分)(2025·重庆多区县3月联考)如图所示，在PM和QK之间有大量相同的带电粒子以初速度v0沿水平方向射入半径为R的圆形区域，PM与圆心O在同一水平直线上，PM和QK之间的距离为0.5R，圆形区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，所有粒子均从O点正下方的N点射出圆形区域，已知带电粒子的质量为m，带电荷量为q，不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用。求：
(1)匀强磁场的磁感应强度大小B；
(2)匀强磁场的最小面积S。
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解析：(1)根据题意可知，粒子在匀强磁场中做圆周运动，轨迹半径为R。由洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝m
解得B＝。
(2)画出两临界粒子的运动轨迹如图所示
设轨迹MN与虚线劣弧围成的面积为S1，轨迹KN与
虚线劣弧围成的面积为S2。根据几何关系有θ＝60°
则S1＝2
解得匀强磁场的最小面积S＝S1－S2＝。
答案：(1)　(2)
专题突破18　运用动态圆解决临界极值问题
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