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2025—2026学年八年级下册期末检测卷09
数 学
（测试范围：八年级下册浙教版2024，第1-5章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．中国传统经典纹样，广泛应用于器物、建筑与服饰、千古流传，影响深远，下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．如意纹B．风车纹 C．柿蒂纹 D．冰裂纹
2．为确定最受学生青睐的课后服务项目，某学校对全体学生青睐的课后服务项目进行了调查，在这些调查数据里，最值得重点关注的统计量是（ ）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
3．如图，在中，，是上一点，的周长是周长的一半，且，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，电路中有三个定值电阻，，，且，的阻值（单位:Ω）满足方程，．若闭合开关S后，电流表的读数为，则电源的电压是（ ）
A． B． C． D．
6．小伟参加如奕围棋学生社团年度校园挑战赛，共进行了场比赛．积分统计小组根据小伟这场比赛的得分作了如图统计图，下列说法正确的是（ ）
A．比赛最高得分是分 B．比赛得分的中位数是分
C．比赛得分数据集中在分之间 D．比赛得分的上四分位数是分
7．如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．五一假期期间，小明一家自驾出游，在一段长下坡高速公路上，汽车突然刹车失灵，情况十分危急，幸好路边设有紧急避险车道（如图），这是一条由粗糙碎石铺成的上坡路段，专门为失控车辆设计的安全避险坡道．已知汽车在进入避险车道上的速度与路程的关系式为，并且避险车道坡比（斜坡竖直高度：水平宽度）为，汽车停止时的位置距离刚进入避险车道时的水平距离为，则刚进入避险车道时的速度是（ ）
A． B． C． D．
9．赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接与相交于点M，延长交于点N，若M是的中点，，则的长（ ）
A． B． C．2 D．
10．《算法统宗》是中国古代数学名著，书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；绳索二十尺，良工巧算记之；送行二步水平齐，问君升高几许？”译文为：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，秋千的绳索总长为20尺．将它往前水平推送两步（两步尺）时，秋千的绳索始终保持拉直的状态，问此时踏板相比静止时升高了多少尺？”（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若，则的值为 _____．
12．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于________．
13．数据组，的组内离差平方和为_______．
14．如图，在四边形中，，，，点，分别从，同时出发，点以的速度沿射线运动，点以的速度由点向点运动，当点运动到点时，两点均停止运动，设运动时间为，当____时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
15．如图所示，在中，，，，P是斜边上一动点，于点，于点，则长的最小值为______．
16．如图，在中，，分别以的三边为边在的同侧作三个正方形，顶点恰为的中点，若阴影部分（四边形）的面积为9，则正方形的面积为________．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．解方程：
(1)
(2)
19．如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E在上，点F在上，连接，使恰好经过点O．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
20．小鹏在解决问题：已知，求的值时，他是这样分析与解决的：
，
，
，
．
请你根据小鹏的分析过程，解决如下问题：
(1)计算：；
(2)若，
①求的值；
②求的值．
21．阅读下列材料：
材料一 “”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：
，，
解决下列问题：
(1)填空： ．
(2)已知，求的值．
(3)比较代数式与的大小，并说明理由
22．为了解八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），学校随机调查了该校八年级50名学生，得到了一组样本数据，根据统计的结果，绘制出如下的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
(1)在扇形统计图中， ，在箱线图中 ，
(2)本次调查样本中数据的众数为
(3)根据样本数据，若该校八年级共有学生600人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为多少
23．如图，在中，，是斜边上的中线，点是的中点，过作交的延长线于点，连结．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)如果，四边形的面积是30，求的长．
24．操作体验：如图，在矩形中，点E、F分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处．点P为直线上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线的垂线，垂足分别为点M和N，以为邻边构造平行四边形．
(1)如图1，求证：；
(2)特例感知：如图2，若，当点P在线段上运动时，
①求长；
②求平行四边形的周长；
(3)类比探究：如图3，当点P在线段的延长线上运动时，若．请用含a、b的式子表示与之间的数量关系．（直接写出答案）
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A B B C B A C B
1．C
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
选项是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
2．A
本题考查不同统计量的实际意义，根据题意，需要找出被最多学生选择的项目，结合各统计量的定义判断即可.
∵ 要确定“最受学生青睐的课后服务项目”，即需要找出调查数据中出现次数最多的项目，
又∵ 众数是一组数据中出现次数最多的数，其余统计量均不能反映这一特征，
∴ 最值得重点关注的统计量是众数，
故选 A.
3．A
因为四边形是平行四边形，所以，由的周长是周长的一半，可得，所以是线段的垂直平分线，然后通过勾股定理即可求解．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵的周长是周长的一半，
∴的周长，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
4．B
解：A： ，∴ A错误；
B： ，∴ B正确；
C：，∴ C错误；
D：，∴ D错误．
5．B
由题意易得，然后根据电路中的电阻、电流及电压关系式进行求解即可．
解：∵，的阻值（单位:Ω）满足方程，
∴由一元二次方程根与系数的关系可得：，
则有，
∴，
∴电路中的总电阻为，
∴．
6．C
本题主要考查了箱线图，解决本题的关键是根据箱线图中的各部分表示的意义逐项判断．
解：A选项：由箱线图可知，比赛的最高得分是分，故A选项错误；
B选项：由箱线图可知，比赛得分的中位数是分，故B选项错误；
C选项：由箱线图可知，得分的上四分位数是，下四分位数是，比赛得分数据集中在分之间，故C选项正确；
D选项：由箱线图可知，比赛得分的下四分位数是，故D选项错误．
故选：C．
7．B
设交于点，根据菱形的性质得出，，，，平分，求出，，进而求出，证明，得出，即可求解．
解：如图，设交于点，
四边形为菱形，
，，，，平分，
，，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
8．A
解：∵避险车道坡比（斜坡竖直高度：水平宽度）为，汽车停止时的位置距离刚进入避险车道时的水平距离为，
∴竖直高度为，
∴路程为，
∵汽车在避险车道上的速度与路程的关系式为，
∴刚进入避险车道时的速度是．
9．C
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，找出图形中的全等图形是解题关键．根据正方形的性质，先证明，再根据四个全等的直角三角形，证明出，从而推出，设，则，，最后利用勾股定理求解即可．
解：正方形，
，
正方形，
，，
M是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
由题意可知，，
，，，
，，
，
，，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
故选：C．
10．B
过点B作于点E， 则四边形为矩形，则尺，利用勾股定理求出，再根据求解即可．
解：过点B作于点E，
则四边形为矩形，
∴尺，
在中，尺，
∴尺，
即此时踏板相比静止时升高了尺．
11．
利用完全平方公式对多项式进行变形，再将代入计算即可．
解：
，
将代入中，
原式．
12．2026
根据题意，得，进一步可得，根据根与系数的关系可得，即可求出代数式的值．
解：根据题意，得，，
，
．
13．7
先分别计算两组数据的平均数，再分别计算每组的离差平方和，最后求和得到总的组内离差平方和．
解：对于第一组数据，其平均数为 ，
第一组离差平方和为 ；
对于第二组数据，其平均数为 ，
第二组离差平方和为 ；
总的组内离差平方和为．
14．或
根据题意可得，，结合点在射线上运动，则．由题意可知，的对边为，从而得到方程，求解即可．
解：根据题意，，，
∴，
∵以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
又∵，
∴的对边为，即，
∴，
∴，
解得或．
15．
连接，过点作交于点，由矩形的性质得出，故判断出长的最小值为的对应长度，根据三角形面积公式可得，解出即可．
解：连接，过点作交于点，如下图所示：
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
故长的最小值即为长的最小值，
当最小时，为的对应长度，
在中，，，，
∴，
结合三角形面积公式，
可得，
故，
解得，
即长的最小值为．
16．45
先证出，则，据此求出，再证出，则，据此可得，即，然后利用勾股定理求出的长即可．
解：∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
∵，阴影部分（四边形）的面积为9，
∴，
∴，
∴正方形的面积为．
17．(1)
(2)
（1）先由二次根式性质化简，再合并同类二次根式即可；
（2）先由完全平方公式、平方差公式展开，再由二次根式性质化简，最后由实数加减运算计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)，
(2)，
（1）将原式分解因式可得，，解方程即可；
（2）将原式分解因式可得，，解方程即可．
（1）解：，
分解因式得，，
可得或，
解得：，；
（2）解：，
分解因式得，，
可得或，
解得：，．
19．(1)见解析
(2)8
（1）由平行四边形的性质得到，可证明，则可证明；
（2）根据（1）的结论可证明，即，由平行四边形的对角线互相平分得到，再由勾股定理求出的长即可得到答案．
（1）证明：∵平行四边形的对角线相交于点O，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，
∵，
∴，即，
∵平行四边形的对角线相交于点O，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．(1)
(2)①4；②1
（1）先将各项分母有理化，然后前后相消，即可计算；
（2）①仿照例题解答即可；
②将所求式子变形为即，再计算即可．
（1）解：
；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∴；
②由①知，
∴
．
21．(1)；1
(2)
(3)，理由见解析
（1），再根据完全平方公式进行配方；
（2）将原式变形为，再由非负性求解；
（3）利用作差法结合配方法求解即可．
（1）解：；
（2）解：
∵
∴，
∴
∴；
（3）解：，理由如下：
∵
∴，
∴
∴．
22．(1)28，，
(2)
(3)120
（1）先由扇形图百分比和为算出；再用总人数50乘各占比，得各时长人数；最后根据箱线图四分位数定义，找到第12、13个数据（均为6）和第25、26个数据（均为7），得b、c的值；
（2）众数是数据中出现次数最多的数值．先根据扇形图各时长的百分比，算出对应人数：有6人、有8人、有12人、有14人、有6人、有4人．对比人数，的人数最多，则问题可求解；
（3）先找出每周参加科学教育时间的时长，即和；再将两者的百分比相加，得到总占比为；最后用总人数乘该占比，算出估计人数即可．
（1）解：扇形统计图中各部分百分比之和为，因此：，
根据样本容量50，
计算各时间段人数：：（人），
：（人），
：（人），
：（人），
：（人），
：（人），
箱线图中，b为第一四分位数，c为中位数：
中位数：第25、26个数据的平均数，前个数据中，
第25、26个数据均为，
故；
第一四分位数：第12、13个数据的平均数，前个数据中，
第12、13个数据均为，故；
（2）解：众数是一组数据中出现次数最多的数，
由（1）中各时间段人数可知，对应的人数为14人，是所有时间段中人数最多的，
因此众数为；
（3）解：时间不少于的学生，对应和两个时间段，
总占比为：，
该校八年级共有600人，因此估计人数为：（人），
答：估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为120人．
23．(1)见解析
(2)10
（1）先证明，得，结合斜边上的中线等于斜边的一半，得出，因为，证明四边形是平行四边形，因为，所以证明四边形是菱形；
（2）先证明四边形是平行四边形，得出，由四边形是菱形，得出，把代入计算，即可作答．
（1）证明：∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是菱形；
（2）解：连结，
由（1）知
∵
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，即，
∴，
∴．
24．(1)见解析
(2)①；②8
(3)
（1）根据平行线＋角平分线得到等腰三角形即可证明；
（2）如图2中，连接，作于H，则四边形是矩形，利用等面积法证明，利用勾股定理求出即可解决问题；
（3）如图3中，连接，作于H．由，可得，由，推出，即可得到．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由翻折可知：，
∴，
∴；
（2）解：①如图2中，连接，作于H，
∵矩形中，
∴四边形是矩形，，

∵，，
∴在矩形中，
∴，
在中，∵，
∴，
②∵，
∴．
∵，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴
∴四边形的周长；
（3）解：如图3中，连接，作于H．

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴
∴．(共5张PPT)
八年级数学下册期末押题卷09（浙教版2024，测试范围：第1-5章） 试题分析
一、单选题
1 0.85 轴对称图形的识别；中心对称图形的识别
2 0.95 运用众数做决策
3 0.55 线段垂直平分线的判定；利用平行四边形的性质求解；用勾股定理解三角形
4 0.65 二次根式的乘法；二次根式的混合运算
5 0.65 一元二次方程的根与系数的关系
6 0.65 画箱线图；求四分位数
7 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用菱形的性质求线段长
8 0.65 利用二次根式的性质化简；用勾股定理解三角形
9 0.65 全等三角形综合问题；以弦图为背景的计算题；根据正方形的性质求线段长；等腰三角形的性质和判定
10 0.65 用勾股定理构造图形解决问题；根据矩形的性质与判定求线段长；利用二次根式的性质化简
二、填空题
11 0.75 已知字母的值，化简求值
12 0.65 由一元二次方程的解求参数；一元二次方程的根与系数的关系
13 0.65 求离差平方和
14 0.5 几何问题(一元一次方程的应用)；绝对值方程；利用平行四边形的性质求解
15 0.65 根据矩形的性质与判定求线段长；垂线段最短；用勾股定理解三角形
16 0.65 以直角三角形三边为边长的图形面积；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；全等的性质和HL综合（HL）；根据正方形的性质求线段长
三、解答题
17 0.7 实数的混合运算；运用平方差公式进行运算；运用完全平方公式进行运算；利用二次根式的性质化简；二次根式的加减运算
18 0.75 因式分解法解一元二次方程
19 0.62 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用平行四边形的性质求解；利用平行四边形的性质证明；用勾股定理解三角形
20 0.65 分母有理化；已知字母的值，化简求值
21 0.65 配方法的应用
22 0.62 求众数；求四分位数；由样本所占百分比估计总体的数量；求中位数；求扇形统计图的某项数目
23 0.65 斜边的中线等于斜边的一半；利用菱形的性质求面积；证明四边形是菱形；利用平行四边形的判定与性质求解
24 0.43 勾股定理与折叠问题；根据矩形的性质与判定求线段长；根据等角对等边证明边相等；利用平行四边形的性质求解

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