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2025-2026学年吉林省松原市宁江区吉林油田高级中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.设向量，是两个不共线的单位向量，，，，则( )
A. ，，三点共线 B. ，，三点共线
C. ，，三点共线 D. ，，三点共线
3.已知平面和两条不同的直线、，则下列说法正确的是( )
A. 若上有无数个点不在内，则
B. 若，则与内的任意一条直线都没有公共点
C. 若，则平行于内的任意一条直线
D. 若，且，则
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，点是的中点，点是的中点，设，，那么( )
A.
B.
C.
D.
6.把函数图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则( )
A. B. C. D.
7.已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球的表面积相等，则该圆锥的体积与球的体积之比为( )
A. B. C. D.
8.已知圆的半径为，、是圆上两点且，是一条直径，点在圆内且满足，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中运算正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10.已知平面向量，则下列说法正确的是( )
A. 当时，
B. 若和的夹角为锐角，则
C. 当时，在方向上的投影向量为
D. 若，则和的夹角为
11.数书九章是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，数书九章中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上余四约之，为实：一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即现有满足：：：：，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是( )
A. 的周长为
B. 三个内角，，满足
C. 外接圆的直径为
D. 的中线的长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，是等腰直角三角形且，其中斜边，则这个平面图形的面积是 ．
13.已知函数的部分图象如图所示，则为 ．
14.如图，在平行四边形中，点，分别是边，边的中点，，分别与交于，两点若，则的值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
若，求实数的值；
若，求实数的值．
16.本小题分
在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计；灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性；现在有一盏独特的国风灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下：
顶部装饰：灯笼的顶部是一个正四棱台，上底边长为分米，下底边长为分米，高为分米；
核心结构：灯笼的核心部分是一个正四棱柱，底面边长为分米，高为分米．
求灯笼总体积；单位：分米
已知灯笼上下底不糊纸，所以正四棱台侧面积与正四棱柱侧面积的和就是灯笼所需纸张的总面积，求灯笼所需纸张的总面积单位：分米
17.本小题分
已知，，．
求的值；
求的值．
18.本小题分
已知的三个内角，，所对的边分别为，，，．
求角的大小．
若，的面积为，求的值．
若，，点是线段上一点，求内角平分线的长．
19.本小题分
如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．
若，求的模长；
若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由；
设，若对恒成立，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：题意得，，，
，
，
解得；
由题意得，，，
，
，
解得．
16.

17.解：因为，，
所以，．
所以
．
．
18.

19.
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