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2025-2026学年江苏省镇江市扬中市第二高级中学等校高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，分别为三个内角，，所对的边，若，则( )
A. B. C. 或 D.
3.如图所示，在中，是线段上的靠近的三等分点，则( )
A.
B.
C.
D.
4.设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则下列结论中正确的是( )
A. 的最小正周期为 B. 的最大值为
C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于对称
7.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，，，则的最小值( )
A.
B.
C.
D.
8.已知的内角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，，且，求面积的取值范围( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. 的虚部为 B.
C. D. 复数在复平面内对应的点位于第四象限
10.设向量，则下列说法正确的是( )
A. 若与的夹角为钝角，则 B. 的最小值为
C. 与共线的单位向量是 D. 若，则
11.在中，，，向量在向量上的投影向量为，则( )
A. 边上的高为 B.
C. D. 边上的中线为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，为虚数单位，且，则 ．
13. ．
14.如图，在梯形中，，，，，，
______．
是上的动点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中．
若，且，求向量的坐标；
若是单位向量，且，求与的夹角．
16.本小题分
在中，．
求；
若，且的面积为，求的周长．
17.本小题分
已知，求
的值；
的值．
18.本小题分
某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路的一侧进行绿化，线段长为百米，，都设计在以为直径的半圆上．设．
现要在四边形内种满郁金香，若，则当为何值时，郁金香种植面积最大；
为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段，和组成，若，则当为何值时，栈道的总长最长，并求的最大值单位：百米．
19.本小题分
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．
设函数，试求的伴随向量；
记向量的伴随函数为，在中，，，求的值；
记向量的伴随函数为，函数，函数在区间上的最大值为，最小值为，设函数，若，求函数的值域．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.；

15.解：，且，，设，，
求得，
故或．
因为，且，
所以，，即，所以，
故 ，
，．
16.解：由题意结合正弦定理可得
，
因为，
所以，
可得；
由，且的面积为，
可得，
解得，
由余弦定理可得
，
可得，
所以的周长为．
17.

18.解：由题意可知，
当时，四边形的面积最大．
在三角形中，由余弦定理可得，，
，
在中，，
，
，
当时，取最大值百米．
19.
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