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2025-2026学年山东省实验中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数为虚数单位，则的共轭复数为( )
A. B. C. D.
2.已知向量与，若，则实数( )
A. B. C. D.
3.如图，根据斜二测画法得到了水平放置的的直观图，图中的虚线分别与轴和轴平行，若，，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
4.在中，，，分别为角，，的对边，“”是“是锐角三角形”的______条件( )
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
5.已知正方体中，、分别为和的中点，则直线和的位置关系为( )
A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 垂直
6.某人在处向正东方向走后到达处，他沿南偏西方向走到达处，结果他离出发点恰好，那么的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D.
7.刘徽所著的重差是我国第一部测量学著作，其思想也为地图学提供了数学基础现采用重差的方法测量一个球体建筑物的相关数据如图，已知球体建筑物与水平地面的接触点切点为点，地面上，，三点共线，且在三者中的最左侧若在，处分别测得该球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据以上测量数据可计算出该球体建筑物的体积为( )
A. B. C. D.
8.在锐角中，角，，的对边分别为，，，记的面积为，若，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是( )
A. B. 若，则
C. 若复数为纯虚数，则 D.
10.满足，且边上高，则( )
A. 三个内角：：满足关系
B. 的周长为
C. 若的角平分线与交于，则的长为
D. 设为外接圆上任意一点，则的最大值为
11.已知圆锥高为，底面圆半径为，点和点是底面圆上的两个定点，点是底面圆上的动点不与，重合，且恒成立，则( )
A. 圆锥的侧面积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 圆锥外接球的表面积为
D. 当三棱锥体积取到最大值时，若为线段上的动点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量满足，且与的夹角为，则______．
13.如图，已知正方形的边长为，是四分之一圆弧，现以所在直线为旋转轴旋转一周，则图中阴影部分得到的旋转体的表面积为 ．
14.已知，，，四点共面，，则向量的模的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在菱形中，，分别为和的三等分点．
若，求的值；
若，，求的值．
16.本小题分
已知内角，，的对边分别为，，，若，且．
求角及边的值；
求周长的最大值．
17.本小题分
如图，已知四棱锥的高为，底面是边长为的正方形，点，分别为，的中点，设平面平面．
证明：平面；
证明：；
求三棱锥的体积．
18.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，．
若为的中点且，求边；
如图，过作，且，记．
用表示边；
若的面积为，求的大小．
19.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，点，，分别位于，，所在直线上，满足，，．
如图，若三角形是边长为的正三角形，且，求；
如图，若，，交于一点，
求的值，若，，，，求．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为在菱形中，，分别为和的三等分点，
所以，
因为不共线，且，
所以，所以；
因为，
所以
．
16.解：，
，则，
，则，
因为，所以；
由知，，
，则，
当且仅当时等号成立，故的最大值为，
故周长的最大值为．
17.解：证明：取的中点，连接，，如图所示：
易得，，
，且，
则为平行四边形，则，
面，面，则面；
证明：易知面，面，面面，
则；
易知面，
则点和点到面的距离相等，
，
故所求锥体的体积为．
18.解：由题意可得，
则，
整理可得．
，
则，
解得，
，解得负值舍去，
则，，
，
解得；
，
由正弦定理得，解得；
，
则，
，解得，
则，
整理可得，
则，
故．
19.解：设，则，
因为，，
所以，
令，
所以，解得，
所以；
如图，过点作于点，
因为，所以；
同理可得：，所以，即；
同理可证：，，
；
过点作的平行线交于点，过作交于点，如图，
由，，可得，
所以，
所以，
由，，可得，且，
所以，，即，
设，
因为，
由余弦定理可得：，
即，
整理可得：，
即，
又因为，，，
所以，
所以，
所以．
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