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2025-2026学年云南省昆明市第八中学高一（下）学情检查数学试卷（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，其中是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.若，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知圆锥的侧面积是底面积的倍，且圆锥的底面半径为，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知偶函数，对于，都有成立，且任取，，都有，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
8.现有个正整数，，，，，若这组数据的和为，方差为，则从这组数据中随机取个数，该数超过众数的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校为了解学生的体育锻炼情况，随机抽查了本校名学生一周内的体育锻炼时长单位：小时，数据如下：，，，，，，，，，下列关于这组数据的说法不正确的是( )
A. 中位数为 B. 众数为 C. 平均数为 D. 极差为
10.已知不重合直线，，不重合平面，，，则下列结论正确的有( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
11.已知，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，是夹角为的两个单位向量，向量，则______．
13.已知，则 ．
14.已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是定义在上的奇函数，当时，．
求函数的解析式；
若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
的内角，，的对边分别为，，已知，．
求；
若的面积为，求的周长．
17.本小题分
西安世园会志愿者招骋正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为．
乙、丙两人各自能被录用的概率；
求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率．
18.本小题分
已知菱形的边长为，，平面外一点在平面上的射影是与的交点，是等边三角形．
求证：平面；
求点到平面的距离；
若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长．
19.本小题分
将连续正整数，，，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数如当时，此数为，共有个数字，，现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到的概率．
求．
当时，求的表达式．
令为这个数中数字的个数，为这个数中数字的个数，，，求当时的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：是定义在上的奇函数，由题意，得，
令，则，由于是在上的奇函数，时，，
所以，
则；
由的解析式可知，函数在上为增函数．
是定义在上的奇函数，
，即．
又是增函数，，
即对任意的恒成立，
，
，即．
实数的取值范围为．
16.解：已知的内角，，的对边分别为，，，
由，
又根据三角形的面积公式可得，
所以，即，
由余弦定理得，
得，即，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
因此或舍去，所以；
因为的面积为，
所以根据三角形的面积公式可得，
所以，
由正弦定理设，因为，
所以根据诱导公式和两角和的正弦公式可得：
，
所以，，，
代入式，解得，所以，，，
所以的周长为．
17.解：设乙、丙能被录用的概率分别为，，
则且，
解得，，
乙、丙能被录用的概率分别为，
设甲、乙、丙能被录用的事件分别为、、，则，，，
且、、相互独立，三人至少有两人能被录用包括、、C、四种彼此互斥的情况，
则其概率为
．
18.解：证明：点在底面上的射影是与的交点，
平面，
平面，，
四边形为菱形，，
，，平面，
平面．
因为，与都是边长为的等边三角形，
，，
，
，
，
设点到平面的距离为，
由，
得，
即，
解得，
故点到平面的距离为．
设直线与平面所成的角为，
平面，
到平面的距离即为到平面的距离，
过作垂线平面交于点，则，
此时，
要使最大，则需使最小，此时，
由题意可知：，，
平面，且，
，，
在中，由余弦定理可得：
，
，
由面积相等，
即，
解得，
，，
即点在线段上靠近点的等份点处，此时，．
19.解：当时，，即这个数中共有个数字，其中数字的个数为，则恰好取到的概率为；
当时，这个数由一位数组成，；
当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，则；
当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，个三位数组成，；
当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，个三位数组成，个四位数组成，．
综上所述，；
由集合的定义，只需考虑．
当时，数字和数字都没有出现，所以，，从而；
当时，，，所以，即；
当时，设，其中，．
从写到时，个位上的出现在，，，中，共有个，因此．
个位上的在不超过的数中出现次，当且仅当时，数又增加一个个位数字．
在此范围内十位尚未出现，所以，
于是，当且仅当，即，，，，，，，．
当时，设，其中此时数字的个数为．
个位数字在，，，中出现次，十位数字在，，，中出现次，
所以，
从而．
因此只有时，，即．
当时，，，所以．
当时，又增加个，所以，而，故．
综上，．
当时，．
当，时，．
并且，
所以随增大而增大．
因此这些点中的最大值为，
当时，．
因为，所以当时，的最大值为．
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