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2025-2026学年河北省衡水中学高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中与的位置关系是( )
A. 相交
B. 平行
C. 异面
D. 垂直
2.如图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为( )
A. B. C. D.
3.若为虚数单位，则复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.如图，平面平面，所在的平面与，分别交于，，若，，，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，且，，则
6.如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，，，，则破裂的断点，两点间距离为( )
A. B. C. D.
7.三棱台中，：：，则三棱锥，，的体积之比为( )
A. ：： B. ：： C. ：： D. ：：
8.已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则的最小值为
D. 若是关于的方程的根，则
10.在中，，，，则( )
A. B. 的面积为
C. D.
11.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征如图甲，图乙是一个圆台的侧面展开图扇形的一部分，若两个圆弧所在圆的半径分别是和，且，则该圆台的( )
A. 高为 B. 体积为
C. 表面积为 D. 内切球的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为______．
13.已知一平面截球所得截面圆的半径为，且球心到截面圆所在平面的距离为，则球的表面积为______．
14.若三角形的两个内角和满足，则称该三角形为“准互余三角形”在中，，，，点是边上一点，若是准互余三角形，则 ；的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，且与垂直．
求；
若与互相垂直，求实数的值．
16.本小题分
如图，在正方体中，为的中点，为棱的中点，为棱的中点．
求证：，，，四点共面；
求证：平面；
求正方体的外接球的表面积和体积．
17.本小题分
如图，在平面四边形中，，，．
若面积是，求；
若，求．
18.本小题分
如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，、为侧棱上的点，且：：：：，点为上的点，且．
求证：平面；
求证：平面平面；
平面与侧棱相交于点，求的值．
19.本小题分
现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱如图所示，，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍．
求该几何体的表面积；
若，，分别为棱，，的中点，求四面体的体积；
若，分别是线段，上的动点，求的最小值．
参考答案
1.
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4.
5.
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7.
8.
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10.
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14.
15.
16.（1）证明：如图：连接，，．
，分别是线段，的中点，．
又且，四边形是平行四边形，
，，，，，四点在同一个平面内，
，，，四点共面 连接，交于点，是正方形，对角线互相平分，是的中点．
又是的中点，因此在中，是中位线，故．
平面，平面，且，
由线面平行判定定理得：平面 ；
17.解：，
因此，
由余弦定理可得，
因此；
，则，，
在中，即，因此，
在中，，即，因此，
因此，解得，
又，，解得，因此．
18.
19.
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