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2025-2026学年陕西省商洛市山阳县高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面上对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.如图所示，在三棱台中，沿截去三棱锥，则剩余的部分是( )
A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 组合体
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知非零向量，满足，若，则向量在向量方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.若向量满足，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线，于点，设，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
8.某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知，，设土坡对于平面的坡角为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，且与的夹角为，则( )
A. B.
C. D.
10.若复数为虚数单位，则下列结论正确的有( )
A. B. C. D.
11.在中，内角，，的对边分别为，，，下面判断正确的是( )
A. 若，，，则中最大的角为
B. 若为锐角三角形，则
C. 若，则的外接圆面积为
D. 若，则为钝角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数的虚部为 ．
13.已知在中，，，，是的平分线，则 ．
14.在中，已知，，，、边上的两条中线、相交于点，则的余弦值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，为虚数单位，为实数．
若复数为纯虚数，求的值；
若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围．
16.本小题分
已知向量与，，．
设与的夹角为，求的值；
若向量与互相平行，求的值．
若，求的最小值．
17.本小题分
设锐角的内角、、的对边分别为．
Ⅰ求角；
Ⅱ若边，面积为，求的周长．
18.本小题分
已知，，．
求的最小正周期和单调递增区间；
设的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的中线，求的面积．
19.本小题分
如图，在菱形中，．
用表示；
求；
若是菱形内含边界一动点，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由复数为纯虚数，
得，解得；
复数在复平面内对应的点位于第一象限，
，解得．
即的取值范围为．
16.解：因为，，
所以，
．
已知向量与互相平行，
又，，
所以，
化简可得，
解得．
，
即的最小值为．
17.解：Ⅰ因为锐角的内角、、的对边分别为，
所以，
又，
所以，
又为锐角，
所以；
Ⅱ由得，则，
由余弦定理得，
所以，
所以，
所以的周长为．
18.因为，，
所以，
因此最小正周期，
令，解得，
所以的单调递增区间为；
因为，所以，
因为，所以，
所以，即，
因为，两边平方可得，
即，
由余弦定理得：，
联立得，解得，
所以．
19.解：根据，
那么，；
根据可知，，
那么
，
由于，，那么，
那么，
因此；
根据题可知，
那么．
当与重合时，最大，此时取得最大值．
连接，在三角形中，
那么可得，
因此的最大值为，
根据图可知，当与重合时，，此时取得最小值为，
因此．
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