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2025-2026学年山东省菏泽市巨野县第二中学、成武县第二中学等校高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导数的运算中正确的是( )
A. B.
C. D.
2.已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则的值为( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，在内为增函数的是( )
A. B. C. D.
4.如图，洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数若从四个阴数和五个阳数中各随机选取个数，组成无重复数字的四位偶数，这样的偶数有个．
A. B. C. D.
5.已知函数，若，则的值为( )
A. B. C. D.
6.某校组织包含甲在内的名大学生前往观看足球、篮球、排球三场比赛，每场比赛至少有名学生观看且每个人只观看一场比赛，则观看比赛的不同方案种数为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，，若与的图象恰有两个交点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数的导函数为，且，，则，，的大小关系为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，为正整数且，则( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则( )
A. 是的极小值点
B. 有两个不同零点
C. 若函数的对称中心为，则
D. 当时，
11.在平面直角坐标系中，已知两点连线的斜率为，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数的导函数为，且，则的值为 ．
13.参加实践活动的名教师和甲，乙，丙，丁名志愿者站成一排合影留念，其中教师相邻，且甲，乙不相邻的方法有 种
14.已知当时，不等式恒成立，则正实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处取得极小值．
求，的值；
求在点处的切线方程．
16.本小题分
在二项式的展开式中，第项和第项的系数比为．
求的值及展开式中的常数项；
求展开式中系数最大的项．
17.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
当时，求在区间的最小值．
18.本小题分
已知．
若，求实数的值．
已知展开式的所有二项式系数之和为，且，
求展开式中含项的系数；
设，求除以所得余数．
19.本小题分
已知函数．
当时，求函数的最大值；
当时，求的单调区间；
若对，恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.解：，的定义域为，
，
因为在处取得极小值，所以，
即，解得，，经检验满足题意，
所以，；
由得，，
因为，，
所以切线方程为，
即．
16.解：在的展开式中，
通项公式为，
其中、、、、，
第项为，第项为，
根据第项和第项的系数比为，可得，化简得，
所以，可得，解得，
因此，，通项公式为，
令，解得，故展开式中的常数项为，
综上所述，且常数项为；
由知通项公式为，其系数为，
、、、、，
相邻两项系数之比为，
当时，系数递增；当时，系数递减，
由，化简得，解得，
所以时，系数递增；当时，系数递减，可得系数最大的项对应，
展开式中系数最大的项为第项，即．
17.解：，，
求导可得，
分类讨论，
当时，当时，，单调递减；
当时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
综上所述，
当时，在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减．
由可知，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
分类讨论，
当，即时，在上单调递增，所以最小值为；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以最小值为，
综上所述，时，的最小值为；时，的最小值为．
18.解：令得，，
令得，，
因为，
所以，得．
因为展开式的所有二项式系数之和为，
所以，得，
所以的通项公式为：，
因为，所以，
得，得，
，
所以展开式中含项的系数为：．
由得，，
，
只有最后一项，不能被整除．
因为，
所以余数为．
19.解：当时，，令，则，于是可列表如下：
单调递增 极大值 单调递减
当时，取最大值为；
，
当时，令或，
当时，由或，由，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，由，则函数在上单调递增．
当时，由或，由，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，由，由，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
综上：当时，函数的单调增区间为和，减区间为；
当时，函数的单调增区间为，无减区间；
当时，函数的单调增区间为和，减区间为；
当时，函数的单调增区间为，减区间为；
，则不等式转化为，
设，
令，则，由，由，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，则函数在内存在唯一的零点，
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
所以，
又，
得，则，
即，所以，
即实数的取值范围为
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