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2025-2026学年安徽省蚌埠市高一（下）期中数学试卷（北师大版）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面向量，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.已知，那么角是( )
A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第三或第四象限角 D. 第一或第四象限角
3.如图，在中，，为的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
4.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于受到摩擦、空气阻力等耗散力作用，其振幅随时间呈指数规律衰减的振动，假设一个弹簧振子在空气中进行阻尼振动，其相对于平衡位置的位移与时间的关系表示为：，其中是初始振幅，是自然常数，是阻尼系数，是角频率，该阻尼振动的角频率为，当时，振子的位移；当时，振子的位移据此计算，当时，该振子的位移( )
A. B. C. D.
7.已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合当时，，则( )
A. B. C. D.
8.已知平面向量，，，且，已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，则下列说法正确的有( )
A. B. 若，则
C. 若，则 D. 在上的投影向量坐标为
10.函数的部分图象如图，下列说法正确的有( )
A.
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在上的值域为
D. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个长度单位
11.已知函数，则下列说法正确的有( )
A.
B. 的值域为
C. 在上单调递减
D. 图象的对称轴为直线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若扇形圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为 结果保留
13.已知函数在区间上有个零点，则的取值范围是 ．
14.已知为的重心，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，先将函数的图象所有的点纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度后，得到函数的图象．
求函数的解析式；
若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知．
化简，并求的值；
若，求的值．
17.本小题分
在直角梯形中，，，．
求；
若与共线，求的值；
若为边上的动点不包括端点，求的最小值．
18.本小题分
已知是平面内两个不共线的向量，，且，，三点共线．
求的值；
若向量的夹角为，且，求向量与夹角的余弦值；
已知，点的坐标为，若四边形为平行四边形，求点的坐标．
19.本小题分
已知函数，其中．
若两个相邻对称轴之间的距离为，求的值；
若，函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在，且上恰好有个零点，求的最小值；
已知函数，在第问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：将函数的图象的点纵坐标伸长为原来的两倍，得，
再把横坐标缩短为原来的，得，
再向右平移个单位长度，得，
则；
函数，当时，
，，
函数的图象如下：
要使方程在区间上恰有两个实数根，
等价于函数在区间的图象与函数的图象有两个交点，
由图可知实数的取值范围为．
16.解：由题意得，
所以；
若，则，
所以
．
17.解：过作，可得，结合，得；
以为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，，，，
，故；
由可知，故，
若与共线，则，解得；
设，则，可得，
则，
所以，
对于二次函数，，图象的对称轴为直线，
所以最小值为，可得的最小值为．
18.解：已知是平面内两个不共线的向量，
，
则
又因为，，三点共线，所以，
所以，即，
所以，解得，
所以；
若向量的夹角为，且，
则根据平面向量数量积公式可得，
，
所以，
，
，
根据两向量的夹角公式可得；
已知，
由得，
所以
，
由四边形为平行四边形得，
设，且点的坐标为，则，
所以，解得，
即．
19.解：因为两个相邻对称轴之间的距离为，
所以的最小正周期为，
所以，得．
因为，
因为是的一个零点，
所以，
所以，
所以，，或，，
得，或，，
因为，所以，
所以．
所以的最小正周期为．
令，则，
所以，或，，
得，或，．
因为函数在，且上恰好有个零点，
要使最小，需找到跨度最小的连续个零点，
的零点为，或，，
通过比较不同起始零点的连续个零点区间的长度，
区间的长度为，
区间的长度为，
所以的最小值为．
由知，
设在上的值域为，在上的值域为，
因为对任意，存在，使得成立，
所以．
当时，，所以，
所以，所以．
当时，，所以，
所以，所以，
因为，所以，解得，
所以实数的取值范围为．
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