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2025-2026学年福建省泉州市晋江市侨声中学等校高一（下）第二次质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则的共轭复数( )
A. B. C. D.
2.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则或，是异面直线
3.如图，在正方体中，对角线与平面所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
4.在中，、、分别为角、、的对边长，，则三角形的形状为( )
A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形
C. 正三角形 D. 直角三角形
5.已知圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角为，则圆锥的表面积是( )
A. B. C. D.
6.已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，边上一点使得，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，下列说法正确的是( )
A. 若复数，则
B. 若复数，，则复数在复平面内对应的点在第一象限
C. 是复数为虚数的充分不必要条件
D. 若复数是关于的实系数方程的一个根，则
10.在中，是的中点，是线段上的点，过作一直线分别与，交于点，，设，，，其中，，，则下列结论正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，则的最小值为
11.正方体的棱长为，点为线段上一动点，则( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 直线与直线所成的角为
C. 在点运动过程中，有
D. 当为的一个三等分点时，平面截正方体所得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知两点，，若，则点的坐标为 ．
13.在中，角，，所对的边分别为，，已知的面积为，则 ．
14.若一个正四棱台的上下底面分别是边长和正方形，且体积为，则该台体的外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量是同一平面内的三个向量，其中．
若，且，求向量的坐标；
若是单位向量，且，求与的夹角．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高．
条件：；条件：；条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，是边长为的等边三角形，底面是等腰梯形，，，，是的中点．
求证：平面；
画出平面与平面的交线保留作图痕迹；
若，求证：平面平面．
18.本小题分
如图所示，某区有一块空地，其中，，当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场为安全起见，需在人工湖的周围安装防护网．
当时，求防护网的总长度；
若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小；
为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？
19.本小题分
如图所示，在直角梯形中，，，，分别是，上的点，且，，，，将四边形沿向上翻折，连接，，，在翻折的过程中，记二面角的大小为，．
当时，求三棱锥的体积；
若平面平面．
求证：；
求的最小值．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：已知向量是同一平面内的三个向量，其中．
设，由，且，
得，
所以或，
故或；
若是单位向量，，
则，又，
所以，即，
所以，
根据两向量的夹角公式可得，
因为夹角，所以与的夹角．
16.解：因为，
由正弦定理得：，
因为，
所以，
因为，所以，可得：，
所以，
因为，所以；
选择条件：，且，又，
由弦定理，可得，
因为，所以这样的不存在；
选择条件，因为，且，
所以，则，由，可得，
因为，，所以，解得，所以，
由正弦定理，可得，
因为，可得，
设边上的高为，可得面积为，所以，
所以；
选择条件：由，
根据向量的数量积的公式，可得，所以，
因为且，所以，解得，
由余弦定理，
可得，所以，
设边上的高为，可得面积为，所以，
所以．
17.解：证明：在四棱锥中，取中点，连接，，
由是的中点，得，
又因为，，所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面．
在四棱锥中，延长，交于，连接，则是平面与平面的交线．
理由如下：因为，所以平面，
同理平面，所以平面平面，
又因为平面平面，所以平面平面，
因此是平面与平面的交线．
证明：在等腰梯形中，，过点作交于点，
由，，，所以，
在直角三角形中，，得．
在中，由余弦定理得，
所以，所以，
又因为，，，平面，
因此平面，
而平面，
所以平面平面．
18.解：易知，
，解得，
则，所以，
则为正三角形，周长为，所以防护网的总长度为；
设，
，则，解得，
，
解得，即，
根据三角恒德变换可得，
又，所以，
则，则，；
设，
，解得，
，
当且仅当，即时，面积取最小值为．
19.解：，，且，则面，
因为为二面角的平面角，所以，
则；
证明：过点作交于点，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，则；
根据题意平面图形翻折后，，
且，是平面内两条相交直线，
所以平面，又，得平面，
又平面，则，
因为，是平面内两条相交直线，所以平面；
又平面，则；
取的中点，连接，，
因为，，所以四边形是平行四边形，
所以，由得，所以，
在中，，
在中，，
在中，，因此，
化简得到，
因为，，所以，
当且仅当时等号成立，故的最小值为．
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