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2025-2026学年山西省晋中市榆次区第二中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化简后等于( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，，，则( )
A.
B.
C.
D.
4.设为所在平面内一点，且满足，则( )
A. B.
C. D.
5.在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则( )
A. B. C. D.
6.如图，圆锥的底面圆直径为，母线长为，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为( )
A.
B.
C.
D.
7.在，其内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
8.已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，则下列说法中正确的是( )
A. 复数的虚部为 B.
C. D. 若复数，则
10.已知向量，则下列结论正确的是( )
A.
B. 与同向的单位向量为
C. 在上的投影向量为
D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
11.已知是边长为的等边三角形，点在内或边界上，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则点的轨迹长度为
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，其中为虚数单位，则 ．
13.已知向量，，则 ．
14.在平行四边形中，，，，点为边的中点，点为边上的动点，则的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
若，求的值；
若，求的值．
16.本小题分
已知复数，，且是实数．
求；
在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
17.本小题分
棱长为的正方体中，截去三棱锥，求：
求截去的三棱锥的表面积；
剩余的几何体的体积．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求的值；
若，求的值；
若的面积为，且，求的周长．
19.本小题分
如图所示，在中，，，，，．
求的值．
线段上是否存在一点，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
若是内一点，且满足，求的最小值．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.向量．
若，
则，解得；
，，
则，解得．
16.已知，，
则，
由是实数，得，解得．
，则；
由知，
，
复数对应的点在第四象限，
，
解得，
故实数的取值范围为．
17.【答案】解：正方体的棱长为，
等边三角形的边长为，可得三棱锥的表面积：
；
正方体的体积为，三棱锥的体积为，
剩余的几何体的体积为．
18.在中，角，，的对边分别为，，，已知，
由正弦定理得，
则，
因为，则，
故；
因为，且，
所以，
由正弦定理，，
所以，解得，
因为，所以，
所以，
则根据二倍角的正弦公式可得；
因为，所以，
由余弦定理得，
所以，
又，所以，则，
所以，
于是的周长．
19.因为在中，，，，
且，，
所以，
，
故
；
由图可得，，设，
则，
因为，所以，
即
，解得，
即存在一点，使得，此时；
由知
，
所以，
又，
所以，
即，
因为，
所以，即，
故，，三点共线，
所以，
当且仅当时，即为中点时等号成立，
而，
所以的最小值为．
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