资源简介

义定电型〈集团)业削九年恩
出推人数坐张1原组20250625
2025-2026学年宝安中学（集团）初中部九年级下数学学科素养调查
班极
姓名
学母
家长签名
评价
一、选释题(8×3=24分)
1.如图是某太空金属3D打印机打印的一个零件模型，
它的主视图是（)
A.
B.
I.
C.
D
、正面
2.下列运算正确的是（)
A.ab-a=b
B.ab-ab=a'b
C.（-a2)3=-a6
D.(a+b)2=a2+b2
3、如图为小颗在试链铲前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB/1OA,∠CB0=122°，
∠BON=90°，则入射角∠AON的度数为(
A.22°
B.32°
C.35
D.122°
4、在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅
拌均匀后、任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在
0.5附近.那么可以估算出m的值为(
)A.20B.15C.12D.8
5、不等式组红+20。的解集在数轴上表示正确的是(
)
-x+2≥0
A.-3-2-10123
B.-3-2-10123
1八
C.-9-2-10N23D.-3-2-10123
6.如图所示，在一边靠墙（墙足够长)空地上，修建一个面积为672m的矩形临时仓库，仓库
一边靠墙，另三边用总长为76m的栅栏围成，若设栅栏AB的长为xm,则下列各方程中，符合
题意的是()
A.号76-x)=672B.276-2)=6nC.x76-2=672D.x76-)=62
7.新定义：对于二次函数A和B,若A的顶点坐标在B的顶点坐标上方，则A是B的“仰项函
数”，例如：函数y=(x-2)2+2是函数y=2(x+3)2-1“仰顶函数”.若无论m取任何实数，函
数y=x2+4x+6-n都是函数y=x2+2x-4m的“仰顶函数”，则n的取值范围()
A.n<-2
B.ns2
C.n>2
D.n>-2
8.已知四边形ABCD中，AB=2,∠ADC=150°，连接对角线AC,BD,若AC=2V3,∠BAC
=90°，且BD平分∠ABC,则BD的长为()
A.3
2
B.3
C.3+1
D.2V2
第3题图
第6题图
第8题图
1
宝安中学《集团)切电旭九年缴
出卷人，数学备漫组20250525
二.填空题（共15分）
9.在平面直角坐标系xOy中，P是平面内一点，且点P到x轴、y轴的距离分别为2,5，请写
出一个符合条件的点P的坐标
10.小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分
别一致.完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色
都不匹配的概率是
11.已知快递员取一件快递的收益比送一件快递的收益多1元，某天该快递员送快递的件数是
取快递件数的2倍，若送、取快递获益相同，则该快递员取一件快递的收益为
元
12.如图，过原点的直线和反比例函数y=(k≠0)相交于A、B,延长BA至C,使得点A是BC中点，过C作
CD⊥x轴于D,CD交反比例函数第一象限图象于E,连接BE,若△CBE的面积为32，则k=
13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3,AB=5.将△ABC绕AC的中点O逆时针
旋转a(0°B
第12题图
第13题图2025-2026学年宝安中学（集团）初中部九年级下
数学学科素养调查
一、选择题（8×3=24分）
1. 如图是某太空金属 3D打印机打印的一个零件模型，它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：它的主视图是：
．
2. 下列运算正确的是（ ）
3A. a2 a6 2 2B. a b ab a3b C. ab a b D. a b a2 b2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查幂的运算、单项式乘法、代数式化简及完全平方公式的应用，需逐一分析各选项的正确性．
根据运算法则注意运算即可．
3 3 3
【详解】选项 A：根据幂的乘方运算法则， a2 1 a2 1 3 a2 1 a6 a6，故选项 A
正确；
选项 B：单项式相乘时，系数相乘，同底数幂相加， a2b ab a2 1 b1 1 a3b2，但选项 B结果为 a3b，
缺少b的指数，故选项 B错误；
选项 C：左边提取公因式 a得 a b 1 ，显然a b 1 b仅在特定条件下成立，而非恒等式，故选项 C
错误；
2
选项 D：根据完全平方公式， a b a2 2ab b2，选项 D漏掉了中间项 2ab，故选项 D错误；
故选：A．
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3. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB∥OA， CBO 122 ，
∠BON 90 ，则入射角 AON 的度数为（ ）
A. 22 B. 32 C. 35 D. 122
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，结合图形求解是解题关键．
根据平行线的性质得出 CBO BOA 122 ，结合图形即可求解．
【详解】解：∵CB∥OA
∴ CBO BOA 122 ，
∵∠BON 90 ，
∴ AON 122 90 32 ，
故选：B．
4. 在一个不透明的箱子里装有 m个球，其中红球 4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀
后．任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.5附近．那么可
以估算出 m的值为（ ）
A. 8 B. 12 C. 15 D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复试验后，随机事件发生的频率会稳定在概率附近，根据概
率公式列方程求解即可．
【详解】∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.5附近，
∴摸到红球的概率为 0.5，
4
根据概率公式可得 ， 0.5，
m
解得 m 8，
经检验，m 8 是方程的解，且符合题意．
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x 2 0
5. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
x 2 0
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
x 2 0①
【详解】解： ，
x 2 0②
解不等式①得： x 2，
解不等式②得： x 2，
∴不等式组的解集为 2 x 2，
表示在数轴上如图所示：
6. 如图所示，在一边靠墙（墙足够长）空地上，修建一个面积为672m2的矩形临时仓库，仓库一边靠
墙，另三边用总长为76m的栅栏围成，若设栅栏 AB的长为 xm，则下列各方程中，符合题意的是
（ ）
1 1
A. x 76 x 672 B. x 76 2x 672
2 2
C. x 76 2x 672 D. x 76 x 672
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据 AB的长表示出线段 AD或线段 BC的长，利用
矩形的面积列出方程即可．
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1
【详解】解：设 AB的长为 x米，则 AD 76 x ，
2
根据矩形的面积得：
1 x 76 x 672
2
故选：A．
7. 新定义：对于二次函数 A和 B，若 A的顶点坐标在 B的顶点坐标上方，则 A是 B的“仰顶函数”，例如：
函数 y x 2 2 2 是函 数 y 2 x 3 2 1 “仰顶 函数” ．若 无论 m 取任 何实数 ，函数
y x2 4x 6 n都是函数 y x2 2mx 4m的“仰顶函数”，则 n的取值范围（ ）
A. n 2 B. n 2 C. n 2 D. n 2
【答案】A
【解析】
【分析】先配方得到两个二次函数的顶点纵坐标，根据新定义列出不等式，将不等式整理为 n小于关于m
的二次式，再求出该二次式的最小值，根据不等式对任意m恒成立，即可得到 n的取值范围．
【详解】解：∵ = 2 + 4 + 6 = + 2 2 + 2 ，
该函数顶点纵坐标为2 n，
∵ = 2 + 2 4 = + 2 2 4 ，
∴该函数顶点纵坐标为 m2 4m，
根据“仰顶函数”的定义可得 2 n m2 4m，
整理得 < 2 + 4 + 2 ，
∵无论m取任何实数，函数 y x2 4x 6 n都是函数 y x2 2mx 4m的“仰顶函数”，
无论m取任何实数， < 2 + 4 + 2 恒成立，
∴ n小于m2 4m 2的最小值，
∵ 2 + 4 + 2 = + 2 2 2 ≥ 2 ，即m2 4m 2的最小值为 2，
∴ n 2．
8. 已知四边形 ABCD中，AB 2， ADC 150 ，连接对角线 AC，BD，若 AC 2 3， BAC 90
且 BD平分 ABC，则 BD的长为（ ）
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A. 2 3 32 B. 3 C. 3 1 D.
2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解含 30度的直角三角形，勾股定理，三角形内角和定理及相似三角形的判定与性质．由
已知条件利用勾股定理求出 BC的长度，通过正弦的定义求出 BCA的角度，用三角形内角和定理求出
ABC的度数，由角平分线定义求得 ABD DBC，设 CAD ，则 BAD 90 ，利用三角
BD AB
形内角和定理得出 ADB 60 ， ACD 30 ，证得VABD∽VDBC，得出 ，最终求
BC BD
得 BC的值．
【详解】解：∵ AB 2， BAC 90 ， AC 2 3，
2 2 2∴在 Rt ABC中，由勾股定理得： BC AC AB 2 3 22 4，
AB 1
∴ sin BCA= = ，即 BCA 30 ，
BC 2
∴ ABC 90 BCA 60 ，
∵ BD平分 ABC，
∴ ABD DBC 30 ，
设 CAD ，则 BAD 90 ，
在△ABD中， ADB 180 ABD BAD 60 ，
∵ ADC 150 ，
∴ BDC ADC ADB 90 ，
在△ADC中， ACD 180 CAD ADC 30 ，
∵ ABD DBC 30 ， BAD BDC 90 ，
∴VABD∽VDBC，
BD AB
BD2∴ AB BC 8，
BC BD
∴ BD 2 2 ．
故选：A．
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二、填空题（共 15分）
9. 在平面直角坐标系 xOy中， P是平面内一点，且点 P到 x轴、 y轴的距离分别为 2，5，请写出一个符合
条件的点 P的坐标________．
【答案】 5,2 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据点到 x轴、 y轴的距离即可判断出 P点的可能性，从而写出符合条件 P的坐标，解题的关键在
于熟练掌握点到 x轴的距离即点的纵坐标的绝对值，点到 y轴的距离即点的横坐标的绝对值．
【详解】解： 点 P到 x轴、 y轴的距离分别为 2，5，
Px 5， Py 2．
P所在的象限不确定，
P 5,2 （答案不唯一）．
10. 小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完
成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是
______．
1
【答案】
3
【解析】
【分析】本题考查了用列举法求概率，列出所有可能出现的结果，再找出每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配
的结果，利用概率公式计算即可求解，正确列出所有可能出现的结果是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，共有6种结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝黄，黄蓝；黄红，红黄，蓝蓝；
黄红，蓝黄，红蓝；蓝红，红黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝；
其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的有 2种结果，
2 1
∴每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是 ，
6 3
1
故答案为： ．
3
11. 已知快递员取一件快递的收益比送一件快递的收益多 1元，某天该快递员送快递的件数是取快递件数
的 2倍，若送、取快递获益相同，则该快递员取一件快递的收益为________元．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题思路是设出相关未知数，根据送、取快递总获益相等的
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等量关系列方程求解．
【详解】解：设该快递员送一件快递的收益为 x元，则取一件快递的收益为 x 1 元，设取快递的件数为
a，则送快递的件数为 2a， a 0 .
根据送、取快递获益相同，列方程得 2a x a x 1
等式两边同时除以 a，得 2x x 1
移项得 2x x 1
合并同类项得 x 1
因此取一件快递的收益为 x 1 1 1 2元．
k
12. 如图，过原点的直线和反比例函数 y (k 0)相交于 A、B，延长 BA至C，使得点 A是BC中点，
x
过C作CD x轴于D，CD交反比例函数第一象限图象于 E，连接 BE，若△CBE的面积为32，则 k
_______．
【答案】6
【解析】
k
【分析】过点 B作 BG AD于点G，过点 A作 AF BG于点 F ，设点 A的坐标为 x, x
，则点 B的

k 3k
坐标为 x, ，根据平面直角坐标系中两点中点公式可得点C的坐标为x
3x, ，根据CE x轴，
x
k 8k
可知点 E的横坐标为3x，可以求出点 E的纵坐标为 yE ，从而可得 BG 4x，CE ，根据3x 3x
16k
△CBE的面积为32，可得 32，解方程即可求出 k的值．
3
【详解】解：如下图所示，过点 B作 BG AD于点G，过点 A作 AF BG于点 F ，
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k k
设点 A的坐标为 x, ，则点 B的坐标为 x,

，
x x
点 A是 BC中点，设点C的坐标为 xC , yC ，
x 1 x x 2 C
可得：
k 1 k
，
y

x 2 x C
xC 3x
解得： 3k ，
yC x
3k 点C的坐标为 3x, ，
x
点 E的横坐标为3x，
y kE ，3x
BG 3x x 4x，CE 3k k 8k ，
x 3x 3x
S 1 1 8k 16k CBE CE·BG 4x ，2 2 3x 3
CBE的面积为32，
16k
32，
3
解得： k 6．
13. 如图，在Rt△ABC中， ACB 90 ， BC 3， AB 5．将 ABC 绕 AC的中点O逆时针旋转
0 90 得到 A B C ，当 A B 经过点C时，BB 的长为_____．
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6 13
【答案】
5
【解析】
3
【分析】连接 AA ，OB，OB ，可证明OA OA OC，推出 AA C 90 ；求出 sin BAC ，5
AC 4，则可得到OC OA 2，OC 2，由勾股定理得OB 13，解直角三角形得到
BB 13
AA 12 BB OB 6 13，证明 AOA ∽ BOB ，得到 ，即 12 ，则
5 AA OA 2 BB
．
5 5
【详解】解：如图所示，连接 AA ，OB，OB ，
∵点 O为 AC的中点，
∴OA OC，
由旋转的性质可得OA OA ，OB OB ，∠AOA ∠BOB ， B A C BAC，
B C BC 3，OC OC，∠C ∠ACB 90 ，
∴OA OA OC，
∴∠OAA ∠OA A，∠OA C ∠OCA ，
∴∠A CA ∠BAC，
∵∠OAA ∠OA A ∠OA C ∠OCA 180 ，
∴∠OA A ∠OA C 90 ，
∴ AA C 90
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在Rt△ABC中， ACB 90 ，BC 3， AB 5，
BC 3
∴ sin BAC ，
AB 5 AC AB
2 BC2 4，
∴OC OA 2，
∴OC 2，
在Rt B OC 中，由勾股定理得OB OC 2 B C 2 13，
在Rt△AA C中， AA AC sin∠ACA 3 12 4 ，
5 5
∵OA OA ，OB OB
OA OA
∴ ，
OB OB
又∵ AOA BOB ，
∴ AOA ∽ BOB ，
BB OB BB 13
∴ ，即 12 ，
AA OA 2
5
BB 6 13∴ ．
5
三、解答题（共 61分）
2
14. 计算 12 2024 π 0 2cos60 4 27 1 ．
2
【答案】1 3 3
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，需要分别根据乘方的意义，零指数幂法则，特殊角的三角函数值，绝
对值的性质，负整数指数幂法则计算每一项，再合并得到最终结果．
【详解】解： 原式= 1 + 1 + 2 × 1 4 3 3 4
2
= 1 + 1 + 1 3 3 4 4
= 1 + 1 + 1 3 3 + 4 4
= 1 3 3．
15. 在数学课上，老师展示两道习题的解答过程：
2 x 3
习题 1：计算： ． 习题 2：解方程： x2 4x 5 0
x 1 x 2 1
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2 x 1 x 3 2
解： x 4x 5 第一步解：原式 第一步x 1 x 1 x 1 x 1
x 2 2 5 4 第二步
2x 2 x 3

x 1 x 1 第二步 x 2 3 第三步
x 5 第四步
x 5

x 1 x 1 第三步
（1）解答过程中，习题 1从第______步开始出现错误，习题 2从第______步开始出现错误；
（2）任选其中一个习题写出正确的解答过程（若两个题都作答，则只按习题 1给分）．
【答案】（1）二，三；
（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）根据分式的通分和平方根解题即可；
（2）根据分式的通分可解答习题1，根据配方法可解答习题 2．
【小问 1详解】
解：习题1中第二步在合并分子时，对分子 (x 3)去括号时出错，应为 x 3；
习题 2中第三步应为 x 2 3；
【小问 2详解】
2 x 1 x 3
解：习题 1：原式 x 1 x 1 x 1 x 1
2x 2 x 3

x 1 x 1
x 1

x 1 x 1
1
；
x 1
习题 2：∵ x2 4x 5 0，
∴ x2 4x 5，
∴ x 2 2 5 4 ，
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∴ x 2 3，
∴ x1 5， x2 1．
16. 为“提升青少年科学素养，夯实科技强国之基”，某初中分别在七、八、九年级中随机抽取5%的学
生加科学竞赛．同时对全体学生“是否愿意利用课余时间参加科学讲座”这一问题进行调查．
【收集数据】
本次竞赛满分 10分，已收集到三个年级参加竞赛同学的成绩数据与三个年级全体学生的问卷调查数据．
【整理数据】
a．图 1为七、八年级学生科学竞赛成绩折线统计图；
平均 中位
众数
数 数
七年
6 8 7
级
八年 6、7、
7 n
级 8
九年
8 m 8
级
b．九年级学生科学竞赛成绩数据为：8，8，5，10，9，7，9，8．
【分析数据】
图表为七、八、九年级所抽取学生参加科学竞赛成绩的平均数、众数、中位数；
【解决问题】
第 12页/共 28页
（1）m ______， n ______．
2 2 2 2 2（ ）设七、八年级学生科学竞赛成绩的方差分别是 s1 , s2 ，比较大小 s1 ______ s2 ；
（3）在“是否愿意利用课余时间参加科学讲座？”这一问题的调查中，已知七、八、九三个年级选择
“非常愿意”的学生所占百分比分别为32%，48%和75%，求出该校全体学生中选择“非常愿意”的学
生所占百分比．
【答案】（1）8，7 （2）
（3）50%
【解析】
【分析】本题考查折线统计图、中位数、众数、平均数、方差以及用样本估计总体，掌握中位数、众数的
计算方法是正确解答的关键．
（1）分别根据中位数、众数和算术平均数的定义解答即可；
（2）根据数据的波动情况判断即可；
（3）用样本估计总体即可．
【小问 1详解】
解：∵8出现了 3次，出现的次数最多，
∴众数是 8，即m 8；
把 8年级的学生科学竞赛成绩从小到大排列为： 4,5,6,6,7,7,8,8,9,10，
中位数是 n 7 7 7；
2
故答案为：8，7；
【小问 2详解】
从折线统计图可以看出，七年级科学竞赛成绩的波动幅度较大，故方差较大；
2 2
八年级科学竞赛成绩波动幅度较小，故方差较小，所以 s1 s2 ，
故答案为： ；
【小问 3详解】
10 5% 200人，
七八年级各 200人，
8 5% 160人，
九年级 160人，
第 13页/共 28页
200 32% 200 48% 160 75%
50%，
200 200 160
∴该初中所有学生中选择“非常原意”的学生所占百分比为50%．
17. 某校数学研究性学习小组以“利用斜坡观测实物高度”为主题分组开展综合与实践活动．
【活动准备】查找资料，准备好卷尺、标杆等测量工具
【活动地点】图①是该校附近斜坡的横断面示意图．测得该斜坡坡度 i 1: 2.4， BM 段为水平路面，B点
位置设有指示牌 BP，它与地面垂直．
【活动过程】
活动 1：如图①所示，学习小组测得斜坡 AB长为 39米．
（1）求斜坡 AB的高度；
活动 2：如图②所示，当学习小组的指导老师李老师驾驶一辆小轿车在斜坡上点 D处，他的眼睛到斜坡的距
离 FD为 1.2米．李老师平视前方（视线与斜坡 AB平行），他刚巧能观测到指示路牌的牌杆顶端 Q点．
（2）求指示牌牌杆 BQ的高度；
活动 3：如图③，矩形 ECKG为一辆大巴车的侧面示意图，CK 长为 10米，EC长为 3.2米．李老师利用
大巴车停在该斜坡上的机会再次进行观测，此时大巴车的前下端点 K与点 B重合．李老师发现当他位于 D
点与大巴车车尾 C点相距 15米时，他透过点 E刚巧能看到指示路牌的顶端 P点．
（3）求指示牌 BP的高度．
【答案】（1）斜坡 AB的高度为15米；
第 14页/共 28页
（2）指示牌牌杆 BQ的高度为1.3米；
（3）指示牌BP的高度为5.2米．
【解析】
BG 1
【分析】（1）如图，延长 PB交斜坡底面水平线于点G，易得 AGB 90 ，由坡度比可得 ，
AG 2.4
设 BG x米，则 AG 2.4x米，利用勾股定理建立方程求解即可；
（2）过点 B作 BH FQ于点 H ，延长 PB交斜坡底面水平线于点G，证明四边形
BHFD是矩形，得到 BH DF 1.2米，易证 QBH A，得到 cos QBH cos A，即可求解；
（3）作PO DB交DB延长线于点 O，作 FQ ^ PO于点 Q，交CE于点 R，延长 PB交斜坡底面水平线
于点 H ，则四边形CRQO为矩形，四边形FDCR为矩形，得到 RQ CO,FR DC 15米，
FD CR OQ 1.2米，求出 ER 2米，同理（1）得 BH 15米，则 AH 36米，根据
BO 5tan PBO tan ABH ，得到 PO，再证明 FER∽ FPQ，推出
12
ER FR
，即可求解出 米，再根据 ，即可求解．
PO OQ DC CK BO PO 4.8 sin PBO sin ABH
【小问 1详解】
解：如图，延长 PB交斜坡底面水平线于点G，
由题意得 AGB 90 ，
∵该斜坡坡度 i 1: 2.4，
BG 1
∴ ，
AG 2.4
设 BG x米，则 AG 2.4x米，
在Rt ABG中， AB 39米，
第 15页/共 28页
∴ AB2 BG2 AG2，即392 x2 2.4x 2，
解得 x 15（负值舍去），
即 BG 15米，
答：斜坡 AB的高度为15米；
【小问 2详解】
解：过点 B作 BH FQ于点 H ，延长 PB交斜坡底面水平线于点G，
则 BHF 90 ，
由题意得 FQ BD，
∴ HBD 180 BHF 90 ，
∴ FDB HBD BHF 90 ，
∴四边形 BHFD是矩形，
∴ BH DF 1.2米，
∵ QBH ABG ABG A 90 ，
∴ QBH A，
由（1）知 BG 15米，则 AG 36米，
BH AG 36 12
∴ cos QBH cos A ，
BQ AB 39 13
∴ BQ 1.3米，
答：指示牌牌杆 BQ的高度为1.3米；
【小问 3详解】
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解：作 PO DB交DB延长线于点 O，作 FQ ^ PO于点 Q，交CE于点 R，延长 PB交斜坡底面水平线
于点 H ，
则四边形CRQO为矩形，四边形 FDCR为矩形，
RQ CO,FR DC 15米， FD CR OQ 1.2米，
ER 3.2 1.2 2（米），
同理（1）得 BH 15米，则 AH 36米，
ABH 行PBO, O = H 90 ，
tan PBO PO tan ABH AH 36 12 ，
BO BH 15 5
5
BO PO，
12
EC ^ AB,PQ ^ AB，
\ ER∥PQ，
\ FER∽ FPQ，
ER FR
\ = ，
PQ FQ
ER FR
，
PQ DO
ER FR
，
PO OQ DC CK BO
2 15
，即50 2BO 15PO 18，
PO 1.2 15 10 BO
∴50 2 5 PO 15PO 18，
12
第 17页/共 28页
∴ PO 4.8米，
ABH 行PBO, O = H 90 ，
PO
sin PBO sin AH 36 12 ABH ，
BP AB 39 13
PO 12
∴ ，
BP 13
∴ BP 5.2米，
答：指示牌 BP的高度为5.2米．
18. 如图，已知 AB是 O的直径， AF 平分 EAC，且 E 90 ， AG BG，连接 AG．
（1）求证： EC是 O的切线；
（2）若 AG 2 2， AF 2 3，求线段 AE的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】此题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判
定是解题的关键．
（1）证明OF EC即可得到结论；
（2）连接 BG．求出 AB 4，证明 AEF∽ AFB，得到 AF 2 AE AB．即可得到答案．
【小问 1详解】
证明：如图，连接OF ．
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OA OF ，
FAC AFO．
AF 平分 EAC，
EAF FAC，
EAF AFO，
OF∥AE．
OFC E 90 ，
OF EC，
EC是 O的切线．
【小问 2详解】
解：连接 BG．
AG BG ，
AG BG．
AB是 O的直径，
AGB 90 ， AFB 90 ．
AG 2 2 ，
2 2
AB 2 2 2 2 4．
EAF FAC， E AFB，
△AEF∽△AFB．
AE AF
，
AF AB
AF 2 AE AB．
AF 2 3， AB 4，
第 19页/共 28页
2 3 2 4AE
AE 3．
19. 实践与操作：如何制作简易风筝
【问题情境】风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有 2000多年的历史，某数学兴趣小组计划制作一个
筝形风筝参加学校文化节．
【设计原理】筝形风筝由两条垂直的竹条骨架构成，其中较长的主骨架垂直平分较短的横骨架，这种结构易
于保持平衡，飞行稳定．
【制作步骤】
步骤一 骨架制作：如题 1 图是简易“筝形”风筝的骨架结构图，现以两条线段 AC,BD 作为骨架，且
AC BD， AC与BD的和为80cm，四边形 ABCD的面积为600cm2．
（1）直接写出骨架的长度： AC _____ cm， BD _____ cm；
步骤二 蒙面制作：若（1）中骨架满足 AO :OC 1: 2，考虑到实际需要，蒙面（风筝面）边缘离骨架的端
点要留出一定距离．现把 BD以上部分的蒙面设计为抛物线形状，如题图 2建立平面直角坐标系，过距离点
A，点 B，点 D分别为 4cm,2cm,2cm的三点 E，F，G绘制抛物线．
（2）求过 E，F，G三点的二次函数解析式；
步骤三 蒙面取材：已知 BD以下部分的蒙面设计为等腰△FHG，点 H在OC延长线上且FH∥ BC，如
图 2，经过思考与分析，小超同学先剪下一张筝形纸片来裁剪无拼接的风筝蒙面（包括 BD以上抛物线部分
及 BD以下三角形 FHG部分），如图 3．小超同学剪下的这张筝形纸片 PMHN的对角线交点为 O，其中 P，
M，N三点落在坐标轴上， PM AB,PN AD．
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（3）小超同学剪下的这张筝形纸片PMHN面积至少为多少平方厘米？
【答案】（1）60，20；
1
（2 2） y x 24
6
（3）小超同学剪下的这张筝形纸片PMHN面积至少为1170平方厘米．
【解析】
【分析】（1）设 AC xcm，则 BD的长为 80 x cm，根据四边形 ABCD的面积为600cm2，建立方程，
并结合 AC BD，即可求解；
（2）先得出 AO 20cm,OC 40cm，结合“过距离 A，B，D三点分别为 4cm,2cm,2cm的 E，F，G三点
绘制抛物线”，得出 E 0,24 ,F 12,0 ,G 12,0 ，根据图象性质，设 y ax2 24，再运用待定系数法求
解，即可作答；
（3）求出OH 48cm，求出直线 AB的解析式为 y 2x 20，进一步求出 P 0,30 ，PH 78cm，直
线 PM 的解析式为 y 2x 30，令 2x 30 0，解得 x 15，得到MN 30cm，根据筝形纸片 PMHN
1
面积至少为 MN PH 即可求出答案．
2
【小问 1详解】
解：设 AC xcm，则 BD的长为 80 x cm，
1
由题意得 x 80 x 600，
2
解得 x1 20, x2 60，
∵ AC BD，
∴ AC 60cm,BD 20cm；
【小问 2详解】
解：∵ AO :OC 1: 2， AC 60cm，
∴ AO 20cm,OC 40cm，
∴ A 0,20 ,B 10，0 ,D 10，0 ．
∵过距离点 A，点 B，点 D三点分别为 4cm,2cm,2cm的 E，F，G三点绘制抛物线，
∴ E 0,24 ,F 12,0 ,G 12,0 ，
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设所求抛物线表达式为 y ax2 24，
把 F 12,0 代入 y ax2 24，得 0 144a 24，
1
解得 a ，
6
1
∴抛物线的函数表达式是 y x2 24；
6
【小问 3详解】
解：∵ FH∥ BC，
OB OC 10 40
∴ ，即 ，
OF OH 12 OH
∴OH 48cm，
设直线 AB的解析式为 y mx n，代入 A 0,20 ,B 10，0 ，
n 20
，
10m n 0
m 2
解得 ，
n 20
∴直线 AB的解析式为 y 2x 20，
∵ PM∥AB，
∴可知直线 PM 的解析式为 y 2x b，
∴ P 0,b ，
令 2x b 1 x2 24，
6
则 x2 12x 6b 144 0，
令Δ 122 4 1 6b 144 0，
解得b 30，
∴ P 0,30 ，
∴OP 30cm，直线PM 的解析式为 y 2x 30，
∴ PH OP OH 78 cm ，
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令 2x 30 0，解得 x 15，
∴M 15,0 ，
即MN 30cm，
1 2
即筝形纸片 PMHN面积至少为 MN PH 1170 cm ．
2
答：小超同学剪下的这张筝形纸片 PMHN面积至少为1170平方厘米．
20. 如图 1，在菱形 ABCD中，点E是对角线 BD上一点，点F 与点 B关于 AE对称，射线 AE分别与直
线DF、 BC分别交于点G、H ．
（1）如图 2，已知 ABC 90 ，点 F 恰好落在对角线 AC上时，
① G __________；
②若 AD 4，则 AE AG ___________；
（2）试猜想图 1中 G与 ABC有怎样的数量关系，并说明理由；
3
（3）如图 3，已知 cos ABC ，若点F 恰好落在菱形 ABCD的某条边所在的直线上（不与顶点重
5
EH
合），请直接写出此时 的值．
HG
【答案】（1）① 45 ；②16
1
（2） G ABC，理由见解析
2
1 25 5
（3） ， ，
4 96 4
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识，解题的关键是
第 23页/共 28页
利用轴对称和菱形的性质构造全等或相似三角形，建立线段与角的关系求解．
（1）①利用正方形的性质、轴对称性质，推导角的关系，得 G 45 ；
②构造相似三角形，利用相似三角形的性质得 AE AG AD2 ．
（2）通过轴对称和菱形的性质，证明 ABE≌ AFE ，结合等腰三角形性质和四边形内角和，推导
1
G ABC ．
2
EH
（3）分点 F 落在CD边和 BC边所在直线上两种情况，利用三角函数、相似三角形性质，分别求出 的
HG
值．
【小问 1详解】
解：① 四边形 ABCD是菱形， ABC 90 ，
四边形 ABCD是正方形，
AB AD， BAD 90 ， ABD ADB 45 ．
点 F 与点 B关于 AE对称，
AB AF， BAE FAE，
AF AD，
AFD ADF，
点 F 在 AC上， BAC DAC 45 ，
BAE CAE 22.5 ，
DAF 90 2 22.5 45 ，
AFD 180 45 67.5 ，
2
AFD G FAG， FAG 22.5 ，
G 67.5 22.5 45 ．
②连接DG，由①知 G 45 ， ADB 45 ，
ADB G，
又 DAE GAD，
ADE∽ AGD，
AD AE
，
AG AD
AE AG AD2．
AD 4，
第 24页/共 28页
AE AG 42 16．
【小问 2详解】
解：猜想： G 1 ABC ．
2
证明 四边形 ABCD是菱形，
AB AD 1， AD∥BC， ABD ADB ABC，2
点 F 与点 B关于 AE对称，
AB AF， BAE FAE，
AF AD，
AFD ADF．
设 BAE FAE ，则 BAF 2 ，
DAF BAD 2 180 ABC 2 ，

ADF 180 DAF 180 (180 ABC 2 ) 1 ABC ，
2 2 2
在△DAF 中， AFD G FAG ，且 DFA ADF ，
1
ABC G ，
2
1
整理得： G ABC ．
2
【小问 3详解】
解：分三种情况如下：
EH 1
情况 1：点 F 落在直线 BC上（对应 ），
HG 4
3
四边形 ABCD是菱形，设 AB AD 5， cos ABC ，
5
第 25页/共 28页
由轴对称性质， AB AF 5，
在△ABF中，作 AH BC于H ，则 BH AB cos ABC 3 ， AH 4，
BF 2BH 6 ，CF BF BC 1，
AD BC，
ADE∽ HBE， ADG∽ HFG ，
AD AE AD AG
由相似比可得： ， ，
BH EH HF HG
结合 BF BC CF 5 CF EH 1， FC 1，解得 ；
HG 4
EH 25
情况 2：点 F 落在直线CD上（对应 ）
HG 96
由轴对称性质，设 AB AF AD 5，
作 AP CD于 P，则DP AD cos ADC 3， AP 4，
DF 2DP 6，CF DF CD 1，
∵ AB CD
∴ G BAH FAG ，
FG FA 5 ，
AD BC，
ADE∽ HBE， DAG∽ CHG，
CH GH GC 5 1 6 , AE AD ，
AD AG GD 5 6 11 EH BH
CH 6 AD 30 ，
11 11
BH BC CH 5 30 25 ，
11 11
第 26页/共 28页
AE 5 11

EH 25

5 ,
11
EH 5 AH ，
16
GH 6
又 ，
AG 11
GH 6
，
AH 5
EH 5 5 GH 25 GH ，
16 6 96
EH 25
解得 ；
HG 96
情况 3：点 F 落在直线 AB上
由轴对称性质，设 AB AF 5， AE BF ， F 在 BA延长线上， AF 5，
BH 5 5 25
结合菱形边长 AD 5，可得 F 在 A点上方， AF 5， cos ABC 3 3 ，
5
延长 BH 交 FG于M ，
AD BC，
ADF∽ BMF， ADE∽ HBE， HMG∽ ADG，
BM FB AE AD HM GH
2, , ，
AD FA EH BH AD AG
BM 2AD 10,HM BM BH 5 ，
3
5 AE AD 5 3
GH 1
3 ， EH BH 25 5，
AG 5 3 3
EH 5 AH ,GH 1 AH ，
8 2
5
解得 = ，
4
第 27页/共 28页
EH 1 25 5
综上， 的值为 、 或 ．
HG 4 96 4
第 28页/共 28页

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