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2025-2026人教版八年级数学下期末复习基础训练篇
第二十三章------一次函数
一、 一次函数的概念与解析式（基础考点）
一次函数与正比例函数的定义
考点：识别一次函数 y=kx+b (k≠0)和正比例函数 y=kx (k≠0)，理解 k、b的几何意义（k为斜率，b为纵截距）。
关键：正比例函数是 b=0的特殊一次函数。
根据条件确定解析式
考点：根据文字描述、表格或简单情境，列出一次函数解析式。
二、 一次函数的图象与性质（高频核心考点）
图象的形状与画法
考点：知道一次函数图象是一条直线。掌握两点法（通常找与坐标轴的交点 (0, b)和 (-b/k, 0)）画草图。
系数 k、b对图象的影响
考点：根据 k、b的符号判断直线所经过的象限。
k决定增减性：k>0，y随x增大而增大（直线上升）；k<0，y随x增大而减小（直线下降）。
b决定与y轴交点：b>0，交于正半轴；b<0，交于负半轴；b=0，图象过原点。
口诀：“k定增减，b定上下”。
k值 k＞0 k＜0
b值 b=0 b＞0 b＜0 b=0 b＞0 b＜0
图象
象限 一、三 一、二、三 一、三、四 二、四 一、二、四 二、三、四
直线的平移
考点：理解“上加下减，左加右减”的平移规律。例如，直线 y=kx+b向上平移 m个单位得 y=kx+b+m。
三、 待定系数法求解析式（重点方法）
考点：给定两点坐标 (x , y )、(x , y )，或一点坐标及 k、b的值，利用待定系数法求一次函数解析式。
步骤：①设 y=kx+b；②代入坐标得方程组；③解方程组求 k、b；④写出解析式。
四、 一次函数与方程（组）、不等式的关系（核心综合考点）
与一元一次方程
考点：从函数角度看，解方程 kx+b=0就是求直线 y=kx+b与 x轴 交点 (x, 0)的横坐标。
与二元一次方程组
考点：从函数角度看，解方程组就是求两条直线 y=k x+b 与 y=k x+b 的 交点坐标。
与一元一次不等式
考点：解不等式 kx+b>0就是找直线 y=kx+b在 x轴上方 部分对应的 x 取值范围；kx+b<0则是找 x轴下方 部分。
五、 一次函数的实际应用（高频压轴考点）
行程、工程、分配等问题
考点：从文字、表格或图象中提取信息，建立一次函数模型 y=kx+b，并利用其性质解决问题。
方案选择与最值问题
考点：通常涉及两个或多个一次函数，通过比较函数值或求交点，确定在自变量不同取值范围内哪种方案更优（费用最低、利润最大等）。
图象信息题
考点：解读由折线、线段组成的 s-t（路程-时间）、v-t（速度-时间）或费用-数量等图象，回答关于速度、距离、时间、费用等相关问题。
六、 综合与拓展
一次函数与几何图形的结合
考点：与三角形、四边形、面积等结合。例如，求直线与坐标轴围成的三角形面积，或已知面积求解析式。
动态几何中的一次函数
考点：动点在线段上运动，导致相关线段长度、图形面积等成为一次函数，求解析式及定义域。
一次函数的概念
1．下列四个函数中是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于变量x，y的函数是正比例函数，则a的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
3．若函数是正比例函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数是一次函数．则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
一次函数的性质
5．一次函数 与 的图象位置关系是（ ）
A．重合 B．平行 C．相交 D．无法判断
6．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知一次函数的函数值随的增大而增大，则该函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知一次函数（k、b为常数，）的图象不经过第二象限，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．已知一次函数（k、b为常数，）的图像不经过第二象限，若点、在该一次函数的图像上，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10．已知点是一次函数图像上的两点，若，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．无法判断
3.一次函数的解析式
11．已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m的值是（ ）
x 0 2 3
y m 9
A．4 B．5 C． D．
12．将直线向下平移2个单位，所得直线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
13．将函数的图象沿轴对折，对折后的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
14．在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4.一次函数与方程、不等式的关系
15．已知一次函数（是常数），与的部分对应值如下表，则关于的方程的解是____________．
0 1 2
0 2 4 6
16．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是______．
17．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是______．
18．如图，直线与的交点坐标为，则关于的不等式的解集为______．
5.一次函数的实际运用
19．近年来光伏建筑一体化广受关注．朝阳社区拟修建，两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍．
(1)求甲种光伏板的单价是多少？
(2)若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案 哪种方案的费用最低 最低费用是多少元
20．扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
单价类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件）
甲种布料 60 100
乙种布料 40 70
(1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？
(2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？
21．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线所示．
(1)求线段的表达式；
(2)求乙的步行速度；
(3)求乙到达终点时，甲离终点还有多少米？
22．“兰陵大蒜”是山东知名特色农产品，也是国家地理标志产品．为推动乡村产业高质量发展，拓宽优质农产品销售渠道，某电商平台联合当地农民专业合作社开展助农专场促销活动，对兰陵大蒜实行分段计价销售：一次性购买大蒜不超过时，按原价销售；超过时，超过部分享受助农优惠价．如图为购买大蒜消费金额（元）与购买量之间的函数图象．
(1)①大蒜的原价为_________元；②求当时，与之间的函数关系式．
(2)某餐馆为储备食材，在活动期间一次性购买大蒜，求该餐馆比按原价购买节省多少元？
(3)某农产品经销商通过该活动采购大蒜，共支付270元，求该经销商本次采购大蒜多少千克？
6.一次函数的综合问题
23．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线关于y轴对称．
(1)求直线的表达式及C点坐标；
(2)将直线向右平移8个单位后与直线交于点D，E为直线上一动点，F为y轴上一动点，是否存在点E和点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形 若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
24．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线经过点，．点在该直线上（点不与点重合），其横坐标为，连接，以为邻边作．
(1)求该直线对应的函数关系式．
(2)当点在轴上时，的值为_____．
(3)当的面积为10时，求的值．
(4)当的面积被轴分成两部分时，直接写出的值．
25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点．
(1)求正比例函数与一次函数的解析式；
(2)点是轴上一点，且的面积是的面积的倍，求点的坐标；
(3)若点在第二象限，且是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．
26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，交一次函数的图象于点，点在一次函数的图象上，横坐标为，过点作轴的平行线交一次函数的图象于点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为点．
(1)求与的值；
(2)求四边形周长的最小值．
忽视一次函数定义中 k ≠ 0的条件
1．已知函数．
(1)当，为何值时，是的一次函数？
(2)当，为何值时，是的正比例函数？
2．已知关于的一次函数的图象如图所示．
(1)求的值；
(2)若，是图象上的两点，求，的值．
一次函数图像与性质理解错误
3．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
(1)求，的值；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出的取值范围．
4．已知关于的一次函数．
(1)若该一次函数的图象过，求一次函数表达式：
(2)当该一次函数的随的增大而减小，且图象经过第三象限时，求实数的取值范围．
一次函数与方程、不等式结合时，图像法运用错误
5．如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点．
(1)求b，m的值；
(2)结合图象可知关于x、y的方程组的解是______；
(3)直线：与直线：与x轴组成的图形面积．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点．
(1)求m和k的值．
(2)结合图象，直接写出关于x的不等式的解集．
(3)若点在直线上，连接，求的面积．
实际问题中，忽略自变量的实际取值范围
7．2026年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限活力和广阔未来，点燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传递了中国科技自立自强的最强声音．某公司计划采购甲、乙两种机器人，已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花费1200万元购进甲种机器人的数量是花费650万元购进乙种机器人数量的2倍．
(1)求甲种机器人和乙种机器人的单价分别是多少万元？
(2)该公司计划购进甲，乙两种机器人共40台，且甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的2倍，该公司购进甲种机器人多少台时花费最少？最少费用是多少万元？
8．我市某商场计划购进甲、乙两种商品共80件，其进价、售价如表所示：
进价（元/件） 售价（元/件）
甲种商品 25 30
乙种商品 35 45
设甲种商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若该商场计划最多投入2300元，则最大利润是多少元？
2025-2026人教版八年级数学下期末复习基础训练篇
第二十三章------一次函数（解析版）
一、 一次函数的概念与解析式（基础考点）
一次函数与正比例函数的定义
考点：识别一次函数 y=kx+b (k≠0)和正比例函数 y=kx (k≠0)，理解 k、b的几何意义（k为斜率，b为纵截距）。
关键：正比例函数是 b=0的特殊一次函数。
根据条件确定解析式
考点：根据文字描述、表格或简单情境，列出一次函数解析式。
二、 一次函数的图象与性质（高频核心考点）
图象的形状与画法
考点：知道一次函数图象是一条直线。掌握两点法（通常找与坐标轴的交点 (0, b)和 (-b/k, 0)）画草图。
系数 k、b对图象的影响
考点：根据 k、b的符号判断直线所经过的象限。
k决定增减性：k>0，y随x增大而增大（直线上升）；k<0，y随x增大而减小（直线下降）。
b决定与y轴交点：b>0，交于正半轴；b<0，交于负半轴；b=0，图象过原点。
口诀：“k定增减，b定上下”。
k值 k＞0 k＜0
b值 b=0 b＞0 b＜0 b=0 b＞0 b＜0
图象
象限 一、三 一、二、三 一、三、四 二、四 一、二、四 二、三、四
直线的平移
考点：理解“上加下减，左加右减”的平移规律。例如，直线 y=kx+b向上平移 m个单位得 y=kx+b+m。
三、 待定系数法求解析式（重点方法）
考点：给定两点坐标 (x , y )、(x , y )，或一点坐标及 k、b的值，利用待定系数法求一次函数解析式。
步骤：①设 y=kx+b；②代入坐标得方程组；③解方程组求 k、b；④写出解析式。
四、 一次函数与方程（组）、不等式的关系（核心综合考点）
与一元一次方程
考点：从函数角度看，解方程 kx+b=0就是求直线 y=kx+b与 x轴 交点 (x, 0)的横坐标。
与二元一次方程组
考点：从函数角度看，解方程组就是求两条直线 y=k x+b 与 y=k x+b 的 交点坐标。
与一元一次不等式
考点：解不等式 kx+b>0就是找直线 y=kx+b在 x轴上方 部分对应的 x 取值范围；kx+b<0则是找 x轴下方 部分。
五、 一次函数的实际应用（高频压轴考点）
行程、工程、分配等问题
考点：从文字、表格或图象中提取信息，建立一次函数模型 y=kx+b，并利用其性质解决问题。
方案选择与最值问题
考点：通常涉及两个或多个一次函数，通过比较函数值或求交点，确定在自变量不同取值范围内哪种方案更优（费用最低、利润最大等）。
图象信息题
考点：解读由折线、线段组成的 s-t（路程-时间）、v-t（速度-时间）或费用-数量等图象，回答关于速度、距离、时间、费用等相关问题。
六、 综合与拓展
一次函数与几何图形的结合
考点：与三角形、四边形、面积等结合。例如，求直线与坐标轴围成的三角形面积，或已知面积求解析式。
动态几何中的一次函数
考点：动点在线段上运动，导致相关线段长度、图形面积等成为一次函数，求解析式及定义域。
一次函数的概念
1．下列四个函数中是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：一次函数的定义为：形如（，为常数，且）的函数叫做一次函数，
选项A中，自变量的次数为，不符合一次函数定义；
选项B中，符合的形式，其中，，满足一次函数定义；
选项C中不是整式函数，不符合一次函数定义；
选项D中不是整式函数，不符合一次函数定义
2．若关于变量x，y的函数是正比例函数，则a的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【分析】根据正比例函数的定义得到常数项为0，列方程求解即可得到a的值
【详解】解：∵函数是正比例函数
∴函数的常数项满足
解得
3．若函数是正比例函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正比例函数的定义，列出关于的方程和不等式，求解并排除使一次项系数为的情况，得到的值．
【详解】解：∵函数是正比例函数，
∴常数项，且一次项系数．
由，得
∴，
由，得
∴．
4．已知函数是一次函数．则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】一次函数需满足两个条件：自变量的次数为，且的系数不为，据此列方程计算即可得到的值．
【详解】解：∵函数是一次函数，
∴，
解，得或，即或，
∵，即，
∴．
一次函数的性质
5．一次函数 与 的图象位置关系是（ ）
A．重合 B．平行 C．相交 D．无法判断
【答案】B
【详解】解：两个函数的一次项系数均为，即相等，常数项分别为和，常数项不相等，
两图象位置关系为平行．
6．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：∵中
∴函数经过第一，三象限，故C选项不符合题意；
当时，
∴函数经过第二，四象限，函数经过第一，二，三象限，故A选项符合题意；B选项不符合题意；
当时，
∴函数经过第一，三象限，函数经过第一，三，四象限，故D选项不符合题意．
7．已知一次函数的函数值随的增大而增大，则该函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数表达式中的值、值进行判断函数图象的大致趋势．
【详解】解：∵随的增大而增大，
∴函数图象呈上升趋势，
又∵当时，，
即函数与轴交点位于轴负半轴，
故选项A满足函数图象．
8．已知一次函数（k、b为常数，）的图象不经过第二象限，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】先根据已知一次函数的位置，结合判断和的符号，再利用一次函数的性质判断目标一次函数经过的象限，即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数（、为常数，）的图象不经过第二象限，
∴，，
∴的图象经过第二、三、四象限，
∴的图象不经过第一象限．
9．已知一次函数（k、b为常数，）的图像不经过第二象限，若点、在该一次函数的图像上，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据一次函数图像的位置判断的符号，再利用一次函数的增减性比较与的大小即可．
【详解】解：∵一次函数（）的图像不经过第二象限，
∴，，
∴该一次函数的函数值随的增大而增大，
∵点、在该函数图像上，且
∴．
10．已知点是一次函数图像上的两点，若，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．无法判断
【答案】B
【分析】先判断一次函数的增减性，再根据一次函数的增减性求解即可．
【详解】解：∵一次函数解析式为，
∴该一次函数y随x的增大而减小，
∵，
∴．
3.一次函数的解析式
11．已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m的值是（ ）
x 0 2 3
y m 9
A．4 B．5 C． D．
【答案】B
【分析】利用已知的x与y的对应值求出一次函数解析式，再将代入解析式即可求出m的值．
【详解】解：设该一次函数解析式为，
由表可知，当时，，可得，
将代入解析式得，
解得，
因此该一次函数解析式为，
将代入解析式得，
即．
12．将直线向下平移2个单位，所得直线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数图象的平移口诀“上加下减，左加右减”求解即可．
【详解】解：直线解析式为，向下平移个单位，
平移后所得直线的表达式为，A选项符合题意．
13．将函数的图象沿轴对折，对折后的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，轴对称的性质．函数图象沿x轴对折即关于x轴对称，纵坐标变为相反数．
【详解】解：∵原函数为，对折后点变为，
∴，
即
故选：D
14．在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据轴对称的性质得出k，b的值，然后进行解答即可．
【详解】解：∵直线与直线关于轴对称，
∴
∴一次函数即，的图象不经过第二象限，
故选：B．
4.一次函数与方程、不等式的关系
15．已知一次函数（是常数），与的部分对应值如下表，则关于的方程的解是____________．
0 1 2
0 2 4 6
【答案】
【分析】方程的解为一次函数中时对应的的值，只需从表格中查找对应数据即可求解．
【详解】解：观察表格可知，当时，对应的的值为，
即当时，成立，
因此方程的解是．
16．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是______．
【答案】
【分析】根据函数图象找到正比例函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：观察图象可知，当时，直线的图象在直线的图象上方，
关于的不等式的解集是．
17．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是______．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解．
【详解】解：一次函数和的图象相交于点，
的解为，
故答案为：．
18．如图，直线与的交点坐标为，则关于的不等式的解集为______．
【答案】
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系．根据图象可以看出当时，直线在直线的上方，即可得到答案．
【详解】解：∵两条直线交点坐标为，
由图象可知，当时，直线在直线的上方，满足，
∴不等式的解集为．
5.一次函数的实际运用
19．近年来光伏建筑一体化广受关注．朝阳社区拟修建，两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍．
(1)求甲种光伏板的单价是多少？
(2)若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案 哪种方案的费用最低 最低费用是多少元
【答案】(1)甲种光伏板的单价为700元
(2)一共有11种购买方案，购买甲种光伏板为180块，乙种光伏板为400块总费用最低，最低费用为486000元
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，分式方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式．
（1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍，列出方程，解方程即可；
（2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，列出不等式，解不等式组得出，设总费用为w元，根据题意得出，根据一次函数的性质，得出答案即可．
【详解】（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，
由题意得，
解得：，
经检验，为原方程的根，
甲种光伏板的单价为700元．
（2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，
由题意得：，
解得，
为正整数，
满足条件的有11种取值，所以一共有11种购买方案，
设总费用为w元，
则，
，
∴w随的增大而增大.
越小，总费用越低，
当时，总费用最低，
即购买甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为400块总费用最低，
最低费用为元．
20．扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
单价类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件）
甲种布料 60 100
乙种布料 40 70
(1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？
(2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)甲种布料25件，乙种布料55件
(2)第二次应购进甲种布料60件、乙种布料40件时， 利润最大， 最大利润为3600元
【分析】（1）分别设该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料的件数分别为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）根据题意，列关于m的一元一次不等式并求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时W值最大，求出其最大值和此时的值即可．
本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键．
【详解】（1）解： 设第一次购进甲种布料件，乙种布料件，则：
，
解得：
∴第一次购进甲种布料 25 件，乙种布料 55 件．
（2）解： 设第二次购进甲种布料件，则乙种布料为件，则根据题意得：
解得：
∴的取值范围为（且为整数）．
设第二次全部售完后获得的利润为W元，则：
∵
∴W 随 m 的增大而增大，
∴ 当时，元，
此时乙种布料为件．
∴第二次应购进甲种布料60件、乙种布料40件时，利润最大， 最大利润为3600元．
21．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线所示．
(1)求线段的表达式；
(2)求乙的步行速度；
(3)求乙到达终点时，甲离终点还有多少米？
【答案】(1)
(2)80米/分
(3)510米
【分析】（1）运用待定系数法即可解答；
（2）首先求出甲的速度，然后求出相遇时行走的路程，然后求解即可；
（3）求出与终点的距离，分别计算出相遇后，到达终点甲和乙所用的时间，二者的时间差即可所求答案．
【详解】（1）解：根据题意得：点，，
设线段的表达式的解析式为，
代入得：，
解得：，
∴线段的表达式为；
（2）解：甲的速度为（米/分），
相遇时行走的路程为（米），
∵甲先出发4分钟，
∴相遇时乙行走的时间为（分）
∴乙的步行速度为（米/分），
（3）解：由（2）得：相遇时行走的路程960米，
∴与终点的距离为米，
相遇后，到达终点甲所用的时间为：分，
相遇后，到达终点乙所用的时间为：分，
∴乙比甲早分钟到达终点，
∴乙到达终点时，甲离终点还有米．
22．“兰陵大蒜”是山东知名特色农产品，也是国家地理标志产品．为推动乡村产业高质量发展，拓宽优质农产品销售渠道，某电商平台联合当地农民专业合作社开展助农专场促销活动，对兰陵大蒜实行分段计价销售：一次性购买大蒜不超过时，按原价销售；超过时，超过部分享受助农优惠价．如图为购买大蒜消费金额（元）与购买量之间的函数图象．
(1)①大蒜的原价为_________元；②求当时，与之间的函数关系式．
(2)某餐馆为储备食材，在活动期间一次性购买大蒜，求该餐馆比按原价购买节省多少元？
(3)某农产品经销商通过该活动采购大蒜，共支付270元，求该经销商本次采购大蒜多少千克？
【答案】(1)18；
(2)节省30元
(3)该经销商本次采购大蒜
【分析】（1）①根据图象可得答案；②根据图象，当时，与之间满足一次函数关系，利用待定系数法求解即可；
（2）先分别求出原价花费和实际花费，再比较大小即可得答案；
（3）将代入求得x值即可．
【详解】（1）解：①根据图象，当时，，
∴原价为（元）；
②根据图象，当时，与之间满足一次函数关系，
设时，与之间的函数关系式为，
将，代入，得，解得，
与之间的函数关系式为；
（2）解：当时，原价花费：（元）；
实际花费：（元）；
∴（元），
答：该餐馆比按原价购买节省30元；
（3）解：，
当时，由解得．
答：该经销商本次采购大蒜．
6.一次函数的综合问题
23．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线关于y轴对称．
(1)求直线的表达式及C点坐标；
(2)将直线向右平移8个单位后与直线交于点D，E为直线上一动点，F为y轴上一动点，是否存在点E和点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形 若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）根据对称可得，设直线的解析式为：，代入即可求解；
（2）根据题意得平移后解析式为：；再得点，即可求得直线解析式为：，根据A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形可得，即可求解.
【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴，，
∵直线与直线关于y轴对称，
∴点与点A关于y轴对称，
∴，
∵直线过点与点B，设直线的解析式为：，
∴，解得，
∴直线的解析式为：；
（2）解：存在
∵直线向右平移8个单位后与直线交于点D，
∴平移后解析式为：，
∵平移后的解析式与直线交于点D，
∴，解得，
∴点，
设直线解析式为：，
∴，解得，
∴直线解析式为：，
∵以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形，E为直线上一动点，F为y轴上一动点，
∴，
设，则，
∴，解得：，
∴或.
24．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线经过点，．点在该直线上（点不与点重合），其横坐标为，连接，以为邻边作．
(1)求该直线对应的函数关系式．
(2)当点在轴上时，的值为_____．
(3)当的面积为10时，求的值．
(4)当的面积被轴分成两部分时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)或
【分析】（1）利用待定系数法即可求解．
（2）根据平行四边形的性质和中点坐标公式，求出点的横坐标，代入解析式进行求解即可．
（3）根据，代入，可得，结合点在直线上，横坐标为，即可求解或．
（4）设交轴于点，当时，设与轴交于点，当时，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：把点，代入，
得：，解得：，
∴该直线对应的函数关系式．
（2）解：∵以为邻边作，
∴，分别为平行四边形的对角线，
∵，，点在轴上，点的横坐标为，
∴点的横坐标为，
∵，的中点相同，
∴，
∴．
（3）解：∵以为邻边作，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在直线上，横坐标为
∴当时，；
当时，；
故或．
（4）∵点在直线上，横坐标为，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴轴，即轴，
∵的面积被轴分成两部分时，
设交轴于点，如图：
当时，则：，
∴，即：，
∴；
②设与轴交于点，如图：
当时，则：，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
故可设直线的解析式为：，
把代入上式，得：，
把代入上式，得：，即，
∴，
∴；
综上：或．
25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点．
(1)求正比例函数与一次函数的解析式；
(2)点是轴上一点，且的面积是的面积的倍，求点的坐标；
(3)若点在第二象限，且是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)正比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
(2)或
(3)或
【分析】（）利用待定系数法解答即可；
（）由一次函数解析式得，即得，设点，则，，可得，进而得到，解方程求出的值即可求解；
（）分和两种情况，分别画出图形，利用全等三角形的判定和性质解答即可求解．
【详解】（1）解：把点代入正比例函数，得，
∴，
∴正比例函数的解析式为，
把和代入一次函数，
得，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：把代入，得，
∴，
∴，
∴，
设点，则，，
∴，
∵的面积是的面积的倍，
∴，
解得或，
∴点的坐标为或；
（3）解：当时，如图，过点作轴于点，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
当时，如图，过点作轴于点，则，
同理可证，
∴，，
∴，
∴；
综上，点的坐标为或．
26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，交一次函数的图象于点，点在一次函数的图象上，横坐标为，过点作轴的平行线交一次函数的图象于点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为点．
(1)求与的值；
(2)求四边形周长的最小值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，接着求出点的坐标，代入中求出即可；
（2）设，表示出点坐标，求出，，表示出四边形的周长，再根据的取值范围计算即可；
【详解】（1）解：一次函数的图象经过点，，
，
，
，
点在一次函数的图象上，
，
，
把点代入中，
，
．
（2）由（1）可得：，
轴，轴，轴，点在上，点在上，
设，
点的纵坐标为，横坐标为，
，
，，
，
，
当时，四边形的周长最小，
四边形的最小周长为．
忽视一次函数定义中 k ≠ 0的条件
1．已知函数．
(1)当，为何值时，是的一次函数？
(2)当，为何值时，是的正比例函数？
【答案】(1)，为任意实数时，是的一次函数；
(2)当，时，是的正比例函数
【分析】本题根据一次函数和正比例函数的定义求解． 先根据一次函数“的次数为1且的系数不为0”的要求列出条件，求解得到的值，无限制；再根据正比例函数的定义，在一次函数条件的基础上增加常数项为0的条件，求解得到的值即可．
【详解】（1）解：若是的一次函数，需满足
由得，
解得或
由得
因此，此时可以为任意实数
即当，为任意实数时，是的一次函数．
（2）解：若是的正比例函数，需满足
解得
即当，时，是的正比例函数．
2．已知关于的一次函数的图象如图所示．
(1)求的值；
(2)若，是图象上的两点，求，的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查一次函数的定义及函数图象上点的特征，解题关键是熟练掌握一次函数的定义，掌握点坐标与方程的关系．
（1）根据一次函数的定义得，一次函数的图象过第一、三、四象限得，进而求解．
（2）将点，代入一次函数解析式求解．
【详解】（1）解：∵关于的一次函数的图象过第一、三、四象限．
∴，
解得，
∴的值为；
（2）解：由（1）可得一次函数表达式为，
∵，是图象上的两点，
∴，，
∴，．
一次函数图像与性质理解错误
3．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
(1)求，的值；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）通过待定系数法将，代入解析式求解；
（2）解含参不等式．
【详解】（1）解：将，代入，得
，解得．
（2）解：由（1）得，，
依题意得，，解得，
∴，解得．
4．已知关于的一次函数．
(1)若该一次函数的图象过，求一次函数表达式：
(2)当该一次函数的随的增大而减小，且图象经过第三象限时，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）理解题意，直接把代入计算，即可作答．
（2）结合一次函数的性质以及一次函数的随的增大而减小，且图象经过第三象限，列出不等式组，再解得，即可作答．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象过，
∴，
∴，
解得．
∴．
（2）解：∵该一次函数的随的增大而减小，且图象经过第三象限，
∴，
∴．
一次函数与方程、不等式结合时，图像法运用错误
5．如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点．
(1)求b，m的值；
(2)结合图象可知关于x、y的方程组的解是______；
(3)直线：与直线：与x轴组成的图形面积．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）把点代入，求出b的值，即可求出，把点代入即可求出m的值．
（2）根据两直线的交点即可得出方程组的解．
（3）分别求出点A，B的坐标，进而根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：把点代入，
得，
∴，
把点代入，得，
∴；
（2）解：∵直线：与直线：相交于点，
∴关于x、y的方程组的解是．
（3）解：在直线：中，令，则，解得，
∴，
直线：中，令，则，解得，
∴，
∴，
∴．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点．
(1)求m和k的值．
(2)结合图象，直接写出关于x的不等式的解集．
(3)若点在直线上，连接，求的面积．
【答案】(1)，
(2)
(3)4
【分析】（1）把代入解析式，求出的值，把点的坐标代入求出的值即可；
（2）根据函数图象求出不等式的解集即可；
（3）设直线于轴的交点为，先求出点与点的坐标，然后根据三角形面积公式，求结果即可.
【详解】（1）解：将代入，得：
，
，
将代入，得：
，
解得：．
（2）解：根据函数图象可知，
当时，直线在直线的下方，
不等式的解集为：．
（3）解：由（1）得，
直线的解析式为：，
当时，，则，
当时，，则直线与轴交点为，如图，
．
【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数图象的交点问题，求一次函数解析式，根据直线的交点求出不等式的解集，解题的关键是数形结合，求出两条直线的交点坐标．
实际问题中，忽略自变量的实际取值范围
7．2026年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限活力和广阔未来，点燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传递了中国科技自立自强的最强声音．某公司计划采购甲、乙两种机器人，已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花费1200万元购进甲种机器人的数量是花费650万元购进乙种机器人数量的2倍．
(1)求甲种机器人和乙种机器人的单价分别是多少万元？
(2)该公司计划购进甲，乙两种机器人共40台，且甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的2倍，该公司购进甲种机器人多少台时花费最少？最少费用是多少万元？
【答案】(1)一台甲种机器人需60万元，一台乙种机器人需65万元
(2)购进26台甲种机器人花费最少，最少费用是2470万元
【分析】（1）设购买一个乙种机器人需万元，则购买一台甲种机器人需万元，根据“花费1200万元购进甲种机器人的数量是花费650万元购进乙种机器人数量的2倍”列分式方程求解即可；
（2）设该公司购进甲种机器人台，总花费为万元，先求出a的取值范围，再求出的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可．
【详解】（1）解：设购买一个乙种机器人需万元，则购买一台甲种机器人需万元，
根据题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：购买一台甲种机器人需60万元，一台乙种机器人需65万元；
（2）解：设该公司购进甲种机器人台，总花费为万元，
根据题意，得：，
解得，，
，
，
随的增大而减小，
∵，a为整数，
当时，取得最小值，
此时（万元），
答：购进26台甲种机器人花费最少，最少费用是2470万元．
8．我市某商场计划购进甲、乙两种商品共80件，其进价、售价如表所示：
进价（元/件） 售价（元/件）
甲种商品 25 30
乙种商品 35 45
设甲种商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若该商场计划最多投入2300元，则最大利润是多少元？
【答案】(1)( 且 为整数 )
(2)550元
【分析】（1）根据总利润甲种商品利润乙种商品利润即可解决问题；
（2）列出不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性解决最大值问题．
【详解】（1）解：与的函数关系式为且为整数；
（2）解：∵该商场计划最多投入2300元，
∴，
解得，
∴且为整数，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，最大为（元），
∴售完这些商品，商场可获得的最大利润是元．
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