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湖南省邵阳市武冈市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共计30分．每小题只有一个正确答案）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图所示的象棋盘上，若“士”的坐标是，“相”的坐标是，则“炮”的坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．满足下列条件的，不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列说法中正确的是（　　）
A．两条对角线垂直的四边形是菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
5．小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了如下的频数分布表：
通话时间 x/min 0频数 (通话次数) 20 16 9 5
则通话时间不超过15 min的频率为(　　)
A．0.1 B．0.4 C．0.5 D．0.9
6．若函数的图象过，则关于此函数的叙述不正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大 B．
C．函数图象经过原点 D．函数图象过二、四象限
7．已知点P（2a+1，1-a）在第一象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(　　)
A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF
9．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E．已知AB＝2，△DOE的面积为，则AE的长为（　　）
A． B．2 C．1.5 D．
10．如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长AB至点E，使得BE=1，EF⊥AE，EF=AE，分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共计24分）
11．如果一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形是　 　边形．
12．在Rt△ABC中，∠A=30 ，∠B=90 ，AC=10，则BC=　 　
13．已知点P（x，y）在第四象限，且到y轴的距离为3，到x轴的距离为5，则点P的坐标是　 　．
14．已知为整数，且一次函数的图象不经过第二象限，则的值为　 　．
15．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　 　．
16．如图，菱形中，、分别是、的中点，若，则菱形的周长为　 　．
17．如图，在中，，，的平分线交于点，，分别是线段和上的动点，则的最小值是　 　．
18．如图，正方形的边长为，，是对角线．将绕着点顺时针旋转得到，交于点，连接交于点，连接，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确的结论是　 　．
三、解答题（本题共8个小题，共计66分）
19．如图，在和中，，，与相交于点O．
（1）求证：；
（2）是何种三角形？证明你的结论．
20．已知函数y＝(2m＋1)x＋m－3.
（1）若函数图象经过原点，求m的值；
（2）若函数的图象平行于直线y＝3x－3，求m的值；
（3）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
21．如图，在中，于点，于点，连接，．求证：．
22．如图所示，在平面直角坐标系中，点A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 ；
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝x的图象与一次函数y＝kx－k的图象的交点坐标为A(m，2)．
(1)求m的值和一次函数的解析式；
(2)设一次函数y＝kx－k的图象与y轴交于点B，求△AOB的面积；
(3)直接写出使函数y＝kx－k的值大于函数y＝x的值的自变量x的取值范围．
24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF=BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AC=4，∠ABC=60°，求矩形AEFD的面积．
25．如图，在矩形中，cm，cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形是矩形；
（2）当t为何值时，四边形是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形的周长和面积．
26．【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
【探究展示】
(1)证明：AM=AD+MC；
(2)AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示(1)、(2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，故A项符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故B项不符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故C项不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故D项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，找到轴对称图形中的对称轴和中心对称图形的对称中心，逐一判断即可．
2．【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：根据“士”和“相”的坐标，可建立如下图所示的平面直角坐标系：
∴“炮”的坐标为，
故选：B．
【分析】根据“士”和“相”的坐标可建立合适的平面直角坐标系，即可得到“炮”的坐标．
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、由得，符合勾股定理的逆定理，故A项不符合题意；
B、由，可知，故B项符合题意；
C、由得，故C项不符合题意；
D、由得符合勾股定理的逆定理，故D项不符合题意.
故选：B．
【分析】根据直角三角形的判定：勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，逐一判断即可求得.
4．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】A、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，故A不符合题意；B、对角线垂直、平分且相等的四边形是正方形，故B不符合题意；C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故C不符合题意；只有D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据菱形，正方形，矩形的判定定理即可得出答案。
5．【答案】D
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：∵不超过15分钟的通话次数为20+16+9=45次，通话总次数为20+16+9+5=50次，
∴通话时间不超过15min的频率为 =0.9，
故答案为：D.
【分析】用不超过15分钟的通话时间除以所有的通话时间即可求得通话时间不超过15分钟的频率.
6．【答案】A
【知识点】正比例函数的图象；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：将（2，-3）代入中得，2k=-3，解得，，
∴一次函数的解析式为：.
A：根据解析式可得y随x的增大而减小，故A选项错误，符合题意；
B：，故B选项正确，不符合题意；
C：为正比例函数，图像经过原点，故C选项正确，不符合题意；
D：根据解析式可得函数图象经过二、四象限，故D选项正确，不符合题意；
故选：A.
【分析】将（2，-3）代入一次函数解析式中，求出一次函数解析式，根据一次函数图象与性质即可求得．
7．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：根据题意，得：，
解不等式①，得：a＞-，
解不等式②，得：a＜1，
∴该不等式组的解集为：-＜a＜1，
故选C．
【分析】
根据点在平面直角坐标系中的所处位置，列出关于a的不等式组，再求解这个不等式组得到a的取值范围，就可以对对应结论做出判断.
8．【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：∵EF垂直平分BC，
∴BE=EC，BF=CF；
∵BF=BE，
∴BE=EC=CF=BF；
∴四边形BECF是菱形．
当BC=AC时，∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠EBC=45°；
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°．
∴菱形BECF是正方形．
故选项A不符合题意．
当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B不符合题意．
当BD=DF时，BC=EF，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C不符合题意．
当AC=BD时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D符合题意．
故选D．
【分析】
先利用已知条件证明四边形BECF为菱形，再结合正方形的判定定理（有一个角是直角的菱形是正方形、对角线相等的菱形是正方形）逐一分析选项.
9．【答案】C
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；数形结合
【解析】【解答】连接BE，如图所示：
由题意可得，OE为对角线BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，S△BOE＝S△DOE＝，
∴S△BDE＝2S△BOE＝．
∴DE AB＝，
又∵AB＝2，
∴DE＝，
∴BE＝
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝．
故选C．
【分析】
先连接BE，根据题意可知，OE是对角线BD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可以得到BE=DE，同时可得，利用三角形面积公式可以算出DE的长度，也就得到了BE的长度，最后借助勾股定理即可求出最终答案.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】连接AC，延长CB，过点F作CH⊥CB于点H，则根据题意可得：FH=1，CH=2+3=5，
根据勾股定理可得：CF=，
根据正方形的性质可得：∠CAB=45°，则∠CAF=90°，即△CAF为直角三角形，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：AM=.
故选D
【分析】
连接AC，通过角度计算证明为直角三角形，进而利用勾股定理求出斜边CF的长，最后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出AM的长.
11．【答案】八
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设该多边形的边数为，
这个多边形的内角和为，
多边形的内角和是它的外角和的3倍，
，解得，
故答案为：八．
【分析】
先设出这个多边形的边数为，再结合题目给出的数量关系列方程求解即可.
12．【答案】5
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠A=30 ° ，∠B=90 ° ，AC=10，
∴BC= AC= ×10 =5.
故答案为：5
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出BC的长即可。
13．【答案】（3，﹣5）
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点P（x，y）在第四象限，且到y轴的距离为3，
∴点P的横坐标是3；
∵点P到x轴的距离为5，
∴点P的纵坐标是﹣5，
∴点P的坐标（3，﹣5）；
故答案为（3，﹣5）．
【分析】先根据点P（x，y）在第四象限，可知P点的横坐标大于0，纵坐标小于0，再根据到坐标轴的距离，即可求得P的坐标.
14．【答案】或
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象不过第二象限，
∴，
解得：，而m是整数，
则或．
故答案为：或．
【分析】
已知一次函数的图象不经过第二象限，根据上述结论列出关于m的不等式组，解不等式组就能得到m的取值.
15．【答案】（﹣5，4）
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：由题知A（3，0），B（-2，0），D在y轴上，∴AB=3-（-2）=5，OA=3，BO=2
由菱形邻边相等可得AD=AB=5在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD==4
由菱形对边相等且平行得CD=BA=5，所以C（-5，4）．
故答案为：（﹣5，4）．
【分析】先根据已知的点A和点B的坐标，计算出线段AB的长度；结合菱形四条边相等的性质，可得AD=CD=AB，据此即可推导出点C的横坐标；在中，利用勾股定理计算出OD的长度，再结合已经得到的点C的横坐标，就能确定点C的坐标。
16．【答案】
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵、分别是、的中点，，
∴
∴菱形的周长为，
故答案为：．
【分析】
先根据三角形中位线的性质得到，再结合菱形四条边长度相等的性质，即可算出最终结果.
17．【答案】
【知识点】三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：作交于点，交于点，连接交于点，作与点，
平分，
，
在和中，
，
（），
，
在和中，
，
（），
，
，
当B、E、G三点共线且与重合时，最短，
即的最小值为的长，
，，
，
即的最小值是
故答案为：．
【分析】
过点作，该线交于点，交于点；再连接，交于点，过点作。首先可证明，结合垂线条件可推出，由此得到对应边相等，即。再进一步可以证明，从而得到。对线段等量代换后，可得。根据垂线段最短的性质，当与垂线段重合时，的长度取得最小值，由此即可计算求出最终结果.
18．【答案】①②③
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；菱形的判定；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∵是由旋转得到，
∴，，
在和中，
∴，故②正确，
∴，，
∴，
∴，同理，
∴，
∴四边形是菱形，故①正确，
∵，故③正确．
∵，，
∴，
∴，
∴，故④错误．
故答案为：①②③．
【分析】先根据HL证明，再求出的度数，推出，由此可以一 一判断．
19．【答案】（1）证明：∵，
∴在和中，
，
∴
（2）解：是等腰三角形，理由如下，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得出，再根据等角对等边，即可求得．
（1）证明：∵，
∴在和中，
，
∴；
（2）解：是等腰三角形，理由如下，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
20．【答案】解：（1）由题意得，，解得：；
（2）由题意得，，解得：；
（3）由题意得，，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据题意将原点坐标（0，0）代入函数关系式，进而即可求解；
（2）根据两个一次函数的平行问题即可得到两个函数的系数一致，进而即可求解；
（3）根据一次函数的性质与系数的关系得到其系数小于0，进而即可求解。
21．【答案】证明：∵AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBF，
又∵平行四边形ABCD中，AD=BC，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF，∠AED=∠CFB，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】
首先利用角边角（ASA）判定定理，可以证明，由此可推得AE=CF，且AECF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可判定四边形AECF是平行四边形，最后根据平行四边形对边相等的性质，可得AF=CE.
22．【答案】（1）解：△ABC如图所示， △ABC的面积是 4
（2）（ 4，3）；
（3）解：∵P为x轴上一点，△ABP的面积为4，
∴，
∴BP＝8，
∴点P的横坐标为：2＋8＝10或2 8＝－6，
故点P坐标为：（10，0）或（－6，0）．
【知识点】三角形的面积；关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）△ABC如图所示，S△ABC=3×4 ×1×2 ×2×4 ×2×3＝4，
故答案为：4；
（2）解：∵点D与点C（4，3）关于y轴对称，
∴点D的坐标为：（ 4，3）；
故答案为：（ 4，3）；
【分析】（1）根据点的坐标，描点、连线即可得到△ABC，直接利用“割补法”用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
（2）根据关于y轴对称的点的性质得出答案；
（3）根据三角形的面积求出BP的长度，再分情况讨论可得点P的坐标．
23．【答案】解：（1）把A（m，2）代入y=x得m=2，则点A的坐标为（2，2），
把A（2，2）代入y=kx﹣k得2k﹣k=2，解得k=2，
∴ 一次函数解析式为y=2x﹣2；
（2）把x=0代入y=2x﹣2得y=﹣2，则B点坐标为（0，﹣2），
所以S△AOB=×2×2=2；
（3）自变量x的取值范围是x＞2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）先将A（m，2）代入 y＝x 可得m=2，然后把A（2，2）代入y=kx﹣k计算出k的值，即可求得一次函数解析式为y=2x﹣2；
（2）先确定B点坐标，再根据三角形面积公式直接计算即可；
（3）观察函数图象得到当x＞2时，直线y=kx﹣k都在y=x的上方，即函数y=kx﹣k的值大于函数y=x的值.
24．【答案】（1）证明： ∵ 菱形ABCD∴AD∥BC ， AD=BC
∵CF=BE
∴BC=EF
∴AD∥EF，AD=EF
∴四边形AEFD是平行四边形
∵AE⊥BC
∴∠AEF=90°
∴平行四边形AEFD是矩形
（2）根据题意可知∠ABE=∠DCF，AB=CD，CF=BE
∴△ABE≌△DCF (SAS)
∴矩形AEFD的面积=菱形ABCD的面积
∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形
AC=4，AO=2，AB=4，由菱形的对角线互相垂直可得BO=
矩形AEFD的面积=菱形ABCD的面积=
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定-SAS；多边形的面积
【解析】【分析】（1）要证明四边形是矩形，先利用菱形的性质得到AD与BC的关系，再结合已知条件推出AD与EF的关系，从而证明四边形AEFD是平行四边形，最后根据AE⊥BC得出有一个角是直角，进而证明它是矩形；
（2）根据菱形的性质和∠ABC = 60°证明△ABC是等边三角形，求出BE的长度，再在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长度，最后根据矩形面积公式求出矩形AEFD的面积。
25．【答案】（1）解： ∵在矩形中，，
∴，
由已知可得，，
在矩形中，，
当时，四边形为矩形，
∴，得，
故当时，四边形为矩形；

（2）解：∵，
∴四边形为平行四边形，
∴当，即时，四边形为菱形
即时，四边形为菱形，解得，
故当时，四边形为菱形；
（3） 解：当时，，
则周长为cm；
面积为．

【知识点】菱形的性质；菱形的判定；矩形的判定与性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（1）四边形ABQP要成为矩形，根据矩形对边相等的性质，需要满足BQ = AP，据此可以列出关于运动时间t的方程，求解方程就能得到对应的t的值；
（2）对于四边形AQCP来说，当它是菱形时需要满足邻边相等，也就是AQ = CQ，依此可以列出关于t的方程，进而求解得到对应的t；
（3）在得到符合条件的t后，先算出菱形AQCP的边长，再分别代入周长公式和面积公式，就能求出它的周长与面积.
26．【答案】解：(1)延长AE、BC交于点N，如图1(1)，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠ENC，
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE，
∴∠ENC=∠MAE，
∴MA=MN，
在△ADE和△NCE中，，
∴△ADE≌△NCE(AAS)，
∴AD=NC，
∴MA=MN=NC+MC=AD+MC．
(2)AM=DE+BM成立．
证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1(2)所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB//DC，
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE，
在△ABF和△ADE中，，
∴△ABF≌△ADE(ASA)，
∴BF=DE，∠F=∠AED，
∵AB//DC，
∴∠AED=∠BAE，
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM，
∴∠F=∠FAM，
∴AM=FM．
∴AM=FB+BM=DE+BM．
(3)①结论AM=AD+MC仍然成立；②结论AM=DE+BM不成立．
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】(3)同(1)可得△ADE≌△NCE(AAS)，
∴结论AM=AD+MC仍然成立．
在(2)中，∵AD≠AB，
∴△ABF与△ADE不全等，
∴无法证明AM=FM，
∴结论AM=DE+BM不成立．
【分析】本题以正方形和矩形中的角平分线为背景，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质及线段的和差关系。
（1）延长AE交BC延长线于点N，证△ADE≌△NCE得AD=CN，利用角平分线及平行线性质证AM=MN，从而得AM=AD+MC。
（2）过A作AF⊥AE交CB延长线于F，证△ABF≌△ADE得BF=DE，再通过角度代换证AM=FM，从而AM=DE+BM。
（3）在矩形中，结论（1）仍成立，结论（2）不成立。
1 / 1湖南省邵阳市武冈市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共计30分．每小题只有一个正确答案）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，故A项符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故B项不符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故C项不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故D项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，找到轴对称图形中的对称轴和中心对称图形的对称中心，逐一判断即可．
2．如图所示的象棋盘上，若“士”的坐标是，“相”的坐标是，则“炮”的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：根据“士”和“相”的坐标，可建立如下图所示的平面直角坐标系：
∴“炮”的坐标为，
故选：B．
【分析】根据“士”和“相”的坐标可建立合适的平面直角坐标系，即可得到“炮”的坐标．
3．满足下列条件的，不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、由得，符合勾股定理的逆定理，故A项不符合题意；
B、由，可知，故B项符合题意；
C、由得，故C项不符合题意；
D、由得符合勾股定理的逆定理，故D项不符合题意.
故选：B．
【分析】根据直角三角形的判定：勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，逐一判断即可求得.
4．下列说法中正确的是（　　）
A．两条对角线垂直的四边形是菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】A、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，故A不符合题意；B、对角线垂直、平分且相等的四边形是正方形，故B不符合题意；C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故C不符合题意；只有D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据菱形，正方形，矩形的判定定理即可得出答案。
5．小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了如下的频数分布表：
通话时间 x/min 0频数 (通话次数) 20 16 9 5
则通话时间不超过15 min的频率为(　　)
A．0.1 B．0.4 C．0.5 D．0.9
【答案】D
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：∵不超过15分钟的通话次数为20+16+9=45次，通话总次数为20+16+9+5=50次，
∴通话时间不超过15min的频率为 =0.9，
故答案为：D.
【分析】用不超过15分钟的通话时间除以所有的通话时间即可求得通话时间不超过15分钟的频率.
6．若函数的图象过，则关于此函数的叙述不正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大 B．
C．函数图象经过原点 D．函数图象过二、四象限
【答案】A
【知识点】正比例函数的图象；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：将（2，-3）代入中得，2k=-3，解得，，
∴一次函数的解析式为：.
A：根据解析式可得y随x的增大而减小，故A选项错误，符合题意；
B：，故B选项正确，不符合题意；
C：为正比例函数，图像经过原点，故C选项正确，不符合题意；
D：根据解析式可得函数图象经过二、四象限，故D选项正确，不符合题意；
故选：A.
【分析】将（2，-3）代入一次函数解析式中，求出一次函数解析式，根据一次函数图象与性质即可求得．
7．已知点P（2a+1，1-a）在第一象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：根据题意，得：，
解不等式①，得：a＞-，
解不等式②，得：a＜1，
∴该不等式组的解集为：-＜a＜1，
故选C．
【分析】
根据点在平面直角坐标系中的所处位置，列出关于a的不等式组，再求解这个不等式组得到a的取值范围，就可以对对应结论做出判断.
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(　　)
A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF
【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：∵EF垂直平分BC，
∴BE=EC，BF=CF；
∵BF=BE，
∴BE=EC=CF=BF；
∴四边形BECF是菱形．
当BC=AC时，∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠EBC=45°；
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°．
∴菱形BECF是正方形．
故选项A不符合题意．
当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B不符合题意．
当BD=DF时，BC=EF，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C不符合题意．
当AC=BD时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D符合题意．
故选D．
【分析】
先利用已知条件证明四边形BECF为菱形，再结合正方形的判定定理（有一个角是直角的菱形是正方形、对角线相等的菱形是正方形）逐一分析选项.
9．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E．已知AB＝2，△DOE的面积为，则AE的长为（　　）
A． B．2 C．1.5 D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；数形结合
【解析】【解答】连接BE，如图所示：
由题意可得，OE为对角线BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，S△BOE＝S△DOE＝，
∴S△BDE＝2S△BOE＝．
∴DE AB＝，
又∵AB＝2，
∴DE＝，
∴BE＝
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝．
故选C．
【分析】
先连接BE，根据题意可知，OE是对角线BD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可以得到BE=DE，同时可得，利用三角形面积公式可以算出DE的长度，也就得到了BE的长度，最后借助勾股定理即可求出最终答案.
10．如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长AB至点E，使得BE=1，EF⊥AE，EF=AE，分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】连接AC，延长CB，过点F作CH⊥CB于点H，则根据题意可得：FH=1，CH=2+3=5，
根据勾股定理可得：CF=，
根据正方形的性质可得：∠CAB=45°，则∠CAF=90°，即△CAF为直角三角形，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：AM=.
故选D
【分析】
连接AC，通过角度计算证明为直角三角形，进而利用勾股定理求出斜边CF的长，最后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出AM的长.
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共计24分）
11．如果一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形是　 　边形．
【答案】八
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设该多边形的边数为，
这个多边形的内角和为，
多边形的内角和是它的外角和的3倍，
，解得，
故答案为：八．
【分析】
先设出这个多边形的边数为，再结合题目给出的数量关系列方程求解即可.
12．在Rt△ABC中，∠A=30 ，∠B=90 ，AC=10，则BC=　 　
【答案】5
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠A=30 ° ，∠B=90 ° ，AC=10，
∴BC= AC= ×10 =5.
故答案为：5
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出BC的长即可。
13．已知点P（x，y）在第四象限，且到y轴的距离为3，到x轴的距离为5，则点P的坐标是　 　．
【答案】（3，﹣5）
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点P（x，y）在第四象限，且到y轴的距离为3，
∴点P的横坐标是3；
∵点P到x轴的距离为5，
∴点P的纵坐标是﹣5，
∴点P的坐标（3，﹣5）；
故答案为（3，﹣5）．
【分析】先根据点P（x，y）在第四象限，可知P点的横坐标大于0，纵坐标小于0，再根据到坐标轴的距离，即可求得P的坐标.
14．已知为整数，且一次函数的图象不经过第二象限，则的值为　 　．
【答案】或
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象不过第二象限，
∴，
解得：，而m是整数，
则或．
故答案为：或．
【分析】
已知一次函数的图象不经过第二象限，根据上述结论列出关于m的不等式组，解不等式组就能得到m的取值.
15．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　 　．
【答案】（﹣5，4）
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：由题知A（3，0），B（-2，0），D在y轴上，∴AB=3-（-2）=5，OA=3，BO=2
由菱形邻边相等可得AD=AB=5在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD==4
由菱形对边相等且平行得CD=BA=5，所以C（-5，4）．
故答案为：（﹣5，4）．
【分析】先根据已知的点A和点B的坐标，计算出线段AB的长度；结合菱形四条边相等的性质，可得AD=CD=AB，据此即可推导出点C的横坐标；在中，利用勾股定理计算出OD的长度，再结合已经得到的点C的横坐标，就能确定点C的坐标。
16．如图，菱形中，、分别是、的中点，若，则菱形的周长为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵、分别是、的中点，，
∴
∴菱形的周长为，
故答案为：．
【分析】
先根据三角形中位线的性质得到，再结合菱形四条边长度相等的性质，即可算出最终结果.
17．如图，在中，，，的平分线交于点，，分别是线段和上的动点，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：作交于点，交于点，连接交于点，作与点，
平分，
，
在和中，
，
（），
，
在和中，
，
（），
，
，
当B、E、G三点共线且与重合时，最短，
即的最小值为的长，
，，
，
即的最小值是
故答案为：．
【分析】
过点作，该线交于点，交于点；再连接，交于点，过点作。首先可证明，结合垂线条件可推出，由此得到对应边相等，即。再进一步可以证明，从而得到。对线段等量代换后，可得。根据垂线段最短的性质，当与垂线段重合时，的长度取得最小值，由此即可计算求出最终结果.
18．如图，正方形的边长为，，是对角线．将绕着点顺时针旋转得到，交于点，连接交于点，连接，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确的结论是　 　．
【答案】①②③
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；菱形的判定；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∵是由旋转得到，
∴，，
在和中，
∴，故②正确，
∴，，
∴，
∴，同理，
∴，
∴四边形是菱形，故①正确，
∵，故③正确．
∵，，
∴，
∴，
∴，故④错误．
故答案为：①②③．
【分析】先根据HL证明，再求出的度数，推出，由此可以一 一判断．
三、解答题（本题共8个小题，共计66分）
19．如图，在和中，，，与相交于点O．
（1）求证：；
（2）是何种三角形？证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵，
∴在和中，
，
∴
（2）解：是等腰三角形，理由如下，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得出，再根据等角对等边，即可求得．
（1）证明：∵，
∴在和中，
，
∴；
（2）解：是等腰三角形，理由如下，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
20．已知函数y＝(2m＋1)x＋m－3.
（1）若函数图象经过原点，求m的值；
（2）若函数的图象平行于直线y＝3x－3，求m的值；
（3）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
【答案】解：（1）由题意得，，解得：；
（2）由题意得，，解得：；
（3）由题意得，，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据题意将原点坐标（0，0）代入函数关系式，进而即可求解；
（2）根据两个一次函数的平行问题即可得到两个函数的系数一致，进而即可求解；
（3）根据一次函数的性质与系数的关系得到其系数小于0，进而即可求解。
21．如图，在中，于点，于点，连接，．求证：．
【答案】证明：∵AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBF，
又∵平行四边形ABCD中，AD=BC，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF，∠AED=∠CFB，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】
首先利用角边角（ASA）判定定理，可以证明，由此可推得AE=CF，且AECF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可判定四边形AECF是平行四边形，最后根据平行四边形对边相等的性质，可得AF=CE.
22．如图所示，在平面直角坐标系中，点A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 ；
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
【答案】（1）解：△ABC如图所示， △ABC的面积是 4
（2）（ 4，3）；
（3）解：∵P为x轴上一点，△ABP的面积为4，
∴，
∴BP＝8，
∴点P的横坐标为：2＋8＝10或2 8＝－6，
故点P坐标为：（10，0）或（－6，0）．
【知识点】三角形的面积；关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）△ABC如图所示，S△ABC=3×4 ×1×2 ×2×4 ×2×3＝4，
故答案为：4；
（2）解：∵点D与点C（4，3）关于y轴对称，
∴点D的坐标为：（ 4，3）；
故答案为：（ 4，3）；
【分析】（1）根据点的坐标，描点、连线即可得到△ABC，直接利用“割补法”用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
（2）根据关于y轴对称的点的性质得出答案；
（3）根据三角形的面积求出BP的长度，再分情况讨论可得点P的坐标．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝x的图象与一次函数y＝kx－k的图象的交点坐标为A(m，2)．
(1)求m的值和一次函数的解析式；
(2)设一次函数y＝kx－k的图象与y轴交于点B，求△AOB的面积；
(3)直接写出使函数y＝kx－k的值大于函数y＝x的值的自变量x的取值范围．
【答案】解：（1）把A（m，2）代入y=x得m=2，则点A的坐标为（2，2），
把A（2，2）代入y=kx﹣k得2k﹣k=2，解得k=2，
∴ 一次函数解析式为y=2x﹣2；
（2）把x=0代入y=2x﹣2得y=﹣2，则B点坐标为（0，﹣2），
所以S△AOB=×2×2=2；
（3）自变量x的取值范围是x＞2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）先将A（m，2）代入 y＝x 可得m=2，然后把A（2，2）代入y=kx﹣k计算出k的值，即可求得一次函数解析式为y=2x﹣2；
（2）先确定B点坐标，再根据三角形面积公式直接计算即可；
（3）观察函数图象得到当x＞2时，直线y=kx﹣k都在y=x的上方，即函数y=kx﹣k的值大于函数y=x的值.
24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF=BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AC=4，∠ABC=60°，求矩形AEFD的面积．
【答案】（1）证明： ∵ 菱形ABCD∴AD∥BC ， AD=BC
∵CF=BE
∴BC=EF
∴AD∥EF，AD=EF
∴四边形AEFD是平行四边形
∵AE⊥BC
∴∠AEF=90°
∴平行四边形AEFD是矩形
（2）根据题意可知∠ABE=∠DCF，AB=CD，CF=BE
∴△ABE≌△DCF (SAS)
∴矩形AEFD的面积=菱形ABCD的面积
∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形
AC=4，AO=2，AB=4，由菱形的对角线互相垂直可得BO=
矩形AEFD的面积=菱形ABCD的面积=
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定-SAS；多边形的面积
【解析】【分析】（1）要证明四边形是矩形，先利用菱形的性质得到AD与BC的关系，再结合已知条件推出AD与EF的关系，从而证明四边形AEFD是平行四边形，最后根据AE⊥BC得出有一个角是直角，进而证明它是矩形；
（2）根据菱形的性质和∠ABC = 60°证明△ABC是等边三角形，求出BE的长度，再在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长度，最后根据矩形面积公式求出矩形AEFD的面积。
25．如图，在矩形中，cm，cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形是矩形；
（2）当t为何值时，四边形是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形的周长和面积．
【答案】（1）解： ∵在矩形中，，
∴，
由已知可得，，
在矩形中，，
当时，四边形为矩形，
∴，得，
故当时，四边形为矩形；

（2）解：∵，
∴四边形为平行四边形，
∴当，即时，四边形为菱形
即时，四边形为菱形，解得，
故当时，四边形为菱形；
（3） 解：当时，，
则周长为cm；
面积为．

【知识点】菱形的性质；菱形的判定；矩形的判定与性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（1）四边形ABQP要成为矩形，根据矩形对边相等的性质，需要满足BQ = AP，据此可以列出关于运动时间t的方程，求解方程就能得到对应的t的值；
（2）对于四边形AQCP来说，当它是菱形时需要满足邻边相等，也就是AQ = CQ，依此可以列出关于t的方程，进而求解得到对应的t；
（3）在得到符合条件的t后，先算出菱形AQCP的边长，再分别代入周长公式和面积公式，就能求出它的周长与面积.
26．【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
【探究展示】
(1)证明：AM=AD+MC；
(2)AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示(1)、(2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．
【答案】解：(1)延长AE、BC交于点N，如图1(1)，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠ENC，
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE，
∴∠ENC=∠MAE，
∴MA=MN，
在△ADE和△NCE中，，
∴△ADE≌△NCE(AAS)，
∴AD=NC，
∴MA=MN=NC+MC=AD+MC．
(2)AM=DE+BM成立．
证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1(2)所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB//DC，
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE，
在△ABF和△ADE中，，
∴△ABF≌△ADE(ASA)，
∴BF=DE，∠F=∠AED，
∵AB//DC，
∴∠AED=∠BAE，
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM，
∴∠F=∠FAM，
∴AM=FM．
∴AM=FB+BM=DE+BM．
(3)①结论AM=AD+MC仍然成立；②结论AM=DE+BM不成立．
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】(3)同(1)可得△ADE≌△NCE(AAS)，
∴结论AM=AD+MC仍然成立．
在(2)中，∵AD≠AB，
∴△ABF与△ADE不全等，
∴无法证明AM=FM，
∴结论AM=DE+BM不成立．
【分析】本题以正方形和矩形中的角平分线为背景，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质及线段的和差关系。
（1）延长AE交BC延长线于点N，证△ADE≌△NCE得AD=CN，利用角平分线及平行线性质证AM=MN，从而得AM=AD+MC。
（2）过A作AF⊥AE交CB延长线于F，证△ABF≌△ADE得BF=DE，再通过角度代换证AM=FM，从而AM=DE+BM。
（3）在矩形中，结论（1）仍成立，结论（2）不成立。
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