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吉林省长春市二道区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列式子中是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：A、中分母不含有字母，故不是分式，不符合题意；
B、中分母不含有字母，故不是分式，不符合题意；
C、是分式，符合题意；
D、中分母不含有字母，故不是分式，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据分式的定义，通常来说，若（其中不等于0）代表两个整式，同时整式中含有字母，那么就叫做分式；根据分式的定义对每个选项逐一分析判断，就能得到正确结果.
2．“白日不到处，青春恰自来；苔花如米小，也学牡丹开．”是清代袁枚的诗．“苔花”很可能是苔类孢子体的孢蒴，其直径约为米，将数据用科学记数法表示为，则n的值是（　　）
A．6 B．5 C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
等于．
故选：D．
【分析】把原数改写为满足要求的，此时看原数的小数点一共移动了多少位，的绝对值就等于小数点移动的位数；如果原数的绝对值大于等于10，为正整数；如果原数的绝对值小于1，为负整数.
3．如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：手盖住的点在第二象限，所以点的坐标可能为，
故选：A.
【分析】平面直角坐标系中，第二象限的点满足横坐标为负数，纵坐标为正数，依据这个特征进行判断即可.
4．如图，的对角线，相交于点，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形对边平行且相等，错误，不符合题意；
平行四边形对角线互相平分，正确，符合题意；
平行四边形对角线不一定互相垂直，错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定平分内角，错误，不符合题意．
故选：．
【分析】依据平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，平行四边形的对角线互相平分，来对相关问题进行判断.
5．点在函数的图象上，则代数式的值等于（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】D
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象；一次函数的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵点在函数的图象上，
∴，即，
则，
故选：D．
【分析】将点P的坐标代入一次函数解析式，可以得到，再将这个关系式整体代入即可求出对应结果.
6．一组数据：0，1，2，2，5，若添加一个数据2，则下列刻画数据的指标发生变化的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：原数据：0，1，2，2，5
新数据：0，1，2，2，2，5
平均数：原数据：
新数据：
结论：平均数未变，选项A错误．
中位数：原数据排序后中间数为第3个：2
新数据排序后中间数为第3、4个的平均值：
结论：中位数未变，选项B错误．
众数：原数据中2出现次数最多（2次）
新数据中2出现次数最多（3次）
结论：众数仍为2，选项C错误．
方差：原数据方差：
新数据方差：
结论：方差变小，选项D正确．
故选：D．
【分析】分别计算出添加数据之前和添加数据之后，这组数据的平均数、中位数、众数和方差，再对比结果就能判断哪个统计量没有发生变化.
7．如图，延长正方形边至点E，使，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，且，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【分析】连接，结合题目条件可以推出，根据“等边对等角”的性质可得，再结合三角形外角的性质可以得到：，代入角度关系即可计算出最终结果．
8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点D和顶点C．若菱形的面积为30，则k的值为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：设点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为，
∵点D是的中，
∴点D的坐标为，
∵菱形的面积为30，
∴，
∵点D在抛物线上，
∴，即，
∴将代入可得：，解得：．
故答案为：B．
【分析】根据菱形的性质及点的坐标与图形性质 设点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为， 然后利用中点坐标公式表示出点D的坐标，根据菱形面积等于底乘以高得出，由反比例函数图象上任意一点横纵坐标的乘积都等于比例系数k，结合点D坐标可得a=3c，进而将a=3c代入即可求出k的值.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9．计算：　 　．
【答案】1
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】依据零指数幂的运算法则，就可以完成计算.
10．若分式有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若分式有意义，
则，
即．
故答案为：．
【分析】分式存在意义的前提是分母不为0，依据这个规则就可以得出对应结果.
11．已知函数（m是常数），当y随x的增大而增大时，m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：函数（m是常数），y随x的增大而增大，
，
，
故答案为：
【分析】依据一次函数图象和系数的对应关系来完成解答.
12．如图，一次函数与的图象交于点，则关于x的方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：一次函数与的图象交于点，
即时，，
关于x的方程的解为
故答案为：.
【分析】由于点P是两个一次函数图象的交点，因此P点坐标同时符合两个函数的解析式，由此可得就是方程的解.
13．E、F为边上的点，与相交于点P，、相交于点Q，若，则阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图：连接，
与同底等高，
，
即，
即，
同理可得，
阴影部分的面积为
故答案为：
【分析】连接，发现和是同底等高的两个三角形，因此二者面积相等，据此就可以求出阴影部分的面积.
14．如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点H，连结并延长，交于点F，连结给出下列结论：
①；
②；
③的面积是矩形面积的；
④；
⑤
其中正确的有　 　．
【答案】①②⑤
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：①四边形是矩形，
∴，
的平分线交于点E，
，
∵，
是等腰直角三角形，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
故结论①正确；
②在中，，
∴，
∴，
故结论②正确；
③，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故结论③不正确；
④∵于点H，
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故结论④不正确，
⑤∵于点H，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
，
故结论⑤正确，
综上所述：正确的结论有①②⑤．
故答案为：①②⑤．
【分析】①先证明为等腰直角三角形，根据勾股定理可以推出，再结合题中条件，就可以判断这个结论的正误；
②借助三角形内角和定理，结合等腰三角形等边对等角的性质，就可以计算推导出结果；
③结合矩形对边相等、四个角为直角的性质，以及等腰直角三角形边的性质，利用勾股定理就可以计算求解；
④先证明是等腰直角三角形，得到，再由勾股定理推出，最后结合等腰直角三角形的性质就可以推导求解；
⑤利用“AAS”可以证明≌，根据全等三角形的性质就可以对该结论进行判断，结合所有结论的正误就能得到最终答案.
三、计算题：本大题共1小题，共6分．
15．解方程：；
【答案】解：
原方程去分母，得，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
经检验，是原方程的解；

【知识点】解分式方程
【解析】【分析】按照解分式方程的标准步骤进行计算，即可得到方程的解.
四、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．先化简，再求值：，其中
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先对小括号内的部分进行通分整理，接着计算乘方运算，再将除法运算转化为乘法运算，之后通过约分将分式化为最简形式，最后代入数值计算出结果即可.
17．某公司现要装配30台机器，在装配好6台以后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务，问原来每天装配机器有多少台？
【答案】解：设原来每天装配机器x台，依题意得：
解这个方程得：
经检验： 是原方程的解
答：原来每天装配机器6台．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】可设原来每天装配机器x台，则采用新技术后每天装配机器2x台，根据原来装6台的时间+采用新技术后（30-6）台所用的时间=3列方程，解分式方程并检验作答即可.
18． 已知：在四边形中，是边的中点，、互相平分并交于点O，求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：连接，
∵、互相平分并交于点O，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵是边的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得，，由此可推出，然后利用平行四边形的判定定理可证得结论.
19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图：
（1）在图①中以为对角线作一个面积为4的平行四边形；
（2）在图②中以为对角线作一个面积为6的矩形；
（3）在图③中以为对角线作正方形．
【答案】（1）解：如图所示：平行四边形即为所求；
（2）解：如图所示：矩形即为所求；
（3）解：如图所示：矩形即为所求；
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）已知该平行四边形的面积为，我们可以设平行四边形的底为，对应高为，满足面积要求。首先连接，取的中点，借助网格格点，过点作出水平方向长度为2的线段，再作出垂直方向长度为2的线段，最后依次连接各端点，即可得到以为对角线、面积为4的平行四边形；
（2）首先根据勾股定理计算AB的长度，可得。现在要构造以AB为对角线、面积为6的矩形，设矩形的两条邻边长分别为、，根据题意可得矩形面积；再根据矩形对角线的性质，对角线的平方等于邻边平方和，因此满足；验证可得，同时，完全符合条件，其中，可以直接在网格中找到长度为和的边，顺次连接四个顶点，就得到满足条件的矩形；
（3）若要构造以AB为对角线的正方形，根据正方形的性质，正方形的对角线互相垂直平分且相等；先通过勾股定理得到AB的长度为，连接AB后取AB的中点O，根据正方形对角线性质，另一条对角线长度也应为AB的长度，即需要满足，借助格点构造出满足垂直和长度要求的线段CD，最后依次连接四个顶点，即可得到以AB为对角线的正方形.
（1）如图所示：平行四边形即为所求；
（2）如图所示：矩形即为所求；
（3）如图所示：正方形即为所求；
20．某校为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，从七、八两个年级各随机抽取名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
．七年级名学生成绩的频数分布统计表如下．
成绩
学生人数
．七年级成绩在这一组的是：
．七、八两个年级成绩的平均分、中位数、众数和方差如下．
年级 平均分 中位数 众数 方差
七
八
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属年级排在前名，由表中数据可知该学生是
年级的学生．（填“七”或“八”）
（3）根据以上信息，你认为七、八两个年级中，哪个年级学生了解垃圾分类知识的情况较好，请说明理由．
【答案】解：（1）因为七年级共有40名学生，处于中间位置的成绩为第20和21个数，由频数分布图及这一组的成绩可知第20和21个成绩分别为73和74，所以中位数；
（2）因为七年级的中位数为73.5分，八年级的中位数为75分，且该学生的成绩是分，所属年级排在前名，即该学生的成绩大于中位数，所以该学生是七年级的学生；
（3）从平均分来看，七、八年级的平均分相同；从中位数来看，八年级的中位数大于七年级的中位数，八年级成绩高的人数多于七年级；从方差来看，八年级的方差小于七年级的方差，八年级的成绩比七年级稳定，综上可知，八年级学生了解垃圾分类知识的情况较好.
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【分析】（1）根据中位数的定义，我们需要先把这40名学生的成绩按照大小顺序进行排列，之后找到40个成绩里处于最中间位置的两个成绩，计算它们的平均值就能得到n的值；
（2）我们可以结合七、八年级各自成绩的中位数，和该学生的成绩对比，就能判断出这个学生所属的年级；
（3）分别结合七、八年级成绩的平均分、中位数以及方差的特点，进行对比分析就能得出结论.
21．某电动汽车搭载了一个由两块不同容量的电池组成的电池包，其中A型号电池容量小，充电速度快，每小时充电20千瓦时；B型号电池容量大，充电速度慢．该电动汽车在充电过程中始终先充A型号电池，当A型号电池充满后再充B型号电池．该电动汽车电池包的电量千瓦时与充电的时间小时之间的函数图象如图所示．
（1）型号电池的容量为___________千瓦时；
（2）当时，求y与x之间的函数关系式；
（3）求该电动汽车充电过程中，电池包整体容量从5千瓦时到45千瓦时所需时间．
【答案】（1）20
（2）解：由题意，当时，设y与x之间的函数关系式为，
又图象过，，
，
解得，
当时， y与x之间的函数关系式为

（3）解：由题意，结合（2）得，当时， y与x之间的函数关系式为，
令，则，
，
又当时，每小时充电20千瓦时，
充电5千瓦时的时间，
，
该电动汽车充电过程中，电池包整体容量从5千瓦时到45千瓦时所需时间为小时
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）由题意，结合图象，在充电过程中始终先充A型号电池，且每小时充电20千瓦时，
，
故答案为：.
【分析】（1）根据题意结合图像信息可知，充电时始终优先给A型号电池充电，充电功率为每小时20千瓦时，由此即可推出结论；
（2）根据题意，当时，设y与x的函数解析式为，由图像可知该函数经过点和，代入可得方程组，解方程组即可得到函数解析式；
（3）根据（2）的结论，当时，y与x的函数解析式为，令，即，解得；再看的阶段，这个阶段充电功率为每小时20千瓦时，计算得充满5千瓦时需要的时间为小时，比较后即可得到结论.
（1）解：由题意，结合图象，在充电过程中始终先充A型号电池，且每小时充电20千瓦时，
，
故答案为：；
（2）解：由题意，当时，设y与x之间的函数关系式为，
又图象过，，
，
解得，
当时， y与x之间的函数关系式为；
（3）解：由题意，结合（2）得，当时， y与x之间的函数关系式为，
令，则，
，
又当时，每小时充电20千瓦时，
充电5千瓦时的时间，
，
该电动汽车充电过程中，电池包整体容量从5千瓦时到45千瓦时所需时间为小时．
22．【问题原型】如图①，在菱形中，点E是边上一点，点F是对角线上一点，，试探究的最小值．
【问题探究】如图②，小明首先过点C作，使，，利用平行线的性质可得到，进而可利用，将转化为，这样就将问题转化为寻找点E位置的问题．
以下是小明证明的部分过程：
证明：过点C作CM，使，，连结
四边形是菱形，
证明过程缺失
请你补全缺失的证明过程．
【解决问题】结合上述探究过程，用无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点E的位置，使的值最小，此时的最小值是___________保留作图痕迹
【答案】【问题探究】
证明过程补全如下：，
，
，
，
【解决问题】
作图如下：
此时的最小值是
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：【解决问题】连接交于点O，由作图知即为的最小值．
，四边形是菱形，
是等边三角形，，
，
，
，
，
故答案为：
【分析】问题探究：按照题目给出的条件，补全对应的证明过程即可；
解决问题：连接交BD于点O，根据作图步骤可以得到就是的最小值，最后结合勾股定理即可求出最终结果.
23．如图，在矩形中，，点M为边中点，动点P从点A开始，在折线上以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，连接，以为直角边，在右侧作等腰直角，使，设点P的运动时间为t秒．
（1）当点P在边上运动不与点D重合时，则的长度为___________；用含t的代数式表示
（2）当点P在边上运动时，求证：点Q到直线的距离始终不变；
（3）当点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍时，求t的值；
（4）连接，当时，直接写出t的值．
【答案】（1）
（2）解：如图1，
是的中点，，
，
作于E，
，
，
四边形是矩形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
当点P在边上运动时，点Q到直线的距离为，，始终不变；
（3）解：如图2，
由（2）知，当点P在时，Q到的距离是3，到的距离是1，不符合题意，
∴点P在上，点Q在上方，
作于F，作于E，
点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍，
，
由（2）知，
，
，
，
点运动的路程是，
；
如图，点Q在下方，
作于G，作于E，交延长线于点，
点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍，
，
同理，
，
，
点运动的路程是，
；
综上，或；

（4）解：或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（1），由题意，点的运动的路程为，
，
故答案为：.
（4）如图3，当点P在上时，作，交于F，
由知，
，
，
，
，
，
如图4，当点P在上，作于W，作于V，作于G，
由知，
，
，
，
，
，
点P运动的路程是，
，
综上所述：或
故答案为：或.
【分析】（1）已知，点的运动速度为每秒2个单位长度，运动路程为，据此计算得到对应结果；（2）过点作，垂足为E，可证明≌，根据全等三角形对应边相等可得，由此推出最终结果；
（3）先判定此时点P落在边上，过点P作，垂足为F，过点Q作，垂足为E，参照第二问的思路可证≌，得到，进而推出，在此基础上计算得到最终结果；
（4）分两种情况讨论：①当点P落在边AD上时，过点Q作，QE交于点F，计算得到，由此求出的长度，进一步得到，即可得到对应结果；
②当点P落在边上时，过点P作，垂足为W，过点Q作，垂足为V，过点Q作，垂足为G，用和上述一致的方法推得最终结果．
（1）解：，由题意，点的运动的路程为，
，
故答案为：；
（2）如图1，
是的中点，，
，
作于E，
，
，
四边形是矩形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
当点P在边上运动时，点Q到直线的距离始终不变；
（3）解：如图2，
由知，
当点P在时，Q到的距离是3，到的距离是1，不符合题意，
∴点P在上，
作于F，作于E，
点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍，
，
由知，
，
，
，
点运动的路程是，
；
（4）如图3，
当点P在上时，作，交于F，
由知，
，
，
，
，
，
如图4，
当点P在上，作于W，作于V，作于G，
由知，
，
，
，
，
，
点P运动的路程是，
，
综上所述：或
24．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线经过点，点P在直线上，横坐标为m；点M的坐标为，当点P和点M的横坐标不相同时，以PM为对角线构造矩形，其中轴．
（1）求该直线的函数表达式；
（2）证明：矩形的边的长恒为3；
（3）当矩形为正方形时，求点P的坐标；
（4）当直线将矩形的面积分成两部分时，直接写出m的值．
【答案】（1）解：将点代入，
，
解得，
；

（2）证明：四边形是矩形，轴，
∴轴，轴，
∵，
，
；
（3）解：矩形为正方形，
，
，
解得或，
或；

（4）解：4或
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质；正方形的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（4）设直线与矩形的另一交点为点，
当点在上时，
∵直线将矩形的面积分成两部分，
∴，
∵矩形中，，
∴，
∴，
∴点为中点，
∴，即，
代入，得，
解得；
当点在上时，
同理得点为中点，
∴，即，
代入，得，
解得；
综上所述：或时，直线将矩形的面积分成两部分．
故答案为：4或.
【分析】（1）通过待定系数法求出该二次函数的解析式；
（2）结合题目条件可以确定出四个点的坐标：，根据坐标即可计算得到；
（3）由题意可知平行四边形为正方形时满足，因此可以得到等式，解方程得到或，代入即可得到点P的坐标；
（4）分两种情况进行讨论：当点落在边上时，以及当点落在边上时，两种情况下满足条件的点G分别对应的中点和的中点，将中点坐标代入计算，即可得到对应的a的值.
（1）解：将点代入，
，
解得，
；
（2）证明：四边形是矩形，轴，
∴轴，轴，
∵，
，
；
（3）解：矩形为正方形，
，
，
解得或，
或；
（4）解：设直线与矩形的另一交点为点，
当点在上时，
∵直线将矩形的面积分成两部分，
∴，
∵矩形中，，
∴，
∴，
∴点为中点，
∴，即，
代入，得，
解得；
当点在上时，
同理得点为中点，
∴，即，
代入，得，
解得；
综上所述：或时，直线将矩形的面积分成两部分．
1 / 1吉林省长春市二道区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列式子中是分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．“白日不到处，青春恰自来；苔花如米小，也学牡丹开．”是清代袁枚的诗．“苔花”很可能是苔类孢子体的孢蒴，其直径约为米，将数据用科学记数法表示为，则n的值是（　　）
A．6 B．5 C． D．
3．如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，的对角线，相交于点，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．点在函数的图象上，则代数式的值等于（ ）
A． B． C．3 D．5
6．一组数据：0，1，2，2，5，若添加一个数据2，则下列刻画数据的指标发生变化的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
7．如图，延长正方形边至点E，使，则为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点D和顶点C．若菱形的面积为30，则k的值为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9．计算：　 　．
10．若分式有意义，则x的取值范围是　 　．
11．已知函数（m是常数），当y随x的增大而增大时，m的取值范围是　 　．
12．如图，一次函数与的图象交于点，则关于x的方程的解为　 　．
13．E、F为边上的点，与相交于点P，、相交于点Q，若，则阴影部分的面积为　 　．
14．如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点H，连结并延长，交于点F，连结给出下列结论：
①；
②；
③的面积是矩形面积的；
④；
⑤
其中正确的有　 　．
三、计算题：本大题共1小题，共6分．
15．解方程：；
四、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．先化简，再求值：，其中
17．某公司现要装配30台机器，在装配好6台以后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务，问原来每天装配机器有多少台？
18． 已知：在四边形中，是边的中点，、互相平分并交于点O，求证：四边形是平行四边形．
19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图：
（1）在图①中以为对角线作一个面积为4的平行四边形；
（2）在图②中以为对角线作一个面积为6的矩形；
（3）在图③中以为对角线作正方形．
20．某校为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，从七、八两个年级各随机抽取名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
．七年级名学生成绩的频数分布统计表如下．
成绩
学生人数
．七年级成绩在这一组的是：
．七、八两个年级成绩的平均分、中位数、众数和方差如下．
年级 平均分 中位数 众数 方差
七
八
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属年级排在前名，由表中数据可知该学生是
年级的学生．（填“七”或“八”）
（3）根据以上信息，你认为七、八两个年级中，哪个年级学生了解垃圾分类知识的情况较好，请说明理由．
21．某电动汽车搭载了一个由两块不同容量的电池组成的电池包，其中A型号电池容量小，充电速度快，每小时充电20千瓦时；B型号电池容量大，充电速度慢．该电动汽车在充电过程中始终先充A型号电池，当A型号电池充满后再充B型号电池．该电动汽车电池包的电量千瓦时与充电的时间小时之间的函数图象如图所示．
（1）型号电池的容量为___________千瓦时；
（2）当时，求y与x之间的函数关系式；
（3）求该电动汽车充电过程中，电池包整体容量从5千瓦时到45千瓦时所需时间．
22．【问题原型】如图①，在菱形中，点E是边上一点，点F是对角线上一点，，试探究的最小值．
【问题探究】如图②，小明首先过点C作，使，，利用平行线的性质可得到，进而可利用，将转化为，这样就将问题转化为寻找点E位置的问题．
以下是小明证明的部分过程：
证明：过点C作CM，使，，连结
四边形是菱形，
证明过程缺失
请你补全缺失的证明过程．
【解决问题】结合上述探究过程，用无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点E的位置，使的值最小，此时的最小值是___________保留作图痕迹
23．如图，在矩形中，，点M为边中点，动点P从点A开始，在折线上以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，连接，以为直角边，在右侧作等腰直角，使，设点P的运动时间为t秒．
（1）当点P在边上运动不与点D重合时，则的长度为___________；用含t的代数式表示
（2）当点P在边上运动时，求证：点Q到直线的距离始终不变；
（3）当点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍时，求t的值；
（4）连接，当时，直接写出t的值．
24．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线经过点，点P在直线上，横坐标为m；点M的坐标为，当点P和点M的横坐标不相同时，以PM为对角线构造矩形，其中轴．
（1）求该直线的函数表达式；
（2）证明：矩形的边的长恒为3；
（3）当矩形为正方形时，求点P的坐标；
（4）当直线将矩形的面积分成两部分时，直接写出m的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：A、中分母不含有字母，故不是分式，不符合题意；
B、中分母不含有字母，故不是分式，不符合题意；
C、是分式，符合题意；
D、中分母不含有字母，故不是分式，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据分式的定义，通常来说，若（其中不等于0）代表两个整式，同时整式中含有字母，那么就叫做分式；根据分式的定义对每个选项逐一分析判断，就能得到正确结果.
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
等于．
故选：D．
【分析】把原数改写为满足要求的，此时看原数的小数点一共移动了多少位，的绝对值就等于小数点移动的位数；如果原数的绝对值大于等于10，为正整数；如果原数的绝对值小于1，为负整数.
3．【答案】A
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：手盖住的点在第二象限，所以点的坐标可能为，
故选：A.
【分析】平面直角坐标系中，第二象限的点满足横坐标为负数，纵坐标为正数，依据这个特征进行判断即可.
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形对边平行且相等，错误，不符合题意；
平行四边形对角线互相平分，正确，符合题意；
平行四边形对角线不一定互相垂直，错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定平分内角，错误，不符合题意．
故选：．
【分析】依据平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，平行四边形的对角线互相平分，来对相关问题进行判断.
5．【答案】D
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象；一次函数的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵点在函数的图象上，
∴，即，
则，
故选：D．
【分析】将点P的坐标代入一次函数解析式，可以得到，再将这个关系式整体代入即可求出对应结果.
6．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：原数据：0，1，2，2，5
新数据：0，1，2，2，2，5
平均数：原数据：
新数据：
结论：平均数未变，选项A错误．
中位数：原数据排序后中间数为第3个：2
新数据排序后中间数为第3、4个的平均值：
结论：中位数未变，选项B错误．
众数：原数据中2出现次数最多（2次）
新数据中2出现次数最多（3次）
结论：众数仍为2，选项C错误．
方差：原数据方差：
新数据方差：
结论：方差变小，选项D正确．
故选：D．
【分析】分别计算出添加数据之前和添加数据之后，这组数据的平均数、中位数、众数和方差，再对比结果就能判断哪个统计量没有发生变化.
7．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，且，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【分析】连接，结合题目条件可以推出，根据“等边对等角”的性质可得，再结合三角形外角的性质可以得到：，代入角度关系即可计算出最终结果．
8．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：设点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为，
∵点D是的中，
∴点D的坐标为，
∵菱形的面积为30，
∴，
∵点D在抛物线上，
∴，即，
∴将代入可得：，解得：．
故答案为：B．
【分析】根据菱形的性质及点的坐标与图形性质 设点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为， 然后利用中点坐标公式表示出点D的坐标，根据菱形面积等于底乘以高得出，由反比例函数图象上任意一点横纵坐标的乘积都等于比例系数k，结合点D坐标可得a=3c，进而将a=3c代入即可求出k的值.
9．【答案】1
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】依据零指数幂的运算法则，就可以完成计算.
10．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若分式有意义，
则，
即．
故答案为：．
【分析】分式存在意义的前提是分母不为0，依据这个规则就可以得出对应结果.
11．【答案】
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：函数（m是常数），y随x的增大而增大，
，
，
故答案为：
【分析】依据一次函数图象和系数的对应关系来完成解答.
12．【答案】
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：一次函数与的图象交于点，
即时，，
关于x的方程的解为
故答案为：.
【分析】由于点P是两个一次函数图象的交点，因此P点坐标同时符合两个函数的解析式，由此可得就是方程的解.
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图：连接，
与同底等高，
，
即，
即，
同理可得，
阴影部分的面积为
故答案为：
【分析】连接，发现和是同底等高的两个三角形，因此二者面积相等，据此就可以求出阴影部分的面积.
14．【答案】①②⑤
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：①四边形是矩形，
∴，
的平分线交于点E，
，
∵，
是等腰直角三角形，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
故结论①正确；
②在中，，
∴，
∴，
故结论②正确；
③，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故结论③不正确；
④∵于点H，
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故结论④不正确，
⑤∵于点H，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
，
故结论⑤正确，
综上所述：正确的结论有①②⑤．
故答案为：①②⑤．
【分析】①先证明为等腰直角三角形，根据勾股定理可以推出，再结合题中条件，就可以判断这个结论的正误；
②借助三角形内角和定理，结合等腰三角形等边对等角的性质，就可以计算推导出结果；
③结合矩形对边相等、四个角为直角的性质，以及等腰直角三角形边的性质，利用勾股定理就可以计算求解；
④先证明是等腰直角三角形，得到，再由勾股定理推出，最后结合等腰直角三角形的性质就可以推导求解；
⑤利用“AAS”可以证明≌，根据全等三角形的性质就可以对该结论进行判断，结合所有结论的正误就能得到最终答案.
15．【答案】解：
原方程去分母，得，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
经检验，是原方程的解；

【知识点】解分式方程
【解析】【分析】按照解分式方程的标准步骤进行计算，即可得到方程的解.
16．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先对小括号内的部分进行通分整理，接着计算乘方运算，再将除法运算转化为乘法运算，之后通过约分将分式化为最简形式，最后代入数值计算出结果即可.
17．【答案】解：设原来每天装配机器x台，依题意得：
解这个方程得：
经检验： 是原方程的解
答：原来每天装配机器6台．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】可设原来每天装配机器x台，则采用新技术后每天装配机器2x台，根据原来装6台的时间+采用新技术后（30-6）台所用的时间=3列方程，解分式方程并检验作答即可.
18．【答案】证明：连接，
∵、互相平分并交于点O，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵是边的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得，，由此可推出，然后利用平行四边形的判定定理可证得结论.
19．【答案】（1）解：如图所示：平行四边形即为所求；
（2）解：如图所示：矩形即为所求；
（3）解：如图所示：矩形即为所求；
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）已知该平行四边形的面积为，我们可以设平行四边形的底为，对应高为，满足面积要求。首先连接，取的中点，借助网格格点，过点作出水平方向长度为2的线段，再作出垂直方向长度为2的线段，最后依次连接各端点，即可得到以为对角线、面积为4的平行四边形；
（2）首先根据勾股定理计算AB的长度，可得。现在要构造以AB为对角线、面积为6的矩形，设矩形的两条邻边长分别为、，根据题意可得矩形面积；再根据矩形对角线的性质，对角线的平方等于邻边平方和，因此满足；验证可得，同时，完全符合条件，其中，可以直接在网格中找到长度为和的边，顺次连接四个顶点，就得到满足条件的矩形；
（3）若要构造以AB为对角线的正方形，根据正方形的性质，正方形的对角线互相垂直平分且相等；先通过勾股定理得到AB的长度为，连接AB后取AB的中点O，根据正方形对角线性质，另一条对角线长度也应为AB的长度，即需要满足，借助格点构造出满足垂直和长度要求的线段CD，最后依次连接四个顶点，即可得到以AB为对角线的正方形.
（1）如图所示：平行四边形即为所求；
（2）如图所示：矩形即为所求；
（3）如图所示：正方形即为所求；
20．【答案】解：（1）因为七年级共有40名学生，处于中间位置的成绩为第20和21个数，由频数分布图及这一组的成绩可知第20和21个成绩分别为73和74，所以中位数；
（2）因为七年级的中位数为73.5分，八年级的中位数为75分，且该学生的成绩是分，所属年级排在前名，即该学生的成绩大于中位数，所以该学生是七年级的学生；
（3）从平均分来看，七、八年级的平均分相同；从中位数来看，八年级的中位数大于七年级的中位数，八年级成绩高的人数多于七年级；从方差来看，八年级的方差小于七年级的方差，八年级的成绩比七年级稳定，综上可知，八年级学生了解垃圾分类知识的情况较好.
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【分析】（1）根据中位数的定义，我们需要先把这40名学生的成绩按照大小顺序进行排列，之后找到40个成绩里处于最中间位置的两个成绩，计算它们的平均值就能得到n的值；
（2）我们可以结合七、八年级各自成绩的中位数，和该学生的成绩对比，就能判断出这个学生所属的年级；
（3）分别结合七、八年级成绩的平均分、中位数以及方差的特点，进行对比分析就能得出结论.
21．【答案】（1）20
（2）解：由题意，当时，设y与x之间的函数关系式为，
又图象过，，
，
解得，
当时， y与x之间的函数关系式为

（3）解：由题意，结合（2）得，当时， y与x之间的函数关系式为，
令，则，
，
又当时，每小时充电20千瓦时，
充电5千瓦时的时间，
，
该电动汽车充电过程中，电池包整体容量从5千瓦时到45千瓦时所需时间为小时
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）由题意，结合图象，在充电过程中始终先充A型号电池，且每小时充电20千瓦时，
，
故答案为：.
【分析】（1）根据题意结合图像信息可知，充电时始终优先给A型号电池充电，充电功率为每小时20千瓦时，由此即可推出结论；
（2）根据题意，当时，设y与x的函数解析式为，由图像可知该函数经过点和，代入可得方程组，解方程组即可得到函数解析式；
（3）根据（2）的结论，当时，y与x的函数解析式为，令，即，解得；再看的阶段，这个阶段充电功率为每小时20千瓦时，计算得充满5千瓦时需要的时间为小时，比较后即可得到结论.
（1）解：由题意，结合图象，在充电过程中始终先充A型号电池，且每小时充电20千瓦时，
，
故答案为：；
（2）解：由题意，当时，设y与x之间的函数关系式为，
又图象过，，
，
解得，
当时， y与x之间的函数关系式为；
（3）解：由题意，结合（2）得，当时， y与x之间的函数关系式为，
令，则，
，
又当时，每小时充电20千瓦时，
充电5千瓦时的时间，
，
该电动汽车充电过程中，电池包整体容量从5千瓦时到45千瓦时所需时间为小时．
22．【答案】【问题探究】
证明过程补全如下：，
，
，
，
【解决问题】
作图如下：
此时的最小值是
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：【解决问题】连接交于点O，由作图知即为的最小值．
，四边形是菱形，
是等边三角形，，
，
，
，
，
故答案为：
【分析】问题探究：按照题目给出的条件，补全对应的证明过程即可；
解决问题：连接交BD于点O，根据作图步骤可以得到就是的最小值，最后结合勾股定理即可求出最终结果.
23．【答案】（1）
（2）解：如图1，
是的中点，，
，
作于E，
，
，
四边形是矩形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
当点P在边上运动时，点Q到直线的距离为，，始终不变；
（3）解：如图2，
由（2）知，当点P在时，Q到的距离是3，到的距离是1，不符合题意，
∴点P在上，点Q在上方，
作于F，作于E，
点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍，
，
由（2）知，
，
，
，
点运动的路程是，
；
如图，点Q在下方，
作于G，作于E，交延长线于点，
点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍，
，
同理，
，
，
点运动的路程是，
；
综上，或；

（4）解：或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（1），由题意，点的运动的路程为，
，
故答案为：.
（4）如图3，当点P在上时，作，交于F，
由知，
，
，
，
，
，
如图4，当点P在上，作于W，作于V，作于G，
由知，
，
，
，
，
，
点P运动的路程是，
，
综上所述：或
故答案为：或.
【分析】（1）已知，点的运动速度为每秒2个单位长度，运动路程为，据此计算得到对应结果；（2）过点作，垂足为E，可证明≌，根据全等三角形对应边相等可得，由此推出最终结果；
（3）先判定此时点P落在边上，过点P作，垂足为F，过点Q作，垂足为E，参照第二问的思路可证≌，得到，进而推出，在此基础上计算得到最终结果；
（4）分两种情况讨论：①当点P落在边AD上时，过点Q作，QE交于点F，计算得到，由此求出的长度，进一步得到，即可得到对应结果；
②当点P落在边上时，过点P作，垂足为W，过点Q作，垂足为V，过点Q作，垂足为G，用和上述一致的方法推得最终结果．
（1）解：，由题意，点的运动的路程为，
，
故答案为：；
（2）如图1，
是的中点，，
，
作于E，
，
，
四边形是矩形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
当点P在边上运动时，点Q到直线的距离始终不变；
（3）解：如图2，
由知，
当点P在时，Q到的距离是3，到的距离是1，不符合题意，
∴点P在上，
作于F，作于E，
点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍，
，
由知，
，
，
，
点运动的路程是，
；
（4）如图3，
当点P在上时，作，交于F，
由知，
，
，
，
，
，
如图4，
当点P在上，作于W，作于V，作于G，
由知，
，
，
，
，
，
点P运动的路程是，
，
综上所述：或
24．【答案】（1）解：将点代入，
，
解得，
；

（2）证明：四边形是矩形，轴，
∴轴，轴，
∵，
，
；
（3）解：矩形为正方形，
，
，
解得或，
或；

（4）解：4或
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质；正方形的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（4）设直线与矩形的另一交点为点，
当点在上时，
∵直线将矩形的面积分成两部分，
∴，
∵矩形中，，
∴，
∴，
∴点为中点，
∴，即，
代入，得，
解得；
当点在上时，
同理得点为中点，
∴，即，
代入，得，
解得；
综上所述：或时，直线将矩形的面积分成两部分．
故答案为：4或.
【分析】（1）通过待定系数法求出该二次函数的解析式；
（2）结合题目条件可以确定出四个点的坐标：，根据坐标即可计算得到；
（3）由题意可知平行四边形为正方形时满足，因此可以得到等式，解方程得到或，代入即可得到点P的坐标；
（4）分两种情况进行讨论：当点落在边上时，以及当点落在边上时，两种情况下满足条件的点G分别对应的中点和的中点，将中点坐标代入计算，即可得到对应的a的值.
（1）解：将点代入，
，
解得，
；
（2）证明：四边形是矩形，轴，
∴轴，轴，
∵，
，
；
（3）解：矩形为正方形，
，
，
解得或，
或；
（4）解：设直线与矩形的另一交点为点，
当点在上时，
∵直线将矩形的面积分成两部分，
∴，
∵矩形中，，
∴，
∴，
∴点为中点，
∴，即，
代入，得，
解得；
当点在上时，
同理得点为中点，
∴，即，
代入，得，
解得；
综上所述：或时，直线将矩形的面积分成两部分．
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