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吉林省长春市新区2024-2025学年下学期九年级中考二模数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．把写成省略加号的和的形式，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：
=-2+（-3）+（+4）
，
故答案为：B．
【分析】根据有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”将减法转变为加法，然后写成省略括号和加号的形式即可．
2．国家级非物质文化遗产之一的东北大鼓是中国北方曲种，流行于辽宁、吉林、黑龙江3省．如图是奉天大鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该立体图形从正面看到的是．
故答案为：B．
【分析】从奉天大鼓给定的正面看得到的平面图形就是该奉天大鼓立体图形的主视图，能看见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，据此判断得出答案.
3．截至2025年3月9日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房（含预售及海外）已超过148亿元人民币，成功跻身全球影史票房榜第六位，148亿这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：148亿．
故选：B．
【分析】本题以电影票房数据为背景，考查了科学记数法的表示方法。148亿 = 1.48.
4．下列命题中是假命题的为（　　）
A．一个有理数与一个无理数的和一定是无理数
B．一个有理数与一个无理数的差一定是无理数
C．一个有理数与一个无理数的积一定是无理数
D．一个无理数的倒数一定是无理数
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：C． 一个有理数与一个无理数的积不一定是无理数，
例如：，故此命题是假命题；
其余选项都是真命题，
故选：C．
【分析】本题以命题的真假判断为背景，考查了有理数与无理数的运算性质。0乘以无理数结果为0（有理数），故“有理数与无理数的积一定是无理数”是假命题.
5．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面（即），靠背与支架平行（即），前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当，时，人躺着最舒服，此时扶手与靠背的夹角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】此题考查了平行线的性质，∠ODM和∠GOD为直线OE和DM被直线OF所截形成的内错角，可得，然后结合角的运算得，最后根据，即可作答．
6．如图，在中，是边上一点．按下列要求作图：①以点为圆心，为半径画弧；②以点为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点；④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．四边形是平行四边形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图可知，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
故选项A 、B、 D正确；
无法证明，即不一定成立．
故选：C．
【分析】本题以尺规作图为背景，考查了平行四边形的判定与性质。由作图得 CD = BF，BC = DF，则四边形 BCDF 为平行四边形，故 DFBC，BFCD， A = ABF 均成立，但无法确定 DE = EF，故选 C。
7．利用下列尺规作图中，不一定能判定直线平行于直线的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定；尺规作图-作一个角等于已知角；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、∵同位角相等，两直线平行，
∴∥，
∴此选项不符合题意；
B、∵内错角相等，两直线平行，
∴∥，
∴此选项不符合题意；
C、∵同旁内角相等，不能判定直线平行于直线，
∴此选项符合题意；
D、∵对顶角相等、同位角相等，两直线平行，
∴∥，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、由作图痕迹，根据同位角相等，两直线平行可判断求解；
B、由作图痕迹，根据内错角相等，两直线平行可判断求解；
C、由作图痕迹，根据同旁内角相等，不能判断两直线平行可判断求解；
D、由作图痕迹，根据同位角相等，两直线平行可判断求解.
8．如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象在第四象限内的部分交于点，将直线绕点逆时针旋转后与的图象在第二象限内的部分交于点，连结，若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：过点且垂直于轴的直线，
将代入，
解得：，故，
将直线绕点逆时针旋转后，
直线，
联立，
解得：或，
，
，
，由图可知：，
，
解得：，
故选：C．
【分析】本题以反比例函数与直线旋转为背景，考查了函数图象交点及两点间距离公式的应用。由 x=2 得，旋转后直线解析式为，联立解得。由得，化简得.
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
9．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】本题以因式分解为背景，考查了平方差公式的应用。。
10．若关于、的单项式与的和为0，则　 　．
【答案】
【知识点】单项式的概念；负整数指数幂；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：∵关于、的单项式与的和为0
∴，
即
∴，
故答案为：
【分析】本题以单项式的和为0为背景，考查了同类项的概念及合并同类项的法则。由和为0得 m = -1 ， n = 3 ， .
11．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是　 　．
【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设多边形的边数为N，根据题意，得
（N－2） 180＝3×360，
解得N＝8．
则这个多边形的边数是8．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．N边形的内角和是（N－2） 180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
12．如图，已知长方形纸片，点在边上，点在边上，分别沿折叠，使点B和点C都落在点P处，若，则的度数为　 　．
【答案】128°
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：四边形是长方形，，由折叠的性质得：，，，，，，，，
故答案为：．
【分析】由于折叠后，点P处拼成了一个周角，由矩形的性质和折叠的性质知，其中和都是直角互补，则剩余的和也互补；由于折叠不改变图形的形状与大小，则是的2倍、是的2倍、再利用平角的概念和三角形内角和定理可求出的度数，则的度数可求．
13．某游乐场里的摩天轮上以等间隔的方式设置了个座舱，该摩天轮按逆时针方向匀速运行，且旋转一圈需要分钟．若此时号座舱正好运行到号座舱的正前方，如图所示，则至少再过　 　分钟号座舱正好运行到号座舱的正上方．
【答案】18
【知识点】旋转的性质；圆周角的概念
【解析】【解答】解：摩天轮转一整圈用时分钟，即每分钟转过，
从“正前方”（水平对齐）转到“运行到的正上方”（垂直对齐）需要转过的角度为：，
即所需时间为分钟，
故答案为：18；
【分析】本题以摩天轮旋转为背景，考查了角速度及旋转角度的计算。摩天轮每分钟转 15°，从正前方到正上方需转过 270°，故需 27015 = 18 分钟。
14．如图，在等边三角形中，点在边上，点、在边上，点在边上，下面四个结论中，
①存在无数个三角形是等腰直角三角形．
②存在无数个四边形是正方形．
③存在无数个三角形是等边三角形．
④存在无数个三角形是等腰直角三角形．
正确的是　 　．（填写序号）
【答案】①③④
【知识点】等边三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：由题意得，点、、、不是固定点，可理解为动点，
结论①中，只要且，可证三角形是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个，
结论①正确；
结论②中，满足、且，可证四边形是正方形，这样的正方形只有一个，
结论②错误；
结论③中，满足，可证三角形是等边三角形，这样的三角形可以有无数个，
结论③正确；
结论④中，当，时，三角形是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个，
结论④正确；
综上，结论正确的是①③④．
故答案为：①③④．
【分析】本题以等边三角形中的动点问题为背景，考查了等腰直角三角形、正方形、等边三角形的判定与性质。通过构造满足特定条件的图形可得：①等腰直角三角形有无数个；②正方形只有一个；③等边三角形有无数个；④等腰直角三角形有无数个。综上所述，可得到正确结论的序号.
三、解答题：本大题共10小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．先化简，再求值：．其中．
【答案】解：原式
当时，
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题以整式的化简求值为背景，考查了平方差公式及单项式乘多项式法则。原式 = (x2-1) - (x2-2x) = 2x-1，代入 x=2025即可求解.
16．南湖公园的冰雪大滑梯有，，三个滑道．在三条滑道中，牛牛和天天两位小朋友将随机选择一个滑道．用画树状图（或列表）的方法，求牛牛和天天滑同一个滑道的概率．
【答案】解：根据题意列表如下：
牛牛 天天
由表可知，共有9种等可能结果，其中牛牛和天天滑同一个滑道的有3种结果，
则牛牛和天天滑同一个滑道的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】本题以概率问题为背景，考查了列表法（或树状图法）求随机事件的概率。列表得共有 9 种等可能结果，其中牛牛和天天选同一滑道的结果有 3 种，利用概率公式可求出结果.
17．研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，具体表现为植物通过光合作用将大气中的二氧化碳转化为有机碳，并固定在植物体内的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天平均每平方米固碳量比洋槐一天平均每平方米固碳量多克，求洋槐一天平均每平方米的固碳量．
【答案】解：设洋槐一天平均每平方米固碳量是克，则垂柳一天平均每平方米固碳量是克．
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：洋槐一天平均每平方米固碳量是克
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】本题以植物固碳能力为背景，考查了分式方程的实际应用。设洋槐每平方米固碳 x 克，则垂柳为 x+3.2 克，根据题意列方程，解得 x=5.4。
18．如图，在中，，、分别是、的中点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接交于点，若，，则_____．
【答案】（1）证明：∵、分别是、的中点，
∴，为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形
（2）
【知识点】菱形的判定与性质；三角形的中位线定理；求正切值
【解析】【分析】（2）解：∵，为的中位线，
∴，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.【分析】本题以三角形中位线和菱形为背景，考查了菱形的判定与性质、勾股定理及解直角三角形。
(1) 由 D，E 为中点及 AB=AC 得 BD=DE，结合 BF DE，EFDB 证四边形 BDEF 为菱形；
(2) 由中位线得 DE=，DEAC，则 DEM = C。由菱形得 DF BE，EM=2，勾股定理得 DM=1，故。
（1）证明：∵、分别是、的中点，
∴，为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，为的中位线，
∴，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴．
19．为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析．
数据收集（单位：万元）：
5.0 9.9 6.0 5.2 8.2 6.2 7.6 9.4 8.2 7.8
5.1 7.5 6.1 6.3 6.7 7.9 8.2 8.5 9.2 9.8
数据整理：
销售额/万元
频数 3 5 4 4
数据分析：
平均数 众数 中位数
7.44 8.2
问题解决：
（1）填空：_________，_________．
（2）若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有_____名员工获得奖励．
（3）经理对数据分析以后，最终对一半的员工进行了奖励．员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是7.5万元，比平均数7.44万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释．
【答案】（1）4，7.7
（2）12
（3）解：7.5万元小于中位数7.7万元，有一半多的员工销售额比7.5万元高，
∴员工甲没拿到奖励．
【知识点】频数（率）分布表；中位数
【解析】【解答】（1）解：该组数据中有4个数在7与8之间，故，
将20个数据按从小到大顺序排列，第10位和第11位分别是7.6，7.8，故中位数，
故答案为：4，7.7；
（2）月销售额不低于7万元的有：（人），
故答案为：12.
【分析】（1）根据题干中的数据求出a的值，再利用中位数的定义及计算方法求出b的值即可；
（2）根据表格中的数据列出算式求解即可；
（3）利用中位数的定义及性质分析求解即可.
20．图①、图②、图③均是的正方形网格，正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．只使用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，作出线段的垂直平分线．
（2）点、、均在上，在图②中，作出该圆的圆心．
（3）在图③中，作点，使得．
【答案】（1）解：线段的垂直平分线如下图：
（2）解：该圆的圆心如下图：
（3）解：如下图点为所求，
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；圆周角定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】本题以网格作图（无刻度直尺）为背景，考查了线段垂直平分线、三角形外接圆圆心及圆周角定理的应用。
(1) 利用格点构造线段 AC 的垂直平分线；
(2) 作线段 AB 和 AC 的垂直平分线，交点即为圆心 O；
(3) 利用圆周角定理，通过构造等角确定点 D。
（1）解：线段的垂直平分线如下图：
（2）解：该圆的圆心如下图：
（3）解：如下图点为所求，
21．小刚在炒菜时发现，往锅里分别倒入一勺菜籽油和一勺水，油温比水温升高的快．于是他猜测“不同物质吸热能力不同”．为了验证猜想，小刚准备了质量、温度均相同的水和菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度与加热时间，绘制成图象如图②所示．
（1）求菜籽油在加热过程中与的函数关系式；
（2）在实验过程中，某一时刻两温度计的示数相差，求加热的时间．
【答案】（1）解：设菜籽油在加热过程中与的函数关系式为，
把，代入中得：，
∴，
∴菜籽油在加热过程中与的函数关系式为
（2）解：把代入函数，得，
由图象可得，当水温为时不再升温．
设水在加热过程中与的函数关系式为，
把，代入中得：，
∴，
∴水在加热过程中与的函数关系式为；
由题意得，，
解得，
∵当时，，即此时水温为，不符合题意，
∴当水温为时，菜籽油继续升温，当两者温差为时，菜籽油温度为，
把代入函数，得，
解得，
∴加热的时间为分钟
【知识点】一次函数的其他应用；分类讨论
【解析】【分析】本题以水和菜籽油加热实验为背景，考查了一次函数的实际应用及分段讨论。
(1) 设 y = kx + b，代入 (0，20) 和 (4，80) 得 k = 15，b = 20，故 y = 15x + 20；
(2) 水温达 98℃ 后不再升高，分两种情况：水温未达上限时，由 15x + 20 - (10x + 20) = 42 解得 x = 8.4，但此时水温 104℃ 已超上限，舍去；故取水温 98℃ 时油温 140℃，代入 140 = 15x + 20 得 x = 8 分钟。
（1）解：设菜籽油在加热过程中与的函数关系式为，
把，代入中得：，
∴，
∴菜籽油在加热过程中与的函数关系式为；
（2）解：把代入函数，得，
由图象可得，当水温为时不再升温．
设水在加热过程中与的函数关系式为，
把，代入中得：，
∴，
∴水在加热过程中与的函数关系式为；
由题意得，，
解得，
∵当时，，即此时水温为，不符合题意，
∴当水温为时，菜籽油继续升温，当两者温差为时，菜籽油温度为，
把代入函数，得，
解得，
∴加热的时间为分钟．
22．【问题呈现】数学小组遇到一个问题：如图①，矩形中，，，点、分别在、上，且．过点作，垂足为，确定点的运动轨迹．
【问题解决】小组同学经过讨论，连接交于点，可证，通过勾股定理，进而可证明是定长．定角定长可得点的轨迹．
解：如图②，连接交于，
四边形是矩形，
，，
，，
____________________，
，
_________________________，
又_____，_____
，
_____，
，
点在以为直径的圆上运动．
【结论应用】
（1）当点运动到边上时，求的长．
（2）当最大时，则_____．
【答案】【问题解决】，，， ，（或）；
【结论应用】（1）当点运动到边上时，于点M，点和点重合，此时，
∴四边形是矩形，
，
∵，
∴；
（2）
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；圆-动点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：问题解决：
如图②，连接交于，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
又，，
，
，
，
点在以为直径的圆上运动．
故答案为：，，， ，（或）；
结论应用：
（2）∵点在以为直径的圆上运动，
∴弦的最大值为直径，此时与重合，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得
故答案为：．
【分析】本题以矩形中的动点轨迹问题为背景，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及圆周角定理。
【问题解决】连接 AC 交 EF 于 O，由 ABCD 及 AE = CF 证，得 AO = CO =（定长）。由 AM EF 得点 M 在以 AO 为直径的圆上运动。
【结论应用】(1) 当 M 在 AB 上时，E 与 M 重合，易得 AE = 1；
(2) AM 最大值为直径 AO，此时 EF AC，利用相似求 AE =。
23．如图，在矩形中，，，点在边上且．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动．当点不与点重合时，点绕点顺时针旋转得到点，以、为边作正方形．设点的运动时间为．
（1）当点落在线段上时，求线段的长．
（2）连结，当线段中点落在线段上时，求的值．
（3）当，且矩形与正方形重叠部分为轴对称图形时，求的取值范围．
（4）当矩形与正方形重叠部分面积为正方形面积的一半时，直接写出的值．
【答案】（1）解：当点落在线段上时，
四边形是正方形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，，
在中，，
，
（2）解：①当在线段上时，设的中点为，连接，作于点，如图所示，
则，
四边形为矩形，，，，
四边形和都是矩形，
，；
四边形是正方形，为的中点，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，
当在线段上，线段中点落在线段上时，；
②当点在上时，
线段中点落在线段上，
此时线段和线段共线，
设线段中点为，连接，设交于点，如图所示，
四边形是正方形，为的中点，
，，，，
，
同①可知四边形和都是矩形，
，
线段和线段共线，，
，
和为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，
当点在上，线段中点落在线段上时，；
综上，当线段中点落在线段上时，或
（3）解：①当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，如图所示，
当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形；
②当点在上时，如图所示，
此时矩形与正方形重叠部分显然不是轴对称图形；
③当点在上，且时，设交于点，连接，如图所示，
，，，
，
此时矩形与正方形重叠部分为四边形是轴对称图形；
作于点，设，
则四边形为矩形，
，
，
，
在中，，即，
解得，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，
当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形；
④当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，如图所示，
当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形；
综上，当或或时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形
（4）或
【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；四边形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（4）解：①当时，不存在使矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，如图所示；
②当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，设交于点，交于点，连接交于点，连接，作于点，如图所示，
则四边形和都是矩形，
，；
，
，
；
，
，，
，
，即点为正方形的对角线中点，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，
当时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半；
③当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，作于点，于点，设与交于点，如图所示，
则四边形、四边形和四边形均为矩形，
设，则，，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，即，
，
，
重叠部分面积
，
在中，，
，
，
整理得，，
解得，
，即，
，
，
，
时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半；
综上，当或时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半．
【分析】本题以矩形和正方形中的动点问题为背景，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定、勾股定理、轴对称图形及面积计算。需要分情况讨论点P在不同线段上的运动。
(1) 当点C落在线段EQ上时，利用△PAE∽△EBC，由相似比和勾股定理求PE；
(2) 分P在AD上和P在DC上两种情况，利用中点性质及全等三角形求对应线段长，进而得t值；
(3) 分0(4) 分P在AD上和P在DC上两种情形，利用重叠面积等于正方形面积一半列方程求解t。
（1）解：当点落在线段上时，
四边形是正方形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，，
在中，，
，
．
（2）解：①当在线段上时，设的中点为，连接，作于点，如图所示，
则，
四边形为矩形，，，，
四边形和都是矩形，
，；
四边形是正方形，为的中点，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，
当在线段上，线段中点落在线段上时，；
②当点在上时，
线段中点落在线段上，
此时线段和线段共线，
设线段中点为，连接，设交于点，如图所示，
四边形是正方形，为的中点，
，，，，
，
同①可知四边形和都是矩形，
，
线段和线段共线，，
，
和为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，
当点在上，线段中点落在线段上时，；
综上，当线段中点落在线段上时，或．
（3）解：①当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，如图所示，
当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形；
②当点在上时，如图所示，
此时矩形与正方形重叠部分显然不是轴对称图形；
③当点在上，且时，设交于点，连接，如图所示，
，，，
，
此时矩形与正方形重叠部分为四边形是轴对称图形；
作于点，设，
则四边形为矩形，
，
，
，
在中，，即，
解得，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，
当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形；
④当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，如图所示，
当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形；
综上，当或或时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形．
（4）解：①当时，不存在使矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，如图所示；
②当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，设交于点，交于点，连接交于点，连接，作于点，如图所示，
则四边形和都是矩形，
，；
，
，
；
，
，，
，
，即点为正方形的对角线中点，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，
当时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半；
③当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，作于点，于点，设与交于点，如图所示，
则四边形、四边形和四边形均为矩形，
设，则，，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，即，
，
，
重叠部分面积
，
在中，，
，
，
整理得，，
解得，
，即，
，
，
，
时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半；
综上，当或时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半．
24．在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点．点，、，当点不在轴上时，连结，，，得到．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）当时，求证：是等腰直角三角形．
（3）当抛物线在三角形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，求的取值范围；
（4）当时，若抛物线与有交点，设交点为．当点与的顶点所连的直线恰好平分的面积时，直接写出的值．
【答案】（1）解：把代入，得，
∴，
∴该抛物线对应的函数表达式为
（2）证明：当时，，，
∵点，
∴，，，
∴，
∴是等腰直角三角形
（3）解：如图，当在上时，
∴，整理得：，
解得：，
如图，当直线经过顶点，
设解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
∵上，
∴，解得：，
∴抛物线在三角形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，的取值范围且
（4）或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（4）解：当点与的顶点所连的直线恰好平分的面积时，
如图，为中点时，
∵，点，
∴，
∵在上，
∴，整理得，
解得：，（舍去），
如图，为中点时，
∵，，
∴，
∵在上，
∴，整理得，
解得：，（舍去），
如图，为中点时，
∵，，
∴，
∵在上，
∴，整理得，
解得：，（舍去），
综上可知：的值为或或．
【分析】本题以二次函数与三角形综合为背景，考查了待定系数法求解析式、等腰直角三角形的判定、函数增减性及中线平分面积的性质。
(1) 将 A(2，0) 代入 y = x2 - bx 得 b=2，故 y = x2 - 2x；
(2) m=2 时 E(2，4)， F(-2，4)，易证 AEEF 且 AE = EF = 4，故△ AEF 为等腰直角三角形；
(3) 分别考虑点 F 在抛物线上及直线 AE 过顶点时的临界情况，结合函数在三角形内部的增减性得 m 的取值范围；
(4) 分 G 为 AE 中点、EF 中点、AF 中点三种情况，利用中点坐标公式代入抛物线方程求解 m。
（1）解：把代入，得，
∴，
∴该抛物线对应的函数表达式为；
（2）证明：当时，，，
∵点，
∴，，，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：如图，当在上时，
∴，整理得：，
解得：，
如图，当直线经过顶点，
设解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
∵上，
∴，解得：，
∴抛物线在三角形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，的取值范围且；
（4）解：当点与的顶点所连的直线恰好平分的面积时，
如图，为中点时，
∵，点，
∴，
∵在上，
∴，整理得，
解得：，（舍去），
如图，为中点时，
∵，，
∴，
∵在上，
∴，整理得，
解得：，（舍去），
如图，为中点时，
∵，，
∴，
∵在上，
∴，整理得，
解得：，（舍去），
综上可知：的值为或或．
1 / 1吉林省长春市新区2024-2025学年下学期九年级中考二模数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．把写成省略加号的和的形式，正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．国家级非物质文化遗产之一的东北大鼓是中国北方曲种，流行于辽宁、吉林、黑龙江3省．如图是奉天大鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（　　）
A． B． C． D．
3．截至2025年3月9日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房（含预售及海外）已超过148亿元人民币，成功跻身全球影史票房榜第六位，148亿这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列命题中是假命题的为（　　）
A．一个有理数与一个无理数的和一定是无理数
B．一个有理数与一个无理数的差一定是无理数
C．一个有理数与一个无理数的积一定是无理数
D．一个无理数的倒数一定是无理数
5．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面（即），靠背与支架平行（即），前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当，时，人躺着最舒服，此时扶手与靠背的夹角的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，是边上一点．按下列要求作图：①以点为圆心，为半径画弧；②以点为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点；④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．四边形是平行四边形
7．利用下列尺规作图中，不一定能判定直线平行于直线的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象在第四象限内的部分交于点，将直线绕点逆时针旋转后与的图象在第二象限内的部分交于点，连结，若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
9．因式分解：　 　．
10．若关于、的单项式与的和为0，则　 　．
11．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是　 　．
12．如图，已知长方形纸片，点在边上，点在边上，分别沿折叠，使点B和点C都落在点P处，若，则的度数为　 　．
13．某游乐场里的摩天轮上以等间隔的方式设置了个座舱，该摩天轮按逆时针方向匀速运行，且旋转一圈需要分钟．若此时号座舱正好运行到号座舱的正前方，如图所示，则至少再过　 　分钟号座舱正好运行到号座舱的正上方．
14．如图，在等边三角形中，点在边上，点、在边上，点在边上，下面四个结论中，
①存在无数个三角形是等腰直角三角形．
②存在无数个四边形是正方形．
③存在无数个三角形是等边三角形．
④存在无数个三角形是等腰直角三角形．
正确的是　 　．（填写序号）
三、解答题：本大题共10小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．先化简，再求值：．其中．
16．南湖公园的冰雪大滑梯有，，三个滑道．在三条滑道中，牛牛和天天两位小朋友将随机选择一个滑道．用画树状图（或列表）的方法，求牛牛和天天滑同一个滑道的概率．
17．研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，具体表现为植物通过光合作用将大气中的二氧化碳转化为有机碳，并固定在植物体内的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天平均每平方米固碳量比洋槐一天平均每平方米固碳量多克，求洋槐一天平均每平方米的固碳量．
18．如图，在中，，、分别是、的中点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接交于点，若，，则_____．
19．为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析．
数据收集（单位：万元）：
5.0 9.9 6.0 5.2 8.2 6.2 7.6 9.4 8.2 7.8
5.1 7.5 6.1 6.3 6.7 7.9 8.2 8.5 9.2 9.8
数据整理：
销售额/万元
频数 3 5 4 4
数据分析：
平均数 众数 中位数
7.44 8.2
问题解决：
（1）填空：_________，_________．
（2）若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有_____名员工获得奖励．
（3）经理对数据分析以后，最终对一半的员工进行了奖励．员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是7.5万元，比平均数7.44万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释．
20．图①、图②、图③均是的正方形网格，正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．只使用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，作出线段的垂直平分线．
（2）点、、均在上，在图②中，作出该圆的圆心．
（3）在图③中，作点，使得．
21．小刚在炒菜时发现，往锅里分别倒入一勺菜籽油和一勺水，油温比水温升高的快．于是他猜测“不同物质吸热能力不同”．为了验证猜想，小刚准备了质量、温度均相同的水和菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度与加热时间，绘制成图象如图②所示．
（1）求菜籽油在加热过程中与的函数关系式；
（2）在实验过程中，某一时刻两温度计的示数相差，求加热的时间．
22．【问题呈现】数学小组遇到一个问题：如图①，矩形中，，，点、分别在、上，且．过点作，垂足为，确定点的运动轨迹．
【问题解决】小组同学经过讨论，连接交于点，可证，通过勾股定理，进而可证明是定长．定角定长可得点的轨迹．
解：如图②，连接交于，
四边形是矩形，
，，
，，
____________________，
，
_________________________，
又_____，_____
，
_____，
，
点在以为直径的圆上运动．
【结论应用】
（1）当点运动到边上时，求的长．
（2）当最大时，则_____．
23．如图，在矩形中，，，点在边上且．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动．当点不与点重合时，点绕点顺时针旋转得到点，以、为边作正方形．设点的运动时间为．
（1）当点落在线段上时，求线段的长．
（2）连结，当线段中点落在线段上时，求的值．
（3）当，且矩形与正方形重叠部分为轴对称图形时，求的取值范围．
（4）当矩形与正方形重叠部分面积为正方形面积的一半时，直接写出的值．
24．在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点．点，、，当点不在轴上时，连结，，，得到．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）当时，求证：是等腰直角三角形．
（3）当抛物线在三角形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，求的取值范围；
（4）当时，若抛物线与有交点，设交点为．当点与的顶点所连的直线恰好平分的面积时，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：
=-2+（-3）+（+4）
，
故答案为：B．
【分析】根据有理数减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”将减法转变为加法，然后写成省略括号和加号的形式即可．
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该立体图形从正面看到的是．
故答案为：B．
【分析】从奉天大鼓给定的正面看得到的平面图形就是该奉天大鼓立体图形的主视图，能看见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，据此判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：148亿．
故选：B．
【分析】本题以电影票房数据为背景，考查了科学记数法的表示方法。148亿 = 1.48.
4．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：C． 一个有理数与一个无理数的积不一定是无理数，
例如：，故此命题是假命题；
其余选项都是真命题，
故选：C．
【分析】本题以命题的真假判断为背景，考查了有理数与无理数的运算性质。0乘以无理数结果为0（有理数），故“有理数与无理数的积一定是无理数”是假命题.
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】此题考查了平行线的性质，∠ODM和∠GOD为直线OE和DM被直线OF所截形成的内错角，可得，然后结合角的运算得，最后根据，即可作答．
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图可知，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
故选项A 、B、 D正确；
无法证明，即不一定成立．
故选：C．
【分析】本题以尺规作图为背景，考查了平行四边形的判定与性质。由作图得 CD = BF，BC = DF，则四边形 BCDF 为平行四边形，故 DFBC，BFCD， A = ABF 均成立，但无法确定 DE = EF，故选 C。
7．【答案】C
【知识点】平行线的判定；尺规作图-作一个角等于已知角；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、∵同位角相等，两直线平行，
∴∥，
∴此选项不符合题意；
B、∵内错角相等，两直线平行，
∴∥，
∴此选项不符合题意；
C、∵同旁内角相等，不能判定直线平行于直线，
∴此选项符合题意；
D、∵对顶角相等、同位角相等，两直线平行，
∴∥，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、由作图痕迹，根据同位角相等，两直线平行可判断求解；
B、由作图痕迹，根据内错角相等，两直线平行可判断求解；
C、由作图痕迹，根据同旁内角相等，不能判断两直线平行可判断求解；
D、由作图痕迹，根据同位角相等，两直线平行可判断求解.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：过点且垂直于轴的直线，
将代入，
解得：，故，
将直线绕点逆时针旋转后，
直线，
联立，
解得：或，
，
，
，由图可知：，
，
解得：，
故选：C．
【分析】本题以反比例函数与直线旋转为背景，考查了函数图象交点及两点间距离公式的应用。由 x=2 得，旋转后直线解析式为，联立解得。由得，化简得.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】本题以因式分解为背景，考查了平方差公式的应用。。
10．【答案】
【知识点】单项式的概念；负整数指数幂；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：∵关于、的单项式与的和为0
∴，
即
∴，
故答案为：
【分析】本题以单项式的和为0为背景，考查了同类项的概念及合并同类项的法则。由和为0得 m = -1 ， n = 3 ， .
11．【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设多边形的边数为N，根据题意，得
（N－2） 180＝3×360，
解得N＝8．
则这个多边形的边数是8．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．N边形的内角和是（N－2） 180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
12．【答案】128°
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：四边形是长方形，，由折叠的性质得：，，，，，，，，
故答案为：．
【分析】由于折叠后，点P处拼成了一个周角，由矩形的性质和折叠的性质知，其中和都是直角互补，则剩余的和也互补；由于折叠不改变图形的形状与大小，则是的2倍、是的2倍、再利用平角的概念和三角形内角和定理可求出的度数，则的度数可求．
13．【答案】18
【知识点】旋转的性质；圆周角的概念
【解析】【解答】解：摩天轮转一整圈用时分钟，即每分钟转过，
从“正前方”（水平对齐）转到“运行到的正上方”（垂直对齐）需要转过的角度为：，
即所需时间为分钟，
故答案为：18；
【分析】本题以摩天轮旋转为背景，考查了角速度及旋转角度的计算。摩天轮每分钟转 15°，从正前方到正上方需转过 270°，故需 27015 = 18 分钟。
14．【答案】①③④
【知识点】等边三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：由题意得，点、、、不是固定点，可理解为动点，
结论①中，只要且，可证三角形是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个，
结论①正确；
结论②中，满足、且，可证四边形是正方形，这样的正方形只有一个，
结论②错误；
结论③中，满足，可证三角形是等边三角形，这样的三角形可以有无数个，
结论③正确；
结论④中，当，时，三角形是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个，
结论④正确；
综上，结论正确的是①③④．
故答案为：①③④．
【分析】本题以等边三角形中的动点问题为背景，考查了等腰直角三角形、正方形、等边三角形的判定与性质。通过构造满足特定条件的图形可得：①等腰直角三角形有无数个；②正方形只有一个；③等边三角形有无数个；④等腰直角三角形有无数个。综上所述，可得到正确结论的序号.
15．【答案】解：原式
当时，
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题以整式的化简求值为背景，考查了平方差公式及单项式乘多项式法则。原式 = (x2-1) - (x2-2x) = 2x-1，代入 x=2025即可求解.
16．【答案】解：根据题意列表如下：
牛牛 天天
由表可知，共有9种等可能结果，其中牛牛和天天滑同一个滑道的有3种结果，
则牛牛和天天滑同一个滑道的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】本题以概率问题为背景，考查了列表法（或树状图法）求随机事件的概率。列表得共有 9 种等可能结果，其中牛牛和天天选同一滑道的结果有 3 种，利用概率公式可求出结果.
17．【答案】解：设洋槐一天平均每平方米固碳量是克，则垂柳一天平均每平方米固碳量是克．
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：洋槐一天平均每平方米固碳量是克
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】本题以植物固碳能力为背景，考查了分式方程的实际应用。设洋槐每平方米固碳 x 克，则垂柳为 x+3.2 克，根据题意列方程，解得 x=5.4。
18．【答案】（1）证明：∵、分别是、的中点，
∴，为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形
（2）
【知识点】菱形的判定与性质；三角形的中位线定理；求正切值
【解析】【分析】（2）解：∵，为的中位线，
∴，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.【分析】本题以三角形中位线和菱形为背景，考查了菱形的判定与性质、勾股定理及解直角三角形。
(1) 由 D，E 为中点及 AB=AC 得 BD=DE，结合 BF DE，EFDB 证四边形 BDEF 为菱形；
(2) 由中位线得 DE=，DEAC，则 DEM = C。由菱形得 DF BE，EM=2，勾股定理得 DM=1，故。
（1）证明：∵、分别是、的中点，
∴，为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，为的中位线，
∴，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴．
19．【答案】（1）4，7.7
（2）12
（3）解：7.5万元小于中位数7.7万元，有一半多的员工销售额比7.5万元高，
∴员工甲没拿到奖励．
【知识点】频数（率）分布表；中位数
【解析】【解答】（1）解：该组数据中有4个数在7与8之间，故，
将20个数据按从小到大顺序排列，第10位和第11位分别是7.6，7.8，故中位数，
故答案为：4，7.7；
（2）月销售额不低于7万元的有：（人），
故答案为：12.
【分析】（1）根据题干中的数据求出a的值，再利用中位数的定义及计算方法求出b的值即可；
（2）根据表格中的数据列出算式求解即可；
（3）利用中位数的定义及性质分析求解即可.
20．【答案】（1）解：线段的垂直平分线如下图：
（2）解：该圆的圆心如下图：
（3）解：如下图点为所求，
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；圆周角定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】本题以网格作图（无刻度直尺）为背景，考查了线段垂直平分线、三角形外接圆圆心及圆周角定理的应用。
(1) 利用格点构造线段 AC 的垂直平分线；
(2) 作线段 AB 和 AC 的垂直平分线，交点即为圆心 O；
(3) 利用圆周角定理，通过构造等角确定点 D。
（1）解：线段的垂直平分线如下图：
（2）解：该圆的圆心如下图：
（3）解：如下图点为所求，
21．【答案】（1）解：设菜籽油在加热过程中与的函数关系式为，
把，代入中得：，
∴，
∴菜籽油在加热过程中与的函数关系式为
（2）解：把代入函数，得，
由图象可得，当水温为时不再升温．
设水在加热过程中与的函数关系式为，
把，代入中得：，
∴，
∴水在加热过程中与的函数关系式为；
由题意得，，
解得，
∵当时，，即此时水温为，不符合题意，
∴当水温为时，菜籽油继续升温，当两者温差为时，菜籽油温度为，
把代入函数，得，
解得，
∴加热的时间为分钟
【知识点】一次函数的其他应用；分类讨论
【解析】【分析】本题以水和菜籽油加热实验为背景，考查了一次函数的实际应用及分段讨论。
(1) 设 y = kx + b，代入 (0，20) 和 (4，80) 得 k = 15，b = 20，故 y = 15x + 20；
(2) 水温达 98℃ 后不再升高，分两种情况：水温未达上限时，由 15x + 20 - (10x + 20) = 42 解得 x = 8.4，但此时水温 104℃ 已超上限，舍去；故取水温 98℃ 时油温 140℃，代入 140 = 15x + 20 得 x = 8 分钟。
（1）解：设菜籽油在加热过程中与的函数关系式为，
把，代入中得：，
∴，
∴菜籽油在加热过程中与的函数关系式为；
（2）解：把代入函数，得，
由图象可得，当水温为时不再升温．
设水在加热过程中与的函数关系式为，
把，代入中得：，
∴，
∴水在加热过程中与的函数关系式为；
由题意得，，
解得，
∵当时，，即此时水温为，不符合题意，
∴当水温为时，菜籽油继续升温，当两者温差为时，菜籽油温度为，
把代入函数，得，
解得，
∴加热的时间为分钟．
22．【答案】【问题解决】，，， ，（或）；
【结论应用】（1）当点运动到边上时，于点M，点和点重合，此时，
∴四边形是矩形，
，
∵，
∴；
（2）
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；圆-动点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：问题解决：
如图②，连接交于，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
又，，
，
，
，
点在以为直径的圆上运动．
故答案为：，，， ，（或）；
结论应用：
（2）∵点在以为直径的圆上运动，
∴弦的最大值为直径，此时与重合，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得
故答案为：．
【分析】本题以矩形中的动点轨迹问题为背景，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及圆周角定理。
【问题解决】连接 AC 交 EF 于 O，由 ABCD 及 AE = CF 证，得 AO = CO =（定长）。由 AM EF 得点 M 在以 AO 为直径的圆上运动。
【结论应用】(1) 当 M 在 AB 上时，E 与 M 重合，易得 AE = 1；
(2) AM 最大值为直径 AO，此时 EF AC，利用相似求 AE =。
23．【答案】（1）解：当点落在线段上时，
四边形是正方形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，，
在中，，
，
（2）解：①当在线段上时，设的中点为，连接，作于点，如图所示，
则，
四边形为矩形，，，，
四边形和都是矩形，
，；
四边形是正方形，为的中点，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，
当在线段上，线段中点落在线段上时，；
②当点在上时，
线段中点落在线段上，
此时线段和线段共线，
设线段中点为，连接，设交于点，如图所示，
四边形是正方形，为的中点，
，，，，
，
同①可知四边形和都是矩形，
，
线段和线段共线，，
，
和为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，
当点在上，线段中点落在线段上时，；
综上，当线段中点落在线段上时，或
（3）解：①当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，如图所示，
当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形；
②当点在上时，如图所示，
此时矩形与正方形重叠部分显然不是轴对称图形；
③当点在上，且时，设交于点，连接，如图所示，
，，，
，
此时矩形与正方形重叠部分为四边形是轴对称图形；
作于点，设，
则四边形为矩形，
，
，
，
在中，，即，
解得，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，
当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形；
④当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，如图所示，
当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形；
综上，当或或时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形
（4）或
【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；四边形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（4）解：①当时，不存在使矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，如图所示；
②当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，设交于点，交于点，连接交于点，连接，作于点，如图所示，
则四边形和都是矩形，
，；
，
，
；
，
，，
，
，即点为正方形的对角线中点，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，
当时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半；
③当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，作于点，于点，设与交于点，如图所示，
则四边形、四边形和四边形均为矩形，
设，则，，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，即，
，
，
重叠部分面积
，
在中，，
，
，
整理得，，
解得，
，即，
，
，
，
时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半；
综上，当或时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半．
【分析】本题以矩形和正方形中的动点问题为背景，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定、勾股定理、轴对称图形及面积计算。需要分情况讨论点P在不同线段上的运动。
(1) 当点C落在线段EQ上时，利用△PAE∽△EBC，由相似比和勾股定理求PE；
(2) 分P在AD上和P在DC上两种情况，利用中点性质及全等三角形求对应线段长，进而得t值；
(3) 分0(4) 分P在AD上和P在DC上两种情形，利用重叠面积等于正方形面积一半列方程求解t。
（1）解：当点落在线段上时，
四边形是正方形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，，
在中，，
，
．
（2）解：①当在线段上时，设的中点为，连接，作于点，如图所示，
则，
四边形为矩形，，，，
四边形和都是矩形，
，；
四边形是正方形，为的中点，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，
当在线段上，线段中点落在线段上时，；
②当点在上时，
线段中点落在线段上，
此时线段和线段共线，
设线段中点为，连接，设交于点，如图所示，
四边形是正方形，为的中点，
，，，，
，
同①可知四边形和都是矩形，
，
线段和线段共线，，
，
和为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，
当点在上，线段中点落在线段上时，；
综上，当线段中点落在线段上时，或．
（3）解：①当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，如图所示，
当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形；
②当点在上时，如图所示，
此时矩形与正方形重叠部分显然不是轴对称图形；
③当点在上，且时，设交于点，连接，如图所示，
，，，
，
此时矩形与正方形重叠部分为四边形是轴对称图形；
作于点，设，
则四边形为矩形，
，
，
，
在中，，即，
解得，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，
当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形；
④当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，如图所示，
当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形；
综上，当或或时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形．
（4）解：①当时，不存在使矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，如图所示；
②当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，设交于点，交于点，连接交于点，连接，作于点，如图所示，
则四边形和都是矩形，
，；
，
，
；
，
，，
，
，即点为正方形的对角线中点，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，
当时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半；
③当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，作于点，于点，设与交于点，如图所示，
则四边形、四边形和四边形均为矩形，
设，则，，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，即，
，
，
重叠部分面积
，
在中，，
，
，
整理得，，
解得，
，即，
，
，
，
时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半；
综上，当或时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半．
24．【答案】（1）解：把代入，得，
∴，
∴该抛物线对应的函数表达式为
（2）证明：当时，，，
∵点，
∴，，，
∴，
∴是等腰直角三角形
（3）解：如图，当在上时，
∴，整理得：，
解得：，
如图，当直线经过顶点，
设解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
∵上，
∴，解得：，
∴抛物线在三角形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，的取值范围且
（4）或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（4）解：当点与的顶点所连的直线恰好平分的面积时，
如图，为中点时，
∵，点，
∴，
∵在上，
∴，整理得，
解得：，（舍去），
如图，为中点时，
∵，，
∴，
∵在上，
∴，整理得，
解得：，（舍去），
如图，为中点时，
∵，，
∴，
∵在上，
∴，整理得，
解得：，（舍去），
综上可知：的值为或或．
【分析】本题以二次函数与三角形综合为背景，考查了待定系数法求解析式、等腰直角三角形的判定、函数增减性及中线平分面积的性质。
(1) 将 A(2，0) 代入 y = x2 - bx 得 b=2，故 y = x2 - 2x；
(2) m=2 时 E(2，4)， F(-2，4)，易证 AEEF 且 AE = EF = 4，故△ AEF 为等腰直角三角形；
(3) 分别考虑点 F 在抛物线上及直线 AE 过顶点时的临界情况，结合函数在三角形内部的增减性得 m 的取值范围；
(4) 分 G 为 AE 中点、EF 中点、AF 中点三种情况，利用中点坐标公式代入抛物线方程求解 m。
（1）解：把代入，得，
∴，
∴该抛物线对应的函数表达式为；
（2）证明：当时，，，
∵点，
∴，，，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：如图，当在上时，
∴，整理得：，
解得：，
如图，当直线经过顶点，
设解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
∵上，
∴，解得：，
∴抛物线在三角形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，的取值范围且；
（4）解：当点与的顶点所连的直线恰好平分的面积时，
如图，为中点时，
∵，点，
∴，
∵在上，
∴，整理得，
解得：，（舍去），
如图，为中点时，
∵，，
∴，
∵在上，
∴，整理得，
解得：，（舍去），
如图，为中点时，
∵，，
∴，
∵在上，
∴，整理得，
解得：，（舍去），
综上可知：的值为或或．
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