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吉林省吉林市第十三中学2024-2025学年八年级下学期期末测试数学试题
一、选择题（每题3分，共18分）
1．下列各式一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列线段的长不能构成直角三角形的是（　　）
A．5，12，13 B．2，3， C．4，7，5 D．1， ，
3．如图，菱形的对角线相交于点O，E为的中点．若，，则的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．
4．一次函数y=kx+b的图象如图所示，不等式kx+b＞0的解集是（　　）
A．x＞2 B．x＞4 C．x＜2 D．x＜4
5．数据1，2，3，3，5，5，5的众数和中位数分别是（　　）
A．5，4 B．3，5 C．5，5 D．5，3
6．二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．或
二、填空题（每题3分，共15分）
7．如图，从数轴的原点O向右数出4个单位，记为点A，过点A作数轴的垂线并截取AB为1个单位长度，连接OB，以点O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C所表示的实数为　 　．
8．若二次函数的图像与轴没有公共点，则的取值范围是　 　．
9．从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成绩都是87.9分，方差分别是s甲2＝3.83，s乙2＝2.71，s丙2＝1.52．若选取成绩稳定的一人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是　 　．
10．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD＝　 　°．
11．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线y＝x＋b与△ABC有交点时，b的取值范围是　 　．
三、解答题（共87分）
12．计算： .
13．解方程：．
14．已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，求一次函数的解析式．
15．已知 ， ，求 的值
16．如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，已知P，Q分别是BG，CG的中点．
（1）求证：四边形EFPQ是平行四边形；
（2）请判断BG与GE的数量关系，并证明．
17．2020年为“扶贫攻坚”决胜之年．某校八年级（1）班的同学积极响应校团委号召，每位同学都向学校对口帮扶的贫困地区捐赠了图书．全班捐书情况如图，请你根据图中提供的信息解答以下问题，
（1）该班共有__________名学生；
（2）本次捐赠图书册数的中位数为__________册，众数为___________册；
（3）该校八年级共有320名学生，估计该校八年级学生本次捐赠图书为7册的学生人数．
18．如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接，作，作，连接交于点O．
（1）求证：；
（2）若四边形是菱形，求菱形的面积．
19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E、F两点在BC上，且四边形AEFD是平行四边形．
（1）AD与BC有何等量关系？请说明理由；
（2）当AB=DC时，求证：四边形AEFD是矩形．
20．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线OBCDA表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：
（1）当轿车刚到乙地时，此时货车距离乙地　 　千米；
（2）当轿车与货车相遇时，求此时x的值；
（3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x的值．
21．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为xm，面积为Sm2．
（I）写出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围；
（Ⅱ）当该矩形菜园的面积为72m2时，求边AB的长；
（Ⅲ）当边AB的长为多少时，该矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？
22．如图①，在中，．动点沿边以每秒个单位长度的速度从点向终点运动．设点运动的时间为秒．
（1）线段的长为____________（用含的代数式表示）．
（2）当平分时，求的值．
（3）如图②，另一动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，在上往返运动．、两点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动．当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A、的根指数为3，不是二次根式，不符合题意；
B、，根指数为2，且，故，被开方数恒正，一定是二次根式，符合题意
C、的被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意；
D、，当时，无意义或为负数，故不一定是二次根式，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的定义（形如，的式子），逐一分析各选项是否满足条件．
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵52+122=132，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵22+( )2=32，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵42+52≠72，∴不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵12+ = ，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一分析即可.
3．【答案】D
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】∵菱形的对角线相交于点O，，，
∴，，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
故选：D．
【分析】
先根据菱形对角线互相垂直平分的性质，得到AO、DO的长度，再借助勾股定理计算出菱形的边长，最后结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可得到最终结果.
4．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与x轴的交点坐标为（2，0）
∴kx+b＞0的解集为x＜2，
故答案为：C.
【分析】观察函数图象可知此图象与x轴的交点坐标为（2，0），要使y＞0，就是一次函数图象位于x轴上方的部分，据此可求解.
5．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：排序为：1，2，3，3，5，5，5，
∵处于最中间的数是3，
∴这组数据的中位数是3；
∵5出现了3次，是这组数据中出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是5，
故答案为：D.
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），据此可得答案.
6．【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或，
故选：D．
【分析】
按照题意，当函数值满足时，自变量x的取值范围，其实就是找出二次函数图象位于x轴上方时，对应的x的取值区间，据此即可得到结论.
7．【答案】
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】在Rt△OAB中，根据勾股定理：OB＝＝，
∴点C所表示的实数为，
故答案为：．
【分析】先在直角三角形中利用勾股定理求出线段 OB 的长度，再根据数轴上的点与实数的对应关系，得出点 C 所表示的实数。
8．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵二次函数的图像与轴没有公共点，
∴，
解得．
故答案为： ．
【分析】
已知二次函数的图象与x轴没有交点，因此可以得到根的判别式满足，解这个不等式即可得到结果.
9．【答案】丙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵平均成绩都是87.9分，s甲2＝3.83，s乙2＝2.71，s丙2＝1.52，
∴s丙2＜s乙2＜s甲2，
∴选手丙的成绩更稳定，即适合参加比赛的选手是丙．
故答案为：丙．
【分析】
方差是用来衡量一组数据波动大小的统计量，结合这一性质即可进行求解.
10．【答案】45
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，交MN于点P1，
∴P1D=P1A，
∵AP1+CP1=P1D+CP1=AC，
∵两点之间线段最短，此时P1D+CP1的值最小，
∴当点P和点P1重合时，PC+DP的值最小，
∵ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∴∠PCD=∠ABC=45°，
故答案为：45.
【分析】作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，交MN于点P1，可证得P1D=P1A，由此可推出当点P和点P1重合时，PC+DP的值最小就是AC的长，利用正方形的性质可求出∠PCD的度数.
11．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；数形结合
【解析】【解答】解：直线y＝x＋b经过点B，将B(3，1)代入直线y＝x＋b中，可得，解得；
直线y＝x＋b经过点A，将A(1，1)代入直线y＝x＋b中，可得，解得；
直线y＝x＋b经过点C，C(2，2)代入直线y＝x＋b中，可得，解得；
故b的取值范围是．
故答案为：
【分析】
分别把点A（1，1）、B（3，1）、C（2，2）的坐标代入直线解析式x＋b，求出对应的b值，再结合一次函数的增减性，就能推导出b的取值范围.
12．【答案】解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】由“、、”可将二次根式化简，再合并同类二次根式即可求解.
13．【答案】解：
，
分解因式得：，
可得或，
解得：．

【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
通过移项后，运用因式分解法求解这个一元二次方程.
14．【答案】解：设一次函数的解析式为．
∵一次函数的图象平行于直线，
∴，
∵一次函数的图象经过点，
，
∴，
∴一次函数的解析式为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】利用两直线平行，可得到k的值，再将点（-2，4）函数解析式，可求出b的值，据此可得到一次函数解析式.
15．【答案】解：∵x=1﹣ ，y=1+ ，∴x﹣y=（1﹣ ）﹣（1+ ）=﹣2 ，xy=（1﹣ ）（1+ ）=﹣1，∴x2+y2﹣xy﹣2x+2y=（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+xy
=（﹣2 ）2﹣2×（﹣2 ）+（﹣1）
=7+4 ．
【知识点】代数式求值
【解析】【分析】根据x，y的值，首先求出x-y的值，xy的值，再将代数式x2+y2﹣xy﹣2x+2y化为（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+xy，再整体代入即可算出答案。
16．【答案】解：（1）∵BE、CF是△ABC的中线，∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC且EF＝BC，
∵P、Q分别是BG、CG的中点，∴PQ是△BCG的中位线，
∴PQ∥BC且PQ＝BC，
∴EF∥PQ且EF＝PQ，
∴四边形EFPQ是平行四边形；
（2）BG＝2GE，
∵四边形EFPQ是平行四边形，∴GP＝GE，
∵P是BG中点，∴BG＝2PG，
∴BG＝2GE.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）已知BE、CF是△ABC的两条中线，由此可得点E、F分别是AC、AB的中点，因此EF是△ABC的中位线；又因为P、Q分别是BG、CG的中点，所以PQ是△BCG的中位线。根据三角形中位线定理可以得到：EFBC，且EF=BC，同时PQBC，且PQ=BC。由此可推出EFPQ，且EF=PQ，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可判定四边形EFPQ是平行四边形。
（2）根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，可得GE=GP。又因为P是BG的中点，因此BG=2PG，结合GE=GP即可得到对应线段关系。
17．【答案】（1）40；（2）7，8；
解：（3）该校八年级学生本次捐赠图书为7册的学生人数：320×30%=96（名）
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）该班共有学生数是：12÷30%=40（名）；
故答案为：40；
（2）捐献4册的人数有：40×10%=4名，捐献8册的人数有：40×35%=14名，
按从小到大的顺序排列得到第20，21个数均为7册，所以中位数为7册．
出现次数最多的是8册，所以众数为8册．
故答案为：7，8；
【分析】（1）用捐书7册的人数除以捐书7册的人数所占的百分比，列式计算即可.
（2）利用中位数的定义找出中位数，再根据众数是一组数据中出现次数最多的数，即可求出这组数据的众数.
（3）用总人数分别乘以捐书7册的百分比，列式计算.
18．【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴
（2）解：∵四边形是菱形，∴，
设，则，
在中，，，
∴，
解得：
即，
∴菱形的面积为
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）与有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得结论.
（2）与菱形的性质可得，设，可表示出BD的长，在中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AD的长；然后利用菱形的面积公式进行计算.
（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
设，则，
在中，，，
∴，
解得：
即，
∴菱形的面积为．
19．【答案】解：（1）AD=BC
理由如下：
∵AD∥BC，AB∥DE，
∴四边形ABED和四边形
∴AD=BE
∵AD∥BC，AF∥DC
AFCD都是平行四边形．
∴AD=FC，
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD=EF．
∴AD=BE=EF=FC．
∴；
（2）
证明：∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，
∴DE=AB，AF=DC．
∵AB=DC，
∴DE=AF．
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴平行四边形AEFD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）由四边形AEFD是平行四边形可得AD=EF，根据条件可证四边形ABED是平行四边形， 再根据四边形AFCD是平行四边形，得到AD=BE，AD=FC，进而得出AD=BC；
（2）根据矩形的判定和定义，对角线相等的平行四边形是矩形，证明AF=DE即可得出四边形AEFD是矩形．
20．【答案】（1）30；
解：（2）设CD段函数解析式为y＝kx+b（k≠0）（2.5≤x≤4.5）．
∵C（2.5，80），D（4.5，300）在其图象上，
，解得，
∴CD段函数解析式：y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；
易得OA：y＝60x，
，解得，
∴当x＝3.9时，轿车与货车相遇；
（3）当x＝2.5时，y货＝150，两车相距＝150﹣80＝70＞20，
由题意60x﹣（110x﹣195）＝20或110x﹣195﹣60x＝20，
解得x＝3.5或4.3小时．
答：在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，x的值为3.5或4.3小时
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）根据图象信息：货车的速度V货＝，
∵轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时，
∴轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：4.5×60＝270（千米），
此时，货车距乙地的路程为：300﹣270＝30（千米）．
所以轿车到达乙地后，货车距乙地30千米．
故答案为：30；
【分析】（1）根据图象可知货车5小时行驶300千米，由此可求出货车的速度，同时从图象可得出货车出发后4.5小时轿车到达乙地，由此求出轿车到达乙地时，可求出货车行驶的路程，而甲、乙两地相距300千米，列式计算可求出货车距乙地的路程.
（2）利用待定系数法先求出线段CD对应的函数解析式，再联立两个函数求交点，即可得到相遇时间.
（3）分情况讨论，根据两车相距不超过20千米的条件列出方程，即可求解.
21．【答案】解：（Ⅰ）∵AB＝CD＝xm
∴BC＝（30﹣2x）m，
由题意得S＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x（6≤x＜10）；
（Ⅱ）令s＝72得：﹣2x2+30x＝72，
解得：x＝3或x＝12，
当x＝3时，30﹣2x＝24＞18，
∴x取12，
答：AB的长为12米．
（Ⅲ）∵S＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，
∴当x＝7.5时，30﹣2x＝15<18，S有最大值，S最大＝112.5，
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】（Ⅰ）设菜园的宽AB为x米，那么平行于墙的边BC的长度为(30-2x)米，根据矩形面积公式可得面积S与x的函数关系式为：S = x(30-2x) = -2x2+30x
（Ⅱ）若要求菜园面积为72平方米，令S=72，可得方程-2x2+30x=72，解得x1=3，x2=12。当x=3时，30-2x=24>18，不符合墙长的限制，舍去；当x=12时，30-2x=6<18，符合要求，因此当AB长为12米时，菜园面积为72平方米。
（Ⅲ）将面积函数配方得S=-2x2+30，当x=7.5时，S取得最大值=112.5平方米，即此时菜园可以达到最大面积112.5平方米。
22．【答案】（1）
（2）解：在中，，，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；

（3）解：∵以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，，
∴，
当点Q没有到达点B时，
，
∴（不合题意舍去），
当点Q到达点B后，返回时，
，
∴，
当点Q到达点C后，返回时，
，
∴，
当点Q第二次到达点B后，
，
∴．
综上所述：t的值为或8或．

【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；分类讨论
【解析】【解答】
（1）
解：由题意可得，
∴．
故答案为：；
【分析】
（1）结合题目给出的运动速度，可以得到，据此即可完成求解；
（2）借助平行线的性质以及角平分线的性质，可推导出，进而得到对应结果；
（3）根据题目的运动关系可得，结合平行四边形的性质，分四种不同情况进行讨论：分别是点Q未到达点B时；点Q到达点B后，在返程途中；点Q到达点C后，再次返程时；点Q第二次到达点B后，对每种情况分别计算即可得到最终结论.
（1）解：由题意可得，
∴．
故答案为：；
（2）解：在中，，，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，，
∴，
当点Q没有到达点B时，
，
∴（不合题意舍去），
当点Q到达点B后，返回时，
，
∴，
当点Q到达点C后，返回时，
，
∴，
当点Q第二次到达点B后，
，
∴．
综上所述：t的值为或8或．
1 / 1吉林省吉林市第十三中学2024-2025学年八年级下学期期末测试数学试题
一、选择题（每题3分，共18分）
1．下列各式一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A、的根指数为3，不是二次根式，不符合题意；
B、，根指数为2，且，故，被开方数恒正，一定是二次根式，符合题意
C、的被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意；
D、，当时，无意义或为负数，故不一定是二次根式，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的定义（形如，的式子），逐一分析各选项是否满足条件．
2．下列线段的长不能构成直角三角形的是（　　）
A．5，12，13 B．2，3， C．4，7，5 D．1， ，
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵52+122=132，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵22+( )2=32，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵42+52≠72，∴不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵12+ = ，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一分析即可.
3．如图，菱形的对角线相交于点O，E为的中点．若，，则的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】∵菱形的对角线相交于点O，，，
∴，，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
故选：D．
【分析】
先根据菱形对角线互相垂直平分的性质，得到AO、DO的长度，再借助勾股定理计算出菱形的边长，最后结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可得到最终结果.
4．一次函数y=kx+b的图象如图所示，不等式kx+b＞0的解集是（　　）
A．x＞2 B．x＞4 C．x＜2 D．x＜4
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与x轴的交点坐标为（2，0）
∴kx+b＞0的解集为x＜2，
故答案为：C.
【分析】观察函数图象可知此图象与x轴的交点坐标为（2，0），要使y＞0，就是一次函数图象位于x轴上方的部分，据此可求解.
5．数据1，2，3，3，5，5，5的众数和中位数分别是（　　）
A．5，4 B．3，5 C．5，5 D．5，3
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：排序为：1，2，3，3，5，5，5，
∵处于最中间的数是3，
∴这组数据的中位数是3；
∵5出现了3次，是这组数据中出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是5，
故答案为：D.
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），据此可得答案.
6．二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或，
故选：D．
【分析】
按照题意，当函数值满足时，自变量x的取值范围，其实就是找出二次函数图象位于x轴上方时，对应的x的取值区间，据此即可得到结论.
二、填空题（每题3分，共15分）
7．如图，从数轴的原点O向右数出4个单位，记为点A，过点A作数轴的垂线并截取AB为1个单位长度，连接OB，以点O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C所表示的实数为　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】在Rt△OAB中，根据勾股定理：OB＝＝，
∴点C所表示的实数为，
故答案为：．
【分析】先在直角三角形中利用勾股定理求出线段 OB 的长度，再根据数轴上的点与实数的对应关系，得出点 C 所表示的实数。
8．若二次函数的图像与轴没有公共点，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵二次函数的图像与轴没有公共点，
∴，
解得．
故答案为： ．
【分析】
已知二次函数的图象与x轴没有交点，因此可以得到根的判别式满足，解这个不等式即可得到结果.
9．从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成绩都是87.9分，方差分别是s甲2＝3.83，s乙2＝2.71，s丙2＝1.52．若选取成绩稳定的一人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是　 　．
【答案】丙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵平均成绩都是87.9分，s甲2＝3.83，s乙2＝2.71，s丙2＝1.52，
∴s丙2＜s乙2＜s甲2，
∴选手丙的成绩更稳定，即适合参加比赛的选手是丙．
故答案为：丙．
【分析】
方差是用来衡量一组数据波动大小的统计量，结合这一性质即可进行求解.
10．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD＝　 　°．
【答案】45
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，交MN于点P1，
∴P1D=P1A，
∵AP1+CP1=P1D+CP1=AC，
∵两点之间线段最短，此时P1D+CP1的值最小，
∴当点P和点P1重合时，PC+DP的值最小，
∵ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∴∠PCD=∠ABC=45°，
故答案为：45.
【分析】作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，交MN于点P1，可证得P1D=P1A，由此可推出当点P和点P1重合时，PC+DP的值最小就是AC的长，利用正方形的性质可求出∠PCD的度数.
11．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线y＝x＋b与△ABC有交点时，b的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；数形结合
【解析】【解答】解：直线y＝x＋b经过点B，将B(3，1)代入直线y＝x＋b中，可得，解得；
直线y＝x＋b经过点A，将A(1，1)代入直线y＝x＋b中，可得，解得；
直线y＝x＋b经过点C，C(2，2)代入直线y＝x＋b中，可得，解得；
故b的取值范围是．
故答案为：
【分析】
分别把点A（1，1）、B（3，1）、C（2，2）的坐标代入直线解析式x＋b，求出对应的b值，再结合一次函数的增减性，就能推导出b的取值范围.
三、解答题（共87分）
12．计算： .
【答案】解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】由“、、”可将二次根式化简，再合并同类二次根式即可求解.
13．解方程：．
【答案】解：
，
分解因式得：，
可得或，
解得：．

【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
通过移项后，运用因式分解法求解这个一元二次方程.
14．已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，求一次函数的解析式．
【答案】解：设一次函数的解析式为．
∵一次函数的图象平行于直线，
∴，
∵一次函数的图象经过点，
，
∴，
∴一次函数的解析式为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】利用两直线平行，可得到k的值，再将点（-2，4）函数解析式，可求出b的值，据此可得到一次函数解析式.
15．已知 ， ，求 的值
【答案】解：∵x=1﹣ ，y=1+ ，∴x﹣y=（1﹣ ）﹣（1+ ）=﹣2 ，xy=（1﹣ ）（1+ ）=﹣1，∴x2+y2﹣xy﹣2x+2y=（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+xy
=（﹣2 ）2﹣2×（﹣2 ）+（﹣1）
=7+4 ．
【知识点】代数式求值
【解析】【分析】根据x，y的值，首先求出x-y的值，xy的值，再将代数式x2+y2﹣xy﹣2x+2y化为（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+xy，再整体代入即可算出答案。
16．如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，已知P，Q分别是BG，CG的中点．
（1）求证：四边形EFPQ是平行四边形；
（2）请判断BG与GE的数量关系，并证明．
【答案】解：（1）∵BE、CF是△ABC的中线，∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC且EF＝BC，
∵P、Q分别是BG、CG的中点，∴PQ是△BCG的中位线，
∴PQ∥BC且PQ＝BC，
∴EF∥PQ且EF＝PQ，
∴四边形EFPQ是平行四边形；
（2）BG＝2GE，
∵四边形EFPQ是平行四边形，∴GP＝GE，
∵P是BG中点，∴BG＝2PG，
∴BG＝2GE.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）已知BE、CF是△ABC的两条中线，由此可得点E、F分别是AC、AB的中点，因此EF是△ABC的中位线；又因为P、Q分别是BG、CG的中点，所以PQ是△BCG的中位线。根据三角形中位线定理可以得到：EFBC，且EF=BC，同时PQBC，且PQ=BC。由此可推出EFPQ，且EF=PQ，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可判定四边形EFPQ是平行四边形。
（2）根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，可得GE=GP。又因为P是BG的中点，因此BG=2PG，结合GE=GP即可得到对应线段关系。
17．2020年为“扶贫攻坚”决胜之年．某校八年级（1）班的同学积极响应校团委号召，每位同学都向学校对口帮扶的贫困地区捐赠了图书．全班捐书情况如图，请你根据图中提供的信息解答以下问题，
（1）该班共有__________名学生；
（2）本次捐赠图书册数的中位数为__________册，众数为___________册；
（3）该校八年级共有320名学生，估计该校八年级学生本次捐赠图书为7册的学生人数．
【答案】（1）40；（2）7，8；
解：（3）该校八年级学生本次捐赠图书为7册的学生人数：320×30%=96（名）
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）该班共有学生数是：12÷30%=40（名）；
故答案为：40；
（2）捐献4册的人数有：40×10%=4名，捐献8册的人数有：40×35%=14名，
按从小到大的顺序排列得到第20，21个数均为7册，所以中位数为7册．
出现次数最多的是8册，所以众数为8册．
故答案为：7，8；
【分析】（1）用捐书7册的人数除以捐书7册的人数所占的百分比，列式计算即可.
（2）利用中位数的定义找出中位数，再根据众数是一组数据中出现次数最多的数，即可求出这组数据的众数.
（3）用总人数分别乘以捐书7册的百分比，列式计算.
18．如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接，作，作，连接交于点O．
（1）求证：；
（2）若四边形是菱形，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴
（2）解：∵四边形是菱形，∴，
设，则，
在中，，，
∴，
解得：
即，
∴菱形的面积为
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）与有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得结论.
（2）与菱形的性质可得，设，可表示出BD的长，在中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AD的长；然后利用菱形的面积公式进行计算.
（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
设，则，
在中，，，
∴，
解得：
即，
∴菱形的面积为．
19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E、F两点在BC上，且四边形AEFD是平行四边形．
（1）AD与BC有何等量关系？请说明理由；
（2）当AB=DC时，求证：四边形AEFD是矩形．
【答案】解：（1）AD=BC
理由如下：
∵AD∥BC，AB∥DE，
∴四边形ABED和四边形
∴AD=BE
∵AD∥BC，AF∥DC
AFCD都是平行四边形．
∴AD=FC，
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD=EF．
∴AD=BE=EF=FC．
∴；
（2）
证明：∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，
∴DE=AB，AF=DC．
∵AB=DC，
∴DE=AF．
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴平行四边形AEFD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）由四边形AEFD是平行四边形可得AD=EF，根据条件可证四边形ABED是平行四边形， 再根据四边形AFCD是平行四边形，得到AD=BE，AD=FC，进而得出AD=BC；
（2）根据矩形的判定和定义，对角线相等的平行四边形是矩形，证明AF=DE即可得出四边形AEFD是矩形．
20．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线OBCDA表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：
（1）当轿车刚到乙地时，此时货车距离乙地　 　千米；
（2）当轿车与货车相遇时，求此时x的值；
（3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x的值．
【答案】（1）30；
解：（2）设CD段函数解析式为y＝kx+b（k≠0）（2.5≤x≤4.5）．
∵C（2.5，80），D（4.5，300）在其图象上，
，解得，
∴CD段函数解析式：y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；
易得OA：y＝60x，
，解得，
∴当x＝3.9时，轿车与货车相遇；
（3）当x＝2.5时，y货＝150，两车相距＝150﹣80＝70＞20，
由题意60x﹣（110x﹣195）＝20或110x﹣195﹣60x＝20，
解得x＝3.5或4.3小时．
答：在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，x的值为3.5或4.3小时
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）根据图象信息：货车的速度V货＝，
∵轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时，
∴轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：4.5×60＝270（千米），
此时，货车距乙地的路程为：300﹣270＝30（千米）．
所以轿车到达乙地后，货车距乙地30千米．
故答案为：30；
【分析】（1）根据图象可知货车5小时行驶300千米，由此可求出货车的速度，同时从图象可得出货车出发后4.5小时轿车到达乙地，由此求出轿车到达乙地时，可求出货车行驶的路程，而甲、乙两地相距300千米，列式计算可求出货车距乙地的路程.
（2）利用待定系数法先求出线段CD对应的函数解析式，再联立两个函数求交点，即可得到相遇时间.
（3）分情况讨论，根据两车相距不超过20千米的条件列出方程，即可求解.
21．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为xm，面积为Sm2．
（I）写出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围；
（Ⅱ）当该矩形菜园的面积为72m2时，求边AB的长；
（Ⅲ）当边AB的长为多少时，该矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】解：（Ⅰ）∵AB＝CD＝xm
∴BC＝（30﹣2x）m，
由题意得S＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x（6≤x＜10）；
（Ⅱ）令s＝72得：﹣2x2+30x＝72，
解得：x＝3或x＝12，
当x＝3时，30﹣2x＝24＞18，
∴x取12，
答：AB的长为12米．
（Ⅲ）∵S＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，
∴当x＝7.5时，30﹣2x＝15<18，S有最大值，S最大＝112.5，
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】（Ⅰ）设菜园的宽AB为x米，那么平行于墙的边BC的长度为(30-2x)米，根据矩形面积公式可得面积S与x的函数关系式为：S = x(30-2x) = -2x2+30x
（Ⅱ）若要求菜园面积为72平方米，令S=72，可得方程-2x2+30x=72，解得x1=3，x2=12。当x=3时，30-2x=24>18，不符合墙长的限制，舍去；当x=12时，30-2x=6<18，符合要求，因此当AB长为12米时，菜园面积为72平方米。
（Ⅲ）将面积函数配方得S=-2x2+30，当x=7.5时，S取得最大值=112.5平方米，即此时菜园可以达到最大面积112.5平方米。
22．如图①，在中，．动点沿边以每秒个单位长度的速度从点向终点运动．设点运动的时间为秒．
（1）线段的长为____________（用含的代数式表示）．
（2）当平分时，求的值．
（3）如图②，另一动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，在上往返运动．、两点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动．当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．
【答案】（1）
（2）解：在中，，，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；

（3）解：∵以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，，
∴，
当点Q没有到达点B时，
，
∴（不合题意舍去），
当点Q到达点B后，返回时，
，
∴，
当点Q到达点C后，返回时，
，
∴，
当点Q第二次到达点B后，
，
∴．
综上所述：t的值为或8或．

【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；分类讨论
【解析】【解答】
（1）
解：由题意可得，
∴．
故答案为：；
【分析】
（1）结合题目给出的运动速度，可以得到，据此即可完成求解；
（2）借助平行线的性质以及角平分线的性质，可推导出，进而得到对应结果；
（3）根据题目的运动关系可得，结合平行四边形的性质，分四种不同情况进行讨论：分别是点Q未到达点B时；点Q到达点B后，在返程途中；点Q到达点C后，再次返程时；点Q第二次到达点B后，对每种情况分别计算即可得到最终结论.
（1）解：由题意可得，
∴．
故答案为：；
（2）解：在中，，，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，，
∴，
当点Q没有到达点B时，
，
∴（不合题意舍去），
当点Q到达点B后，返回时，
，
∴，
当点Q到达点C后，返回时，
，
∴，
当点Q第二次到达点B后，
，
∴．
综上所述：t的值为或8或．
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