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吉林省松原市宁江区三校九年级2025年中考第三次模拟考试数学试题
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．实数的倒数为（　　）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：依题意，，
∴实数的倒数为，
故选：D．
【分析】本题以倒数的定义为背景，考查了乘积为1的两个数互为倒数这一基本概念。由，得 -6 的倒数为 -.
2．目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有米，数据0.000015用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示大于0且小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，根据方法即可得出答案.
3．如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据俯视图的意义可知，从上面看物体所得到的图形，选项C符合题意，
故答案选：C．
【分析】根据从上面看到的几何图形是俯视图解答即可案．
4．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得且，
解得且．
故选：D．
【分析】本题以一元二次方程根的判别式为背景，考查了一元二次方程的定义及方程有两个实数根的条件。由一元二次方程得 k0，由 = 4 - 20k0 得 k，故 k 且 k0.
5．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点、均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：作，交y轴于点F，
的坐标为
∴，
是等边三角形，，
∴是的角平分线，
，
，
在中，，
即，
解得，
，
∵是等边三角形，
∴
∴
∴，
∴
∴．
故选：A．
【分析】本题以等边三角形旋转为背景，考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形性质及勾股定理。作 CFAO，由等边三角形性质得 OAC = 30°，在 Rt△ AOC 中求得 AC = 2，进而得 AF =，OF = 3 -，FC = 3，故 C'(3， 3 -)，.
6．如图，、是的切线，切点分别为、，点、在上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接，则，
又∵，
∴，
又∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】本题以圆的切线长定理和圆内接四边形性质为背景，考查了角度计算与等腰三角形性质。连接 AD，由圆内接四边形得BAD +BCD = 180°，结合BAE +BCD = 234°得EAD = 54°。由切线长定理得 EA = ED，则 EDA = 54°，故 E = 180° - 2× 54° = 72°.
二、填空题（每小题3分，共15分）
7．计算：　 　．
【答案】
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】本题以实数的混合运算为背景，考查了立方根和零指数幂的运算法则。先计算= 2，= 1，再计算 2 - 1 = 1.
8．已知点在第四象限，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第四象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】本题以平面直角坐标系中点的象限位置为背景，考查了解一元一次不等式组。由第四象限点的横坐标大于0、纵坐标小于0得，解得 -69．如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到公路边，所以选择沿线段去公路边，那么他的这一选择体现的数学基本事实是　 　．
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据题意，这里用到的数学结论是：直线外一点与直线上所有点的连线里，垂线段的长度最短.
故答案为：垂线段最短．
【分析】结合实际情景直接对应相关性质即可得到结论.
10．如图，在中，点是边的中点，点在边上，且平分，已知，则的长为　 　 ．
【答案】6
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点为中点，
∵点是边的中点，
，
∴，
∴，
故答案为：6．
【分析】由角平分线的定义得∠EAF=∠EAC，由垂直定义得∠AEF=∠AEC=90°，从而由“ASA”证△AEF≌△AEC，由全等三角形的对应边相等得AF=AC=4，然后根据三角形的中位线等于第三边的一半得出FB=2DE=2，最后根据AB=AF+BF算出答案.
11．如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点C的对应点D落在上，延长，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；旋转的性质；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接，
由旋转知，
∴，
∴，
∴，
∴，
即为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，根据旋转性质可得，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，根据角之间的关系可得∠BCE，则，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
三、解答题（本大题共11小题，共87分）
12．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，
原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题以分式的化简求值为背景，考查了分式的加法和乘法运算以及因式分解。先通分计算括号内，再约分得，代入 x=-6，原式 =2。
13．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）小刚从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是绿球的概率为______；
（2）小刚从袋子中随机摸出一个球记下颜色后放回并摇匀，再从中随机摸出一个球．请用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球颜色相同的概率．
【答案】（1）
（2）解：解：由题意可列表如下：
绿 绿 红
绿 绿绿 绿绿 红绿
绿 绿绿 绿绿 红绿
红 绿红 绿红 红红
∴两次摸出球的情况总共有9种，其中两次摸出的两个球颜色相同的有5种情况，
∴两次摸出的两个球颜色相同的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：由题意可得摸到绿球的概率为；
故答案为：；
【分析】（1）用袋中绿色小球的总个数比上袋中小球的总个数即可求出从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是绿球的概率；
（2）此题是抽取放回类型，利用表格列举出所有等可能的情况数，由表可知两次摸出球的情况总共有9种，其中两次摸出的两个球颜色相同的有5种情况，然后根据概率公式计算即可.
（1）解：由题意可得摸到绿球的概率为；
故答案为：；
（2）解：由题意可列表如下：
　 绿 绿 红
绿 绿绿 绿绿 红绿
绿 绿绿 绿绿 红绿
红 绿红 绿红 红红
∴两次摸出球的情况总共有9种，其中两次摸出的两个球颜色相同的有5种情况，
∴两次摸出的两个球颜色相同的概率为．
14．某景区纪念品商店计划购进甲、乙两种纪念品．若购进甲种纪念品3件，乙种纪念品2件，需花费205元；若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品4件，需花费270元．求甲、乙两种纪念品每件的进价分别是多少元．
【答案】解：设每件甲种纪念品的进价是元，每件乙种纪念品的进价是元，
根据题意，得
解得
答：每件甲种纪念品的进价是35元，每件乙种纪念品的进价是50元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题以商品销售中的进价问题为背景，考查了二元一次方程组的实际应用。设甲种纪念品进价为 x 元，乙种为 y 元，根据题意列出方程组解得 x=35， y=50。
15．图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的阿格中，分别按下列要求画图，保留适当的画图痕迹．
（1）在图中画出边上的中线；
（2）在图中画出边上的高线；
（3）在图中的边上找到一点，使．
【答案】（1）解：如图，根据网格可得，即为所求；
，
理由：∵四边形是矩形，
∴，
∴即为所求
（2）解：如图，根据网格可得，
∴即为所求
（3）解：如图，点即为所求；
理由：∵，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴点即为所求
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质-对应边；三角形的高；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】本题以网格作图（无刻度直尺）为背景，考查了矩形的性质、垂线的画法以及相似三角形的判定与性质。
(1) 利用矩形性质找 AC 中点 D，连接 BD 即得 AC 边上的中线；
(2) 利用网格线构造垂直关系，画出 AC 边上的高线 BE；
(3) 通过构造相似三角形，使得，确定 AB 上的点 F。
（1）解：如图，根据网格可得，即为所求；
，
理由：∵四边形是矩形，
∴，
∴即为所求；
（2）解：如图，根据网格可得，
∴即为所求；
（3）解：如图，点即为所求；
理由：∵，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴点即为所求．
16．如图，平面直角坐标系中，函数经过点，过点A作轴交函数的图象于点B，点A关于原点对称的对称点为C；
（1）求的函数解析式；
（2）若的面积为8，求m的值．
【答案】（1）解：∵函数经过点，
∴，
∴的函数解析式为
（2）解：∵点A关于原点对称的对称点为C，
∴点C的坐标为，BC⊥y轴，
∵过点A作轴交函数的图象于点B，
∴点B的坐标为，
∴，
∵的面积为8，
∴，
解得：
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式，可求出k的值，由此可得到其函数解析式.
（2）先求出点C的坐标为，点B的坐标为，利用点的坐标可表示出AB的长和BC的长；再根据的面积为8，可得到关于m的方程，解方程求出m的值即可.
（1）解：∵函数经过点，
∴，
∴的函数解析式为；
（2）解：∵点A关于原点对称的对称点为C，
∴点C的坐标为，
∵过点A作轴交函数的图象于点B，
∴点B的坐标为，
∴，
∵的面积为8，
∴，
解得：．
17．周末，某数学兴趣小组进行实践活动．如图，小明在点处利用测倾器测得古城墙的顶端的仰角，王强站在矩形平台上，在点处利用测倾器测得古城墙顶端的仰角．已知，点在上，点在同一直线上，所有点均在同一平面内，．请利用以上数据，求出该古城墙的高度（结果精确到，参考数据：，tan）．
【答案】解：由题意，得，设，则．
，
在中，
，即
，
∴
，解得
∴该古城墙的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设古城墙的高度为米。根据矩形性质可得相关线段关系，分别在两个直角三角形中运用正切函数建立方程：①在中，利用仰角60°的正切值表示出与的关系
②在中，利用仰角45°的正切值表示出与的关系
通过建立方程求解得到的高度。本题考查解直角三角形在实际测量问题中的应用，需要掌握以下知识点：矩形性质的应用；仰角的概念理解；正切函数的定义与运用；设未知数建立方程求解的方法。
18．随着AI技术的发展，越来越多的人借助AI软件协助办公和学习，某公司组织全体员工学习和使用AI软件，并抽取部分员工每天学习使用的累计时间（分钟）进行统计调查，记：组“”，组“”，组“”，组“”，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次抽样调查的人数是___________人，本次抽查的每天学习和使用时间的中位数落在___________组；
（2）组所在扇形的圆心角大小是___________度；
（3）该公司共有800人，估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是多少？
【答案】（1）200，B
（2）126
（3）解：（人），
答：估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：这次抽样调查的人数是（人），
组人数为（人），
（人），
本次抽查的每天学习和使用时间的中位数落在组，
故答案为：200，B；
（2）解：，
组所在扇形的圆心角大小是度，
故答案为：126；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用A组人数除以其所占百分比即可得到这次抽样调查的人数；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此结合题意即可确定中位数所在的组；
（2）用360°乘以B组人数所占百分比即可得出B组所在扇形的圆心角大小；
（3）用该公司总人数乘以样本中平均每天学习和使用AI软件时间不少于90分钟的人数所占百分比即可估计该公司平均每天学习和使用AI软件不少于90分钟的人数.
（1）解：这次抽样调查的人数是（人），
组人数为（人），
（人），
本次抽查的每天学习和使用时间的中位数落在组，
故答案为：；
（2）解：，
组所在扇形的圆心角大小是度，
故答案为：；
（3）解：（人），
答：估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是人．
19．放学后小明和小亮兄弟两人都从学校（同一学校）回家，已知学校到家的距离为3000米，由于小亮要值日，因此在小明先出发1000米后，小亮才出发．小明在回家途中速度保持不变，小亮在出发5分钟后加快自己的速度，如图是小明、小亮两人离学校的距离（米）与小亮出发的时间（分）之间的函数图象．
（1）小明的速度是___________米/分；
（2）求段的函数解析式；
（3）当小亮回到家时，直接写出小明与家的距离．
【答案】（1）80
（2）解：由图象可得：函数过，这两点，
设段一次函数的解析式为：，
把，代入可得：，
解得：，
∴段一次函数的解析式为：
（3）800米
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：由题意可得：米/分，
故答案为：．
（3）解：由图可得：当小亮回到家时，小明回家还需要分钟，
由（1）可得：小明的速度为每分钟米，
∴小明与家的距离为：米．
【分析】本题以行程问题为背景，考查了一次函数图象的识别、待定系数法求解析式及路程与速度的关系。
(1) 小明先出发1000米，25分钟后到家，速度为=80 米/分；
(2) 设 y=kx+b，代入点 (5，300) 和 (15，3000) 解得 k=270， b=-1050，故 y=270x-1050；
(3) 小亮15分钟到家，小明还需 25-15=10 分钟，距家 80 10 = 800 米。
（1）解：由题意可得：米/分，
故答案为：．
（2）解：由图象可得：函数过，这两点，
设段一次函数的解析式为：，
把，代入可得：
，
解得：，
∴段一次函数的解析式为：；
（3）解：由图可得：当小亮回到家时，小明回家还需要分钟，
由（1）可得：小明的速度为每分钟米，
∴小明与家的距离为：米．
20．（1）【问题探究】如图1，已知是的中线，延长至点，使得．连结，求证：四边形是平行四边形．
（2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点（不与点、点重合），过点、点分别作， ，连结，，求证：四边形是平行四边形．
（3）【灵活应用】如图3，在中，，，，点是的中点，点是直线上的动点，且，，当取得最小值时，求线段的长度．
【答案】（1）证明：是的中线，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）证明：延长到点，使，连接，如图2，
是的中线，
，
四边形ABFC是平行四边形，
、，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形；
（3）解：延长到点，使，连接，如图3，
由（2）知，，，
则取最小值时，最小，故时，最小，
是的中线，
，
，
在中，
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（2）倍长中线AD到点F，使DF=AD，连接CF、BF，则四边形ABFC是平行四边形，所以AB平行CF，再由平行公理可得EM平行CF，又CE平行AF，则四边形ECFM是平行四边形，所以EM=CF，则有AB平行且相等于EM，即四边形ABME是平行四边形；
（3）同（2）延长到点，使，连接，则EM等于CF等于AB，即EM是定值，则求的最小值实质是求CM的最小值，由于C是直线AD外一定点，则当CM垂直AD时CM有最小值，此时由倍长中线构造全等三角形模型知，即DF=AD，再利用勾股定理和等面积法求出CM的长即可．
21．如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒．
（1）当时，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）求与之间的函数关系式．
【答案】（1）解：过点C作于点E，如图，
，
∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即此时P运动到点E，
∴，
即
（2）解：①当时，如图
由（1）可得
，
在矩形中，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
解得．
②当时，如图
∵，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴
解得．
综上所述，t的值为2或6
（3）解：①当时，矩形与重叠部分图形为，如图
；
②当时，矩形与重叠部分图形为四边形，如图
；
③当时，矩形与重叠部分图形为五边形，如图
有，，
，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
∴
∴，
∴，
∴
．
综上所述，当时，；当时，；当时，
【知识点】矩形的性质；等腰直角三角形；三角形-动点问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】本题以等腰直角三角形中的动点及矩形重叠面积为背景，考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理及分类讨论思想。
(1) 过 C 作 CEAB 于 E，由 PQ=AB 得 PD=CE=4，即 P 运动到点 E，故 t=4；
(2) 分 0(3) 分 0（1）解：过点C作于点E，如图，
，
∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即此时P运动到点E，
∴，
即．
（2）①当时，如图
由（1）可得
，
在矩形中，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
解得．
②当时，如图
∵，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴
解得．
综上所述，t的值为2或6．
（3）①当时，矩形与重叠部分图形为，如图
；
②当时，矩形与重叠部分图形为四边形，如图
；
③当时，矩形与重叠部分图形为五边形，如图
有，，
，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
∴
∴，
∴，
∴
．
综上所述，当时，；当时，；当时，．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的顶点的坐标为，点、点均在这个抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，将此抛物线上两点之间的部分（包括两点）记为图象．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点、到轴的距离相等时，求的值；
（3）当顶点在图象上时，设图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与之间的函数关系式；
（4）矩形的顶点分别为、、，若矩形的边与抛物线恰好有三个交点时，直接写出的值．
【答案】（1）解：∵抛物线（、为常数）的顶点的坐标为，
∴抛物线；
（2）解：∵点、点均在这个抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，
∴，
∵点、到轴的距离相等
∴当点P和点Q在x轴两侧时，
∴
解得或；
当点P和点Q在x轴同侧时，
解得；
综上所述，或或
（3）解：抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
顶点在图象上，
图象的最低点的纵坐标为，
当点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧时，此时且，即，
，
图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即，
；
当点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧时，此时且，即，
，
图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即，
；
综上所述，与之间的函数关系式为
（4）或
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（4）解：如图所示，当点C在抛物线上时，此时矩形的边与抛物线恰好有三个交点
∴将代入得，
解得（舍去）或
∵
∴
∴；
如图所示，当点D在抛物线上时，此时矩形的边与抛物线恰好有三个交点
∴将代入得，
解得（舍去）或
∵
∴
∴；
综上所述，或．
【分析】本题以二次函数的图象与性质为背景，考查了待定系数法求解析式、点到坐标轴距离、图象最值差以及矩形与抛物线的交点问题。
(1) 由顶点坐标设 y = (x-2)2 - 5 = x2 - 4x - 1；
(2) 由 P(m，)、Q(2-m，) 到 x 轴距离相等，分 =讨论，解得 m = -1， 1， 3；
(3) 顶点 M 在图象 G 上，最低点纵坐标为 -5。分 m0 和 m 2 两种情况，最高点分别为 P 或 Q，求纵坐标差 d；
(4) 根据矩形顶点坐标画出图形，分情况讨论矩形边与抛物线恰好有三个交点时对应的 m 值。
（1）解：∵抛物线（、为常数）的顶点的坐标为，
∴抛物线；
（2）解：∵点、点均在这个抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，
∴，
∵点、到轴的距离相等
∴当点P和点Q在x轴两侧时，
∴
解得或；
当点P和点Q在x轴同侧时，
解得；
综上所述，或或；
（3）解：抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
顶点在图象上，
图象的最低点的纵坐标为，
当点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧时，此时且，即，
，
图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即，
；
当点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧时，此时且，即，
，
图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即，
；
综上所述，与之间的函数关系式为；
（4）解：如图所示，当点C在抛物线上时，此时矩形的边与抛物线恰好有三个交点
∴将代入得，
解得（舍去）或
∵
∴
∴；
如图所示，当点D在抛物线上时，此时矩形的边与抛物线恰好有三个交点
∴将代入得，
解得（舍去）或
∵
∴
∴；
综上所述，或．
1 / 1吉林省松原市宁江区三校九年级2025年中考第三次模拟考试数学试题
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．实数的倒数为（　　）
A．6 B． C． D．
2．目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有米，数据0.000015用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
5．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点、均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，、是的切线，切点分别为、，点、在上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
7．计算：　 　．
8．已知点在第四象限，则的取值范围是　 　．
9．如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到公路边，所以选择沿线段去公路边，那么他的这一选择体现的数学基本事实是　 　．
10．如图，在中，点是边的中点，点在边上，且平分，已知，则的长为　 　 ．
11．如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点C的对应点D落在上，延长，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为　 　．
三、解答题（本大题共11小题，共87分）
12．先化简，再求值：，其中．
13．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）小刚从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是绿球的概率为______；
（2）小刚从袋子中随机摸出一个球记下颜色后放回并摇匀，再从中随机摸出一个球．请用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球颜色相同的概率．
14．某景区纪念品商店计划购进甲、乙两种纪念品．若购进甲种纪念品3件，乙种纪念品2件，需花费205元；若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品4件，需花费270元．求甲、乙两种纪念品每件的进价分别是多少元．
15．图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的阿格中，分别按下列要求画图，保留适当的画图痕迹．
（1）在图中画出边上的中线；
（2）在图中画出边上的高线；
（3）在图中的边上找到一点，使．
16．如图，平面直角坐标系中，函数经过点，过点A作轴交函数的图象于点B，点A关于原点对称的对称点为C；
（1）求的函数解析式；
（2）若的面积为8，求m的值．
17．周末，某数学兴趣小组进行实践活动．如图，小明在点处利用测倾器测得古城墙的顶端的仰角，王强站在矩形平台上，在点处利用测倾器测得古城墙顶端的仰角．已知，点在上，点在同一直线上，所有点均在同一平面内，．请利用以上数据，求出该古城墙的高度（结果精确到，参考数据：，tan）．
18．随着AI技术的发展，越来越多的人借助AI软件协助办公和学习，某公司组织全体员工学习和使用AI软件，并抽取部分员工每天学习使用的累计时间（分钟）进行统计调查，记：组“”，组“”，组“”，组“”，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次抽样调查的人数是___________人，本次抽查的每天学习和使用时间的中位数落在___________组；
（2）组所在扇形的圆心角大小是___________度；
（3）该公司共有800人，估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是多少？
19．放学后小明和小亮兄弟两人都从学校（同一学校）回家，已知学校到家的距离为3000米，由于小亮要值日，因此在小明先出发1000米后，小亮才出发．小明在回家途中速度保持不变，小亮在出发5分钟后加快自己的速度，如图是小明、小亮两人离学校的距离（米）与小亮出发的时间（分）之间的函数图象．
（1）小明的速度是___________米/分；
（2）求段的函数解析式；
（3）当小亮回到家时，直接写出小明与家的距离．
20．（1）【问题探究】如图1，已知是的中线，延长至点，使得．连结，求证：四边形是平行四边形．
（2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点（不与点、点重合），过点、点分别作， ，连结，，求证：四边形是平行四边形．
（3）【灵活应用】如图3，在中，，，，点是的中点，点是直线上的动点，且，，当取得最小值时，求线段的长度．
21．如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒．
（1）当时，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）求与之间的函数关系式．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的顶点的坐标为，点、点均在这个抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，将此抛物线上两点之间的部分（包括两点）记为图象．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点、到轴的距离相等时，求的值；
（3）当顶点在图象上时，设图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与之间的函数关系式；
（4）矩形的顶点分别为、、，若矩形的边与抛物线恰好有三个交点时，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：依题意，，
∴实数的倒数为，
故选：D．
【分析】本题以倒数的定义为背景，考查了乘积为1的两个数互为倒数这一基本概念。由，得 -6 的倒数为 -.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示大于0且小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，根据方法即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据俯视图的意义可知，从上面看物体所得到的图形，选项C符合题意，
故答案选：C．
【分析】根据从上面看到的几何图形是俯视图解答即可案．
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得且，
解得且．
故选：D．
【分析】本题以一元二次方程根的判别式为背景，考查了一元二次方程的定义及方程有两个实数根的条件。由一元二次方程得 k0，由 = 4 - 20k0 得 k，故 k 且 k0.
5．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：作，交y轴于点F，
的坐标为
∴，
是等边三角形，，
∴是的角平分线，
，
，
在中，，
即，
解得，
，
∵是等边三角形，
∴
∴
∴，
∴
∴．
故选：A．
【分析】本题以等边三角形旋转为背景，考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形性质及勾股定理。作 CFAO，由等边三角形性质得 OAC = 30°，在 Rt△ AOC 中求得 AC = 2，进而得 AF =，OF = 3 -，FC = 3，故 C'(3， 3 -)，.
6．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接，则，
又∵，
∴，
又∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】本题以圆的切线长定理和圆内接四边形性质为背景，考查了角度计算与等腰三角形性质。连接 AD，由圆内接四边形得BAD +BCD = 180°，结合BAE +BCD = 234°得EAD = 54°。由切线长定理得 EA = ED，则 EDA = 54°，故 E = 180° - 2× 54° = 72°.
7．【答案】
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】本题以实数的混合运算为背景，考查了立方根和零指数幂的运算法则。先计算= 2，= 1，再计算 2 - 1 = 1.
8．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第四象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】本题以平面直角坐标系中点的象限位置为背景，考查了解一元一次不等式组。由第四象限点的横坐标大于0、纵坐标小于0得，解得 -69．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：根据题意，这里用到的数学结论是：直线外一点与直线上所有点的连线里，垂线段的长度最短.
故答案为：垂线段最短．
【分析】结合实际情景直接对应相关性质即可得到结论.
10．【答案】6
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点为中点，
∵点是边的中点，
，
∴，
∴，
故答案为：6．
【分析】由角平分线的定义得∠EAF=∠EAC，由垂直定义得∠AEF=∠AEC=90°，从而由“ASA”证△AEF≌△AEC，由全等三角形的对应边相等得AF=AC=4，然后根据三角形的中位线等于第三边的一半得出FB=2DE=2，最后根据AB=AF+BF算出答案.
11．【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；旋转的性质；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接，
由旋转知，
∴，
∴，
∴，
∴，
即为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，根据旋转性质可得，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，根据角之间的关系可得∠BCE，则，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
12．【答案】解：
，
当时，
原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题以分式的化简求值为背景，考查了分式的加法和乘法运算以及因式分解。先通分计算括号内，再约分得，代入 x=-6，原式 =2。
13．【答案】（1）
（2）解：解：由题意可列表如下：
绿 绿 红
绿 绿绿 绿绿 红绿
绿 绿绿 绿绿 红绿
红 绿红 绿红 红红
∴两次摸出球的情况总共有9种，其中两次摸出的两个球颜色相同的有5种情况，
∴两次摸出的两个球颜色相同的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：由题意可得摸到绿球的概率为；
故答案为：；
【分析】（1）用袋中绿色小球的总个数比上袋中小球的总个数即可求出从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是绿球的概率；
（2）此题是抽取放回类型，利用表格列举出所有等可能的情况数，由表可知两次摸出球的情况总共有9种，其中两次摸出的两个球颜色相同的有5种情况，然后根据概率公式计算即可.
（1）解：由题意可得摸到绿球的概率为；
故答案为：；
（2）解：由题意可列表如下：
　 绿 绿 红
绿 绿绿 绿绿 红绿
绿 绿绿 绿绿 红绿
红 绿红 绿红 红红
∴两次摸出球的情况总共有9种，其中两次摸出的两个球颜色相同的有5种情况，
∴两次摸出的两个球颜色相同的概率为．
14．【答案】解：设每件甲种纪念品的进价是元，每件乙种纪念品的进价是元，
根据题意，得
解得
答：每件甲种纪念品的进价是35元，每件乙种纪念品的进价是50元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题以商品销售中的进价问题为背景，考查了二元一次方程组的实际应用。设甲种纪念品进价为 x 元，乙种为 y 元，根据题意列出方程组解得 x=35， y=50。
15．【答案】（1）解：如图，根据网格可得，即为所求；
，
理由：∵四边形是矩形，
∴，
∴即为所求
（2）解：如图，根据网格可得，
∴即为所求
（3）解：如图，点即为所求；
理由：∵，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴点即为所求
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质-对应边；三角形的高；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】本题以网格作图（无刻度直尺）为背景，考查了矩形的性质、垂线的画法以及相似三角形的判定与性质。
(1) 利用矩形性质找 AC 中点 D，连接 BD 即得 AC 边上的中线；
(2) 利用网格线构造垂直关系，画出 AC 边上的高线 BE；
(3) 通过构造相似三角形，使得，确定 AB 上的点 F。
（1）解：如图，根据网格可得，即为所求；
，
理由：∵四边形是矩形，
∴，
∴即为所求；
（2）解：如图，根据网格可得，
∴即为所求；
（3）解：如图，点即为所求；
理由：∵，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴点即为所求．
16．【答案】（1）解：∵函数经过点，
∴，
∴的函数解析式为
（2）解：∵点A关于原点对称的对称点为C，
∴点C的坐标为，BC⊥y轴，
∵过点A作轴交函数的图象于点B，
∴点B的坐标为，
∴，
∵的面积为8，
∴，
解得：
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式，可求出k的值，由此可得到其函数解析式.
（2）先求出点C的坐标为，点B的坐标为，利用点的坐标可表示出AB的长和BC的长；再根据的面积为8，可得到关于m的方程，解方程求出m的值即可.
（1）解：∵函数经过点，
∴，
∴的函数解析式为；
（2）解：∵点A关于原点对称的对称点为C，
∴点C的坐标为，
∵过点A作轴交函数的图象于点B，
∴点B的坐标为，
∴，
∵的面积为8，
∴，
解得：．
17．【答案】解：由题意，得，设，则．
，
在中，
，即
，
∴
，解得
∴该古城墙的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设古城墙的高度为米。根据矩形性质可得相关线段关系，分别在两个直角三角形中运用正切函数建立方程：①在中，利用仰角60°的正切值表示出与的关系
②在中，利用仰角45°的正切值表示出与的关系
通过建立方程求解得到的高度。本题考查解直角三角形在实际测量问题中的应用，需要掌握以下知识点：矩形性质的应用；仰角的概念理解；正切函数的定义与运用；设未知数建立方程求解的方法。
18．【答案】（1）200，B
（2）126
（3）解：（人），
答：估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：这次抽样调查的人数是（人），
组人数为（人），
（人），
本次抽查的每天学习和使用时间的中位数落在组，
故答案为：200，B；
（2）解：，
组所在扇形的圆心角大小是度，
故答案为：126；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用A组人数除以其所占百分比即可得到这次抽样调查的人数；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此结合题意即可确定中位数所在的组；
（2）用360°乘以B组人数所占百分比即可得出B组所在扇形的圆心角大小；
（3）用该公司总人数乘以样本中平均每天学习和使用AI软件时间不少于90分钟的人数所占百分比即可估计该公司平均每天学习和使用AI软件不少于90分钟的人数.
（1）解：这次抽样调查的人数是（人），
组人数为（人），
（人），
本次抽查的每天学习和使用时间的中位数落在组，
故答案为：；
（2）解：，
组所在扇形的圆心角大小是度，
故答案为：；
（3）解：（人），
答：估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是人．
19．【答案】（1）80
（2）解：由图象可得：函数过，这两点，
设段一次函数的解析式为：，
把，代入可得：，
解得：，
∴段一次函数的解析式为：
（3）800米
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：由题意可得：米/分，
故答案为：．
（3）解：由图可得：当小亮回到家时，小明回家还需要分钟，
由（1）可得：小明的速度为每分钟米，
∴小明与家的距离为：米．
【分析】本题以行程问题为背景，考查了一次函数图象的识别、待定系数法求解析式及路程与速度的关系。
(1) 小明先出发1000米，25分钟后到家，速度为=80 米/分；
(2) 设 y=kx+b，代入点 (5，300) 和 (15，3000) 解得 k=270， b=-1050，故 y=270x-1050；
(3) 小亮15分钟到家，小明还需 25-15=10 分钟，距家 80 10 = 800 米。
（1）解：由题意可得：米/分，
故答案为：．
（2）解：由图象可得：函数过，这两点，
设段一次函数的解析式为：，
把，代入可得：
，
解得：，
∴段一次函数的解析式为：；
（3）解：由图可得：当小亮回到家时，小明回家还需要分钟，
由（1）可得：小明的速度为每分钟米，
∴小明与家的距离为：米．
20．【答案】（1）证明：是的中线，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）证明：延长到点，使，连接，如图2，
是的中线，
，
四边形ABFC是平行四边形，
、，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形；
（3）解：延长到点，使，连接，如图3，
由（2）知，，，
则取最小值时，最小，故时，最小，
是的中线，
，
，
在中，
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（2）倍长中线AD到点F，使DF=AD，连接CF、BF，则四边形ABFC是平行四边形，所以AB平行CF，再由平行公理可得EM平行CF，又CE平行AF，则四边形ECFM是平行四边形，所以EM=CF，则有AB平行且相等于EM，即四边形ABME是平行四边形；
（3）同（2）延长到点，使，连接，则EM等于CF等于AB，即EM是定值，则求的最小值实质是求CM的最小值，由于C是直线AD外一定点，则当CM垂直AD时CM有最小值，此时由倍长中线构造全等三角形模型知，即DF=AD，再利用勾股定理和等面积法求出CM的长即可．
21．【答案】（1）解：过点C作于点E，如图，
，
∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即此时P运动到点E，
∴，
即
（2）解：①当时，如图
由（1）可得
，
在矩形中，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
解得．
②当时，如图
∵，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴
解得．
综上所述，t的值为2或6
（3）解：①当时，矩形与重叠部分图形为，如图
；
②当时，矩形与重叠部分图形为四边形，如图
；
③当时，矩形与重叠部分图形为五边形，如图
有，，
，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
∴
∴，
∴，
∴
．
综上所述，当时，；当时，；当时，
【知识点】矩形的性质；等腰直角三角形；三角形-动点问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】本题以等腰直角三角形中的动点及矩形重叠面积为背景，考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理及分类讨论思想。
(1) 过 C 作 CEAB 于 E，由 PQ=AB 得 PD=CE=4，即 P 运动到点 E，故 t=4；
(2) 分 0(3) 分 0（1）解：过点C作于点E，如图，
，
∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即此时P运动到点E，
∴，
即．
（2）①当时，如图
由（1）可得
，
在矩形中，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
解得．
②当时，如图
∵，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴
解得．
综上所述，t的值为2或6．
（3）①当时，矩形与重叠部分图形为，如图
；
②当时，矩形与重叠部分图形为四边形，如图
；
③当时，矩形与重叠部分图形为五边形，如图
有，，
，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
∴
∴，
∴，
∴
．
综上所述，当时，；当时，；当时，．
22．【答案】（1）解：∵抛物线（、为常数）的顶点的坐标为，
∴抛物线；
（2）解：∵点、点均在这个抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，
∴，
∵点、到轴的距离相等
∴当点P和点Q在x轴两侧时，
∴
解得或；
当点P和点Q在x轴同侧时，
解得；
综上所述，或或
（3）解：抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
顶点在图象上，
图象的最低点的纵坐标为，
当点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧时，此时且，即，
，
图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即，
；
当点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧时，此时且，即，
，
图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即，
；
综上所述，与之间的函数关系式为
（4）或
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（4）解：如图所示，当点C在抛物线上时，此时矩形的边与抛物线恰好有三个交点
∴将代入得，
解得（舍去）或
∵
∴
∴；
如图所示，当点D在抛物线上时，此时矩形的边与抛物线恰好有三个交点
∴将代入得，
解得（舍去）或
∵
∴
∴；
综上所述，或．
【分析】本题以二次函数的图象与性质为背景，考查了待定系数法求解析式、点到坐标轴距离、图象最值差以及矩形与抛物线的交点问题。
(1) 由顶点坐标设 y = (x-2)2 - 5 = x2 - 4x - 1；
(2) 由 P(m，)、Q(2-m，) 到 x 轴距离相等，分 =讨论，解得 m = -1， 1， 3；
(3) 顶点 M 在图象 G 上，最低点纵坐标为 -5。分 m0 和 m 2 两种情况，最高点分别为 P 或 Q，求纵坐标差 d；
(4) 根据矩形顶点坐标画出图形，分情况讨论矩形边与抛物线恰好有三个交点时对应的 m 值。
（1）解：∵抛物线（、为常数）的顶点的坐标为，
∴抛物线；
（2）解：∵点、点均在这个抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，
∴，
∵点、到轴的距离相等
∴当点P和点Q在x轴两侧时，
∴
解得或；
当点P和点Q在x轴同侧时，
解得；
综上所述，或或；
（3）解：抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
顶点在图象上，
图象的最低点的纵坐标为，
当点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧时，此时且，即，
，
图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即，
；
当点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧时，此时且，即，
，
图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即，
；
综上所述，与之间的函数关系式为；
（4）解：如图所示，当点C在抛物线上时，此时矩形的边与抛物线恰好有三个交点
∴将代入得，
解得（舍去）或
∵
∴
∴；
如图所示，当点D在抛物线上时，此时矩形的边与抛物线恰好有三个交点
∴将代入得，
解得（舍去）或
∵
∴
∴；
综上所述，或．
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