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吉林省长春市第八十七中学2025年中考三模数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，点A，B对应的数分别为a，b，对于结论：①，②，③，其中说法正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．② D．①②③
3．如图是某几何体的展开图，则此几何体是（　　）
A．五棱柱 B．五棱锥 C．六棱柱 D．六棱锥
4．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，是梯子两梯腿张开的示意图，AB＝AC，梯腿与地面夹角∠ACB＝∠，当梯子顶端离地面高度AD＝2.8m时，则梯子两梯脚之间的距离BC＝（　　）m．
A． B． C． D．
6．向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（　　）
A． B． C． D．
7．如图，将折叠，使点A、B重合，折痕为．连接
甲：能够比较与的大小
乙：能够比较与的长短
下列判断正确的是（　　）
A．甲、乙的说法都正确
B．甲、乙的说法都不正确
C．甲的说法正确，乙的说法不正确
D．甲的说法不正确，乙的说法正确
8．如图，点在函数的图象上，点在轴上，，将线段向左下方平移．得到线段，使点落在函数图象上，点落在轴负半轴上，且．则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．将整式分解因式结果正确的是　 　．
10．若a是方程的一个根，则的值为　 　．
11．若是整数，则正整数n的最小值为　 　．
12．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人、物各几何？意思是：有一些人合买一个物品，每个人出元，还余剩元，每个人出元，则还差元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？若设一共有人，可列方程为　 　．
13．如图是工人师傅用边长均为的两块正三角形和一块正方形地砖绕着点进行的铺设．若将一块边长为的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是　 　．
14．如图，正方形的边长为1，点E是边上一动点（不与点B，C重合），过点E作交正方形外角的平分线于点F，交于点G，连接，有下列结论：①②③④面积的最大值为⑤连接，当最小时，上述结论中，正确结论的序号有　 　．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．先化简，再求值：，其中．
16．甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．
（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是_______；
（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．
17．某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度是，人跑步的速度是，问：导火线必须超过多长，才能保证操作人员的安全？
18．如图，在中，D，E分别是的中点，，交的延长线于点A，，连接．求证：四边形为菱形．
19．如图是由小正方形组成的6×7网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．格点A、B、C在同一个圆上．只用无刻度直尺在分别在给定网格中按照下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）图①中，先画出圆心O，然后作经过B点的切线
（2）图②中，在上画点D，使
20．某市为推进“绿色社区”建设，对全市150个社区的“雨水收集利用率”进行考核．根据要求，“雨水收集利用率”达到75%及以上即为合格．环保部门随机抽查了10个社区，其利用率数据如下（单位：%）：
68，77，72，85，80，65，78，88，70，82．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）计算这组数据的平均利用率为______；
（2）估计全市150个社区中，利用率合格的大约有多少个？
（3）若将这10个社区作为试点，对不合格的社区进行改造（合格的社区无需改造），改造后全部达标，且改造后数据的平均利用率提升至80%．那么，试点中改造社区的利用率平均至少提升了______个百分点．
21．千百年来，手杆秤也可算作华夏“国粹”，是我国传统的计重工具，方便了人们的生活，直至今日仍然有人还在使用杆秤进行交易．
【观察实践】如图①，某兴趣小组为了探究秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x．（）厘米与秤钩所挂物重为y斤之间的关系，进行了6次称重记录出下表的一些数据．
x（厘米） 4 12 20 24 28 36
y（斤） 0 1 2 2.5 3 4
【问题解决】
（1）在图②中，请以表格中的x值为横坐标，y值为纵坐标描出所有的点，并将这些点依次连接起来．
（2）根据（1）描各点的分布规律，观察它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式，如果不在同一条直线上，请说明理由．
（3）已知杆秤的设计利用了杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，设秤砣质量为斤，称钩质量为斤，秤钩到称纽距离为厘米，则当钩上不放重物时：，挂物重为y斤时：，
则由上面两个等式进行变形可以得到 ，（横线上填关于，的代数式）
根据上式和（2）的结论，当秤砣质量为0.3斤时，求秤钩到称纽距离应该为多少厘米？
22．【问题原型】如图，菱形的边长为，．点分别在边上，且．点在直线上，试探究当的值最小时，点的位置．
【问题探究】（1）小丽同学由已知条件可以证明，为了求最小值问题，首先要探究点的轨迹问题．研究发现：当的边为定长，为定角且时，点在外接圆的劣弧上运动．以下是小丽求的度数的部分过程：
解：∵四边形是菱形，∴，
又∵，
是等边三角形，
∴，，
又∵，∴
证明过程缺失
∴______
∴点在外接圆的劣弧上运动．
请您补全证明过程．
【问题解决】（2）请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图中作出【问题原型】中的点和点，使的值最小，则最小值是______．
23．如图，在矩形中，，．点E是边的三等分点，且．点P是边上的动点（P不与点A重合），绕点E逆时针旋转得到线段，连结．
（1）过点Q作边的垂线段，交于H，求证：；
（2）当A，Q，C三点共线时，求线段的长；
（3）线段的长度的最小值是______；
（4）四边形面积的最大值是______，此时线段的长度是______．
24．在平面直角坐标系中，抛物线经过点且对称轴为直线，点在抛物线上，其横坐标为．
（1）求该抛物线对应的函数关系式；
（2）已知点的坐标为，点的坐标为，连接，以点为位似中心将线段放大到原来的倍，得到线段（和位于点的同侧），以为边向右做正方形，
当时，连接、，试说明．
当时，若与抛物线图象交于点，连接；当平分时，求的值；
当时，连接，当两点中只有一个点在内部时，直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：当填入加号时：
当填入减号时：
当填入乘号时：
当填入除号时：
故这个运算符号是乘号；
故选：C
【分析】本题以有理数运算为背景，考查了加减乘除四种运算的结果比较。分别计算：(-1)+(-2)=-3，(-1)-(-2)=1，(-1)(-2)=2，(-1)(-2)=，其中乘法结果最大.
2．【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则；相反数的意义与性质；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知，
∴，，，
∴正确的有①②③，
故选：D．
【分析】观察数轴知，则异号两数之积为负，即；正数的相反数是负数，即；异号两相加，结果取绝对值较大加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值，即．
3．【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：几何体的展开图为长方形和六边形，据此可判断该几何体为六棱柱，即C正确．
故选：C．
【分析】根据简单几何体的展开图判断即可．
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：重力的方向竖直向下，
重力与水平方向夹角为，
摩擦力的方向与斜面平行，，
，
故选：C．
【分析】本题以斜面上的物体受力分析为背景，考查了平行线的性质及三角形外角定理。重力G竖直向下，与水平方向夹角为90°，斜面倾角α=26°，摩擦力F2与斜面平行，故F2与水平方向夹角为26°，则F2与G的夹角θ=90°+26°=116°。
5．【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；求正切值
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝BC，
在Rt△ADC中，tanC＝，
∴DC＝＝，
∴BC＝2DC＝，
故选：D．
【分析】本题以等腰三角形中的解直角三角形为背景，考查了等腰三角形“三线合一”的性质及正切函数的应用。由 AB = AC，AD BC 得 BD = DC =BC，在 Rt△ ADC 中，tanC＝，代入 AD = 2.8 得 DC =，故 BC =.
6．【答案】B
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么高度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．∴ 这个容器的形状可能是B．
故答案为：B．
【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升高度的快慢，再观察容器的粗细，即可判断求解．
7．【答案】A
【知识点】角的大小比较；三角形三边关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠可得∠A=∠EBA，
而∠EBA＜∠CBA，
，
根据折叠可得，
，
在中，，即，
∴甲、乙的说法都正确，
故答案为：A．
【分析】根据折叠的性质可得∠A=∠EBA，而∠EBA＜∠CBA，即可得出∠A＜∠ABC，据此可判断甲的说法；根据折叠可得AE=BE，由三角形两边之和大于第三边得出BE+CE＞BC，然后结合线段和差及等量代换可判断AC＞BC，据此可判断乙的说法.
8．【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：，，
，，
由平移可知：线段向下平移个单位，再向左平移个单位，得到线段，
，
，
点和点在函数的图象上，
，
，
，
故选：B．
【分析】本题以平移变换和反比例函数为背景，考查了坐标平移规律及反比例函数图象上点的坐标特征。由 OB=1 得 B(0，1)，由 OD=1 得 D(-1，0)，可知线段向下平移1单位、向左平移1单位得到 CD，故 C(m-1，1)。由 A， C 在 y= 上得 2m = 1 (m-1)，解得 m=-1，k=2 (-1) = -2。
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
利用提公因式法解答即可．
10．【答案】2024
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴，，
∴
故答案为：2024．
【分析】本题以一元二次方程的解为背景，考查了整体代入求值。由 a 是方程的根得，则 =2024.
11．【答案】7
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，且是整数，
∴是整数，即是完全平方数，
∴，
即正整数n的最小值为7．
故答案为：7
【分析】根据题意可得是整数，即7n是完全平方数，再求出n的最小值即可。
12．【答案】
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意，得：．
故答案为：．
【分析】 设一共有x人，由“ 每个人出8元，还余剩3元 ”可将物品的价格表示为(8x-3)元，根据“ 每个人出7元，则还差4元 ”可将物品的价格表示为(7x+4)元，根据物品的价格不变列出方程即可.
13．【答案】12
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正三角形的内角为，正方形的内角为，
∴，
∴这块正多边形地砖的边数是，
故答案为：12．
【分析】由正三角形每一个内角都等于60°，正方形每一个内角为90°及周角定义可求出∠AOB=150°，再根据正多边形每一个内角与其相邻的外角都互补可求出所求正多边形一个外角度数，由于所有多边形的外角和都是360°，从而用360°除以一个外角度数即可求出正多边形的边数.
14．【答案】①②
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；四边形-动点问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：连接，过E作交于H；过F作于I，如图．
∵四边形为正方形；
∴．
∵；
∴．
又∵，
∴；
∴；
∴．
∴；
∴．；
∵平分正方形外角，
∴；
∴；
∴．
∵，
∴；
∵，
∴；
∴．
∴．
∴，①正确．
∴；
∴．
∵平分正方形外角，
∴；
∴；
∴，②正确．
∵，
∴，
∴；
即，③不正确．
设，则；
∴面积：，最大值为，④不符合题意．
如图，作点关于的对称点M，连接交于点P，连接，
∵
∴，
∵平分，
∴，
∵点D关于的对称点M，
∴，
∴点M在线段的延长线上，
∴，
∵，
∴当且仅当点F与点P重合时最小，最小值为的长，
过点作于点，则，，
∴，
∴，
由于，所以
∴，
∴当最小时，故⑤错误；
综上，正确的结论是①②，
故答案为：①②．
【分析】本题以正方形中的动点问题为背景，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线、最值问题（将军饮马）以及面积最值（二次函数）。通过构造全等证 AE = EF，利用勾股定理求 CF，用函数表示△ CEF 面积并求最大值，再通过对称法求 AF+DF 最小值，综合判断正确结论的序号。
15．【答案】解：
；
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题以分式的化简求值为背景，考查了完全平方公式及约分。将分子 m2 - 6mn + 9n2 分解为 (m-3n)2，分母为 3n - m = -(m-3n)，化简得 -(m-3n)，代入 m=2，n=1 得原式 =1。
16．【答案】（1）
解：（2）画树状图如下：
可知共有6种等可能的结果，其中两人选购到同一种类奶制品的情况有2种，
∴两人选购到同一种类奶制品的概率为=．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）∵两个品牌共有5个种类的奶制品，每个品牌都有一种纯牛奶，
∴选购到纯牛奶的概率=，
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式直接计算即可；
（2）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图列举出所有等可能得情况数，由树状图可知共有6种等可能的结果，其中两人选购到同一种类奶制品的情况有2种，从而利用概率公式计算即可．
17．【答案】解：设导火线的长度为，
根据题意得：，
解得：，
答：导火线必须超过多长，才能保证操作人员的安全
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题以爆破安全距离为背景，考查了一元一次不等式的应用。设导火线长度为 x cm，爆炸时间 秒，人跑到安全区需=80 秒，由 > 80 解得 x > 64，故导火线必须超过 64 cm。
18．【答案】证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题以三角形中位线及菱形判定为背景，考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质。连接 DF，证得 AF = CD，结合 CDAF 得四边形 ACDF 为平行四边形，则 ACDF。由 AB AC 得 AB DF，又 BD = CD = AF 且 BD AF，故四边形 AFBD 为菱形。
19．【答案】（1）解：如图，点为圆心，为圆的切线；
（2）解：如图，点即为所作．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】本题以网格作图（无刻度直尺）为背景，考查了圆心的确定、切线的构造及线段相等的作图。
(1) 取格点 P， Q，连接 AB， PQ 交点即为圆心 O；再取格点 F 连接 BF，使 BF 与圆相切；
(2) 取格点 G，连接 AG 交圆于 D，使 AC = AD。
（1）解：如图，点为圆心，为圆的切线；
（2）解：如图，点即为所作．
20．【答案】（1）
（2）解：（个），
答：估计全市150个社区中，利用率合格的大约有90个
（3）3.5
【知识点】平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵
∴这组数据的平均利用率为，
故答案为：；
（3）解：，
所以，试点中改造社区的利用率平均至少提升了3.5个百分点，
故答案为：3.5．【分析】本题以社区雨水收集利用率为背景，考查了平均数的计算、用样本估计总体以及百分点的实际意义。
(1) 直接计算10个数据的平均数得76.5%；
(2) 样本中合格率为=60%，估计全市合格社区数为 15060% = 90；
(3) 改造后平均利用率提升至80%，整体提升3.5个百分点，即不合格社区改造后平均提升了3.5个百分点。
（1）解：∵
∴这组数据的平均利用率为，
故答案为：；
（2）解：（个），
答：估计全市150个社区中，利用率合格的大约有90个；
（3）解：，
所以，试点中改造社区的利用率平均至少提升了3.5个百分点，
故答案为：3.5．
21．【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：由（1）中图象可知，所描各点在同一条直线上，
设y关于x的函数解析式为，
将点和代入，得，
解得，
∴这条直线所对应的函数解析式为．
（3）解：把m1=0.3代入得，
∵
∴
∴l1=2.4
即秤钩到称纽距离应该为2.4厘米.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（3）解：∵，
∴；
代入，得
∴；
故答案为：．
【分析】（1）利用方格纸的特点， 以表格中的x值为横坐标，y值为纵坐标描出所有的点，并按照x值从小到大用平滑的曲线连起来即可；
（2）判断点共线后，用待定系数法即可求出y关于x的函数解析式；
（3）由可得，将其代入可得；将m1=0.3代入得出，结合（2）的结论得出，求解可得答案.
（1）解：如图，即为所求．
（2）解：由（1）中图象可知，所描各点在同一条直线上，
设y关于x的函数解析式为，
将点和代入，得，
解得，
∴这条直线所对应的函数解析式为．
（3）解：∵，
∴；
代入，得
∴；
当时，，
解得：，
即秤钩到称纽距离应该为8厘米；
故答案为：．
22．【答案】解：[问题探究]（）∵四边形是菱形，∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在外接圆的劣弧上运动；
【问题解决】（2）的值最小为
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；圆-动点问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】[问题解决]（）如图，
作关于对称点，连接交于点，交于点，连接交延长线于点，
∴，，根据两点之间线段最短可得的值最小，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
由是外接圆，取上一点，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点是在以为直径的圆上，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值最小为．
【分析】本题以菱形中的动点最值问题为背景，考查了等边三角形的判定、全等三角形的性质、圆周角定理、轴对称变换及相似三角形的应用。
(1) 由菱形及 ABC=60°得 △ ABC 为等边三角形，证 得 BAE + ABF = 60°，从而AMB = 120°，即点 M 在定弦 AB 所对圆周角为 120° 的弧上运动；
(2) 作 D 关于 BC 的对称点 H，连接 OH 交圆于 M、交 BC 于 P，利用轴对称及两点之间线段最短确定 P 点，通过相似三角形和勾股定理计算得最小值为。
23．【答案】（1）证明：∵是矩形，
∴，
又∵于H，绕点E逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点Q作于点H，
∵点E是的三等分点，
∴，
由（1）可知，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
∴；
（3）
（4）；3
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（3）解：由（2）可得点到的距离为，
∴点Q在平行于到的距离为的直线上运动，即当点Q在上时，最小，
即最小为；
（4）解：过点Q作于点Q，设，
则，，
∴
，
∴当时，最大为，
这时，，
故答案为：；3．
【分析】（1）由矩形性质得∠A=90°，由垂直定义得∠EHQ=90°，由旋转性质得∠QEP=90°，EQ=EP，由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等得∠HQE=∠AEP，从而由“AAS”判断出△APE相对三硝基HEQ
（2）过点Q作QH⊥AD于点H，同（1）证△APE≌△HEQ，由全等三角形的对应边相等得QH=AE=2，EH=AP，由矩形性质可得 ∠ D= ∠ QHE=90°，由同位角相等，两直线平行得出HQ∥CD，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△AHQ∽△ADC，由相似三角形对应边成比例间两方程可求出AH=3，再利用勾股定理解答即可；
（3）点Q在平行于AD到AD的距离为2的直线上运动，即当点Q在CD上时，CQ最小，然后利用线段的和差解答即可；
（4）过点Q作QH⊥AD于点Q，设，则DH=4-x，根据列函数关系式，配方得到最大值解答即可.
（1）解：∵是矩形，
∴，
又∵于H，绕点E逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点Q作于点H，
∵点E是的三等分点，
∴，
由（1）可知，
∴，，，
∵是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由（2）可得点到的距离为，
∴点Q在平行于到的距离为的直线上运动，即当点Q在上时，最小，
即最小为；
（4）解：过点Q作于点Q，设，
则，，
∴
，
∴当时，最大为，
这时，，
故答案为：；3．
24．【答案】（1）解：∵抛物线经过点且对称轴为直线，
∴，，
解得：，
∴该抛物线对应的函数关系式为
（2）解：当时，此时，如图，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∴，，
∴；
当时，如图，
设，
∵，点的坐标为，点的坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
，
，，
，
当平分时，则平分，即点C是的中点，
∴，
∴点的坐标为，
把代入，
则，
得，
化简得：，
解得：，
∴当平分时，求的值为或；
③当时，当时，当时，两点中只有一个点在内部
【知识点】正方形的性质；动点问题的函数图象；位似图形的性质；二次函数-面积问题
【解析】解：（2）点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵以点为位似中心将线段放大到原来的倍，得到线段，
∴，，
∴，
如图，当共线时，，
如图，当，共线，且点A恰好在正方形对角线上时，如图所示：
设，，
∵，点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
整理得：，
∵在函数上，
代入得：，
整理得：①，
∵点A在对角线上，，
∴，
∴，
∴，
即，②
将②代入①整理得：，
解得：或，
当时，，
当时，，
∴当时，符合题意；
如图，当共线，如图所示：
此时点P的纵坐标为4，
∴，
解得：或（舍去）；
∵根据当，共线，且点A恰好在正方形对角线上时，有2种情况，
，
∴当时，符合题意；
当四点共线时，过点B作，如图所示：
设，，
∵，点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
整理得：，
∵在函数上，
代入得：，
整理得：①，
∵点B在对角线上，，
∴，
∴，
∴，
整理得即，②
将②代入①整理得：，
解得：或，
当时，（舍去），
当时，，（符合题意）
当共线时，且点B在上时，如图所示：
设，，
∵，点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
解得：，
∵在函数上，
代入得：，
解得：或，（不符合题意，舍去）
∴当时，符合题意；
综上可得：当时，当时，当时，两点中只有一个点在内部．
【分析】本题以二次函数与位似变换为背景，考查了待定系数法求解析式、位似图形的性质、中点坐标公式及分类讨论思想。
(1) 由抛物线过 (0，4) 得 c=4，对称轴 x=3 得 b=-6，故 y=x2-6x+4；
(2) ① m=0 时 P(0，4)，通过计算验证；
② k=2 时 A(2，4)，B(2，1)，由位似及 PC 平分 AB 得 C 为 A'B' 中点，代入抛物线方程解出 m；
③ 利用位似比及几何位置关系，分多种情况讨论 m 的取值范围。
（1）解：∵抛物线经过点且对称轴为直线，
∴，，
解得：，
∴该抛物线对应的函数关系式为；
（2）解：当时，此时，如图，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∴，，
∴；
当时，如图，
设，
∵，点的坐标为，点的坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
，
，，
，
当平分时，则平分，即点C是的中点，
∴，
∴点的坐标为，
把代入，
则，
得，
化简得：，
解得：，
∴当平分时，求的值为或；
点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵以点为位似中心将线段放大到原来的倍，得到线段，
∴，，
∴，
如图，当共线时，，
如图，当，共线，且点A恰好在正方形对角线上时，如图所示：
设，，
∵，点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
整理得：，
∵在函数上，
代入得：，
整理得：①，
∵点A在对角线上，，
∴，
∴，
∴，
即，②
将②代入①整理得：，
解得：或，
当时，，
当时，，
∴当时，符合题意；
如图，当共线，如图所示：
此时点P的纵坐标为4，
∴，
解得：或（舍去）；
∵根据当，共线，且点A恰好在正方形对角线上时，有2种情况，
，
∴当时，符合题意；
当四点共线时，过点B作，如图所示：
设，，
∵，点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
整理得：，
∵在函数上，
代入得：，
整理得：①，
∵点B在对角线上，，
∴，
∴，
∴，
整理得即，②
将②代入①整理得：，
解得：或，
当时，（舍去），
当时，，（符合题意）
当共线时，且点B在上时，如图所示：
设，，
∵，点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
解得：，
∵在函数上，
代入得：，
解得：或，（不符合题意，舍去）
∴当时，符合题意；
综上可得：当时，当时，当时，两点中只有一个点在内部．
1 / 1吉林省长春市第八十七中学2025年中考三模数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：当填入加号时：
当填入减号时：
当填入乘号时：
当填入除号时：
故这个运算符号是乘号；
故选：C
【分析】本题以有理数运算为背景，考查了加减乘除四种运算的结果比较。分别计算：(-1)+(-2)=-3，(-1)-(-2)=1，(-1)(-2)=2，(-1)(-2)=，其中乘法结果最大.
2．如图，点A，B对应的数分别为a，b，对于结论：①，②，③，其中说法正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．② D．①②③
【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则；相反数的意义与性质；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知，
∴，，，
∴正确的有①②③，
故选：D．
【分析】观察数轴知，则异号两数之积为负，即；正数的相反数是负数，即；异号两相加，结果取绝对值较大加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值，即．
3．如图是某几何体的展开图，则此几何体是（　　）
A．五棱柱 B．五棱锥 C．六棱柱 D．六棱锥
【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：几何体的展开图为长方形和六边形，据此可判断该几何体为六棱柱，即C正确．
故选：C．
【分析】根据简单几何体的展开图判断即可．
4．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：重力的方向竖直向下，
重力与水平方向夹角为，
摩擦力的方向与斜面平行，，
，
故选：C．
【分析】本题以斜面上的物体受力分析为背景，考查了平行线的性质及三角形外角定理。重力G竖直向下，与水平方向夹角为90°，斜面倾角α=26°，摩擦力F2与斜面平行，故F2与水平方向夹角为26°，则F2与G的夹角θ=90°+26°=116°。
5．如图，是梯子两梯腿张开的示意图，AB＝AC，梯腿与地面夹角∠ACB＝∠，当梯子顶端离地面高度AD＝2.8m时，则梯子两梯脚之间的距离BC＝（　　）m．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；求正切值
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝BC，
在Rt△ADC中，tanC＝，
∴DC＝＝，
∴BC＝2DC＝，
故选：D．
【分析】本题以等腰三角形中的解直角三角形为背景，考查了等腰三角形“三线合一”的性质及正切函数的应用。由 AB = AC，AD BC 得 BD = DC =BC，在 Rt△ ADC 中，tanC＝，代入 AD = 2.8 得 DC =，故 BC =.
6．向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么高度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．∴ 这个容器的形状可能是B．
故答案为：B．
【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升高度的快慢，再观察容器的粗细，即可判断求解．
7．如图，将折叠，使点A、B重合，折痕为．连接
甲：能够比较与的大小
乙：能够比较与的长短
下列判断正确的是（　　）
A．甲、乙的说法都正确
B．甲、乙的说法都不正确
C．甲的说法正确，乙的说法不正确
D．甲的说法不正确，乙的说法正确
【答案】A
【知识点】角的大小比较；三角形三边关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠可得∠A=∠EBA，
而∠EBA＜∠CBA，
，
根据折叠可得，
，
在中，，即，
∴甲、乙的说法都正确，
故答案为：A．
【分析】根据折叠的性质可得∠A=∠EBA，而∠EBA＜∠CBA，即可得出∠A＜∠ABC，据此可判断甲的说法；根据折叠可得AE=BE，由三角形两边之和大于第三边得出BE+CE＞BC，然后结合线段和差及等量代换可判断AC＞BC，据此可判断乙的说法.
8．如图，点在函数的图象上，点在轴上，，将线段向左下方平移．得到线段，使点落在函数图象上，点落在轴负半轴上，且．则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：，，
，，
由平移可知：线段向下平移个单位，再向左平移个单位，得到线段，
，
，
点和点在函数的图象上，
，
，
，
故选：B．
【分析】本题以平移变换和反比例函数为背景，考查了坐标平移规律及反比例函数图象上点的坐标特征。由 OB=1 得 B(0，1)，由 OD=1 得 D(-1，0)，可知线段向下平移1单位、向左平移1单位得到 CD，故 C(m-1，1)。由 A， C 在 y= 上得 2m = 1 (m-1)，解得 m=-1，k=2 (-1) = -2。
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．将整式分解因式结果正确的是　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
利用提公因式法解答即可．
10．若a是方程的一个根，则的值为　 　．
【答案】2024
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴，，
∴
故答案为：2024．
【分析】本题以一元二次方程的解为背景，考查了整体代入求值。由 a 是方程的根得，则 =2024.
11．若是整数，则正整数n的最小值为　 　．
【答案】7
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，且是整数，
∴是整数，即是完全平方数，
∴，
即正整数n的最小值为7．
故答案为：7
【分析】根据题意可得是整数，即7n是完全平方数，再求出n的最小值即可。
12．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人、物各几何？意思是：有一些人合买一个物品，每个人出元，还余剩元，每个人出元，则还差元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？若设一共有人，可列方程为　 　．
【答案】
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意，得：．
故答案为：．
【分析】 设一共有x人，由“ 每个人出8元，还余剩3元 ”可将物品的价格表示为(8x-3)元，根据“ 每个人出7元，则还差4元 ”可将物品的价格表示为(7x+4)元，根据物品的价格不变列出方程即可.
13．如图是工人师傅用边长均为的两块正三角形和一块正方形地砖绕着点进行的铺设．若将一块边长为的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是　 　．
【答案】12
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正三角形的内角为，正方形的内角为，
∴，
∴这块正多边形地砖的边数是，
故答案为：12．
【分析】由正三角形每一个内角都等于60°，正方形每一个内角为90°及周角定义可求出∠AOB=150°，再根据正多边形每一个内角与其相邻的外角都互补可求出所求正多边形一个外角度数，由于所有多边形的外角和都是360°，从而用360°除以一个外角度数即可求出正多边形的边数.
14．如图，正方形的边长为1，点E是边上一动点（不与点B，C重合），过点E作交正方形外角的平分线于点F，交于点G，连接，有下列结论：①②③④面积的最大值为⑤连接，当最小时，上述结论中，正确结论的序号有　 　．
【答案】①②
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；四边形-动点问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：连接，过E作交于H；过F作于I，如图．
∵四边形为正方形；
∴．
∵；
∴．
又∵，
∴；
∴；
∴．
∴；
∴．；
∵平分正方形外角，
∴；
∴；
∴．
∵，
∴；
∵，
∴；
∴．
∴．
∴，①正确．
∴；
∴．
∵平分正方形外角，
∴；
∴；
∴，②正确．
∵，
∴，
∴；
即，③不正确．
设，则；
∴面积：，最大值为，④不符合题意．
如图，作点关于的对称点M，连接交于点P，连接，
∵
∴，
∵平分，
∴，
∵点D关于的对称点M，
∴，
∴点M在线段的延长线上，
∴，
∵，
∴当且仅当点F与点P重合时最小，最小值为的长，
过点作于点，则，，
∴，
∴，
由于，所以
∴，
∴当最小时，故⑤错误；
综上，正确的结论是①②，
故答案为：①②．
【分析】本题以正方形中的动点问题为背景，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线、最值问题（将军饮马）以及面积最值（二次函数）。通过构造全等证 AE = EF，利用勾股定理求 CF，用函数表示△ CEF 面积并求最大值，再通过对称法求 AF+DF 最小值，综合判断正确结论的序号。
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
；
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题以分式的化简求值为背景，考查了完全平方公式及约分。将分子 m2 - 6mn + 9n2 分解为 (m-3n)2，分母为 3n - m = -(m-3n)，化简得 -(m-3n)，代入 m=2，n=1 得原式 =1。
16．甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶．
（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是_______；
（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．
【答案】（1）
解：（2）画树状图如下：
可知共有6种等可能的结果，其中两人选购到同一种类奶制品的情况有2种，
∴两人选购到同一种类奶制品的概率为=．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）∵两个品牌共有5个种类的奶制品，每个品牌都有一种纯牛奶，
∴选购到纯牛奶的概率=，
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式直接计算即可；
（2）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图列举出所有等可能得情况数，由树状图可知共有6种等可能的结果，其中两人选购到同一种类奶制品的情况有2种，从而利用概率公式计算即可．
17．某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度是，人跑步的速度是，问：导火线必须超过多长，才能保证操作人员的安全？
【答案】解：设导火线的长度为，
根据题意得：，
解得：，
答：导火线必须超过多长，才能保证操作人员的安全
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题以爆破安全距离为背景，考查了一元一次不等式的应用。设导火线长度为 x cm，爆炸时间 秒，人跑到安全区需=80 秒，由 > 80 解得 x > 64，故导火线必须超过 64 cm。
18．如图，在中，D，E分别是的中点，，交的延长线于点A，，连接．求证：四边形为菱形．
【答案】证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题以三角形中位线及菱形判定为背景，考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质。连接 DF，证得 AF = CD，结合 CDAF 得四边形 ACDF 为平行四边形，则 ACDF。由 AB AC 得 AB DF，又 BD = CD = AF 且 BD AF，故四边形 AFBD 为菱形。
19．如图是由小正方形组成的6×7网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．格点A、B、C在同一个圆上．只用无刻度直尺在分别在给定网格中按照下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）图①中，先画出圆心O，然后作经过B点的切线
（2）图②中，在上画点D，使
【答案】（1）解：如图，点为圆心，为圆的切线；
（2）解：如图，点即为所作．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】本题以网格作图（无刻度直尺）为背景，考查了圆心的确定、切线的构造及线段相等的作图。
(1) 取格点 P， Q，连接 AB， PQ 交点即为圆心 O；再取格点 F 连接 BF，使 BF 与圆相切；
(2) 取格点 G，连接 AG 交圆于 D，使 AC = AD。
（1）解：如图，点为圆心，为圆的切线；
（2）解：如图，点即为所作．
20．某市为推进“绿色社区”建设，对全市150个社区的“雨水收集利用率”进行考核．根据要求，“雨水收集利用率”达到75%及以上即为合格．环保部门随机抽查了10个社区，其利用率数据如下（单位：%）：
68，77，72，85，80，65，78，88，70，82．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）计算这组数据的平均利用率为______；
（2）估计全市150个社区中，利用率合格的大约有多少个？
（3）若将这10个社区作为试点，对不合格的社区进行改造（合格的社区无需改造），改造后全部达标，且改造后数据的平均利用率提升至80%．那么，试点中改造社区的利用率平均至少提升了______个百分点．
【答案】（1）
（2）解：（个），
答：估计全市150个社区中，利用率合格的大约有90个
（3）3.5
【知识点】平均数及其计算；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵
∴这组数据的平均利用率为，
故答案为：；
（3）解：，
所以，试点中改造社区的利用率平均至少提升了3.5个百分点，
故答案为：3.5．【分析】本题以社区雨水收集利用率为背景，考查了平均数的计算、用样本估计总体以及百分点的实际意义。
(1) 直接计算10个数据的平均数得76.5%；
(2) 样本中合格率为=60%，估计全市合格社区数为 15060% = 90；
(3) 改造后平均利用率提升至80%，整体提升3.5个百分点，即不合格社区改造后平均提升了3.5个百分点。
（1）解：∵
∴这组数据的平均利用率为，
故答案为：；
（2）解：（个），
答：估计全市150个社区中，利用率合格的大约有90个；
（3）解：，
所以，试点中改造社区的利用率平均至少提升了3.5个百分点，
故答案为：3.5．
21．千百年来，手杆秤也可算作华夏“国粹”，是我国传统的计重工具，方便了人们的生活，直至今日仍然有人还在使用杆秤进行交易．
【观察实践】如图①，某兴趣小组为了探究秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x．（）厘米与秤钩所挂物重为y斤之间的关系，进行了6次称重记录出下表的一些数据．
x（厘米） 4 12 20 24 28 36
y（斤） 0 1 2 2.5 3 4
【问题解决】
（1）在图②中，请以表格中的x值为横坐标，y值为纵坐标描出所有的点，并将这些点依次连接起来．
（2）根据（1）描各点的分布规律，观察它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式，如果不在同一条直线上，请说明理由．
（3）已知杆秤的设计利用了杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，设秤砣质量为斤，称钩质量为斤，秤钩到称纽距离为厘米，则当钩上不放重物时：，挂物重为y斤时：，
则由上面两个等式进行变形可以得到 ，（横线上填关于，的代数式）
根据上式和（2）的结论，当秤砣质量为0.3斤时，求秤钩到称纽距离应该为多少厘米？
【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：由（1）中图象可知，所描各点在同一条直线上，
设y关于x的函数解析式为，
将点和代入，得，
解得，
∴这条直线所对应的函数解析式为．
（3）解：把m1=0.3代入得，
∵
∴
∴l1=2.4
即秤钩到称纽距离应该为2.4厘米.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（3）解：∵，
∴；
代入，得
∴；
故答案为：．
【分析】（1）利用方格纸的特点， 以表格中的x值为横坐标，y值为纵坐标描出所有的点，并按照x值从小到大用平滑的曲线连起来即可；
（2）判断点共线后，用待定系数法即可求出y关于x的函数解析式；
（3）由可得，将其代入可得；将m1=0.3代入得出，结合（2）的结论得出，求解可得答案.
（1）解：如图，即为所求．
（2）解：由（1）中图象可知，所描各点在同一条直线上，
设y关于x的函数解析式为，
将点和代入，得，
解得，
∴这条直线所对应的函数解析式为．
（3）解：∵，
∴；
代入，得
∴；
当时，，
解得：，
即秤钩到称纽距离应该为8厘米；
故答案为：．
22．【问题原型】如图，菱形的边长为，．点分别在边上，且．点在直线上，试探究当的值最小时，点的位置．
【问题探究】（1）小丽同学由已知条件可以证明，为了求最小值问题，首先要探究点的轨迹问题．研究发现：当的边为定长，为定角且时，点在外接圆的劣弧上运动．以下是小丽求的度数的部分过程：
解：∵四边形是菱形，∴，
又∵，
是等边三角形，
∴，，
又∵，∴
证明过程缺失
∴______
∴点在外接圆的劣弧上运动．
请您补全证明过程．
【问题解决】（2）请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图中作出【问题原型】中的点和点，使的值最小，则最小值是______．
【答案】解：[问题探究]（）∵四边形是菱形，∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在外接圆的劣弧上运动；
【问题解决】（2）的值最小为
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；圆-动点问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】[问题解决]（）如图，
作关于对称点，连接交于点，交于点，连接交延长线于点，
∴，，根据两点之间线段最短可得的值最小，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
由是外接圆，取上一点，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点是在以为直径的圆上，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值最小为．
【分析】本题以菱形中的动点最值问题为背景，考查了等边三角形的判定、全等三角形的性质、圆周角定理、轴对称变换及相似三角形的应用。
(1) 由菱形及 ABC=60°得 △ ABC 为等边三角形，证 得 BAE + ABF = 60°，从而AMB = 120°，即点 M 在定弦 AB 所对圆周角为 120° 的弧上运动；
(2) 作 D 关于 BC 的对称点 H，连接 OH 交圆于 M、交 BC 于 P，利用轴对称及两点之间线段最短确定 P 点，通过相似三角形和勾股定理计算得最小值为。
23．如图，在矩形中，，．点E是边的三等分点，且．点P是边上的动点（P不与点A重合），绕点E逆时针旋转得到线段，连结．
（1）过点Q作边的垂线段，交于H，求证：；
（2）当A，Q，C三点共线时，求线段的长；
（3）线段的长度的最小值是______；
（4）四边形面积的最大值是______，此时线段的长度是______．
【答案】（1）证明：∵是矩形，
∴，
又∵于H，绕点E逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点Q作于点H，
∵点E是的三等分点，
∴，
由（1）可知，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
∴；
（3）
（4）；3
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（3）解：由（2）可得点到的距离为，
∴点Q在平行于到的距离为的直线上运动，即当点Q在上时，最小，
即最小为；
（4）解：过点Q作于点Q，设，
则，，
∴
，
∴当时，最大为，
这时，，
故答案为：；3．
【分析】（1）由矩形性质得∠A=90°，由垂直定义得∠EHQ=90°，由旋转性质得∠QEP=90°，EQ=EP，由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等得∠HQE=∠AEP，从而由“AAS”判断出△APE相对三硝基HEQ
（2）过点Q作QH⊥AD于点H，同（1）证△APE≌△HEQ，由全等三角形的对应边相等得QH=AE=2，EH=AP，由矩形性质可得 ∠ D= ∠ QHE=90°，由同位角相等，两直线平行得出HQ∥CD，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△AHQ∽△ADC，由相似三角形对应边成比例间两方程可求出AH=3，再利用勾股定理解答即可；
（3）点Q在平行于AD到AD的距离为2的直线上运动，即当点Q在CD上时，CQ最小，然后利用线段的和差解答即可；
（4）过点Q作QH⊥AD于点Q，设，则DH=4-x，根据列函数关系式，配方得到最大值解答即可.
（1）解：∵是矩形，
∴，
又∵于H，绕点E逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点Q作于点H，
∵点E是的三等分点，
∴，
由（1）可知，
∴，，，
∵是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由（2）可得点到的距离为，
∴点Q在平行于到的距离为的直线上运动，即当点Q在上时，最小，
即最小为；
（4）解：过点Q作于点Q，设，
则，，
∴
，
∴当时，最大为，
这时，，
故答案为：；3．
24．在平面直角坐标系中，抛物线经过点且对称轴为直线，点在抛物线上，其横坐标为．
（1）求该抛物线对应的函数关系式；
（2）已知点的坐标为，点的坐标为，连接，以点为位似中心将线段放大到原来的倍，得到线段（和位于点的同侧），以为边向右做正方形，
当时，连接、，试说明．
当时，若与抛物线图象交于点，连接；当平分时，求的值；
当时，连接，当两点中只有一个点在内部时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点且对称轴为直线，
∴，，
解得：，
∴该抛物线对应的函数关系式为
（2）解：当时，此时，如图，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∴，，
∴；
当时，如图，
设，
∵，点的坐标为，点的坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
，
，，
，
当平分时，则平分，即点C是的中点，
∴，
∴点的坐标为，
把代入，
则，
得，
化简得：，
解得：，
∴当平分时，求的值为或；
③当时，当时，当时，两点中只有一个点在内部
【知识点】正方形的性质；动点问题的函数图象；位似图形的性质；二次函数-面积问题
【解析】解：（2）点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵以点为位似中心将线段放大到原来的倍，得到线段，
∴，，
∴，
如图，当共线时，，
如图，当，共线，且点A恰好在正方形对角线上时，如图所示：
设，，
∵，点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
整理得：，
∵在函数上，
代入得：，
整理得：①，
∵点A在对角线上，，
∴，
∴，
∴，
即，②
将②代入①整理得：，
解得：或，
当时，，
当时，，
∴当时，符合题意；
如图，当共线，如图所示：
此时点P的纵坐标为4，
∴，
解得：或（舍去）；
∵根据当，共线，且点A恰好在正方形对角线上时，有2种情况，
，
∴当时，符合题意；
当四点共线时，过点B作，如图所示：
设，，
∵，点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
整理得：，
∵在函数上，
代入得：，
整理得：①，
∵点B在对角线上，，
∴，
∴，
∴，
整理得即，②
将②代入①整理得：，
解得：或，
当时，（舍去），
当时，，（符合题意）
当共线时，且点B在上时，如图所示：
设，，
∵，点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
解得：，
∵在函数上，
代入得：，
解得：或，（不符合题意，舍去）
∴当时，符合题意；
综上可得：当时，当时，当时，两点中只有一个点在内部．
【分析】本题以二次函数与位似变换为背景，考查了待定系数法求解析式、位似图形的性质、中点坐标公式及分类讨论思想。
(1) 由抛物线过 (0，4) 得 c=4，对称轴 x=3 得 b=-6，故 y=x2-6x+4；
(2) ① m=0 时 P(0，4)，通过计算验证；
② k=2 时 A(2，4)，B(2，1)，由位似及 PC 平分 AB 得 C 为 A'B' 中点，代入抛物线方程解出 m；
③ 利用位似比及几何位置关系，分多种情况讨论 m 的取值范围。
（1）解：∵抛物线经过点且对称轴为直线，
∴，，
解得：，
∴该抛物线对应的函数关系式为；
（2）解：当时，此时，如图，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∴，，
∴；
当时，如图，
设，
∵，点的坐标为，点的坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
，
，，
，
当平分时，则平分，即点C是的中点，
∴，
∴点的坐标为，
把代入，
则，
得，
化简得：，
解得：，
∴当平分时，求的值为或；
点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵以点为位似中心将线段放大到原来的倍，得到线段，
∴，，
∴，
如图，当共线时，，
如图，当，共线，且点A恰好在正方形对角线上时，如图所示：
设，，
∵，点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
整理得：，
∵在函数上，
代入得：，
整理得：①，
∵点A在对角线上，，
∴，
∴，
∴，
即，②
将②代入①整理得：，
解得：或，
当时，，
当时，，
∴当时，符合题意；
如图，当共线，如图所示：
此时点P的纵坐标为4，
∴，
解得：或（舍去）；
∵根据当，共线，且点A恰好在正方形对角线上时，有2种情况，
，
∴当时，符合题意；
当四点共线时，过点B作，如图所示：
设，，
∵，点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
整理得：，
∵在函数上，
代入得：，
整理得：①，
∵点B在对角线上，，
∴，
∴，
∴，
整理得即，②
将②代入①整理得：，
解得：或，
当时，（舍去），
当时，，（符合题意）
当共线时，且点B在上时，如图所示：
设，，
∵，点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
解得：，
∵在函数上，
代入得：，
解得：或，（不符合题意，舍去）
∴当时，符合题意；
综上可得：当时，当时，当时，两点中只有一个点在内部．
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