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第55课时　“动态圆”思维处理磁场中的临界、极值问题(进阶课)
[学习目标]　1．进一步掌握带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题。2．会用“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”找出对应的临界状态或极值的轨迹。
“平移圆”模型
适用条件 入射点在同一直线上，且速度大小、方向均相同 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则运动半径r＝，如图所示
轨迹圆圆心特点 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在与入射点所在直线平行的同一直线上
临界轨迹 界定方法 平移轨迹圆 将半径为r＝的圆沿入射点所在直线进行平移，从而探索粒子的临界条件
[典例1]　(多选)(2025·河北张家口高三质检)如图所示，等腰直角三角形区域分布有垂直纸面向里的匀强磁场，腰长AB＝2 m，O为BC的中点，磁感应强度B＝0.25 T，质量m＝1×10-7 kg、电荷量为－q＝－2×10-3 C的带电粒子流以速度v＝5×103 m/s垂直于BO，从BO之间射入磁场区域，带电粒子不计重力，则(　　)
A．在AC边界上有粒子射出的长度为(－1) m
B．C点有粒子射出
C．在AB边界上有粒子射出的长度为1 m
D．磁场中运动时间最长的粒子从底边距B点(－1) m处入射
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[典例2]　(2025·四川成都七中高三诊断)如图所示是带电粒子收集器的示意图，直角三角形ABC区域内有垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，AC边长为L，∠A＝30°。一束不计重力且带正电的粒子流以相同速度在CD范围内垂直AC边射入，从D点射入的粒子恰好不能从AB边射出。已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为3t，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为4t，则(　　)
A．粒子的比荷为
B．粒子运动的轨道半径为L
C．粒子射入磁场的速度大小为
D．这束粒子在磁场中扫过的面积为L2
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“放缩圆”模型
适用条件 入射点相同，速度方向一定、大小不同 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的增大而增大，如图所示
轨迹圆圆 心特点 轨迹圆圆心共线 运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
临界轨迹 界定方法 缩放轨迹圆 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径缩放作轨迹圆，从而探索粒子的临界条件
[典例3]　如图所示，正方形区域abcd内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，大量带正电的粒子从O点沿与ab边成37°角的方向以不同的初速度v0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间；
(2)若带电粒子从ad边离开磁场，求v0的取值范围。
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“旋转圆”模型
适用条件 入射点相同，速度大小一定、方向不同 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则圆周运动半径为r＝，如图所示
轨迹圆圆 心特点 轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点O为圆心、半径r＝的圆上
临界轨迹 界定方法 旋转轨迹圆 将半径为r＝的轨迹圆以入射点为定点进行旋转，从而探索粒子的临界条件
[典例4]　如图所示，在直角坐标系xOy中，x轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向外。许多质量为m、电荷量为＋q的粒子以相同的速率v从原点O沿纸面内由从x轴负方向到y轴正方向之间的各个方向射入磁场区域。不计重力及粒子间的相互作用。下列图中阴影部分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域，其中R＝，则下列图正确的是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
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[典例5]　(多选)(2025·广东深圳一模)如图所示，扇形区域AOC内有垂直纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，∠AOC＝60°。边界OA上有一距O为d的粒子源S，现粒子源在纸面内以等大速度向不同方向发射大量带正电的同种粒子(不计粒子重力及粒子间相互作用力)，经过一段时间有部分粒子从边界OC射出磁场。已知从OC射出的粒子在磁场中运动的最大时间为(T为粒子在磁场中运动的周期)。关于从OC射出的粒子，下列判定正确的有(　　)
A．O可能是粒子的轨迹圆心
B．粒子可能垂直于边界OC射出
C．从OC射出的粒子距O最远距离为d
D．粒子在磁场中运动的最短时间等于
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第55课时　“动态圆”思维处理磁场中的临界、极值问题(进阶课)
进阶1
典例1　ACD　[粒子在磁场中偏转，根据洛伦兹力提供向心力，有qvBm，解得粒子在磁场中运动的轨迹半径R m1 m，作出粒子在磁场中的运动轨迹如图所示。平移粒子的运动轨迹，由几何关系可知，粒子不可能到达C点，且沿BC方向从AC边界射出时，射出点距A点最近，设为E，则能从AC边射出的粒子长度为DEEC－DCR－R(－1) m，故A正确，B错误；由几何关系可知，△BOF为等腰直角三角形，在AB边界上有粒子射出的长度为BFFOR1 m，故C正确；磁场中运动时间最长的粒子运动半个圆周，轨迹与AB、AC均相切，由图可知从底边距B点l－R(－1) m处入射，故D正确。
]
典例2　C　[从BC边垂直射出的粒子运动时间为3t，解得运动周期T12t，根据洛伦兹力提供向心力得qvB，T，可知T，故A错误；在磁场中运动时间最长的粒子轨迹如图所示，4tT，圆心角θ×360°120°，由几何关系知Rsin 30°＋L，解得RL，故B错误；由v，得v，故C正确；粒子在磁场中扫过的面积如图中灰色部分所示，则SR·Rsin 30°＋L2，故D错误。
]
进阶2
典例3　解析：(1)粒子从ab边离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图甲所示。
有qBv0，又T
解得T
又由几何关系得θ74°，则粒子在磁场中运动的最长时间t。
(2)当粒子轨迹与ad边相切时，如图乙所示，设此时初速度为v01，轨道半径为R1
由几何关系可得R1＋R1sin 37°0.4l
又qBv01
解得v01
当粒子运动轨迹与cd边相切时，如图丙所示，设此时初速度为v02，轨道半径为R2，由几何关系可得R2＋R2cos 37°l
又qBv02
解得v02
综上可得。
答案：(1)
进阶3
典例4　D　[如图所示，从O点沿x轴负方向射入的粒子，轨迹为圆，和x轴相切于O点，在x轴上方，半径为R；沿y轴正方向射入的粒子，轨迹为半圆，在y轴右侧，和x轴的交点距O点为2R；沿其余方向射入的带电粒子，轨迹最远点均在以O为圆心、半径为2R的圆周上；由以上分析结合定圆旋转法，可知D正确。
]
典例5　BD　[由于所有粒子的速度大小都相同，故在磁场中运动轨迹半径r均相同；由于从OC边界射出的粒子在磁场中运动时间最长为半个周期，可知粒子在磁场中转过的圆弧都不是优弧。转过的弧长越小的粒子，在磁场中运动时间就越短，由于可断定粒子都是做逆时针圆周运动，则初速度沿OA方向的粒子运动时间最长，其在磁场中的运动轨迹是个半圆；如图所示，过S作OA的垂线与OC相交于D点，则SD为该粒子运动的轨迹直径，可得轨迹半径为rdtan 60°d，从OC射出的粒子距O最远距离为dOD2d，绕S点逆时针旋转该粒子运动的轨迹，由点到直线垂线段最短可知，轨迹与OC相交于S在OC上的垂足E时，粒子在磁场中运动时间最短，而SEdsin 60°dr，即△O'SE为等边三角形，故运动时间最短的粒子在磁场中转过的圆心角为60°，最短时间为tmin，故C错误，D正确；由上述分析可知，粒子的轨迹rd＜d，故O不可能是粒子的轨迹圆心，故A错误；由上述分析可知，S点到直线OC的距离为SEr，则粒子的轨迹圆心可以在直线OC上，当粒子的轨迹圆心O'落在直线OC上时，粒子垂直于边界OC射出，故B正确。
]
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第十章 磁 场
第55课时　“动态圆”思维处理磁场中的临界、极值问题(进阶课)
[学习目标]　1．进一步掌握带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题。2．会用“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”找出对应的临界状态或极值的轨迹。
适用条件 入射点在同一直线上，且速度大小、方向均相同 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则运动半径r＝，如图所示

进阶1　“平移圆”模型
轨迹圆圆心特点 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在与入射点所在直线平行的同一直线上
临界轨迹界定方法 平移轨迹圆 将半径为r＝的圆沿入射点所在直线进行平移，从而探索粒子的临界条件
[典例1]　(多选)(2025·河北张家口高三质检)如图所示，等腰直角三角形区域分布有垂直纸面向里的匀强磁场，腰长AB＝2 m，O为BC的中点，磁感应强度B＝0.25 T，质量m＝1×10-7 kg、电荷量为－q＝－2×10-3 C的带电粒子流以速度v＝5×103 m/s垂直于BO，从BO之间射入磁场区域，带电粒子不计重力，则(　　)
A．在AC边界上有粒子射出的长度为(－1) m
B．C点有粒子射出
C．在AB边界上有粒子射出的长度为1 m
D．磁场中运动时间最长的粒子从底边距B点(－1) m处入射
√
√
√
ACD　[粒子在磁场中偏转，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得粒子在磁场中运动的轨迹半径R＝＝ m＝
1 m，作出粒子在磁场中的运动轨迹如图所示。平移粒子的运动轨迹，由几何关系可知，粒子不可能到达C点，且沿BC方向从AC边界射出时，射出点距A点最近，设为E，则能从AC边射出的粒子长度为DE＝EC－DC＝R－R＝(－1) m，故A正确，B错误；由几何关系可知，△BOF为等腰直角三角形，在AB边界上有粒子射出的
长度为BF＝FO＝R＝1 m，故C正确；磁场中运动时间最长的粒子运动半个圆周，轨迹与AB、AC均相切，由图可知从底边距B点l＝－R＝(－1) m处入射，故D正确。]
[典例2]　(2025·四川成都七中高三诊断)如图所示是带电粒子收集器的示意图，直角三角形ABC区域内有垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，AC边长为L，∠A＝30°。一束不计重力且带正电的粒子流以相同速度在CD范围内垂直AC边射入，从D点射入的粒子恰好不能从AB边射出。已知从BC边垂
直射出的粒子在磁场中运动的时间为3t，在磁场
中运动时间最长的粒子所用时间为4t，则(　　)
A．粒子的比荷为
B．粒子运动的轨道半径为L
C．粒子射入磁场的速度大小为
D．这束粒子在磁场中扫过的面积为L2
√
C　[从BC边垂直射出的粒子运动时间为3t＝，解得运动周期T＝12t，根据洛伦兹力提供向心力得qvB＝，T＝，可知T＝，解得＝，故A错误；在磁场中运动时间最长的粒子轨迹如图所示，4t＝T，圆心角θ＝×360°＝120°，由几何关系知R sin 30°＋＝L，解得R＝L，故B错误；由v＝，得v＝，故C正
确；粒子在磁场中扫过的面积如图中灰色部分所示，则S＝R·
R sin 30°＋＝L2，故D错误。]
适用条件 入射点相同，速度方向一定、大小不同 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的增大而增大，如图所示

进阶2　“放缩圆”模型
轨迹圆圆心特点 轨迹圆圆心共线 运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
临界轨迹界定方法 缩放轨迹圆 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径缩放作轨迹圆，从而探索粒子的临界条件
[典例3]　如图所示，正方形区域abcd内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，大量带正电的粒子从O点沿与ab边成37°角的方向以不同的初速度v0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间；
(2)若带电粒子从ad边离开磁场，求v0的取值范围。
[解析]　(1)粒子从ab边离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图甲所示。
有qBv0＝，又T＝
解得T＝
又由几何关系得θ＝74°，则粒子在磁场中运动的最
长时间t＝T＝。
(2)当粒子轨迹与ad边相切时，如图乙所示，设此时初速度为v01，轨道半径为R1
由几何关系可得R1＋R1sin 37°＝0.4l
又qBv01＝
解得v01＝
当粒子运动轨迹与cd边相切时，如图丙所示，设此时初速度为v02，轨道半径为R2，由几何关系可得R2＋R2cos 37°＝l
又qBv02＝
解得v02＝
综上可得[答案]　(1)　(2)适用条件 入射点相同，速度大小一定、方向不同 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则圆周运动半径为r＝，如图所示

进阶3　“旋转圆”模型
轨迹圆圆心特点 轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点O为圆心、半径r＝的圆上
临界轨迹界定方法 旋转轨迹圆 将半径为r＝的轨迹圆以入射点为定点进行旋转，从而探索粒子的临界条件
[典例4]　如图所示，在直角坐标系xOy中，x轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向外。许多质量为m、电荷量为＋q的粒子以相同的速率v从原点O沿纸面内由从x轴负方向到y轴正方向之间的各个方向射入磁场区域。不计重力及粒子间的相互作用。下列图中阴影部分表示带电粒子
在磁场中可能经过的区域，其中R＝，则
下列图正确的是(　　)
√
D　[如图所示，从O点沿x轴负方向射入的粒子，轨迹为圆，和x轴相切于O点，在x轴上方，半径为R；沿y轴正方向射入的粒子，轨迹为半圆，在y轴右侧，和x轴的交点距O点为2R；沿其余方向射入的带电粒子，轨迹最远点均在以O为圆心、半径为2R的圆周上；由以上分析结合定圆旋转法，可知D正确。]
[典例5]　(多选)(2025·广东深圳一模)如图所示，扇形区域AOC内有垂直纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，∠AOC＝60°。边界OA上有一距O为d的粒子源S，现粒子源在纸面内以等大速度向不同方向发射大量带正电的同种粒子(不计粒子重力及粒子间相互作用力)，经过一段时间有部分粒子从边界OC射出磁场。已知从OC射出的粒子在磁场中运动的最大时间为(T为粒子在磁场中
运动的周期)。关于从OC射出的粒子，下列判定正
确的有(　　)
A．O可能是粒子的轨迹圆心
B．粒子可能垂直于边界OC射出
C．从OC射出的粒子距O最远距离为d
D．粒子在磁场中运动的最短时间等于
√
√
BD　[由于所有粒子的速度大小都相同，故在磁场中运动轨迹半径r＝均相同；由于从OC边界射出的粒子在磁场中运动时间最长为半个周期，可知粒子在磁场中转过的圆弧都不是优弧。转过的弧长越小的粒子，在磁场中运动时间就越短，由于可断定粒子都是做逆时针圆周运动，则初速度沿OA方向的粒子运动时间最长，其在磁场中的运动轨迹是个半圆；如图所示，过S作OA的垂线与OC相交于D点，则SD为该粒子运动的轨迹直径，可得轨迹半径为r＝d tan 60°＝d，从OC射出
的粒子距O最远距离为dOD＝＝2d，绕S点逆时针旋转该粒子运动的轨迹，由点到直线垂线段最短可知，轨迹与OC相交于S在OC上的垂足E时，粒子在磁场中运动时间最短，而SE＝d sin 60°＝d＝r，即△O′SE为等边三角形，故运动时间最短的粒子在磁场中转过的圆心角为60°，最短时间为tmin＝T＝，故C错误，D正确；由上述分析可知，粒子的轨迹r＝d由上述分析可知，S点到直线OC的距离为SE＝r，则粒子的轨迹圆心可以在直线OC上，当粒子的轨迹圆心O′落在直线OC上时，粒子垂直于边界OC射出，故B正确。]
课时数智作业(五十五)　“动态圆”思维处理磁场中的临界、极值问题(进阶课)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
说明：第1～8题，每小题5分；本试卷共52分。
1．(2025·江苏如皋市期中)如图所示，一线状粒子源垂直于匀强磁场边界不断地发射速度相同的同种粒子，不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用，则粒子经过磁场的区域(阴影部分)可能是(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
C　[粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示，粒子源最左端发射的粒子落在A点，最右端发射的粒子落在B点，故选C。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
2．(多选)如图所示，半径分别为R和2R的同心圆处于同一平面内，O为圆心。两圆形成的圆环内(含边界)有垂直圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为－q(q>0)的粒子由大圆上的A点以速率v沿大圆切线方向进入磁场，粒子仅在磁场中运动，不计粒子的重力，则粒子运动速率v可能为(　　)
A． B．
C． D．
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
√
ACD　[带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得轨迹半径r＝，粒子仅在磁场中运动，则轨迹半径r满足0<2rR或3R2r4R，将r代入解得0题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
3．如图所示，一个边界为PQ、MN(两边界上有磁场)的足够大的匀强磁场区域，宽度为d，磁场方向垂直纸面向里。O点处有一体积可忽略的粒子发射装置，能够在纸面内向磁场各个方向连续、均匀地发射速度大小相等的质子，发现从磁场MN边界射出的质子数占总数的三分之一，不计质子间相互作用及重力，则MN边界上有质子射出的区域长度为(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A． B．
C． D．2d
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
C　[从磁场MN边界射出的质子数占总数的三分之一，即当入射角度与PQ边界为60°角入射时恰好与MN边界相切，如图甲所示，由几何关系可知R＋R cos 60°＝d，解得R＝d，此时为质子从MN边界射出的最高点；当质子与PQ边界平行入射时，如图乙所示，此时为质子从MN边界射出的最低点，则由几何关系可知，MN边界上有质子射出的区域长度为l＝R sin 60°＋R sin 60°＝R＝，故选C。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
4．(多选)(2025·河北省唐山市高三期中)如图所示，直角三角形OAC区域内有垂直于纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场，∠A＝30°，OC边长为L，在C点有放射源S，可以向磁场内各个方向发射速率为v0的同种带正电的粒子，粒子的比荷为K。S发射的粒子有三分之二可以穿过OA边界，OA含在边界以内，不计重力及粒子之间的相互影响。则(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A．磁感应强度大小为
B．磁感应强度大小为
C．OA上粒子出射区域长度为L
D．OA上粒子出射区域长度为
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
BC　[如图所示，S发射的粒子有三分之二可以穿过OA边界，根据左手定则可知，入射角与OC夹角为30°的粒子刚好从O点射出，根据几何关系可知，粒子做圆周运动的轨迹半径为R＝L，根据洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝，解得B＝，故A错误，B正确；沿CA方向入射的粒子穿过OA边界时距O点最远，根据题设
并结合几何知识可知，最远距离为OD＝L，则
OA上粒子出射区域长度为L，故C正确，D错
误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
5．(2025·河南省周口市高三质检)在xOy平面的0yA． B．
C． D．
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
B　[根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，可知速率相等的大量质子的运动半径r也相等，令质子初速度的方向与x轴正方向的夹角为发射角度，由题意可知，从磁场上边界射出的质子的发射角度最大为90°×＝60°，根据旋转质子的偏转轨迹圆和几何关系可知，能从上边界射出的质子的发射角度在0～60°之间，
画出发射角度为60°的质子的轨迹，该轨迹与磁场
上边界相切，如图所示，由几何关系知r＋r sin 30°
＝a，得r＝，故选B。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
6．如图所示，在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直xOy平面向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为(　　)
A． B．
C． D．
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
C　[粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qv0B＝，解得r＝2R，如图所示，当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于sin α＝，要使圆心角α最大，则FE最长，经分析可知，当粒子从y轴上的D′点射入、从x轴上的E′点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间
最长，有sin αm＝＝，解得αm＝，则tm＝·
，解得tm＝，故选C。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
7．(多选)如图所示，空间中有一个底角均为60°的梯形，上底与腰长相等为L，梯形处于磁感应强度大小为B、垂直于纸面向外的匀强磁场中，现c点存在一个粒子源，可以源源不断射出速度方向沿cd、大小可变的电子，电子的比荷为k，不计电子的重力，为使电子能从ab边射出，速度大小可能为(　　)
A． B．
C． D．
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
BC　[从b点射出的电子轨迹半径最小，如图甲所示，由几何关系可知，xbc＝2L，r1＝＝＝L；从a点射出的电子轨迹半径最大，如图乙所示，由几何关系可知r2＝＝L。由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得r＝＝，则有LL，为使电子能从ab边射出磁场区域，电子的速度范围
为vkBL，故选BC。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
8．(多选)如图所示，在荧屏MN上方分布了水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里。距离荧屏d处有一粒子源S，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射速度大小为v、电荷量为q、质量为m的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒子做圆周运动的半径也恰好为d，则(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A．粒子能打到荧屏MN上的区域长度为2d
B．能打到荧屏MN上最左侧的粒子所用的时间为
C．粒子从发射到打到荧屏MN上的最长时间为
D．同一时刻发射的粒子打到荧屏MN上的最大时间差为
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
题号
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BD　[打在荧屏MN上的粒子轨迹的临界状态如图甲所示，根据几何关系知，带电粒子能打到荧屏MN上的区域长度为l＝AB＝R＋R＝(1＋)R＝(1＋)d，故A错误；由运动轨迹图可知，能打到荧屏MN上最左侧的粒子偏转了半个周期，故所用时间为t＝T，又T＝，解得t＝，故B正确；在磁场中运动时间最长(优弧1)和最短(劣弧2)的粒子的运动轨迹如图乙所示，粒子做完整圆周运动的周
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期T＝，由几何关系可知，最长时间t1＝T＝，最短时间t2＝T＝，根据题意得同一时刻发射的粒子打到荧屏MN上的最大时间差Δt＝t1－t2＝，故C错误，D正确。]
9．(12分)如图所示，在矩形区域abcO内存在一个垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，Oa边长为L，ab边长为L。现从O点沿着Ob方向垂直磁场射入各种速率的带正电粒子，已知粒子的质量为m、电荷量为q(粒子所受重力及粒子间的相互作用忽略不计)，求：
(1)垂直ab边射出磁场的粒子的速率v；
(2)粒子在磁场中运动的最长时间tm。
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[解析]　(1)粒子垂直于ab边射出磁场时的运动轨迹如图线1所示
设粒子做匀速圆周运动的轨迹半径为R，运动轨迹对应的圆心角为θ，由几何关系可知tan θ＝＝
则θ＝，且sin θ＝
故R＝2L
粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提
供向心力有qvB＝m
解得v＝。
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(2)由粒子做匀速圆周运动可知
T＝＝
因此粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期不变，由几何关系可知粒子的运动轨迹对应的最大圆心角α＝2θ＝
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可知粒子在磁场中运动的最长时间
tm＝T＝。
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[答案]　(1)　(2)
谢 谢 ！课时数智作业(五十五)　“动态圆”思维处理磁场中的临界、极值问题(进阶课)
说明：第1～8题，每小题5分；本试卷共52分。
1．(2025·江苏如皋市期中)如图所示，一线状粒子源垂直于匀强磁场边界不断地发射速度相同的同种粒子，不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用，则粒子经过磁场的区域(阴影部分)可能是(　　)
A　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　D
2．(多选)如图所示，半径分别为R和2R的同心圆处于同一平面内，O为圆心。两圆形成的圆环内(含边界)有垂直圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为－q(q>0)的粒子由大圆上的A点以速率v沿大圆切线方向进入磁场，粒子仅在磁场中运动，不计粒子的重力，则粒子运动速率v可能为(　　)
A． B．
C． D．
3．如图所示，一个边界为PQ、MN(两边界上有磁场)的足够大的匀强磁场区域，宽度为d，磁场方向垂直纸面向里。O点处有一体积可忽略的粒子发射装置，能够在纸面内向磁场各个方向连续、均匀地发射速度大小相等的质子，发现从磁场MN边界射出的质子数占总数的三分之一，不计质子间相互作用及重力，则MN边界上有质子射出的区域长度为(　　)
A． B．
C． D．2d
4．(多选)(2025·河北省唐山市高三期中)如图所示，直角三角形OAC区域内有垂直于纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场，∠A＝30°，OC边长为L，在C点有放射源S，可以向磁场内各个方向发射速率为v0的同种带正电的粒子，粒子的比荷为K。S发射的粒子有三分之二可以穿过OA边界，OA含在边界以内，不计重力及粒子之间的相互影响。则(　　)
A．磁感应强度大小为
B．磁感应强度大小为
C．OA上粒子出射区域长度为L
D．OA上粒子出射区域长度为
5．(2025·河南省周口市高三质检)在xOy平面的0yA． B．
C． D．
6．如图所示，在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直xOy平面向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为(　　)
A． B．
C． D．
7．(多选)如图所示，空间中有一个底角均为60°的梯形，上底与腰长相等为L，梯形处于磁感应强度大小为B、垂直于纸面向外的匀强磁场中，现c点存在一个粒子源，可以源源不断射出速度方向沿cd、大小可变的电子，电子的比荷为k，不计电子的重力，为使电子能从ab边射出，速度大小可能为(　　)
A． B．
C． D．
8．(多选)如图所示，在荧屏MN上方分布了水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里。距离荧屏d处有一粒子源S，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射速度大小为v、电荷量为q、质量为m的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒子做圆周运动的半径也恰好为d，则(　　)
A．粒子能打到荧屏MN上的区域长度为2d
B．能打到荧屏MN上最左侧的粒子所用的时间为
C．粒子从发射到打到荧屏MN上的最长时间为
D．同一时刻发射的粒子打到荧屏MN上的最大时间差为
9．(12分)如图所示，在矩形区域abcO内存在一个垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，Oa边长为L，ab边长为L。现从O点沿着Ob方向垂直磁场射入各种速率的带正电粒子，已知粒子的质量为m、电荷量为q(粒子所受重力及粒子间的相互作用忽略不计)，求：
(1)垂直ab边射出磁场的粒子的速率v；
(2)粒子在磁场中运动的最长时间tm。
课时数智作业(五十五)
1．C　[粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示，粒子源最左端发射的粒子落在A点，最右端发射的粒子落在B点，故选C。
]
2．ACD　[带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有qvBm，解得轨迹半径r，粒子仅在磁场中运动，则轨迹半径r满足0＜2rR或3R2r4R，将r代入解得0＜v，故A、C、D正确，B错误。]
3．C　[从磁场MN边界射出的质子数占总数的三分之一，即当入射角度与PQ边界为60°角入射时恰好与MN边界相切，如图甲所示，由几何关系可知R＋Rcos 60°d，解得Rd，此时为质子从MN边界射出的最高点；当质子与PQ边界平行入射时，如图乙所示，此时为质子从MN边界射出的最低点，则由几何关系可知，MN边界上有质子射出的区域长度为lRsin 60°＋Rsin 60°，故选C。
　]
4．BC　[如图所示，S发射的粒子有三分之二可以穿过OA边界，根据左手定则可知，入射角与OC夹角为30°的粒子刚好从O点射出，根据几何关系可知，粒子做圆周运动的轨迹半径为RL，根据洛伦兹力提供向心力，有qv0Bm，解得B，故A错误，B正确；沿CA方向入射的粒子穿过OA边界时距O点最远，根据题设并结合几何知识可知，最远距离为ODL，则OA上粒子出射区域长度为L，故C正确，D错误。
]
5．B　[根据洛伦兹力提供向心力可得qvBm，可知速率相等的大量质子的运动半径r也相等，令质子初速度的方向与x轴正方向的夹角为发射角度，由题意可知，从磁场上边界射出的质子的发射角度最大为90°×60°，根据旋转质子的偏转轨迹圆和几何关系可知，能从上边界射出的质子的发射角度在0~60°之间，画出发射角度为60°的质子的轨迹，该轨迹与磁场上边界相切，如图所示，由几何关系知r＋rsin 30°a，得r，故选B。
]
6．C　[粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qv0Bm，解得r2R，如图所示，当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于sin α，要使圆心角α最大，则FE最长，经分析可知，当粒子从y轴上的D'点射入、从x轴上的E'点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有sin αm，解得αm，则tm，解得tm，故选C。
]
7．BC　[从b点射出的电子轨迹半径最小，如图甲所示，由几何关系可知，xbc2L，r1L；从a点射出的电子轨迹半径最大，如图乙所示，
由几何关系可知r2L。由洛伦兹力提供向心力有qvBm，解得rL，为使电子能从ab边射出磁场区域，电子的速度范围为kBL，故选BC。
]
8．BD　[打在荧屏MN上的粒子轨迹的临界状态如图甲所示，根据几何关系知，带电粒子能打到荧屏MN上的区域长度为lABR＋R(1＋)R(1＋)d，故A错误；由运动轨迹图可知，能打到荧屏MN上最左侧的粒子偏转了半个周期，故所用时间为tT，又T，解得t，故B正确；在磁场中运动时间最长(优弧1)和最短(劣弧2)的粒子的运动轨迹如图乙所示，粒子做完整圆周运动的周期T，由几何关系可知，最长时间t1，最短时间t2，根据题意得同一时刻发射的粒子打到荧屏MN上的最大时间差Δtt1－t2，故C错误，D正确。
]
9．解析：(1)粒子垂直于ab边射出磁场时的运动轨迹如图线1所示
设粒子做匀速圆周运动的轨迹半径为R，运动轨迹对应的圆心角为θ，由几何关系可知tan θ
则θ，且sin θ
故R2L
粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qvBm
解得v。
(2)由粒子做匀速圆周运动可知
T
因此粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期不变，由几何关系可知粒子的运动轨迹对应的最大圆心角α2θ
可知粒子在磁场中运动的最长时间
tm。
答案：(1)
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