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第58课时　带电粒子在交变电磁场和立体空间中的运动(进阶课)
[学习目标]　1．掌握带电粒子在交变电磁场中的运动问题的解题思路和处理方法。2．掌握带电粒子在立体空间中的运动问题的解题思路和处理方法。
带电粒子在交变电磁场中的运动
1．交变场的常见的类型
(1)电场周期性变化，磁场不变。
(2)磁场周期性变化，电场不变。
(3)电场、磁场均周期性变化。
2．带电粒子在交变场中运动问题的基本思路
[典例1]　如图甲所示，在xOy平面的第Ⅰ象限内有沿x轴正方向的匀强电场E1，在x0区域内同时存在着竖直向上的匀强电场E2和垂直纸面的磁场B1(未画出)，E1＝0.1 N/C，E2＝0.25 N/C，磁场B1随时间t变化的规律如图乙所示，t0＝ s，设垂直纸面向外为磁场正方向。一个质量为m、电荷量为q的带正电液滴从P点以速度v0＝2 m/s沿x轴负方向入射，恰好沿y轴负方向以速度v经过原点O后进入x0的区域。已知m＝5×10-6 kg，q＝2×10-4 C，t＝0时液滴恰好通过O点，重力加速度g取10 m/s2。
(1)求液滴第一次到达O点时速度v的大小；
(2)求液滴在0～5t0时间内的路程。
__________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________ [典例2]　如图甲所示的空间中存在随时间变化的磁场和电场，规定磁感应强度B垂直xOy平面向里为正方向，电场强度E沿x轴正方向为正方向，B随时间t的变化规律和E随时间t的变化规律如图乙所示。t＝0时，一带正电的粒子从坐原点O以初速度v0沿y轴负方向开始运动。已知B0、t0、v0，带电粒子的比荷为，粒子重力不计。
(1)求粒子在磁场中做圆周运动的周期T；
(2)求t＝t0时，粒子的位置坐标(x1，y1)；
(3)在0～2t0内，若粒子的最大速度是2v0，求E0与B0的比值。
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 带电粒子在立体空间中的运动
1．带电粒子在立体空间中的组合场、叠加场的运动问题
通过受力分析、运动分析，转换视图角度，充分利用分解的思想，分解为直线运动、圆周运动、类平抛运动，再利用每种运动对应的规律进行求解。
2．粒子在立体空间常见运动及解题策略
运动类型 解题策略
在三维坐标系中运动，每个轴方向的运动都是常见运动模型 将粒子的运动分解为三个方向的运动
一维加一面，如旋进运动 旋进运动将粒子的运动分解为一个轴方向的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该轴的所在面内的圆周运动
运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转后曲线不在原来的平面内 把粒子运动所在的面隔离出来，转换视图角度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每个面的运动
[典例3]　(多选)(2025·河南安阳一模)如图所示，在空间直角坐标系中，yOz平面左侧存在沿z轴正方向的匀强磁场，右侧存在沿y轴正方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等，yOz平面右侧还有沿y轴负方向的匀强电场。现从空间坐标为的M点发射一质量为m、电荷量为＋q的粒子，粒子的初速度大小为v0，方向沿xOy平面且与x轴正方向的夹角为60°，经一段时间后粒子垂直于y轴进入yOz平面右侧，已知在yOz平面右侧轨迹上第一次离yOz平面最远的点恰好落在xOz平面上，不计粒子的重力。则下列说法正确的是(　　)
A．磁感应强度大小为
B．匀强电场的电场强度大小为
C．粒子第2次经过yOz平面时的位置坐标
D．粒子第2次经过yOz平面时的速度大小为v0+
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[典例4]　如图所示，在空间直角坐标系O-xyz中，界面 Ⅰ 与Oyz平面重叠，界面 Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ 相互平行，且相邻界面的间距均为L，与x轴的交点分别为O、O1、O2；在界面 Ⅰ 、Ⅱ 间有沿y轴负方向的匀强电场E，在界面 Ⅱ 、Ⅲ 间有沿z轴正方向的匀强磁场B。一质量为m、电荷量为＋q的粒子，从y轴上距O点处的P点，以速度v0沿x轴正方向射入电场区域，该粒子刚好从点O1进入磁场区域。粒子重力不计。求：
(1)电场强度E的大小；
(2)要让粒子刚好不从界面 Ⅲ 飞出，磁感应强度B应多大。
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章末巩固检测(十)　磁　场
说明：第1～8题，每小题5分；本试卷共66分。
一、选择题：共8小题，1～6题只有一个选项符合要求，7～8题有多个选项符合要求。
1．(2025·湖南长沙一模)两个用材料和横截面积都相同的细导线做成的刚性闭合线框，分别用不可伸长的细线悬挂起来，如图所示。两个线框均有一半面积处在磁感应强度随时间均匀变化的匀强磁场中，两线框平面均始终垂直于磁场方向。某时刻圆形线框所受细线的拉力为零，此时正方形线框所受细线的拉力也为零。若已知圆形线框的半径为a，则正方形线框的边长为(　　)
A．a B．a
C．a D．a
2．(2025·黑龙江哈尔滨一模)半导体材料的发展为霍尔效应的实际应用提供了高质量的换能器。如图所示，一块宽为a，厚为b，长为c的长方体N型半导体，导电粒子为电子，单位体积内自由电子数为n，通入方向向右的恒定电流I，将元件置于垂直上表面向下的匀强磁场中，磁感应强度为B，元件的前、后表面间出现电势差，其绝对值大小为U，则(　　)
A．前表面的电势比后表面的电势低
B．若选择单位体积内自由电子数n值较大的半导体，其他条件相同，则U较小
C．若选择宽度a更小的半导体，其他条件相同，则U更大
D．若选择厚度b更小的半导体，其他条件相同，则U更小
3．(2025·四川成都一模)在xOy平面的0yA　　　　　　　　　B　
C　　　　　　　　　D　
4．科学家利用磁场控制带电粒子的轨迹，研究粒子的性质。如图，PMN左下方空间内有垂直纸面向里的匀强磁场，PM⊥MN。现有电荷量相同、质量不同的甲、乙两种正粒子，先后从PM上O点以平行于MN的相同速度射入磁场，甲、乙分别经过MN上E、F两点，OM＝ME＝EF＝d，不考虑粒子间相互作用力及重力，则(　　)
A．乙在磁场中运动的轨道半径为2d
B．乙的质量是甲质量的2.5倍
C．甲在磁场中运动时间大于乙
D．洛伦兹力对甲、乙均做正功
5．(2025·山西吕梁一模)如图所示是某种质谱仪的结构简化图。质量为m、电荷量为＋q的粒子束恰能沿直线通过速度选择器，并从半圆环状D形盒的中缝垂直射入环形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里。D形盒的外半径为2R，内半径为R，壳的厚度不计，出口M、N之间放置照相底片，底片能记录粒子经过出口时的位置。已知速度选择器中电场强度大小为E，方向水平向左，磁感应强度大小为B(磁场方向未画出)。不计粒子重力，若带电粒子能够打到照相底片，则(　　)
A．B的方向垂直纸面向里
B．粒子进入D形盒时的速度大小v0＝
C．打在底片M点的粒子在D形盒中运动的时间为
D．D形盒中的磁感应强度B0的大小范围B0
6．如图所示，空间中存在一矩形磁场区域PQMN，在区域PMN内存在垂直纸面向外的匀强磁场Ⅰ，在区域PQM内存在垂直纸面向里的匀强磁场Ⅱ，两磁场的磁感应强度大小均为B。∠NMP＝60°，一带电粒子以大小为v0＝kBL、方向沿MN的速度进入磁场Ⅰ，运动一段时间后从P点离开磁场区域。不计粒子的重力，粒子的比荷为＝k，则下列说法正确的是(　　)
A．MN的长度可能为L
B．粒子在磁场中运动的总时间可能为
C．粒子从磁场Ⅰ进入磁场Ⅱ的位置距离M点可能为2L
D．若粒子能通过MP边上距离M点2L的一点，则粒子的发射速度大小可能为kBL
7．如图所示，矩形OMPN空间内存在垂直于平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。有大量速率不同的电子从O点沿着ON方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，OM长度为3d，ON长度为2d，忽略电子之间的相互作用，电子重力不计。下列说法正确的是(　　)
A．电子速率越小，在磁场里运动的时间一定越长
B．电子在磁场里运动的最长时间为
C．MP上有电子射出部分的长度为d
D．MP上有电子射出部分的长度为(2－)d
8．(2025·内蒙古赤峰一模)喷墨打印机的原理图如图所示。板间电压可以调整，板间距为d。在两板间的右侧2d区域内，存在垂直纸面向里的磁感强度为B的匀强磁场。在两板间的左侧存在一个可以上下移动的喷嘴，喷出初速度方向水平、质量均为m的带电墨滴。电源电压为U时，墨滴在两板间无磁场区域内恰能沿水平方向向右做匀速直线运动。重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A．墨滴带正电
B．墨滴所带电荷量为
C．墨滴从左侧飞出的最大速度为
D．墨滴从右侧飞出的最小速度
二、非选择题：共2小题。
9．(12分)(2025·河南开封一模)如图所示，垂直纸面向外的圆形磁场与y轴相切于坐标原点O，圆形磁场圆心坐标是(－0.1 m，0)，磁感应强度大小B1＝5×10-5 T。在第一象限和第四象限有垂直纸面向里、磁感应强度大小B2＝5×10-5 T的匀强磁场，在第一、四象限有挡板分别交x轴、y轴于Q点和P点。在M(－0.1 m，－0.1 m)点有一粒子源，可沿纸面向圆形磁场内各个方向发射初速度v0＝1×105 m/s带正电的粒子。已知粒子电荷量q＝2×10-15 C，质量m＝1×10-25 kg，P点坐标(0，0.3 m)，PQ板与y轴夹角为θ且tan θ＝，不计粒子重力和粒子间的相互作用力。求：
(1)粒子在圆形磁场中的运动半径；
(2)粒子打在PQ板上离P点最远点的位置坐标。
10．(14分)(2025·黑龙江哈尔滨第三中学一模)如图所示，在竖直面内建立直角坐标系，x轴水平向右，y轴竖直向上，空间中存在水平向右的匀强电场E和垂直于纸面向里的匀强磁场B，已知电场强度E＝5 V/m，磁感应强度B＝0.5 T。在坐标原点向该平面内射出一质量为m＝1×10-6 kg、电荷量为q＝2×10-6 C的带正电微粒(可视为点电荷，重力不可忽略)，微粒恰能在xOy坐标平面内做直线运动。(g取10 m/s2)
(1)求微粒发射时的速度大小和方向；
(2)如果发射微粒时电场方向改为竖直向上，大小不变，求微粒距y轴最远时的位置坐标；
(3)如果发射微粒时撤去电场，则微粒运动的最大速度是多少？速度最大时微粒与x轴的距离是多少。
第58课时　带电粒子在交变电磁场和立体空间中的运动(进阶课)
进阶1
典例1　解析：(1)对带电液滴在水平方向和竖直方向的运动由动量定理有－qE1t0－mv0，mgtmv
解得v5 m/s。
(2)带电液滴在第Ⅱ、Ⅲ象限有qE2mg
则带电液滴在第Ⅱ、Ⅲ象限中在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有qvB1m，T
当B12 T时，r1 m，T1 s
当B14 T时，r2 m，T2 s
带电液滴在0~5t0内运动轨迹如图所示
则液滴在0~5t0时间内的路程sπr1＋2πr2
解得s m。
答案：(1)5 m/s　(2) m
典例2　解析：(1)粒子在磁场中做圆周运动的周期T2t0。
(2)0~t0内，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有qv0B0m
解得r
由第(1)问可知粒子在磁场中做圆周运动的周期T2t0，则粒子在0~t0内运动了半个周期恰好又回到x轴，速度方向沿y轴正方向，可得x12r，y10，即此时粒子位置的坐标为。
(3)0~2t0内粒子的运动轨迹如图所示，在t0~1.5t0内，粒子受到沿x轴正方向的静电力作用，粒子做类平抛运动，粒子沿x轴正方向的速度分量做匀加速运动，a
当t1.5t0时，粒子具有最大速度，粒子沿x轴方向的分速度为vxa
沿y轴方向的分速度为vyv0
则v2v0
解得。
答案：(1)2t0　(2)
进阶2
典例3　BC　[根据几何关系粒子在xOy平面做圆周运动的半径r1d，根据qv0Bm，可得左侧匀强磁场的磁感应强度B，故A错误；粒子第一次经过y轴后在y方向向下做匀加速运动，同时在洛伦兹力作用下做圆周运动，因轨迹上离yOz平面最远的点恰好落在xOz平面上，可知粒子到达xOz平面上时恰好做个圆周运动，则用时间tt2，解得E，故B正确；粒子第2次经过yOz平面时做半个圆周运动，则所用时间为t'2t，则沿y轴负方向做匀加速运动，因在O点上方和下方用时间相等，可知位置坐标y－d，沿z轴坐标z2r22r12d，即粒子第2次经过yOz平面时的位置坐标，故C正确；粒子第2次经过yOz平面时，沿着y轴负方向的速度大小vy，经过半个周期，x方向上的速度方向沿着x负方向，大小为v0，根据运动的合成可知粒子第2次经过yOz平面时的速度大小vv0，故D错误。]
典例4　解析：(1)粒子在电场区域做类平抛运动，设电场中粒子的加速度为a，沿z轴正方向看，如图所示
在界面 Ⅰ 、 Ⅱ 间，有Lv0t，at2
qEma
联立方程解得E。
(2)设粒子到O1点时的速度为v，与x轴正方向夹角为θ，
则vyatv0，tan θ1
即θ45°
vv0
在磁场区域，粒子做匀速圆周运动，若粒子刚好不从界面 Ⅲ 飞出，则运动轨迹与界面 Ⅲ 相切，如图所示，有qvBm
又根据几何关系r＋rsin 45°L
解得B。
答案：(1)
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第十章 磁 场
第58课时　带电粒子在交变电磁场和立体空间中的运动(进阶课)
[学习目标]　1．掌握带电粒子在交变电磁场中的运动问题的解题思路和处理方法。2．掌握带电粒子在立体空间中的运动问题的解题思路和处理方法。
进阶1　带电粒子在交变电磁场中的运动
1．交变场的常见的类型
(1)电场周期性变化，磁场不变。
(2)磁场周期性变化，电场不变。
(3)电场、磁场均周期性变化。
2．带电粒子在交变场中运动问题的基本思路
[典例1]　如图甲所示，在xOy平面的第Ⅰ象限内有沿x轴正方向的匀强电场E1，在x0区域内同时存在着竖直向上的匀强电场E2和垂直纸面的磁场B1(未画出)，E1＝0.1 N/C，E2＝0.25 N/C，磁场B1随时间t变化的规律如图乙所示，t0＝ s，设垂直纸面向外为磁场正方向。一个质量为m、电荷量为q的带正电液滴从P点以速度v0＝2 m/s沿x轴负方向入射，恰好沿y轴负方向以速度v经过原点O后进入x0的区域。已知m＝5×10-6 kg，q＝2×10-4 C，t＝0时液滴恰好通过O点，重力加速度g取10 m/s2。
(1)求液滴第一次到达O点时速度v的大小；
(2)求液滴在0～5t0时间内的路程。
[解析]　(1)对带电液滴在水平方向和竖直方向的运动由动量定理有－qE1t＝0－mv0，mgt＝mv
解得v＝5 m/s。
(2)带电液滴在第Ⅱ、Ⅲ象限有qE2＝mg
则带电液滴在第Ⅱ、Ⅲ象限中在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有qvB1＝m，T＝
当B1＝2 T时，r1＝ m，T1＝ s
当B1＝4 T时，r2＝ m，T2＝ s
带电液滴在0～5t0内运动轨迹如图所示
则液滴在0～5t0时间内的路程s＝＋2πr2
解得s＝ m。
[答案]　(1)5 m/s　(2) m
[典例2]　如图甲所示的空间中存在随时间变化的磁场和电场，规定磁感应强度B垂直xOy平面向里为正方向，电场强度E沿x轴正方向为正方向，B随时间t的变化规律和E随时间t的变化规律如图乙所示。t＝0时，一带正电的粒子从坐原点O以初速度v0沿y轴负方向开始运动。已知B0、t0、v0，带电粒子的比荷为，粒子重力不计。
(1)求粒子在磁场中做圆周运动的周期T；
(2)求t＝t0时，粒子的位置坐标(x1，y1)；
(3)在0～2t0内，若粒子的最大速度是2v0，求E0与B0的比值。
[解析]　(1)粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝＝＝2t0。
(2)0～t0内，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有qv0B0＝
解得r＝＝
由第(1)问可知粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝2t0，则粒子在0～t0内运动了半个周期恰好又回到x轴，速度方向沿y轴正方向，可得x1＝2r＝，y1＝0，即此时粒子位置的坐标为。
(3)0～2t0内粒子的运动轨迹如图所示，在t0～1.5t0内，粒子受到沿x轴正方向的静电力作用，粒子做类平抛运动，粒子沿x轴正方向的速度分量做匀加速运动，a＝＝
当t＝1.5t0时，粒子具有最大速度，粒子沿x轴方向的分速度为vx＝a＝
沿y轴方向的分速度为vy＝v0
则v＝＝2v0
解得＝。
[答案]　(1)2t0　(2)　(3)
进阶2　带电粒子在立体空间中的运动
1．带电粒子在立体空间中的组合场、叠加场的运动问题
通过受力分析、运动分析，转换视图角度，充分利用分解的思想，分解为直线运动、圆周运动、类平抛运动，再利用每种运动对应的规律进行求解。
2．粒子在立体空间常见运动及解题策略
运动类型 解题策略
在三维坐标系中运动，每个轴方向的运动都是常见运动模型 将粒子的运动分解为三个方向的运动
一维加一面，如旋进运动 旋进运动将粒子的运动分解为一个轴方向的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该轴的所在面内的圆周运动
运动类型 解题策略
运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转后曲线不在原来的平面内 把粒子运动所在的面隔离出来，转换视图角度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每个面的运动
[典例3]　(多选)(2025·河南安阳一模)如图所示，在空间直角坐标系中，yOz平面左侧存在沿z轴正方向的匀强磁场，右侧存在沿y轴正方向的匀强磁场，左、右两侧磁场的磁感应强度大小相等，yOz平面右侧还有沿y轴负方向的匀强电场。现从空间坐标为的M点发射一质量为m、电荷量为＋q的粒子，粒子的初速度大小为v0，方向沿xOy平面且与x轴正方向的夹角为60°，经一段时间后粒子垂直于y轴进入yOz平面右侧，已知在yOz平面右侧轨迹上第一次离yOz平面最远的点恰好落在xOz平面上，不计粒子的重力。则下列说法正确的是(　　)
A．磁感应强度大小为
B．匀强电场的电场强度大小为
C．粒子第2次经过yOz平面时的位置坐标
D．粒子第2次经过yOz平面时的速度大小为v0
√
√
BC　[根据几何关系粒子在xOy平面做圆周运动的半径r1＝＝d，根据qv0B＝，可得左侧匀强磁场的磁感应强度B＝，故A错误；粒子第一次经过y轴后在y方向向下做匀加速运动，同时在洛伦兹力作用下做圆周运动，因轨迹上离yOz平面最远的点恰好落在xOz平面上，可知粒子到达xOz平面上时恰好做个圆周运动，则用时间t
＝＝，竖直方向r1＝·t2，解得E＝，故B正确；粒子第2次经过yOz平面时做半个圆周运动，则所用时间为t′＝2t＝，则沿y轴负方向做匀加速运动，因在O点上方和下方用时间相等，可知位置坐标y＝－d，沿z轴坐标z＝2r2＝2r1＝2d，即粒子第2次经过yOz平面时的位置坐标，故C正确；粒子第2次经过yOz
平面时，沿着y轴负方向的速度大小vy＝·2t＝，经过半个周期，x方向上的速度方向沿着x负方向，大小为v0，根据运动的合成可知粒子第2次经过yOz平面时的速度大小v＝＝v0，故D错误。]
[典例4]　如图所示，在空间直角坐标系O-xyz中，界面 Ⅰ 与Oyz平面重叠，界面 Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ 相互平行，且相邻界面的间距均为L，与x轴的交点分别为O、O1、O2；在界面 Ⅰ 、Ⅱ 间有沿y轴负方向的匀强电场E，在界面 Ⅱ 、Ⅲ 间有沿z轴正方向的匀强磁场B。一质量为m、电荷量为＋q的粒子，从y轴上距O点处的P点，以速度v0沿x轴正方向射入电场区域，该粒子刚好从点O1进入磁场区域。粒子重力不计。求：
(1)电场强度E的大小；
(2)要让粒子刚好不从界面 Ⅲ 飞出，磁感应强度B应多大。
[解析]　(1)粒子在电场区域做类平抛运动，设电场中粒子的加速度为a，沿z轴正方向看，如图所示
在界面 Ⅰ 、Ⅱ 间，有L＝v0t，＝at2
qE＝ma
联立方程解得E＝。
(2)设粒子到O1点时的速度为v，与x轴正方向夹角为θ，
则vy＝at＝v0，tan θ＝＝1
即θ＝45°
v＝＝v0
在磁场区域，粒子做匀速圆周运动，若粒子刚好不从界面 Ⅲ 飞出，则运动轨迹与界面 Ⅲ 相切，如图所示，有qvB＝m
又根据几何关系r＋r sin 45°＝L
解得B＝。
[答案]　　(2)
课时数智作业(五十八)　带电粒子在交变电磁场和立体空间中的运动(进阶课)
说明：第1～3题，每小题5分；本试卷共55分。
1．为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不计离子重力，则(　　)
A．静电力的瞬时功率为
B．该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B
C．v2与v1的比值不断变大
D．该离子的加速度大小不变
√
D　[根据功率的计算公式可知P＝Fv cos θ，则静电力的瞬时功率为P＝Eqv1，A错误；由于v1与磁场B平行，则根据洛伦兹力的计算公式知F洛＝qv2B，B错误；离子在垂直于磁场方向的平面内以v2做匀速圆周运动，沿电场方向做加速运动，则v1增大，v2不变，v2与v1的比值不断变小，C错误；离子受到的洛伦兹力大小不变，静电力大小不变，合力大小不变，则该离子的加速度大小不变，D正确。]
2．如图甲所示，竖直面内矩形区域ABCD内存在磁感应强度按如图乙所示的规律变化的磁场(规定垂直纸面向外为正方向)，区域边长AB＝AD。一带正电的粒子从A点沿AB方向以速度v0射入磁场，在T1时刻恰好能从C点平行DC方向射出磁场。现在把磁场换成按如图丙所示规律变化的电场(规定竖直向下为正方向)，相同的粒子仍以速度v0从A点沿AB方向射入电场，在T2时刻恰好能从C点平行DC方向射出电场。不计粒子的重力，则磁场的变化周期T1和电场的变化周期T2之比为(　　)
A．1∶1 B．2π∶3
C．2π∶9 D．π∶9
√
C　[设粒子的质量为m，带电荷量为q，粒子的偏转半径为r，经粒子转过的圆心角为α，则由几何关系有2r sin α＝AB，2(r－r cos α)＝AD，又AB＝AD，联立解得α＝60°，所以有＝T，T＝，解得T1＝，如磁场换为电场，则有AB＝v0T2，解得T2＝，所以＝，故C正确，A、B、D错误。]
3．(多选)利用电磁控制带电粒子的运动轨迹在现代实验和设备中得到广泛应用。如图所示，空间内有正立方体abcd-ef gh区域，正方体区域内存在着方向沿ae向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带电粒子从a点沿ab方向以速度v0进入空间，粒子恰好通过c点；第一次撤去磁场，正方体内加上竖直向下的匀强电场E1，粒子仍从a点以原速度v0进入电场，粒子恰好通过f 点；第二次恢复原磁场，同时换上竖直向下的匀强电场E2，粒子仍从a点以原速度v0进入场区，粒子恰好通过g点，不计粒子重力，正方体外无电场和磁场，下列说法正确的是(　　)
A．电场强度E1大小为v0B
B．粒子从a点到c点时间是从a点到f 点时间的倍
C．电场强度E2大小为
D．到达g点时速度大小为v0
√
√
BC　[设立方体棱长为L，只加磁场时，粒子做匀速圆周运动，恰好通过c点，其半径R＝L，由qv0B＝，所用时间t1＝＝，只加电场E1，粒子做类平抛运动，有L＝v0t2，L＝得E1＝2v0B，则t2＝，可得＝，故A错误，B正确；空间内同时加磁场和电场E2，粒子做非等距螺旋线运动，粒子恰好通过g点，所用时间t3＝t1＝，沿电场方向有L ＝，得E2＝，故C正确；粒子在g点速度，vg＝＝v0，故D错误。]
4．(12分)如图甲所示，水平放置的平行金属板P和Q相距为d，两板间存在周期性变化的电场或磁场。P、Q间的电势差UPQ随时间的变化规律如图乙所示，磁感应强度B随时间变化的规律如图丙所示，磁场方向垂直纸面向里为正方向。t＝0时刻，一质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)以初速度v0由P板左端靠近板面的位置，沿平行于板面的方向射入两板之间，q、m、d、v0、U0为已知量。
(1)若仅存在交变电场，要使电荷飞到Q板时速度方向恰好与Q板相切，求交变电场的周期T；
(2)若仅存在匀强磁场，且满足B0＝，粒子经一段时间恰能垂直打在Q板上(不考虑粒子反弹)，求击中点到出发点的水平距离。
[解析]　(1)设经时间t，粒子恰好沿切线飞到上板，竖直速度为零，加速度为a，则a＝
半个周期内，粒子向上运动的距离为y＝
又d＝2ny，t＝nT
联立解得T＝(n＝1，2，3，…)。
(2)仅存在磁场时，带电粒子在匀强磁场中做半径为r的匀速圆周运动，则有qv0B0＝
解得r＝d
要使粒子能垂直打到Q板上，在交变磁场的半周期，粒子轨迹的圆心角设为90°＋θ，如图所示
由几何关系得r＋2r sin θ＝d
解得sin θ＝
则粒子打到上极板的位置距出发点的水平距离为x＝r－2r(1－cos θ)＝d。
[答案]　(1)(n＝1，2，3，…) (2)d
5．(14分)(2025·贵州卷)如图所示，x轴方向水平向右，z轴竖直向上，y轴垂直纸面向里，在xOz平面内有竖直向上的匀强电场E，在z＝z0＝平面下方有垂直纸面向里匀强磁场，磁感应强度大小为B1＝，在z＝z0平面上方有垂直纸面向里且未知大小的匀强磁场B2，一个质量为m、电荷量为q的正电粒子沿x轴正方向以速度v射出，之
后做匀速圆周运动，其中，重力加速度为g，P点
坐标，求：
(1)匀强电场E的大小和粒子第一次经过z＝z0平面时位置的x坐标；
(2)带电粒子沿x轴方向射出后达到P点的时间最短，求匀强磁场B2的磁感应强度大小；
(3)若将匀强电场E方向改为沿y轴正方向，一个质量为m、电荷量为q的正电粒子沿x轴正向射出，试确定粒子的轨迹方程。
[解析]　(1)质量m的正电粒子沿x轴正方向以速度v射出，之后做匀速圆周运动，有qE＝mg，解得E＝
粒子做圆周运动，满足qvB1＝，
解得r1＝，运动轨迹如图甲所示
有cos θ＝＝，可知θ＝53°
故粒子第一次经过z＝z0平面时位置的x坐标为xC＝r1sin 53°＝。
(2)带电粒子沿x轴方向射出到达P点的时间最短，由于＝4，故满足要求时，粒子运动轨迹如图乙。设粒子在磁场B2中轨迹半径为r2，粒子运动满足几何条件为6xC－[(r2sin θ)×2]×3＝xP＝，解得r2＝
又r2＝＝，解得B2＝。
(3)将匀强电场E方向改变为沿y轴正方向，题中粒子沿x轴正向以速度v射出，在竖直方向，粒子受力满足qvB1＝mg，粒子仅在y轴正方向受恒定静电力qE＝|mg|＝may，故粒子在z＝0的xOy平面做类平抛运动。有x＝vt，y＝ayt2，联立解得y＝x2，即为粒子运动的轨迹方程。
[答案]　(1)　(2)　(3)y＝x2
6．(14分)如图甲所示的三维坐标系Oxyz中，荧光屏P与平面xOy平行放置，分界面M与P平行并将空间分为 Ⅰ 、Ⅱ 两区域。区域 Ⅰ 内存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。区域 Ⅱ 内存在如图乙所示的匀强磁场(沿z轴正方向为磁场的正方向)，磁感应强度大小为B。一电荷量为q，质量为m的带正电粒子从O点以初速度v0沿z轴正方向射入区域 Ⅰ ，到达M时速度方向与z轴正方向成60°角，此时开始计时，最后粒子在t＝时刻打在P上。粒子的重力忽略不计，求：
(1)分界面M到O点的距离；
(2)粒子在区域 Ⅱ 的速度大小；
(3)M、P间的距离；
(4)粒子打在P上的x坐标和y坐标。
[解析]　(1)粒子在电场中，根据牛顿第二定律有qE＝ma
粒子在电场中做类平抛运动，则有vy＝at1，vy＝v0tan 60°，LOM＝v0t1
解得LOM＝。
(2)粒子进入磁场时，根据速度合成有v＝
解得v＝2v0。
(3)粒子进入磁场中时，沿z轴正方向做匀速直线运动，最后粒子打在P上，则有LMP＝v0t
结合题意解得LMP＝。
(4)粒子进入磁场后，在xOy平面内做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qvyB＝
vy＝v sin 60°＝v0
解得R＝
粒子圆周运动的周期T＝＝
由于t＝＝T
可知，粒子在时间内圆周分运动轨迹对应的圆心角为＝120°
则根据几何关系有x＝R＋R＋2R sin 30°
解得x＝
粒子在偏转电场中沿y轴正方向的侧移y1＝
粒子在磁场中沿y轴正方向的侧移y2＝2R cos 30°
粒子打在P上的y坐标y＝y1＋y2
解得y＝。
[答案]　　(2)2v0　(3)　(4)
章末巩固检测(十)　磁　场
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
说明：第1～8题，每小题5分；本试卷共66分。
一、选择题：共8小题，1～6题只有一个选项符合要求，7～8题有多个选项符合要求。
1．(2025·湖南长沙一模)两个用材料和横截面积都相同的细导线做成的刚性闭合线框，分别用不可伸长的细线悬挂起来，如图所示。两个线框均有一半面积处在磁感应强度随时间均匀变化的匀强磁场中，两线框平面均始终垂直于磁场方向。某时刻圆形线框所受细线的拉力为零，此时正方形线框所受细线的拉力也为零。若已知圆形线框的半径为a，则正方形线框的边长为(　　)
A．a B．a
C．a D．a
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
C　[设细导线单位长度质量、单位长度电阻分别为m0、R0，由于磁感应强度随时间均匀变化，即相同，某时刻圆形线框所受细线的拉力为零，则圆形线框自身重力与安培力等大反向，即有FA＝G＝2πam0g，因为FA＝BIL＝BL，圆形线框有效长度为L＝2a，又因为E＝＝S＝，R＝2πaR0，联立以上得2πam0g＝B×2a×，设正方形线框边长为L0，同理，对正方形线框有4L0m0g＝，联立以上解得L0＝a，故选C。]
题号
1
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4
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10
2．(2025·黑龙江哈尔滨一模)半导体材料的发展为霍尔效应的实际应用提供了高质量的换能器。如图所示，一块宽为a，厚为b，长为c的长方体N型半导体，导电粒子为电子，单位体积内自由电子数为n，通入方向向右的恒定电流I，将元件置于垂直上表面向下的匀强磁场中，磁感应强度为B，元件的前、后表面间出现电
势差，其绝对值大小为U，则(　　)
题号
1
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5
2
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6
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9
10
A．前表面的电势比后表面的电势低
B．若选择单位体积内自由电子数n值较大的半导体，其他条件相同，则U较小
C．若选择宽度a更小的半导体，其他条件相同，则U更大
D．若选择厚度b更小的半导体，其他条件相同，则U更小
√
题号
1
3
5
2
4
6
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7
9
10
B　[根据左手定则可知电子向后表面偏转聚集，则前表面的电势比后表面的电势高，故A错误；由洛伦兹力和静电力平衡evB＝e，再结合电流微观表达式I＝neabv，可得U＝，可知电压U与宽度a无关；选择单位体积内自由电子数n值较大的半导体，其他条件相同，则U较小；选择厚度b更小的半导体，其他条件相同，则U更大，故C、D错误，B正确。]
题号
1
3
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6
8
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10
3．(2025·四川成都一模)在xOy平面的0y题号
1
3
5
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6
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10
A　　　　　　　　 B　 C D
√
D　[根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，可知速率相等的大量质子的运动半径也相等，可知从原点均匀发射到第一象限内，从磁场上边界射出的质子数占总数的三分之二，则从磁场上边界射出的质子的发射临界角度有90°×＝60°，则根据质子的偏转轨迹和几何关系可得能从上边界射出的质子的发射角度与x轴正方向夹角范围为0～，故D可能正确。]
题号
1
3
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2
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6
8
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9
10
4．科学家利用磁场控制带电粒子的轨迹，研究粒子的性质。如图，PMN左下方空间内有垂直纸面向里的匀强磁场，PM⊥MN。现有电荷量相同、质量不同的甲、乙两种正粒子，先后从PM上O点以平行于MN的相同速度射入磁场，甲、乙分别经过
MN上E、F两点，OM＝ME＝EF＝d，不考虑
粒子间相互作用力及重力，则(　　)
题号
1
3
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2
4
6
8
7
9
10
A．乙在磁场中运动的轨道半径为2d
B．乙的质量是甲质量的2.5倍
C．甲在磁场中运动时间大于乙
D．洛伦兹力对甲、乙均做正功
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
B　[乙在磁场中做匀速圆周运动的圆心为O1，作相关辅助线如图所示，由图可知(R乙－d)2＋(2d)2＝，乙在磁场中运动的轨道半径为R乙＝2.5d，故A错误；由牛顿第二定律有Bqv＝，化简可得R＝，由图可知R甲＝d，即有＝，结合R＝可知＝，即乙的质量是甲质量的2.5倍，故B正确；由公式t＝，且乙粒子的
题号
1
3
5
2
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6
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10
运动轨迹长度大于甲粒子的运动轨迹长度，两粒子入射速度大小相同，即有t乙>t甲，故C错误；洛伦兹力对进入磁场中的两粒子均不做功，故D错误。]
题号
1
3
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6
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7
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10
5．(2025·山西吕梁一模)如图所示是某种质谱仪的结构简化图。质量为m、电荷量为＋q的粒子束恰能沿直线通过速度选择器，并从半圆环状D形盒的中缝垂直射入环形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里。D形盒的外半径为2R，内半径为R，壳的厚度不计，出口M、N之间放置照相底片，底片能记录粒子经过出口时的位置。已知速度选择器中电场强度大小为E，方向水平向左，磁感应强度大小为B(磁场方向未画出)。不计粒子重力，若带电粒子能够打到照相底片，则(　　)
题号
1
3
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2
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6
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9
10
A．B的方向垂直纸面向里
B．粒子进入D形盒时的速度大小v0＝
C．打在底片M点的粒子在D形盒中运动的时间为
D．D形盒中的磁感应强度B0的大小范围B0
√
题号
1
3
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10
D　[因为粒子沿直线通过速度选择器，根据平衡条件有qv0B＝qE，解得v0＝，由左手定则可知，B的方向垂直纸面向外，故A、B错误；由题意可知，能打在底片上的粒子运动的半径满足r，当rmin＝时，满足qv0B0max＝，解得B0max＝，当rmax＝时，满足qv0B0min＝，解得B0min＝，故D形盒中的磁感应
题号
1
3
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9
10
强度B0满足B0，故D正确；由题意可知，打在底片M点的粒子在D形盒中运动轨迹为半圆，此时轨迹的半径为rmax＝，根据牛顿第二定律qv0B0min＝，又T＝＝，则运动时间为t＝＝，故C错误。]
题号
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3
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2
4
6
8
7
9
10
6．如图所示，空间中存在一矩形磁场区域PQMN，在区域PMN内存在垂直纸面向外的匀强磁场Ⅰ，在区域PQM内存在垂直纸面向里的匀强磁场Ⅱ，两磁场的磁感应强度大小均为B。∠NMP＝60°，一带电粒子以大小为v0＝kBL、方向沿MN的速度进
入磁场Ⅰ，运动一段时间后从P点离开磁场区域。不
计粒子的重力，粒子的比荷为＝k，则下列说法正
确的是(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
A．MN的长度可能为L
B．粒子在磁场中运动的总时间可能为
C．粒子从磁场Ⅰ进入磁场Ⅱ的位置距离M点可能为2L
D．若粒子能通过MP边上距离M点2L的一点，则粒子的发射速度大小可能为kBL
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
D　[根据洛伦兹力提供向心力有qv0B＝，解得r＝L，由题意可知粒子不可能偏转一次就到达P点，假设粒子偏转一次到达P点可知PM＝L，MN＝PM cos 60°＝L，故A错误；根据几何关系可知粒子在磁场Ⅰ运动的圆心角与粒子在磁场Ⅱ运动的圆心角同为120°，时间为t＝·＝，所以粒子在磁场中运动的总时间为n(n＝2，4，6，…)，故B错误；画出粒子的运动轨迹如图，根
题号
1
3
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2
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10
据几何关系可知，粒子从磁场Ⅰ进入磁场Ⅱ的位置距离M点x＝(2n＋1)r＝(2n＋1)L(n＝0，1，2，…)，不可能为2L，故C错误；若粒子能通过MP边上距离M点2L的一点，则粒子的轨道半径满足nr＝2L(n＝0，1，2，…)，结合qvB＝m可
知v＝(n＝0，1，2，…)，当n＝2时，解
得v＝，故D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
7．如图所示，矩形OMPN空间内存在垂直于平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。有大量速率不同的电子从O点沿着ON方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，OM长度为3d，ON长度为2d，忽略电子之间的相互作用，电子重力不计。下列说法正确的是(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
A．电子速率越小，在磁场里运动的时间一定越长
B．电子在磁场里运动的最长时间为
C．MP上有电子射出部分的长度为d
D．MP上有电子射出部分的长度为(2－)d
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
√
BC　[电子在磁场中做匀速圆周运动，则evB＝m，则运动周期T＝＝，运动时间t＝T＝，由此可知电子运动时间与运动的圆心角有关，当电子速度较小从OM边射出时，圆心角均为π，且此时对应的圆心角最大，故运动时间最长为t＝，A项错误，B项正确；随着速度增大，电子运动半径逐渐增大，轨迹如图所示，由图可知MP边有电子射出的范围为BM，当电子轨迹与上边界相切时半径为2d，
由几何关系可知BM＝＝d，C项
正确，D项错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
8．(2025·内蒙古赤峰一模)喷墨打印机的原理图如图所示。板间电压可以调整，板间距为d。在两板间的右侧2d区域内，存在垂直纸面向里的磁感强度为B的匀强磁场。在两板间的左侧存在一个可以上下移动的喷嘴，喷出初速度方向水平、质量均为m的带电墨滴。电源电压为U时，墨滴在两板间无磁场区域内恰能沿水平方向向右做匀速直线运动。重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
A．墨滴带正电
B．墨滴所带电荷量为
C．墨滴从左侧飞出的最大速度为
D．墨滴从右侧飞出的最小速度
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
√
CD　[根据题意，电源电压为U时，上极板带正电，下极板带负电，可知电场方向向下，墨滴在两板间无磁场区域内恰能沿水平方向向右做匀速直线运动，对墨滴受力分析可知受到重力和静电力，两力合力为零，可知墨滴受到静电力竖直向上与电场方向相反，可知墨滴带负电，根据平衡条件有mg＝Eq，而E＝，联立解得q＝，故A、B错误；墨滴进入电场，磁场共存区域后，重力与静电力平衡，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
洛伦兹力提供匀速圆周运动的向心力qBv＝m，解得v＝，从上极板边缘射进的墨滴最容易从两板间射出，当刚好从左侧下边缘飞出，有从左侧飞出的最大速度，如图所示
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
则有R1＝，解得vmax＝；同理，墨滴刚好从右侧下边缘飞出，有从右侧飞出的最小速度，由几何关系＝(2d)2＋(R2－d)2，由vmin＝，联立解得vmin＝，故C、D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
二、非选择题：共2小题。
9．(12分)(2025·河南开封一模)如图所示，垂直纸面向外的圆形磁场与y轴相切于坐标原点O，圆形磁场圆心坐标是(－0.1 m，0)，磁感应强度大小B1＝5×10-5 T。在第一象限和第四象限有垂直纸面向里、磁感应强度大小B2＝5×10-5 T的匀强磁场，在第一、四象限有挡板分别交x轴、y轴于Q点和P点。在M(－0.1 m，－0.1 m)点有一粒子源，可沿纸面向圆形磁场内各个方向发射初速度v0＝1×105 m/s
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
带正电的粒子。已知粒子电荷量q＝2×10-15 C，质量m＝1×10-25 kg，P点坐标(0，0.3 m)，PQ板与y轴夹角为θ且tan θ＝，不计粒子重力和粒子间的相互作用力。求：
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
(1)粒子在圆形磁场中的运动半径；
(2)粒子打在PQ板上离P点最远点的位置坐标。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
[解析]　(1)根据洛伦兹力提供向心力qv0B1＝
代入数据得R1＝0.1 m。
(2)带电粒子在圆形磁场中做圆周运动
的半径等于圆形磁场的半径
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
根据左手定则和磁发散可得所有粒子都垂直y轴进入第一象限和第四象限
粒子在第一象限和第四象限qv0B2＝
代入数据得R2＝0.1 m
由P点坐标(0，0.3 m)，tan θ＝
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
得OQ＝0.1 m
根据磁发散和平移圆的知识可知，打在PQ板上离P点最远的点到y轴的距离d＝R2＝0.1 m
粒子打在PQ板上离P点最远点的位置坐标是(0.1 m，0)。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
[答案]　(1)0.1 m　(2)(0.1 m，0)
10．(14分)(2025·黑龙江哈尔滨第三中学一模)如图所示，在竖直面内建立直角坐标系，x轴水平向右，y轴竖直向上，空间中存在水平向右的匀强电场E和垂直于纸面向里的匀强磁场B，已知电场强度E＝
5 V/m，磁感应强度B＝0.5 T。在坐标原点向该平面内射出一质量为m＝1×10-6 kg、电荷量为q＝2×10-6 C的带正电微粒(可视为点电荷，重力不可忽略)，微粒恰能在xOy坐标平面内做直线运动。(g取10 m/s2)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
(1)求微粒发射时的速度大小和方向；
(2)如果发射微粒时电场方向改为竖直向上，
大小不变，求微粒距y轴最远时的位置坐标；
(3)如果发射微粒时撤去电场，则微粒运动的最大速度是多少？速度最大时微粒与x轴的距离是多少。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
[解析]　(1)微粒做匀速直线运动，受力如图甲所示
题号
1
3
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10
带电微粒所受重力为mg＝1×10-6×10 N＝1×10-5 N
受静电力为Eq＝5×2×10-6 N＝1×10-5 N
设速度方向与x轴正方向夹角为θ，则tan θ＝＝1，θ＝45°
洛伦兹力f ＝qvB＝
得v＝10 m/s。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
(2)若电场方向竖直向上，大小不变，则重力与静电力平衡，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，受力和运动如图乙所示
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
由洛伦兹力提供向心力qvB＝m
解得半径r＝10 m
微粒运动到距y轴最远处时，横坐标x＝－(r＋r sin θ)＝－10(1＋
) m
纵坐标y＝r cos θ＝10 m
则此时微粒的位置坐标为[－10(1＋) m，10 m]。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
(3)若释放微粒时撤去电场，将微粒在O点的速度v分解为vx和vy，如图丙所示
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
则vx＝v cos θ＝10 m/s，vy＝v sin θ＝10 m/s
沿y轴正方向的洛伦兹力f y＝qvxB＝1×10-5 N＝mg
则微粒的一个分运动沿x轴正方向以vx做匀速直线运动；另外一个分运动以vy做逆时针方向匀速圆周运动
则运动到最低点时，两分运动速度同向，此时微粒对地速度达到最大vmax＝vx＋vy＝20 m/s
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
根据动能定理mgd＝－mv2
则d＝10 m。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
[答案]　(1)10 m/s，速度方向与x轴正方向夹角45°向上　
(2)[－10(1＋) m，10 m]　(3)20 m/s　10 m
谢 谢 ！课时数智作业(五十八)　带电粒子在交变电磁场和立体空间中的运动(进阶课)
说明：第1～3题，每小题5分；本试卷共55分。
1．为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不计离子重力，则(　　)
A．静电力的瞬时功率为
B．该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B
C．v2与v1的比值不断变大
D．该离子的加速度大小不变
2．如图甲所示，竖直面内矩形区域ABCD内存在磁感应强度按如图乙所示的规律变化的磁场(规定垂直纸面向外为正方向)，区域边长AB＝AD。一带正电的粒子从A点沿AB方向以速度v0射入磁场，在T1时刻恰好能从C点平行DC方向射出磁场。现在把磁场换成按如图丙所示规律变化的电场(规定竖直向下为正方向)，相同的粒子仍以速度v0从A点沿AB方向射入电场，在T2时刻恰好能从C点平行DC方向射出电场。不计粒子的重力，则磁场的变化周期T1和电场的变化周期T2之比为(　　)
A．1∶1 B．2π∶3
C．2π∶9 D．π∶9
3．(多选)利用电磁控制带电粒子的运动轨迹在现代实验和设备中得到广泛应用。如图所示，空间内有正立方体abcd-efgh区域，正方体区域内存在着方向沿ae向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带电粒子从a点沿ab方向以速度v0进入空间，粒子恰好通过c点；第一次撤去磁场，正方体内加上竖直向下的匀强电场E1，粒子仍从a点以原速度v0进入电场，粒子恰好通过f点；第二次恢复原磁场，同时换上竖直向下的匀强电场E2，粒子仍从a点以原速度v0进入场区，粒子恰好通过g点，不计粒子重力，正方体外无电场和磁场，下列说法正确的是(　　)
A．电场强度E1大小为v0B
B．粒子从a点到c点时间是从a点到f点时间的倍
C．电场强度E2大小为
D．到达g点时速度大小为v0
4．(12分)如图甲所示，水平放置的平行金属板P和Q相距为d，两板间存在周期性变化的电场或磁场。P、Q间的电势差UPQ随时间的变化规律如图乙所示，磁感应强度B随时间变化的规律如图丙所示，磁场方向垂直纸面向里为正方向。t＝0时刻，一质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)以初速度v0由P板左端靠近板面的位置，沿平行于板面的方向射入两板之间，q、m、d、v0、U0为已知量。
(1)若仅存在交变电场，要使电荷飞到Q板时速度方向恰好与Q板相切，求交变电场的周期T；
(2)若仅存在匀强磁场，且满足B0＝，粒子经一段时间恰能垂直打在Q板上(不考虑粒子反弹)，求击中点到出发点的水平距离。
5．(14分)(2025·贵州卷)如图所示，x轴方向水平向右，z轴竖直向上，y轴垂直纸面向里，在xOz平面内有竖直向上的匀强电场E，在z＝z0＝平面下方有垂直纸面向里匀强磁场，磁感应强度大小为B1＝，在z＝z0平面上方有垂直纸面向里且未知大小的匀强磁场B2，一个质量为m、电荷量为q的正电粒子沿x轴正方向以速度v射出，之后做匀速圆周运动，其中，重力加速度为g，P点坐标，求：
(1)匀强电场E的大小和粒子第一次经过z＝z0平面时位置的x坐标；
(2)带电粒子沿x轴方向射出后达到P点的时间最短，求匀强磁场B2的磁感应强度大小；
(3)若将匀强电场E方向改为沿y轴正方向，一个质量为m、电荷量为q的正电粒子沿x轴正向射出，试确定粒子的轨迹方程。
6．(14分)如图甲所示的三维坐标系Oxyz中，荧光屏P与平面xOy平行放置，分界面M与P平行并将空间分为 Ⅰ 、Ⅱ 两区域。区域 Ⅰ 内存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。区域 Ⅱ 内存在如图乙所示的匀强磁场(沿z轴正方向为磁场的正方向)，磁感应强度大小为B。一电荷量为q，质量为m的带正电粒子从O点以初速度v0沿z轴正方向射入区域 Ⅰ ，到达M时速度方向与z轴正方向成60°角，此时开始计时，最后粒子在t＝时刻打在P上。粒子的重力忽略不计，求：
(1)分界面M到O点的距离；
(2)粒子在区域 Ⅱ 的速度大小；
(3)M、P间的距离；
(4)粒子打在P上的x坐标和y坐标。
课时数智作业(五十八)
1．D　[根据功率的计算公式可知PFvcos θ，则静电力的瞬时功率为PEqv1，A错误；由于v1与磁场B平行，则根据洛伦兹力的计算公式知F洛qv2B，B错误；离子在垂直于磁场方向的平面内以v2做匀速圆周运动，沿电场方向做加速运动，则v1增大，v2不变，v2与v1的比值不断变小，C错误；离子受到的洛伦兹力大小不变，静电力大小不变，合力大小不变，则该离子的加速度大小不变，D正确。]
2．C　[设粒子的质量为m，带电荷量为q，粒子的偏转半径为r，经粒子转过的圆心角为α，则由几何关系有2rsin αAB，2(r－rcos α)AD，又ABAD，联立解得α60°，所以有T，T，解得T1，如果把磁场换为电场，则有ABv0T2，解得T2，故C正确，A、B、D错误。]
3．BC　[设立方体棱长为L，只加磁场时，粒子做匀速圆周运动，恰好通过c点，其半径RL，由qv0Bm，所用时间t1，只加电场E1，粒子做类平抛运动，有Lv0t2，L得E12v0B，则t2，故A错误，B正确；空间内同时加磁场和电场E2，粒子做非等距螺旋线运动，粒子恰好通过g点，所用时间t3t1，沿电场方向有L ，得E2，故C正确；粒子在g点速度，vg，故D错误。]
4．解析：(1)设经时间t，粒子恰好沿切线飞到上板，竖直速度为零，加速度为a，则a
半个周期内，粒子向上运动的距离为y
又d2ny，tnT
联立解得T(n1，2，3，…)。
(2)仅存在磁场时，带电粒子在匀强磁场中做半径为r的匀速圆周运动，则有qv0B0m
解得rd
要使粒子能垂直打到Q板上，在交变磁场的半周期，粒子轨迹的圆心角设为90°＋θ，如图所示
由几何关系得r＋2rsin θd
解得sin θ
则粒子打到上极板的位置距出发点的水平距离为xr－2r(1－cos θ)d。
答案：(1)(n1，2，3，…)
(2)d
5．解析：(1)质量m的正电粒子沿x轴正方向以速度v射出，之后做匀速圆周运动，有qEmg，解得E
粒子做圆周运动，满足qvB1，解得r1，运动轨迹如图甲所示
有cos θ，可知θ53°
故粒子第一次经过zz0平面时位置的x坐标为xCr1sin 53°。
(2)带电粒子沿x轴方向射出到达P点的时间最短，由于4，故满足要求时，粒子运动轨迹如图乙。设粒子在磁场B2中轨迹半径为r2，粒子运动满足几何条件为6xC－[(r2sin θ)×2]×3xP，解得r2
又r2，解得B2。
(3)将匀强电场E方向改变为沿y轴正方向，题中粒子沿x轴正向以速度v射出，在竖直方向，粒子受力满足qvB1mg，粒子仅在y轴正方向受恒定静电力qE|mg|may，故粒子在z0的xOy平面做类平抛运动。有xvt，yayt2，联立解得yx2，即为粒子运动的轨迹方程。
答案：(1)x2
6．解析：(1)粒子在电场中，根据牛顿第二定律有qEma
粒子在电场中做类平抛运动，则有vyat1，vyv0tan 60°，LOMv0t1
解得LOM。
(2)粒子进入磁场时，根据速度合成有v
解得v2v0。
(3)粒子进入磁场中时，沿z轴正方向做匀速直线运动，最后粒子打在P上，则有LMPv0t
结合题意解得LMP。
(4)粒子进入磁场后，在xOy平面内做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qvyBm
vyvsin 60°v0
解得R
粒子圆周运动的周期T
由于tT
可知，粒子在120°
则根据几何关系有xR＋R＋2Rsin 30°
解得x
粒子在偏转电场中沿y轴正方向的侧移y1
粒子在磁场中沿y轴正方向的侧移y22Rcos 30°
粒子打在P上的y坐标yy1＋y2
解得y。
答案：(1)　(4)

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