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第四章　曲线运动　万有引力与宇宙航行
一、选择题：共8小题，1～6题只有一个选项符合要求，7～8题有多个选项符合要求。
1．(2025·湖南长沙田家炳实验中学一模)关于物理学家和他们的贡献，下列说法中正确的是(　　)
A．哥白尼提出所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
B．卡文迪什在实验室里通过扭秤实验得出了引力常量G的数值
C．伽利略用“月—地检验”证实了万有引力定律的正确性
D．牛顿通过理想斜面实验得出“物体运动不需要力来维持”
2．(2025·青海海东一模)第十四届中国航展于2024年11月13日落下帷幕，空军歼-20、运-20等武器装备在航展上集中亮相，我国自主研制生产的首款大型加油机运油-20展示了它的三根加油管，还做出了快速俯冲、大仰角爬升、低空低速拖曳通场等多个动作。如图，运油-20沿竖直平面内圆弧匀速俯冲经过a点，以同样速率和半径大仰角爬升经过b点，圆心为O，a、b等高，Oa、Ob与竖直方向夹角都为45°。下列说法正确的是(　　)
A．在a、b两处，飞机给飞行员的作用力均指向O
B．在a、b两处，飞机的向心加速度相同
C．在a、b两处，飞行员受到飞机给他的作用力都大于重力
D．在a处飞行员失重，在b处飞行员超重
3．(2025·陕西咸阳一模)如图甲所示，农民用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次一颗谷粒从M点水平飞出到达N点，谷粒位移方向与水平面夹角为θ，谷粒运动轨迹如图乙所示，忽略空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A．谷粒在空中的运动过程中相同时间内速度大小的变化量相等
B．谷粒在空中的运动过程中速度方向与线段MN的夹角越来越大
C．谷粒在空中的运动过程中速度方向与加速度方向的夹角越来越小
D．谷粒在空中的运动过程中重力的功率保持不变
4．(2025·宁夏银川一模)一住宅阳台失火，消防员用靠在一起的两支水枪喷水灭火，如图所示，甲水柱射向水平阳台近处着火点A，乙水柱射向水平阳台远处着火点B，两水柱最高点在同一水平线上，不计空气阻力，甲、乙水柱喷出时的速度大小分别为v1、v2，甲、乙水柱在空中运动的时间分别为t1、t2。以下判断正确的是(　　)
A．水柱射到最高点时速度为0
B．v1C．两水柱喷出时，竖直方向的速度
D．v1>v2，t15．已知M、N两颗卫星为赤道平面的中圆地球轨道卫星，绕行方向均与地球自转方向一致，O为地心，如图所示。M、N两卫星的轨道半径之比为2∶1，卫星N的运行周期为T，图示时刻，卫星M与卫星N相距最近。则下列说法正确的是(　　)
A．卫星M的运行周期为2T
B．经过时间4T，卫星M与卫星N又一次相距最近
C．卫星N的发射速度小于第一宇宙速度
D．M、N分别与地心O的连线在相等时间内扫过的面积之比为
6．(2025·辽宁朝阳一模)如图所示，圆锥的底角θ＝53°，顶点处有固定挡板，通过轻绳使质量为m＝200 g的小物块静止在圆锥侧面上，轻绳长L＝50 cm，小物块与圆锥面间的动摩擦因数μ＝0.5。现让小物块和圆锥一起(无相对滑动)绕圆锥轴做匀速圆周运动，角速度为ω，小物块与圆锥面恰好无挤压。已知：sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A．小物块做圆周运动的角速度ω为2 rad/s
B．小物块做圆周运动的角速度ω为 rad/s
C．若小物块速度突然变为零，则其与圆锥侧面无摩擦力作用
D．若小物块速度突然变为零，则其与圆锥侧面的摩擦力为0.6 N
7．(2025·山西太原一模)木卫二绕木星做匀速圆周运动，某同学收集到一些数据进行估算，下列运算公式正确的是(　　)
物理量 木星 木卫二
质量M M1＝1.9×1027 kg M2＝4.8×1022 kg
天体半径R R1＝7.1×107 m R2＝1.6×106 m
轨道半径r r1＝ 7.8×1011 m r2＝6.7×108 m
自转周期T T1＝10 h T2＝85 h
引力常量G 6.67×10-11 N·m2/kg2
A．木卫二做匀速圆周运动的周期为
B．木星和木卫二表面的重力加速度之比为
C．木星和木卫二的第一宇宙速度之比为
D．太阳和木星质量之比为
8．(2025·陕西渭南一模)如图所示，半径为R的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，则下列说法正确的是(　　)
A．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝2R
B．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝R
C．圆筒转动的角速度可能为ω＝5π
D．圆筒转动的角速度可能为ω＝4π
二、非选择题：共2小题。
9．(10分)某小组设计了“利用圆锥摆验证圆周运动向心力的表达式”实验。实验器材包括：直流电动机(可调节转速)、细竹棒、细线、小球(质量为m，可看成质点)、铁架台(带铁夹)、刻度尺、细棉线(长度为L)、胶水。实验步骤：
①用胶水把细竹棒中心固定在电动机转轴上；
②按图1把直流电动机固定在铁架台上，细竹棒保持水平，用导线把电动机接入电路中；
③把一端系有小球的细棉线系牢在细竹棒的一端，测出系线处到转轴的距离x；合上开关，电动机转动，使小球在水平面上做匀速圆周运动，调节电动机的转速，使小球转速在人眼可分辨的范围内。
④测出小球做圆周运动的半径r。
⑤用秒表测出小球转20圈所用的时间t，求出小球的转动周期T。
⑥实验中小球做圆周运动时摆角为θ，改变电动机转速，重复上述过程多次(5次)，作出tan θ-图像如图2。
根据实验完成以下内容：
(1)如图1可求sin θ＝__________(用L、x、r表示)；向心力F＝__________(用m、θ、重力加速度g表示)。
(2)步骤⑤可求出小球圆周运动的周期T＝_________。
(3)分析图2：如果tan θ与成________(选填“正比”或“反比”)关系，直线的斜率值与表达式_______(用π和重力加速度g表示)相等，则向心力公式的正确性得到验证。
10．(14分)儿童乐园里的弹珠游戏不仅具有娱乐性还可以锻炼儿童的眼手合一能力。如图所示，游戏装置固定在水平地面上，由弧形轨道AB、竖直圆轨道BMCND、水平直轨道DE平滑连接而成，弧形轨道底端与圆轨道间略错开，不影响小球旋转后进入水平轨道。已知圆轨道半径R＝1 m，不计一切摩擦。质量m＝1 kg的小球从离地高h处由静止释放。
(1)若小球能通过轨道的最高点C，则h至少多大；
(2)若小球不会脱离轨道，则h的取值范围；
(3)若在竖直圆轨道D点正上方开一段缺口MN，M、N点关于OC对称，小球能沿路径BMND运动，当缺口所对的圆心角α为多大时h最小？h的最小值为多少？
检测(四)
1．B　[开普勒提出所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，故A错误；卡文迪什在实验室里通过扭秤实验得出了引力常量G的数值，故B正确；牛顿用“月—地检验”证实了万有引力定律的正确性，故C错误；伽利略通过理想斜面实验得出“物体运动不需要力来维持”，故D错误。]
2．C　[飞机给飞行员的作用力和飞行员重力的合力指向圆心O，故A错误；向心加速度指向圆心，aO、bO方向不同，故B错误；在a、b两处，飞行员受到飞机给他的作用力都大于重力，均超重，故C正确，D错误。]
3．C　[平抛运动竖直方向做自由落体运动，则相同时间内竖直方向速度大小变化相同，但水平方向速度一直不变，则合速度大小变化不同，选项A错误；当谷粒运动到离线段MN最远的位置时，速度与线段MN是平行关系，此时夹角为零，所以谷粒速度方向与线段MN的夹角先减小后增大，选项B错误；运动过程中，竖直速度越来越大，水平速度不变，则合速度与竖直方向的夹角越来越小，选项C正确；由于竖直速度越来越大，而重力的功率等于竖直速度与重力的乘积，则重力的功率越来越大，选项D错误。]
4．B　[水柱在最高点时，竖直方向的分速度为零，水平方向的速度不为零，故A错误；根据题意可知，甲、乙两水柱最高点在同一水平线上，根据hgt2，则甲、乙水柱在空中运动的时间相等，根据0vy－gt，甲、乙水柱竖直方向的初速度相等，由题图可知，乙的水平位移大，则乙水平方向的初速度大，根据v，则有v2＞v1，故B正确，C、D错误。]
5．D　[卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，则G，解得T2π，v，设卫星M、N的运行周期分别为TM、TN，其中TNT，则，所以TM2T，故A错误；设经过时间t，卫星M与卫星N又一次相距最近，则t2π，由A选项可知TM2T，TNT，解得tT，故B错误；第一宇宙速度是最小发射速度，则卫星N的发射速度大于第一宇宙速度，故C错误；由A选项可知v，则卫星在时间t内扫过的面积为S，所以M、N分别与地心O的连线在相等时间内扫过的面积之比为，故D正确。]
6．D　[根据题意可知，小物块与圆锥面恰好无挤压，设轻绳对小物块的拉力为F，对小物块，竖直方向上有Fsin θmg，水平方向上，由牛顿第二定律有Fcos θmω2Lcos θ，解得ω5 rad/s，故A、B错误；若小物块速度突然变为零，则小物块与圆锥间发生相对滑动，由平衡条件可得FNmgcos θ，则摩擦力FfμFN0.6 N，故C错误，D正确。]
7．BC　[由r2，解得T22π，故A错误；由mg，解得g，故B正确；由，解得v，故C正确；由r，解得M太，由于木星绕太阳公转的周期未知，所以太阳的质量无法求出，故D错误。]
8．AC　[子弹做平抛运动，在竖直方向上hgt2，可得子弹在圆筒中运动的时间t，水平方向子弹做匀速运动，因此水平速度v0，A正确，B错误；因子弹从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上，则圆筒转过的角度为θ(2n－1)π(n1，2，3，…)，则角速度为ω(2n－1)π，故角速度可能为5π，不可能为4π，C正确，D错误。]
9．解析：(1)如题图1，sin θ；小球在运动过程中受到重力和绳子的拉力，重力和绳子的拉力的合力提供小球做圆周运动的向心力，或者是绳子拉力的水平分量提供向心力，故Fmgtan θ。
(2)小球做圆周运动的周期为T。
(3)根据向心力公式可知Fnmgtan θmr，得tan θ，根据上面的表达式可以推测tan θ ，分析题图2，如果tan θ与
，则向心力公式的正确性得到验证。
答案：(1)
(3) 正比　
10．解析：(1)若小球恰好通过C点，由重力提供向心力有mgm
对小球从开始下滑到运动至C点的过程，由动能定理得mg(h－2R)
解得h2.5 m。
(2)若小球刚好到达轨道圆心等高处，速度为0时，小球不会脱离轨道，则有
mghmgR
解得h1 m
结合(1)可知h的取值范围为h1 m或h2.5 m。
(3)要使小球飞过缺口经过N点回到圆环，从释放小球到小球运动至M点，由动能定理得mg
从M到N的斜抛过程有
vMsin －vMsin ＋gt
vMtcos 2Rsin
解得hR＋Rcos (1＋)R
取等号时α90°，可知当α90°时，h有最小值(1＋) m。
答案：(1)2.5 m　(2)h1 m或h2.5 m　(3)90°　(1＋) m
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