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吉林省吉林市部分学校2025年中考二模数学试题
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动50米记作米，则向南运动50米可记作（　　）
A．50米 B．100米 C．米 D．米
2．如图，将小正方体①移到②的正上方，三视图不变的是（　　）
A．主视图 B．俯视图
C．左视图 D．俯视图与主视图
3．华为14纳米芯片问世，标志着芯片技术重要突破.已知，其中0.000014用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．关于的不等式的解集如图所示，那么的值是（　　）
A． B．2 C． D．3
6．如图，正五边形内接于半径为3的，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
7．计算：　 　．
8．已知一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（单位：）与行驶速度（单位：）成反比例关系，函数图象如图所示．若该路段限速，则该汽车通过该路段至少需要　 　．
9．小川一家春节期间团圆相聚，他和兄弟姐妹们约定了互赠一份礼物，若他们一共赠送了90份礼物，则小川及兄弟姐妹一共多少人？若设小川及兄弟姐妹一共有人，则可列方程为　 　．
10．若点在一次函数的图象上，则代数式　 　．
11．如图，在中，点在边上，且，连接交于点，则的面积与的面积之比为　 　．
三、解答题（本大题共11小题，共87分）
12．先化简，再求值：，其中．
13．开封作为八朝古都，有着深厚的历史文化，也吸引者无数的游客前往观光，开封，特产桶子鸡、酱牛肉深受游客的喜爱．已知2包桶子鸡和3包酱牛肉的价格为元，3包桶子鸡和4包酱牛肉的价格为元，分别求出桶子鸡和酱牛肉的单价．
14．一个不透明的盒子中装有标号分别为2、2、3的三个小球，这些小球除标号外都相同．小明从中随机摸出一个小球，记录其数字后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，请用画树状图或列表的方法求两次记录的数字之和大于4的概率．
15．如图，在由单位正方形组成的： 网格中，每个小正方形的顶点叫格点，A、B、C是格点，仅用无刻度的直尺在所给网格中完成作图：
（1）在图1中， 将绕点 A 顺时针旋转得，连接，并在线段上找一点M，使得
（2）在图2中，P为上一点，作线段关于点 C成中心对称的线段（A与E对应），并在上找一点 G，使得．
16．如图，正方形在第一象限，已知点、，反比例函数的图象与正方形的边有交点．
（1）直接写出的取值范围；
（2）当反比例函数的图象与交于点，且是的中点时，求反比例函数与边的交点的坐标．
17．近年某省大力推进风电规模化开发，在风力发电机组中“风电塔筒”的高度是重要的设计参数，某校数学小组开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，一风电塔筒垂直于地面，测角仪、在的两侧，且、均与地面垂直，点、在同一条直线上，，点与点相距，在处分别测得点的仰角为、，求风电塔筒的高度（参考数据：，）．
18．如图，是的直径，是上的一点，平分，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长（结果保留）．
19．已知、两地之间有一条长为的笔直公路．甲、乙两车分别名、两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以的速度匀速行驶，距离地时与乙车相遇．再以另一速度继续匀速行驶到达地；乙车匀速行驶至地．两车和地的相离与甲车的行驶时间之间的函数关系如图所示．
（1）填空：______，______；
（2）求两车相遇后，甲车和地的距离与之间的函数关系式；
（3）在行驶的过程中，甲车行驶多长时间时，两车相距，请直接写出答案．
20．如图，在矩形中，，，以点为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点，，的对应点分别是点，，．
【知识技能】
（1）如图①，当点落在矩形的对角线上时，求线段的长；
【数学理解】
（2）如图②，当点落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积；
【拓展探索】
（3）如图③，将矩形旋转一定角度后，连接，交于点，连接，，求的值．
21．如图．在中，，，，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动，当点不与点、重合时，过点作交射线于点，以为邻边作，设与重叠部分图形的周长为，点的运动时间为（秒）．
（1）线段___________；
（2）当点落在上时，求t的值；
（3）点D在边上时，求与之间的函数关系式．
22．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线，点P是此抛物线上的点，其横坐标为，连接，取的中点B，过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q，连结、．
（1）求此抛物线对应的函数关系式．
（2）当抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，求m的取值范围．
（3）当的边与x轴平行时，求的面积．
（4）连接，当的面积等于此抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点纵坐标的差时，直接写出m的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若向北运动50米记作米，则向南运动50米可记作米．
故选：C．
【分析】本题以正负数表示相反意义量为背景，考查了正负数的实际应用。在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个用负表示。向北为“+”，则向南为“-”，故向南运动50米记作-50米。
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：将小正方体①移到②的正上方，三视图不变的是俯视图，主视图、左视图都发生变化，
故选：．
【分析】本题以简单组合体的视图变化为背景，考查了三视图的判断与分析。根据三视图的画法，分别画出移动前后组合体的主视图、左视图和俯视图，对比发现只有俯视图的形状和位置未发生改变。
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意得0.000014用科学记数法表示为，
故答案为：A
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项不符合题意；
D．，故本选项符合题意．
故选：D．
【分析】本题以幂的运算为背景，考查了同底数幂的乘法、除法、幂的乘方与积的乘方运算法则。根据运算法则逐项判断：幂的乘方指数相乘，积的乘方每个因式分别乘方，同底数幂除法指数相减，乘法指数相加，得出正确选项。
5．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
，
，
由数轴可知，关于的不等式的解集为，
则，
解得，
故选：D．
【分析】本题以数轴上不等式的解集为背景，考查了解一元一次不等式及由解集求参数。先解不等式得，再结合数轴得解集为，从而，解得 a=3。
6．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
故答案为：A．
【分析】由正n边形的中心角度数为可求出∠AOD的度数，然后根据扇形面积公式“”列式计算即可.
7．【答案】1
【知识点】零指数幂；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：原式；
故答案为：1．
【分析】由二次根式乘法法则“”、二次根式的性质“”及零指数幂法则“a0=1(a≠0)”分别计算，再计算有理数加减法运算可得答案.
8．【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为，
把代入得，
解得，
则反比例函数的解析式是，
把代入解析式得，
则当汽车通过该段路段的时间最少是．
故答案为：．
【分析】本题考查了反本题以汽车匀速通过公路的实际问题为背景，考查了反比例函数的应用及待定系数法。设反比例函数解析式为 ，根据图象过点 (40，1) 求出 k = 40 ，再将限速 v = 80 代入，求得通过该路段至少需要小时。
9．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：．
【分析】本题以互赠礼物的实际情境为背景，考查了由实际问题抽象出一元二次方程。设一共有x人，则每人需送出x-1份礼物，根据总礼物数为90，列方程x(x-1)=90。
10．【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点在直线上，
，即，
故答案为：．
【分析】本题以点在一次函数图象上为背景，考查了一次函数图象上点的坐标特征及整体代入求值。由点(m，n)在y=2x-1上得n=2m-1，即n-2m=-1，代入3n-6m+1=3(n-2m)+1计算可得结果。
11．【答案】3∶4
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
故答案为：3∶4．
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得出AD∥BC，AD=BC，根据AE=3DE可推出AE∶AB=3∶4，然后根据平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得出△AOE∽△BOC，由相似三角形对应边成比例求出AO∶CO=3∶4，进而根据同高三角形面积之比等于对应底之比可得答案.
12．【答案】解：
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题以分式化简求值为背景，考查了分式的通分、除法转化为乘法及因式分解等运算法则。先将括号内通分合并，再将除法转化为乘法，约分后得到最简结果，最后代入 计算求值。
13．【答案】解：设桶子鸡的单价为元，酱牛肉的单价为元．
由题意，得，
解得，
答：桶子鸡的单价为元，酱牛肉的单价为元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题以购买特产的实际问题为背景，考查了二元一次方程组的应用。设橘子鸡单价为 x 元，酱牛肉单价为 y 元，根据两种购买方式的总价列出方程组解方程组即得单价。
14．【答案】解∶画树状图如下：
共有9种等可能的结果，两次记录的数字之和大于4的结果有5种，
∴两次记录的数字之和大于4的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】本题以摸球游戏为背景，考查了用列表法或树状图法求概率。列出所有等可能的结果共9种，找出两次数字之和大于4的结果有5种，根据概率公式计算即可.
15．【答案】（1）解：如图，线段和点即为所作；
（2）解：如图，线段和点即为所作．
【知识点】作图﹣旋转；等腰直角三角形；中心对称的性质；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及旋转性质，作出点B绕点A顺时针旋转90°后的对应点D，连接BD、AD，由旋转性质得AB=AD，由等边对等角及三角形内角和定理求出∠B=45°，利用方格纸特点，过点C作CM∥BD，由二直线平行，同位角相等得∠CMA=∠B=45°；
（2）利用方格纸的特点及中心对称的性质，连接AC并延长至点E，使CE=AC，同理作出点F，连接EF，再连接CP并延长交EF于点G，线段EF与点G就是所求的图形.
（1）解：如图，线段和点即为所作；
（2）解：如图，线段和点即为所作．
16．【答案】（1）
（2）解：∵是的中点，
∴，
∴，
即反比例函数解析式为，
边所在的直线为，
当时，，
∴反比例函数与边的交点的坐标为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）解：∵、，
∴正方形的边长为2，
∴点D、C的坐标分别为：、，
当函数过点A时，则，
当函数过点C时，则，
∴；
【分析】本题以正方形与反比例函数图象相交为背景，考查了反比例函数图象上点的坐标特征及取值范围。
（1）分别求出反比例函数过点A和过点C时k的值，结合图象得k的取值范围。
（2）由E为AB中点得E(3，4)，代入求得反比例函数解析式，再与直线AD（x=2）联立得交点坐标。
（1）解：∵、，
∴正方形的边长为2，
∴点D、C的坐标分别为：、，
当函数过点A时，则，
当函数过点C时，则，
∴；
（2）解：∵是的中点，
∴，
∴，
即反比例函数解析式为，
边所在的直线为，
当时，，
∴反比例函数与边的交点的坐标为．
17．【答案】解：连接交于点，
由题意得：，，，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
，
风电塔筒的高度约为
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；矩形底座模型
【解析】【分析】本题以测量风电塔筒高度的实践活动为背景，考查了解直角三角形的实际应用（仰角问题）及添加辅助线构造直角三角形。连接DF交AH于点G，由题意得DF⊥AH，GH=CD=EF=1.6 m，DF=CE=203 m。设DG=x m，分别在Rt△ADG和Rt△AFG中利用正切值表示AG，列方程求出x，进而得AH的高度。
18．【答案】（1）证明：连接，如图，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线
（2）解，
，
，
，
，
的长为
【知识点】等腰三角形的性质；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】本题以圆与角平分线相结合为背景，考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的性质及弧长公式的应用。
（1）连接OC，由角平分线和等腰三角形推得∠DAC=∠OCA，从而AD∥OC，结合AD⊥DC得OC⊥DC，即可证CD是切线。
（2）由∠ACD=40°得∠ACO=50°，利用等腰三角形内角和求出∠AOC=80°，再代入弧长公式求AC的长。
（1）证明：连接，如图，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解，
，
，
，
，
的长为．
19．【答案】（1）2，6
（2）解：两车相遇后，设甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为（k、b为常数，且），
由题意得经过和，
∴，
解得，
∴两车相遇后，甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为
（3）解：两车相遇前，设甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为（、为常数，且），将坐标和分别代入，
得，
解得，
∴两车相遇前，甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为，
乙车的速度为，
∴乙车和B地的距离y与x之间的函数关系式为，
当时，两车相距时，得，
解得，
当，两车相距时，得，
解得．
答：在行驶的过程中，甲车行驶或时，两车相距
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题；分类讨论
【解析】【分析】本题以两车相向而行的行程问题为背景，考查了一次函数的应用、待定系数法及分段讨论思想。
（1）根据相遇时甲车行驶路程和速度求时间得m，再加4小时得n。
（2）设相遇后一次函数解析式，代入点(2，240)和(6，0)求表达式。
（3）分别求出相遇前甲车、乙车与B地距离的函数关系，根据两车相距80km列方程，结合自变量范围求解。
（1）解：，
∴，
∴，
故答案为：2，6；
（2）解：两车相遇后，设甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为（k、b为常数，且），
由题意得经过和，
∴，
解得，
∴两车相遇后，甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为；
（3）解：两车相遇前，设甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为（、为常数，且），
将坐标和分别代入，
得，
解得，
∴两车相遇前，甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为，
乙车的速度为，
∴乙车和B地的距离y与x之间的函数关系式为，
当时，两车相距时，得，
解得，
当，两车相距时，得，
解得．
答：在行驶的过程中，甲车行驶或时，两车相距．
20．【答案】解：（1）如图①
四边形是矩形，
，
在中，，
由矩形旋转可知：，
，
则线段的长为；
（2）解：如图②，过点作于点，
在中，，
由矩形旋转可知：，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
则的面积为；
（3）解：的值为，
如图③，
连接，
由矩形旋转可知：，，，
，，
，
四点共圆
四边形是矩形，
，
，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
，
，
则的值为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；四点共圆模型
【解析】【分析】（1）由矩形的性质知，则由勾股定理可得，再由旋转的性质知，即可求出线段的长；
（2）由旋转的性质知CF=CB，因此可过点作于点，先在中利用勾股定理可得，再利用三角形面积公式求出，再由勾股定理求出，再根据等腰三角形三线合一可得BF的长，从而可利用与的面积差求得的面积；
（3）连接，由旋转的性质可得，从而可判定四点共圆，则由圆周角定理可得，即，此时由勾股定理可把转化为即可．
21．【答案】（1）6
（2）解：如图1，点E在上，
由题意得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，即，
解得：
（3）解：点在边上时，分两种情况：
当时，如图；
当时，如图 2 ，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，即，
，
同理得：，
【知识点】平行四边形的性质；四边形的综合；四边形-动点问题；相似三角形的判定-AA；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，
故答案为：6；
【分析】本题以直角三角形中的动点与平行四边形重叠面积为背景，考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质及分类讨论思想。
（1）根据勾股定理直接求出AC的长。
（2）当点E落在BC上时，利用△APD∽△ACB及△CDE∽△CAB列方程求出t，再代入面积公式得y值。
（3）点D在边AC上时，分两种情况：当时，重叠部分为平行四边形，面积=底×高；当时，重叠部分为五边形，用整体面积减去多余三角形面积求出y与t的关系式。
（1）解：∵，，，
∴，
故答案为：6；
（2）解：如图1，点E在上，
由题意得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，即，
解得：；
（3）解：点在边上时，分两种情况：
当时，如图；
当时，如图 2 ，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，即，
，
同理得：，
．
22．【答案】（1）解：由题意得：，
解得：，
∴该抛物线对应的函数关系式为
（2）解：∵点P的横坐标为，B为的中点，
∴点B的横坐标为，
∵过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q，
∴点Q的横坐标为m，
∴点P、点Q都在对称轴的右侧时，即时，
抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大；
当点P、点Q都在对称轴的左侧时，即，且时，解得：且，
此时抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而减小
（3）解：当轴时，点A、P关于对称轴直线对称，
∴点P的横坐标为，
∴点P的坐标为，即，
当时，，
∴点Q的坐标为，
∴；
当轴时，点A、Q关于对称轴直线对称，
∴点Q的坐标为，即，
∴，即点P的横坐标为，
∴当时，，
∴点，
∴
（4）1或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（4）解：由题意得：，点P到y轴的距离为，
∴，
当时，则有，
当时，则有，
∴，，
由（2）可分：①当点P、点Q都在对称轴的右侧时，即时，此时抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大，
∴最高点与最低点纵坐标的差为，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
②当点P、点Q都在对称轴的左侧时，即且，此时抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而减小，
∴最高点与最低点纵坐标的差为，
∴，
当时，即，解得：（不符合题意，舍去）；
当时，即，解得：（不符合题意，舍去）；
③当点P、点Q都在对称轴的两侧时，即，此时y的最小值为，
∴最高点与最低点纵坐标的差为，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述：符合条件m的值为1或．
【分析】本题以二次函数与几何综合为背景，考查了待定系数法、抛物线的图象与性质、中点坐标公式、三角形面积计算及分类讨论思想。
（1）根据点A坐标和对称轴公式求出b、c，得抛物线解析式。
（2）由中点坐标得B、Q横坐标均为m，P横坐标为2m，分P、Q均在对称轴右侧或左侧讨论增减性，得m范围。
（3）分AB∥x轴或AQ∥x轴两种情况，利用对称性或坐标关系求出P、Q坐标，再计算△APQ面积。
（4）用|m|表示△AOP面积，用P、Q纵坐标及抛物线最值表示纵坐标差，分P、Q同在对称轴一侧或分居两侧讨论，列方程求解m。
（1）解：由题意得：
，
解得：，
∴该抛物线对应的函数关系式为；
（2）解：∵点P的横坐标为，B为的中点，
∴点B的横坐标为，
∵过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q，
∴点Q的横坐标为m，
∴点P、点Q都在对称轴的右侧时，即时，抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大；
当点P、点Q都在对称轴的左侧时，即，且时，解得：且，此时抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而减小；
（3）解：当轴时，点A、P关于对称轴直线对称，
∴点P的横坐标为，
∴点P的坐标为，即，
当时，，
∴点Q的坐标为，
∴；
当轴时，点A、Q关于对称轴直线对称，
∴点Q的坐标为，即，
∴，即点P的横坐标为，
∴当时，，
∴点，
∴；
（4）解：由题意得：，点P到y轴的距离为，
∴，
当时，则有，
当时，则有，
∴，，
由（2）可分：①当点P、点Q都在对称轴的右侧时，即时，此时抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大，
∴最高点与最低点纵坐标的差为，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
②当点P、点Q都在对称轴的左侧时，即且，此时抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而减小，
∴最高点与最低点纵坐标的差为，
∴，
当时，即，解得：（不符合题意，舍去）；
当时，即，解得：（不符合题意，舍去）；
③当点P、点Q都在对称轴的两侧时，即，此时y的最小值为，
∴最高点与最低点纵坐标的差为，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述：符合条件m的值为1或．
1 / 1吉林省吉林市部分学校2025年中考二模数学试题
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动50米记作米，则向南运动50米可记作（　　）
A．50米 B．100米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若向北运动50米记作米，则向南运动50米可记作米．
故选：C．
【分析】本题以正负数表示相反意义量为背景，考查了正负数的实际应用。在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个用负表示。向北为“+”，则向南为“-”，故向南运动50米记作-50米。
2．如图，将小正方体①移到②的正上方，三视图不变的是（　　）
A．主视图 B．俯视图
C．左视图 D．俯视图与主视图
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：将小正方体①移到②的正上方，三视图不变的是俯视图，主视图、左视图都发生变化，
故选：．
【分析】本题以简单组合体的视图变化为背景，考查了三视图的判断与分析。根据三视图的画法，分别画出移动前后组合体的主视图、左视图和俯视图，对比发现只有俯视图的形状和位置未发生改变。
3．华为14纳米芯片问世，标志着芯片技术重要突破.已知，其中0.000014用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意得0.000014用科学记数法表示为，
故答案为：A
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．下列运算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项不符合题意；
D．，故本选项符合题意．
故选：D．
【分析】本题以幂的运算为背景，考查了同底数幂的乘法、除法、幂的乘方与积的乘方运算法则。根据运算法则逐项判断：幂的乘方指数相乘，积的乘方每个因式分别乘方，同底数幂除法指数相减，乘法指数相加，得出正确选项。
5．关于的不等式的解集如图所示，那么的值是（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
，
，
由数轴可知，关于的不等式的解集为，
则，
解得，
故选：D．
【分析】本题以数轴上不等式的解集为背景，考查了解一元一次不等式及由解集求参数。先解不等式得，再结合数轴得解集为，从而，解得 a=3。
6．如图，正五边形内接于半径为3的，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
故答案为：A．
【分析】由正n边形的中心角度数为可求出∠AOD的度数，然后根据扇形面积公式“”列式计算即可.
二、填空题（每小题3分，共15分）
7．计算：　 　．
【答案】1
【知识点】零指数幂；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：原式；
故答案为：1．
【分析】由二次根式乘法法则“”、二次根式的性质“”及零指数幂法则“a0=1(a≠0)”分别计算，再计算有理数加减法运算可得答案.
8．已知一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（单位：）与行驶速度（单位：）成反比例关系，函数图象如图所示．若该路段限速，则该汽车通过该路段至少需要　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为，
把代入得，
解得，
则反比例函数的解析式是，
把代入解析式得，
则当汽车通过该段路段的时间最少是．
故答案为：．
【分析】本题考查了反本题以汽车匀速通过公路的实际问题为背景，考查了反比例函数的应用及待定系数法。设反比例函数解析式为 ，根据图象过点 (40，1) 求出 k = 40 ，再将限速 v = 80 代入，求得通过该路段至少需要小时。
9．小川一家春节期间团圆相聚，他和兄弟姐妹们约定了互赠一份礼物，若他们一共赠送了90份礼物，则小川及兄弟姐妹一共多少人？若设小川及兄弟姐妹一共有人，则可列方程为　 　．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：．
【分析】本题以互赠礼物的实际情境为背景，考查了由实际问题抽象出一元二次方程。设一共有x人，则每人需送出x-1份礼物，根据总礼物数为90，列方程x(x-1)=90。
10．若点在一次函数的图象上，则代数式　 　．
【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点在直线上，
，即，
故答案为：．
【分析】本题以点在一次函数图象上为背景，考查了一次函数图象上点的坐标特征及整体代入求值。由点(m，n)在y=2x-1上得n=2m-1，即n-2m=-1，代入3n-6m+1=3(n-2m)+1计算可得结果。
11．如图，在中，点在边上，且，连接交于点，则的面积与的面积之比为　 　．
【答案】3∶4
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
故答案为：3∶4．
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得出AD∥BC，AD=BC，根据AE=3DE可推出AE∶AB=3∶4，然后根据平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得出△AOE∽△BOC，由相似三角形对应边成比例求出AO∶CO=3∶4，进而根据同高三角形面积之比等于对应底之比可得答案.
三、解答题（本大题共11小题，共87分）
12．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题以分式化简求值为背景，考查了分式的通分、除法转化为乘法及因式分解等运算法则。先将括号内通分合并，再将除法转化为乘法，约分后得到最简结果，最后代入 计算求值。
13．开封作为八朝古都，有着深厚的历史文化，也吸引者无数的游客前往观光，开封，特产桶子鸡、酱牛肉深受游客的喜爱．已知2包桶子鸡和3包酱牛肉的价格为元，3包桶子鸡和4包酱牛肉的价格为元，分别求出桶子鸡和酱牛肉的单价．
【答案】解：设桶子鸡的单价为元，酱牛肉的单价为元．
由题意，得，
解得，
答：桶子鸡的单价为元，酱牛肉的单价为元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题以购买特产的实际问题为背景，考查了二元一次方程组的应用。设橘子鸡单价为 x 元，酱牛肉单价为 y 元，根据两种购买方式的总价列出方程组解方程组即得单价。
14．一个不透明的盒子中装有标号分别为2、2、3的三个小球，这些小球除标号外都相同．小明从中随机摸出一个小球，记录其数字后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，请用画树状图或列表的方法求两次记录的数字之和大于4的概率．
【答案】解∶画树状图如下：
共有9种等可能的结果，两次记录的数字之和大于4的结果有5种，
∴两次记录的数字之和大于4的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】本题以摸球游戏为背景，考查了用列表法或树状图法求概率。列出所有等可能的结果共9种，找出两次数字之和大于4的结果有5种，根据概率公式计算即可.
15．如图，在由单位正方形组成的： 网格中，每个小正方形的顶点叫格点，A、B、C是格点，仅用无刻度的直尺在所给网格中完成作图：
（1）在图1中， 将绕点 A 顺时针旋转得，连接，并在线段上找一点M，使得
（2）在图2中，P为上一点，作线段关于点 C成中心对称的线段（A与E对应），并在上找一点 G，使得．
【答案】（1）解：如图，线段和点即为所作；
（2）解：如图，线段和点即为所作．
【知识点】作图﹣旋转；等腰直角三角形；中心对称的性质；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及旋转性质，作出点B绕点A顺时针旋转90°后的对应点D，连接BD、AD，由旋转性质得AB=AD，由等边对等角及三角形内角和定理求出∠B=45°，利用方格纸特点，过点C作CM∥BD，由二直线平行，同位角相等得∠CMA=∠B=45°；
（2）利用方格纸的特点及中心对称的性质，连接AC并延长至点E，使CE=AC，同理作出点F，连接EF，再连接CP并延长交EF于点G，线段EF与点G就是所求的图形.
（1）解：如图，线段和点即为所作；
（2）解：如图，线段和点即为所作．
16．如图，正方形在第一象限，已知点、，反比例函数的图象与正方形的边有交点．
（1）直接写出的取值范围；
（2）当反比例函数的图象与交于点，且是的中点时，求反比例函数与边的交点的坐标．
【答案】（1）
（2）解：∵是的中点，
∴，
∴，
即反比例函数解析式为，
边所在的直线为，
当时，，
∴反比例函数与边的交点的坐标为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）解：∵、，
∴正方形的边长为2，
∴点D、C的坐标分别为：、，
当函数过点A时，则，
当函数过点C时，则，
∴；
【分析】本题以正方形与反比例函数图象相交为背景，考查了反比例函数图象上点的坐标特征及取值范围。
（1）分别求出反比例函数过点A和过点C时k的值，结合图象得k的取值范围。
（2）由E为AB中点得E(3，4)，代入求得反比例函数解析式，再与直线AD（x=2）联立得交点坐标。
（1）解：∵、，
∴正方形的边长为2，
∴点D、C的坐标分别为：、，
当函数过点A时，则，
当函数过点C时，则，
∴；
（2）解：∵是的中点，
∴，
∴，
即反比例函数解析式为，
边所在的直线为，
当时，，
∴反比例函数与边的交点的坐标为．
17．近年某省大力推进风电规模化开发，在风力发电机组中“风电塔筒”的高度是重要的设计参数，某校数学小组开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，一风电塔筒垂直于地面，测角仪、在的两侧，且、均与地面垂直，点、在同一条直线上，，点与点相距，在处分别测得点的仰角为、，求风电塔筒的高度（参考数据：，）．
【答案】解：连接交于点，
由题意得：，，，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
，
风电塔筒的高度约为
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；矩形底座模型
【解析】【分析】本题以测量风电塔筒高度的实践活动为背景，考查了解直角三角形的实际应用（仰角问题）及添加辅助线构造直角三角形。连接DF交AH于点G，由题意得DF⊥AH，GH=CD=EF=1.6 m，DF=CE=203 m。设DG=x m，分别在Rt△ADG和Rt△AFG中利用正切值表示AG，列方程求出x，进而得AH的高度。
18．如图，是的直径，是上的一点，平分，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长（结果保留）．
【答案】（1）证明：连接，如图，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线
（2）解，
，
，
，
，
的长为
【知识点】等腰三角形的性质；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】本题以圆与角平分线相结合为背景，考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的性质及弧长公式的应用。
（1）连接OC，由角平分线和等腰三角形推得∠DAC=∠OCA，从而AD∥OC，结合AD⊥DC得OC⊥DC，即可证CD是切线。
（2）由∠ACD=40°得∠ACO=50°，利用等腰三角形内角和求出∠AOC=80°，再代入弧长公式求AC的长。
（1）证明：连接，如图，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解，
，
，
，
，
的长为．
19．已知、两地之间有一条长为的笔直公路．甲、乙两车分别名、两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以的速度匀速行驶，距离地时与乙车相遇．再以另一速度继续匀速行驶到达地；乙车匀速行驶至地．两车和地的相离与甲车的行驶时间之间的函数关系如图所示．
（1）填空：______，______；
（2）求两车相遇后，甲车和地的距离与之间的函数关系式；
（3）在行驶的过程中，甲车行驶多长时间时，两车相距，请直接写出答案．
【答案】（1）2，6
（2）解：两车相遇后，设甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为（k、b为常数，且），
由题意得经过和，
∴，
解得，
∴两车相遇后，甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为
（3）解：两车相遇前，设甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为（、为常数，且），将坐标和分别代入，
得，
解得，
∴两车相遇前，甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为，
乙车的速度为，
∴乙车和B地的距离y与x之间的函数关系式为，
当时，两车相距时，得，
解得，
当，两车相距时，得，
解得．
答：在行驶的过程中，甲车行驶或时，两车相距
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题；分类讨论
【解析】【分析】本题以两车相向而行的行程问题为背景，考查了一次函数的应用、待定系数法及分段讨论思想。
（1）根据相遇时甲车行驶路程和速度求时间得m，再加4小时得n。
（2）设相遇后一次函数解析式，代入点(2，240)和(6，0)求表达式。
（3）分别求出相遇前甲车、乙车与B地距离的函数关系，根据两车相距80km列方程，结合自变量范围求解。
（1）解：，
∴，
∴，
故答案为：2，6；
（2）解：两车相遇后，设甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为（k、b为常数，且），
由题意得经过和，
∴，
解得，
∴两车相遇后，甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为；
（3）解：两车相遇前，设甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为（、为常数，且），
将坐标和分别代入，
得，
解得，
∴两车相遇前，甲车和B地的距离y与x之间的函数关系式为，
乙车的速度为，
∴乙车和B地的距离y与x之间的函数关系式为，
当时，两车相距时，得，
解得，
当，两车相距时，得，
解得．
答：在行驶的过程中，甲车行驶或时，两车相距．
20．如图，在矩形中，，，以点为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点，，的对应点分别是点，，．
【知识技能】
（1）如图①，当点落在矩形的对角线上时，求线段的长；
【数学理解】
（2）如图②，当点落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积；
【拓展探索】
（3）如图③，将矩形旋转一定角度后，连接，交于点，连接，，求的值．
【答案】解：（1）如图①
四边形是矩形，
，
在中，，
由矩形旋转可知：，
，
则线段的长为；
（2）解：如图②，过点作于点，
在中，，
由矩形旋转可知：，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
则的面积为；
（3）解：的值为，
如图③，
连接，
由矩形旋转可知：，，，
，，
，
四点共圆
四边形是矩形，
，
，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
，
，
则的值为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；四点共圆模型
【解析】【分析】（1）由矩形的性质知，则由勾股定理可得，再由旋转的性质知，即可求出线段的长；
（2）由旋转的性质知CF=CB，因此可过点作于点，先在中利用勾股定理可得，再利用三角形面积公式求出，再由勾股定理求出，再根据等腰三角形三线合一可得BF的长，从而可利用与的面积差求得的面积；
（3）连接，由旋转的性质可得，从而可判定四点共圆，则由圆周角定理可得，即，此时由勾股定理可把转化为即可．
21．如图．在中，，，，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动，当点不与点、重合时，过点作交射线于点，以为邻边作，设与重叠部分图形的周长为，点的运动时间为（秒）．
（1）线段___________；
（2）当点落在上时，求t的值；
（3）点D在边上时，求与之间的函数关系式．
【答案】（1）6
（2）解：如图1，点E在上，
由题意得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，即，
解得：
（3）解：点在边上时，分两种情况：
当时，如图；
当时，如图 2 ，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，即，
，
同理得：，
【知识点】平行四边形的性质；四边形的综合；四边形-动点问题；相似三角形的判定-AA；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，
故答案为：6；
【分析】本题以直角三角形中的动点与平行四边形重叠面积为背景，考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质及分类讨论思想。
（1）根据勾股定理直接求出AC的长。
（2）当点E落在BC上时，利用△APD∽△ACB及△CDE∽△CAB列方程求出t，再代入面积公式得y值。
（3）点D在边AC上时，分两种情况：当时，重叠部分为平行四边形，面积=底×高；当时，重叠部分为五边形，用整体面积减去多余三角形面积求出y与t的关系式。
（1）解：∵，，，
∴，
故答案为：6；
（2）解：如图1，点E在上，
由题意得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，即，
解得：；
（3）解：点在边上时，分两种情况：
当时，如图；
当时，如图 2 ，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，即，
，
同理得：，
．
22．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线，点P是此抛物线上的点，其横坐标为，连接，取的中点B，过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q，连结、．
（1）求此抛物线对应的函数关系式．
（2）当抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，求m的取值范围．
（3）当的边与x轴平行时，求的面积．
（4）连接，当的面积等于此抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点纵坐标的差时，直接写出m的值．
【答案】（1）解：由题意得：，
解得：，
∴该抛物线对应的函数关系式为
（2）解：∵点P的横坐标为，B为的中点，
∴点B的横坐标为，
∵过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q，
∴点Q的横坐标为m，
∴点P、点Q都在对称轴的右侧时，即时，
抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大；
当点P、点Q都在对称轴的左侧时，即，且时，解得：且，
此时抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而减小
（3）解：当轴时，点A、P关于对称轴直线对称，
∴点P的横坐标为，
∴点P的坐标为，即，
当时，，
∴点Q的坐标为，
∴；
当轴时，点A、Q关于对称轴直线对称，
∴点Q的坐标为，即，
∴，即点P的横坐标为，
∴当时，，
∴点，
∴
（4）1或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（4）解：由题意得：，点P到y轴的距离为，
∴，
当时，则有，
当时，则有，
∴，，
由（2）可分：①当点P、点Q都在对称轴的右侧时，即时，此时抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大，
∴最高点与最低点纵坐标的差为，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
②当点P、点Q都在对称轴的左侧时，即且，此时抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而减小，
∴最高点与最低点纵坐标的差为，
∴，
当时，即，解得：（不符合题意，舍去）；
当时，即，解得：（不符合题意，舍去）；
③当点P、点Q都在对称轴的两侧时，即，此时y的最小值为，
∴最高点与最低点纵坐标的差为，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述：符合条件m的值为1或．
【分析】本题以二次函数与几何综合为背景，考查了待定系数法、抛物线的图象与性质、中点坐标公式、三角形面积计算及分类讨论思想。
（1）根据点A坐标和对称轴公式求出b、c，得抛物线解析式。
（2）由中点坐标得B、Q横坐标均为m，P横坐标为2m，分P、Q均在对称轴右侧或左侧讨论增减性，得m范围。
（3）分AB∥x轴或AQ∥x轴两种情况，利用对称性或坐标关系求出P、Q坐标，再计算△APQ面积。
（4）用|m|表示△AOP面积，用P、Q纵坐标及抛物线最值表示纵坐标差，分P、Q同在对称轴一侧或分居两侧讨论，列方程求解m。
（1）解：由题意得：
，
解得：，
∴该抛物线对应的函数关系式为；
（2）解：∵点P的横坐标为，B为的中点，
∴点B的横坐标为，
∵过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q，
∴点Q的横坐标为m，
∴点P、点Q都在对称轴的右侧时，即时，抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大；
当点P、点Q都在对称轴的左侧时，即，且时，解得：且，此时抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而减小；
（3）解：当轴时，点A、P关于对称轴直线对称，
∴点P的横坐标为，
∴点P的坐标为，即，
当时，，
∴点Q的坐标为，
∴；
当轴时，点A、Q关于对称轴直线对称，
∴点Q的坐标为，即，
∴，即点P的横坐标为，
∴当时，，
∴点，
∴；
（4）解：由题意得：，点P到y轴的距离为，
∴，
当时，则有，
当时，则有，
∴，，
由（2）可分：①当点P、点Q都在对称轴的右侧时，即时，此时抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大，
∴最高点与最低点纵坐标的差为，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
②当点P、点Q都在对称轴的左侧时，即且，此时抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而减小，
∴最高点与最低点纵坐标的差为，
∴，
当时，即，解得：（不符合题意，舍去）；
当时，即，解得：（不符合题意，舍去）；
③当点P、点Q都在对称轴的两侧时，即，此时y的最小值为，
∴最高点与最低点纵坐标的差为，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述：符合条件m的值为1或．
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