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吉林省松原市长岭县三校2024~2025学年 初中学业水平考试第五次模拟试题 九年级数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．点A在数轴上的位置如图所示，若将点A向左移动4个单位长度得到点B，则点B表示的数是（　　）
A．5 B．4 C． D．
2．河南省安阳修定寺塔是中国现存最早的以雕砖为饰面的佛塔，动物雕砖m件，人物雕砖比动物雕砖的4倍多n件，人物雕砖有（　　）件．
A． B． C． D．
3．下列等式变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．图1是一个玻璃烧杯，图2是由玻璃烧杯抽象出的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
5．有一个未知圆心的圆形工件需要画出圆心．暂时只能用一块足够大的直角三角板（无刻度）可以使用．为此同学们需要先得到两条不同的直径，下列寻找直径的方法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个问题，大意为：今有墙高9尺，瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸；葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺，问经过几天两蔓相遇？（1尺寸）若设经过x天两蔓相遇，可列方程为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
7．不等式组的整数解为　 　．
8．如图，边长分别为a，b的长方形，它的周长为15，面积为10，则=　 　．
9．将一把直尺和一个含的三角板按如图所示位置摆放，如果，那么的度数为　 　．
10．如图，在矩形中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，长为半径画弧，交于点；②分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；③画射线，交于点，若，，则　 　．
11．三翼式旋转门在圆柱形的空间内旋转，旋转内的三片旋转翼把空间等分成三个部分，如图1，旋转门的俯视图是直径的2米的圆，图2显示了某一时刻旋转翼的位置，则弧的长是　 　米．（结果保留）
三、解答题（本大题共11小题，共87分）
12．先化简，再求值：，其中，．
13．小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜．
（1）小明赢的事件是　 　事件．（选填：必然，随机或不可能．）
（2）这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由．
14．深中通道是粤港澳大湾区核心交通枢纽工程，该项目计划于年月开通，开通后将会促进粤港澳大湾区城市群的互联互通．深中通道开通后，预计从中山翠亨新区到深圳宝安机场的车程将从原路线的公里缩短为公里，平均速度提高为原来的倍，通勤时间将减少小时．请问原路线的平均速度为多少？
15．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为．请根据下列要求分别画出图形所画图形的顶点都在格点上)：
（1）在图①中，以线段为一边，画一个面积为的菱形；
（2）在图②中，以线段为对角线，画一个面积为的平行四边形；
（3）在图③中，以点为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．
16．如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）．
（1）求v与t的函数表达式；
（2）已知在限速区间上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围．
17．【综合与实践】体重调查
党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质，目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index，缩写） 来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是中国人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某数学兴趣小组对本校六年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有六年级学生中随机抽出10名男生、10名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的数值， 再参照数值标准分成四组： A.； B.；C.； D.． 将所得数据进行收集、整理、描述．
六年级10 名男生数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高 （m） 1.56 1.50 1.66 1.58 1.50 1.70 1.51 1.42 1.59 1.72
体重 （） 52.5 49.5 45.6 40.3 55.2 56.1 48.5 42.8 67.2 90.5
21.6 s 16.5 16.1 24.5 19.4 21.3 21.2 266 30.6
六年级 10 名女生数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高 （m） 1.46 1.62 1.55 1.65 1.58 1.67 1.55 1.46 1.53 1.62
体重 （） 46.4 49.0 61.5 56.5 52.9 75.5 50.3 47.6 52.4 46.8
21.8 18.7 25.6 20.8 21.2 27.1 20.9 22.3 22.4 17.8
整理、描述数据
六年级 20 名学生统计分布表（素材1）
组别 男生数 女生数
A 3 2
B 4 6
C t 2
D 1 0
素材2 表一 60分钟各项运动消耗热量表 运动骑车快跑慢跑爬楼梯游泳热量变化（卡）
素材3 表二 常见食物摄入热量表 食物炸薯片方便面猪肉巧克力曲奇饼虾热量变化（卡/100g）
任务1 （1）______________，______________．
任务2 已知该校六年级有男生260人，女生240人． ①估计该校六年级男生偏胖的人数； ②估计该校六年级学生的人数
任务3 （3） 针对目前中学生中肥胖率偏高的实际情况，李老师和同学们一同分析了形成这些问题的原因，多数学生喜欢吃一些零食、炸薯条，汉堡等含高糖、高脂和高热量的食品，还有一些学生根本就不正常吃饭， 根据素材2，3提供的信息，请给六年级同学提出一些关于饮食方面的建议，并制订适合他们的体育锻炼方案．
18．由两个梯子搭成的“人字梯”如图①所示，它的3个踩档把梯子等分成4份．某次家务劳动中，小明想在人字梯的第二踩档处绑上一根绳子确保用梯安全，将其抽象成图②，其中，，在D，E处打结各需要0.2m的绳子，请你帮小明计算他需要的绑绳的长度、此时梯子的顶端A离地面BC的高度约为多少米？（结果精确到0.01m．参考数据：，，）
19．【阅读理解】一次函数在实际生活中有着广泛的应用．在经济学中，市场的供给量和需求量通常受价格的影响，我们可以用一次函数来描述市场的供给量和需求量与价格之间的关系，可以帮助我们分析和解决与经济相关的问题．
如图1为市场均衡模型，为需求量，为供给量，P为商品价格．当商品价格P上涨时需求量会随之减少，而供给量却随之增加，当需求等于供给（）时，市场上既不会有商品剩余，也不会有商品短缺，市场达到均衡，我们把此时的价格称为均衡价格；当商品供不应求时，价格就会上涨；当商品供大于求时，价格就会下降．
【解决问题】
任务1：根据市场调查，某种商品在市场上的需求量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，其中与p的几组对应数据如下表：
价格p/（万元） 1 2 3 4 5
需求量/（万件） 22 20 18 16 14
求出与p的函数表达式；
任务2：该商品的市场供给量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，如图2，试求达到市场供需均衡时该商品的均衡价格；
任务3：依据以上信息和函数图象分析，当该商品供大于求时，该商品的价格p的取值范围是______．
20．【问题背景】如图①，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处．如图②，连接，点恰好落在上；
【初步探究】
（1）如图②所示，求证：；
【探究迁移】
（2）如图②所示，请你求出的值，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图③所示，在【问题背景】的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请直接写出的值（用含的式子表示）．
21．如图①所示，是等边三角形，，矩形的边，．点，，在一条直线上．如图②，将矩形沿向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，．
设，矩形与重叠部分的面积为．
（1）当点落在上时，________；
（2）当点落在上时，________；
（3）求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
（4）当时，直接写出的取值范围．
22．如图，抛物线经过点，，点，，，在抛物线上，其横坐标分别为，，，，连接，．
（1）求抛物线的解析式，并写出函数值随的增大而减小时的取值范围；
（2）当点与抛物线顶点重合时，求点的坐标；
（3）当的边与轴垂直时，求点与点的纵坐标；
（4）设，，，探索，，之间的关系，请直接写出结论．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的减法法则；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵点A表示的数为1，将点A向左移动4个单位长度得到点B，
∴点B表示的数为，
故选：C．
【分析】根据数轴上两点间的距离即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：∵动物雕砖m件，人物雕砖比动物雕砖的4倍多n件，
∴人物雕砖有件．
故选：C．
【分析】本题以佛塔雕砖数量为背景，考查了列代数式表示数量关系。“人物雕砖比动物雕砖的4倍多n件”即 4m + n，故选 C。
3．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、，故此选项变形错误，不符合题意；
B、，故此选项变形错误，不符合题意；
C、，故此选项变形正确，符合题意；
D、，故此选项变形错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】分式的分子、分母同时乘以或除以（除数不能为零）同一个整式，分式的值不变，据此可判断A、B、C选项；根据分式的基本性质，分式的分子、分母及分式本身三处的符号，同时改变其中任意两处的符号，分式的值不变，据此可判断D选项.
4．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、此选项正确；
B、选项中间的小圆要是实线，故此选项错误；
C、此选项是主视图，故此选项错误；
D、选项不是三视图之一，故此选项错误．
故答案为：A．
【分析】从几何体上面看得到的正投影就是该几何体的俯视图，能看见的轮廓线需要画成实线，看不见但又存在的轮廓线需要画成虚线，据此逐一判断得出答案.
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，
观察四个选项可知，只有B选项中的AB满足条件，是直径，
故答案为：B.
【分析】根据直角所对的弦是直径逐一判断即可.
6．【答案】C
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
即，
故答案为：C．
【分析】
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意找到等量关系是解题关键．
根据题意：墙高9尺，结合1尺=10寸可知：墙高为9×10=90寸，再根据葫芦蔓每天向上长1尺，即每天长1×10=10寸；设经过x天两蔓相遇，即x天后，瓜蔓向下长了7x寸，葫芦蔓向上长了10x寸，根据等量关系：两蔓相遇时，它们生长的总长度等于墙高可列出关于x的一元一次方程：7x+10x=90，由此可得出答案.
7．【答案】2
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式，得，
解不等式，得.
∴不等式组的解集是.
∴整数解为2．
故答案为：2．
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而求出所有的整数解即可．
8．【答案】225
【知识点】因式分解﹣提公因式法；矩形的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：长方形的周长为15，面积为10，
，，
．
故答案为：225．
【分析】本题以长方形的周长和面积为背景，考查了因式分解及整体代入求值。由题意得，ab=10，则。
9．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
故答案为：
【分析】本题以平行线为背景，考查了平行线的性质及三角形外角定理。由 DGEF 得BEF = BDG = 70，则AFE = BEF - A = 70 - 30 = 40。
10．【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
，
，
根据作图可得平分，
，
，
，
故答案为：2．
【分析】本题以矩形中的尺规作图为背景，考查了矩形的性质、角平分线定义及等腰三角形的判定。由作图得 AE = AD = 6，AF 平分BAD，结合 ABCD 得 DAG = DGA，则 DG = DA = 6，由此可求出CG的长.
11．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意，可得，，
∴的长，
故答案为：．
【分析】本题以三翼式旋转门为背景，考查了弧长的计算。由题意得半径 r = 1 米，圆心角 AOB = 120，弧长 l 。
12．【答案】解：原式
，
当，时，
原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题以整式的化简求值为背景，考查了完全平方公式、平方差公式及单项式乘多项式的运算。化简得 5x2 + 2y2，代入 x =， y = 得 5 2 + 2 3 = 16。
13．【答案】（1）随机
（2）这个游戏对双方不公平．理由如下：画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，
∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为，
又∵，
∴这个游戏对双方不公平．
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】解：（1）解：共有种等可能的结果数：、、、、、、、、，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为，
∵小明和小亮获胜是随机事件，
∴小明赢的事件是随机事件，
故答案为：随机；
【分析】（1）利用列举法，将总的事件进行列举，分别找出满足的事件，接着结合概率公式分别计算小明与小亮胜的概率，接着利用随机事件定义进行判断即可得到结果；
（2）利用树状图将所有事件进行列举，结合概率公式与随机事件定义进行比较判断即可得到结果.
（1）解：共有种等可能的结果数：、、、、、、、、，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，
∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为，
∵小明和小亮获胜是随机事件，
∴小明赢的事件是随机事件，
故答案为：随机；
（2）这个游戏对双方不公平．理由如下：
画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，
∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为，
又∵，
∴这个游戏对双方不公平．
14．【答案】解：设原路线的平均速度为公里小时，则新路线的平均速度为公里小时，
根据题意得，，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
答：原路线的平均速度为公里小时．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设原路线的平均速度为公里小时， 则新路线的平均速度为公里小时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
15．【答案】（1）解：如图①，菱形即为所求，
（2）解：如图②，四边形即为满足条件的图形：
（3）解：如图③，边长为的正方形的面积最大．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的判定；平行四边形的面积；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）由菱形对角线互相垂直平分及菱形面积等于两对角线乘积的一半，利用方格纸的特点作一个两对角线分别为4与2的菱形即可；（2）由于平行四边形的一条对角线将平行四边形分成面积相等的两个三角形，从而根据三角形面积计算公式及平行四边形对角线互相平分，利用方格纸的特点确定另一条对角线为3，且点A、B到这条对角线的距离都为1即可；
（3）根据全等三角形对应边相等，对应角相等及正方形四条边都相等，四个内角都是直角，利用方格纸的特点，以三个小正方形拼成一行的矩形的对角线长为边长，即可作出符合题意的正方形.
16．【答案】（1）解：由题意可设，
将代入得，，
；
答：与的函数表达式为；
（2）解：当时，，
当时，，
小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围为．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设所求的v与t的函数表达式为，将点(0.3，80)代入求出k的值，从而即可求出v与t的函数表达式；
（2）分别将v=120，v=80代入（1）所求函数解析式，求出对应的t值，即可确定AB段的时间范围．
（1）解：由题意可设，
将代入得，，
；
答：与的函数表达式为；
（2）解：当时，，
当时，，
小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围为．
17．【答案】任务1：22，2
任务2：解：①男生偏胖的人数为：（人），
②六年级学生的人数为：（人）；
任务3：解：对学校学生进行合理、健康的饮食习惯的培养，加强体育锻炼．
【知识点】频数（率）分布表；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】任务1：解：根据题意：，
由统计表得：内，，
故答案为：22；2；
【分析】（1）根据 身体质量指数直接计算即可得s；结合统计表确定t；
（2）①用该学校男生总人数乘以样本中偏胖的人数所占百分比即可估计该校六年级男生偏胖的人数；②分别用该学校男女生总人数乘以样本中各自BMI≥24的人数所占比例，再求和即可；
（3）开放性命题，答案不唯一，结合素材2与素材3给出的运动热量消耗情况及食物热量摄入情况说的合理即可．
18．【答案】解：过点A作，垂足为F．
，，
．
在中，．
，
，，
．
由题意，得DE是的中位线，
，
．
在D，E处打结各需要0.2m的绳子，
他需要的绑绳的长度．
他需要的绑绳的长度约为1.08m，此时梯子的顶端A离地面BC的高度约为1.88米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】过点A作AF⊥BC于点F，等边对等角及三角形内角和定理求出∠B=∠C=70°，在Rt△ABF中，由∠B的正弦函数求出AF的长，由∠B的余弦函数求出BF的长，根据等腰三角形的三线合一得出BF=BC，再由三角形中位线等于第三边的一半得出DE=BC，从而得出DE的长，进而求出需要绑绳的长度即可．
19．【答案】解：任务1：设，
由表格可知，一次函数经过，两个点，
，
解得：，
关于的函数关系式为；
任务2：由题意得，
解得，
达到市场供需平衡时该商品的均衡价格为3万元；
任务3：
【知识点】利用等式的性质解一元一次方程；一次函数的其他应用
【解析】【解答】任务3：当时，，
解得，
当该商品供大于求时，该商品的价格p的取值范围是．
【分析】本题以市场供需平衡为背景，考查了一次函数的实际应用及方程与不等式的求解。
任务1：设，代入两点得；
任务2：由 得 -2p + 24 = 7p - 3，解得 p = 3（万元）；
任务3：供大于求时，即 7p - 3 > -2p + 24，解得 p > 3，结合需求量非负得 p 12，故 3 < p12。
20．【答案】解：（1）∵，∴，
∴，
由翻折性质可知，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
由翻折性质可知，
∴，
又∵，
∴，
∴，
（2）由翻折性质可知，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（3）由（2）可知，，，
∵，
∴，
∴．
【分析】本题以正方形（矩形）中的折叠问题为背景，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及翻折变换。
(1) 由翻折得 AE = A'E， DEA =DEA'，结合 DE EF 及正方形性质证，得 BE = A'E = AE；
(2) 由相似三角形得，结合 AD = 2AE，A'F = AF 得；
(3) 类比 (2)，由 AD = mAB = 2mAE，代入比例式得。
21．【答案】（1）9
（2）10
（3）解：分以下三种情况：
当时，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，如图，
根据平移可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
；
当时，如图，
由（1）可得，
根据平移可得，
∴，，
∴
．
综上，关于的函数解析式为；
（4）
【知识点】等边三角形的性质；矩形的性质；平移的性质；解直角三角形—边角关系；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（1）解：如图，
当点落在上时，根据平移的性质得，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：9；
（2）解：如图，
当点落在上时， 根据平移的性质得，，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10；
（4）解：当时，，此时随的增大而增大，
当时，，当时，，
此时；
当时，的对称轴为，当时随的增大而增大，
当时，，
此时；
当时，的对称轴为，当时有最大值，
当时，，当时，，
此时，
综上所述，当时，的取值范围是．
【分析】本题以等边三角形与矩形平移为背景，考查了解直角三角形、平移性质及分段函数面积的计算。
(1) 点 C 落在 AB 上时，由锐角三角函数得 OO' = 9；
(2) 点 D 落在 OB 上时，同理得 t = 10；
(3) 分三段：、、，分别计算重叠部分面积（矩形面积减去三角形面积）得 S 关于 t 的分段函数；
(4) 根据各段函数的单调性求出 S 的取值范围。
（1）解：如图，
当点落在上时，根据平移的性质得，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：9；
（2）解：如图，
当点落在上时， 根据平移的性质得，，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10；
（3）解：分以下三种情况：
当时，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，如图，
根据平移可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
；
当时，如图，
由（1）可得，
根据平移可得，
∴，，
∴
．
综上，关于的函数解析式为；
（4）解：当时，，此时随的增大而增大，
当时，，当时，，
此时；
当时，的对称轴为，当时随的增大而增大，
当时，，
此时；
当时，的对称轴为，当时有最大值，
当时，，当时，，
此时，
综上所述，当时，的取值范围是．
22．【答案】（1）解：把，代入，
得
解得
∴抛物线的解析式为．
，
∴抛物线的顶点为，对称轴为直线．
当时，函数值随的增大而减小
（2）解：点与抛物线顶点重合，，在抛物线上，横坐标分别为，，
．
．
在中，令得：．
（3）解：当轴时，如图：
∴A，D关于抛物线的对称轴对称，
，抛物线的对称轴为直线，
；
∵D在抛物线上，横坐标分别为，
，
，
在中，令，
得，
，
在中，令，
得，
；
当轴时，如图：
同理可得，
，
，
在中，令，
得，
；
在中，令，
得，
；
综上所述，当的边与y轴垂直时，E的纵坐标为12，F的纵坐标为26或E的纵坐标为26，F的纵坐标为44
（4）
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】（4）解：点，，，在抛物线上，其横坐标分别为，，，，
，
，
，
，
，，，
，
，．
．
【分析】本题以二次函数为背景，考查了待定系数法求解析式、点的对称性、分类讨论思想及二次函数图象上点的纵坐标规律。
(1) 代入 A(-1，2)， B(0，-4) 得 y=2x2-4x-4=2(x-1)2-6，开口向上，当 x 1 时 y 随 x 增大而减小；
(2) 顶点为 (1，-6)，E 与顶点重合则 m+2=1，得 m=-1，F 横坐标为 m+3=2，代入得 F(2，-4)；
(3) 分 AD y 轴和 AC y 轴两种情况，利用对称性求点坐标，再分别代入求 E， F 纵坐标；
(4) 分别表示，，，，计算，，，发现。
（1）解：把，代入，得
解得
∴抛物线的解析式为．
，
∴抛物线的顶点为，对称轴为直线．
当时，函数值随的增大而减小．
（2）解：点与抛物线顶点重合，，在抛物线上，横坐标分别为，，
．
．
在中，令得：．
．
（3）解：当轴时，如图：
∴A，D关于抛物线的对称轴对称，
，抛物线的对称轴为直线，
；
∵D在抛物线上，横坐标分别为，
，
，
在中，令，
得，
，
在中，令，
得，
；
当轴时，如图：
同理可得，
，
，
在中，令，
得，
；
在中，令，
得，
；
综上所述，当的边与y轴垂直时，E的纵坐标为12，F的纵坐标为26或E的纵坐标为26，F的纵坐标为44；
（4）解：点，，，在抛物线上，其横坐标分别为，，，，
，
，
，
，
，，，
，
，．
．
1 / 1吉林省松原市长岭县三校2024~2025学年 初中学业水平考试第五次模拟试题 九年级数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．点A在数轴上的位置如图所示，若将点A向左移动4个单位长度得到点B，则点B表示的数是（　　）
A．5 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的减法法则；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵点A表示的数为1，将点A向左移动4个单位长度得到点B，
∴点B表示的数为，
故选：C．
【分析】根据数轴上两点间的距离即可求出答案.
2．河南省安阳修定寺塔是中国现存最早的以雕砖为饰面的佛塔，动物雕砖m件，人物雕砖比动物雕砖的4倍多n件，人物雕砖有（　　）件．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：∵动物雕砖m件，人物雕砖比动物雕砖的4倍多n件，
∴人物雕砖有件．
故选：C．
【分析】本题以佛塔雕砖数量为背景，考查了列代数式表示数量关系。“人物雕砖比动物雕砖的4倍多n件”即 4m + n，故选 C。
3．下列等式变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、，故此选项变形错误，不符合题意；
B、，故此选项变形错误，不符合题意；
C、，故此选项变形正确，符合题意；
D、，故此选项变形错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】分式的分子、分母同时乘以或除以（除数不能为零）同一个整式，分式的值不变，据此可判断A、B、C选项；根据分式的基本性质，分式的分子、分母及分式本身三处的符号，同时改变其中任意两处的符号，分式的值不变，据此可判断D选项.
4．图1是一个玻璃烧杯，图2是由玻璃烧杯抽象出的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、此选项正确；
B、选项中间的小圆要是实线，故此选项错误；
C、此选项是主视图，故此选项错误；
D、选项不是三视图之一，故此选项错误．
故答案为：A．
【分析】从几何体上面看得到的正投影就是该几何体的俯视图，能看见的轮廓线需要画成实线，看不见但又存在的轮廓线需要画成虚线，据此逐一判断得出答案.
5．有一个未知圆心的圆形工件需要画出圆心．暂时只能用一块足够大的直角三角板（无刻度）可以使用．为此同学们需要先得到两条不同的直径，下列寻找直径的方法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，
观察四个选项可知，只有B选项中的AB满足条件，是直径，
故答案为：B.
【分析】根据直角所对的弦是直径逐一判断即可.
6．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个问题，大意为：今有墙高9尺，瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸；葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺，问经过几天两蔓相遇？（1尺寸）若设经过x天两蔓相遇，可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
即，
故答案为：C．
【分析】
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意找到等量关系是解题关键．
根据题意：墙高9尺，结合1尺=10寸可知：墙高为9×10=90寸，再根据葫芦蔓每天向上长1尺，即每天长1×10=10寸；设经过x天两蔓相遇，即x天后，瓜蔓向下长了7x寸，葫芦蔓向上长了10x寸，根据等量关系：两蔓相遇时，它们生长的总长度等于墙高可列出关于x的一元一次方程：7x+10x=90，由此可得出答案.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
7．不等式组的整数解为　 　．
【答案】2
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式，得，
解不等式，得.
∴不等式组的解集是.
∴整数解为2．
故答案为：2．
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而求出所有的整数解即可．
8．如图，边长分别为a，b的长方形，它的周长为15，面积为10，则=　 　．
【答案】225
【知识点】因式分解﹣提公因式法；矩形的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：长方形的周长为15，面积为10，
，，
．
故答案为：225．
【分析】本题以长方形的周长和面积为背景，考查了因式分解及整体代入求值。由题意得，ab=10，则。
9．将一把直尺和一个含的三角板按如图所示位置摆放，如果，那么的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
故答案为：
【分析】本题以平行线为背景，考查了平行线的性质及三角形外角定理。由 DGEF 得BEF = BDG = 70，则AFE = BEF - A = 70 - 30 = 40。
10．如图，在矩形中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，长为半径画弧，交于点；②分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；③画射线，交于点，若，，则　 　．
【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
，
，
根据作图可得平分，
，
，
，
故答案为：2．
【分析】本题以矩形中的尺规作图为背景，考查了矩形的性质、角平分线定义及等腰三角形的判定。由作图得 AE = AD = 6，AF 平分BAD，结合 ABCD 得 DAG = DGA，则 DG = DA = 6，由此可求出CG的长.
11．三翼式旋转门在圆柱形的空间内旋转，旋转内的三片旋转翼把空间等分成三个部分，如图1，旋转门的俯视图是直径的2米的圆，图2显示了某一时刻旋转翼的位置，则弧的长是　 　米．（结果保留）
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意，可得，，
∴的长，
故答案为：．
【分析】本题以三翼式旋转门为背景，考查了弧长的计算。由题意得半径 r = 1 米，圆心角 AOB = 120，弧长 l 。
三、解答题（本大题共11小题，共87分）
12．先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式
，
当，时，
原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题以整式的化简求值为背景，考查了完全平方公式、平方差公式及单项式乘多项式的运算。化简得 5x2 + 2y2，代入 x =， y = 得 5 2 + 2 3 = 16。
13．小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜．
（1）小明赢的事件是　 　事件．（选填：必然，随机或不可能．）
（2）这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由．
【答案】（1）随机
（2）这个游戏对双方不公平．理由如下：画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，
∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为，
又∵，
∴这个游戏对双方不公平．
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】解：（1）解：共有种等可能的结果数：、、、、、、、、，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为，
∵小明和小亮获胜是随机事件，
∴小明赢的事件是随机事件，
故答案为：随机；
【分析】（1）利用列举法，将总的事件进行列举，分别找出满足的事件，接着结合概率公式分别计算小明与小亮胜的概率，接着利用随机事件定义进行判断即可得到结果；
（2）利用树状图将所有事件进行列举，结合概率公式与随机事件定义进行比较判断即可得到结果.
（1）解：共有种等可能的结果数：、、、、、、、、，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，
∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为，
∵小明和小亮获胜是随机事件，
∴小明赢的事件是随机事件，
故答案为：随机；
（2）这个游戏对双方不公平．理由如下：
画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，
∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为，
又∵，
∴这个游戏对双方不公平．
14．深中通道是粤港澳大湾区核心交通枢纽工程，该项目计划于年月开通，开通后将会促进粤港澳大湾区城市群的互联互通．深中通道开通后，预计从中山翠亨新区到深圳宝安机场的车程将从原路线的公里缩短为公里，平均速度提高为原来的倍，通勤时间将减少小时．请问原路线的平均速度为多少？
【答案】解：设原路线的平均速度为公里小时，则新路线的平均速度为公里小时，
根据题意得，，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
答：原路线的平均速度为公里小时．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设原路线的平均速度为公里小时， 则新路线的平均速度为公里小时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
15．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为．请根据下列要求分别画出图形所画图形的顶点都在格点上)：
（1）在图①中，以线段为一边，画一个面积为的菱形；
（2）在图②中，以线段为对角线，画一个面积为的平行四边形；
（3）在图③中，以点为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．
【答案】（1）解：如图①，菱形即为所求，
（2）解：如图②，四边形即为满足条件的图形：
（3）解：如图③，边长为的正方形的面积最大．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的判定；平行四边形的面积；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）由菱形对角线互相垂直平分及菱形面积等于两对角线乘积的一半，利用方格纸的特点作一个两对角线分别为4与2的菱形即可；（2）由于平行四边形的一条对角线将平行四边形分成面积相等的两个三角形，从而根据三角形面积计算公式及平行四边形对角线互相平分，利用方格纸的特点确定另一条对角线为3，且点A、B到这条对角线的距离都为1即可；
（3）根据全等三角形对应边相等，对应角相等及正方形四条边都相等，四个内角都是直角，利用方格纸的特点，以三个小正方形拼成一行的矩形的对角线长为边长，即可作出符合题意的正方形.
16．如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）．
（1）求v与t的函数表达式；
（2）已知在限速区间上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围．
【答案】（1）解：由题意可设，
将代入得，，
；
答：与的函数表达式为；
（2）解：当时，，
当时，，
小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围为．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设所求的v与t的函数表达式为，将点(0.3，80)代入求出k的值，从而即可求出v与t的函数表达式；
（2）分别将v=120，v=80代入（1）所求函数解析式，求出对应的t值，即可确定AB段的时间范围．
（1）解：由题意可设，
将代入得，，
；
答：与的函数表达式为；
（2）解：当时，，
当时，，
小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围为．
17．【综合与实践】体重调查
党和国家非常重视青少年的身心健康，采取多种举措增强青少年体质，目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index，缩写） 来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是中国人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某数学兴趣小组对本校六年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有六年级学生中随机抽出10名男生、10名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的数值， 再参照数值标准分成四组： A.； B.；C.； D.． 将所得数据进行收集、整理、描述．
六年级10 名男生数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高 （m） 1.56 1.50 1.66 1.58 1.50 1.70 1.51 1.42 1.59 1.72
体重 （） 52.5 49.5 45.6 40.3 55.2 56.1 48.5 42.8 67.2 90.5
21.6 s 16.5 16.1 24.5 19.4 21.3 21.2 266 30.6
六年级 10 名女生数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高 （m） 1.46 1.62 1.55 1.65 1.58 1.67 1.55 1.46 1.53 1.62
体重 （） 46.4 49.0 61.5 56.5 52.9 75.5 50.3 47.6 52.4 46.8
21.8 18.7 25.6 20.8 21.2 27.1 20.9 22.3 22.4 17.8
整理、描述数据
六年级 20 名学生统计分布表（素材1）
组别 男生数 女生数
A 3 2
B 4 6
C t 2
D 1 0
素材2 表一 60分钟各项运动消耗热量表 运动骑车快跑慢跑爬楼梯游泳热量变化（卡）
素材3 表二 常见食物摄入热量表 食物炸薯片方便面猪肉巧克力曲奇饼虾热量变化（卡/100g）
任务1 （1）______________，______________．
任务2 已知该校六年级有男生260人，女生240人． ①估计该校六年级男生偏胖的人数； ②估计该校六年级学生的人数
任务3 （3） 针对目前中学生中肥胖率偏高的实际情况，李老师和同学们一同分析了形成这些问题的原因，多数学生喜欢吃一些零食、炸薯条，汉堡等含高糖、高脂和高热量的食品，还有一些学生根本就不正常吃饭， 根据素材2，3提供的信息，请给六年级同学提出一些关于饮食方面的建议，并制订适合他们的体育锻炼方案．
【答案】任务1：22，2
任务2：解：①男生偏胖的人数为：（人），
②六年级学生的人数为：（人）；
任务3：解：对学校学生进行合理、健康的饮食习惯的培养，加强体育锻炼．
【知识点】频数（率）分布表；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】任务1：解：根据题意：，
由统计表得：内，，
故答案为：22；2；
【分析】（1）根据 身体质量指数直接计算即可得s；结合统计表确定t；
（2）①用该学校男生总人数乘以样本中偏胖的人数所占百分比即可估计该校六年级男生偏胖的人数；②分别用该学校男女生总人数乘以样本中各自BMI≥24的人数所占比例，再求和即可；
（3）开放性命题，答案不唯一，结合素材2与素材3给出的运动热量消耗情况及食物热量摄入情况说的合理即可．
18．由两个梯子搭成的“人字梯”如图①所示，它的3个踩档把梯子等分成4份．某次家务劳动中，小明想在人字梯的第二踩档处绑上一根绳子确保用梯安全，将其抽象成图②，其中，，在D，E处打结各需要0.2m的绳子，请你帮小明计算他需要的绑绳的长度、此时梯子的顶端A离地面BC的高度约为多少米？（结果精确到0.01m．参考数据：，，）
【答案】解：过点A作，垂足为F．
，，
．
在中，．
，
，，
．
由题意，得DE是的中位线，
，
．
在D，E处打结各需要0.2m的绳子，
他需要的绑绳的长度．
他需要的绑绳的长度约为1.08m，此时梯子的顶端A离地面BC的高度约为1.88米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】过点A作AF⊥BC于点F，等边对等角及三角形内角和定理求出∠B=∠C=70°，在Rt△ABF中，由∠B的正弦函数求出AF的长，由∠B的余弦函数求出BF的长，根据等腰三角形的三线合一得出BF=BC，再由三角形中位线等于第三边的一半得出DE=BC，从而得出DE的长，进而求出需要绑绳的长度即可．
19．【阅读理解】一次函数在实际生活中有着广泛的应用．在经济学中，市场的供给量和需求量通常受价格的影响，我们可以用一次函数来描述市场的供给量和需求量与价格之间的关系，可以帮助我们分析和解决与经济相关的问题．
如图1为市场均衡模型，为需求量，为供给量，P为商品价格．当商品价格P上涨时需求量会随之减少，而供给量却随之增加，当需求等于供给（）时，市场上既不会有商品剩余，也不会有商品短缺，市场达到均衡，我们把此时的价格称为均衡价格；当商品供不应求时，价格就会上涨；当商品供大于求时，价格就会下降．
【解决问题】
任务1：根据市场调查，某种商品在市场上的需求量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，其中与p的几组对应数据如下表：
价格p/（万元） 1 2 3 4 5
需求量/（万件） 22 20 18 16 14
求出与p的函数表达式；
任务2：该商品的市场供给量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，如图2，试求达到市场供需均衡时该商品的均衡价格；
任务3：依据以上信息和函数图象分析，当该商品供大于求时，该商品的价格p的取值范围是______．
【答案】解：任务1：设，
由表格可知，一次函数经过，两个点，
，
解得：，
关于的函数关系式为；
任务2：由题意得，
解得，
达到市场供需平衡时该商品的均衡价格为3万元；
任务3：
【知识点】利用等式的性质解一元一次方程；一次函数的其他应用
【解析】【解答】任务3：当时，，
解得，
当该商品供大于求时，该商品的价格p的取值范围是．
【分析】本题以市场供需平衡为背景，考查了一次函数的实际应用及方程与不等式的求解。
任务1：设，代入两点得；
任务2：由 得 -2p + 24 = 7p - 3，解得 p = 3（万元）；
任务3：供大于求时，即 7p - 3 > -2p + 24，解得 p > 3，结合需求量非负得 p 12，故 3 < p12。
20．【问题背景】如图①，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处．如图②，连接，点恰好落在上；
【初步探究】
（1）如图②所示，求证：；
【探究迁移】
（2）如图②所示，请你求出的值，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图③所示，在【问题背景】的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请直接写出的值（用含的式子表示）．
【答案】解：（1）∵，∴，
∴，
由翻折性质可知，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
由翻折性质可知，
∴，
又∵，
∴，
∴，
（2）由翻折性质可知，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（3）由（2）可知，，，
∵，
∴，
∴．
【分析】本题以正方形（矩形）中的折叠问题为背景，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及翻折变换。
(1) 由翻折得 AE = A'E， DEA =DEA'，结合 DE EF 及正方形性质证，得 BE = A'E = AE；
(2) 由相似三角形得，结合 AD = 2AE，A'F = AF 得；
(3) 类比 (2)，由 AD = mAB = 2mAE，代入比例式得。
21．如图①所示，是等边三角形，，矩形的边，．点，，在一条直线上．如图②，将矩形沿向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，．
设，矩形与重叠部分的面积为．
（1）当点落在上时，________；
（2）当点落在上时，________；
（3）求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
（4）当时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）9
（2）10
（3）解：分以下三种情况：
当时，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，如图，
根据平移可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
；
当时，如图，
由（1）可得，
根据平移可得，
∴，，
∴
．
综上，关于的函数解析式为；
（4）
【知识点】等边三角形的性质；矩形的性质；平移的性质；解直角三角形—边角关系；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（1）解：如图，
当点落在上时，根据平移的性质得，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：9；
（2）解：如图，
当点落在上时， 根据平移的性质得，，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10；
（4）解：当时，，此时随的增大而增大，
当时，，当时，，
此时；
当时，的对称轴为，当时随的增大而增大，
当时，，
此时；
当时，的对称轴为，当时有最大值，
当时，，当时，，
此时，
综上所述，当时，的取值范围是．
【分析】本题以等边三角形与矩形平移为背景，考查了解直角三角形、平移性质及分段函数面积的计算。
(1) 点 C 落在 AB 上时，由锐角三角函数得 OO' = 9；
(2) 点 D 落在 OB 上时，同理得 t = 10；
(3) 分三段：、、，分别计算重叠部分面积（矩形面积减去三角形面积）得 S 关于 t 的分段函数；
(4) 根据各段函数的单调性求出 S 的取值范围。
（1）解：如图，
当点落在上时，根据平移的性质得，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：9；
（2）解：如图，
当点落在上时， 根据平移的性质得，，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10；
（3）解：分以下三种情况：
当时，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，如图，
根据平移可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
；
当时，如图，
由（1）可得，
根据平移可得，
∴，，
∴
．
综上，关于的函数解析式为；
（4）解：当时，，此时随的增大而增大，
当时，，当时，，
此时；
当时，的对称轴为，当时随的增大而增大，
当时，，
此时；
当时，的对称轴为，当时有最大值，
当时，，当时，，
此时，
综上所述，当时，的取值范围是．
22．如图，抛物线经过点，，点，，，在抛物线上，其横坐标分别为，，，，连接，．
（1）求抛物线的解析式，并写出函数值随的增大而减小时的取值范围；
（2）当点与抛物线顶点重合时，求点的坐标；
（3）当的边与轴垂直时，求点与点的纵坐标；
（4）设，，，探索，，之间的关系，请直接写出结论．
【答案】（1）解：把，代入，
得
解得
∴抛物线的解析式为．
，
∴抛物线的顶点为，对称轴为直线．
当时，函数值随的增大而减小
（2）解：点与抛物线顶点重合，，在抛物线上，横坐标分别为，，
．
．
在中，令得：．
（3）解：当轴时，如图：
∴A，D关于抛物线的对称轴对称，
，抛物线的对称轴为直线，
；
∵D在抛物线上，横坐标分别为，
，
，
在中，令，
得，
，
在中，令，
得，
；
当轴时，如图：
同理可得，
，
，
在中，令，
得，
；
在中，令，
得，
；
综上所述，当的边与y轴垂直时，E的纵坐标为12，F的纵坐标为26或E的纵坐标为26，F的纵坐标为44
（4）
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】（4）解：点，，，在抛物线上，其横坐标分别为，，，，
，
，
，
，
，，，
，
，．
．
【分析】本题以二次函数为背景，考查了待定系数法求解析式、点的对称性、分类讨论思想及二次函数图象上点的纵坐标规律。
(1) 代入 A(-1，2)， B(0，-4) 得 y=2x2-4x-4=2(x-1)2-6，开口向上，当 x 1 时 y 随 x 增大而减小；
(2) 顶点为 (1，-6)，E 与顶点重合则 m+2=1，得 m=-1，F 横坐标为 m+3=2，代入得 F(2，-4)；
(3) 分 AD y 轴和 AC y 轴两种情况，利用对称性求点坐标，再分别代入求 E， F 纵坐标；
(4) 分别表示，，，，计算，，，发现。
（1）解：把，代入，得
解得
∴抛物线的解析式为．
，
∴抛物线的顶点为，对称轴为直线．
当时，函数值随的增大而减小．
（2）解：点与抛物线顶点重合，，在抛物线上，横坐标分别为，，
．
．
在中，令得：．
．
（3）解：当轴时，如图：
∴A，D关于抛物线的对称轴对称，
，抛物线的对称轴为直线，
；
∵D在抛物线上，横坐标分别为，
，
，
在中，令，
得，
，
在中，令，
得，
；
当轴时，如图：
同理可得，
，
，
在中，令，
得，
；
在中，令，
得，
；
综上所述，当的边与y轴垂直时，E的纵坐标为12，F的纵坐标为26或E的纵坐标为26，F的纵坐标为44；
（4）解：点，，，在抛物线上，其横坐标分别为，，，，
，
，
，
，
，，，
，
，．
．
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