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七年级下册数学期末易错压轴题型（27易错+14压轴）
（苏科版教材专用）
易错题型一、幂的基础运算
易错题型二、逆用公式求值
易错题型三、零指数、负整数指数幂
易错题型四、科学记数法
易错题型五、单项式乘除计算
易错题型六、多项式乘多项式
易错题型七、乘法公式运算
易错题型八、整式的混合运算
易错题型九、多项式乘多项式——化简求值
易错题型十、图形的平移
易错题型十一、轴对称图形的识别
易错题型十二、旋转要素判断
易错题型十三、图形变换后对应点、对应线段、对应角问题
易错题型十四、坐标变换计算
易错题型十五、绕定点旋转指定角度，画出变换后图形
易错题型十六、利用变换性质，求解线段长度、角的度数
易错题型十七、二元一次方程组概念判断
易错题型十八、二元一次方程组的基础运算
易错题型十九、同解方程组
易错题型二十、二元一次方程组含参数计算
易错题型二十一、不等式概念判断
易错题型二十二、不等式性质运用
易错题型二十三、解一元一次不等式
易错题型二十四、解集数轴表示
易错题型二十五、不等式组求解
易错题型二十六、逆命题书写
易错题型二十七、基本几何推理
压轴题型一、含参数幂运算
压轴题型二、幂运算规律探究
压轴题型三、乘法公式复杂变形计算
压轴题型四、整式乘法规律探究题型
压轴题型五、几何面积结合整式综合问题
压轴题型六、图形多次变换综合问题
压轴题型七、旋转几何探究
压轴题型八、轴对称折叠问题
压轴题型九、含参数方程组综合
压轴题型十、方程组与不等式结合
压轴题型十一、二元一次方程组的实际综合应用
压轴题型十二 、一元一次不等式最值取值问题
压轴题型十三、一元一次不等式的实际综合应用
压轴题型十四、多步骤几何证明
易错题型一、幂的基础运算
1．（2025·江苏南京·二模）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）定义新运算：，则的运算结果是____________．
3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）计算：
易错题型二、逆用公式求值
4．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知 ，那么之间满足的等量关系是（　　）
A． B． C． D．
5．（25-26七年级下·江苏常州·期中）若，则的值是______．
6．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
易错题型三、零指数、负整数指数幂
7．（2026·甘肃白银·二模）下列各式中，结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）计算：_______．
9．（25-26七年级下·广东茂名·期中）计算：
(1)；
(2)．
易错题型四、科学记数法
10．（2026·河北石家庄·一模）随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生．多种AI软件崭露头角，某班级为更好地了解AI软件，计划举办手抄报展览，据统计，“豆包”AI在某功能测试中，每秒可处理数据条，若持续运行秒，则这段时间内共处理的数据条数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
11．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）计算：______（用科学记数法表示）．
12．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）在宇宙之中， 光速是目前知道的最快的速度， 可以达到， 如果我们用光速行驶， 请问我们行驶的路程为多少？
易错题型五、单项式乘除计算
13．（2026·山西临汾·三模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
14．（25-26七年级下·江西萍乡·期中）定义新运算：，那么______．
15．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）在括号中填入每个步骤相应的数学依据：
……………………（_________）
……………………（_________）
并由此归纳：单项式与单项式相乘，把它们的_________、_________分别相乘．
易错题型六、多项式乘多项式
16．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）若，则m、n的值分别为（ ）
A．5；6 B．5； C．1；6 D．1；
17．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）若，，则A______B（填“”、“”或“”）．
18．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）小Q在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小正告诉他结果中的一次项系数为．
(1)被染黑的常数为 ；
(2)请你帮助小Q算出这道题的结果．
易错题型七、乘法公式运算
19．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
20．（25-26八年级上·重庆·期末）已知，则代数式的值为___________．
21．（25-26七年级下·陕西西安·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
易错题型八、整式的混合运算
22．（2025七年级下·吉林长春·模拟预测）以下是王双同学化简的解题过程：
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
王双同学是从（ ）开始出现错误的．
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．无法确定
23．（25-26八年级上·江西上饶·期末）定义，例如．则的结果为___________
24．（25-26七年级下·陕西西安·期中）解决下列问题：
(1)化简：；
(2)先化简，再求值：；其中
易错题型九、多项式乘多项式——化简求值
25．（25-26七年级下·江苏无锡·单元测试）若且，则式子的值等于（ ）
A． B． C． D．
26．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）已知，计算的值为________．
27．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）先化简，再求值：的值，其中．
易错题型十、图形的平移
28．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）中国古典花窗图案丰富多样极具观赏价值．下列图案都是不同窗棂的一部分，其中可以看作由一个“基本图形”经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
29．（25-26七年级上·浙江·寒假作业）在下列四幅图中，哪几幅图是可以经过平移变换得来的________．
30．（24-25七年级下·江苏无锡·课后作业）如图是两个整体图案的局部，分别指出其中的基本图形，并说明怎样由基本图形平移得到整个图案．
易错题型十一、轴对称图形的识别
31．（2026·山东临沂·一模）下列四个图形，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
32．（24-25七年级下·江苏无锡·课后作业）已知直线，垂足为，则图形①与图形______成轴对称．

33．（24-25七年级下·江苏无锡·课后作业）如图所示的虚线中，哪些是图形的对称轴？
易错题型十二、旋转要素判断
34．（2025八年级·江苏常州·模拟预测）如图所示，绕着五个浮标划行．问绕行哪些浮标时是按顺时针方向？（ ）
A．1，2，3 B．1，3，5 C．2，3，4 D．2，3，5 E．2，4，5
35．（2025七年级下·江苏无锡·专题练习）观察如图所示的图案（考虑阴影），它可以看作图案的______通过______（方式）得到的．
36．（13-14七年级下·江苏无锡·课后作业）请观察图，图中是否存在这样的两个三角形，其中一个是另一个旋转得到的？
易错题型十三、图形变换后对应点、对应线段、对应角问题
37．（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到．如图，则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点是对称点 B． C． D．
38．（25-26七年级下·江西上饶·期中）如图，与关于点O成中心对称，若，则的长为_________．
39．（24-25七年级下·江西南昌·期末）我们把能二等分多边形面积的直线称为多边形的“好线”，请用无刻度的直尺作出图（1）、图（2）的“好线”．其中图（1）是一个平行四边形，图（2）由一个平行四边形和一个正方形组成．（保留作图痕迹，不写作法）

易错题型十四、坐标变换计算
40．（2025·海南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B，C在x轴正半轴上且，将绕点A顺时针旋转，得到且点D落在上，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
41．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，“笑脸”关于轴对称，已知点坐标为，则它的对称点的坐标为___________．
42．（24-25七年级下·江西鹰潭·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．
(1)将以原点为旋转中心旋转得到，画出旋转后的．
(2)平移，使点A的对应点坐标为，画出平移后的
易错题型十五、绕定点旋转指定角度，画出变换后图形
43．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（－1，5），点B的坐标为（3，3），则旋转中心O点的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（4，4） C．（2，1） D．（1，1）或（4，4）
44．（25-26七年级下·天津·月考）如图，绕某点旋转得到，则其旋转中心的坐标是______，旋转角为______度．
45．（24-25七年级下·山西运城·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，．
(1)将沿x轴向左平移4个单位长度得到，画出；
(2)将绕点逆时针旋转90°得到，画出；
(3)可由通过旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角的度数．
易错题型十六、利用变换性质，求解线段长度、角的度数
46．（24-25七年级下·广西南宁·月考）如图，图（1）是一段长方形纸带，，将纸带沿折叠，如图（2）所示，则图（2）中的的度数为（ ）
A．114° B．136° C．68° D．112°
47．（24-25七年级下·北京石景山·期末）如图所示的网格是正方形网格，是网格线交点，线段经过平移后可以得到线段______；图中与长度相等的线段是______．
48．（2026七年级下·广东广州·专题练习）如图，平面上有三个点A、B、C．
(1)根据下列语句按要求画图．
①画射线，用圆规在线段的延长线上截取（保留作图痕迹），连接线段；
②过点C画，垂足为点E；
(2)①在线段中，线段 最短，依据是 ．
易错题型十七、二元一次方程组概念判断
49．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
50．（24-25七年级下·四川眉山·期末）若关于的二元一次方程组的解为，则含的一次多项式A可以是__．
51．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）运用整体思想解决数学问题，有时会使我们的解题更加简便快捷．例如：已知，求的值．解：，当时，原式．请你借鉴上面的解题经验，解决下列问题：
(1)若，则 _________；
(2)若关于x，y的方程组的解为现有关于m，n的方程组，求代数式的值．
易错题型十八、二元一次方程组的基础运算
52．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（ ）
A．由①，得 B．由②，得
C．由①，得 D．由②，得
53．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）已知方程组则的值是________．
54．（25-26七年级下·北京顺义·期中）按要求解方程组：
(1)用“代入消元法”解方程组：
(2)用"加减消元法"解方程组：
易错题型十九、同解方程组
55．（25-26七年级下·北京通州·期中）如果关于，的方程组与有相同的解，那么的值是（ ）
A． B． C．3 D．
56．（25-26七年级下·山东泰安·期中）若关于的二元一次方程组和有相同的解，则的值为_____．
57．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）已知关于的方程组和的解相同，求的值．
易错题型二十、二元一次方程组含参数计算
58．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）已知关于的方程组，若，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
59．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）二元一次方程组中的系数“”印刷不清楚，已知此方程组的解、互为相反数，则原题中的“ ”所代表的数为_____．
60．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）宁宁准备解二元一次方程组发现系数“”印刷不清楚．
(1)他把“”当成，请你帮助宁宁解二元一次方程组；
(2)数学老师说：“你猜错了该题标准答案的结果，是一对相反数．”则原题中“”是______．
易错题型二十一、不等式概念判断
61．（25-26七年级下·河南新乡·期中）下列各式中，是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
62．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）已知下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，______是不等式．（填序号）
63．（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）判断下列各式中哪些是不等式．
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）．
（6）．
易错题型二十二、不等式性质运用
64．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，左、右托盘中黑球的质量分别为，，白球的质量为，图中体现的数学原理可表示为（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
65．（24-25七年级下·江苏无锡·课后作业）根据不等式的基本性质，若将“”变形为“”，则的取值范围为________．
66．（2026七年级下·江苏无锡·专题练习）下面的推导过程中竟然推出了的错误结果，请你指出问题究竟出在哪里．
已知：．
两边都乘2，得．
两边都减去，得，即．
两边都除以，得．
易错题型二十三、解一元一次不等式
67．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）方程组的解满足，则的取值范围为（）
A． B． C． D．
68．（25-26七年级下·北京顺义·期中）下面的框图（下图)表示小明解不等式的流程：
其中步骤“④”所用依据是______________________．
69．（2025七年级下·贵州·专题练习）下面是小星同学解不等式的过程：
解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步
①小星同学的解答过程从第_______步开始出错；
②请写出你认为正确的解答过程．
易错题型二十四、解集数轴表示
70．（25-26七年级下·海南海口·期中）把不等式的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B． C． D．
71．（24-25八年级上·河南信阳·期末）在实数范围内规定新运算“”，其规则是：，例如：已知不等式的解集在数轴上如图所示，则的值是______．
72．（2026·陕西汉中·一模）解不等式，并在如图所示的数轴上表示出该不等式的解集．
易错题型二十五、不等式组求解
73．（25-26七年级下·陕西西安·期中）若关于的不等式组有解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
74．（25-26七年级下·北京顺义·期中）已知关于x的不等式组有以下说法：
①如果，那么不等式组的解集是，
②如果不等式组的解集是，那么，
③如果不等式组的整数解只有，，0，1，那么，
④如果不等式组无解，那么，其中所有正确说法的序号是________．
75．（25-26七年级下·山东青岛·期中）解不等式（组）
(1)解一元一次不等式：；
(2)解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
易错题型二十六、逆命题书写
76．（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．每个命题都有逆命题
B．每个定理都有逆定理
C．原命题与逆命题同为真命题或同为假命题
D．定理的逆命题是真命题
77．（2026·安徽合肥·二模）请写出命题“如果，那么”的逆命题：_______．
78．（25-26七年级下·山东青岛·期末）写出下列命题的逆命题．
(1)同旁内角互补，两直线平行．
(2)如果两个角是直角，那么这两个角相等．
(3)能被4整除的数一定能被8整除．
易错题型二十七、基本几何推理
79．（12-13七年级下·江苏无锡·课后作业）当n是正整数时，一定是（ ）．
A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数
80．（24-25七年级下·北京西城·月考）桌面上摆放着杯子、勺子和筷子三样物品，分别记为．现对这三样物品按照如下步骤进行操作：第一步：杯子与左边的物品交换位置：第二步：勺子与右边的物品交换位置；第三步：筷子与左边的物品交换位置．在操作过程中，若物品左边或右边没有其他物品，则无需进行交换．若完成上述三个步骤后勺子的位置未发生改变，则三样物品的初始摆放位置从左到右依次是（填写字母）___________．
81．（24-25七年级下·江苏无锡·课后作业）如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想．
压轴题型一、含参数幂运算
1．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）解答下列各题：
(1)已知，则的值为_______．
(2)如果，求的值
(3)已知，求的值．
2．（24-25八年级上·重庆万州·期中）解决下列有关幂的问题：
(1)若，求值；
(2)若n为正整数，且，求的值．
3．（25-26七年级下·河南郑州·期中）若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题：
(1)如果，求x的值；
(2)如果，求x的值．
4．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以．请你也利用逆向思考的方法解决下列问题：
(1)若，，求的值；
(2)计算：．
5．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）探究等式的基本性质与特殊幂值的求解方法，并完成以下问题：
【课内回顾】
(1)若，则；
若（c满足条件________），则．
【阅读材料】
如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况：
①底数不为零的零指数幂，例如；
②底数为1，例如；
③底数为的偶数次幂，例如．
【知识运用】
(2)若，求x的值．
压轴题型二、幂运算规律探究
6．（24-25八年级上·河南周口·月考）阅读下列各式：，，
(1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____；
(2)应用规律：
①填空：_____，_____；
②计算：
7．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）规定两数之间的一种运算，记作；如果，那么，例如：因为，所以
（1）根据上述规定，填空：= ；= ， ．
（2）小明在研究这种运算时发现一个特例：对任意的正整数n，．小明给了如下的证明：设，所以，所以,请根据以上规律：计算：．
（3）证明下面这个等式：．
8．（24-25七年级下·山西太原·期末）探究与应用
●探究规律：计算下列各式
（1）；（2）；（3）都是正整数）
描述你发现的规律：__________________________________．
●提出猜想：根据你发现的规律，如果m，n都是正整数，那么_____________．
●验证规律：
请补充上述证明过程．
●应用规律：计算下列各式
（1）；
（2）；
（3）
9．（24-25七年级上·河南周口·期中）在学习第一章有理数时，类比小学两个正数的运算法则学习了有理数的加减法、有理数的乘除法，在第二章整式的加减时，类比第一章有理数的学习过程学习了整式的加减，那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢 我们从特殊情况入手对两个同底数幂相乘进行探究．
（1）探究
根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律
①，
②，
③，
（2）规律
（都是正整数）．
即______．（文字表达）
（3）应用
①计算；
②把看成一个整体，计算．
10．（2025·安徽合肥·三模）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，现以这组数中的各个数作为正方形的边长，依次构造一组正方形，再分别从左到右取2个，3个，4个，5个正方形拼成如下的长方形．并记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④．

(1)规律探究：如图1所示，第8个正方形的边长为________
(2)如图2所示，相应长方形的周长如表所示，
序号 ① ② ③ ④ ⑤
周长 6 10 16 x y
若按此规律继续作长方形，则________，________；
(3)拓展延伸：按一定规律排列的一列数：，，，，，，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数且，猜想x、y、z满足的关系式是________．
压轴题型三、乘法公式复杂变形计算
11．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，，所以，，
所以，得．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，，求的值；
(2)若，，求的值；
(3)若，求的值．
12．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．请根据以上信息，解答下列问题：
(1)已知，，求的值；
(2)如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，，求图中阴影部分的面积；
(3)若，则的值为______．
13．（25-26七年级下·江西抚州·期中）如图①，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）．
(1)图②中画有阴影的小正方形的边长等于_____；
(2)观察图②，代数式，与之间的等量关系为_____；
(3)思维迁移：
（i）若，求的值．
（ii）若，求的值．
14．（25-26七年级下·湖南株洲·期中）在学习完全平方公式后，我们对公式的运用作进一步探讨，请你阅读下列解题思路：
例1：已知，，，求的值．
解： ，，
例2：若y满足，求的值．
解：设，，则，
这样就可以利用例1中的方法进行求值了．请结合以上两个例题解答下列问题：
(1)若，，求的值；
(2)若x满足，求的值；
(3)若，求的值．
15．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）为落实国家关于“中学劳动教育”的要求，学校计划开辟两块正方形的种植区域．大区域边长为米，小区域边长为米（且），按图①规划，未叠合部分（阴影）面积为；按图②规划，两个小种植区重叠的部分（阴影）面积为．
请根据上述情境解答以下问题：
(1)用含，的代数式表示：____平方米，___平方米；
(2)若米，平方米，求的值．
(3)请直接写出下列问题答案：
，______．
压轴题型四、整式乘法规律探究题型
16．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【课本134页活动1：个位数字是5的两位数平方的规律】
我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
；
；
；
……
(1)填空：__________
(2)设个位数字是5的两位数中十位上数字为，请用含的式子表示题中等式蕴含的一般规律，并证明得到的规律：
(3)小航同学在上面探究的基础上，发现十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积也存在一定的规律，如：．．．．设第一个因数十位数上数字为，个位数上数字为，请你用含的式子表示这个规律_____，并用这个规律计算：．
17．（25-26七年级下·江西九江·月考）课本再现：我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图）．此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下：
(1)根据规律写出的展开式：___________．
(2)根据规律写出的展开式：___________．
(3)利用上述规律计算：．
18．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2026年4月份的月历，我们任意选择两组“Z”字形方框，将每个“Z”字形方框4个位置上的数交叉相乘，再相减．
如：；，不难发现结果都是．
2026年4月
一 二 三 四 五 六 日
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30
(1)若设框出的4个数中最小的数为n，请用含n的等式表示以上规律；
(2)利用整式的运算验证以上的规律．
19．（25-26七年级下·江苏无锡·单元测试）（1）探究发现：
小明计算下面几个题目：①，②，③，④后发现，形如的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明写出发现的规律：__________；
（2）面积说明：
上面的规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算，发现这个规律是正确的．小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积证明乘法公式，于是画出如下图形说明他发现的规律，请你帮助小明补全图中括号内的代数式；
（3）逆用规律：
学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：．
20．（24-25八年级上·福建厦门·期中）观察下列等式：
；
；
；
；
…
从这些计算结果中，你能发现什么？
(1)利用以上规律直接写出计算结果：____；
(2)更一般的，有两个两位数的因数，设它们的十位数字均为，这两个因数可以表示为和．则用含的代数式表示上述速算规律：
______；
(3)善于思考的小兮通过计算得出下列等式：
，
， …
上述材料也蕴含着某种速算规律．类比题 （2），设有两个两位数的因数，其十位数字均为，个位数分别为和______（用含的式子表达），试用含，的等式表示小兮发现的速算规律，并证明该等式．
压轴题型五、几何面积结合整式综合问题
21．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）将完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题．试通过完全平方公式变形，解决下列问题：
(1)若，则的值为______；
(2)若，求的值；
(3)如图，在长方形中，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为200，求图中阴影部分的面积和．
22．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）我们知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
(1)若，，则 ；
(2)①若，则 ；
②若，则 ；
(3)两块完全相同的三角板按如图2放置，，点在同一直线上，连接．若，求阴影部分的面积．
23．（25-26七年级下·陕西西安·期中）在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化．

(1)如图①是由边长分别为，的两个正方形和长为，宽为的两个长方形拼成的一个大正方形，根据图①所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是________________；
(2)有两个正方形，，现将放在的内部得到图②，将，并列放置后构造新的正方形得到图③，设正方形的边长为，正方形的边长为，且图②和图③中阴影部分的面积分别为6和28，现将三个正方形和两个正方形如图④摆放，求图④中阴影部分的面积．
24．（25-26七年级下·湖南湘潭·期中）如图1是一个长为．宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？_______________
(2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1：_________________________________
方法2：_________________________________
(3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：，，_______________
(4)两个正方形、如图3摆放．边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分的面积．
25．（25-26七年级下·陕西西安·期中）问题探究
在学习完全平方公式时，某数学学习小组发现：已知，，可以在不求，的值的情况下，求出的值．具体做法如下：
．
(1)若，，则___________．
(2)若满足，求的值．
同样可以应用上述方法：设，，
则，，
所以．
请参照上述方法解决问题：若，求的值．
问题解决
(3)如图，某校园艺社团在三面靠墙的空地上用长12米的篱笆（不含墙AM，AD，DN）围成一个长方形花圃，花圃的面积为20平方米，其中墙足够长，已知墙墙，墙墙，米．随着学校园艺社团成员的增加，学校在花圃旁分别以，为边向外各扩建两个正方形花圃，以为边向外扩建一个正方形花圃（如图虚线区域部分所示），求新扩建花圃的总面积．
压轴题型六、图形多次变换综合问题
26．（25-26七年级下·江苏南京·期中）【实践操作】小明同学以线段作为研究对象研究三种图形变换之间的关系．已知线段，直线和，作线段关于直线对称的线段，再作关于直线对称的线段，对应点的连线、分别与对称轴相交于点、．
【问题探究】如图①，当直线与直线平行时
(1)可看作是沿着______方向平移而成的图形，平移的距离等于线段______的长度；
(2)试说明：；
【类比探究】如图②，当直线与直线相交于点时
(3)可看作是绕着点______旋转而成的，与的数量关系为______；
(4)当直线与直线垂直时，与关于______对称；
【知识应用】
(5)由实践操作可知：平移和旋转都可转化为若干次轴对称变换，即图形的变换都可由轴对称完成．如图③，可以由经过3次轴对称变换得到，请画出3次轴对称变换的示意图（保留画图痕迹，写出必要的文字说明）．
27．（24-25七年级下·北京·单元测试）如图1，往6×6的方格纸中，给出如下三种变换：P变换，Q变换，R变换．
将图形F沿x轴向右平移1格得图形F1，称为作1次P变换；
将图形F沿y轴翻折得图形F2，称为作1次Q变换；
将图形F绕坐标原点顺时针旋转90°得图形F3，称为作1次R变换．
规定：PQ变换表示先作1次Q变换，再作1次P变换；QP变换表示先作1次P变换，再作1次Q变换；Rn变换表示作n次R变换．
解答下列问题：
（1）作R4变换相当于至少作________次Q变换；
（2）请在图2中画出图形F作R2009变换后得到的图形F4；
（3）PQ变换与QP变换是否是相同的变换？请在图3中画出PQ变换后得到的图形F5，在图4中画出QP变换后得到的图形F6．
28．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）轴对称、平移和旋转是三种重要的图形变换方式，它们的共同点就是图形的大小和形状都不变，只是改变了图形的位置．这三种图形变换之间是否存在一定的联系，小明做了如下探索：
(1)如图①在方格纸上作，作关于直线m对称的，再作，关于直线n对称的，，发现，通过作图小明发现轴对称变换与平移变换之间的关系是什么？请你画图并写出小明发现的结论．
(2)如图②在方格纸上作，作关于直线m对称的，再作关于直线n对称的，，发现，通过作图小明发现轴对称变换与旋转变换之间的关系是什么？请你画图并写出小明发现的结论．
29．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）利用图形的变换可以解决很多生活中问题．
如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的．
(1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）．
(2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）．
30．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）【阅读材料】如图1，等边各边的垂直平分线交于点O，并将分成形状、大小完全相同的六个小三角形．
将一个小三角形沿着直线翻折得到新的三角形，这样的变换记为，类似地，沿着直线，翻折分别记为，；
将一个小三角形绕着点O顺时针旋转得到新的三角形，这样的变换记为，类似地，绕着点O顺时针旋转，分别记为，；
如果先作变换，再作变换，可以记为．
例如，图2中将作变换，即：将先作变换得；再将作变换，得到．而将直接作变换也得到．
这意味着（）变换可化简为变换，即：．
【问题解决】
(1)将作变换得到______；将作变换得到______；将进行变换得到______；变换可化简为______变换．
(2)我们知道，有理数的加法运算具有交换律和结合律，即：
，．类似地，我们可以探究“”可以满足哪些运算律．
在下列等式中，你认为正确的是______．（填写所有正确的序号）
①；
②；
③．
(3)利用两次旋转和一次翻折变换，可设计出变换结果为的算法．如：，请再设计4个符合要求的算法，要求算式中不带括号，且翻折变换只能是．（直接写出答案）
压轴题型七、旋转几何探究
31．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，已知两个三角形按图①方式放置，中，，，中，，，如图②将绕点按顺时针方向，以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒（）．
(1)图①中， °；
(2)在绕点旋转的过程中，当与的一边平行时，求的值．
32．（25-26七年级下·江苏南京·单元测试）如图，在中，，于点，于点，．
(1)请简述图①变换为图②的过程．
(2)若，，求图②中的面积．
33．（24-25七年级上·福建泉州·期末）在同一平面内，三角形和三角形，，，，．三角形保持不动，三角形绕点顺时针旋转，即．
(1)如图，当与重合时，写出和的度数；
(2)三角形从（1）中的图1位置开始旋转，在旋转过程中，两个三角形有一组边互相平行时，画出图形，写出相应的度数；
(3)如图，若和分别是和的平分线，写出的大小，并说明理由．
34．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1、图2中的三角形①～⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上．
(1)如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次 得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）．
(2)如图2，三角形⑤可以看成由三角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论：
A. 1次轴对称 B. 1次旋转 C． 1次平移和1次旋转 D. 1次旋转和1次轴对称
其中，所有正确结论是 ．
35．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）将一副直角三角板（分别含、、和、、的角）叠放在量角器上，、分别平分和．
【特例感知】
（1）如图①，如果点A、O、D在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么 ．
【规律探究】
（2）如图②，如果两个直角三角板有重叠，
①当时，求的度数；（写解答过程）
②当时， （用含的式子表示）．
【解决问题】
（3）如图①，将三角板绕点O顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点O逆时针旋转，平均每秒旋转．两三角板同时旋转，当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，如果与两角平分线的夹角为，请求出t的值．
即有，
解得秒，
压轴题型八、轴对称折叠问题
36．（25-26七年级下·江苏无锡·单元测试）（1）如图，已知．若，求的度数．
（2）有一张四边形纸片，其中．把纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上的点处，是折痕．求证：．
37．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）（1）观察与发现：小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得落在边上，折痕为，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为，展平纸片后得到（如图②），小明认为是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（2）实践与运用：将长方形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图④）；再展平纸片（如图⑤），求图⑤中的大小．
38．（24-25七年级下·山东济南·期末）有一张长方形纸片，点E是边上的一定点，点F是边上一动点，连接，将沿折叠得到；点G是边上一动点，连接，将沿折叠得到．
(1)如图1，当折叠得到的与没有重叠部分时．
①当，时，______，______；
②若，求的度数．
(2)如图2，当点落在直线上时，______，______；
(3)如图3，当折叠得到的与有重叠部分时，试猜想与的数量关系，并说明理由．
39．（25-26七年级下·广东茂名·期中）综合与探究
问题情境：数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边，将纸片沿折痕折叠，点E是折痕与边的交点，点F是折痕与边的交点，点A，B的对应点分别为点，，线段与交于点G．（说明：折叠后纸带的边始终成立）
操作探究：
(1)如图1，若点E与点A重合，使点恰好落在线段上，与______是内错角，如图2，若，则的度数为______°；
(2)如图3，改变折痕的位置，其余条件不变，猜想图中和的大小关系，并说明理由；
(3)如图3，若，求的度数．
40．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）定点P在纸片内的位置如图所示：
【平行可折】按图1所示方法折叠，可以得到折痕与三角形底边平行．
①过点P折叠纸片，使得点B落在上的处，展平纸片，得到折痕． ②过点P再次折叠纸片，使得点N落在射线上． ③展平纸片，得到折痕．
（1）说明．
【平行可作】
（2）在图2中用直尺和圆规过点P作直线l，使（保留作图的痕迹，不写作法）
压轴题型九、含参数方程组综合
41．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）已知关于、的方程组
(1)请写出方程的一组正整数解；
(2)若方程组的解满足，求的值；
(3)不管取任何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个解．
42．（24-25七年级下·四川乐山·期中）已知、满足，且，求的值．
三位同学经过思考，分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于、的方程组，再求的值：
乙同学：先将方程组的两个方程相加，再求的值；
丙同学：先解方程组，再求的值；
请从中选择一种你最欣赏的解题思路来解答此题．
43．（24-25七年级下·河北张家口·期末）对于关于x，y的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足（其中为整数），则称该方程组具有性质．例如，当时，方程组的解满足，所以该方程组具有性质．
(1)判断下列关于x，y的方程组和是否具有性质，并说明理由；
(2)用表示不大于a的最大整数，例如：，；用表示大于a的最小整数，例如：，．若关于x，y的方程组具有性质，求的最小值．
44．（24-25七年级下·吉林白城·月考）（1）观察发现：材料：解方程组．
将①整体代入②，得，解得，把代入①，得，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，
请直接写出方程组的解为______；
（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组；
（3）拓展运用：若关于，的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的的所有正整数值______．
45．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）【定义】我们把关于、的两个二元一次方程与叫作“对称”二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”．
【理解】
（1）方程的“对称二元一次方程”是___________；
（2）若关于、的方程组为“对称二元一次方程组”，则___________．___________．
【探究】
（3）解下列方程组（直接写出方程组的解）：
①的解为___________；
②的解为___________，
③的解为___________；
（4）根据你的发现，直接写出方程组的解为___________；
【拓展】
（5）若关于、的方程组的解是，那么关于、的方程组的解为___________
压轴题型十、方程组与不等式结合
46．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”.
(1)已知①，②，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”；
(2)若是方程组与不等式的一组“完美解”，求a的取值范围；
(3)若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围.
47．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”．
(1)已知①，②，③，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”；
(2)若是方程组与不等式的一组“完美解”，求a的取值范围；
(3)若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围．
48．（24-25七年级下·福建漳州·期中）阅读下列材料：
解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法：
解：∵，
∴ ，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴…………①，
同理得：…………②，
由①+②得，
∴的取值范围是．
请按照上述方法，完成下列问题：
(1)已知，且，，则的取值范围是________．
(2)已知，，若成立，求的取值范围（结果用含的式子表示）．
49．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）题目：已知关于x、y的方程组，
求：（1）若，求a值；
（2）若，求a值．
问题解决：
（1）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，将可得，又因为，则a值为______；
（2）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，若将方程组中的①与②直接进行加减，已经不能解决问题，经过思考，王磊将，，得，
再将得：，又因为，…，请根据王磊的思路，求出m、n及a的值；
问题拓展：
（3）已知关于x、y的不等式组，若，求a的取值范围．
50．（24-25七年级上·吉林长春·期中）阅读理解：定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）：的“理想解”，例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”．
(1)问题解决：请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号）
①；②；③
(2)若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围；
(3)若关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数），直接写出的取值范围．
压轴题型十一、二元一次方程组的实际综合应用
51．（25-26七年级下·河南南阳·期中）为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况．
参加者 答对题数 答错题数 得分
李华 19 1 94
张飞 14 6 64
(1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？
(2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？
(3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由．
52．（2025七年级上·江苏无锡·专题练习）小明与哥哥在环形跑道上练习长跑，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒相遇一次.现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上小明，并且比小明多跑20圈.
求：
(1)若哥哥的速度为8米秒，小明的速度为4米秒，环形跑道的长度为多少米？
(2)若哥哥的速度为6米秒，则小明的速度为多少？
(3)哥哥的速度是小明的多少倍？
(4)哥哥追上小明时，小明跑了 　　圈（直接写出答案）
53．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）某快递公司使用机器人进行包裹分拣，具体分拣情况如下表所示：
甲机器人工作时间（） 乙机器人工作时间（） 分拣包裹总数（件）
信息一 2 4 1600
信息二 3 2 1400
(1)试问甲乙两台机器人每小时各拣多少件包裹？
(2)现有包裹2500件，若安排甲、乙两台机器人工作，且甲的工作时间比乙多k小时（k为正整数），两台机器人的工作时间均为整数小时，问是否存在这样的k？若存在，求出所有可能的k的值及各自的工作时间；若不存在，请说明理由．
54．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的、两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
销售时段 销售数量 销售收入
种型号 种型号
第一周 3 5 1750元
第二周 4 10 3000元
(1)求、两种型号电风扇的销售单价；
(2)超市销售完、两种型号的电风扇共25台，能否实现利润恰好为1200元的目标？请说明理由．
55．（24-25七年级上·江西赣州·期末）综合与实践
【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形，都是“优美长方形”．
【初步感知】
（1）如图1，“优美长方形”是由块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长．
若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为．
依题意可列方程________________，
解得________________，
所以，正方形的边长为________．
【解决问题】
（2）如图2，“优美长方形”是由块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积．
【深入探究】
（3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），且，，求小正方形的边长．
压轴题型十二、一元一次不等式最值取值问题
56．（24-25七年级下·北京·期末）在数据处理中通常要把一组范围很大的数据（通过某种算法）限制在需要的一定范围内．现定义一种“映射变化”：对于数组 若其中最小值为则用 替换数组中的每个数例如： 原数组为，其中最小值为15，那么是它的“映射变化”数组，这个数组的最大值是
(1)数组通过“映射变化”得到的数组是 ．
(2)若数组|的“映射变化”数组的最大值为1，求x的值．
57．（24-25七年级下·重庆渝北·月考）由得，，如果两个正数，即，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号．
例如：已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
(1)当，式子的最小值为 ：当，则当 时，式子取到最大值；
(2)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
58．（24-25七年级下·上海·月考）阅读下列材料：
问题：已知，且，，试确定的取值篮围
解决此问题的过程如下：
解：∵，，∴．∴
又
∴．
同理得：②
由①②得．
∴．
请按照上述方法，解答下列问题：
(1)若，且，，求的取值范围；（写出求解过程）
(2)若，且，，请直接写出的取值范围及其最大值．
59．（24-25七年级下·北京·月考）设是如下形式的行列的数表，
满足性质：，，，，， 且 ．
记为A的第行各数之和， 为的第列各数之和 ；记为，，， ，中的最小值．
(1)对如下数表， 求的值；
(2)设数表形如：
其中，求的最大值；
(3)对所有满足性质的行列的数表，求的最大值．
60．（2025·宁夏固原·模拟预测）【提出问题】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．
【发现问题】代数式的最小值是多少？
【探究问题】如图，点分别表示的是，则．
的几何意义是线段与的长度之和．
当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，
的最小值是3．
【解决问题】
(1)的最小值是______；
(2)利用上述思想方法解不等式：
(3)当为何值时，代数式的最小值是2．
压轴题型十三、一元一次不等式的实际综合应用
61．（24-25七年级下·广东惠州·期末）某商场经销甲、乙两种商品，甲商品每件进价15元，售价20元；乙商品每件进价35元，售价45元．
(1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润不少于750元，且不超过760元，请你通过计算求出该商场所有的进货方案；
(3)在“五 一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过300元 不优惠
超过300元且不超过400元 售价打九折
超过400元 售价打八折
按上述优惠条件，若贝贝第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品各多少件？
62．（24-25七年级下·北京顺义·期末）对于数轴上的线段AB和点，给出如下定义：若，则称点是线段AB的“近型伴随点”．
(1)如图，数轴上的A，B两点表示的数分别为0，2．
①数轴上的点表示的数分别为．在点中，线段AB的“近型伴随点”是______；
②若数轴上的点是线段AB的“近型伴随点”，则点表示的数的最小值为______；
(2)已知数轴上的A，B两点表示的数分别为两点表示的数分别为1，2m．若线段EF上存在线段AB的“近型伴随点”，求的取值范围．
63．（24-25七年级下·福建泉州·期末）受核污水排放带来的负面影响．小聪决定购置80只相同规格的网箱，从海水养殖转移到水库淡水养殖，养殖不能在同一网箱混养的A、B两种淡水鱼．他在水面租赁、购置网箱等基础建设方面投入12000元，并准备了不超过72000元，但不少于70000元的总投资资金用于该项目．据了解每只网箱养殖A、B两种淡水鱼所需投入及产出情况如表：
鱼苗投资（元） 饲料支出（元） 收获成品鱼（千克） 成品鱼售价（元/千克）
A种鱼 200 300 100 10
B种鱼 400 500 55 40
(1)设小聪用x只网箱养殖A种淡水鱼，请求出x的取值范围；
(2)养殖鱼销售时，小聪发现成品鱼价格发生变动，A种鱼的售价上涨，B种鱼的售价下降，实际获得的利润是56800元，试求a的值．（注：利润收入支出，其中收入指成品鱼收益，支出指基础建设投入、鱼苗投资及饲料支出）
64．（24-25七年级下·北京·期末）“低碳生活”是指减少二氧化碳的排放，低能量、低消耗、低开支的生活方式．生活中，一方面要采取低碳生活的方式，减少碳排放；另一方面是通过一定“碳补偿”措施，来达到平衡．查阅相关资料可确定每一“种类”消耗的碳排放系数，进而得到相应的排碳计算公式．
家居用电的二氧化碳排放量耗电量 家用自来水二氧化碳排放量自来水使用量 乘公交车的二氧化碳排放量行驶距离 驾驶汽车的二氧化碳排放量行驶距离
碳排放量 碳足迹数据标示
20.2 20
20.8 20
21 20或22皆可
23.1 24
(1)小明家某月耗电 ，用自来水，则这两项的二氧化碳排放总量是 ；
(2)小明想为我国“碳中和”的实现贡献自己的力量，他决定上下学时从乘坐汽车改为乘公交车．已知小明每天上下学乘坐汽车或乘公交车的往返距离共为，与乘坐汽车相比，每天乘公交车上下学可以减少产生碳排放量 ．植树造林也是实现“碳中和”的一种重要手段．树木通过光合作用吸收二氧化碳，并将其转化为氧气和有机物，中和碳排放．一棵树一年大约吸收二氧化碳．若小明决定在 学年均乘公交车上下学，已知该学年到校时间共182天，那么他减少的碳排放量大约相当于种植了 棵树（结果四舍五入到个位）；
(3)碳足迹标签是一种碳排放量的标示方式，让大众了解某一产品或服务所产生的碳排放量多少．碳足迹标签的数据标示有其规定，以碳排放量大于 （千克二氧化碳当量）且不超过 为例，此范围内的碳足迹数据标示只有20，22，24，……，38，等11个偶数．碳足迹数据标示决定于碳排放量与这11个偶数之中的哪一个差距最小，两者对应标示的范例如表所示．
① 若有一个产品的碳足迹数据标示为 ，则它可能的碳排放量的最大值为 ；
②当①中产品的碳排放量减少为原来的时，此产品碳足迹数据的标示可能是 ．
65．（24-25七年级下·福建泉州·期末）根据以下素材，探索完成任务．如何确定木板分配方案？
素材1：我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算制作自己的手工制品，他们买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，．
素材2：现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子．
问题解决：
(1)求出长方体收纳盒的高度．
(2)若按图1方式裁剪的木板不少于块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案．
压轴题型十四、多步骤几何证明
66．（24-25七年级下·江苏无锡·课后作业）小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
（1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾．
（2）所以．
（3）假设．
（4）那么，由，得，即，即．
请你写出这四个步骤正确的顺序______．
67．（24-25七年级下·江苏南京·月考）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题：
小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行．
小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直．
小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？
小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题…
数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明．
下面请你一起完成数学老师所说的任务．
68．（2026七年级下·江苏·专题练习）在整数除法体系中，一个正整数除以3的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑．
若我们把一个正整数a除以3所得的余数记作“a模3”，例如：记作“12模”；记作“16模”；记作“11模”．
(1)直接写出结果：36模 ；360模 ．
(2)①命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．这个命题是真命题，证明过程如下：
证明：若a模，其中a为正整数，则a能被3整除，可以设；
则；
所以能被3整除，
即模．
②命题：如果a模，其中a为正整数，那么模．是否正确？若正确，请证明，若不正确，举例说明；
(3)证明：如果a模，b模，其中a、b为正整数，那么模．
69．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性．
例如：证明命题“如果，，那么”是真命题．
证明：，（已知）
在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质）
，（已知）
在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质）
，，（已证）
．（不等式的传递性）
(1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）；
证明：且，均为正数，（已知）
不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质）
不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质）
．（不等式的传递性）
(2)请你尝试证明：若，则．
(3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明．
70．（24-25七年级下·北京·月考）数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等”
老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：
小贴士
反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法．
如图1，我们想要证明“如果直线被直线所截，，那么”
如图2
假设，过点O作直线，使，
依据基本事实______．
可得．
这样过点O就有两条直线，都平行于直线，这与基本事实______矛盾，
说明的假设是不对的，于是有．
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七年级下册数学期末易错压轴题型（27易错+14压轴）
（苏科版教材专用）
易错题型一、幂的基础运算
易错题型二、逆用公式求值
易错题型三、零指数、负整数指数幂
易错题型四、科学记数法
易错题型五、单项式乘除计算
易错题型六、多项式乘多项式
易错题型七、乘法公式运算
易错题型八、整式的混合运算
易错题型九、多项式乘多项式——化简求值
易错题型十、图形的平移
易错题型十一、轴对称图形的识别
易错题型十二、旋转要素判断
易错题型十三、图形变换后对应点、对应线段、对应角问题
易错题型十四、坐标变换计算
易错题型十五、绕定点旋转指定角度，画出变换后图形
易错题型十六、利用变换性质，求解线段长度、角的度数
易错题型十七、二元一次方程组概念判断
易错题型十八、二元一次方程组的基础运算
易错题型十九、同解方程组
易错题型二十、二元一次方程组含参数计算
易错题型二十一、不等式概念判断
易错题型二十二、不等式性质运用
易错题型二十三、解一元一次不等式
易错题型二十四、解集数轴表示
易错题型二十五、不等式组求解
易错题型二十六、逆命题书写
易错题型二十七、基本几何推理
压轴题型一、含参数幂运算
压轴题型二、幂运算规律探究
压轴题型三、乘法公式复杂变形计算
压轴题型四、整式乘法规律探究题型
压轴题型五、几何面积结合整式综合问题
压轴题型六、图形多次变换综合问题
压轴题型七、旋转几何探究
压轴题型八、轴对称折叠问题
压轴题型九、含参数方程组综合
压轴题型十、方程组与不等式结合
压轴题型十一、二元一次方程组的实际综合应用
压轴题型十二 、一元一次不等式最值取值问题
压轴题型十三、一元一次不等式的实际综合应用
压轴题型十四、多步骤几何证明
易错题型一、幂的基础运算
1．（2025·江苏南京·二模）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查幂的运算，包括同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项及幂的乘方，需逐一验证各选项是否符合对应法则．
【详解】A． ，但选项结果为，错误，不符合题意；
B． ，但选项结果为，错误，不符合题意；
C． ，但选项结果为，错误，不符合题意；
D． ，与选项结果一致，正确，符合题意；
故选：D．
2．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）定义新运算：，则的运算结果是____________．
【答案】
【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握新定义法则的运算顺序是关键．
根据新运算的定义，将 和 代入公式 进行计算即可得到答案．
【详解】解：由题意得，
故答案为：
3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）计算：
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项等知识；利用同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项的知识计算即可．
【详解】解：
．
易错题型二、逆用公式求值
4．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知 ，那么之间满足的等量关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据积的乘方运算、幂的乘方逆运算法则计算即可．
【详解】解：∵
∴．
5．（25-26七年级下·江苏常州·期中）若，则的值是______．
【答案】
【分析】直接利用已知得出，再利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形得出答案．
【详解】解：，
，
．
6．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴．
易错题型三、零指数、负整数指数幂
7．（2026·甘肃白银·二模）下列各式中，结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：选项A：，不符合题意；
选项B：，不符合题意；
选项C：，不符合题意；
选项D：，符合题意．
8．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）计算：_______．
【答案】
【详解】解：．
9．（25-26七年级下·广东茂名·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式．
易错题型四、科学记数法
10．（2026·河北石家庄·一模）随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生．多种AI软件崭露头角，某班级为更好地了解AI软件，计划举办手抄报展览，据统计，“豆包”AI在某功能测试中，每秒可处理数据条，若持续运行秒，则这段时间内共处理的数据条数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“总数据条数每秒处理数据条数运行时间”列式，计算后整理为标准科学记数法形式即可．
【详解】解：．
11．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）计算：______（用科学记数法表示）．
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和科学记数法，先计算系数的乘积，再计算同底数幂的乘法，最后将结果化为标准科学记数法形式．
【详解】解：
由于科学记数法要求系数 满足 ，
.
故答案为： ．
12．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）在宇宙之中， 光速是目前知道的最快的速度， 可以达到， 如果我们用光速行驶， 请问我们行驶的路程为多少？
【答案】
【分析】根据路程速度时间即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：
我们行驶的路程为，
答：我们行驶的路程为．
【点睛】本题考查了科学记数法以及同底数幂乘法，熟练掌握同底数幂乘法运算法则是解本题的关键．
易错题型五、单项式乘除计算
13．（2026·山西临汾·三模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A选项：∵与不是同类项，不能合并，∴A计算错误．
B选项：∵，∴B计算错误．
C选项：∵，∴C计算错误．
D选项：∵，∴D计算正确．
14．（25-26七年级下·江西萍乡·期中）定义新运算：，那么______．
【答案】
【详解】解：，
．
15．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）在括号中填入每个步骤相应的数学依据：
……………………（_________）
……………………（_________）
并由此归纳：单项式与单项式相乘，把它们的_________、_________分别相乘．
【答案】乘法交换律和结合律；乘法结合律；系数；相同字母的幂
【分析】本题考查了单项式乘单项式法则和乘法运算律，正确掌握相关运算法则和运算律是解题关键．直接利用单项式乘单项式运算法则和乘法运算律得出答案．
【详解】解：……………………（乘法交换律和结合律）
……………………（乘法结合律）
并由此归纳：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘．
故答案为：乘法交换律和结合律；乘法结合律；系数；相同字母的幂．
易错题型六、多项式乘多项式
16．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）若，则m、n的值分别为（ ）
A．5；6 B．5； C．1；6 D．1；
【答案】D
【分析】将等式左边展开，根据多项式相等时对应项系数相等，即可求出m，n的值．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
17．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）若，，则A______B（填“”、“”或“”）．
【答案】
【分析】先分别展开两个整式，再计算两式的差，根据差的正负判断大小．
【详解】解：，
∴
因此．
18．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）小Q在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小正告诉他结果中的一次项系数为．
(1)被染黑的常数为 ；
(2)请你帮助小Q算出这道题的结果．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设被染黑的常数为a，根据多项式乘以多项式的运算法则求出的展开结果，再根据一次项系数为得到关于a的方程，解方程即可得到答案；
（2）根据（1）所求，结合多项式乘以多项式的运算法则求解即可．
【详解】（1）解：设被染黑的常数为a，
则
，
∵一次项系数为，
∴，
∴，
∴被染黑的常数为；
（2）解：由（1）得
．
易错题型七、乘法公式运算
19．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：
．
20．（25-26八年级上·重庆·期末）已知，则代数式的值为___________．
【答案】/0.5
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，通过对完全平方公式变形求值是解题的关键．令，，则，由题意得，再通过对完全平方公式变形得到，即可得出答案．
【详解】解：令，，则，
∵，
∴，
∴，
即
故答案为：．
21．（25-26七年级下·陕西西安·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
易错题型八、整式的混合运算
22．（2025七年级下·吉林长春·模拟预测）以下是王双同学化简的解题过程：
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
王双同学是从（ ）开始出现错误的．
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．无法确定
【答案】A
【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先根据完全平方公式和单项式乘多项式将式子展开，再去括号，最后合并同类项，即可判断．
【详解】解：
（第一步），
（第二步），
（第三步），
王双同学是从第一步开始出现错误的，
故选：A．
23．（25-26八年级上·江西上饶·期末）定义，例如．则的结果为___________
【答案】
【分析】本题考查自定义运算，代数式运算，准确理解并代入新运算公式是解题关键．
根据新定义运算规则，将和代入公式进行计算即可．
【详解】解：根据定义， ，
则，
则．
故答案为：．
24．（25-26七年级下·陕西西安·期中）解决下列问题：
(1)化简：；
(2)先化简，再求值：；其中
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
当时，．
易错题型九、多项式乘多项式——化简求值
25．（25-26七年级下·江苏无锡·单元测试）若且，则式子的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了多项式乘多项式化简求值，先将式子 展开，再把已知条件代入计算即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，
又∵，，
∴原式，
故选：．
26．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）已知，计算的值为________．
【答案】
【分析】先将所求多项式按照多项式乘多项式法则展开，整理后得到含的代数式，再整体代入已知条件计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
27．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）先化简，再求值：的值，其中．
【答案】；
【分析】先根据多项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
易错题型十、图形的平移
28．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）中国古典花窗图案丰富多样极具观赏价值．下列图案都是不同窗棂的一部分，其中可以看作由一个“基本图形”经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：由平移只改变位置，不改变大小，形状和方向可知，四个选项中只有C选项中的图案可以由平移得到．
29．（25-26七年级上·浙江·寒假作业）在下列四幅图中，哪几幅图是可以经过平移变换得来的________．
【答案】①②④
【分析】本题考查平移的概念，正确掌握平移的概念是解题的关键．
根据平移的概念逐一判断即可求解．
【详解】解：根据平移的概念可得①②④是由平移得到的，③无法平移得到．
故答案为：①②④．
30．（24-25七年级下·江苏无锡·课后作业）如图是两个整体图案的局部，分别指出其中的基本图形，并说明怎样由基本图形平移得到整个图案．
【答案】见解析
【分析】本题考查了图形的平移，根据图案解答即可求解，正确识图是解题的关键．
【详解】
解：第一个图案的基本图形是“”，把这个图形按上、下、左、右四个方向重复平移一定的距离，就可以得到第一个图案；
第二个图案的基本图形是“”，把这个图形按上、下、左、右四个方向重复平移一定的距离，就可以得到第二个图案．
易错题型十一、轴对称图形的识别
31．（2026·山东临沂·一模）下列四个图形，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意；
B．不是轴对称图形，不符合题意；
C．不是轴对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，符合题意．
32．（24-25七年级下·江苏无锡·课后作业）已知直线，垂足为，则图形①与图形______成轴对称．

【答案】②
【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键，根据轴对称图形的定义即可得到答案．
【详解】解：观察图形可知，图形和图形是关于对称的．
故答案为：．
33．（24-25七年级下·江苏无锡·课后作业）如图所示的虚线中，哪些是图形的对称轴？
【答案】b、d、f
【分析】图形沿一条直线翻折，翻折后能够实现完全重合，这样的直线称为图形的对称轴，由此判断即可．
【详解】解：∵该图形沿着虚线b，d，f翻折，均能够实现完全重合，
∴虚线b，d，f为该图形的对称轴．
【点睛】本题考查图形的对称轴判断，理解对称轴和轴对称图形的定义是解题关键．
易错题型十二、旋转要素判断
34．（2025八年级·江苏常州·模拟预测）如图所示，绕着五个浮标划行．问绕行哪些浮标时是按顺时针方向？（ ）
A．1，2，3 B．1，3，5 C．2，3，4 D．2，3，5 E．2，4，5
【答案】D
【分析】根据图形结合旋转的定义逐一分析各个浮标的旋转方向即可判断．
【详解】解：由图可知，按照路线向上延伸，从浮标1的右侧绕过，
∴绕行浮标1是按逆时针方向；
∵接着路线向下延伸，从浮标2的上方绕过，
∴绕行浮标2是按顺时针方向；
∵接着路线向右延伸，从浮标3的左侧绕过，
∴绕行浮标3是按顺时针方向；
∵接着路线向上延伸，从浮标4的下方绕过，
∴绕行浮标4是按逆时针方向；
∵最后路线向右延伸，从浮标5的上方绕过，并从下方离开，
∴绕行浮标5是按顺时针方向，
综上所述，绕行浮标2，3，5时是按顺时针方向．
35．（2025七年级下·江苏无锡·专题练习）观察如图所示的图案（考虑阴影），它可以看作图案的______通过______（方式）得到的．
【答案】 四分之一 旋转
【分析】本题考查了旋转性质，认真观察图形，得出原图形可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的，即可作答．
【详解】解：观察图形可知，它可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的，
故答案为：四分之一，旋转．
36．（13-14七年级下·江苏无锡·课后作业）请观察图，图中是否存在这样的两个三角形，其中一个是另一个旋转得到的？
【答案】存在
【分析】本题考查了图形的旋转变化，解答本题的关键是要准确把握旋转的定义，旋转前后图形的大小和形状没有改变，只是方向发生了改变．
根据旋转的意义，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变，据此判断即可．
【详解】解：仔细观察图形，存在三角形的大小和形状没有改变，但其中一个是另一个旋转得到的．
易错题型十三、图形变换后对应点、对应线段、对应角问题
37．（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到．如图，则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点是对称点 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可．
【详解】解：A、∵与关于点O成中心对称，
∴点A与是一组对称点，故该选项正确，不符合题意；
B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等，
，故该选项正确，不符合题意；
C、，是对顶角，
∴，故该选项正确，不符合题意；
D、∵与不是对应角，
∴不成立，故该选项错误，符合题意；
故选：D．
38．（25-26七年级下·江西上饶·期中）如图，与关于点O成中心对称，若，则的长为_________．
【答案】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，成中心对称的两个图形的对应点与对称中心的连线的长度相等，据此可得答案．
【详解】解：∵与关于点O成中心对称，
∴，
故答案为：．
39．（24-25七年级下·江西南昌·期末）我们把能二等分多边形面积的直线称为多边形的“好线”，请用无刻度的直尺作出图（1）、图（2）的“好线”．其中图（1）是一个平行四边形，图（2）由一个平行四边形和一个正方形组成．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【分析】图（）过平行四边形的中心画直线即可，图（）过平行四边形和矩形的中心，画直线即可．
【详解】解：如图（1），直线即为所求（答案不唯一）．
如图（2），直线即为所求．

【点睛】本题考查了利用中心对称图形的性质进行作图及平行四边形和矩形的性质，掌握中心对称图形的性质是解题的关键．
易错题型十四、坐标变换计算
40．（2025·海南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B，C在x轴正半轴上且，将绕点A顺时针旋转，得到且点D落在上，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查坐标与图形，旋转的性质等知识，过点A作轴于点F，得出，，由旋转的性质得，，F是CD的中点，从而得出点E的坐标为．
【详解】解：如图，过点A作轴于点F，
∵点A的坐标为，
∴，，
由旋转的性质可得，，，，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，，
∴F是CD的中点，
∴，
∴，
∴点E的坐标为．
故选：B．
41．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，“笑脸”关于轴对称，已知点坐标为，则它的对称点的坐标为___________．
【答案】
【分析】根据纵坐标不变，横坐标变成相反数解答即可．
本题考查了轴对称的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：根据纵坐标不变，横坐标变成相反数，得点坐标为的对称点的坐标为，
故答案为：．
42．（24-25七年级下·江西鹰潭·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．
(1)将以原点为旋转中心旋转得到，画出旋转后的．
(2)平移，使点A的对应点坐标为，画出平移后的
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据绕点O旋转，即关于点O中心对称，根据关于原点对称的点的坐标特点，纵坐标，横坐标都变成各自的相反数，确定变换后的坐标，画图即可．
（2）根据平移，确定变化后的坐标，描点画图即可．
本题考查了坐标的平移，中心对称，旋转，熟练掌握相应的知识是解题的关键．
【详解】（1）解：解：根据题意，得，其中心对称坐标分别为，画图如下：
则即为所求．
（2）解：由，平移，使得点A的对应点的坐标为，即向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度，
故，画图如下：
则即为所求．
易错题型十五、绕定点旋转指定角度，画出变换后图形
43．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（－1，5），点B的坐标为（3，3），则旋转中心O点的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（4，4） C．（2，1） D．（1，1）或（4，4）
【答案】A
【分析】画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】解：作AC、BD的垂直平分线交于点E，
点E即为旋转中心，E（1，1），
故选：A．
【点睛】本题考查坐标与图形变换旋转，解题关键在于理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
44．（25-26七年级下·天津·月考）如图，绕某点旋转得到，则其旋转中心的坐标是______，旋转角为______度．
【答案】 90
【分析】本题主要考查了旋转中心和旋转角的确定，
先确定对应点，再作对应点连线的垂直平分线，交点即为答案，然后确定旋转角即可.
【详解】解：将绕某点旋转得到，
∴点A的对应点是点D，点B的对应点是点E.
如图，连接，作的垂直平分线，交于点，将绕点P顺时针旋转得到.
可知旋转中心是，旋转角为.
故答案为：，90.
45．（24-25七年级下·山西运城·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，．
(1)将沿x轴向左平移4个单位长度得到，画出；
(2)将绕点逆时针旋转90°得到，画出；
(3)可由通过旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)旋转中心的坐标为，旋转角的度数为
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）分别作线段，，的垂直平分线，相交于点P，则可由绕点P逆时针旋转得到，即可得出答案．
本题考查作图﹣旋转变换、作图﹣平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）如图，即为所求．
（3）分别作线段，，的垂直平分线，相交于点P，
则可由绕点P逆时针旋转得到，
∴旋转中心的坐标为，旋转角的度数为．
易错题型十六、利用变换性质，求解线段长度、角的度数
46．（24-25七年级下·广西南宁·月考）如图，图（1）是一段长方形纸带，，将纸带沿折叠，如图（2）所示，则图（2）中的的度数为（ ）
A．114° B．136° C．68° D．112°
【答案】B
【分析】本题考查平行性质的性质，折叠的性质．平行得到，再根据折叠的性质，得到图②中，用求解即可．
【详解】解：∵长方形纸带，
∴，
∴，
∵折叠，
∴图②中，
∴；
故选B．
47．（24-25七年级下·北京石景山·期末）如图所示的网格是正方形网格，是网格线交点，线段经过平移后可以得到线段______；图中与长度相等的线段是______．
【答案】
【分析】根据平移的性质去解答即可．
本题考查了平移的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得线段经过平移后可以得到线段；图中与长度相等的线段是．
故答案为：，．
48．（2026七年级下·广东广州·专题练习）如图，平面上有三个点A、B、C．
(1)根据下列语句按要求画图．
①画射线，用圆规在线段的延长线上截取（保留作图痕迹），连接线段；
②过点C画，垂足为点E；
(2)①在线段中，线段 最短，依据是 ．
【答案】(1)①图见解析；②图见解析
(2)，垂线段最短
【分析】（1）①画射线，根据尺规作图的方法画图，连接即可；②利用尺规作图-垂直平分线的作法，即可解答；
（2）根据垂线段最短，作答即可．
【详解】（1）解：①如图，射线，线段，即为所求；
②如图即为所求；
（2）解：在线段中，线段最短，依据是垂线段最短；
故答案为：，垂线段最短．
易错题型十七、二元一次方程组概念判断
49．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】二元一次方程组需满足的条件：含有两个未知数，所有方程都是整式方程，未知数的最高次数为，根据条件逐一判断选项即可．
【详解】解：A、方程中未知数的最高次数是，不是二元一次方程组；
B、方程组含有，，三个未知数，不是二元一次方程组；
C、不是整式方程，不是二元一次方程组；
D、方程组含有，两个未知数，两个方程都是整式方程，且未知数的最高次数为，符合二元一次方程组的定义．
50．（24-25七年级下·四川眉山·期末）若关于的二元一次方程组的解为，则含的一次多项式A可以是__．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，根据，可得，结合条件可得答案．
【详解】解：∵关于的二元一次方程组的解为，
∴含的一次多项式A可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
51．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）运用整体思想解决数学问题，有时会使我们的解题更加简便快捷．例如：已知，求的值．解：，当时，原式．请你借鉴上面的解题经验，解决下列问题：
(1)若，则 _________；
(2)若关于x，y的方程组的解为现有关于m，n的方程组，求代数式的值．
【答案】(1)1
(2)8
【分析】本题主要考查了代数式求值，平方差公式，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握整体思想的应用．
（1）根据进行求解即可；
（2）设，则关于s，t的方程组的解为，可得，再利用平方差公式求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：设，
∴关于m，n的方程组即为关于s、t的方程组，
∵关于x，y的方程组的解为，
∴关于s，t的方程组的解为，
∴，
∴．
易错题型十八、二元一次方程组的基础运算
52．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（ ）
A．由①，得 B．由②，得
C．由①，得 D．由②，得
【答案】B
【分析】利用等式的性质将方程整理，分别用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，对比选项得到错误变形即可．
【详解】解：，
由①得：，，故A、C不符合题意，
由②得：，，故B符合题意，D不符合题意．
53．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）已知方程组则的值是________．
【答案】6
【分析】利用整体思想，将方程组的两个方程相加，直接求出所求代数式的值．
【详解】解：，
将①和②相加，得，整理得．
54．（25-26七年级下·北京顺义·期中）按要求解方程组：
(1)用“代入消元法”解方程组：
(2)用"加减消元法"解方程组：
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
由①得，
将③代入②得，
解得
将代入③得：
∴方程组的解为：；
（2）解：
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：．
易错题型十九、同解方程组
55．（25-26七年级下·北京通州·期中）如果关于，的方程组与有相同的解，那么的值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】两个方程组有相同的解 说明公共解满足所有方程，先确定公共解为，再代入含的方程，整理即可求出的值．
【详解】解：∵两个方程组有相同的解，
∴两个方程组的公共解为，
将代入和 ，得
，
将两个方程左右两边分别相加，得
，
两边同除以4，得．
56．（25-26七年级下·山东泰安·期中）若关于的二元一次方程组和有相同的解，则的值为_____．
【答案】
【分析】将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，代入含有的两个方程中联立求得的值，再代入代数式中求解即可．
【详解】解：根据题意，
解得，，
将代入得，，
解得，，
∴．
57．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）已知关于的方程组和的解相同，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了方程组同解问题，根据方程组和的解相同，
得出这两个方程组的解也是方程组的解，然后解方程组，得出，将代入原方程组得出，求出a、b的值，最后代入求值即可．
【详解】解：因为方程组和的解相同，
所以这两个方程组的解也是方程组的解．
解得，
将代入方程组得，
解得，
所以．
易错题型二十、二元一次方程组含参数计算
58．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）已知关于的方程组，若，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了加减消元法的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
利用加减消元法可得，结合，即可求解，选出正确答案．
【详解】解：，
得：，
∵，
∴，
解得：，
故选：C．
59．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）二元一次方程组中的系数“”印刷不清楚，已知此方程组的解、互为相反数，则原题中的“ ”所代表的数为_____．
【答案】5
【详解】解： 方程组的解x，y互为相反数，
，
将代入，得：
，
即，
解得：，
，
将，代入，得：
，
即，
解得：．
60．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）宁宁准备解二元一次方程组发现系数“”印刷不清楚．
(1)他把“”当成，请你帮助宁宁解二元一次方程组；
(2)数学老师说：“你猜错了该题标准答案的结果，是一对相反数．”则原题中“”是______．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的知识点是加减消元法解二元一次方程组、已知二元一次方程组的解求参数，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
（1）加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）根据题意得出，解二元一次方程组后，将其解代入即可得解．
【详解】（1）解：，
得，，
，
将代入得，，
；
（2）解：依题意得：，
则的解与二元一次方程组的解相同，
中两式相加得，，
，
将代入得，，
即是二元一次方程组的解，
则，
．
故答案为：．
易错题型二十一、不等式概念判断
61．（25-26七年级下·河南新乡·期中）下列各式中，是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：选项A：用等号连接，是等式，不是不等式；
选项B：是代数式，没有不等关系，不是不等式；
选项C：用不等号连接，表示不等关系，符合不等式的定义；
选项D：是单独的常数，属于代数式，不是不等式．
62．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）已知下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，______是不等式．（填序号）
【答案】
①②⑥
【分析】根据不等式的定义，逐个判断所给式子，筛选出符合定义的式子即可．
【详解】解：不等式的定义为：用不等号连接的式子叫做不等式．
① 是用不等号连接的式子，是不等式；
② 是用不等号连接的式子，是不等式；
③ 是用等号连接的等式，不是不等式；
④ 是代数式，不是不等式；
⑤ 是用等号连接的等式，不是不等式；
⑥ 是用不等号连接的式子，是不等式，
故①②⑥是不等式．
63．（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）判断下列各式中哪些是不等式．
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）．
（6）．
【答案】（1）（2）（3）（6）是不等式
【分析】本题考查了不等式的概念，熟练掌握不等式的概念是解题的关键；
根据不等式的定义逐一判断是否为不等式．
【详解】解：由不等号连接，表示两个量大小关系的式子叫做不等式；
（1）由连接，是不等式．
（2）由连接，是不等式．
（3）由连接，是不等式．
（4）由连接，是等式，也是方程；不是不等式．
（5）无连接符号，是代数式，不是不等式．
（6）由连接，是不等式．
综上所述，（1）（2）（3）（6）是不等式．
易错题型二十二、不等式性质运用
64．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，左、右托盘中黑球的质量分别为，，白球的质量为，图中体现的数学原理可表示为（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【详解】解：由图可得：若，则．
65．（24-25七年级下·江苏无锡·课后作业）根据不等式的基本性质，若将“”变形为“”，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】本题考查了不等式的性质，掌握“在不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向要改变”是解答本题的关键．
根据不等式的性质即可求解．
【详解】解：∵将“”变形为“”，需要在不等号两边同时乘以，
∵不等号由“”变成“”，
∴，
故答案为：．
66．（2026七年级下·江苏无锡·专题练习）下面的推导过程中竟然推出了的错误结果，请你指出问题究竟出在哪里．
已知：．
两边都乘2，得．
两边都减去，得，即．
两边都除以，得．
【答案】见解析
【分析】注意不等式两边同时乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变．
【详解】解：∵，
∴，即是负数．
在不等式两边同时除以时，
因为除以的是一个负数，根据不等式的性质，不等号的方向应该改变，即，而不是．
易错题型二十三、解一元一次不等式
67．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）方程组的解满足，则的取值范围为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用加减消元法先解出方程组的解，再代入不等式即可求出的取值范围．
【详解】解：，
①②得，
解得．
把代入①得，
解得．
将，
代入得，
整理得，
解得：．
68．（25-26七年级下·北京顺义·期中）下面的框图（下图)表示小明解不等式的流程：
其中步骤“④”所用依据是______________________．
【答案】不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
【详解】解：步骤“④”所用依据是：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
69．（2025七年级下·贵州·专题练习）下面是小星同学解不等式的过程：
解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步
①小星同学的解答过程从第_______步开始出错；
②请写出你认为正确的解答过程．
【答案】①一；②解答过程见详解
【分析】本题考查了解一元一次不等式，准确地进行计算是解题的关键．①由题可知，第一步错误；②按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解一元一次不等式即可．
【详解】①解：第一步，去分母错误，
故答案为：一；
②解：去分母，得：
去括号，得：
移项，得：
合并同类项，得：
系数化为1，得：
易错题型二十四、解集数轴表示
70．（25-26七年级下·海南海口·期中）把不等式的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，
解得：，
在数轴上表示如图，
71．（24-25八年级上·河南信阳·期末）在实数范围内规定新运算“”，其规则是：，例如：已知不等式的解集在数轴上如图所示，则的值是______．
【答案】
【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，理解新定义的运算是正确解答的前提．
根据新定义的运算可得，解得，再由数轴所表示的解集可得即可．
【详解】解：不等式，由新运算的定义可得，
，
所以，
由数轴所表示的解集可知，
，
解得，
故答案为：．
72．（2026·陕西汉中·一模）解不等式，并在如图所示的数轴上表示出该不等式的解集．
【答案】，图见解析
【分析】根据解一元一次不等式的步骤求出解集，再表示在数轴上即可．
【详解】解：去括号可得：，
移项可得：，
合并同类项可得：，
系数化为1可得：，
表示在数轴上如图所示：
．
易错题型二十五、不等式组求解
73．（25-26七年级下·陕西西安·期中）若关于的不等式组有解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式组解集的确定规则，判断两个不等式解集存在公共部分的条件即可求解．
【详解】解：关于的不等式组有解，
两个不等式的解集必须存在公共部分，即存在实数满足 ，
．
74．（25-26七年级下·北京顺义·期中）已知关于x的不等式组有以下说法：
①如果，那么不等式组的解集是，
②如果不等式组的解集是，那么，
③如果不等式组的整数解只有，，0，1，那么，
④如果不等式组无解，那么，其中所有正确说法的序号是________．
【答案】①②/②①
【分析】先求出不等式组中各不等式的解集，再根据一元一次不等式组解集的判定方法，逐一分析每个说法即可．
【详解】解：解不等式组得，
①如果，不等式组的解集是，故本说法正确；
②如果不等式组的解集是，可得，故本说法正确；
③如果不等式组的整数解只有，，，，可得，故本说法错误；
④如果不等式组无解，可得，故本说法错误；
∴所有正确说法的序号是①②．
75．（25-26七年级下·山东青岛·期中）解不等式（组）
(1)解一元一次不等式：；
(2)解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
【答案】(1)
(2)，所有整数解的和为
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：，
由①，得；
由②，得；
∴不等式组的解集为；
∴所有整数解的和为.
易错题型二十六、逆命题书写
76．（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．每个命题都有逆命题
B．每个定理都有逆定理
C．原命题与逆命题同为真命题或同为假命题
D．定理的逆命题是真命题
【答案】A
【分析】根据命题，逆命题，定理，逆定理的基本概念，根据相关概念逐一判断选项即可得到结果．
【详解】解：根据定义，交换原命题的题设和结论即可得到原命题的逆命题．
任意命题都可以写成“如果…那么…”的形式，都能交换题设和结论得到逆命题，故每个命题都有逆命题，选项A正确．
定理是经过证明的真命题，只有定理的逆命题也是真命题时，原定理才有逆定理；若逆命题为假，原定理没有逆定理，例如“对顶角相等”是定理，它的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，原定理没有逆定理，因此B错误．
原命题的真假和逆命题的真假没有必然关系，原命题为真时逆命题可以为假，例如“对顶角相等”原命题为真，逆命题为假，因此原命题与逆命题不一定同真同假，C错误．
定理的逆命题既可能是真命题也可能是假命题，因此D错误．
77．（2026·安徽合肥·二模）请写出命题“如果，那么”的逆命题：_______．
【答案】如果，那么
【详解】解：原命题的条件是，结论是，
将条件和结论互换，得到逆命题为“如果，那么”．
78．（25-26七年级下·山东青岛·期末）写出下列命题的逆命题．
(1)同旁内角互补，两直线平行．
(2)如果两个角是直角，那么这两个角相等．
(3)能被4整除的数一定能被8整除．
【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补
(2)如果两个角相等，那么这两个角是直角
(3)如果一个数能被8整除，那么这个数能被4整除
【分析】根据逆命题是将原命题的条件与结论互换后得到的新命题进行逐项分析，即可作答．
【详解】（1）解：逆命题是“两直线平行，同旁内角互补”；
（2）解：逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是直角”；
（3）解：逆命题是“如果一个数能被8整除，那么这个数能被4整除”．
易错题型二十七、基本几何推理
79．（12-13七年级下·江苏无锡·课后作业）当n是正整数时，一定是（ ）．
A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是熟练掌握奇数与偶数的积为偶数．分n是偶数与奇数两种情况分析，同时结合奇数与偶数的积的特征即得结果．
【详解】当n是偶数时，是奇数，而偶数×奇数=偶数，偶数+奇数=奇数，则此时一定是奇数，
当n是奇数时，是偶数，而奇数×偶数=偶数，偶数+奇数=奇数，则此时一定是奇数，
故选A．
80．（24-25七年级下·北京西城·月考）桌面上摆放着杯子、勺子和筷子三样物品，分别记为．现对这三样物品按照如下步骤进行操作：第一步：杯子与左边的物品交换位置：第二步：勺子与右边的物品交换位置；第三步：筷子与左边的物品交换位置．在操作过程中，若物品左边或右边没有其他物品，则无需进行交换．若完成上述三个步骤后勺子的位置未发生改变，则三样物品的初始摆放位置从左到右依次是（填写字母）___________．
【答案】或
【分析】本题考查推理与论证，认真分析题干描述的过程得勺子在最左边或最右边，然后再分类讨论，即可作答．
【详解】解：根据题意，若完成上述三个步骤后，勺子的位置未发生改变，
则勺子在最左边或最右边，
当勺子在最左边时，则筷子在勺子的右边，杯子在最右边；
当勺子在最右边时，则杯子在勺子的左边，筷子在最左边；
∴三样物品的初始摆放位置从左到右依次是或，
故答案为：或．
81．（24-25七年级下·江苏无锡·课后作业）如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想．
【答案】一样大，理由见解析
【分析】本题考查猜想和验证，求圆的周长，设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r，根据圆的周长公式进行计算，判断即可．
【详解】解：设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r，
则．
10个小圆周长，2个小圆周长．
所以它们的周长一样大．
压轴题型一、含参数幂运算
1．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）解答下列各题：
(1)已知，则的值为_______．
(2)如果，求的值
(3)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据同底数幂的除法运算得到，进而得到，即可求解；
（2）根据幂的乘方和同底数相乘法则，即可求解；
（3）根据幂的乘方和积的乘方对所求式子进行变形，再代入求值即可．
【详解】（1）解：
，
解得；
（2）解：，
；
（3）解：，
．
2．（24-25八年级上·重庆万州·期中）解决下列有关幂的问题：
(1)若，求值；
(2)若n为正整数，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查幂的乘方以及积的乘方，
（1）根据幂的乘方法则进行计算即可；
（2）根据幂的乘方、积的乘方进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴
．
3．（25-26七年级下·河南郑州·期中）若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题：
(1)如果，求x的值；
(2)如果，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件可得：，可得，进一步可得答案；
（2）由条件可得：，可得，进一步可得答案.
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
4．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以．请你也利用逆向思考的方法解决下列问题：
(1)若，，求的值；
(2)计算：．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）逆用同底数幂的除法运算法则和逆用幂的乘方运算法则化简计算即可；
（2）逆用同底数幂的乘法运算法则和积的乘方运算法则将原式变形为，即可求解．
【详解】（1）解：
∵，
∴
解得；
（2）解：
．
5．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）探究等式的基本性质与特殊幂值的求解方法，并完成以下问题：
【课内回顾】
(1)若，则；
若（c满足条件________），则．
【阅读材料】
如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况：
①底数不为零的零指数幂，例如；
②底数为1，例如；
③底数为的偶数次幂，例如．
【知识运用】
(2)若，求x的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据等式的性质，即可求解；
（2）根据材料分三种情况讨论①当且时，②当时，③当且为偶数时，根据一个幂的结果等于，分别计算即可求解．
【详解】（1）解：，
当时，则，
因此若，当满足时，则，
故答案为：；
（2）解：分三种情况讨论如下：
①当且时，，
由，解得：，此时，
当时，；
②当时，，
由，解得：，
当时，；
③当且为偶数时，，
由，解得：，
此时不是偶数，故不合题意，舍去．
综上所述：若，则x的值为或．
压轴题型二、幂运算规律探究
6．（24-25八年级上·河南周口·月考）阅读下列各式：，，
(1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____；
(2)应用规律：
①填空：_____，_____；
②计算：
【答案】(1)，
(2)①1，1②
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）运用积的乘方法则计算求解即可；
（2）①利用积的乘方的逆运算求解即可；
②把原式变形为，进而求解．
【详解】（1）解：根据题意得，，，
故答案为：，；
（2）解：①，
，
故答案为：1，1；
②
．
7．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）规定两数之间的一种运算，记作；如果，那么，例如：因为，所以
（1）根据上述规定，填空：= ；= ， ．
（2）小明在研究这种运算时发现一个特例：对任意的正整数n，．小明给了如下的证明：设，所以，所以,请根据以上规律：计算：．
（3）证明下面这个等式：．
【答案】（1）3，0，-2；（2）0；（3）见解析
【分析】（1）根据题目中的规定，进行运算即可得出结果；
（2）可转化为，，可转化为，，从而可求解；
（3）设，，则，，从而可得，得，即有，从而得证．
【详解】（1）解：，
；
，
；
，
．
故答案为：3，0，；
（2）解：，，
，，
，，
；
（3）证明：设，，
则，，
，
，
，
，
，
又，，，
，，
【点睛】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方是解题的关键．
8．（24-25七年级下·山西太原·期末）探究与应用
●探究规律：计算下列各式
（1）；（2）；（3）都是正整数）
描述你发现的规律：__________________________________．
●提出猜想：根据你发现的规律，如果m，n都是正整数，那么_____________．
●验证规律：
请补充上述证明过程．
●应用规律：计算下列各式
（1）；
（2）；
（3）
【答案】探究规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；提出猜想：；验证规律：见详解；应用规律：（1）；（2）；（3）
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法有关的规律问题，正确理解题意找到规律是解题的关键．
探究规律：根据乘方的意义计算每个小题即可得到规律；
提出猜想：根据得到的规律即可得到答案；
验证规律：根据乘方的意义计算即可得到答案；
应用规律：根据发现的规律进行计算即可．
【详解】解：探究规律： ； ； ，发现的规律是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
提出猜想：根据发现的规律可得：；
故答案为：；
验证规律：；
应用规律：计算下列各式
（1）；
（2）；
（3）．
9．（24-25七年级上·河南周口·期中）在学习第一章有理数时，类比小学两个正数的运算法则学习了有理数的加减法、有理数的乘除法，在第二章整式的加减时，类比第一章有理数的学习过程学习了整式的加减，那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢 我们从特殊情况入手对两个同底数幂相乘进行探究．
（1）探究
根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律
①，
②，
③，
（2）规律
（都是正整数）．
即______．（文字表达）
（3）应用
①计算；
②把看成一个整体，计算．
【答案】（1）①8；②6；③（2）同底数幂相乘，底数不变，指数相加（3）①；②
【分析】本题考查了同底数幂的乘法公式的推导和应用.掌握同底数幂的乘法公式的计算公式是关键；
（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可；
（2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可；
（3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可；
【详解】（1）①，
②，
③，
故答案为：
（2），
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
（3）①；
②
10．（2025·安徽合肥·三模）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，现以这组数中的各个数作为正方形的边长，依次构造一组正方形，再分别从左到右取2个，3个，4个，5个正方形拼成如下的长方形．并记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④．

(1)规律探究：如图1所示，第8个正方形的边长为________
(2)如图2所示，相应长方形的周长如表所示，
序号 ① ② ③ ④ ⑤
周长 6 10 16 x y
若按此规律继续作长方形，则________，________；
(3)拓展延伸：按一定规律排列的一列数：，，，，，，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数且，猜想x、y、z满足的关系式是________．
【答案】(1)21
(2)26；42；
(3)
【分析】（1）根据题干中的规律求解即可；
（2）分别表示出①-③中周长的计算方法，发现规律求解即可；
（3）根据题意得出这一列数的底数均相同，连续三个数x、y、z，最后一个数的指数等于前两个数的指数的和，利用同底数幂的乘法即可得出结果．
【详解】（1）解：根据题意得：第6个正方形的边长为：3+5=8，
第7个正方形的边长为：5+8=13，第8个正方形的边长为：8+13=21，
故答案为：21；
（2）①的周长为，
②的周长为，
③的周长为，
∴④的周长为，
第⑤个的周长为：；
故答案为：26；42；
（3）根据题意得：这一列数的底数均相同，连续三个数x、y、z，最后一个数的指数等于前两个数的指数的和，
∴x、y、z满足的关系式为：；
故答案为：．
【点睛】题目主要考查数字规律探索，同底数幂的乘法，理解题意，找出相应规律是解题关键．
压轴题型三、乘法公式复杂变形计算
11．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值．
解：因为，，所以，，
所以，得．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，，求的值；
(2)若，，求的值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据完全平方公式，进行运算，即可求解；
（2）根据完全平方公式，进行运算，即可求解；
（3）根据多项式乘多项式求得，再将原式利用完全平方公式展开，整体代入求解即可．
【详解】（1）解：，，
，即，
；
（2）解：，，
，即，
，
，
，
，即，
；
（3）解：，
，
，
．
12．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．请根据以上信息，解答下列问题：
(1)已知，，求的值；
(2)如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若，，求图中阴影部分的面积；
(3)若，则的值为______．
【答案】(1)8
(2)60
(3)9
【分析】（1）根据，即可得出答案；
（2）先通过大正方形的面积减去两个空白部分的面积表示出阴影部分的面积，再根据求得，从而解出答案；
（3）设，那么，，根据求得答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，即，
∴；
（2）解：根据题意，可知空白部分的两个直角三角形，两直角边分别为，
∴阴影图形面积为：，
∵，，
∴，
∴阴影图形面积为：；
（3）解：设，
∴，
∵，即，
∴，
∴．
13．（25-26七年级下·江西抚州·期中）如图①，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）．
(1)图②中画有阴影的小正方形的边长等于_____；
(2)观察图②，代数式，与之间的等量关系为_____；
(3)思维迁移：
（i）若，求的值．
（ii）若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)（i）；（ii）5
【分析】（1）根据图形之间的关系即可得到答案；
（2）图②中画有阴影的小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个小长方形的面积，又等于其边长的平方，据此分别表示出图②中画有阴影的小正方形的面积即可得到答案；
（3）（i）根据（2）的结论代入求值即可；（ii）根据（2）的结论可得，据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，图②中画有阴影的小正方形的边长等于；
（2）解：图②中画有阴影的小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个小长方形的面积，即其面积为，
∵图②中画有阴影的小正方形的面积为，
∴；
（3）解：（i）由（2）可得，
∵，
∴；
（ii）∵，，
∴，
∴．
14．（25-26七年级下·湖南株洲·期中）在学习完全平方公式后，我们对公式的运用作进一步探讨，请你阅读下列解题思路：
例1：已知，，，求的值．
解： ，，
例2：若y满足，求的值．
解：设，，则，
这样就可以利用例1中的方法进行求值了．请结合以上两个例题解答下列问题：
(1)若，，求的值；
(2)若x满足，求的值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)40
(2)109
(3)4056
【分析】（1）根据完全平方公式变形求值即可求解；
（2）设，，则，，然后根据完全平方公式变形求值即可求解；
（3）设，，则，，然后根据完全平方公式变形求值即可求解．
【详解】（1）解： ，，
；
（2）解：设，，
则，，
，
；
（3）解：设，，
则，，
，
．
15．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）为落实国家关于“中学劳动教育”的要求，学校计划开辟两块正方形的种植区域．大区域边长为米，小区域边长为米（且），按图①规划，未叠合部分（阴影）面积为；按图②规划，两个小种植区重叠的部分（阴影）面积为．
请根据上述情境解答以下问题：
(1)用含，的代数式表示：____平方米，___平方米；
(2)若米，平方米，求的值．
(3)请直接写出下列问题答案：
，______．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）用正方形的面积差和边长差分别表示阴影面积；
（2）先利用完全平方公式变形求出，再将化简，然后整体代入计算；
（3）令，，对完全平方公式进行变形，然后整体代入计算．
【详解】（1）解：根据题图可知，
图①中，，
图②中，重合区域为正方形，且边长为，故．
（2）解：，，
，
．
（3）解：令，，
则，，
，
故．
压轴题型四、整式乘法规律探究题型
16．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【课本134页活动1：个位数字是5的两位数平方的规律】
我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
；
；
；
……
(1)填空：__________
(2)设个位数字是5的两位数中十位上数字为，请用含的式子表示题中等式蕴含的一般规律，并证明得到的规律：
(3)小航同学在上面探究的基础上，发现十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积也存在一定的规律，如：．．．．设第一个因数十位数上数字为，个位数上数字为，请你用含的式子表示这个规律_____，并用这个规律计算：．
【答案】(1)，
(2)；证明见解析
(3)（，为正整数），
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，完全平方公式，多项式乘以多项式：
（1）根据运算规律发现个位数字为5的数的平方，其结果为这个两位数的十位数字与其十位数字加1的数字相乘的结果的100倍再加上25，据此求解即可；
（2）利用完全平方公式把展开即可；
（3）证明，再利用该结论计算求解即可．
【详解】（1）解：；
；
；
……，
以此类推可知，
故答案为：，；
（2）解：由（1）可得（，为正整数），
证明：
（，为正整数）；
（3）解：
，
∴．
故答案为：（，为正整数）．
17．（25-26七年级下·江西九江·月考）课本再现：我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图）．此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下：
(1)根据规律写出的展开式：___________．
(2)根据规律写出的展开式：___________．
(3)利用上述规律计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)64
【分析】（1）根据给定的式子推导出的展开式即可；
（2）将代入（1）中的结论，即可得出结果；
（3）根据算式的特点，得到，进行求解即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：∵，
∴当时：；
（3）解：
，
符合展开式（系数为），
∴
．
18．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2026年4月份的月历，我们任意选择两组“Z”字形方框，将每个“Z”字形方框4个位置上的数交叉相乘，再相减．
如：；，不难发现结果都是．
2026年4月
一 二 三 四 五 六 日
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30
(1)若设框出的4个数中最小的数为n，请用含n的等式表示以上规律；
(2)利用整式的运算验证以上的规律．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）用代数式表示各数，然后写出规律即可；
（2）利用多项式的乘法，合并同类项等知识解答即可．
【详解】（1）解：设最小的数为n，第二个数为，下面的数为即，最后一个数为即；
规律表示为：；
（2）解：左边
右边，
∴规律成立．
19．（25-26七年级下·江苏无锡·单元测试）（1）探究发现：
小明计算下面几个题目：①，②，③，④后发现，形如的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明写出发现的规律：__________；
（2）面积说明：
上面的规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算，发现这个规律是正确的．小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积证明乘法公式，于是画出如下图形说明他发现的规律，请你帮助小明补全图中括号内的代数式；
（3）逆用规律：
学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【分析】本题主要考查了多项式乘法．
（1）利用多项式乘以多项式的法则相乘即可得到结论；
（2）通过总结（1）的计算结果：，再结合图形的面积，即可得到答案；
（3）观察运算结果发现，一次项系数是两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，，
，，
总结规律为：，
故答案为：；
（2）根据（1）中总结的规律：，
结合图形的面积可知：为长方形的面积，
则为长方形的宽，为长方形的长，
如图所示；
（3）根据小明发现的规律，可得．
20．（24-25八年级上·福建厦门·期中）观察下列等式：
；
；
；
；
…
从这些计算结果中，你能发现什么？
(1)利用以上规律直接写出计算结果：____；
(2)更一般的，有两个两位数的因数，设它们的十位数字均为，这两个因数可以表示为和．则用含的代数式表示上述速算规律：
______；
(3)善于思考的小兮通过计算得出下列等式：
，
， …
上述材料也蕴含着某种速算规律．类比题 （2），设有两个两位数的因数，其十位数字均为，个位数分别为和______（用含的式子表达），试用含，的等式表示小兮发现的速算规律，并证明该等式．
【答案】(1)9021
(2)
(3)，规律为，理由见详解
【分析】本题主要考查整式乘法的相关规律问题，解题的关键是理解题意；
（1）根据题意直接写出答案即可；
（2）根据题意及（1）中计算结果可得出该计算的一般规律；
（3）利用代数式表示两个乘数，根据整式的运算即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：；
；
；
；
…；
∴；
故答案为9021；
（2）解：由（1）可得：
；
故答案为；
（3）解：由题意可知：设有两个两位数的因数，其十位数字均为，个位数分别为和，则小兮发现的规律为，证明如下：
．
压轴题型五、几何面积结合整式综合问题
21．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）将完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题．试通过完全平方公式变形，解决下列问题：
(1)若，则的值为______；
(2)若，求的值；
(3)如图，在长方形中，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为200，求图中阴影部分的面积和．
【答案】(1)12
(2)68
(3)416
【分析】（1）利用完全平方公式的变形运算计算即可；
（2）利用完全平方公式的变形运算计算即可；
（3）由题意可得，，，即得，再利用完全平方公式的变形运算计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：由题意可得，，，
∵长方形的面积为200，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积和为416．
22．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）我们知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
(1)若，，则 ；
(2)①若，则 ；
②若，则 ；
(3)两块完全相同的三角板按如图2放置，，点在同一直线上，连接．若，求阴影部分的面积．
【答案】(1)12
(2)①5；②7
(3)
【分析】（1）求出即可得到答案；
（2）①先求出，则可得到，据此可得答案；②先求出，再根据计算求解即可；
（3）设，则根据题意可得，根据计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
②∵，，
∴．
（3）解：设，
∵，
∴，
∴，
∴
．
23．（25-26七年级下·陕西西安·期中）在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化．

(1)如图①是由边长分别为，的两个正方形和长为，宽为的两个长方形拼成的一个大正方形，根据图①所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是________________；
(2)有两个正方形，，现将放在的内部得到图②，将，并列放置后构造新的正方形得到图③，设正方形的边长为，正方形的边长为，且图②和图③中阴影部分的面积分别为6和28，现将三个正方形和两个正方形如图④摆放，求图④中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)62
【分析】（1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图①的面积即可；
（2）由图②和③中阴影部分的面积分别为6和28得到，，再根据代入计算即可．
【详解】（1）解：图①中大正方形的边长为，因此面积为，
拼成图①的四个部分的面积和为，
所以有；
（2）∵图②和图③中阴影部分的面积分别为6和28，即，，
∴，
∴
．
24．（25-26七年级下·湖南湘潭·期中）如图1是一个长为．宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？_______________
(2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1：_________________________________
方法2：_________________________________
(3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：，，_______________
(4)两个正方形、如图3摆放．边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)；
(3)
(4)
【分析】（1）观察图2，阴影部分的边长就是长方形的长与宽的差，即；
（2）本题可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；也可以用正方形的面积减去四个小长方形的面积，得阴影部分的面积；
（3）由（2）即可得出三个代数式之间的等量关系；
（4）根据题意可得，则可得到，据此可得，再根据（3）可求出，据此结合三角形的面积公式可得答案．
【详解】（1）解：由题意得，图2中的阴影部分的正方形的边长等于；
（2）解：方法1：图2中的阴影部分是一个边长为的正方形，其面积为；
方法2：图2中的阴影部分的面积等于一个边长为的正方形面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积，其面积为．
（3）解：由（2）可得三个代数式之间的等量关系是：；
（4）解：∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴．
25．（25-26七年级下·陕西西安·期中）问题探究
在学习完全平方公式时，某数学学习小组发现：已知，，可以在不求，的值的情况下，求出的值．具体做法如下：
．
(1)若，，则___________．
(2)若满足，求的值．
同样可以应用上述方法：设，，
则，，
所以．
请参照上述方法解决问题：若，求的值．
问题解决
(3)如图，某校园艺社团在三面靠墙的空地上用长12米的篱笆（不含墙AM，AD，DN）围成一个长方形花圃，花圃的面积为20平方米，其中墙足够长，已知墙墙，墙墙，米．随着学校园艺社团成员的增加，学校在花圃旁分别以，为边向外各扩建两个正方形花圃，以为边向外扩建一个正方形花圃（如图虚线区域部分所示），求新扩建花圃的总面积．
【答案】(1)53
(2)
(3)平方米
【分析】（1）根据材料介绍方法解答即可；
（2）仿照操作方法解答即可；
（3）设米，则米，米，然后根据“花圃的面积为20平方米”列方程求得，然后再列式求得扩建花圃的面积即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：；
（2）解：设，，
则，，
所以
（3）解：设米，则米，米．
因为（平方米），
所以（平方米）．
因为（米），
所以新扩建花圃的总面积：
（平方米）．
压轴题型六、图形多次变换综合问题
26．（25-26七年级下·江苏南京·期中）【实践操作】小明同学以线段作为研究对象研究三种图形变换之间的关系．已知线段，直线和，作线段关于直线对称的线段，再作关于直线对称的线段，对应点的连线、分别与对称轴相交于点、．
【问题探究】如图①，当直线与直线平行时
(1)可看作是沿着______方向平移而成的图形，平移的距离等于线段______的长度；
(2)试说明：；
【类比探究】如图②，当直线与直线相交于点时
(3)可看作是绕着点______旋转而成的，与的数量关系为______；
(4)当直线与直线垂直时，与关于______对称；
【知识应用】
(5)由实践操作可知：平移和旋转都可转化为若干次轴对称变换，即图形的变换都可由轴对称完成．如图③，可以由经过3次轴对称变换得到，请画出3次轴对称变换的示意图（保留画图痕迹，写出必要的文字说明）．
【答案】(1)；
(2)见解析
(3)，
(4)点成中心
(5)画图见解析
【分析】（1）根据平移和轴对称的性质求解即可；
（2）根据轴对称的性质即可得证；
（3）根据旋转和轴对称的性质求解即可；
（4）画出符合题意的图形，然后根据中心对称的定义判断即可；
（5）以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线，以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线,据此即可作出．
【详解】（1）解：当直线与直线平行时：可看作是沿着方向平移而成的图形，平移的距离等于线段的长度；
（2）解：根据题意得，，，
∴；
（3）解：当直线与直线相交于点时：
可看作是绕着点旋转而成的，
，，
∴，
∴与的数量关系为；
（4）解：当直线与直线垂直时，
与的对称关系是关于点O成中心对称；
（5）解：如图：以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线，以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线．
．
27．（24-25七年级下·北京·单元测试）如图1，往6×6的方格纸中，给出如下三种变换：P变换，Q变换，R变换．
将图形F沿x轴向右平移1格得图形F1，称为作1次P变换；
将图形F沿y轴翻折得图形F2，称为作1次Q变换；
将图形F绕坐标原点顺时针旋转90°得图形F3，称为作1次R变换．
规定：PQ变换表示先作1次Q变换，再作1次P变换；QP变换表示先作1次P变换，再作1次Q变换；Rn变换表示作n次R变换．
解答下列问题：
（1）作R4变换相当于至少作________次Q变换；
（2）请在图2中画出图形F作R2009变换后得到的图形F4；
（3）PQ变换与QP变换是否是相同的变换？请在图3中画出PQ变换后得到的图形F5，在图4中画出QP变换后得到的图形F6．
【答案】（1）2；（2）见解析；（3）不是见解析．
【分析】（1）R4变换即顺时针旋转360°，若作Q变换即翻折2次得到原图形；
（2）根据2009÷4=502…1，即变换后的图形和进行一次顺时针旋转90°变换，作出旋转90°的图形即可；
（3）根据PQ变换表示先作1次Q变换，再作1次P变换；QP变换表示先作1次P变换，再作1次Q变换作出图形即可
【详解】（1）R4变换即顺时针旋转360°，若作Q变换即翻折2次得到原图形
故答案为：2；
（2）根据2009÷4=502…1，即变换后的图形和进行一次顺时针旋转90°变换，作出旋转90°的图形即可，如图2，；
（3）变换PQ与变换QP不是相同的变换．
根据PQ变换表示先作1次Q变换，再作1次P变换；QP变换表示先作1次P变换，再作1次Q变换作出图形，如图3,4，
【点睛】本题考查了图形平移，旋转和轴对称变换，理解题意和掌握以上图形变换是解题的关键．
28．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）轴对称、平移和旋转是三种重要的图形变换方式，它们的共同点就是图形的大小和形状都不变，只是改变了图形的位置．这三种图形变换之间是否存在一定的联系，小明做了如下探索：
(1)如图①在方格纸上作，作关于直线m对称的，再作，关于直线n对称的，，发现，通过作图小明发现轴对称变换与平移变换之间的关系是什么？请你画图并写出小明发现的结论．
(2)如图②在方格纸上作，作关于直线m对称的，再作关于直线n对称的，，发现，通过作图小明发现轴对称变换与旋转变换之间的关系是什么？请你画图并写出小明发现的结论．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查图形的对称、平移、旋转等变换．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180度后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．
（1）观察本题中图案的特点，根据轴对称、平移的特征进行判断作答；
（2）观察本题中图案的特点，根据轴对称、旋转的特征进行判断作答．
【详解】（1）解：作图如图，图形依次经过两条平行直线作两次轴对称变换相当于作一次平移变换；
（2）解：作图如图，图形依次以某两条互相垂直的直线作两次轴对称变换相当于以垂足为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转（中心对称变换）．
29．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）利用图形的变换可以解决很多生活中问题．
如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的．
(1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）．
(2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键；
（1）第一个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的；第二个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的；
（2）分别作P关于的对称点，连接分别交于，连接，由对称性可得：，则，根据两点之间线段最短可知，最小．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：如图，
30．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）【阅读材料】如图1，等边各边的垂直平分线交于点O，并将分成形状、大小完全相同的六个小三角形．
将一个小三角形沿着直线翻折得到新的三角形，这样的变换记为，类似地，沿着直线，翻折分别记为，；
将一个小三角形绕着点O顺时针旋转得到新的三角形，这样的变换记为，类似地，绕着点O顺时针旋转，分别记为，；
如果先作变换，再作变换，可以记为．
例如，图2中将作变换，即：将先作变换得；再将作变换，得到．而将直接作变换也得到．
这意味着（）变换可化简为变换，即：．
【问题解决】
(1)将作变换得到______；将作变换得到______；将进行变换得到______；变换可化简为______变换．
(2)我们知道，有理数的加法运算具有交换律和结合律，即：
，．类似地，我们可以探究“”可以满足哪些运算律．
在下列等式中，你认为正确的是______．（填写所有正确的序号）
①；
②；
③．
(3)利用两次旋转和一次翻折变换，可设计出变换结果为的算法．如：，请再设计4个符合要求的算法，要求算式中不带括号，且翻折变换只能是．（直接写出答案）
【答案】(1)；；；
(2)②③
(3)见解析
【分析】本题主要考查了旋转，轴对称，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意作出对应的变换即可得到答案；
（2）以为开始图形，分别作出对应变换后的图形，看是否一致即可得到答案；
（3）以为开始图形，作得到，当一开始作变换时，则作变换后得到，而到要么旋转120度，要么旋转480度；当最后作变换时，则前两次变换后得到，即前面两次变换要么旋转240度，要么选择360度；当第二次作变换时，讨论第一次作变换，进而确定第三次变换即可．
【详解】（1）解：由题意得，将作变换得到；
将作变换得到；
将进行变换得到，将作变换得到，
∴将进行变换得到，
∴变换可化简为变换；
（2）解：将作变换得到，
将作变换得到，
∴将作变换得到，
将作变换得到，
将作变换得到，
∴将作变换得到，
∴，故①不正确；
∵作相当于把原图形绕点O先顺时针旋转120度，再绕点O顺时针旋转240度，
∴作相当于把原图形绕点O顺时针旋转360度；
∵作相当于把原图形绕点O先顺时针旋转240度，再绕点O顺时针旋转120度，
∴作相当于把原图形绕点O顺时针旋转360度；
∴，故②正确；
∵将作变换得到，
∴将作变换得到；
∵将作变换得到，
∴将作变换得到，
∴将作变换得到，
∴，故③正确；
（3）解：由题意得，，，；
，，；
，，．
压轴题型七、旋转几何探究
31．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，已知两个三角形按图①方式放置，中，，，中，，，如图②将绕点按顺时针方向，以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒（）．
(1)图①中， °；
(2)在绕点旋转的过程中，当与的一边平行时，求的值．
【答案】(1)15
(2)的值为9或15或27．
【分析】（1）根据三角板的特点，图形结合分析即可求解；
（2）根据题意，分类讨论：第一种情况：；第二种情况： ；第三种情况：；图形结合，根据角度的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，；
（2）解：第一种情况：如图所示，，
∴，
∴，
即点在上，
∵，
∴；
第二种情况：如图所示，，
∴，
∴，
∴；
第三种情况：如图所示，，
∴，
∴；
综上所述，的值为9或15或27．
32．（25-26七年级下·江苏南京·单元测试）如图，在中，，于点，于点，．
(1)请简述图①变换为图②的过程．
(2)若，，求图②中的面积．
【答案】(1)把绕点逆时针旋转得到
(2)6
【分析】本题主要考查图形变换，三角形的面积，理解题意是解题的关键．
（1）通过旋转变换理解图形的变化过程即可；
（2）根据旋转的性质得到，，再通过平行线的性质、等量代换、两个锐角互余的三角形为直角三角形得到是直角三角形，最后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：把绕点逆时针旋转得到．
（2）解：由（1）可知，由通过旋转得到的，
，．
，，
，
．
，
，
．
，
．
33．（24-25七年级上·福建泉州·期末）在同一平面内，三角形和三角形，，，，．三角形保持不动，三角形绕点顺时针旋转，即．
(1)如图，当与重合时，写出和的度数；
(2)三角形从（1）中的图1位置开始旋转，在旋转过程中，两个三角形有一组边互相平行时，画出图形，写出相应的度数；
(3)如图，若和分别是和的平分线，写出的大小，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)画图见解析；或或
(3)；理由见解析
【分析】本题考查了作图旋转变换，余角的定义和性质以及角平分线，关键是明确同角的余角相等，灵活运用角的和差关系进行计算．
（1）根据直角三角形的性质即可解决问题；
（2）分三种情况画图，根据平行线的性质即可解决问题；
（3）根据角平分线定义与角的和差即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，当与重合时，
三角形和三角形，，，，，
，；
（2）解：①如图，，
，
②如图，，
，
③如图，延长交于点，
，
，
，
，
，
综上所述：度数为或或；
（3），理由如下：
如图2，平分，
，
平分，
，
．
34．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1、图2中的三角形①～⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上．
(1)如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次 得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）．
(2)如图2，三角形⑤可以看成由三角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论：
A. 1次轴对称 B. 1次旋转 C． 1次平移和1次旋转 D. 1次旋转和1次轴对称
其中，所有正确结论是 ．
【答案】(1)旋转，轴对称
(2)BC
【分析】本题考查几何变换的类型，轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换，旋转变换的性质．
（1）根据轴对称变换，旋转变换的性质判断即可；
（2）三角形⑤可以看成由三角形④绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到．
【详解】（1）解：如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次旋转得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次轴对称得到．
故答案为：旋转，轴对称；
（2）三角形⑤可以看成由三角形④经过绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到．
故答案为：BC．
35．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）将一副直角三角板（分别含、、和、、的角）叠放在量角器上，、分别平分和．
【特例感知】
（1）如图①，如果点A、O、D在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么 ．
【规律探究】
（2）如图②，如果两个直角三角板有重叠，
①当时，求的度数；（写解答过程）
②当时， （用含的式子表示）．
【解决问题】
（3）如图①，将三角板绕点O顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点O逆时针旋转，平均每秒旋转．两三角板同时旋转，当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，如果与两角平分线的夹角为，请求出t的值．
【答案】（1）；（2））①，②；（3）存在，t的值为或秒
【分析】（1）本题由角平分线性质可知，，再利用，即可解题．
（2）①本题由题意得到，根据，，得到，，再利用，即可解题．
②本题求解过程与①类似．
（3）本题根据与两角平分线的夹角为，分为以下两种情况①与相遇前，②与相遇后，再根据旋转过程中的等量关系，建立等式求解，即可解题．
【详解】（1）解：、分别平分和
，，
，
故答案为：．
（2）解：①，
，
，，
．
②，
，
，，
，
故答案为：．
（3）解：存在，t的值为或秒，理由如下：
由题知，
与两角平分线的夹角为，
①与相遇前，
由（2）②可知，
即，
解得秒；
②与相遇后，
记旋转到，旋转到，且，
有，
即有，
解得秒，
综上所述， t的值为或秒．
【点睛】本题考查角平分线的性质、代数式的相关知识、角的运算、旋转的性质，解题的关键在于找出几何图形中角度的数量关系．
压轴题型八、轴对称折叠问题
36．（25-26七年级下·江苏无锡·单元测试）（1）如图，已知．若，求的度数．
（2）有一张四边形纸片，其中．把纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上的点处，是折痕．求证：．
【答案】（1）（2）见解析
【分析】本题主要考查折叠的性质及平行线的性质与判定，熟练掌握折叠的性质及平行线的性质与判定是解题的关键．
（1）利用平行线的性质，得，，计算后得；
（2）为折叠线，得，从而得到．
【详解】解：（1），
．
，
，
，
，
（2）证明：由折叠的性质，得．
，
，
．
37．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）（1）观察与发现：小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得落在边上，折痕为，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为，展平纸片后得到（如图②），小明认为是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（2）实践与运用：将长方形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图④）；再展平纸片（如图⑤），求图⑤中的大小．
【答案】（1）同意，见解析；（2）
【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．
（1）第一次折叠，落在边上，则折痕平分，；第二次折叠，A、D重合，则；易证得，得，再根据第二次折叠所得到的，可证得四边形的四边相等，利用等腰三角形的判定方法即可得到为等腰三角形．
（2）根据折叠的性质得到四边形是正方形，；，而，得，则为等腰三角形，得到．
【详解】解：（1）同意；
理由如下：连接、，如图，
由第一次折叠可知：为的平分线，
，
由第二次折叠可知：，，，
，
，
∵
∴≌，
，
是等腰三角形；
（2）由折叠知，四边形是正方形，，
．
又由折叠知，，
又，
．
38．（24-25七年级下·山东济南·期末）有一张长方形纸片，点E是边上的一定点，点F是边上一动点，连接，将沿折叠得到；点G是边上一动点，连接，将沿折叠得到．
(1)如图1，当折叠得到的与没有重叠部分时．
①当，时，______，______；
②若，求的度数．
(2)如图2，当点落在直线上时，______，______；
(3)如图3，当折叠得到的与有重叠部分时，试猜想与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①；；②
(2)；0
(3)，见详解
【分析】本题考查了图形的翻折，角度的和差，由翻折前后角度不变且相等结合等量代换，利用平角为求解角度是解决本题的关键．
（1）①根据平角为即可求解，再根据三角形翻折可得角度相等，即可求解；
②根据三角形翻折可得，，再由平角为，整体求解的度数，即可求解；
（2）根据点落在直线，以及图形翻折可得，且这四个角相加为求解即可；
（3）根据图形翻折可得，，设出未知数x和y，由平角表示出角的关系即可求解．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∵由翻折得到，由由翻折得到，
∴，，
∴，
故答案为：；；
②∵由翻折得到，由由翻折得到，
∴，，
∵，
∴，
即，
则有，
解得，
∴；
（2）解：∵由翻折得到，由由翻折得到，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴，
，
故答案为：；0；
（3）解：，理由如下：
设，，
则，
∴，
∵，
即，
∴，
即．
39．（25-26七年级下·广东茂名·期中）综合与探究
问题情境：数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边，将纸片沿折痕折叠，点E是折痕与边的交点，点F是折痕与边的交点，点A，B的对应点分别为点，，线段与交于点G．（说明：折叠后纸带的边始终成立）
操作探究：
(1)如图1，若点E与点A重合，使点恰好落在线段上，与______是内错角，如图2，若，则的度数为______°；
(2)如图3，改变折痕的位置，其余条件不变，猜想图中和的大小关系，并说明理由；
(3)如图3，若，求的度数．
【答案】(1)，45
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据内错角的定义即可得到与是内错角，先推导出，再根据折叠的性质，得到，即可解答；
（2）先推导出，，则，即可解答；
（3）先推导出，再求出，根据将纸片沿折痕EF折叠，得到，则，即可解答．
【详解】（1）解：如图1
∵点E与点A重合，使点恰好落在线段上，
∴与是内错角，
如图2，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图
，
，
，
，
；
（3）解：如图
，
，
，
，
∵将纸片沿折痕折叠，
，
，
．
40．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）定点P在纸片内的位置如图所示：
【平行可折】按图1所示方法折叠，可以得到折痕与三角形底边平行．
①过点P折叠纸片，使得点B落在上的处，展平纸片，得到折痕． ②过点P再次折叠纸片，使得点N落在射线上． ③展平纸片，得到折痕．
（1）说明．
【平行可作】
（2）在图2中用直尺和圆规过点P作直线l，使（保留作图的痕迹，不写作法）
【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，尺规作图-作角等，掌握折叠前后图形的对应角相等是解题的关键．
（1）根据折叠的性质和平行线的判定即可证明；
（2）根据作一个角等于已知角的作法作图即可；
【详解】解：（1）如图：
∵，，
∴，
同理可得，
∴．
（2）连接并延长，与交于点，作，则，即．
如图：
．
压轴题型九、含参数方程组综合
41．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）已知关于、的方程组
(1)请写出方程的一组正整数解；
(2)若方程组的解满足，求的值；
(3)不管取任何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个解．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)
(3)
【分析】（1）令x取一正整数，代入求出即可；
（2）先通过方程组解出x、y的值，再将x、y代入代数式求出m即可；
（3）将原式进行变换后即可求出这个固定解．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
∴方程的一组正整数解为；
（2）解：∵方程组的解满足，
∴，解得：，
把代入得：，
解得：；
（3）解：，
整理得：，

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