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八年级下册数学期末易错压轴题型（28易错+14压轴）
（苏科版教材专用）
易错题型一、样本估算总体
易错题型二、图表提取信息计算
易错题型三、概率基本概念
易错题型四、根据概率估总数
易错题型五、平行四边形证明
易错题型六、矩形判定证明
易错题型七、菱形判定证明
易错题型八、正方形判定证明
易错题型九、四边形周长、面积计算
易错题型十、四边形中折叠题型计算
易错题型十一、四边形中线段最值计算
易错题型十二、中位线计算
易错题型十三、提公因式法分解
易错题型十四、公式法分解
易错题型十五、综合提公因式和公式法分解因式
易错题型十六、十字相乘法
易错题型十七、分组分解法
易错题型十八、因式分解简便计算
易错题型十九、分式概念判定
易错题型二十、取值条件求解
易错题型二十一、分式四则混合运算
易错题型二十二、先化简再代入求值
易错题型二十三、根据分式方程解的情况求值
易错题型二十四、最简二次根式判定
易错题型二十五、二次根式大小比较
易错题型二十六、同类二次根式
易错题型二十七、二次根式的混合运算
易错题型二十八、分母有理化
压轴题型一、多种统计图联动综合计算
压轴题型二、实际生活概率分析
压轴题型三、四边形中动点探究题
压轴题型四、特殊四边形存在性分类讨论
压轴题型五、四边形几何探究变式题
压轴题型六、复杂多项式多层分解
压轴题型七、因式分解整体代入求值
压轴题型八、含参数因式分解
压轴题型九、规律探究分解题型
压轴题型十、分式规律探究计算
压轴题型十一、分式方程的实际综合应用
压轴题型十二、二次根式新定义运算
压轴题型十三、二次根式与几何结合
压轴题型十四、二次根式规律探究题
易错题型一、样本估算总体
1．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）为了解某市八年级学生每天体育运动时间，从该市八年级学生中抽取100名学生进行调查．下列叙述错误的是（ ）
A．被抽取的100名学生每天体育运动的时间是总体的一个样本
B．该市八年级学生每天体育运动时间的全体是总体
C．该市每个八年级学生每天体育运动的时间是个体
D．样本容量是100名
【答案】D
【详解】解：A、被抽取的100名学生每天体育运动的时间是总体的一个样本，正确；
B、该市八年级学生每天体育运动时间的全体是总体，正确；
C、每个八年级学生每天体育运动的时间是个体，正确；
D、样本容量是样本中个体的数目，是纯数值，不带单位，“样本容量是100名”的叙述错误．
2．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）为了解某区八年级6000名学生期末测试成绩的情况，从中抽取了600名学生的测试成绩进行统计分析，则这次调查的样本容量是_____．
【答案】600
【分析】根据样本容量是样本中包含的个体的数目，不带单位，直接求解即可．
【详解】解：由题意可知，抽取了600名学生的测试成绩进行统计分析，
因此这次调查的样本容量是．
3．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）时代中学八年级共个班，为了了解本年级学生一周中收看电视节目所用的时间，小亮利用放学时在校门口调查了他认识的名八年级同学．
(1)小亮的调查是抽样调查吗？
(2)如果是抽样调查，指出调查的总体、个体和样本容量．
【答案】(1)是抽样调查
(2)调查的总体是时代中学全体八年级学生一周中收看电视节目所用的时间；个体是每个同学一周中收看电视节目所用的时间；样本容量是
【分析】（1）小亮没有调查八年级全部学生，只是选取了其中名学生进行调查，符合“从总体中抽取部分个体进行研究”的抽样调查定义；
（2）根据总体、个体和样本容量概念回答即可．
【详解】（1）解：小亮的调查是抽样调查；
（2）解：调查的总体是时代中学全体八年级学生一周中收看电视节目所用的时间；个体是每个同学一周中收看电视节目所用的时间；样本容量是60．
【点睛】描述总体、个体时，必须明确核心考察对象是“一周中收看电视节目所用的时间”，不可仅表述为“学生”；样本容量的表述需严格遵循“纯数字”规范，避免出现“名学生”这类带单位的错误表述．
易错题型二、图表提取信息计算
4．（2026八年级下·江苏·专题练习）某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量，并绘制了折线统计图．其中1至7月份每月阅读课外书本数的最大值比最小值多（ ）
A．39 B．44 C．45 D．50
【答案】D
【详解】解：由折线统计图可得每月阅读课外书本数的最大值为，最小值为，
∴每月阅读课外书本数的最大值比最小值多，
5．（2026·江苏扬州·二模）为了解学生对体育用品的需求量，某兴趣小组在校园内随机调查了100名该校学生（每名被调查的学生选择且只选择一种体育用品），将收集的数据整理，并绘制成如图所示的扇形统计图。若该校共有1800名学生，则该校选择篮球的学生大约有___________名．
【答案】576
【详解】解：由题可知，样本内选择篮球的人数占比为32%，则该校内选择篮球的学生大约为．
6．（2026·江苏宿迁·一模）设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为100分，规定：为级，为级，为级，为级.现随机抽取实验中学部分学生的综合评定成绩，请根据图中的信息，解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了________名学生，________；
(2)补全条形统计图；扇形统计图中级对应的圆心角为________；
(3)若该校共有4000名学生，请你估计该校级学生有多少名？
【答案】(1)
(2)补全条形统计图见详解，
(3)
【分析】（1）由条形统计图与扇形统计图的数据关联求解即可；
（2）求出级人数即可补全条形统计图，再由级人数占比即可求出扇形统计图中级对应的圆心角；
（3）由级学生人数占比估计该校4000名学生中级学生人数即可．
【详解】（1）解：由条形统计图与扇形统计图中级人数及占比可得在这次调查中一共抽取学生数为；
由条形统计图中级人数可得其占比为，则；
（2）解：由（1）知这次调查中一共抽取名学生，
则级人数为，
补全条形统计图如下：
扇形统计图中级对应的圆心角为；
（3）解：（名），
答：该校4000名学生中级学生有名．
易错题型三、概率基本概念
7．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）根据天气预报，某市明天下大雨的概率是．下列说法正确的是（ ）
A．该市明天将有的地区下大雨 B．该市明天将有的时间下大雨
C．该市明天下大雨的可能性较大 D．该市明天肯定会下大雨
【答案】C
【详解】解：根据概率的定义，概率是衡量随机事件发生可能性大小的量，不代表地区、时间的占比，也不代表事件一定发生，
∵该市明天下大雨的概率是，且，
∴该市明天下大雨的可能性较大，
A选项将概率理解为地区占比，错误；B选项将概率理解为时间占比，错误；D选项认为概率意味着一定下雨，错误，因此只有C正确．
8．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，等边三角形由9个全等的小等边三角形组成，随机往内投一粒米，落在阴影区域的概率__________落在非阴影区域的概率．（填“大于”“小于”或“等于”）
【答案】小于
【分析】设每个小等边三角形的面积为，对阴影区域的面积和非阴影区域的面积进行大小比较即可．
【详解】解：设每个小等边三角形的面积为，
∴阴影区域的面积为，非阴影区域的面积为，
∴阴影区域的面积小于非阴影区域的面积，
∴随机往内投一粒米，落在阴影区域的概率小于落在非阴影区域的概率．
9．（25-26八年级下·江苏南京·期中）一个不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，这些球除颜色外其他都相同，将球摇匀，从袋子中随机取出1个球．
(1)取出的球是红球是什么事件？取出的球是蓝球是什么事件？
(2)你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？为什么？
【答案】(1)
取出的球是红球是随机事件，取出的球是蓝球是不可能事件
(2)
摸到红球的概率最大，因为红球的数量最多
【分析】（1）由随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可得出结论；
（2）根据哪种球的数量最多，摸到那种球的概率就大．
【详解】（1）解：袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，
∴取出的球是红球是随机事件．
∵袋子中没有蓝色的球，
∴取出的球是蓝球是不可能事件．
（2）解：∵袋子中红色的球最多，
∴摸到红球的概率最大．
易错题型四、概率基本概念
10．（25-26八年级下·山西太原·期中）某农科院在相同的条件下做小麦种子发芽实验，得到如下统计表：
种子粒数 100 200 300 500 800 1000 2000
种子发芽的粒数 86 178 273 452 716 905 1804
种子发芽的频率 0.860 0.890 0.910 0.904 0.895 0.905 0.902
根据表格中的数据，估计这批种子发芽的概率为（ ）
A．0.86 B．0.89 C．0.90 D．0.91
【答案】C
【分析】当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，观察表格中频率随试验次数增大的稳定值，即可得到概率的估计值．
【详解】解：∵大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数可作为事件发生概率的估计值，
观察表格数据可知，随着种子粒数逐渐增大，种子发芽的频率逐渐稳定在附近，
∴估计这批种子发芽的概率为．
11．（25-26八年级下·广东梅州·期中）绿豆在相同条件下的发芽试验结果如下表：
每批粒数n 400 600 1000 2000 3000
发芽的频率
则绿豆发芽的概率（精确到）约为__________．
【答案】
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率会在某个固定值附近摆动，且摆动幅度越来越小，可以用频率的稳定值估计事件发生的概率，据此分析求解即可．
【详解】解：由表格可得，随着每批粒数不断增大，绿豆发芽的频率逐渐稳定在附近因此绿豆发芽的概率（精确到）约为．
12．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品（指针落在分界线上，重转）．下表是活动进行中的一组统计数据：

转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“洗手液”区域的次数m 65 108 136 345 552 690
落在“洗手液”区域的频率 0.65 0.72 0.68 0.69 a 0.69
(1)填空： ______；
(2)根据上表，随机转动该转盘一次，获得“洗手液”的概率大约是多少？（结果保留两位小数）
【答案】(1)0.69
(2)0.69
【分析】（1）直接根据频率公式计算即可；
（2）直接根据频率估计概率即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵随着转动转盘次数的增加，落在“洗手液”区域的频率稳定在0.69，
∴随机转动该转盘一次，获得“洗手液”的概率大约是0.69．
易错题型五、平行四边形证明
13．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，在锐角三角形中，，是边上的中线，以点为圆心，长为半径在的右侧作弧，延长交此弧于点，连接，．四边形是平行四边形的依据是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】D
【详解】解：∵在锐角三角形中，是边上的中线
∴
由作图得，
∴四边形是平行四边形，依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形．
14．（24-25八年级下·江苏无锡·假期作业）如图，，是相交的两条线段，分别为它们的中点．当绕点旋转时，连接，，，所得到的四边形始终为______形（与不重合）．
【答案】平行四边
【解析】略
15．（24-25八年级下·广东东莞·期末）已知：如图，在平行四边形中，点E，F分别在边，上，且．
(1)若，求的度数；
(2)求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，
（1）根据平行四边形的性质求解即可；
（2）首先得到，，然后由，得到，即可得到四边形是平行四边形．
【详解】（1）∵四边形为平行四边形，
．
，
；
（2）四边形为平行四边形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形．
易错题型六、矩形判定证明
16．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）中，交于点，再添加一个条件使其为矩形，不能是下列的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定和勾股定理的逆定理等知识，有一个内角是直角的平行四边形是矩形，掌握此点是解答本题的关键．利用勾股定理的逆定理和矩形的判定即可求解．
【详解】解：中，交于点，
A. ，则四边形为矩形，故该选项不符合题意；
B. ，则四边形为菱形，故该选项符合题意；
C. ，可知是直角三角形，是直角，可有证明平行四边形是矩形，故该选项不符合题意；
D. ，则四边形为矩形，故该选项不符合题意；
故选：B．
17．（2025·山西吕梁·三模）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和底边垂直，只需要用绳子比较书架的两条对角线的长就可以判断，其中证明“四边形是矩形”的依据是：_________________．
如图，用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比
【答案】对角线相等的平行四边形是矩形
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）
故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．
18．（24-25八年级下·吉林长春·期末）阅读下列材料，并把空缺的部分补充完整：
工人师傅在做门窗或矩形零件时，只用卷尺（有刻度）就可以确保图形是矩形：
首先，测量两组对边的长度保证分别相等，确定该图形是______；
其次，要测量______，确定该图形是矩形．

证明过程为：
在四边形中，，，∴____________，
∵____________，∴四边形ABCD是矩形．
【答案】平行四边形；对角线相等；四边形是平行四边形；
【分析】本题主要考查了矩形的判定．根据矩形的判定定理解答即可．
【详解】解：工人师傅在做门窗或矩形零件时，只用卷尺（有刻度）就可以确保图形是矩形：
首先，测量两组对边的长度保证分别相等，确定该图形是平行四边形；
其次，要测量对角线相等，确定该图形是矩形．
证明过程为：
在中，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
故答案为：平行四边形；对角线相等；四边形是平行四边形；
易错题型七、菱形判定证明
19．（25-26八年级下·河北邯郸·期中）下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A选项：四条边都相等，是菱形，A选项不符合题意；
B选项：由得，该四边形是一组对边平行，而另一组对边相等，所以不一定是平行四边形，故不一定是菱形，B选项符合题意；
C选项：由得，该四边形是两组对边分别平行，且一组邻边相等的平行四边形，是菱形，C选项不符合题意；
D选项：由得，该四边形是一组对边平行且相等，一组邻边相等的平行四边形，是菱形，D选项不符合题意．
20．（24-25八年级下·北京顺义·期中）学习了四边形之后，若用如图所示的方式表示四边形与特殊四边形的关系，则图中的“A”表示____；“B”表示____．

【答案】 正方形 菱形
【分析】根据特殊平行四边形的定义判断即可．
【详解】解：因为矩形和菱形都是平行四边形，而正方形既是矩形，又是菱形，
所以“A”表示正方形，“B”表示菱形，
故答案为：正方形，菱形．
【点睛】本题考查特殊平行四边形，熟练掌握矩形、菱形、正方形和平行四边形之间的关系是解答的关键．
21．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，的对角线与交于点，点在上，连接、，．求证：四边形为菱形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理，是解题的关键．先证明为的垂直平分线，得出，根据菱形的判定定理即可证明结论．
【详解】证明：四边形为平行四边形，
．
，
点与点都在的垂直平分线上，
即为的垂直平分线，
，
四边形为菱形．
易错题型八、正方形判定证明
22．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）小明在学习了中心对称图形后，整理了平行四边形和特殊平行四边形之间的关系图，如图所示．从下列条件：
①；②；③；④平分中，选择其中一个条件填入（ ）处，补全关系图，其中所有正确选项的序号是（ ）

A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】结合图形可知，由矩形变形到正方形所需要的条件，根据矩形的性质以及正方形的判定判断即可作答．
【详解】由图可知：
平行四边形中，当时，平行四边形为矩形，
平行四边形中，当，且时，平行四边形为正方形，
即：在矩形中，如果①或者③或者④平分时，
矩形为正方形，
∴所有正确选项的序号是①③④，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，正方形的判定与性质，菱形的性质等知识，掌握正方形的判定是解答本题的关键．
23．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，点，同时从点出发在线段上以0.5cm/s的速度反向运动（点，分别到达，两点时停止运动），设运动时间为．连接，，，，已知是边长为4cm的等边三角形，当______s时，四边形为正方形．
【答案】4
【分析】由已知条件可得四边形是菱形，当BD=EF时，即为正方形．
【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点，点，同时从点出发在线段上以0.5cm/s的速度反向运动，
∴OD=OB,OE=OF,DB⊥EF，
∴四边形是菱形；
∵是边长为4cm的等边三角形，
∴OD=OB=2；
运动后，OE=OF=，
当OB=OE时，四边形为正方形，即，即．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查菱形与正方形的性质与判定，熟练掌握判定方法是解题的关键．
24．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，将一张矩形纸片的一端沿折叠，B点恰好落在上的F点．
(1)这样折出来的四边形是________；
(2)证明你在（1）中得到的结论．
【答案】(1)正方形
(2)见解析
【分析】（1）根据折叠的性质以及矩形的性质，即可求解；
（2）根据矩形的性质得出，根据折叠得出，，即可得证．
【详解】（1）这样折出来的四边形是正方形；
故答案为：正方形．
证明：矩形
折叠
，
∴四边形是矩形，
四边形是正方形．
（2）证明：矩形
折叠
，
∴四边形是矩形，
四边形是正方形．
【点睛】本题考查了正方形的判定，折叠的性质，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
易错题型九、四边形周长、面积计算
25．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在中，点是的中点，对角线，相交于点，连接，若的周长是10，则的周长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
由四边形是平行四边形，得到，再根据中点的定义和三角形中位线定理得，，，从而得出可得答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
点是的中点，
，，
的周长是10，
的周长，
故选：B．
26．（2025·湖南株洲·模拟预测）如图，菱形中，，对角线，相交于点，为的中点．若菱形的周长为32，则的周长为_______．
【答案】12
【分析】本题考查菱形的性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．根据菱形对角线互相垂直的性质可知，在中，利用斜边的中线等于斜边的一半解得，证明是等边三角形，据此求解即可．
【详解】解：菱形的周长为32，
，
在菱形中，
，，
又为的中点，
在中，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴的周长为，
故答案为：12．
27．（2025·吉林长春·模拟预测）只用无刻度的直尺按要求完成下列作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)如图①，过正方形的顶点作一条直线平分这个正方形的面积；
(2)如图②，过正方形边上一点（非顶点）作一条直线平分这个正方形的面积；
(3)如图③，五个边长相等的正方形组成了一个“型”，点为其中四个小正方形的公共顶点，过点作一条直线平分这个“型”的面积．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）正方形的对角线所在的直线平分正方形的面积；
（2）经过正方形的两条对角线的交点的直线平分正方形的面积；
（3）作出右下角小正方形的两条对角线的交点，连接，直线即为所求．
本题考查作图复杂作图，正方形的性质，解题的关键是掌握中心对称的性质，属于中考常考题型．
【详解】（1）解：（1）如图①中，直线即为所求；
（2）解：如图②中，直线即为所求；
（3）解：如图③中，直线即为所求．
易错题型十、四边形中折叠题型计算
28．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，将长方形纸片折叠，使A点落在上的F处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ）
A．邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形
【答案】A
【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定，根据矩形的性质，折叠的性质，以及正方形的判定方法，即可得出结论．
【详解】解：∵长方形纸片，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形（邻边相等的矩形是正方形）；
故选A．
29．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，小亮同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点恰好落在点处，得到折痕，如图②．
请根据以上的操作，已知，，则线段的长是________．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是矩形的性质、正方形的性质、折叠的性质、勾股定理，解题关键是利用折叠性质求解．
根据矩形的性质、正方形的性质、折叠的性质推得，，结合勾股定理得到，代入即可求解．
【详解】解：矩形中，，，
，，，
由折叠得，
正方形中，，，
由折叠得，，
在中，，
且，，
，
解得．
故答案为：．
30．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应任务．
关于“矩形内折正方形的方法”的研究报告 研究人员：博学小组 成员1： 研究思路：①3个角都是▲的四边形是矩形； ②有一组邻边相等的矩形是正方形． 操作：如图1，将矩形纸片沿折痕折叠，使点B落在上的点处，则四边形即为正方形． 证明： ． 成员2： 操作：①如图2，E为的中点，将矩形纸片沿折痕，折叠，使A，B两点的落点重合；②如图3，将沿折痕折叠，使点E落在点处，展开后得到图4中的四边形，则四边形即为正方形．
任务：
(1)研究报告中“▲”处空缺的内容： ；
(2)请补全材料中“…”处的证明过程；
(3)研究报告中成员2的操作得到的四边形 正方形．（填“是”或“不是”）
【答案】(1)直角
(2)见解析
(3)是
【分析】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定和性质，正方形的判定，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
（1）根据矩形的性质得到，，由折叠得，，即可证得四边形是正方形；
（2）根据矩形的性质得到，，由折叠性质得到，，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形；
（3）连接，，由E为的中点，得到，根据折叠的性质得到，求得，得到，根据折叠的性质得到，，根据正方形的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）解：依题意，研究报告中“▲”处空缺的内容：直角，
故答案为：直角；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠性质可得：，，
∴四边形是正方形；
（3）解：连接，，
∵E为的中点，
∴，
∵将矩形纸片沿折痕，折叠，使A，B两点的落点重合，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵将沿折痕折叠，使点E落在点处，
∴，，
∴，
∴四边形即为正方形，
故答案为：是．
易错题型十一、四边形中折叠题型计算
31．（2025·陕西汉中·二模）如图，在中，，将线段向右平移a个单位长度后得到线段（点E、F分别与点A、B对应，且点E、F分别在线段上），当四边形为菱形时，a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质以及平移性质，菱形性质，先得出四边形是平行四边形，再结合四边形为菱形，得出，即可作答．
【详解】解：∵在中，将线段向右平移a个单位长度后得到线段，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，四边形为菱形，
∴，
则，
即a的值为，
故选：B．
32．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，M是直线在第二象限部分上的一个动点，连接，将顺时针旋转得到线段，N是x轴正半轴上一个动点，P为的中点，Q为的中点，连接．下列同学关于的说法中，正确的是__________．
小兰：为定值，长度为2．
小虎：为定值，长度为4．
小天：有最小值，最小值为2．
小灿：有最大值，最大值为4．
【答案】小天
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的中位线，根据三角形的中位线的判定及性质得，当轴，令点，则，根据旋转的性质及得，进而可得，，故点，则此时有最小值，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
设直线与x轴交于点H，过点作轴于点G，
，Q分别是和的中点，
是的中位线，
∴．
当轴，即点N在点G处时，
令点，则．
由旋转的性质得：，，
，
，
，
在和中，
，
，
∴，，
故点，即点在直线上，
有最小值，最小值为4，
此时也有最小值，最小值为2，
即小天的说法正确，
故答案为：小天．
33．（24-25八年级下·福建厦门·期中）在如图所示的网格中，线段和直线a如图所示，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在格点上．
(1)在图中画出以线段为一边的正方形，且点C和点D均在格点上，并直接写出正方形的面积为______；
(2)在图中以线段为一腰的等腰三角形，点E在格点上，则满足条件的点E有______个；
(3)在图中的直线a上找一点Q，使得的周长最小，最小值是多少？
【答案】(1)10
(2)6
(3)
【分析】本题主要考查作图应用与设计作图，解题的关键是掌握正方形和等腰三角形的判定与性质及轴对称最短路线问题．
（1）根据正方形的判定与性质作图即可；
（2）分点为顶点和点为顶点两种情况分别确定点即可；
（3）作出点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求．
【详解】（1）
解：如图所示，正方形即为所求，
，
正方形面积为10，
故答案为：10；
（2）
解：如图，满足条件的点有6个，
故答案为：6；
（3）
解：作出点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求．
此时的周长最小，
∴，
∴的周长最小，且为．
易错题型十二、中位线计算
34．（25-26八年级下·湖南常德·期中）如图，中，点，分别是，的中点，若，则（ ）
A．6 B．10 C．12 D．15
【答案】C
【详解】解：根据题意，得是三角形的中位线，且，
故；
35．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）如图，中，分别是的中点，若，则_______；若，则_____．
【答案】 4
【分析】本题考查了三角形中位线定理．利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．可以求得、的长度．
【详解】解：分别是的中点，
是的中位线．
．
分别是的中点，
是的中位线．
．
36．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）如图，点D，E，F分别是的三边的中点，．求四边形的周长．
【答案】10
【分析】利用三角形的中位线的判定定理和性质进行求解即可．
【详解】解：∵点D，E，F分别是的三边的中点，，
∴和是的中位线，
∴，，，．
∴四边形的周长为．
易错题型十三、提公因式法分解
37．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）多项式因式分解的结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将互为相反数的项变形为相同形式，再提取公因式得到结果．
【详解】
．
38．（25-26八年级下·山东淄博·期中）分解因式：_____．
【答案】
【详解】解：．
39．（25-26八年级下·四川达州·期中）因式分解
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
易错题型十四、公式法分解
40．（25-26八年级下·河北张家口·期中）下列等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据平方差公式为，据此逐一判断等式是否成立即可；
【详解】解：∵，A错误；
∵，B错误；
由平方差公式可得，等式左右相等，C正确；
，D错误；
41．（25-26八年级下·山西·期中）因式分解：______．
【答案】
【分析】观察多项式符合完全平方公式的结构特征，可直接套用完全平方公式分解因式.
【详解】解：
.
42．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）把下列完全平方式因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据完全平方公式进行分解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
易错题型十五、综合提公因式和公式法分解因式
43．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）分解因式后得，则n等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】将分解后的因式利用平方差公式展开，和原式对比对应系数，即可计算得到的值．
【详解】解： ，
，
又 ，多项式相等对应系数相等，
可得 ，
所以或
由选项可得A符合题意．
44．（2026·山东东营·二模）因式分解：______．
【答案】
【详解】解：．
45．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）把下列各式因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：；
（2）解：．
易错题型十六、十字相乘法
46．（24-25八年级下·甘肃武威·期末）若因式分解得：，则、的值为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解和多项式的乘法，掌握以上知识点是解题的关键．根据，即可得到答案．
【详解】解：
，
故选：A
47．（24-25八年级下·四川成都·月考）因式分解_____________．
【答案】
【分析】本题主要考查了分解因式，把看成一个整体，利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
48．（25-26八年级上·河南南阳·期中）【阅读与思考】请认真阅读下列材料，并完成相应的任务．
分解因式，我们可以按下面的方法解答．
①竖分二次项与常数项：，．
②交叉相乘，验中项：
③横向写出两因式：，．
．我们把这种因式分解的方法形象地称为十字相乘法．
【任务】试用十字相乘法把下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据十字相乘法分别求解（1）（2）（3）即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式．
易错题型十七、分组分解法
49．（24-25八年级下·江苏无锡·课后作业）下列式子中，属于的因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查多项式的因式分解及因式的概念，解题的关键是判断每个选项能否整除给定的多项式．
通过对多项式进行分组分解因式，再判断各选项是否为其因式．
【详解】
由此可知是的因式，而都不是它的因式．
故选：C．
50．（2025·四川内江·二模）因式分解：________．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，先进行分组分解，得出，再运用提公因式和公式法进行分解因式，即可作答．
【详解】解：
，
故答案为：．
51．（25-26八年级上·重庆合川·期末）阅读下列材料：分解因式：．
方法一：原式；
方法二：原式．
对多项式进行因式分解，当不能提取公因式，也不能直接用公式法时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法分解因式．
请尝试利用材料中的方法分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，掌握分组分解法是解题的关键．
（）利用分组分解法解答即可；
（）利用分组分解法解答即可；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
易错题型十八、因式分解简便计算
52．（25-26八年级上·江西南昌·月考）利用因式分解计算等于（ ）
A．1 B． C．533 D．534
【答案】C
【分析】本题考查因式分解在有理数简算中的应用．
通过提取公因式进行因式分解，将表达式转化为简单乘法计算．
【详解】解：
．
故选：C．
53．（24-25八年级下·江苏无锡·课后作业）由完全平方公式，可知，用这一方法计算：________．
【答案】4
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，该表达式符合完全平方公式的形式，因此可转化为两数和的平方．
【详解】解： ，
，
，
，
，
故答案为 4.
54．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）因式分解及简便运算
(1)分解因式：；
(2)简便计算：．
【答案】(1)
(2)160
【分析】（1）将原式提取公因式后再利用完全平方公式因式分解即可；
（2）将原式利用平方差公式因式分解并计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
易错题型十九、分式概念判定
55．（24-25八年级下·四川遂宁·期中）在中，分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：分母含字母，是分式；
分母为常数，不是分式；
分母为常数，不是分式；
中是常数，分母不含字母，不是分式；
中分母是字母，属于分式；
分母含字母，是分式；
则分式共有个．
56．（2026八年级下·江苏无锡·专题练习）某船在静水中航行的速度是千米/时，水流的速度是千米/时（）．若该船从甲地顺流去乙地需小时，则从乙地返回甲地需________小时（用含的式子表示）．
【答案】
【分析】本题考查了列代数式，分式的表示，设甲地到乙地的距离为千米，顺流时船的实际速度为千米/时，时间为小时，因此，可得逆流时船的实际速度为千米/时，再由路程不变即可列代数式．
【详解】解：设甲地到乙地的距离为千米，顺流时船的实际速度为千米/时，时间为小时，因此，
∵逆流时船的实际速度为千米/时，
∴由路程不变得从乙地返回甲地时间为，
故答案为：．
57．（2025八年级上·北京·专题练习）下列式子中，哪些是分式？
，，，，
【答案】，，
【分析】本题考查分式的定义：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，根据分式的定义逐一判断即可．
【详解】解：在，，，，中，分式有，，．
易错题型二十、取值条件求解
58．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）若分式无意义，则的值是（ ）
A．4 B．3 C．0 D．
【答案】B
【详解】解：∵分式无意义
∴分式的分母为0，即
解得
59．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）若代数式有意义，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件，分母不为零，列出不等式求解即可．
【详解】解：代数式有意义，
分母，
解得．
60．（25-26八年级上·江苏无锡·课后作业）（1）若分式的值为零，则x的值为_________．
（2）若分式的值为零，则x的值为_________．
【答案】 1
【分析】根据分式的值为零，当且仅当分子为零且分母不为零，即可解答．
【详解】解：（1）分式的值为零，当且仅当分子为零且分母不为零，
，
，
．
（2）分式的值为零，当且仅当分子为零且分母不为零，
，
，
．
【点睛】本题考查了分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零需分子为零且分母不为零是解题的关键．
易错题型二十一、分式四则混合运算
61．（2026·山东济南·一模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先计算括号内部分，再将除法转化为乘法，约去公因式即可得到结果．
【详解】解：
．
62．（25-26八年级下·江苏无锡·单元复习）若化简的最终结果为整数，则“”代表的式子可以是______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算顺序是解决问题的关键．
先将原式化简，得到，再令，使结果为整数．
【详解】解：
，
要使结果为整数，取，则，为整数，
故“”代表的式子可以是．
63．（2026·山西大同·模拟预测）计算与化简：
(1)计算：．
(2)化简：．
【答案】(1)4
(2)
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
易错题型二十二、先化简再代入求值
64．（25-26八年级下·四川南充·期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用已知条件，通过分式通分化简求解，用到分式的基本运算性质，将已知条件代入化简即可得到结果．
【详解】解：，
．
65．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）已知，则代数式的值等于______________．
【答案】
【分析】由已知可得，，将转化为，整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
66．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）先化简，然后在范围内选一个合适的整数代入求值．
【答案】化简为，值为
【详解】解：
∵分式有意义，
∴，
∴当时，原式．
易错题型二十三、根据分式方程解的情况求值
67．（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于的分式方程的解为，则m的值是（ ）
A．2 B．0 C．-2 D．3
【答案】A
【分析】已知分式方程的解，将解代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值
【详解】解：∵是分式方程的解
∴将代入原方程，得
计算得
整理得
即
68．（25-26八年级上·湖南常德·期中）已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为_______．
【答案】且
【分析】本题主要考查解分式方程，根据分式方程解的情况求参数的范围，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．
先把原方程化为整式方程，解方程得到，根据方程的解为正数且分母不为0列式求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
解得：，
∵原方程的解是正数，且分母不为0，即，
∴，且，
∴且．
故答案为：且．
69．（2025八年级下·江苏无锡·专题练习）已知关于的分式方程．
(1)当时，求该方程的解；
(2)若该方程有增根，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查分式方程的解以及分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根是分母为零的根，注意检查即可．
（1）将代入方程，可得方程为，然后去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，检验是否是增根；
（2）因为方程有增根，所以，去分母、去括号、移项、合并同类项得，即，即，得．
【详解】（1）解：（1）当时，原方程化为，
去分母得：，
化简得：
解这个整式方程，得，
检验：把代入得：，
所以，是原方程的解；
（2）原方程去分母，得，
移项合并同类项，得，
因为该方程有增根，
所以增根为，
所以，
所以．
易错题型二十四、最简二次根式判定
70．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】最简二次根式需满足两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可．
【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；
B、，被开方数是的平方，能开得尽方，因此不是最简二次根式；
C、的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，因此是最简二次根式；
D、，被开方数是的平方，能开得尽方，因此不是最简二次根式．
71．（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）在 ，，，，，中，最简二次根式的个数是_______．
【答案】
【分析】最简二次根式需要满足两个条件：1. 被开方数不含分母；2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此逐个判断．
【详解】解：，被开方数是整式，且不含能开得尽方的因式，是最简二次根式，
，被开方数是整式，且不含能开得尽方的因式，是最简二次根式，
=，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，
=，不属于二次根式，因此不是最简二次根式，
=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，
，被开方数含有分母，不是最简二次根式，
综上，最简二次根式共有个．
72．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）判断下列二次根式是不是最简二次根式．若不是，请化简．
，，，，．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是二次根式的化简、掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据题意判断即可．
【详解】解：是最简二次根式；
不是最简二次根式，化简为；
是最简二次根式；
不是最简二次根式，化简为；
不是最简二次根式，化简为．
易错题型二十五、二次根式大小比较
73．（24-25八年级下·云南红河·期末）数学老师给出了以下四个代数式：①，②，③，④，且告知．小兴发现：若重新排列顺序后，4个代数式就变成一列从小到大顺序变化的代数式，则下列排序正确的是（ ）
A．①②③④ B．④②③① C．①④③② D．③②①④
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将每个代数式进行平方运算，再比较结果的大小，进而即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：，，，
∵ ，
∴，
即，
∴，
∴代数式从小到大顺序为④②③①，
故选：．
74．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）比较大小：________（填“>”“=”或“<”）．
【答案】
【分析】本题考查无理数大小比较，通过比较两个数的平方值来判断大小．
【详解】解：∵，，且，
∴，
故答案为：．
75．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下：
解：．
，，，．
我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较实数与的大小．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的大小比较，掌握作差法比较大小是解题的关键．
将两数相减，差与比较大小，从而得到原数的大小．
【详解】解：．
，
，
，
，
．
易错题型二十六、同类二次根式
76．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列二次根式中，不能与合并的二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查同类二次根式的性质，同类二次根式可以合并，将各选项二次根式化为最简二次根式，判断与是否为同类二次根式．
【详解】解：选项A、被开方数为，是同类二次根式，可以合并，不符合要求；
选项B、被开方数为，是同类二次根式，可以合并，不符合要求；
选项C、是最简二次根式，被开方数为，是同类二次根式，可以合并，不符合要求；
选项D、被开方数为，不是同类二次根式，不能合并，符合要求．
77．（25-26八年级下·重庆·期中）若最简二次根式能与合并为一项，则x的值为______．
【答案】3
【分析】化简后被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，据此进行分析列式计算，即可作答．
【详解】解：∵最简二次根式能与合并为一项，
∴与是同类二次根式，可得，
解得．
78．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）嘉嘉和淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放有四个大小相同且标有不同数字的小球.游戏规则：将从容器中摸取到的小球上所表示的数相加．
(1)若嘉嘉摸到如图1所示的两个小球，请计算出结果．
(2)如图2，若嘉嘉摸出全部的四个小球，计算结果为，淇淇说的值能与合并．你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)淇淇的说法正确，理由见解析
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，同类二次根式，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意可列出式子计算求解即可；
（2）根据题意结合二次根式的加减计算法则求出x的值，再判断x与是否为同类二次根式即可得到结论．
【详解】（1）解：
；
（2）解：淇淇的说法正确，理由如下：
，
∴，
∵，
∴的值能与合并，
∴淇淇的说法正确．
易错题型二十七、同类二次根式
79．（25-26八年级下·云南普洱·期中）如图，这是一个程序框图．若输入x的值为12，则输出y的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依据运算程序列出算式，按顺序进行计算即可．
【详解】解：由题意，得
．
80．（25-26八年级上·河北张家口·期末）一个长方形一组邻边的长度和为，长为，这个长方形的面积为_____ ．
【答案】2
【分析】本题考查了长方形的面积、平方差公式以及二次根式的运算，先根据邻边长度和与长求出长方形的宽，再用长方形面积公式计算面积．
【详解】解：长方形一组邻边的长度和为，长为，
宽为，
长方形的面积为：
．
故答案为：2．
81．（25-26八年级下·山东淄博·期中）阅读材料：已知，求的值．
小明同学是这样解答的：
∵，
又∵，
∴．
这种方法称为“构造对偶式”．
解答问题：
(1)已知，试证明为定值．
(2)已知，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题意“构造对偶式”，解得其值为，结合题目所给条件即可证明；
（2）由题意构造“构造对偶式”，解得其值为8，结合题目所给条件得，和联立即可解答．
【详解】（1）证明：，
，
，
即为定值；
（2）解：，
，
，
，
得，，即：，
两边平方得，，解得：，
经检验，是原方程的解．
易错题型二十八、分母有理化
82．（24-25八年级下·上海·阶段检测）下列说法错误的个数为（ ）个．
（1）；（2）的倒数是；
（3）；（4）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据二次根式运算法则和二次根式性质，判定每个式子的正误即可得出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
【详解】解：（1），故错误；
（2）的倒数为，故错误；
（3）当时，，故错误；
（4），故正确；
∴符合题意的有3个；
故选：C．
83．（25-26八年级上·陕西西安·月考）在进行二次根式化简时，有时会遇到形如这样的式子，我们可以用如下的方法将其进一步化简：，这种方法叫做分母有理化；请仿照上述过程，将代数式化简为________．
【答案】/
【分析】本题考查二次根式的分母有理化，分子分母同时乘以，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：．
84．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）【阅读理解】数学课上，张老师在黑板上写了这样一个问题：已知，求的值．
爱思考的琳琳想了一会写出了下面的解答过程：
，即，
，即．
．
．
【活学活用】请你根据琳琳的分析过程，解决如下问题：
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)2
(2)7
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握分母有理化是解题的关键．
（1）首先利用平方差公式分母有理化得到，然后移项利用完全平方公式求解即可；
（2）首先利用平方差公式分母有理化得到，再根据完全平方公式计算即可．
【详解】（1），
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
．
压轴题型一、多种统计图联动综合计算
1．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）为了解某校七年级900名学生的心理健康评估报告，从中抽取了200名学生的心理健康评估报告进行统计分析，在这个问题中：
(1)采用了 调查方式．样本容量是 ．
(2)写出调查中的总体、个体和样本．
【答案】(1)抽样，200
(2)见解析
【分析】本题主要考查全面调查和抽样调查的识别、总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．注意样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
（1）根据事件的分类以及样本容量概念即可得解；
（2）根据总体、个体、样本的概念求解即可．
【详解】（1）解：采用了抽样调查方式．样本容量是200，
故答案得：抽样，200；
（2）解：总体：某校七年级900名学生的心理健康评估报告；
个体：每一名学生的心理健康评估报告；
样本：被抽取的200名学生的心理健康评估报告
2．（25-26八年级下·山东威海·期末）学校要举办一项球类比赛，针对学生意愿（喜欢举办哪类比赛，且只能从中选择一种）随机调查了部分学生，并将调查的结果绘制成如下不完整的统计图：
根据图中所给出的信息解答下列问题：
(1)求调查了多少人；
(2)a的值为 ；（直接写结果）
(3)若这所学校共有1000人，估算喜欢举办足球比赛的学生约有多少人．
【答案】(1)人；
(2)；
(3)人
【分析】（1）利用喜欢篮球的人数及其占调查总人数的百分比，通过除法运算求出调查的总人数；
（2）用调查总人数减去喜欢篮球、排球的人数得到喜欢排球的人数，再用排球人数除以总人数并转化为百分数，进而确定的值；
（3）单位1减去篮球、排球的占比得到喜欢足球的人数占调查总人数的百分比，再用学校的总人数乘该百分比，借助样本估计总体的方法估算出学校喜欢举办足球比赛的学生人数．
【详解】（1）解：喜欢篮球的有人，占调查总人数的，
所以调查的总人数为(人)；
（2）解：喜欢排球的有(人)，
所以，
；
（3）解：，
喜欢足球的比例为，学校共有人，
估算喜欢举办足球比赛的学生约有(人)．
3．（24-25八年级下·山东烟台·期末）阅读涵养心灵．某中学今年9月就“初中生每天阅读时间”对六年级8000名学生进行了抽样调查（设每天阅读时间为小时，调查问卷设置了四个时间选项：A．；B．；C．；D．），并根据调查结果制作了如图1所示的条形统计图．12月六年级的学生总数没发生变化，该中学又对六年级学生进行了一次抽样调查，并根据调查结果制作了如图2所示的扇形统计图．请根据提供的信息，解答下列问题：
(1)求出今年9月份抽样调查的学生人数；
(2)估算该中学9月份六年级学生“每天阅读时间不少于1小时”的人数；
(3)估算该中学“每天阅读时间超过2小时”的六年级学生人数今年12月相对于9月的增长率．
【答案】(1)800人；
(2)7200人；
(3)100％．
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，掌握相关知识是解题的关键．
（1）把条形统计图各组人数相加可得样本容量；
（2）用该校六年级学生总人数乘样本中“每天阅读时间不少于1小时”的人数所占比例即可求出该地区六年级学生“每天阅读时间不少于1小时”的人数；
（3）分别求出12月份和9月份“每天阅读时间不少于2小时”所占百分比即可解答；
【详解】（1）解：今年9月份抽样调查的学生数为：
；
（2）解：该中学六年级学生“每天阅读时间不少于1小时”的人数约为
（人）；
（3）解：12月份“每天阅读时间超过2小时”的占比为，
9月份“每天阅读时间超过2小时”的占比为，
．
∴该中学今年12月份“每天阅读时间超过2小时”的六年级学生人数相对于9月份的增长率为100％．
4．（25-26八年级下·陕西西安·期末）某校为了进一步改进本校八年级数学教学，提高学生学习数学的兴趣，校教务处在八年级所有班级中，每班随机抽取了6名学生，并对他们的数学学习情况进行了问卷调查．我们从所调查的题目中，特别把学生对数学学习喜欢程度的回答（喜欢程度分别为：“非常喜欢”、“比较喜欢”、“不太喜欢”、“很不喜欢”，针对这个题目，问卷调查时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项）结果进行了统计，现将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
(1)补全上面的条形统计图和扇形统计图；
(2)在扇形统计图中，“对数学学习喜欢程度为”所对应的圆心角的度数是___________．
(3)若该校八年级共有960名学生，请你估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的大约有多少人？
【答案】(1)见解析
(2)
(3)240人
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，用样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先算出调查的总人数是人，分别算出“不太喜欢”的人数，“不太喜欢”的占比，以及“非常喜欢”的占比，即可作答．
（2）用乘以“对数学学习喜欢程度为”所占百分比，即可作答．
（3）运用样本估计总体进行列式，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，调查的总人数是（人），
则“不太喜欢”的人数是（人），
“不太喜欢”的占比是
“非常喜欢”的占比是，
则补全的条形统计图和扇形统计图如图．
（2）“对数学学习喜欢程度为”所对应的圆心角的度数是，
故答案为：；
（3）依题意，（人）
∴八年级学生中对数学学习“不太喜欢”的约有240人．
5．（25-26八年级下·福建三明·期末）某数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，并按照国家分类标准统计人数，绘制成两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：
抽取的学生视力情况统计表
类别 检查结果 人数
正常
轻度近视
中度近视
重度近视
抽取的学生视力情况统计图
(1)求抽取的轻度近视学生人数；
(2)该校共有学生约人，请估算该校重度近视的学生人数．
【答案】(1)人
(2)人
【分析】（1）从所取样本中根据正常的人数和所占比例求出样本总数，总数乘以抽取的轻度近视学生人数所占比例即可求解；
（2）由扇形统计图可直接求近视程度为中度和重度的总人数．
【详解】（1）解：抽取的学生人数为：（人），
∴抽取的轻度近视学生人数为：（人），
答：抽取的轻度近视学生人数为人；
（2）解：抽取的重度近视学生人数所占比例为：
，
该校学生重度近视的学生人数约为：
（人），
答：该校学生重度近视的学生人数约为人．
【点睛】本题考查扇形统计图、统计表以及用样本估计总体等知识，解题的关键是从扇形统计图和统计表中找出相应的数据．
压轴题型二、实际生活概率分析
6．（24-25八年级下·山东淄博·期中）完成下列各题：
(1)写出下列命题的条件和结论，并指出它是真命题还是假命题．
①面积相等的两个三角形全等；
②同角的补角相等；
③两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．
(2)任意投掷一枚均匀的骰子．
①掷出的点数小于4的概率是多少？
②掷出的点数是奇数的概率是多少？
③掷出的点数是7的概率是多少？
④掷出的点数小于7的概率是多少？
(3)现有足够多除颜色外均相同的球，请你从中选12个球设计摸球游戏．
①使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等；
②使摸到红球、白球、黑球的概率都相等；
③使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都小于摸到黑球的概率．
【答案】(1)见解析
(2)① ② ③ ④
(3)见解析
【分析】（1）把命题写成“如果……，那么……”的形式，写出题设和结论，并判断真假即可解题；
（2）根据概率的球阀，找准全部情况的总数和符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率，求出比值即可；
（3）①设计红球和白球的个数相同即可；②设计红球，黑球和白球数量相同即可；③让红球和白球数量相同，且小于黑球的数量即可
【详解】（1）①条件：两个三角形的面积相等．
结论：这两个三角形全等
它是假命题；
②条件：两个角是同一个角的补角
结论：这两个角相等
它是真命题；
③条件：两个三角形有两角分别相等且其中一组等角的对边相等
结论：这两个三角形全等
它是真命题．
（2）投掷一枚均匀的骰子，可以得到种等可能结果，即，
①掷出的点数小于4的有种结果，即概率是；
②掷出的点数是奇数的有种结果，即概率是；
③不可能掷出的点数是7，即有概率是；
④掷出的点数小于7的种结果，即概率是；
（3）①使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等；
白球，红球各个，摸到红球和白球的概率均为；
②使摸到红球、白球、黑球的概率都相等；
白球，红球，黑球各个，摸到黑球、红球和白球的概率均为；
③使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都小于摸到黑球的概率．
白球，红球各放个，黑球放个，此时摸到白球，红球的概率为，而摸到黑球的概率为．
【点睛】本题考查命题的题设和结论，概率公式的应用和计算，解题的关键是掌握在总数一定的情况下，相应数量越多，概率越大．
7．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题：
投篮次数 50 100 150 200 250 300 500
投中次数 28 60 78 104 125 153 250
投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50
(1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1）
(2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？
【答案】(1)0.5
(2)290
【分析】本题考查了频率的计算，利用频率估计概率，大量反复实验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）对于不同批次的定点投篮命中率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法；
（2）投中的次数=投篮次数×投中的概率，依此列式计算即可求解．
【详解】（1）解：根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在概率附近，
观察表格数据，当投篮次数n越来越大时，投中频率在0.5附近摆动，
因此可以估计投中的概率约为0.5，
故答案为：0.5；
（2）解：，
所以估计这名同学投篮580次，投中的次数约是290次．
8．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）沈阳市林业局积极响应习总书记“绿水青山就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．
请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：
(1)这种花卉成活的频率稳定在______附近，估计成活概率为______（精确到0.1）．
(2)该林业局已经移植这种花卉20000棵．
①估计这批花卉成活的棵数；
②根据市政规划共需要成活270000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？
【答案】(1)0.9，0.9
(2)①估计这批花卉成活18000棵：②估计还需要移植280000棵
【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解概率的意义是解答本题的关键．
（1）根据统计图可得频率，根据频率与概率的关系可得概率；
（2）①用20000乘以成活的概率即可；
②用移植的总棵数减去已经移植的棵数．
【详解】（1）解：由图可知，这种花卉成活率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9．
故答案为：0.9；
（2）解：①估计这批花卉成活的棵数为： （棵）；
②估计还需要移植：（棵）．
9．（25-26八年级下·江苏·期中）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据：
转动转盘的次数n 100 200 300 400 500
落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b
落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296
(1)完成上述表格： ， ；
(2)若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近 ，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是 ；（结果都精确到0.1）
(3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，则、、的大小关系是 ．（用“”连接）
【答案】(1)0.305，148
(2)0.3，0.3
(3)
【分析】（1）根据频率和频数的关系求得a和b的值即可；
（2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可；
（3）利用概率公式分别求得、、的值后比较大小即可．
【详解】（1）解：，．
（2）解：若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是0.3．
（3）解：，，，
∴．
10．（24-25八年级下·河南郑州·期末）数学兴趣小组为探究事件 A 发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表
试验总次数 n 100 200 300 400 500 600
事件A出现的次数m 24 48 b 104 125 150
事件A发生的频率 a 0.24 0.25 0.26 0.25 0.25
(1)上表中 ， ；
(2)根据上表，完成图2的折线统计图；
(3)请你举出一个事件，使它发生的概率符合事件A发生的概率．
【答案】(1)；75
(2)见解析
(3)有四张扑克牌，分别写有1、2、3、4四个数据，随意拿出一张，正好是1的概率（答案不唯一）
【分析】本题考查了频率估计概率，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键．
（1）根据题意，得，，解答即可．
（2）根据题意，画出图即可；
（3）答案不唯一，只要事件的概率为即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，，
解得，
故答案为：；75．
（2）根据题意，折线图画图如下：
（3）有四张扑克牌，分别写有1、2、3、4四个数据，随意拿出一张，正好是1的概率．
压轴题型三、四边形中动点探究题
11．（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，在四边形中，，，，，动点M从点A出发，以的速度向终点D运动，同时动点N从点C出发，以的速度向终点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当四边形是平行四边形时，求t的值．
(2)当四边形是矩形时，求t的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，则，；根据四边形是平行四边形，则，进一步求解即可．
（2）根据矩形的性质，可得，进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵设运动时间为t秒，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度向终点运动，
∴，，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得，；
∵四边形是矩形，
∴；
∵，
∴
∴
∴．
12．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图1，在中，，，．是线段上的动点，是射线上的动点，且．设．
(1)当在线段上时，用含的代数式表示线段的长．
(2)如图2，是的中点，以，为邻边构造．
①当点与点重合时，连结，求的长．
②当点落在的边上时，求的长．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】（1）根据勾股定理得，由已知得，再代入即可；
（2）①根据平行四边形的性质得，，进一步推出，证明四边形是平行四边形，得，继而得到，代入计算即可；
②分两种情况：当点在边上时，当点在边上时，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即线段的长为；
（2）①∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵是中点，
∴，
∴，
又∵，即，
∴四边形是平行四边形
∴，
∵与重合，，
∴，
∴，
∴；
②如图，当点在边上时，
延长至点，使，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点是中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
如图，当点在边上时，
延长至点，使，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点是中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查勾股定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
13．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）（1）如图1，在四边形中， ，，，若动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿方向运动，当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了x秒（x>0），求当x为多少秒时，四边形变为平行四边形．
（2）如图2，若四边形变为平行四边形，，动点P从A点出发．以每秒1cm的速度沿线段向D点运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在间往返运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发．并运动了t秒（t>0）．求当t为多少秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形．

【答案】（1）时，四边形变为平行四边形；（2）时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形
【分析】（1）四边形为平行四边形时，则，列出方程即可求出答案．
（2）由题意知，，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，，列出方程即可求出答案．
【详解】解：（1）当四边形为平行四边形时，则，
，解得，
时，四边形变为平行四边形；
（2）由题意知，，
，
当以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，，
当时，，
解得舍去；
当时．，
，解得；
综上所述：时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握动点的运动轨迹是解题的关键．
14．（24-25八年级下·四川自贡·期中）如图，矩形中，，，一动点P从A点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点C匀速运动，同时另一动点Q从C点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动，当其中一个点到这终点时，另一个点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒，过点P作于点E连接，．
(1)求证：；
(2)四边形能成为菱形吗？如果能，求出相应的t值：如果不能，说明理由
(3)若动点Q从C点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，其它条件不变，当____时，有最小值．
【答案】(1)见解析
(2)当时，四边形能够成为菱形；
(3)
【分析】（1）由矩形的性质可得，由直角三角形的性质可得；
（2）先证四边形是平行四边形，则当时，平行四边形是菱形，可得等式，即可求解；
（3）根据对称性，可得时有最小值，即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，，，
，
，，
由题意可得：，，
，，
，
；
（2）解：四边形能够成为菱形，理由如下：
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
当时，平行四边形是菱形，
，
当时，四边形能够成为菱形；
（3）解：如图1，过点P作于点F，作关于的对称点，连接，作关于的对称点，连接，
四边形是矩形，
，
，
当三点共线时,最小，
由题意可知，，，，则，（），
， ，
，
，
当时，最小，
为的中点，为的中点 ，，，
，
，
此时，
，
解得，
当时，PQ+EQ有最小值．
故答案是：．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了含30度直角三角形的性质、勾股定理、矩形的性质以及菱形的判定与性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
15．（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图1，正方形中，E，F分别是，边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．
(1)①求证：；
②写出、、三者之间的关系．
(2)类比迁移：若点E、F分别为正方形两条边的延长线上的动点，、、三者之间还存在（1）中的关系吗 根据解决（1）中问题的经验加以探究．
①如图2，在正方形中，点E、F分别是、延长线上的动点，且，、、之间的数量关系是______．
②如图3，在正方形中，点E、F分别是、延长线上的动点，且，则、、之间的数量关系是________．
请选择图2、图3中的一个给出证明．
【答案】(1)①见解析；②
(2)①；②；理由见解析
【分析】（1）①由旋转可得为直角，可得出，由，得到，可得出，再由，利用可得出，由全等三角形的对应边相等可得出；
②根据，得出即可；
（2）①过点D作，交于点G，证明，得出，，证明，得出，即可得结论；
②过点D作，交于点G，证明，得出，，证明，得出，即可得结论．
【详解】（1）①证明：∵逆时针旋转得到，四边形是正方形，
则，，
∴，，，
∴F、C、M三点共线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②由旋转可得：，
∵，
∴．
（2）解：①．
如图，过点D作，交于点G，
则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②
如图，过点D作，交于点G，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，余角的性质，熟练掌握性质及判定定理是解本题的关键．
压轴题型四、特殊四边形存在性分类讨论
16．（24-25八年级上·广东佛山·月考）如图，为线段上一动点，分别过点作，，连接，已知．
(1)请问：点在什么位置时，；
(2)当点在线段上运动时，是否存在最小值？若存在，请直接写出结果；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当点C到点B的距离为时，
(2)存在；的最小值为10
【分析】（1）根据勾股定理得出，，根据得出，从而得出，设，则，得出，求出x的值即可；
（2）延长，截取，连接，，则交于点H，延长，过点A作于点G，证明，得出，根据两点之间线段最短，得出当点C在点H处时，最小，即最小，证明四边形为矩形，得出，，根据勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
根据勾股定理得：，，
当时，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
即当点C到点B的距离为时，；
（2）解：存在；
延长，截取，连接，，则交于点H，延长，过点A作于点G，如图所示：
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当点C在点H处时，最小，即最小，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为10．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
17．（24-25八年级下·天津滨海新区·期中）正方形的边长为6，O为平面直角坐标系的原点，D是的中点．
(1)如图，点A的坐标为 ，点C的坐标 ，点D的坐标 ；
(2)如图，点P在上， 且坐标为，若三角形的面积为12，求a的值；
(3)在坐标轴上是否存在点Q，使三角形的面积是正方形面积的一半．若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，；
(2)4
(3)或或或
【分析】本题坐标与图形，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．
（1）根据坐标与图形写出坐标即可；
（2）根据求解即可；
（3）分两种情况讨论：当点Q在轴上时；当点Q在轴上时，设点Q的坐标，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：正方形的边长为6，
，，
，，，
D是的中点，
，
故答案为：，，；
（2）解：点P在上， 且坐标为，
，
若三角形的面积为12，
则
，
；
（3）解：正方形的面积为，
当点Q在轴上时，
设，则，
，
解得：，
点Q的坐标为或；
当点Q在轴上时，
设，则，
，
解得：，
点Q的坐标为或；
综上可知，点Q的坐标为或或或．
18．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点．动点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动（到点时停止）．设动点的运动时间为秒．
(1)_____．（用含的代数式表示）
(2)当为何值时，四边形是平行四边形？
(3)若四边形是平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由．
(4)在线段上是否存在一点，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)2t
(2)
(3)四边形是矩形，理由见解析
(4)存在，的值为或
【分析】（1）因为点M的运动速度是每秒2个单位长度，运动时间为t秒，根据路程=速度×时间，所以可直接得到的表达式．
（2）先根据矩形性质和已知坐标求出的相关线段长度，再根据平行四边形对边平行且相等的性质，得到为平行四边形时与的数量关系，结合的表达式建立关于t的方程求解．
（3）先根据平行四边形的性质得到边的关系，再结合矩形的边长，判断的边和角的特征，可利用矩形的判定定理分析．
（4）分两种情况讨论：当点在点右侧时，，当点在点左侧时，，结合勾股定理建立关于t的方程求解．
【详解】（1）解：∵动点M在线段上以每秒2个单位长度的速度由点A向点B运动．运动时间为t秒．
∴．
（2）四边形为矩形，，
，
点是的中点，
，
由题意得：，
，
，
当时，四边形是平行四边形，
，
解得：．
（3）四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形为矩形，
，
四边形是矩形．
（4）存在，分两种情况：
①当点在点右侧时，如图1所示：
四边形为菱形，
，
在中，由勾股定理得：，
：
②当点在点左侧时，如图2所示：
四边形为菱形，
，
在中，由勾股定理得：，
．
综上所述，的值为或时，以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形．
19．（24-25九年级上·广西柳州·月考）【问题情境】
如图，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转（）得到线段，过点作交直线于点．
【猜想证明】
（1）当时，判断四边形的形状并说明理由；
（2）如图，当时，连接，求此时的面积；
【能力提升】
（3）在【问题情境】的条件下，是否存在，使点，，三点共线，若存在，请直接写出此时的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）四边形是正方形，理由见解析；（2）；（3）存在，或
【分析】（1）根据矩形的性质和旋转的性质可得，，则四边形是正方形；
（2）作于，可得，从而得到，再根据勾股定理求出，利用三角形面积公式计算即可；
（3）分两种情况讨论：当点在上时；当点在的延长线上时，根据三角形全等可得，然后根据勾股定理列出方程即可求解．
【详解】解：（1）如图1，
四边形是矩形，
，
将边绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形；
（2）如图2，作于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图3，当点在上时，连接，
，
∴
，，，
，
，
设，则，
根据旋转的性质得：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：；
如图4，当点在的延长线上时，
同理，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
综上所述，或．
【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论．
20．（2025·广东东莞·一模）综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．
【动手操作】
如图1，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接．
【探究提炼】
（1）如图1，点是上任意一点，线段和线段存在什么关系？并说明理由；
（2）如图2，连接，当恰好垂直于时，求线段的长度；
【类比迁移】
（3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．
①求的度数；
②请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由．
【答案】（1），，理由见解析；（2）；（3）①；②存在，
【分析】（1）根据折叠的性质得到垂直平分，可得线段和线段的数量关系，由折叠的性质得到由折叠可知，
设，由角度关系得到，由此即可求解；
（2）根据正方形的性质得到，，由折叠的性质得到，是垂直平分线，根据角的和差关系得到，，，由此即可求解；
（3）①如图；过点作，垂足为，过点作，垂足为，由四边形的内角和定理得到，证明，得，则，由此即可求解；
②过点作于点，设，则，根据勾股定理，含30度角的直角三角形的性质得到，则，当时，面积最小，由菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质得到，，由此代入计算即可求解．
【详解】解：（1），，理由：
由折叠可知：垂直平分，
∴；
连接，
由折叠可知，
设，则，
∴
，
∴；
（2）由折叠可知：，
在正方形中， ，，
∵，
∴，
∴，
如图，设交于点，
∵，即是垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）①如图；过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∵，
∴，
∵在菱形中，是的角平分线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②过点作于点，设，
则，
∵，即，
解得：，
则，
∴当最小时，面积最小，
∴当时，面积最小，
如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
则，
∴的面积存在最小值为．
【点睛】本题主要考查正方形、菱形的性质，折叠的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识的综合运用，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
压轴题型五、四边形几何探究变式题
21．（24-25八年级下·山东济宁·期中）在某探究课《矩形的折叠》中，每个小组分到了相同大小的矩形纸张，，，各小组通过对该纸张的折叠探究了各种不同的折叠问题．
小组 探究内容 图形
第一小组 把沿折叠，与重叠部分记为．
第二小组 步骤1：把矩形沿折叠，使得与重合，点，分别为，上的点． 步骤2：为边上动点（与点B，C不重合），沿折叠得到．
根据以上各小组探究内容，求解下列问题．
(1)根据第一小组探究内容，求证：是等腰三角形．
(2)根据第二小组探究内容，当，，三点在同一直线上时，画出简单的示意图，求BP的长度．
【答案】(1)见解析
(2)或，图见解析
【分析】（1）首先根据矩形的性质得到，进而得到，然后根据折叠的性质得，即可证明出是等腰三角形；
（2）根据题意画出图形，分两种情况讨论，分别根据折叠的性质得到，然后进一步得到，利用勾股定理得到，进而求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵把沿折叠到，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：如图所示，当点P在线段上时，
∵把矩形沿折叠，使得与重合，
∴，
由题意可得，四边形是矩形，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，，
∴，
由（1）可得，，
∴；
如图所示，当点P在线段上时，
同理可得，，，，
∴，
由（1）可得，，
∴；
综上所述，BP的长度为或．
【点睛】本题主要考查矩形的折叠问题，折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，矩形的性质，勾股定理．
22．（24-25八年级下·广东东莞·月考）综合与实践活动课上，老师让同学们以“折纸作的角”为主题开展数学活动．
【操作判断】
（1）①如图①，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平在上选一点P，沿折叠，使点A落在上的点M处，把纸片展平，连接．则______．
②如图②，在前面操作的基础上，延长与交于点N，则的形状是______．
【迁移探究】
（2）小明将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长与交于点Q，连接．
如图③，若改变点P在上的位置(点P不与点A，D重合)，判断与的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）在（2）的探究中，已知正方形的边长为，当P是边的三等分点时，求出的长．
【答案】（1）①；②是等边三角形，理由见解析
（2），理由见解析
（3）或
【分析】本题主要考查了矩形与折叠、正方形的性质、勾股定理、三角形全等的判定和性质等知识点，掌握正方形和矩形的性质是解题的关键．
（1）①根据矩形的性质以及折叠的特点即可解答；②根据折叠的性质说明即可判定的形状；
（2）利用正方形和折叠的特点，证明，然后根据全等三角形的性质即可解答；
（3）当点P是边的三等分点时，即或；据此分两种情况分别运用三角形全等和勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）①∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵沿折叠，使点A落在上的点M处，
∴．
故答案为：．
②是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴是等边三角形．
（2）解： ，理由如下：
由折叠性质得，．
∵四边形是正方形，
∴．
∴．
又∵，，
∴．
∴．
（3）解：∵P是边的三等分点，
∴或，
①如图：当时，
由（2）可知：，
∴，
设，则，
在中，有，
解得：，即；
②如图：，
由（2）可知：，
∴，
设，则，
在中，有，
解得：，即；
综上所述，的长为或．
23．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段检测）综合实践，长方体中蕴藏着丰富的数学知识，善思小组开展长方体中数学知识的探究如图①是底面为正方形的长方体盒子，，，，该小组把长方体的两侧面，剪下来，沿着和剪开，得到四个全等的直角三角形，可拼成如图②和如图③所示的“弦图”，
【探究一】（1）如图②，若每个直角三角形较小锐角为30°，小正方形的面积为16，求大正方形的面积：
【探究二】（2）如图③、若小正方形的面为5，，则大正方形的面积为_____；
【探究三】（3）为了使长方体盒子更加美观，现准备在长方体外表面从点A到点G粘贴一条彩色条（宽度忽略不计）．设所用彩色条的长度为，探究的最小值（用含，的代数式表示）．该小组探究如下：将长方体盒子侧面，展开成图④所示的平面图形，连接，在中，，即的最小值为．上述探究结果是否正确？若不正确，画图并求出的最小值．
【答案】（1）；（2）大正方形的面积为13；（3）不正确，图见解析，最小值为．
【分析】（1）根据小正方形面积求出，再根据含30°直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出结果即可；
（2）由题意可知，中间小正方形的边长为，得到，，得到，即可得解；
（3）将长方体盒子侧面，展开成平面图形，求出此时，然后再比较大小即可．
【详解】解：（1）∵小正方形的面积为16，
∴.
∵每个直角三角形较小锐角为30°
∴
根据句股定理，得
∴大正方形的边长为.
∴大正方形的面积为.
(2)由题意可知，中间小正方形的边长为，
∴，即①:
∵＝21，即②，
①＋②得，，
∴，
∴大正方形的面积为13.
（3）不正确.将长方体盒子侧面，展开成平面图形，如图⑤所示，连接.
在Rt△ABG中，AG＝
∵，
又＞b＞0，
∴
∴＞0，
∴，
即的最小值为.
【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查了勾股定理的几何证明，勾股定理的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握勾股定理．
24．（24-25八年级下·山西太原·阶段检测）问题情境：为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图．
探究实践1：
老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为，再将，分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图．老师让同学们探究：
（1）的度数是 ．
探究实践2：
完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题．经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现：
（2）小虎发现：“如图，将平行四边形沿着BF（F为的中点）所在直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交于点G，则与相等．”
请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由．
【答案】（1）；（2）小虎的结论正确，见解析
【分析】本题主要考查折叠的性质，平行四边形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据折叠的性质得到，再由平角的定义即可求解；
（2）根据折叠的性质得出，再由平行四边形的判定和性质得出四边形为平行四边形，，即可证明；
【详解】（1）解：由折叠得：
∴故答案为：
（2）小虎的结论正确，理由如下：
∵将沿着所在直线折叠，点C的对应点为，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴．
25．（25-26九年级上·辽宁锦州·月考）实践与探究【问题情境】
数学课活动课上，老师提出了一个问题：图①是华东师大版八年级下册教材中我们研究过的图形，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形．的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形绕点无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一．理由如下：
【初步感知】
（1）请你写出证明过程；
（2）我们知道正方形是中心对称图形，受图①启发，成功小组画出了图③，直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形的面积是，则四边形的面积为____________；
【深入探究】
（3）受图③的启发，探究组做了图④，若，，，求四边形的面积；
【拓展应用】
（4）如图④，请写出线段、与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）9；（3）；（4），理由见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键．
（1）分别作，于点、，证明
（2）根据（1）的结论即可求解；
（3）如图，构造正方形，点B为正方形对角线的交点，可得，即得，由即可根据（1）的结论求解；
（4）证明可得，即得，在中利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图②，分别作，于点、，
，
，
∴，
四边形是正方形．
．
，
．
．
，
，
．
，
即正方形绕点无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一；
（2）解：（1）的结论可得，，
故答案为：9；
（3）如图，构造正方形，点为正方形中小学教育资源及组卷应用平台
八年级下册数学期末易错压轴题型（28易错+14压轴）
（苏科版教材专用）
易错题型一、样本估算总体
易错题型二、图表提取信息计算
易错题型三、概率基本概念
易错题型四、根据概率估总数
易错题型五、平行四边形证明
易错题型六、矩形判定证明
易错题型七、菱形判定证明
易错题型八、正方形判定证明
易错题型九、四边形周长、面积计算
易错题型十、四边形中折叠题型计算
易错题型十一、四边形中线段最值计算
易错题型十二、中位线计算
易错题型十三、提公因式法分解
易错题型十四、公式法分解
易错题型十五、综合提公因式和公式法分解因式
易错题型十六、十字相乘法
易错题型十七、分组分解法
易错题型十八、因式分解简便计算
易错题型十九、分式概念判定
易错题型二十、取值条件求解
易错题型二十一、分式四则混合运算
易错题型二十二、先化简再代入求值
易错题型二十三、根据分式方程解的情况求值
易错题型二十四、最简二次根式判定
易错题型二十五、二次根式大小比较
易错题型二十六、同类二次根式
易错题型二十七、二次根式的混合运算
易错题型二十八、分母有理化
压轴题型一、多种统计图联动综合计算
压轴题型二、实际生活概率分析
压轴题型三、四边形中动点探究题
压轴题型四、特殊四边形存在性分类讨论
压轴题型五、四边形几何探究变式题
压轴题型六、复杂多项式多层分解
压轴题型七、因式分解整体代入求值
压轴题型八、含参数因式分解
压轴题型九、规律探究分解题型
压轴题型十、分式规律探究计算
压轴题型十一、分式方程的实际综合应用
压轴题型十二、二次根式新定义运算
压轴题型十三、二次根式与几何结合
压轴题型十四、二次根式规律探究题
易错题型一、样本估算总体
1．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）为了解某市八年级学生每天体育运动时间，从该市八年级学生中抽取100名学生进行调查．下列叙述错误的是（ ）
A．被抽取的100名学生每天体育运动的时间是总体的一个样本
B．该市八年级学生每天体育运动时间的全体是总体
C．该市每个八年级学生每天体育运动的时间是个体
D．样本容量是100名
2．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）为了解某区八年级6000名学生期末测试成绩的情况，从中抽取了600名学生的测试成绩进行统计分析，则这次调查的样本容量是_____．
3．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）时代中学八年级共个班，为了了解本年级学生一周中收看电视节目所用的时间，小亮利用放学时在校门口调查了他认识的名八年级同学．
(1)小亮的调查是抽样调查吗？
(2)如果是抽样调查，指出调查的总体、个体和样本容量．
易错题型二、图表提取信息计算
4．（2026八年级下·江苏·专题练习）某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量，并绘制了折线统计图．其中1至7月份每月阅读课外书本数的最大值比最小值多（ ）
A．39 B．44 C．45 D．50
5．（2026·江苏扬州·二模）为了解学生对体育用品的需求量，某兴趣小组在校园内随机调查了100名该校学生（每名被调查的学生选择且只选择一种体育用品），将收集的数据整理，并绘制成如图所示的扇形统计图。若该校共有1800名学生，则该校选择篮球的学生大约有___________名．
6．（2026·江苏宿迁·一模）设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为100分，规定：为级，为级，为级，为级.现随机抽取实验中学部分学生的综合评定成绩，请根据图中的信息，解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了________名学生，________；
(2)补全条形统计图；扇形统计图中级对应的圆心角为________；
(3)若该校共有4000名学生，请你估计该校级学生有多少名？
易错题型三、概率基本概念
7．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）根据天气预报，某市明天下大雨的概率是．下列说法正确的是（ ）
A．该市明天将有的地区下大雨 B．该市明天将有的时间下大雨
C．该市明天下大雨的可能性较大 D．该市明天肯定会下大雨
8．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，等边三角形由9个全等的小等边三角形组成，随机往内投一粒米，落在阴影区域的概率__________落在非阴影区域的概率．（填“大于”“小于”或“等于”）
9．（25-26八年级下·江苏南京·期中）一个不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，这些球除颜色外其他都相同，将球摇匀，从袋子中随机取出1个球．
(1)取出的球是红球是什么事件？取出的球是蓝球是什么事件？
(2)你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？为什么？
易错题型四、概率基本概念
10．（25-26八年级下·山西太原·期中）某农科院在相同的条件下做小麦种子发芽实验，得到如下统计表：
种子粒数 100 200 300 500 800 1000 2000
种子发芽的粒数 86 178 273 452 716 905 1804
种子发芽的频率 0.860 0.890 0.910 0.904 0.895 0.905 0.902
根据表格中的数据，估计这批种子发芽的概率为（ ）
A．0.86 B．0.89 C．0.90 D．0.91
11．（25-26八年级下·广东梅州·期中）绿豆在相同条件下的发芽试验结果如下表：
每批粒数n 400 600 1000 2000 3000
发芽的频率
则绿豆发芽的概率（精确到）约为__________．
12．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品（指针落在分界线上，重转）．下表是活动进行中的一组统计数据：

转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“洗手液”区域的次数m 65 108 136 345 552 690
落在“洗手液”区域的频率 0.65 0.72 0.68 0.69 a 0.69
(1)填空： ______；
(2)根据上表，随机转动该转盘一次，获得“洗手液”的概率大约是多少？（结果保留两位小数）
易错题型五、平行四边形证明
13．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，在锐角三角形中，，是边上的中线，以点为圆心，长为半径在的右侧作弧，延长交此弧于点，连接，．四边形是平行四边形的依据是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
14．（24-25八年级下·江苏无锡·假期作业）如图，，是相交的两条线段，分别为它们的中点．当绕点旋转时，连接，，，所得到的四边形始终为______形（与不重合）．
15．（24-25八年级下·广东东莞·期末）已知：如图，在平行四边形中，点E，F分别在边，上，且．
(1)若，求的度数；
(2)求证：四边形是平行四边形．
易错题型六、矩形判定证明
16．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）中，交于点，再添加一个条件使其为矩形，不能是下列的（ ）
A． B．
C． D．
17．（2025·山西吕梁·三模）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和底边垂直，只需要用绳子比较书架的两条对角线的长就可以判断，其中证明“四边形是矩形”的依据是：_________________．
如图，用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比
18．（24-25八年级下·吉林长春·期末）阅读下列材料，并把空缺的部分补充完整：
工人师傅在做门窗或矩形零件时，只用卷尺（有刻度）就可以确保图形是矩形：
首先，测量两组对边的长度保证分别相等，确定该图形是______；
其次，要测量______，确定该图形是矩形．

证明过程为：
在四边形中，，，∴____________，
∵____________，∴四边形ABCD是矩形．
易错题型七、菱形判定证明
19．（25-26八年级下·河北邯郸·期中）下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
20．（24-25八年级下·北京顺义·期中）学习了四边形之后，若用如图所示的方式表示四边形与特殊四边形的关系，则图中的“A”表示____；“B”表示____．

21．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，的对角线与交于点，点在上，连接、，．求证：四边形为菱形．
易错题型八、正方形判定证明
22．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）小明在学习了中心对称图形后，整理了平行四边形和特殊平行四边形之间的关系图，如图所示．从下列条件：
①；②；③；④平分中，选择其中一个条件填入（ ）处，补全关系图，其中所有正确选项的序号是（ ）

A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④
23．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，点，同时从点出发在线段上以0.5cm/s的速度反向运动（点，分别到达，两点时停止运动），设运动时间为．连接，，，，已知是边长为4cm的等边三角形，当______s时，四边形为正方形．
24．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，将一张矩形纸片的一端沿折叠，B点恰好落在上的F点．
(1)这样折出来的四边形是________；
(2)证明你在（1）中得到的结论．
易错题型九、四边形周长、面积计算
25．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在中，点是的中点，对角线，相交于点，连接，若的周长是10，则的周长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
26．（2025·湖南株洲·模拟预测）如图，菱形中，，对角线，相交于点，为的中点．若菱形的周长为32，则的周长为_______．
27．（2025·吉林长春·模拟预测）只用无刻度的直尺按要求完成下列作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)如图①，过正方形的顶点作一条直线平分这个正方形的面积；
(2)如图②，过正方形边上一点（非顶点）作一条直线平分这个正方形的面积；
(3)如图③，五个边长相等的正方形组成了一个“型”，点为其中四个小正方形的公共顶点，过点作一条直线平分这个“型”的面积．
易错题型十、四边形中折叠题型计算
28．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，将长方形纸片折叠，使A点落在上的F处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ）
A．邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形
29．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，小亮同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点恰好落在点处，得到折痕，如图②．
请根据以上的操作，已知，，则线段的长是________．
30．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应任务．
关于“矩形内折正方形的方法”的研究报告 研究人员：博学小组 成员1： 研究思路：①3个角都是▲的四边形是矩形； ②有一组邻边相等的矩形是正方形． 操作：如图1，将矩形纸片沿折痕折叠，使点B落在上的点处，则四边形即为正方形． 证明： ． 成员2： 操作：①如图2，E为的中点，将矩形纸片沿折痕，折叠，使A，B两点的落点重合；②如图3，将沿折痕折叠，使点E落在点处，展开后得到图4中的四边形，则四边形即为正方形．
任务：
(1)研究报告中“▲”处空缺的内容： ；
(2)请补全材料中“…”处的证明过程；
(3)研究报告中成员2的操作得到的四边形 正方形．（填“是”或“不是”）
易错题型十一、四边形中折叠题型计算
31．（2025·陕西汉中·二模）如图，在中，，将线段向右平移a个单位长度后得到线段（点E、F分别与点A、B对应，且点E、F分别在线段上），当四边形为菱形时，a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
32．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，M是直线在第二象限部分上的一个动点，连接，将顺时针旋转得到线段，N是x轴正半轴上一个动点，P为的中点，Q为的中点，连接．下列同学关于的说法中，正确的是__________．
小兰：为定值，长度为2．
小虎：为定值，长度为4．
小天：有最小值，最小值为2．
小灿：有最大值，最大值为4．
33．（24-25八年级下·福建厦门·期中）在如图所示的网格中，线段和直线a如图所示，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在格点上．
(1)在图中画出以线段为一边的正方形，且点C和点D均在格点上，并直接写出正方形的面积为______；
(2)在图中以线段为一腰的等腰三角形，点E在格点上，则满足条件的点E有______个；
(3)在图中的直线a上找一点Q，使得的周长最小，最小值是多少？
易错题型十二、中位线计算
34．（25-26八年级下·湖南常德·期中）如图，中，点，分别是，的中点，若，则（ ）
A．6 B．10 C．12 D．15
35．（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）如图，中，分别是的中点，若，则_______；若，则_____．
36．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）如图，点D，E，F分别是的三边的中点，．求四边形的周长．
易错题型十三、提公因式法分解
37．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）多项式因式分解的结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
38．（25-26八年级下·山东淄博·期中）分解因式：_____．
39．（25-26八年级下·四川达州·期中）因式分解
(1)；
(2)．
易错题型十四、公式法分解
40．（25-26八年级下·河北张家口·期中）下列等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
41．（25-26八年级下·山西·期中）因式分解：______．
42．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）把下列完全平方式因式分解：
(1)；
(2)．
易错题型十五、综合提公因式和公式法分解因式
43．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）分解因式后得，则n等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
44．（2026·山东东营·二模）因式分解：______．
45．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）把下列各式因式分解：
(1)；
(2)．
易错题型十六、十字相乘法
46．（24-25八年级下·甘肃武威·期末）若因式分解得：，则、的值为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
47．（24-25八年级下·四川成都·月考）因式分解_____________．
48．（25-26八年级上·河南南阳·期中）【阅读与思考】请认真阅读下列材料，并完成相应的任务．
分解因式，我们可以按下面的方法解答．
①竖分二次项与常数项：，．
②交叉相乘，验中项：
③横向写出两因式：，．
．我们把这种因式分解的方法形象地称为十字相乘法．
【任务】试用十字相乘法把下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
易错题型十七、分组分解法
49．（24-25八年级下·江苏无锡·课后作业）下列式子中，属于的因式的是（ ）
A． B． C． D．
50．（2025·四川内江·二模）因式分解：________．
51．（25-26八年级上·重庆合川·期末）阅读下列材料：分解因式：．
方法一：原式；
方法二：原式．
对多项式进行因式分解，当不能提取公因式，也不能直接用公式法时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法分解因式．
请尝试利用材料中的方法分解因式：
(1)；
(2)．
易错题型十八、因式分解简便计算
52．（25-26八年级上·江西南昌·月考）利用因式分解计算等于（ ）
A．1 B． C．533 D．534
53．（24-25八年级下·江苏无锡·课后作业）由完全平方公式，可知，用这一方法计算：________．
54．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）因式分解及简便运算
(1)分解因式：；
(2)简便计算：．
易错题型十九、分式概念判定
55．（24-25八年级下·四川遂宁·期中）在中，分式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
56．（2026八年级下·江苏无锡·专题练习）某船在静水中航行的速度是千米/时，水流的速度是千米/时（）．若该船从甲地顺流去乙地需小时，则从乙地返回甲地需________小时（用含的式子表示）．
57．（2025八年级上·北京·专题练习）下列式子中，哪些是分式？
，，，，
易错题型二十、取值条件求解
58．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）若分式无意义，则的值是（ ）
A．4 B．3 C．0 D．
59．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）若代数式有意义，则实数的取值范围是__________．
60．（25-26八年级上·江苏无锡·课后作业）（1）若分式的值为零，则x的值为_________．
（2）若分式的值为零，则x的值为_________．
易错题型二十一、分式四则混合运算
61．（2026·山东济南·一模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
62．（25-26八年级下·江苏无锡·单元复习）若化简的最终结果为整数，则“”代表的式子可以是______．
63．（2026·山西大同·模拟预测）计算与化简：
(1)计算：．
(2)化简：．
易错题型二十二、先化简再代入求值
64．（25-26八年级下·四川南充·期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
65．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）已知，则代数式的值等于______________．
66．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）先化简，然后在范围内选一个合适的整数代入求值．
易错题型二十三、根据分式方程解的情况求值
67．（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于的分式方程的解为，则m的值是（ ）
A．2 B．0 C．-2 D．3
68．（25-26八年级上·湖南常德·期中）已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为_______．
69．（2025八年级下·江苏无锡·专题练习）已知关于的分式方程．
(1)当时，求该方程的解；
(2)若该方程有增根，求的值．
易错题型二十四、最简二次根式判定
70．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
71．（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）在 ，，，，，中，最简二次根式的个数是_______．
72．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）判断下列二次根式是不是最简二次根式．若不是，请化简．
，，，，．
易错题型二十五、二次根式大小比较
73．（24-25八年级下·云南红河·期末）数学老师给出了以下四个代数式：①，②，③，④，且告知．小兴发现：若重新排列顺序后，4个代数式就变成一列从小到大顺序变化的代数式，则下列排序正确的是（ ）
A．①②③④ B．④②③① C．①④③② D．③②①④
74．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）比较大小：________（填“>”“=”或“<”）．
75．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下：
解：．
，，，．
我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较实数与的大小．
易错题型二十六、同类二次根式
76．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列二次根式中，不能与合并的二次根式是（ ）
A． B． C． D．
77．（25-26八年级下·重庆·期中）若最简二次根式能与合并为一项，则x的值为______．
78．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）嘉嘉和淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放有四个大小相同且标有不同数字的小球.游戏规则：将从容器中摸取到的小球上所表示的数相加．
(1)若嘉嘉摸到如图1所示的两个小球，请计算出结果．
(2)如图2，若嘉嘉摸出全部的四个小球，计算结果为，淇淇说的值能与合并．你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由．
易错题型二十七、同类二次根式
79．（25-26八年级下·云南普洱·期中）如图，这是一个程序框图．若输入x的值为12，则输出y的值为（ ）
A． B． C． D．
80．（25-26八年级上·河北张家口·期末）一个长方形一组邻边的长度和为，长为，这个长方形的面积为_____ ．
81．（25-26八年级下·山东淄博·期中）阅读材料：已知，求的值．
小明同学是这样解答的：
∵，
又∵，
∴．
这种方法称为“构造对偶式”．
解答问题：
(1)已知，试证明为定值．
(2)已知，求的值．
易错题型二十八、分母有理化
82．（24-25八年级下·上海·阶段检测）下列说法错误的个数为（ ）个．
（1）；（2）的倒数是；
（3）；（4）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
83．（25-26八年级上·陕西西安·月考）在进行二次根式化简时，有时会遇到形如这样的式子，我们可以用如下的方法将其进一步化简：，这种方法叫做分母有理化；请仿照上述过程，将代数式化简为________．
84．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）【阅读理解】数学课上，张老师在黑板上写了这样一个问题：已知，求的值．
爱思考的琳琳想了一会写出了下面的解答过程：
，即，
，即．
．
．
【活学活用】请你根据琳琳的分析过程，解决如下问题：
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
压轴题型一、多种统计图联动综合计算
1．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）为了解某校七年级900名学生的心理健康评估报告，从中抽取了200名学生的心理健康评估报告进行统计分析，在这个问题中：
(1)采用了 调查方式．样本容量是 ．
(2)写出调查中的总体、个体和样本．
2．（25-26八年级下·山东威海·期末）学校要举办一项球类比赛，针对学生意愿（喜欢举办哪类比赛，且只能从中选择一种）随机调查了部分学生，并将调查的结果绘制成如下不完整的统计图：
根据图中所给出的信息解答下列问题：
(1)求调查了多少人；
(2)a的值为 ；（直接写结果）
(3)若这所学校共有1000人，估算喜欢举办足球比赛的学生约有多少人．
3．（24-25八年级下·山东烟台·期末）阅读涵养心灵．某中学今年9月就“初中生每天阅读时间”对六年级8000名学生进行了抽样调查（设每天阅读时间为小时，调查问卷设置了四个时间选项：A．；B．；C．；D．），并根据调查结果制作了如图1所示的条形统计图．12月六年级的学生总数没发生变化，该中学又对六年级学生进行了一次抽样调查，并根据调查结果制作了如图2所示的扇形统计图．请根据提供的信息，解答下列问题：
(1)求出今年9月份抽样调查的学生人数；
(2)估算该中学9月份六年级学生“每天阅读时间不少于1小时”的人数；
(3)估算该中学“每天阅读时间超过2小时”的六年级学生人数今年12月相对于9月的增长率．
4．（25-26八年级下·陕西西安·期末）某校为了进一步改进本校八年级数学教学，提高学生学习数学的兴趣，校教务处在八年级所有班级中，每班随机抽取了6名学生，并对他们的数学学习情况进行了问卷调查．我们从所调查的题目中，特别把学生对数学学习喜欢程度的回答（喜欢程度分别为：“非常喜欢”、“比较喜欢”、“不太喜欢”、“很不喜欢”，针对这个题目，问卷调查时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项）结果进行了统计，现将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
(1)补全上面的条形统计图和扇形统计图；
(2)在扇形统计图中，“对数学学习喜欢程度为”所对应的圆心角的度数是___________．
(3)若该校八年级共有960名学生，请你估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的大约有多少人？
5．（25-26八年级下·福建三明·期末）某数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，并按照国家分类标准统计人数，绘制成两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：
抽取的学生视力情况统计表
类别 检查结果 人数
正常
轻度近视
中度近视
重度近视
抽取的学生视力情况统计图
(1)求抽取的轻度近视学生人数；
(2)该校共有学生约人，请估算该校重度近视的学生人数．
压轴题型二、实际生活概率分析
6．（24-25八年级下·山东淄博·期中）完成下列各题：
(1)写出下列命题的条件和结论，并指出它是真命题还是假命题．
①面积相等的两个三角形全等；
②同角的补角相等；
③两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．
(2)任意投掷一枚均匀的骰子．
①掷出的点数小于4的概率是多少？
②掷出的点数是奇数的概率是多少？
③掷出的点数是7的概率是多少？
④掷出的点数小于7的概率是多少？
(3)现有足够多除颜色外均相同的球，请你从中选12个球设计摸球游戏．
①使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等；
②使摸到红球、白球、黑球的概率都相等；
③使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都小于摸到黑球的概率．
7．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题：
投篮次数 50 100 150 200 250 300 500
投中次数 28 60 78 104 125 153 250
投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50
(1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1）
(2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？
8．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）沈阳市林业局积极响应习总书记“绿水青山就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．
请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：
(1)这种花卉成活的频率稳定在______附近，估计成活概率为______（精确到0.1）．
(2)该林业局已经移植这种花卉20000棵．
①估计这批花卉成活的棵数；
②根据市政规划共需要成活270000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？
9．（25-26八年级下·江苏·期中）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据：
转动转盘的次数n 100 200 300 400 500
落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b
落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296
(1)完成上述表格： ， ；
(2)若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近 ，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是 ；（结果都精确到0.1）
(3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，则、、的大小关系是 ．（用“”连接）
10．（24-25八年级下·河南郑州·期末）数学兴趣小组为探究事件 A 发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表
试验总次数 n 100 200 300 400 500 600
事件A出现的次数m 24 48 b 104 125 150
事件A发生的频率 a 0.24 0.25 0.26 0.25 0.25
(1)上表中 ， ；
(2)根据上表，完成图2的折线统计图；
(3)请你举出一个事件，使它发生的概率符合事件A发生的概率．
压轴题型三、四边形中动点探究题
11．（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，在四边形中，，，，，动点M从点A出发，以的速度向终点D运动，同时动点N从点C出发，以的速度向终点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当四边形是平行四边形时，求t的值．
(2)当四边形是矩形时，求t的值．
12．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图1，在中，，，．是线段上的动点，是射线上的动点，且．设．
(1)当在线段上时，用含的代数式表示线段的长．
(2)如图2，是的中点，以，为邻边构造．
①当点与点重合时，连结，求的长．
②当点落在的边上时，求的长．
13．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）（1）如图1，在四边形中， ，，，若动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿方向运动，当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了x秒（x>0），求当x为多少秒时，四边形变为平行四边形．
（2）如图2，若四边形变为平行四边形，，动点P从A点出发．以每秒1cm的速度沿线段向D点运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在间往返运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发．并运动了t秒（t>0）．求当t为多少秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形．

14．（24-25八年级下·四川自贡·期中）如图，矩形中，，，一动点P从A点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点C匀速运动，同时另一动点Q从C点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动，当其中一个点到这终点时，另一个点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒，过点P作于点E连接，．
(1)求证：；
(2)四边形能成为菱形吗？如果能，求出相应的t值：如果不能，说明理由
(3)若动点Q从C点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，其它条件不变，当____时，有最小值．
15．（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图1，正方形中，E，F分别是，边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到．
(1)①求证：；
②写出、、三者之间的关系．
(2)类比迁移：若点E、F分别为正方形两条边的延长线上的动点，、、三者之间还存在（1）中的关系吗 根据解决（1）中问题的经验加以探究．
①如图2，在正方形中，点E、F分别是、延长线上的动点，且，、、之间的数量关系是______．
②如图3，在正方形中，点E、F分别是、延长线上的动点，且，则、、之间的数量关系是________．
请选择图2、图3中的一个给出证明．
压轴题型四、特殊四边形存在性分类讨论
16．（24-25八年级上·广东佛山·月考）如图，为线段上一动点，分别过点作，，连接，已知．
(1)请问：点在什么位置时，；
(2)当点在线段上运动时，是否存在最小值？若存在，请直接写出结果；若不存在，请说明理由．
17．（24-25八年级下·天津滨海新区·期中）正方形的边长为6，O为平面直角坐标系的原点，D是的中点．
(1)如图，点A的坐标为 ，点C的坐标 ，点D的坐标 ；
(2)如图，点P在上， 且坐标为，若三角形的面积为12，求a的值；
(3)在坐标轴上是否存在点Q，使三角形的面积是正方形面积的一半．若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点．动点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动（到点时停止）．设动点的运动时间为秒．
(1)_____．（用含的代数式表示）
(2)当为何值时，四边形是平行四边形？
(3)若四边形是平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由．
(4)在线段上是否存在一点，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
19．（24-25九年级上·广西柳州·月考）【问题情境】
如图，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转（）得到线段，过点作交直线于点．
【猜想证明】
（1）当时，判断四边形的形状并说明理由；
（2）如图，当时，连接，求此时的面积；
【能力提升】
（3）在【问题情境】的条件下，是否存在，使点，，三点共线，若存在，请直接写出此时的长度；若不存在，请说明理由．
20．（2025·广东东莞·一模）综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．
【动手操作】
如图1，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接．
【探究提炼】
（1）如图1，点是上任意一点，线段和线段存在什么关系？并说明理由；
（2）如图2，连接，当恰好垂直于时，求线段的长度；
【类比迁移】
（3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．
①求的度数；
②请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由．
压轴题型五、四边形几何探究变式题
21．（24-25八年级下·山东济宁·期中）在某探究课《矩形的折叠》中，每个小组分到了相同大小的矩形纸张，，，各小组通过对该纸张的折叠探究了各种不同的折叠问题．
小组 探究内容 图形
第一小组 把沿折叠，与重叠部分记为．
第二小组 步骤1：把矩形沿折叠，使得与重合，点，分别为，上的点． 步骤2：为边上动点（与点B，C不重合），沿折叠得到．
根据以上各小组探究内容，求解下列问题．
(1)根据第一小组探究内容，求证：是等腰三角形．
(2)根据第二小组探究内容，当，，三点在同一直线上时，画出简单的示意图，求BP的长度．
22．（24-25八年级下·广东东莞·月考）综合与实践活动课上，老师让同学们以“折纸作的角”为主题开展数学活动．
【操作判断】
（1）①如图①，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平在上选一点P，沿折叠，使点A落在上的点M处，把纸片展平，连接．则______．
②如图②，在前面操作的基础上，延长与交于点N，则的形状是______．
【迁移探究】
（2）小明将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长与交于点Q，连接．
如图③，若改变点P在上的位置(点P不与点A，D重合)，判断与的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）在（2）的探究中，已知正方形的边长为，当P是边的三等分点时，求出的长．
23．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段检测）综合实践，长方体中蕴藏着丰富的数学知识，善思小组开展长方体中数学知识的探究如图①是底面为正方形的长方体盒子，，，，该小组把长方体的两侧面，剪下来，沿着和剪开，得到四个全等的直角三角形，可拼成如图②和如图③所示的“弦图”，
【探究一】（1）如图②，若每个直角三角形较小锐角为30°，小正方形的面积为16，求大正方形的面积：
【探究二】（2）如图③、若小正方形的面为5，，则大正方形的面积为_____；
【探究三】（3）为了使长方体盒子更加美观，现准备在长方体外表面从点A到点G粘贴一条彩色条（宽度忽略不计）．设所用彩色条的长度为，探究的最小值（用含，的代数式表示）．该小组探究如下：将长方体盒子侧面，展开成图④所示的平面图形，连接，在中，，即的最小值为．上述探究结果是否正确？若不正确，画图并求出的最小值．
24．（24-25八年级下·山西太原·阶段检测）问题情境：为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图．
探究实践1：
老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为，再将，分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图．老师让同学们探究：
（1）的度数是 ．
探究实践2：
完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题．经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现：
（2）小虎发现：“如图，将平行四边形沿着BF（F为的中点）所在直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交于点G，则与相等．”
请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由．
25．（25-26九年级上·辽宁锦州·月考）实践与探究【问题情境】
数学课活动课上，老师提出了一个问题：图①是华东师大版八年级下册教材中我们研究过的图形，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形．的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形绕点无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一．理由如下：
【初步感知】
（1）请你写出证明过程；
（2）我们知道正方形是中心对称图形，受图①启发，成功小组画出了图③，直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形的面积是，则四边形的面积为____________；
【深入探究】
（3）受图③的启发，探究组做了图④，若，，，求四边形的面积；
【拓展应用】
（4）如图④，请写出线段、与之间的数量关系，并说明理由．
压轴题型六、复杂多项式多层分解
26．（25-26八年级上·北京·期中）小元学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时的值称为多项式A的零点．
(1)已知多项式，则此多项式的零点为 ；
(2)已知多项式有一个零点为1，求多项式B的另一个零点；
(3)小元继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“1系多项式”．若多项式是“1系多项式”，求多项式M．
27．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个多项式与，若为常数，则称是的“恒定多项式”，这个常数称为它们的“恒定值”，如是的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为-5．
(1)下列各组多项式，是的“恒定多项式”的是______（填序号）；
①；
②；
③．
(2)关于的多项式是多项式（为常数）的“恒定多项式”，请计算出它们的“恒定值”；
(3)关于的多项式是的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为．若，求代数式的最小值．
28．（25-26八年级下·江苏无锡·单元测试）【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”．
【解决问题】
(1)当______时，多项式，所以可以因式分解为______；
(2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值；
(3)对于三次多项式，用“试根法”因式分解．
29．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）阅读下面材料，完成相应任务：
配方法因式分解 一般地，我们将形如的多项式叫做完全平方式，有些多项式不是完全平方式，但可以通过“添项”的方式，使多项式中的部分项是完全平方式，并且要使变形前后两个多项式的值保持不变，此方法称为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．在因式分解、求代数式最值等问题中有着广泛的应用． 例如，我们可以用配方法将多项式因式分解：
任务一：
（1）运用配方法将多项式因式分解；
（2）用配方法说明多项式的值一定是一个正数．
任务二：
“创新小组”的同学受“配方法因式分解”的启发，在将多项式因式分解时，将“”看成一个整体，令，则原多项式可化为，然后用配方法将多项式因式分解，再把代入分解的结果，便达到将原多项式因式分解的目的．
（3）请你帮助“创新小组”写出将多项式因式分解的过程．
30．（25-26八年级上·广西来宾·期中）仔细阅读下面例题，解答问题：我们把多项式与叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，通常进行如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的数学方法，不仅可以解决一些因式分解的问题，还能解决一些代数式的大小和最大值，最小值的问题．
如：因式分解：
解：原式
如：求的最小值
解：原式
所以当时，
有最小值3．
(1)请你模仿以上方法，将多项式因式分解；
(2)请你模仿以上方法，当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值；
(3)试比较多项式与多项式的大小，其中为实数．
压轴题型七、因式分解整体代入求值
31．（25-26八年级上·山东烟台·期中）先阅读材料，再解答问题：
材料：因式分解：．
解：将看成整体，设，则原式，
再将代入，得．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想，请你用整体思想解答下列问题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)求证：无论为何值，式子的值一定是一个不小于1的数．
32．（24-25八年级上·福建漳州·期中）“整体思想”在数学解题中运用广泛，下面例题是运用“整体思想”对多项式进行因式分解：因式分解：．
解：原式
(1)以上例题解答过程中把___________当作一个整体，多项式变形后，运用_________公式进行因式分解；
(2)请仿照以上方法对下面多项式进行因式分解：；
(3)拓展应用：
求证：四个连续自然数、、、的积与1的和等于一个奇数的平方．
33．（25-26八年级上·山东泰安·期中）阅读材料，解决问题：
【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
例如：分解因式．
解：原式
【材料2】因式分解：
解：将看成一个整体，设，
则原式，再将代入，得：原式．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你解答下列问题：
(1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：；
(2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：；
34．（24-25八年级上·山东德州·阶段检测）阅读材料，解决问题：
【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
例如：分解因式．
原式
．
【材料2】因式分解：．
解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式．
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：
(1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：；
(2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：．
35．（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．
这样，我们可以得到：．
材料：分解因式：
解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式
上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．
迁移运用】
(1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式：
；
(2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解：．
压轴题型八、含参数因式分解
36．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式：
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式：
(1)
(2)
(3)能否根据以上方法确定式子有最小（或最大）值，若能，请求出这个值.
37．（24-25八年级下·山东济南·月考）数学兴趣小组在进行因式分解时发现，若多项式能分解成两个一次整式相乘的形式，则或时，原多项式的值为0，尝试定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为该多项式的“对称值”．例如：多项式，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和，“对称值”为．
根据上述材料，解决下列问题．
(1)多项式的“零值”为__________，“对称值”为__________；
(2)若多项式（实数m为常数）的两个“零值”相等，求m的值及多项式的“对称值”．
38．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）小晓在化简整式时，得到的结果是，则“○”表示的数为________．
【发现】小晓观察计算结果，发现这个多项式是两数的平方和加上两数的积，她把具有这种结构特征的多项式称为“对称多项式”，例如：，请你再写出一个“对称多项式”（用含，的代数式表示）________；
【探究】规定，若和是两个连续的奇数时，称为这个对称多项式的“对称奇值”，小晓进一步研究，对称奇值减去1，结果都是12的倍数，例如，，试说明原因．
【应用】已知，，求的值．
39．（25-26八年级下·山东济南·阶段检测）【概念学习】
一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式．
【特例感知】
代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，因为，所以是对称式．而交换式子中字母m，n的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式．
【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题：
(1)下列代数式中是对称式的有__________（填序号）；
① ② ③ ④．
(2)若关于m，n的代数式（）为对称式，则的值为__________；
(3)在（2）的条件下，已知，且，求的值．
40．（24-25八年级上·福建泉州·期中）综合与实践
某数学兴趣小组开展综合实践活动发现：特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法． 例如，已知多项式有一个因式是，求m的值． 小安的求解过程如下： 解：由题意设（A为整式）， 由于上式为恒等式，为了方便计算，取， 则， 解得：①________．
(1)补全小安求解过程中①所缺的内容；
(2)若，求的值；
(3)若多项式有因式和，求m，n的值．
压轴题型九、规律探究分解题型
41．（24-25八年级下·山东烟台·期末）【问题呈现】
观察下列式子：，，，……
【问题解决】
（1）请你写出第五个式子______；
（2）猜想第n个式子，并说明它的正确性．
（3）按照上述规律，______；
【知识迁移】
数学社团在研究“正整数m能否表示为（x、y均为自然数）”时，发现若m是4的倍数时，则有：，，，，，……按上述规律，将下列两数用“”形式表示出来．
（4）______；
（5）______．
42．（25-26八年级上·江西赣州·月考）【观察思考】
观察下列各式．
；
；
；
…
【规律发现】
请根据你发现的规律解答下列各题：
（1）①________；
②________；（其中为正整数）
【规律应用】
（2）分解因式：________；
（3）计算：．
43．（25-26八年级下·广东深圳·期中）【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．
例如：，，，，…
因此8，16，24，32都是“神秘数”．
(1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空：
（__________）；（__________）（__________）；
(2)【深入探究】设两个连续的奇数中，较小的奇数为（其中n取正整数），试说明“神秘数”一定是8的倍数；
(3)【知识技能】我国的国土面积为960万平方公里，960是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差；如果不是，请说明理由；
(4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼接到正方形，正方形的边长为99，求阴影部分面积的和．
44．（24-25八年级下·山西晋中·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
（1）探究发现；
小明计算下面几个题目
①；②；③；④后发现，形如的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律：
．
（2）面积说明：
上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算发现这个规律是正确的，小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出右面图形说明他发现的规律．
（3）逆用规律：
学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面因式分解的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：．
（4）拓展提升
现有足够多的正方形和矩形卡片（如图），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重复，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为并利用你所拼的图形面积对进行因式分解．
45．（24-25八年级下·山西太原·期中）阅读与思考
下面是小欣关于“智慧优数”的研究性学习报告的一部分，请认真阅读并完成相应的任务．
解密“智慧优数”
概念理解：
如果一个正整数能表示为另外两个不相邻的正整数，的平方差，即，其中，则称这个正整数是一个“智慧优数”例如，，16就是一个“智慧优数”我们可以逆用平方差公式来研究“智慧优数”，即．
特例构造：
根据定义，可从不相邻的两个正整数入手，不重不漏地构造“智慧优数”，思路如下：
当时，的值依次可取3，4，5，6， ，分别计算的值，即可求得一组“智慧优数”；
当时，的值依次可取4，5，6，7， ，分别计算的值，即可求得一组“智慧优数”；
当时，重复上述步骤，即可得到更多的“智慧优数”．
规律剖析：
在特例构造的过程中可以发现，由两个不相邻的正整数，构造出的“智慧优数”与这两个正整数的差之间存在特定的关系，分类讨论如下：
情况一：当与的差是偶数时，由与构造出的“智慧优数”能被4整除．
理由如下：设（为正整数），则，
则“智慧优数”
……
所以，当与的差是偶数时，由与构造出的“智慧优数”能被4整除．情况二：当与的差是奇数时，在由与构造“智慧优数”的过程中，可得出下列结论：
A．一定是奇数 B．与均为奇数 C．一定是与差的奇数倍……
任务：
(1)请根据“特例构造”中的思路，直接写出一个小于16的“智慧优数”；
(2)请将“规律剖析”中情况一的说理过程补充完整；
(3)“规律剖析”中情况二所得的结论，所有正确的结论为_______（填结论的序号）；
(4)按从小到大顺序排列的第5个“智慧优数”为_________．
压轴题型十、分式规律探究计算
46．（24-25八年级下·河南郑州·期末）按下列程序计算，把答案填写在表格内，并回答下列问题：
输入 3 2 …
输出答案 1 1 …
（1）根据上述计算你发现了什么规律？
（2）请你说明你发现的规律是正确的．
47．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）数学探究是数学学习的重要方法之一，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养．
例如：给定一列式子，并规定：（为整数且）．
则：
照此规律，解答下列问题：
(1)______；
(2)______；
(3)若，求的值；
(4)当时，则的最大值为______．
48．（25-26八年级上·广西防城港·期末）探究与应用
【特例分析】
（1）填空：
①的解为x= ；
②的解为x= ；
③的解为x= ；
......
【总结规律】
（2）根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解： ．
【解决问题】
（3）请你按照上述规律写出第n（n为正整数）个分式方程，并求出它的解．（写出解答过程）
49．（25-26八年级下·福建漳州·期中）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个不同单位分数之和．数学课上，张老师提出：对于任意单位分数（a为正整数且）均可以拆分成两个不同单位分数的和．兴趣小组对此进行探究，过程如下；
【探索规律】
当时，；
当时，；
当时，；
…
(1)写出时的拆分结果；
(2)【发现规律】猜想拆分结果，并证明你的猜想；
(3)【方法应用】仿照上述过程，经历探索规律，发现规律，证明：对于任意奇数，可以拆分成两个不同单位分数的和．
50．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）阅读下面的解题过程．
计算：
解：因为
所以原式，
根据以上解题方法，观察：……以此类推．你发现了什么规律？请你根据发现的规律，回答下列问题：
(1)根据发现的规律，填空：________．
(2)利用发现的规律，计算：．
(3)类比发现的规律，化简求值：已知，求代数式的值．
压轴题型十一、分式方程的实际综合应用
51．（2026·云南曲靖·模拟预测）从智慧家居到智能网联汽车，从精准医疗诊断到量化金融风控，正深刻重塑着我们的生活场景与产业格局．无人机与自动驾驶配送凭借高效便捷、安全可靠、降本增效等优势，正逐步成为现代物流领域的重要发展方向．某无人配送公司使用自动驾驶设备运送一批物资，已知该智能设备每小时比人工多配送 20 件物资；若运送 600 件相同物资，智能设备所用时间仅为人工配送的三分之二．求人工配送每小时可运送多少件物资？
52．（2026·江苏常州·模拟预测）列方程解下列问题：
马拉松是一项长跑比赛项目，其比赛长度为公里（本题以42公里计算）．
(1)据统计，某市今年马拉松的参赛人数较去年增加了，今年与去年共有万人参赛，那么今年与去年的参赛人数各是多少？
(2)甲、乙两人均为该市今年马拉松比赛参赛者，甲平均每小时比乙多跑2公里，且乙跑完全程所用时间是甲的倍，求甲、乙两人全程的平均速度．
53．（2026·江苏泰州·模拟预测）列方程解下列问题：
校门口的创新文具店，售卖，两款中考专用套装文具，款的售价比款的售价高8元，3套款文具与5套款文具的销售总金额相同．
(1)求，两款套装文具的售价分别是多少元？
(2)，两款套装文具的进价都比它们各自售价的一半要高，其中款高出部分的金额比款高出部分金额的还少1元．文具店老板用3200元购进款套装文具的数量比用2400元购进款套装文具的数量少100套．求款套装文具的进价是多少元？
54．（2026·江苏徐州·二模）某公司为深入宣传低碳发展理念，以碳积分激励市民低碳出行，累积的积分可兑换公交优惠券等权益．已知每乘坐一次公交车可获10个碳积分，步行则按总步数核算碳积分，小悦每日上下班各出行1次，规划了两种固定绿色出行方式，具体如下：
方式一：一次公交车（中途不下车）+步行600步；
方式二：步行4200步．
已知，小悦用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个．
求每获得1个碳积分需要步行多少步．
55．（2026·重庆·一模）列方程解下列问题：
马年春晚舞台上惊艳全网的歌咏创意秀节目《贺花神》，其创作灵感源自故宫博物院珍藏的一件清代白玉月令组配，这套玉佩由十三件玉牌组成——12片花瓣和1片“六环式活心”花蕊．某校“非遗手工”课程组40名学生买了铝箔纸材料包复刻“月令组配”．已知一个学生在一节课堂中可单独完成8张花瓣制作或2张花蕊制作．
(1)应如何分工，才能使一节课堂中完成的“月令组配”的花瓣和花蕊配成套？
(2)该手工复刻非常成功，学校决定再次购买一批材料包和画框向全校师生推广“月令组配”制作并展览．已知学校花费了4000元购买材料包和6000元购买画框，材料包和画框的数量一样多，且画框的单价比材料包单价的2倍少5元，请问材料包的单价是多少元？
压轴题型十二、二次根式新定义运算
56．（24-25八年级下·福建莆田·阶段检测）定义：任意两个数，按规则扩充得到一个新数c，将所得的新数称为“如意数”．
(1)若，，直接写出a，b的“如意数”c；
(2)如果，，证明“如意数”c是非负数．
57．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，和，因为，所以这个三角形是奇异三角形．
(1)若的三边长分别是3，5和，判断此三角形是不是奇异三角形，说明理由．
(2)若是奇异三角形，且其中有两条边长分别为3、4，求出第三条边长．
58．（25-26九年级上·甘肃天水·月考）新考法．
求代数式的值，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
(1)____________的解法是错误的，错误的原因是_____________；
(2)求代数式的值，其中．
59．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）在数学中，我们经常遇到形如的二次根式，为了简化计算，可以通过“有理化”将其转化为更简单的形式．例如：
，这种方法称为“分母有理化”．类似的，我们也可以对分子进行有理化．
问题：
(1)将下列根式进行分母有理化，并化简：
(2)定义一种新运算“”：当时，；当时，
已知：，，
①求的值；
②若，求的值．
60．（25-26八年级下·广西玉林·期中）阅读材料，理解定义，完成下列问题：
在二次根式运算中，我们常遇到分母含有根号的式子．为了使分母不含根号，我们引入一种新的运算——“共轭化简法”．
定义：共轭化简法
对于形如或的式子，通过乘以一个适当的根式，使分母变为有理数，这个过程称为共轭化简．
1．若分母为单根号，则分子分母同乘；
2．若分母为，则分子分母同乘（称为“共轭式”）．
示例：
问题：
(1)利用共轭化简法化简_____；_____．
(2)方法迁移，解决变式问题：化简_____．
(3)计算：．
压轴题型十三、二次根式与几何结合
61．（25-26八年级下·天津·期中）如图是可调躺椅示意图，与的交点为C，测得．
(1)若，求的长；
(2)为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得，求此时的长度．
62．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，现有两张同样大小的长方形纸片，小星采用如图1所示的方式，在其中一张长方形纸片上裁出两张面积分别为和的正方形纸片 A，B．
(1)求原长方形纸片的周长．
(2)写出图1中阴影部分图形(长方形)的长和宽，并求出它的面积．
(3)小红能采用如图2所示的方式，在另一张长方形纸片上裁出两张面积均为的正方形纸片吗？请说明理由．
63．（25-26八年级下·广东中山·期中）小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高空抛物害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足（不考虑风速的影响，，）
(1)已知小明家住21层，每层的高度近似为3m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结果保留根号）
(2)小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）物体质量（千克）高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人
64．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）阅读材料：
在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方的形式．如：
；
．
【类比归纳】
(1)填空：
；
．
(2)请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方的形式：
【拓展提升】
(3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，剩余部分的面积为________．
65．（25-26八年级下·北京·期中）【阅读理解】二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简．
解：将分子、分母同乘以得：
．
(1)化简： ；
(2)【拓展延伸】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形（）的宽．求黄金矩形中边的长；
(3)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论．
压轴题型十四、二次根式规律探究题
66．（24-25八年级下·福建龙岩·期中）观察下列等式：；；……根据你观察后所发现的规律，解答下列问题：
(1)若等式及具有上述规律，则 ； ；
(2)请你用含n的等式表示上述规律；（n是大等于2的整数）
(3)请你证明上述等式的正确性．
67．（24-25八年级下·甘肃平凉·期中）观察下列各式：
①；
②；
③．
(1)请根据以上规律，写出第4个式子： ．
(2)请根据以上规律，写出第n个式子 ；
(3)根据以上规律计算下列式子的值：．
68．（24-25八年级下·山东威海·期末）【观察·发现】
填空：
①； ②； ③
④__________； ⑤__________； ⑥__________；
……
【归纳·猜想】
如果为正整数，按照此规律，第个式子可以表示为__________；
【应用·运算】
①用发现的规律填空，并通过计算验证：__________；
②直接写出结果：若，则__________．
69．（25-26八年级上·宁夏中卫·期中）下列是二次根式进行分母有理化的计算过程：
；
；
．
(1)请根据题目，化简；
(2)从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：．
70．（24-25八年级下·北京海淀·期中）阅读材料：
小华在学习分式运算时，通过具体运算发现：
，，，…
在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，请将下面的探究过程，补充完整．
（1）具体运算：
特例1：；
特例2：；
特例3： （填写一个符合上述运算特征的例子）．
（2）发现规律： （n为正整数），并证明此规律成立．
（3）应用规律：
如果 的小数部分0.06，那么整数部分为 ．
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