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2025-2026学年八年级下册数学期末重难点检测卷（培优卷）
（苏科版教材专用）
（满分100分，考试时间120分钟，共27题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：八年级下册全部内容；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
选择题（8小题，每小题2分，共16分）
1．（25-26·江苏南京·月考）下列调查最适合用普查的是（ ）
A．市场上某品牌电脑的质量 B．长江南京段的水质情况
C．全省八年级学生的睡眠情况 D．“嫦娥五号”探测器发射前的检查
【答案】D
【分析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、调查市场上某品牌电脑的质量具有破坏性，且数量较大，适合抽样调查，不符合题意；
B、调查长江南京段的水质情况范围大，适合抽样调查，不符合题意；
C、调查全省八年级学生的睡眠情况范围广，人数多，适合抽样调查，不符合题意；
D、“嫦娥五号”探测器发射前的检查对精确度要求极高，事关重大，每个环节都需要检查，适合普查，符合题意．
2．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】根据菱形的判定定理，逐一判断即可．
【详解】解：A、由图可知，对角线与两邻边的夹角均为，即邻边相等，则根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定选项A一定是菱形；
B、由三角形内角和定理可知对角线夹角为，即对角线垂直，则根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定选项B一定是菱形；
C、根据图中数据，只能说明同旁内角互补，不能说明一定是菱形；
D、由图可知对角线平分内角，即所分成的两个角均为，由平行线性质可推出三角形为等边三角形，故邻边相等，则选项D一定是菱形；
则只有选项C不一定是菱形．
3．（25-26八年级下·江苏常州·期末）把关于的多项式分解因式，得，则，的值分别是（ ）
A．2，3 B．， C．，3 D．2，
【答案】B
【分析】计算，与的对应项系数相等，即可得，的值．
【详解】解：根据题意可得，
∴，．
4．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）小明与同学做“抛掷图钉试验”，获得数据如下：
抛掷次数n 100 300 500 700 800 900 1000
钉尖着地的频数m 36 111 190 266 312 351 390
钉尖着地的频率 0.36 0.37 0.38 0.38 0.39 0.39 0.39
根据以上数据，当抛掷图钉1500次时，估计“钉尖着地”的次数为（ ）
A．540 B．555 C．570 D．585
【答案】D
【分析】本题考查了用频率估计概率；大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：观察表格发现：随着试验次数的增多，钉尖着地的频率逐渐稳定到附近，
∴估计“钉尖着地”的概率为，
∴抛掷1500次时，估计次数为．
故选：D．
5．（2026·江苏无锡·一模）甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知这两种机器人每天共做140个零件，若设甲机器人每天做个零件，则下列方程符合题意的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据甲做360个零件的时间等于乙做480个零件的时间，再结合总日产量表示出乙的日产量，根据时间公式列方程即可.
【详解】解：∵设甲机器人每天做个零件，两种机器人每天共做140个零件，
∴乙机器人每天做个零件，
∵ 时间总零件数每天做的零件数，且题目给出甲做360个零件与乙做480个零件所用时间相同，
∴ 甲做360个零件的时间为，乙做480个零件的时间为，
根据等量关系可得 .
6．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）将一组数按下列方式进行排列：若数2的位置记为，数的位置记为，则位置为的数是（　　）
．．．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题先将原数统一改写为二次根式形式，找出被开方数和排列的规律，再根据给定位置计算出对应数的序号，即可求出结果．
【详解】解：将原数组改写为二次根式形式可得：
可得规律：被开方数为从2开始的连续偶数，每一行有4个数，
位置为 表示第17行第2个数
前16行共有个数，
该数是总序列的第个数
该数的被开方数为 ，
该数为．
7．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作于点于点，证明，得到计算即可．
【详解】解：过点作于点于点，
∵四边形是正方形，
∴平分，
∴，
∴四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
．
8．（2026·江苏常州·二模）某校足球社团为练习足球，他们第一次用元买了若干个足球，第二次用元在同一商家买同样的足球，这次商家每个优惠元，结果比上次多买了个，求第一次买了多少个足球？若设第一次买了个足球，列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意，得到等量关系，列出方程，即可．
【详解】解：设第一次买了个足球
∴每个足球的单价为：；
∵第二次用元在同一商家买同样的足球，结果比上次多买了个，
∴第二次购买的足球的单价为：；
∵商家第二次购买足球每个优惠元，
∴分式方程为：．
第II卷（非选择题）
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
9．（25-26八年级下·江苏·阶段检测）已知，，则代数式的值为_____．
【答案】
【分析】将转化为，把已知条件代入，计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
10．（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）分式、、的最简公分母是________．
【答案】
【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【详解】解：分式、、的最简公分母是．
11．（25-26八年级下·广东潮州·期中）如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形．
【答案】6
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得，再根据平行四边形的对角线互相平分，可得．
【详解】解：当是矩形时，，
．
12．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如
请用上述方法探索并解决下列问题：__________．
【答案】/
【分析】本题考查利用完全平方公式化简复合二次根式，熟练掌握二次根式的性质与完全平方公式的结构是解题关键，将被开方数拆分为两个正数的和，构造完全平方式即可化简．
【详解】解：
13．（25-26八年级下·江苏南京·期中）若三角形三边长分别为，记，则三角形的面积为，此公式被称为海伦－秦九韶公式，请你利用海伦－秦九韶公式计算以下的面积为______．
【答案】
【分析】根据图形确定三角形的三边长，利用公式求出半周长的值，再将及三边长代入海伦－秦九韶公式进行计算，最后化简二次根式即可．
【详解】解：由图可知，的三边长分别为，，，
令，，，则，
代入海伦－秦九韶公式
．
14．（25-26八年级下·河南南阳·期中）《全民阅读促进条例》于年月日正式施行，全民阅读首次有了国家立法保障．为了解某社区居民每月的阅读量情况，社区人员随机抽取了名居民进行调查，并将调查数据绘制成如图所示的统计图．若该社区有名居民，则每月阅读量不低于本的人数约为______．
【答案】
【分析】由样本所占比例乘以总数即可得出结果．
【详解】解：由题意，得每月阅读量不低于本的人数约为．
15．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路：
∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴的最小值为．
结合以上小李同学的思路探究：若，则式子有最________（填大或小）为________．
【答案】 大 9
【分析】仿照小李同学的思路，由表示，代入 ，然后运用完全平方公式以及非负数的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
则，
∴
，
，
∴，
∴有最大值9．
16．（2026·江苏常州·一模）如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点为原点，点，对角线的交点为，作以下操作：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线，交于点，交于点．则点的坐标为________．
【答案】
【分析】过点作于点，通过正方形的性质，证明为等腰直角三角形，得到，接着通过证明，得到，则可得求得，即求得点的坐标．
【详解】解：如图，过点作于点，则，
∵四边形是正方形，点，
∴，，，，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
由作图可知：平分，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
三、解答题（11小题，共68分）
17．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
18．（2025·广东广州·一模）【已知】对分式进行通分，可知：当且时，．
【应用】求的值．
【答案】
【分析】将每一项拆分成两项的差，再计算加减法即可得．
【详解】解：
．
19．（25-26八年级下·山东淄博·期中）阅读材料：已知，求的值．
小明同学是这样解答的：
∵，
又∵，
∴．
这种方法称为“构造对偶式”．
解答问题：
(1)已知，试证明为定值．
(2)已知，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题意“构造对偶式”，解得其值为，结合题目所给条件即可证明；
（2）由题意构造“构造对偶式”，解得其值为8，结合题目所给条件得，和联立即可解答．
【详解】（1）证明：，
，
，
即为定值；
（2）解：，
，
，
，
得，，即：，
两边平方得，，解得：，
经检验，是原方程的解．
20．（25-26八年级下·江苏南京·期末）某区域为规范共享电单车管理，计划投放型和型两种电单车共50辆．经测算，每辆型电单车日均耗电0.5千瓦时，每辆型电单车日均耗电0.2千瓦时，所有车辆日均总耗电量为16千瓦时．
(1)请问该区域投放了多少辆型和多少辆型电单车？
(2)经市场调研，每辆型电单车的进价比每辆型多200元．如果用48000元采购型电单车的数量与用36000元采购型电单车的数量相同，那么采购第（1）问中投放的全部电单车总共需要花费多少元？
【答案】(1)该区域投放了20辆型和30辆型电单车
(2)采购这两种电单车总共需要花费元
【分析】（1）本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题目给的和差倍分关系列出等量关系式求解．
（2）本题主要考查了分式方程的应用，利用“数量=总价单价”列式求解．
【详解】（1）解：设该区域投放了辆型和辆型电单车．
由题意得：，
解得：，
答：该区域投放了20辆型和30辆型电单车．
（2）解：设每辆型电单车进价元，则每辆型电单车进价元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，
∴总花费为（元）．
答：采购这两种电单车总共需要花费元．
21．（25-26八年级下·广东揭阳·期中）周末，某文具店进行促销活动，有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的统计数据：
转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 600
落在“矿泉水”的次数m 68 144 207 414
落在“矿泉水”的频率
(1)补全表格；
(2)估计转动该转盘一次，获得钢笔的概率．（结果保留一位小数）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据频数，频率之间的关系进行列式计算，即可作答．
（2）先结合（1）的表格数据，得出落在“矿泉水”的频率稳定在附近，即转动该转盘一次，获得矿泉水的概率约是．即可得出获得钢笔的概率．
【详解】（1）解：，
完成表格如下：
转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 600
落在“矿泉水”的次数m 68 144 207 284 350 414
落在“矿泉水”的频率
（2）解：由表格得，落在“矿泉水”的频率稳定在附近，
∴转动该转盘一次，获得矿泉水的概率约是．
∴转动该转盘一次，获得钢笔的概率约是．
22．（25-26八年级下·湖南永州·期中）【三角形中位线定理】
(1)如图1，已知：在中，点D，E分别是边，的中点．请直接写出与之间的数量关系和位置关系；
【应用】
(2)如图2，在四边形中，点E，F分别是边，的中点，若，，，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形中位线定理求解即可；
（2）连接，利用三角形中位线定理，勾股定理逆定理求解即可．
【详解】（1）解：根据三角形中位线定理，得；
（2）解：连接，
因为点E，F分别是边，的中点，
故，
，
，，
，
，，且
，
，
．
23．（25-26八年级下·山东济南·期中）我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法：
例如：．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：．
(1)仿照以上方法，按照要求因式分解：
①分组分解法：_________
②拆项法（写出计算过程）：
(2)应用：若，求a、b、c的值．
【答案】(1)①，；②
(2)
【分析】
（1）①先将原式变形为，前3项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可；
②将常数项变为，前三项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可；
（2）将原式变形为 ，分组分解为，再利用非负数的性质即可求出，，．
【详解】（1）解：①
；
②
；
（2）解：由得：
，
即，
∴ ，
∴．
24．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）材料阅读题：
把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化．
例如：，
观察上面的解题过程，并解答下列问题：
(1)____，的倒数是____．
(2)若是的小数部分，化简．
(3)利用上面的解法，请化简：．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据分母有理化化简即可解答；
（2）估算出的整数部分，即可求得a的值，然后把值代入并化简即可；
（3）利用分母有理化的方法化简每个二次根式，最后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：，
的倒数是；
（2）解：∵，
∴，
即的整数部分为2，
∴．
当时，；
（3）解：原式
．
25．（25-26八年级下·贵州·期中）如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A出发向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发向点B运动，两点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（同时点P也停止），设运动时间为t秒（）．
(1)当点P，Q运动t秒时，线段的长度为_________；线段的长度为_________；
(2)若经过t秒，四边形是平行四边形，请求出t的值．
【答案】(1)t，
(2)3
【分析】（1）根据平行四边形的性质和点运动的时间进行解答即可；
（2）根据平行四边形的判定得到关于的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点P在上以的速度从点A出发向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发向点B运动，
∴当点P，Q运动t秒时，线段的长度为；线段的长度为；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴当时，四边形是平行四边形，
即，
解得．
26．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）如图，某农家乐有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形小鱼塘的长为，宽为．
(1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)若市场上蔬菜8元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？
【答案】(1)
(2)4680元
【分析】（1）根据题意利用长方形周长公式列式计算即可；
（2）先计算出种植蔬菜部分的面积，再求出销售收入即可．
【详解】（1）解：由题意得，长方形空地的周长为
∴长方形空地的周长为．
（2）解：由题意得，蔬菜地的面积为，
∴销售收入（元），
∴销售收入为4680元．
27．（25-26八年级下·河南商丘·期中）如图（），点，分别在正方形的边，上，，连接．试猜想之间的数量关系．
【思路梳理】数学课上小明和小红同学都对这个问题进行了探究，并向同学们阐述了自己的证明思路
小明同学：如图（）把绕点逆时针旋转至．可使与重合，由，得，即点，，共线，从而证明出，故得出了之间的数量关系；小红同学：如图（）延长，并在的延长线上截取，从而证明出，故得出了之间的数量关系；
(1)请你选择一名同学的解题思路，得出之间的数量关系；
【类比引申】
(2)如图（），在四边形中，，，，点，分别在边，上，且，试猜想之间的数量关系，并给出证明．
【联想拓展】
(3)如图（），在中，，，点均在边上，且，试猜想满足的等量关系，并写出推理过程．
【答案】(1)见解析；
(2)，见解析；
(3)，见解析．
【分析】（）小明同学：把绕点逆时针旋转至，然后证明，则有，从而得出；小红同学：延长，并在的延长线上截取，证明，所以，然后证明，则有，从而得出；
（）把绕点逆时针旋转至，所以，，，，然后证明，所以，从而得出；
（）把绕点逆时针旋转至，所以，，，，然后证明，所以，再通过勾股定理得，则．
【详解】（1）解：小明同学：如图（）把绕点逆时针旋转至，
∴，，，，
∵四边形是正方形，
∴，
，
∴，即点，，共线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
小红同学：如图（）延长，并在的延长线上截取，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，
证明：如图（）把绕点逆时针旋转至，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，即点，，共线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，
如图（），把绕点逆时针旋转至，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
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（苏科版教材专用）
（满分100分，考试时间120分钟，共27题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：八年级下册全部内容；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
选择题（8小题，每小题2分，共16分）
1．（25-26·江苏南京·月考）下列调查最适合用普查的是（ ）
A．市场上某品牌电脑的质量 B．长江南京段的水质情况
C．全省八年级学生的睡眠情况 D．“嫦娥五号”探测器发射前的检查
2．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ）
A．B．C． D．
3．（25-26八年级下·江苏常州·期末）把关于的多项式分解因式，得，则，的值分别是（ ）
A．2，3 B．， C．，3 D．2，
4．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）小明与同学做“抛掷图钉试验”，获得数据如下：
抛掷次数n 100 300 500 700 800 900 1000
钉尖着地的频数m 36 111 190 266 312 351 390
钉尖着地的频率 0.36 0.37 0.38 0.38 0.39 0.39 0.39
根据以上数据，当抛掷图钉1500次时，估计“钉尖着地”的次数为（ ）
A．540 B．555 C．570 D．585
5．（2026·江苏无锡·一模）甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知这两种机器人每天共做140个零件，若设甲机器人每天做个零件，则下列方程符合题意的为（ ）
A． B．
C． D．
6．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）将一组数按下列方式进行排列：若数2的位置记为，数的位置记为，则位置为的数是（　　）
．．．
A． B． C． D．
7．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2026·江苏常州·二模）某校足球社团为练习足球，他们第一次用元买了若干个足球，第二次用元在同一商家买同样的足球，这次商家每个优惠元，结果比上次多买了个，求第一次买了多少个足球？若设第一次买了个足球，列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
9．（25-26八年级下·江苏·阶段检测）已知，，则代数式的值为_____．
10．（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）分式、、的最简公分母是________．
11．（25-26八年级下·广东潮州·期中）如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形．
12．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如
请用上述方法探索并解决下列问题：__________．
13．（25-26八年级下·江苏南京·期中）若三角形三边长分别为，记，则三角形的面积为，此公式被称为海伦－秦九韶公式，请你利用海伦－秦九韶公式计算以下的面积为______．
14．（25-26八年级下·河南南阳·期中）《全民阅读促进条例》于年月日正式施行，全民阅读首次有了国家立法保障．为了解某社区居民每月的阅读量情况，社区人员随机抽取了名居民进行调查，并将调查数据绘制成如图所示的统计图．若该社区有名居民，则每月阅读量不低于本的人数约为______．
15．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路：
∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴的最小值为．
结合以上小李同学的思路探究：若，则式子有最________（填大或小）为________．
16．（2026·江苏常州·一模）如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点为原点，点，对角线的交点为，作以下操作：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线，交于点，交于点．则点的坐标为________．
三、解答题（11小题，共68分）
17．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）因式分解：
(1) (2)
18．（2025·广东广州·一模）【已知】对分式进行通分，可知：当且时，．
【应用】求的值．
19．（25-26八年级下·山东淄博·期中）阅读材料：已知，求的值．
小明同学是这样解答的：
∵，
又∵，
∴．
这种方法称为“构造对偶式”．
解答问题：
(1)已知，试证明为定值．
(2)已知，求的值．
20．（25-26八年级下·江苏南京·期末）某区域为规范共享电单车管理，计划投放型和型两种电单车共50辆．经测算，每辆型电单车日均耗电0.5千瓦时，每辆型电单车日均耗电0.2千瓦时，所有车辆日均总耗电量为16千瓦时．
(1)请问该区域投放了多少辆型和多少辆型电单车？
(2)经市场调研，每辆型电单车的进价比每辆型多200元．如果用48000元采购型电单车的数量与用36000元采购型电单车的数量相同，那么采购第（1）问中投放的全部电单车总共需要花费多少元？
21．（25-26八年级下·广东揭阳·期中）周末，某文具店进行促销活动，有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的统计数据：
转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 600
落在“矿泉水”的次数m 68 144 207 414
落在“矿泉水”的频率
(1)补全表格；
(2)估计转动该转盘一次，获得钢笔的概率．（结果保留一位小数）
22．（25-26八年级下·湖南永州·期中）【三角形中位线定理】
(1)如图1，已知：在中，点D，E分别是边，的中点．请直接写出与之间的数量关系和位置关系；
【应用】
(2)如图2，在四边形中，点E，F分别是边，的中点，若，，，，求的度数．
23．（25-26八年级下·山东济南·期中）我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法：
例如：．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：．
(1)仿照以上方法，按照要求因式分解：
①分组分解法：_________
②拆项法（写出计算过程）：
(2)应用：若，求a、b、c的值．
24．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）材料阅读题：
把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化．
例如：，
观察上面的解题过程，并解答下列问题：
(1)____，的倒数是____．
(2)若是的小数部分，化简．
(3)利用上面的解法，请化简：．
25．（25-26八年级下·贵州·期中）如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A出发向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发向点B运动，两点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（同时点P也停止），设运动时间为t秒（）．
(1)当点P，Q运动t秒时，线段的长度为_________；线段的长度为_________；
(2)若经过t秒，四边形是平行四边形，请求出t的值．
26．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）如图，某农家乐有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形小鱼塘的长为，宽为．
(1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)若市场上蔬菜8元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？
27．（25-26八年级下·河南商丘·期中）如图（），点，分别在正方形的边，上，，连接．试猜想之间的数量关系．
【思路梳理】数学课上小明和小红同学都对这个问题进行了探究，并向同学们阐述了自己的证明思路
小明同学：如图（）把绕点逆时针旋转至．可使与重合，由，得，即点，，共线，从而证明出，故得出了之间的数量关系；小红同学：如图（）延长，并在的延长线上截取，从而证明出，故得出了之间的数量关系；
(1)请你选择一名同学的解题思路，得出之间的数量关系；
【类比引申】
(2)如图（），在四边形中，，，，点，分别在边，上，且，试猜想之间的数量关系，并给出证明．
【联想拓展】
(3)如图（），在中，，，点均在边上，且，试猜想满足的等量关系，并写出推理过程．
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