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浙江省宁波市外国语学校2025-2026学年七年级下学期数学期中试卷
1．在2026年央视的春节晚会上，各种型号的机器人与演员们进行人机互动，为晚会增添了满满的科技感，其中某款机器人在微音乐剧节目中展示了高精度、高流畅的协同动作，其重复定位精度可达0.00002米.数据0.00002用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C．（2a2+a）÷a=2a D．（3a）2=6a2
3．学校采购了一批科学实验器材和运动器材，它们的单价共800元，用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同，设科学实验器材单价为x元，依题意，可列出方程为（　　）
A． B．
C． D．
4．若关于x的多项式含有因式x-1，则实数m的值为（　　）
A．3 B．-3 C．1 D．-1
5．如图，用代数式表示阴影部分面积正确的为（　　）
A．ac+bc B．（a-c）（b-c）
C．ab-（a-c）（b-c） D．
6．关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　）
A．-1 B．1 C．0 D．3
7．如图，点B，E，C在同一条直线上，正方形ABCD与正方形GECF的边长分别为a，b.若阴影部分的面积为12，a+b=6，则a-b的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．从A地到B地有两条路，每条路都有6km，其中第一条路是平路，第二条路有3km的上坡路，3km的下坡路，小丽在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在平路上的骑车速度为2vkm/h，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h，则（　　）
A．走第一条路花费时间比第二条少
B．走第一条路花费时间比第二条多
C．走第一条路花费时间比第二条少
D．走第一条路花费时间比第二条多
9．已知a，b满足等式：，则x，y的大小关系是（　　）
A．x≤y B．xy D．x≥y
10．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”.
①如果将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，则一定是8的倍数；
②若m-n=11，则（m+7）（m-7）+n2-2mn不是“和谐数”；
③m，n为正整数，且m>n，若92-（m-n）2和m+n+1都是“和谐数”，则4mn也是“和谐数”.
则上述结论正确的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
11．计算3-2的值是　 　.
12． 872+87×13的值为　 　.
13．已知是完全平方式，则实数a=　 　.
14．若，则x=　 　.
15．若2x-y=0，则分式的值为　 　.
16．照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离.已知f，v，则u=　 　.
17．实数a，b，c满足，则=　 　.
18．已知2 =18，3 =12，则的值为　 　.
19．=　 　.
20．已知a，b，c满足则c2的最小值为　 　.
21．化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
22．因式分解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
23．先化简，再求值：其中x可在1，2，3三个数中任选一个合适的数.
24．飞箭航模店推出了“神舟”和“天宫”模型.已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型高10%，现购进一批“天宫”模型花费800元，购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个，两种模型共花费3000元.
（1）每个“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元
（2）这两种模型开始都以每个150元出售，最后剩下5个“神舟”模型打八折出售，很快全部售完.该航模店共获利润多少元
25．在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个含k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题.
例：已知，且abc≠0，求的值.
解：令，则
根据材料回答问题：
（1）若2x=3y=4z，且xyz≠0，求的值.
（2）若且abc≠0，求的值.
26．图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式.
（1）给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式：
①
②
③
甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为　 　；
（2）利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题：
若x满足（x-15）（30-x）=10，求（2x-45）2的值.
（3）如图丁，在线段CE上取一点D且CD>DE，分别以CD，DE为边作正方形ABCD，DEFG，连结BG，EG，AF.
①若阴影部分的面积和为33，四边形AGEF的面积为13，求CE的长度.
②若P为边AD上一点，连结PC，PE，线段PD的长度为4，CD，DE的长度为正整数，且与四边形AGEF的面积相等，求CE的长度.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
2．【答案】B
【知识点】负整数指数幂；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项计算错误；
B、，故选项计算正确；
C、，故选项计算错误；
D、，故选项计算错误．
故答案为：B.
【分析】根据负整数指数幂，积的乘方，多项式除以单项式的运算法则逐项判断解答即可．
3．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设科学实验器材单价为x元，列方程为．
故答案为：C.
【分析】 设科学实验器材单价为x元， 根据“ 6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同 ”列分式方程解答即可．
4．【答案】C
【知识点】因式分解﹣待定系数法
【解析】【解答】解：设多项式的另一个因式是，则，∴，，
∴，．
故答案为：C.
【分析】设另一个多项式为，根据多项式的乘法得到，然后根据对应系数相等求出a和m的值解答即可．
5．【答案】C
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：由题意得，最大的矩形面积为，空白部分的面积为，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：C.
【分析】根据平移，利用矩形的面积减去平移后空白部分面积解答即可。．
6．【答案】B
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵分式方程有增根，
∴最简公分母，解得，
即方程的增根为，
方程两边同乘，得，
展开整理得：，
移项化简得：，
将代入得，
解得．
故答案为：B.
【分析】方程两边同时乘以(x-3)得到整式方程，然后根据增根求出x的值，然后代入整式方程求出m的值解答即可.．
7．【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：∵正方形与正方形的边长分别为，，
∴，，
∵，
∴
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据阴影面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积与两个直角三角形的面积列式，根据正式的混合运算化简得到，然后利用平方差公式解答即可．
8．【答案】A
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵第一条路全长，平路骑车速度为，
∴走第一条路花费的时间为；
∵第二条路有的上坡路，的下坡路，上坡速度为，下坡速度为，
∴走第二条路花费的时间为，
∵，
∴走第一条路花费时间比第二条少 ．
故答案为：A.
【分析】根据路程、速度、时间的关系分别计算走两条路花费的时间，求差解答即可．
9．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；偶次方的非负性；配方法的应用；整式的大小比较
【解析】【解答】解：
∵任何实数的平方都满足 ，
∴，
即．
故答案为：D.
【分析】运用作差法，然后根据配方法得到，然后根据偶次方的非负性得到x，y的大小关系即可．
10．【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：根据“和谐数”的定义，设任意一个“和谐数”为，其中为正整数，
化简： ，
任意“和谐数”都是的正整数倍，
验证结论：，
是正整数，
是的倍数，故正确；
验证结论：
，
，
，是的倍数，
是“和谐数”，故错误；
验证结论：设，是正整数，
是“和谐数”，
，得 ，
“和谐数”是的倍数，
是的倍数，，
是的倍数，
是奇数，即是奇数，
是“和谐数”，
是的倍数，得是奇数；
是奇数，是奇数，
，一个是奇数一个是偶数，乘积是偶数，即 （为正整数），
，即是的正整数倍，故是“和谐数”，故正确；
综上，正确的结论有，共个．
故答案为：B.
【分析】设任意一个“和谐数”为，即可得到“和谐数”都是的正整数倍，然后然后利用因式分解判断①；整理得到(m-n)2-72，然后整体代入求出是的倍数，即可判断②；设，即可得到1-d2是的倍数，推理得到m，n一奇一偶，即可得到是的正整数倍判断③解答即可．
11．【答案】
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：．
故答案为：.
【分析】根据a-p=(a≠0)计算即可.
12．【答案】8700
【知识点】因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：
故答案为：8700.
【分析】根据提取公因式87，利用因式分解简便运算即可.
13．【答案】±4
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是完全平方式，
∴，
∴．
故答案为：±4.
【分析】根据完全平方式的特点得到，求出a的值解答即可.．
14．【答案】1
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
解得．
故答案为：1.
【分析】根据幂的乘方可得，根据同底数幂的运算可得指数，解方程求出x的值即可．
15．【答案】
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴．
故答案为：.
【分析】先得到，然后代入约分解答即可．
16．【答案】
【知识点】倒数法解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用分式的基本性质先求出，然后求倒数解答即可．
17．【答案】72
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
∵，
∴
．
故答案为：72.
【分析】由得到，，，代入所求式子，运用平方差公式分解因式，然后约分化简计算即可．
18．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
即，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴
∵
．
故答案为：.
【分析】根据已知可得，，即可得到，，等式两边分别相乘，进而可得，然后整理解答即可．
19．【答案】
【知识点】因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：
，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
原式
．
故答案为：.
【分析】先计算一般式，然后将分子分母的每一项都按公式计算，然后约分解答即可．
20．【答案】
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，即 ，
，
当时， ，则有 ， ，
， ，
由于、、都是实数，则等号可取到，
的最小值为．
故答案为：．
【分析】利用配方法得到 ，根据根据偶次方的非负性得到8c2-4≥0，求出 c2的最小 解答即可．
21．【答案】（1）解：；
（2）解：
；

（3）解：
；

（4）解：
．

【知识点】整式的混合运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用单项式除以单项式的法则解答即可；
（2）根据完全平方公式和单项式乘以多项式展开，然后合并同类项化简即可；
（3）利用单项式乘以多项式法则解答即可；
（4）先把除法化为乘法，然后分解因式约分化简解答即可.
22．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）提取公因式3a分解因式即可；
（2）先提取x，然后利用十字相乘法分解因式即可；
（3）先根据完全平方公式，再根据平方差公式因式分解解答即可；
（4）先分组，然后提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可.
23．【答案】解：原式
，
，，
，，，
取，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先将括号内的分式进行通分，然后将除法转化为乘法，因式分解后约分化简，再根据分式有意义的条件得到的值，代入计算即可．
24．【答案】（1）解：设每个“天宫”模型的成本为元，每个“神舟”模型的成本为元，
根据题意得， ，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：每个“天宫”模型的成本为100元，每个“神舟”模型的成本为110元；
（2）解：“天宫”模型数量：个，
“神舟”模型数量：个，
“天宫”模型销售额：元，
“神舟”模型前个销售额：元，
剩下5个“神舟”模型打八折：元，
∴总销售额：元，
总成本为3000元，所以总利润：元．
【知识点】分式方程的实际应用；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）设每个“天宫”模型的成本为元，根据““天宫”模型花费800元，购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个，两种模型共花费3000元”列方程求出x的值检验解答即可；
（2）求出两种模型的销售额，然后减去成本解答即可．
25．【答案】（1）解：令，则，，，
；
（2）解：令 ，则 ， ， ，
，
，
若，则有，解得，
，，，
；
若，则有，，，
；
的值为或．
【知识点】分式的化简求值-设参数法
【解析】【分析】（1）令，得到，，，然后代入代数式约分即可解答；
（2）令 ，求出，，的值，然后分为和两种情况，代入代数式约分计算即可．
26．【答案】（1）①③②
（2）解：令，，则， ，
，
，
由（1）中的等式③，得，
，
则；
（3）解：设，，，
正方形和正方形，
，，则，，
①由图可得，， ，
，，则 ，，
，则，
则；
②由图可得， ，，
，
，即，
则 ，整理得 ，
m和n为正整数，，
当时，，即，，则；
当时，，即，，则；
当时，，即，不符合题意，舍去；
综上所述：的长度为或．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：图甲中，或 ，则，整理得，即①；
图乙中，或 ，则，整理得，即③；
图丙中，或，则，整理得，即②；
综上可知：甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为①③②；
故答案为： ①③②.
【分析】（1）根据整体和局部两种方法表示阴影部分面积即可；
（2）设，，即可得到， ，，然后代入图乙得到的结论计算即可；
（3）①设，，，即可得到，，根据面积公式求得 ，，即可得到，，然后根据完全平方公式的变形求出 ，解答即可；
②根据面积公式得到，，即可得到，整理得到 ，根据m和n为正整数且，求出m，n的值解答即可．
1 / 1浙江省宁波市外国语学校2025-2026学年七年级下学期数学期中试卷
1．在2026年央视的春节晚会上，各种型号的机器人与演员们进行人机互动，为晚会增添了满满的科技感，其中某款机器人在微音乐剧节目中展示了高精度、高流畅的协同动作，其重复定位精度可达0.00002米.数据0.00002用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C．（2a2+a）÷a=2a D．（3a）2=6a2
【答案】B
【知识点】负整数指数幂；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项计算错误；
B、，故选项计算正确；
C、，故选项计算错误；
D、，故选项计算错误．
故答案为：B.
【分析】根据负整数指数幂，积的乘方，多项式除以单项式的运算法则逐项判断解答即可．
3．学校采购了一批科学实验器材和运动器材，它们的单价共800元，用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同，设科学实验器材单价为x元，依题意，可列出方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设科学实验器材单价为x元，列方程为．
故答案为：C.
【分析】 设科学实验器材单价为x元， 根据“ 6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同 ”列分式方程解答即可．
4．若关于x的多项式含有因式x-1，则实数m的值为（　　）
A．3 B．-3 C．1 D．-1
【答案】C
【知识点】因式分解﹣待定系数法
【解析】【解答】解：设多项式的另一个因式是，则，∴，，
∴，．
故答案为：C.
【分析】设另一个多项式为，根据多项式的乘法得到，然后根据对应系数相等求出a和m的值解答即可．
5．如图，用代数式表示阴影部分面积正确的为（　　）
A．ac+bc B．（a-c）（b-c）
C．ab-（a-c）（b-c） D．
【答案】C
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：由题意得，最大的矩形面积为，空白部分的面积为，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：C.
【分析】根据平移，利用矩形的面积减去平移后空白部分面积解答即可。．
6．关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　）
A．-1 B．1 C．0 D．3
【答案】B
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵分式方程有增根，
∴最简公分母，解得，
即方程的增根为，
方程两边同乘，得，
展开整理得：，
移项化简得：，
将代入得，
解得．
故答案为：B.
【分析】方程两边同时乘以(x-3)得到整式方程，然后根据增根求出x的值，然后代入整式方程求出m的值解答即可.．
7．如图，点B，E，C在同一条直线上，正方形ABCD与正方形GECF的边长分别为a，b.若阴影部分的面积为12，a+b=6，则a-b的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：∵正方形与正方形的边长分别为，，
∴，，
∵，
∴
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据阴影面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积与两个直角三角形的面积列式，根据正式的混合运算化简得到，然后利用平方差公式解答即可．
8．从A地到B地有两条路，每条路都有6km，其中第一条路是平路，第二条路有3km的上坡路，3km的下坡路，小丽在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在平路上的骑车速度为2vkm/h，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h，则（　　）
A．走第一条路花费时间比第二条少
B．走第一条路花费时间比第二条多
C．走第一条路花费时间比第二条少
D．走第一条路花费时间比第二条多
【答案】A
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵第一条路全长，平路骑车速度为，
∴走第一条路花费的时间为；
∵第二条路有的上坡路，的下坡路，上坡速度为，下坡速度为，
∴走第二条路花费的时间为，
∵，
∴走第一条路花费时间比第二条少 ．
故答案为：A.
【分析】根据路程、速度、时间的关系分别计算走两条路花费的时间，求差解答即可．
9．已知a，b满足等式：，则x，y的大小关系是（　　）
A．x≤y B．xy D．x≥y
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；偶次方的非负性；配方法的应用；整式的大小比较
【解析】【解答】解：
∵任何实数的平方都满足 ，
∴，
即．
故答案为：D.
【分析】运用作差法，然后根据配方法得到，然后根据偶次方的非负性得到x，y的大小关系即可．
10．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”.
①如果将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，则一定是8的倍数；
②若m-n=11，则（m+7）（m-7）+n2-2mn不是“和谐数”；
③m，n为正整数，且m>n，若92-（m-n）2和m+n+1都是“和谐数”，则4mn也是“和谐数”.
则上述结论正确的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：根据“和谐数”的定义，设任意一个“和谐数”为，其中为正整数，
化简： ，
任意“和谐数”都是的正整数倍，
验证结论：，
是正整数，
是的倍数，故正确；
验证结论：
，
，
，是的倍数，
是“和谐数”，故错误；
验证结论：设，是正整数，
是“和谐数”，
，得 ，
“和谐数”是的倍数，
是的倍数，，
是的倍数，
是奇数，即是奇数，
是“和谐数”，
是的倍数，得是奇数；
是奇数，是奇数，
，一个是奇数一个是偶数，乘积是偶数，即 （为正整数），
，即是的正整数倍，故是“和谐数”，故正确；
综上，正确的结论有，共个．
故答案为：B.
【分析】设任意一个“和谐数”为，即可得到“和谐数”都是的正整数倍，然后然后利用因式分解判断①；整理得到(m-n)2-72，然后整体代入求出是的倍数，即可判断②；设，即可得到1-d2是的倍数，推理得到m，n一奇一偶，即可得到是的正整数倍判断③解答即可．
11．计算3-2的值是　 　.
【答案】
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：．
故答案为：.
【分析】根据a-p=(a≠0)计算即可.
12． 872+87×13的值为　 　.
【答案】8700
【知识点】因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：
故答案为：8700.
【分析】根据提取公因式87，利用因式分解简便运算即可.
13．已知是完全平方式，则实数a=　 　.
【答案】±4
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是完全平方式，
∴，
∴．
故答案为：±4.
【分析】根据完全平方式的特点得到，求出a的值解答即可.．
14．若，则x=　 　.
【答案】1
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
解得．
故答案为：1.
【分析】根据幂的乘方可得，根据同底数幂的运算可得指数，解方程求出x的值即可．
15．若2x-y=0，则分式的值为　 　.
【答案】
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴．
故答案为：.
【分析】先得到，然后代入约分解答即可．
16．照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离.已知f，v，则u=　 　.
【答案】
【知识点】倒数法解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用分式的基本性质先求出，然后求倒数解答即可．
17．实数a，b，c满足，则=　 　.
【答案】72
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
∵，
∴
．
故答案为：72.
【分析】由得到，，，代入所求式子，运用平方差公式分解因式，然后约分化简计算即可．
18．已知2 =18，3 =12，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
即，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴
∵
．
故答案为：.
【分析】根据已知可得，，即可得到，，等式两边分别相乘，进而可得，然后整理解答即可．
19．=　 　.
【答案】
【知识点】因式分解的应用-简便运算
【解析】【解答】解：
，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
原式
．
故答案为：.
【分析】先计算一般式，然后将分子分母的每一项都按公式计算，然后约分解答即可．
20．已知a，b，c满足则c2的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，即 ，
，
当时， ，则有 ， ，
， ，
由于、、都是实数，则等号可取到，
的最小值为．
故答案为：．
【分析】利用配方法得到 ，根据根据偶次方的非负性得到8c2-4≥0，求出 c2的最小 解答即可．
21．化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）解：；
（2）解：
；

（3）解：
；

（4）解：
．

【知识点】整式的混合运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用单项式除以单项式的法则解答即可；
（2）根据完全平方公式和单项式乘以多项式展开，然后合并同类项化简即可；
（3）利用单项式乘以多项式法则解答即可；
（4）先把除法化为乘法，然后分解因式约分化简解答即可.
22．因式分解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）提取公因式3a分解因式即可；
（2）先提取x，然后利用十字相乘法分解因式即可；
（3）先根据完全平方公式，再根据平方差公式因式分解解答即可；
（4）先分组，然后提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可.
23．先化简，再求值：其中x可在1，2，3三个数中任选一个合适的数.
【答案】解：原式
，
，，
，，，
取，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先将括号内的分式进行通分，然后将除法转化为乘法，因式分解后约分化简，再根据分式有意义的条件得到的值，代入计算即可．
24．飞箭航模店推出了“神舟”和“天宫”模型.已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型高10%，现购进一批“天宫”模型花费800元，购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个，两种模型共花费3000元.
（1）每个“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元
（2）这两种模型开始都以每个150元出售，最后剩下5个“神舟”模型打八折出售，很快全部售完.该航模店共获利润多少元
【答案】（1）解：设每个“天宫”模型的成本为元，每个“神舟”模型的成本为元，
根据题意得， ，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：每个“天宫”模型的成本为100元，每个“神舟”模型的成本为110元；
（2）解：“天宫”模型数量：个，
“神舟”模型数量：个，
“天宫”模型销售额：元，
“神舟”模型前个销售额：元，
剩下5个“神舟”模型打八折：元，
∴总销售额：元，
总成本为3000元，所以总利润：元．
【知识点】分式方程的实际应用；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）设每个“天宫”模型的成本为元，根据““天宫”模型花费800元，购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个，两种模型共花费3000元”列方程求出x的值检验解答即可；
（2）求出两种模型的销售额，然后减去成本解答即可．
25．在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个含k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题.
例：已知，且abc≠0，求的值.
解：令，则
根据材料回答问题：
（1）若2x=3y=4z，且xyz≠0，求的值.
（2）若且abc≠0，求的值.
【答案】（1）解：令，则，，，
；
（2）解：令 ，则 ， ， ，
，
，
若，则有，解得，
，，，
；
若，则有，，，
；
的值为或．
【知识点】分式的化简求值-设参数法
【解析】【分析】（1）令，得到，，，然后代入代数式约分即可解答；
（2）令 ，求出，，的值，然后分为和两种情况，代入代数式约分计算即可．
26．图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式.
（1）给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式：
①
②
③
甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为　 　；
（2）利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题：
若x满足（x-15）（30-x）=10，求（2x-45）2的值.
（3）如图丁，在线段CE上取一点D且CD>DE，分别以CD，DE为边作正方形ABCD，DEFG，连结BG，EG，AF.
①若阴影部分的面积和为33，四边形AGEF的面积为13，求CE的长度.
②若P为边AD上一点，连结PC，PE，线段PD的长度为4，CD，DE的长度为正整数，且与四边形AGEF的面积相等，求CE的长度.
【答案】（1）①③②
（2）解：令，，则， ，
，
，
由（1）中的等式③，得，
，
则；
（3）解：设，，，
正方形和正方形，
，，则，，
①由图可得，， ，
，，则 ，，
，则，
则；
②由图可得， ，，
，
，即，
则 ，整理得 ，
m和n为正整数，，
当时，，即，，则；
当时，，即，，则；
当时，，即，不符合题意，舍去；
综上所述：的长度为或．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：图甲中，或 ，则，整理得，即①；
图乙中，或 ，则，整理得，即③；
图丙中，或，则，整理得，即②；
综上可知：甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为①③②；
故答案为： ①③②.
【分析】（1）根据整体和局部两种方法表示阴影部分面积即可；
（2）设，，即可得到， ，，然后代入图乙得到的结论计算即可；
（3）①设，，，即可得到，，根据面积公式求得 ，，即可得到，，然后根据完全平方公式的变形求出 ，解答即可；
②根据面积公式得到，，即可得到，整理得到 ，根据m和n为正整数且，求出m，n的值解答即可．
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