资源简介 吉林延边朝鲜族自治州延吉市第七中学等校2025-2026学年度第二学期九年级第一次模拟考试数学试卷1．《九章算术》是我国中国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数，若收入元记作元，则支出元记作（ ）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】B【知识点】用正数、负数表示相反意义的量【解析】【解答】解：∵收入元记作元，收入与支出是具有相反意义的量，∴支出元记作元．【分析】在表示具有相反意义的量时，通常规定其中一种量为正，那么和它意义相反的量就用负数表示，本题中收入和支出是一对具有相反意义的量，结合这个规则就可以得出结果.2．如图，几何体的俯视图是（ ）A． B． C． D．【答案】D【知识点】简单组合体的三视图【解析】【解答】找到从上面看所得到的图形即可，从上面看可得分成3列的三个正方形，故选D.【分析】根据俯视图的定义：从物体正上方向下观察所得到的平面图形.3．如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（ ）A．1 B．5 C．2 D．【答案】D【知识点】矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）【解析】【解答】解：∵矩形，∴，，，∴，∴，∴，∴，∴；故选D.【分析】先根据勾股定理计算出的长度，由此得到的长度，再结合矩形对边相等的性质推出的长度，进而得到的长度，最后再次利用勾股定理即可求出的长度.4．据我国文化和旅游部数据中心测算，2025年“十一”期间，国内游客出游3250000000人次，将数据3250000000用科学记数法表示为（ ）A． B． C． D．【答案】B【知识点】科学记数法表示大于10的数【解析】【解答】解：∵将数据3250000000用科学记数法表示为．故答案为：B.【分析】把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.5．下列计算正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【知识点】单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算【解析】【解答】解：A．∵与不是同类项，不能合并，原计算错误，故A不符合题意；B．，原计算错误，故B不符合题意．C．，原计算错误，故C不符合题意．D．，计算正确，故D符合题意．故答案为：D.【分析】根据合并同类项法则、积的乘方法则、单项式乘法法则、幂的乘方法则，对每个选项逐一进行判断，即可得出结果.6．如图，四边形内接于，为的直径．若，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余【解析】【解答】解：∵，∴，∴，∵，∴，∵为的直径，∴，∴ ∠CBD=90°-∠BDC=90°-40°=50°故答案为：B．【分析】根据等边对等角得∠ABC=∠ACB=70°，由三角形内角和定理可得∠BAC=40°，根据同弧所对的圆周角相等得∠BDC=∠BAC=40°，进而根据直径所对的圆周角是直角得∠BCD=90°，最后根据直角三角形的两锐角互余可求出∠CBD的度数.7．不等式组的解集是 【答案】【知识点】解一元一次不等式组【解析】【解答】解：解不等式①得，解不等式②得，∴不等式组的解集为：．故答案为：.【分析】解一元一次不等式组，需要先分别求出组内每个不等式的解集，再取所有解集的公共部分，就能得到不等式组的最终解集.8．因式分解： = ．【答案】【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法【解析】【解答】解：故答案为：【分析】因式分解的基本步骤是先提公因式，再看是否可以用公式法分解，注意因式分解务必分解彻底.9．在直角三角形中，，，，则 【答案】【知识点】求正弦值【解析】【解答】解：在直角三角形中，，，，∴．故答案为：.【分析】依据锐角三角函数中正弦的定义，计算出对应角的正弦值.10．小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为元，可列分式方程为 .【答案】【知识点】列分式方程【解析】【解答】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为元，列方程得，故答案为：.【分析】设纯电汽车每百公里的耗电费为元，根据“ 燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元 ”列方程即可.11．如图，在平面直角坐标系中，双曲线阶梯的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高 ．【答案】3【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式【解析】【解答】解：∵点在双曲线上，∴，即双曲线解析式为．∵，且线段与坐标轴平行，∴点的横坐标为，代入得，即．∵，∴点的横坐标为，代入得，即．∵，∴点的横坐标为，代入得，即．∵的长度等于点与点的纵坐标之差，∴．故答案为：．【分析】先根据点的坐标确定反比例函数的解析式，之后依次推出点、、的坐标，最后利用线段的长度等于点和点的纵坐标的差计算得到最终结果.12．计算：【答案】原式【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算【解析】【分析】分别按照零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值以及二次根式的化简规则，计算出原式每一部分的结果，再合并得到最终答案.13．校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．（1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（ ）A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件（2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率.【答案】（1）B（2）列表法：将抽中“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”分别记为．用表格列举出所有可能出现的结果．X Y Z WXYZW由表可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且出现的可能性相等．其中，小贤与小艺同学恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果共有2种，即。所以，（两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”）．树状图法：将抽中“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”分别记为．依据题意，可以画出如下的树状图：由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且出现的可能性相等．其中，小贤与小艺同学恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果共有2种，即（Z，W），（W，Z）．分所以，（两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”）【知识点】事件的分类；用列表法或树状图法求概率【解析】【解答】（1）随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件，故选：B；【分析】（1）根据事件的分类解答即可；（2）根据列表法或树状图可得所有等可能结果，然后找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算解题.14．某社区为打造绿色低碳社区，决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元．求甲、乙两种路灯的单价；【答案】解：设甲、乙两种路灯的单价分别为x元、y元，根据题意得：，解得：，答：甲、乙两种路灯的单价分别为60元，80元【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题【解析】【分析】依照题目给出的数量关系正确列出方程组，进而完成求解：先设甲种路灯的单价为x元，乙种路灯的单价为y元，再结合题目给出的条件列出对应的二元一次方程组，求解该方程组即可得到答案.15．【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上．【数学理解】（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程．（2）若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，又∵，∴；（2）解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∵，∴，∴【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，我们可以得到，结合公共边，即可通过边角边，也就是判定定理，证明；（2）根据正方形的性质，我们可以得到，再结合第一问得到的全等结论，可以推出，利用等边对等角的性质得到，最后结合三角形内角和定理，就可以计算出的度数，得到最终结果.（1）证明：∵四边形是正方形，∴，又∵，∴；（2）解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∵，∴，∴．16．如图，在的方格纸中，已知是格点三角形（顶点均在格点上），请按要求作图．（1）在图1中标出外接圆的圆心O．（2）在图2中画格点线段，使得把分为的两条线段．【答案】（1）解：根据三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离都等于半径的长度，可得如图，点O即为所求作；（2）解：如图，线段即为所求作：【知识点】三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；运用勾股定理解决网格问题【解析】【分析】（1）三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，都等于外接圆半径。结合网格结构，利用勾股定理确定点O的位置，可验证得到，因此点O即为△ABC外接圆的圆心；（2）结合网格特点，先作过点C且平行于的直线，在这条直线上取点D，使得，也就是点C向上平移4个单位得到点D，此时可得。因为，可得，因此可判定。根据相似三角形的性质可得，说明直线将线段分成了比为的两段，按此方法即可得到符合要求的线段BD.（1）解：根据三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离都等于半径的长度，可得如图，点O即为所求作；（2）解：如图，线段即为所求作：17．某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩均为不小于60的整数，分为四个等级：D：，C：，B：，A：），部分信息如下：信息一：信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89请根据以上信息，解答下列问题：（1）求所抽取的学生成组为C等级的人数；（2）求所抽取的学生成绩的中位数；（3）该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．【答案】（1）解：总人数为：（人），∴抽取的学生成组为C等级的人数为：（人）；（2）解：总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，∵C中1人，D中7人，B中12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，所以中位数为：；（3）解：成绩为A等级的人数为：（人），答：成绩为A等级的人数为120．【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量【解析】【分析】（1）先根据B的人数以及所占百分比求得总人数，再拿总人数减去A、B、D的人数即可；（2）总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，由于C中1人，D中7人，B中12人，故中位数（ 中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数）是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，因此中位数为：；（3）拿360乘以A等级的人数所占百分比即可．（1）解：总人数为：（人），∴抽取的学生成组为C等级的人数为：（人）；（2）解：总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，∵C中1人，D中7人，B中12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，∴中位数为：；（3）解：成绩为A等级的人数为：（人），答：成绩为A等级的人数为120．18．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度．（结果精确到个位；参考数据：，，，）【答案】解：过点作于点，作于点由题意得：，在中，，，，四边形为矩形，，，，在中.，答：该风力发电机塔杆的高度为.【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题【解析】【分析】过点作，垂足为点，再作，垂足为点。首先计算可得，；可推得，再结合矩形的性质得到FD=BH，最后利用锐角正切的定义计算出，由此即可得到最终答案。19．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜2），△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．（1）AP的长为______cm（用含x的代数式表示）．（2）当点D落在边BC上时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【答案】（1）2x（2）解：当点D落在BC上时，如图1，BP=AB-AP=4-2x，∵PQ⊥AB，∴∠QPA=90°，∵△PQD等边三角形，△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠DPQ=60°，PQ=PD，∴∠BPD=30°，∴∠PDB=90°，∴PD⊥BC，∴△APQ≌△BDP（AAS），∴BD=AP=2x，∵BP=2BD，∴4-2x=4x，解得x=（3）解：①如图2，当0＜x≤时，∵在Rt△APQ中，AP=2x，∠A=60°，∴PQ=AP tan60°=2x，∵△PQD等边三角形，∴S△PQD=×2x 3x=3x2cm2，所以y=3x2；②如图3，当点Q与点C重合时，此时CP⊥AB，所以AP=AB，即2x=2，解得x=1，所以当＜x≤1时，如图4，设PD、QD与BC分别相交于点G、H，∵AP=2x，∴BP=4-2x，AQ=2AP=4x，∴BG=BP=2-x，∴PG=BG=（2-x），∴S△PBG=×BG PG=（2-x）2，∵AQ=2AP=4x，∴CQ=AC-AQ=4-4x，∴QH=CQ=（4-4x），∴S△QCH=×CQ QH=（4-4x）2，∵S△ABC=×4×2=4，∴S四边形PGHQ=S△ABC-S△PBG-S△QCH-S△APQ=4-（2-x）2-（4-4x）2-×2x×2x=-x2+18x-6，所以y=-x2+18x-6；③如图5，当1＜x＜2时，点Q运动在BC边上，设PD与BC相交于点G，此时PG=BP sin60°=（4-2x）×=（2-x），∵PB=4-2x，∴BQ=2BP=2（4-2x）=4（2-x），∴BG=BP=2-x，∴QG=BQ-BG=3（2-x），∴重叠部分的面积为：S△PQG=×PG QG=×（2-x） 3（2-x）=（2-x）2．所以y=（2-x）2．综上所述：y关于x的函数解析式为：当0＜x≤时，y=3x2；当＜x≤1时，y=-x2+18x-6；当1＜x＜2时，y=（2-x）2【知识点】分段函数；列二次函数关系式；等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形-动点问题【解析】【解答】（1）解：∵动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，∴AP的长为2xcm；故答案为：2x；【分析】（1）已知动点P从点A出发，运动速度为2cm/s，沿AB向点B做匀速运动，运动时间是x秒，因此AP的长度为2x cm；（2）当点D落在BC边上时，如图1，此时BP的长度为AB的长度减去AP的长度，即BP=4-2x；结合△PQD是等边三角形、△ABC是等边三角形的条件，可证明△APQ≌△BDP，据此即可计算得到x的值；（3）我们结合题意，分三种情况进行分析推导，分别求出对应的y与x的函数解析式：①当0＜x≤时，对应图形如图2所示；②当＜x≤1时，点Q恰好运动到与点C重合及之后的这个区间，对应图形如图3，设PD、QD分别与BC相交于点G、H，对应图形如图4所示；③当1＜x＜2时，点Q运动到BC边上，对应图形如图5，设PD与BC相交于点G；我们对上述三种情况分别推导，即可得到y关于x的函数解析式.（1）解：∵动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，∴AP的长为2xcm；故答案为：2x；（2）解：当点D落在BC上时，如图1，BP=AB-AP=4-2x，∵PQ⊥AB，∴∠QPA=90°，∵△PQD等边三角形，△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠DPQ=60°，PQ=PD，∴∠BPD=30°，∴∠PDB=90°，∴PD⊥BC，∴△APQ≌△BDP（AAS），∴BD=AP=2x，∵BP=2BD，∴4-2x=4x，解得x=；（3）解：①如图2，当0＜x≤时，∵在Rt△APQ中，AP=2x，∠A=60°，∴PQ=AP tan60°=2x，∵△PQD等边三角形，∴S△PQD=×2x 3x=3x2cm2，所以y=3x2；②如图3，当点Q与点C重合时，此时CP⊥AB，所以AP=AB，即2x=2，解得x=1，所以当＜x≤1时，如图4，设PD、QD与BC分别相交于点G、H，∵AP=2x，∴BP=4-2x，AQ=2AP=4x，∴BG=BP=2-x，∴PG=BG=（2-x），∴S△PBG=×BG PG=（2-x）2，∵AQ=2AP=4x，∴CQ=AC-AQ=4-4x，∴QH=CQ=（4-4x），∴S△QCH=×CQ QH=（4-4x）2，∵S△ABC=×4×2=4，∴S四边形PGHQ=S△ABC-S△PBG-S△QCH-S△APQ=4-（2-x）2-（4-4x）2-×2x×2x=-x2+18x-6，所以y=-x2+18x-6；③如图5，当1＜x＜2时，点Q运动在BC边上，设PD与BC相交于点G，此时PG=BP sin60°=（4-2x）×=（2-x），∵PB=4-2x，∴BQ=2BP=2（4-2x）=4（2-x），∴BG=BP=2-x，∴QG=BQ-BG=3（2-x），∴重叠部分的面积为：S△PQG=×PG QG=×（2-x） 3（2-x）=（2-x）2．所以y=（2-x）2．综上所述：y关于x的函数解析式为：当0＜x≤时，y=3x2；当＜x≤1时，y=-x2+18x-6；当1＜x＜2时，y=（2-x）2．20．某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况，当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验，A，B植物的生长高度， 与药物施用量的关系数据统计如下表：0 4 6 8 10 15 18 2125 21 19 16 14 10 7 410 18 22 27 31 40 45 52任务1：根据以上数据，在下面带网格的平面直角坐标系中通过描点，连线，画出A，B植物的生长高度，与药物施用量的函数图象．任务2：猜想A，B植物的生长高度，与药物施用量的函数关系，并分别求出函数关系式．任务3：同学们研究发现，当两种植物高度差距不超过时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态，请求出满足平衡状态时，该药物施用量的取值范围．【答案】解：任务1：如图：即为所求；任务2：选取两点分别代入可得：，解得，∴；选取两点分别代入；得：解得，∴；任务3：当时， 解得：．当，时，解得，．∴.∴在时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态． 【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；一次函数的其他应用【解析】【分析】（1）通过描点、连线的方法绘制对应函数图象即可；（2）利用待定系数法即可求出函数解析式；（3）分两种情况讨论：当时，和当时，分别列出一元一次不等式求解，最后结合函数图象即可得到最终结论21．在菱形中，，与相交于点，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边．（1）问题发现：如图，当点与点重合时，点在边上，连接，与的数量关系是 ；与的位置关系是 ；（2）拓展探究：如图，当点在菱形外部时，猜想与的数量关系并说明理由；（3）解决问题：如图，若，，请直接写出四边形的面积．【答案】（1）；（2）解：，理由如下：四边形是菱形，，，，是等边三角形，，，，是等边三角形，，，，即，在与中，，，（3）【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）【解析】【解答】（1）解：四边形是菱形，，，是等边三角形，，，是等边三角形，，，，在与中，，，，，是菱形的对角线，，，，，；（3）解：设，相交于点，如图，，是菱形的对角线，，，，，，，，、是等边三角形，，，，，，，，，，由（2）可知，，，，，，，即，．【分析】（1）结合菱形的性质和已知条件，先证出是等边三角形，又因为题目给出是等边三角形，我们可以利用等边三角形的性质，推出，由此可得，且，根据这些结论就能证出；（2）同样先结合菱形性质和，推导出和都是等边三角形，再利用等边三角形的性质证明，就可以证出对应的结论；（3）先设和的交点为，结合菱形性质与，就可以求出和的长度，再借助勾股定理依次算出和的长度，接着证明，最后利用面积公式就能计算得到最终答案.（1）解：四边形是菱形，，，是等边三角形，，，是等边三角形，，，，在与中，，，，，是菱形的对角线，，，，，；（2）解：，理由如下：四边形是菱形，，，，是等边三角形，，，，是等边三角形，，，，即，在与中，，，；（3）解：设，相交于点，如图，，是菱形的对角线，，，，，，，，、是等边三角形，，，，，，，，，，由（2）可知，，，，，，，即，．22．抛物线（b、c为常数）顶点M的坐标为，P、Q为抛物线上的两点，点P的坐标为，点Q的坐标为，将此抛物线上P、Q两点之间的部分（包括P、Q两点）记为图象G．（1） ， ；（2）当点P与点Q重合时，求点P的坐标；（3）当顶点M在图象G上时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为d，求d与m之间的函数关系式；（4）矩形的顶点分别为，①当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围；②当图象G在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．【答案】（1）（2）解：∵点与点重合，∴，解得：，当时，，∴点的坐标为（3）解：∵抛物线的解析式为，∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上，∵顶点在图象上，∴图象的最低点的纵坐标为，当点在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时，此时且，即，∵，∴，∴图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即，∴；当点在对称轴上或右侧，点在对称轴的左侧时，此时且，即，∵，∴，∴图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即，∴；综上所述，与之间的函数关系式为（4）①；②【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题；一元一次不等式组的应用-几何问题【解析】【解答】（1）解：∵抛物线顶点的坐标为，∴抛物线的解析式为，∴，故答案为：；（4）解：①∵，四边形是矩形，∴，∵抛物线的解析式为，∴在对称轴左侧，y随x的增大而减小，∵，∴抛物线的顶点为，矩形在顶点上方，当时，解得，当时，解得，∵抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，∴，∴解得：；②当点P在点Q的左侧时，即，解得：，此时，，∴在y轴右侧，设抛物线与y轴交于点E，E关于对称轴的对称点为F，∵，∴对称轴为直线，当时，，∴，根据对称性可得，可知矩形不经过抛物线对称轴右侧的部分，∵图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小，∴，解得：．当点P在点Q的右侧时，即，解得：，此时，，∵，∴矩形不经过抛物线对称轴左侧的部分，且F在上，∵在对称轴右侧，y随x增大而增大，∴不存在m，使图象G在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，综上所述，的取值范围为．【分析】（1）结合题目给出的条件，可以推出抛物线的解析式为，代入后即可得到结果。（2）当点和点重合时，可计算得到，进而完成求解。（3）根据二次函数的图象性质，可以得到图像最低点的纵坐标为，接下来分两种不同情况分别讨论：第一种是点位于对称轴左侧，点位于对称轴右侧；第二种是点位于对称轴右侧，点位于对称轴左侧，分别分析后即可求解。（4）①首先根据矩形的性质推导得到点坐标，再根据抛物线的性质得到抛物线的顶点坐标为，结合抛物线“对称轴左侧y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大”的性质得到极值点，再根据极值点列出不等式组，即可求出结果。②同样分两种情况讨论，先确定两种情况下m的取值范围，再推导得到矩形和抛物线的位置关系，最终结合图像列出不等式组即可求解.（1）解：∵抛物线顶点的坐标为，∴抛物线的解析式为，∴，故答案为：；（2）解：∵点与点重合，∴，解得：，当时，，∴点的坐标为；（3）解：∵抛物线的解析式为，∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上，∵顶点在图象上，∴图象的最低点的纵坐标为，当点在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时，此时且，即，∵，∴，∴图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即，∴；当点在对称轴上或右侧，点在对称轴的左侧时，此时且，即，∵，∴，∴图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即，∴；综上所述，与之间的函数关系式为；（4）解：①∵，四边形是矩形，∴，∵抛物线的解析式为，∴在对称轴左侧，y随x的增大而减小，∵，∴抛物线的顶点为，矩形在顶点上方，当时，解得，当时，解得，∵抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，∴，∴解得：；②当点P在点Q的左侧时，即，解得：，此时，，∴在y轴右侧，设抛物线与y轴交于点E，E关于对称轴的对称点为F，∵，∴对称轴为直线，当时，，∴，根据对称性可得，可知矩形不经过抛物线对称轴右侧的部分，∵图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小，∴，解得：．当点P在点Q的右侧时，即，解得：，此时，，∵，∴矩形不经过抛物线对称轴左侧的部分，且F在上，∵在对称轴右侧，y随x增大而增大，∴不存在m，使图象G在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，综上所述，的取值范围为．1 / 1吉林延边朝鲜族自治州延吉市第七中学等校2025-2026学年度第二学期九年级第一次模拟考试数学试卷1．《九章算术》是我国中国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数，若收入元记作元，则支出元记作（ ）A．元 B．元 C．元 D．元2．如图，几何体的俯视图是（ ）A． B． C． D．3．如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（ ）A．1 B．5 C．2 D．4．据我国文化和旅游部数据中心测算，2025年“十一”期间，国内游客出游3250000000人次，将数据3250000000用科学记数法表示为（ ）A． B． C． D．5．下列计算正确的是（ ）A． B． C． D．6．如图，四边形内接于，为的直径．若，则（ ）A． B． C． D．7．不等式组的解集是 8．因式分解： = ．9．在直角三角形中，，，，则 10．小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为元，可列分式方程为 .11．如图，在平面直角坐标系中，双曲线阶梯的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高 ．12．计算：13．校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．（1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（ ）A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件（2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率.14．某社区为打造绿色低碳社区，决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元．求甲、乙两种路灯的单价；15．【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上．【数学理解】（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程．（2）若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数．16．如图，在的方格纸中，已知是格点三角形（顶点均在格点上），请按要求作图．（1）在图1中标出外接圆的圆心O．（2）在图2中画格点线段，使得把分为的两条线段．17．某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩均为不小于60的整数，分为四个等级：D：，C：，B：，A：），部分信息如下：信息一：信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89请根据以上信息，解答下列问题：（1）求所抽取的学生成组为C等级的人数；（2）求所抽取的学生成绩的中位数；（3）该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．18．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度．（结果精确到个位；参考数据：，，，）19．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜2），△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．（1）AP的长为______cm（用含x的代数式表示）．（2）当点D落在边BC上时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．20．某生物学习小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况，当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验，A，B植物的生长高度， 与药物施用量的关系数据统计如下表：0 4 6 8 10 15 18 2125 21 19 16 14 10 7 410 18 22 27 31 40 45 52任务1：根据以上数据，在下面带网格的平面直角坐标系中通过描点，连线，画出A，B植物的生长高度，与药物施用量的函数图象．任务2：猜想A，B植物的生长高度，与药物施用量的函数关系，并分别求出函数关系式．任务3：同学们研究发现，当两种植物高度差距不超过时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态，请求出满足平衡状态时，该药物施用量的取值范围．21．在菱形中，，与相交于点，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边．（1）问题发现：如图，当点与点重合时，点在边上，连接，与的数量关系是 ；与的位置关系是 ；（2）拓展探究：如图，当点在菱形外部时，猜想与的数量关系并说明理由；（3）解决问题：如图，若，，请直接写出四边形的面积．22．抛物线（b、c为常数）顶点M的坐标为，P、Q为抛物线上的两点，点P的坐标为，点Q的坐标为，将此抛物线上P、Q两点之间的部分（包括P、Q两点）记为图象G．（1） ， ；（2）当点P与点Q重合时，求点P的坐标；（3）当顶点M在图象G上时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为d，求d与m之间的函数关系式；（4）矩形的顶点分别为，①当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围；②当图象G在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．答案解析部分1．【答案】B【知识点】用正数、负数表示相反意义的量【解析】【解答】解：∵收入元记作元，收入与支出是具有相反意义的量，∴支出元记作元．【分析】在表示具有相反意义的量时，通常规定其中一种量为正，那么和它意义相反的量就用负数表示，本题中收入和支出是一对具有相反意义的量，结合这个规则就可以得出结果.2．【答案】D【知识点】简单组合体的三视图【解析】【解答】找到从上面看所得到的图形即可，从上面看可得分成3列的三个正方形，故选D.【分析】根据俯视图的定义：从物体正上方向下观察所得到的平面图形.3．【答案】D【知识点】矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）【解析】【解答】解：∵矩形，∴，，，∴，∴，∴，∴，∴；故选D.【分析】先根据勾股定理计算出的长度，由此得到的长度，再结合矩形对边相等的性质推出的长度，进而得到的长度，最后再次利用勾股定理即可求出的长度.4．【答案】B【知识点】科学记数法表示大于10的数【解析】【解答】解：∵将数据3250000000用科学记数法表示为．故答案为：B.【分析】把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.5．【答案】D【知识点】单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算【解析】【解答】解：A．∵与不是同类项，不能合并，原计算错误，故A不符合题意；B．，原计算错误，故B不符合题意．C．，原计算错误，故C不符合题意．D．，计算正确，故D符合题意．故答案为：D.【分析】根据合并同类项法则、积的乘方法则、单项式乘法法则、幂的乘方法则，对每个选项逐一进行判断，即可得出结果.6．【答案】B【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余【解析】【解答】解：∵，∴，∴，∵，∴，∵为的直径，∴，∴ ∠CBD=90°-∠BDC=90°-40°=50°故答案为：B．【分析】根据等边对等角得∠ABC=∠ACB=70°，由三角形内角和定理可得∠BAC=40°，根据同弧所对的圆周角相等得∠BDC=∠BAC=40°，进而根据直径所对的圆周角是直角得∠BCD=90°，最后根据直角三角形的两锐角互余可求出∠CBD的度数.7．【答案】【知识点】解一元一次不等式组【解析】【解答】解：解不等式①得，解不等式②得，∴不等式组的解集为：．故答案为：.【分析】解一元一次不等式组，需要先分别求出组内每个不等式的解集，再取所有解集的公共部分，就能得到不等式组的最终解集.8．【答案】【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法【解析】【解答】解：故答案为：【分析】因式分解的基本步骤是先提公因式，再看是否可以用公式法分解，注意因式分解务必分解彻底.9．【答案】【知识点】求正弦值【解析】【解答】解：在直角三角形中，，，，∴．故答案为：.【分析】依据锐角三角函数中正弦的定义，计算出对应角的正弦值.10．【答案】【知识点】列分式方程【解析】【解答】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为元，列方程得，故答案为：.【分析】设纯电汽车每百公里的耗电费为元，根据“ 燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元 ”列方程即可.11．【答案】3【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式【解析】【解答】解：∵点在双曲线上，∴，即双曲线解析式为．∵，且线段与坐标轴平行，∴点的横坐标为，代入得，即．∵，∴点的横坐标为，代入得，即．∵，∴点的横坐标为，代入得，即．∵的长度等于点与点的纵坐标之差，∴．故答案为：．【分析】先根据点的坐标确定反比例函数的解析式，之后依次推出点、、的坐标，最后利用线段的长度等于点和点的纵坐标的差计算得到最终结果.12．【答案】原式【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算【解析】【分析】分别按照零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值以及二次根式的化简规则，计算出原式每一部分的结果，再合并得到最终答案.13．【答案】（1）B（2）列表法：将抽中“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”分别记为．用表格列举出所有可能出现的结果．X Y Z WXYZW由表可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且出现的可能性相等．其中，小贤与小艺同学恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果共有2种，即。所以，（两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”）．树状图法：将抽中“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”分别记为．依据题意，可以画出如下的树状图：由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且出现的可能性相等．其中，小贤与小艺同学恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果共有2种，即（Z，W），（W，Z）．分所以，（两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”）【知识点】事件的分类；用列表法或树状图法求概率【解析】【解答】（1）随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件，故选：B；【分析】（1）根据事件的分类解答即可；（2）根据列表法或树状图可得所有等可能结果，然后找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算解题.14．【答案】解：设甲、乙两种路灯的单价分别为x元、y元，根据题意得：，解得：，答：甲、乙两种路灯的单价分别为60元，80元【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题【解析】【分析】依照题目给出的数量关系正确列出方程组，进而完成求解：先设甲种路灯的单价为x元，乙种路灯的单价为y元，再结合题目给出的条件列出对应的二元一次方程组，求解该方程组即可得到答案.15．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，又∵，∴；（2）解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∵，∴，∴【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，我们可以得到，结合公共边，即可通过边角边，也就是判定定理，证明；（2）根据正方形的性质，我们可以得到，再结合第一问得到的全等结论，可以推出，利用等边对等角的性质得到，最后结合三角形内角和定理，就可以计算出的度数，得到最终结果.（1）证明：∵四边形是正方形，∴，又∵，∴；（2）解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∵，∴，∴．16．【答案】（1）解：根据三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离都等于半径的长度，可得如图，点O即为所求作；（2）解：如图，线段即为所求作：【知识点】三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；运用勾股定理解决网格问题【解析】【分析】（1）三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，都等于外接圆半径。结合网格结构，利用勾股定理确定点O的位置，可验证得到，因此点O即为△ABC外接圆的圆心；（2）结合网格特点，先作过点C且平行于的直线，在这条直线上取点D，使得，也就是点C向上平移4个单位得到点D，此时可得。因为，可得，因此可判定。根据相似三角形的性质可得，说明直线将线段分成了比为的两段，按此方法即可得到符合要求的线段BD.（1）解：根据三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离都等于半径的长度，可得如图，点O即为所求作；（2）解：如图，线段即为所求作：17．【答案】（1）解：总人数为：（人），∴抽取的学生成组为C等级的人数为：（人）；（2）解：总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，∵C中1人，D中7人，B中12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，所以中位数为：；（3）解：成绩为A等级的人数为：（人），答：成绩为A等级的人数为120．【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量【解析】【分析】（1）先根据B的人数以及所占百分比求得总人数，再拿总人数减去A、B、D的人数即可；（2）总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，由于C中1人，D中7人，B中12人，故中位数（ 中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数）是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，因此中位数为：；（3）拿360乘以A等级的人数所占百分比即可．（1）解：总人数为：（人），∴抽取的学生成组为C等级的人数为：（人）；（2）解：总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，∵C中1人，D中7人，B中12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，∴中位数为：；（3）解：成绩为A等级的人数为：（人），答：成绩为A等级的人数为120．18．【答案】解：过点作于点，作于点由题意得：，在中，，，，四边形为矩形，，，，在中.，答：该风力发电机塔杆的高度为.【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题【解析】【分析】过点作，垂足为点，再作，垂足为点。首先计算可得，；可推得，再结合矩形的性质得到FD=BH，最后利用锐角正切的定义计算出，由此即可得到最终答案。19．【答案】（1）2x（2）解：当点D落在BC上时，如图1，BP=AB-AP=4-2x，∵PQ⊥AB，∴∠QPA=90°，∵△PQD等边三角形，△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠DPQ=60°，PQ=PD，∴∠BPD=30°，∴∠PDB=90°，∴PD⊥BC，∴△APQ≌△BDP（AAS），∴BD=AP=2x，∵BP=2BD，∴4-2x=4x，解得x=（3）解：①如图2，当0＜x≤时，∵在Rt△APQ中，AP=2x，∠A=60°，∴PQ=AP tan60°=2x，∵△PQD等边三角形，∴S△PQD=×2x 3x=3x2cm2，所以y=3x2；②如图3，当点Q与点C重合时，此时CP⊥AB，所以AP=AB，即2x=2，解得x=1，所以当＜x≤1时，如图4，设PD、QD与BC分别相交于点G、H，∵AP=2x，∴BP=4-2x，AQ=2AP=4x，∴BG=BP=2-x，∴PG=BG=（2-x），∴S△PBG=×BG PG=（2-x）2，∵AQ=2AP=4x，∴CQ=AC-AQ=4-4x，∴QH=CQ=（4-4x），∴S△QCH=×CQ QH=（4-4x）2，∵S△ABC=×4×2=4，∴S四边形PGHQ=S△ABC-S△PBG-S△QCH-S△APQ=4-（2-x）2-（4-4x）2-×2x×2x=-x2+18x-6，所以y=-x2+18x-6；③如图5，当1＜x＜2时，点Q运动在BC边上，设PD与BC相交于点G，此时PG=BP sin60°=（4-2x）×=（2-x），∵PB=4-2x，∴BQ=2BP=2（4-2x）=4（2-x），∴BG=BP=2-x，∴QG=BQ-BG=3（2-x），∴重叠部分的面积为：S△PQG=×PG QG=×（2-x） 3（2-x）=（2-x）2．所以y=（2-x）2．综上所述：y关于x的函数解析式为：当0＜x≤时，y=3x2；当＜x≤1时，y=-x2+18x-6；当1＜x＜2时，y=（2-x）2【知识点】分段函数；列二次函数关系式；等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形-动点问题【解析】【解答】（1）解：∵动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，∴AP的长为2xcm；故答案为：2x；【分析】（1）已知动点P从点A出发，运动速度为2cm/s，沿AB向点B做匀速运动，运动时间是x秒，因此AP的长度为2x cm；（2）当点D落在BC边上时，如图1，此时BP的长度为AB的长度减去AP的长度，即BP=4-2x；结合△PQD是等边三角形、△ABC是等边三角形的条件，可证明△APQ≌△BDP，据此即可计算得到x的值；（3）我们结合题意，分三种情况进行分析推导，分别求出对应的y与x的函数解析式：①当0＜x≤时，对应图形如图2所示；②当＜x≤1时，点Q恰好运动到与点C重合及之后的这个区间，对应图形如图3，设PD、QD分别与BC相交于点G、H，对应图形如图4所示；③当1＜x＜2时，点Q运动到BC边上，对应图形如图5，设PD与BC相交于点G；我们对上述三种情况分别推导，即可得到y关于x的函数解析式.（1）解：∵动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，∴AP的长为2xcm；故答案为：2x；（2）解：当点D落在BC上时，如图1，BP=AB-AP=4-2x，∵PQ⊥AB，∴∠QPA=90°，∵△PQD等边三角形，△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠DPQ=60°，PQ=PD，∴∠BPD=30°，∴∠PDB=90°，∴PD⊥BC，∴△APQ≌△BDP（AAS），∴BD=AP=2x，∵BP=2BD，∴4-2x=4x，解得x=；（3）解：①如图2，当0＜x≤时，∵在Rt△APQ中，AP=2x，∠A=60°，∴PQ=AP tan60°=2x，∵△PQD等边三角形，∴S△PQD=×2x 3x=3x2cm2，所以y=3x2；②如图3，当点Q与点C重合时，此时CP⊥AB，所以AP=AB，即2x=2，解得x=1，所以当＜x≤1时，如图4，设PD、QD与BC分别相交于点G、H，∵AP=2x，∴BP=4-2x，AQ=2AP=4x，∴BG=BP=2-x，∴PG=BG=（2-x），∴S△PBG=×BG PG=（2-x）2，∵AQ=2AP=4x，∴CQ=AC-AQ=4-4x，∴QH=CQ=（4-4x），∴S△QCH=×CQ QH=（4-4x）2，∵S△ABC=×4×2=4，∴S四边形PGHQ=S△ABC-S△PBG-S△QCH-S△APQ=4-（2-x）2-（4-4x）2-×2x×2x=-x2+18x-6，所以y=-x2+18x-6；③如图5，当1＜x＜2时，点Q运动在BC边上，设PD与BC相交于点G，此时PG=BP sin60°=（4-2x）×=（2-x），∵PB=4-2x，∴BQ=2BP=2（4-2x）=4（2-x），∴BG=BP=2-x，∴QG=BQ-BG=3（2-x），∴重叠部分的面积为：S△PQG=×PG QG=×（2-x） 3（2-x）=（2-x）2．所以y=（2-x）2．综上所述：y关于x的函数解析式为：当0＜x≤时，y=3x2；当＜x≤1时，y=-x2+18x-6；当1＜x＜2时，y=（2-x）2．20．【答案】解：任务1：如图：即为所求；任务2：选取两点分别代入可得：，解得，∴；选取两点分别代入；得：解得，∴；任务3：当时， 解得：．当，时，解得，．∴.∴在时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态． 【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；一次函数的其他应用【解析】【分析】（1）通过描点、连线的方法绘制对应函数图象即可；（2）利用待定系数法即可求出函数解析式；（3）分两种情况讨论：当时，和当时，分别列出一元一次不等式求解，最后结合函数图象即可得到最终结论21．【答案】（1）；（2）解：，理由如下：四边形是菱形，，，，是等边三角形，，，，是等边三角形，，，，即，在与中，，，（3）【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）【解析】【解答】（1）解：四边形是菱形，，，是等边三角形，，，是等边三角形，，，，在与中，，，，，是菱形的对角线，，，，，；（3）解：设，相交于点，如图，，是菱形的对角线，，，，，，，，、是等边三角形，，，，，，，，，，由（2）可知，，，，，，，即，．【分析】（1）结合菱形的性质和已知条件，先证出是等边三角形，又因为题目给出是等边三角形，我们可以利用等边三角形的性质，推出，由此可得，且，根据这些结论就能证出；（2）同样先结合菱形性质和，推导出和都是等边三角形，再利用等边三角形的性质证明，就可以证出对应的结论；（3）先设和的交点为，结合菱形性质与，就可以求出和的长度，再借助勾股定理依次算出和的长度，接着证明，最后利用面积公式就能计算得到最终答案.（1）解：四边形是菱形，，，是等边三角形，，，是等边三角形，，，，在与中，，，，，是菱形的对角线，，，，，；（2）解：，理由如下：四边形是菱形，，，，是等边三角形，，，，是等边三角形，，，，即，在与中，，，；（3）解：设，相交于点，如图，，是菱形的对角线，，，，，，，，、是等边三角形，，，，，，，，，，由（2）可知，，，，，，，即，．22．【答案】（1）（2）解：∵点与点重合，∴，解得：，当时，，∴点的坐标为（3）解：∵抛物线的解析式为，∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上，∵顶点在图象上，∴图象的最低点的纵坐标为，当点在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时，此时且，即，∵，∴，∴图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即，∴；当点在对称轴上或右侧，点在对称轴的左侧时，此时且，即，∵，∴，∴图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即，∴；综上所述，与之间的函数关系式为（4）①；②【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题；一元一次不等式组的应用-几何问题【解析】【解答】（1）解：∵抛物线顶点的坐标为，∴抛物线的解析式为，∴，故答案为：；（4）解：①∵，四边形是矩形，∴，∵抛物线的解析式为，∴在对称轴左侧，y随x的增大而减小，∵，∴抛物线的顶点为，矩形在顶点上方，当时，解得，当时，解得，∵抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，∴，∴解得：；②当点P在点Q的左侧时，即，解得：，此时，，∴在y轴右侧，设抛物线与y轴交于点E，E关于对称轴的对称点为F，∵，∴对称轴为直线，当时，，∴，根据对称性可得，可知矩形不经过抛物线对称轴右侧的部分，∵图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小，∴，解得：．当点P在点Q的右侧时，即，解得：，此时，，∵，∴矩形不经过抛物线对称轴左侧的部分，且F在上，∵在对称轴右侧，y随x增大而增大，∴不存在m，使图象G在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，综上所述，的取值范围为．【分析】（1）结合题目给出的条件，可以推出抛物线的解析式为，代入后即可得到结果。（2）当点和点重合时，可计算得到，进而完成求解。（3）根据二次函数的图象性质，可以得到图像最低点的纵坐标为，接下来分两种不同情况分别讨论：第一种是点位于对称轴左侧，点位于对称轴右侧；第二种是点位于对称轴右侧，点位于对称轴左侧，分别分析后即可求解。（4）①首先根据矩形的性质推导得到点坐标，再根据抛物线的性质得到抛物线的顶点坐标为，结合抛物线“对称轴左侧y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大”的性质得到极值点，再根据极值点列出不等式组，即可求出结果。②同样分两种情况讨论，先确定两种情况下m的取值范围，再推导得到矩形和抛物线的位置关系，最终结合图像列出不等式组即可求解.（1）解：∵抛物线顶点的坐标为，∴抛物线的解析式为，∴，故答案为：；（2）解：∵点与点重合，∴，解得：，当时，，∴点的坐标为；（3）解：∵抛物线的解析式为，∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上，∵顶点在图象上，∴图象的最低点的纵坐标为，当点在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时，此时且，即，∵，∴，∴图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即，∴；当点在对称轴上或右侧，点在对称轴的左侧时，此时且，即，∵，∴，∴图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即，∴；综上所述，与之间的函数关系式为；（4）解：①∵，四边形是矩形，∴，∵抛物线的解析式为，∴在对称轴左侧，y随x的增大而减小，∵，∴抛物线的顶点为，矩形在顶点上方，当时，解得，当时，解得，∵抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，∴，∴解得：；②当点P在点Q的左侧时，即，解得：，此时，，∴在y轴右侧，设抛物线与y轴交于点E，E关于对称轴的对称点为F，∵，∴对称轴为直线，当时，，∴，根据对称性可得，可知矩形不经过抛物线对称轴右侧的部分，∵图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小，∴，解得：．当点P在点Q的右侧时，即，解得：，此时，，∵，∴矩形不经过抛物线对称轴左侧的部分，且F在上，∵在对称轴右侧，y随x增大而增大，∴不存在m，使图象G在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，综上所述，的取值范围为．1 / 1 展开更多...... 收起↑ 资源列表 吉林延边朝鲜族自治州延吉市第七中学等校2025-2026学年度第二学期九年级第一次模拟考试数学试卷(学生版).docx 吉林延边朝鲜族自治州延吉市第七中学等校2025-2026学年度第二学期九年级第一次模拟考试数学试卷(教师版).docx
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