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吉林省吉林市丰满区2024—2025学年下学期八年级期末教学质量检测数学试卷
一、单项选择题（每小题3分，共18分）
1． 要使二次根式有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．下列统计量中，表示一组数据波动程度的量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
3．若正比例函数（是常数，）的函数值随的增大而增大，则的取值可能是（　　）
A．2 B． C． D．
4．如图，在平行四边形中，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这样做的道理是（　　）
A．直角三角形两个锐角互余
B．三角形内角和等于
C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形
6．如图，在Rt中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线与相交于点，连接．若，，则的长为（　　）
A． B．2 C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
7．化简：　 　．
8．晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中平时成绩占，期末考试成绩占．若小明的平时成绩为80分，期末考试成绩为90分，则小明这学期的体育成绩为　 　分．
9．电流通过导线时会产生热量，电流、导线电阻、通电时间与产生的热量满足公式，当时，　 　．
10．如图，若一次函数的图象经过两点，则不等式的解集为　 　．
11．如图，在菱形中，，E是上一动点，连接，则的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共11道小题，共87分）
12．计算：．
13．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积．
14．如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的南偏西方向，且与货轮相距．同时，在它的南偏东方向又发现客轮，且与货轮相距，求此时灯塔与客轮的距离．（：海里）
15．如图，在中，是的中点，连接并延长至点，使，连接．
（1）求证四边形是菱形．
（2）若，则菱形的面积为______．
16．图1，图2，图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上．请用无刻度直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图1中，分别找到格点，使四边形为正方形．
（2）在图2中，分别找到格点，使四边形为菱形，但不是正方形．
（3）在图3中，分别找到格点，使四边形为平行四边形，但不是菱形．
17．2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日．某校开展了一次党史知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩，经过整理数据，得到以下信息：
信息一：50名学生竞赛成绩的频数分布直方图如图所示（数据分成5组：，，，，），从左到右依次为第一组到第五组．
信息二：第三组的成绩（单位：分）为71，72，73，73，74，74，75，76，76，76，77，79．
根据信息解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图（直接在图中补全）；
（2）第三组竞赛成绩的众数是______分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是______分；
（3）若该校共有1500名学生参赛，估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数．
18．如图，将长方形沿对角线折叠，使点落在点处， 交于点．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，求的面积．
19．一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长（） … 23 24 25 26 27 28 …
身高（） … 156 163 170 177 184 191 …
（1）在图1中描出表中数据对应的点；
（2）把这些点依次连接起来，根据图象猜想身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式；
（3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
20．综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量、猜想得出结论：原四边形对角线的数量关系和位置关系对中点四边形的形状有着决定性作用．以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
在四边形中，分别是的中点．
探究一 探究二 探究三 探究四
题设：如图1，和不相等，和不垂直． 题设：如图2，和不相等，． 题设：如图3，，和不垂直． 题设：如图4，，．
结论：四边形的形状为平行四边形． 结论：四边形的形状为①___________． 结论：四边形的形状为②___________． 结论：四边形的形状为③___________．
（1）①______．②_______．③_____．
（2）如图1，请完成探究一的证明．
（3）如图2，，若，，则四边形的面积为_______．
（4）如图3，，连接，若，，则________．
21．如图，在平行四边形中，，，．点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿折线运动到点停止，连接，．设点运动时间为秒，的面积为．
（1）______；
（2）求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）取的中点为，连接，当时，直接写出的值．
22．如图，点的坐标为，点的坐标为，以点为端点分别作射线，将射线所组成的图形记为图象V．
（1）射线的解析式为________，自变量的取值范围是_______．
（2）射线的解析式为________，自变量的取值范围是________．
（3）点为轴上一动点，其纵坐标为．连接，以为边向右作正方形．
①当点在上时，________．
②当点在图象V上时，求的值．
③当图象V与正方形有两个公共点时，直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题有：
解得：x≥2，
的取值范围是x≥2.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可.
2．【答案】D
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：能反映一组数据波动程度的是方差或标准差，
故答案为：D．
【分析】能反映一组数据的集中趋势的有平均数、中位数、众数；能反映一组数据波动程度的是方差或标准差，结合各选项可判断求解.
3．【答案】A
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数（为常数，且）的函数值随着的增大而增大，
∴，
只有选项A符合题意，
故答案为：A．
【分析】正比例函数y=kx(k为常数，且k≠0)中，当k＞0时，函数值y随着x的增大而增大，当k＜0时，函数值y随着x的增大而减小，据此解答即可.
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由平行四边形的对角相等，邻角互补得出∠A=∠C，∠A+∠B=180°，结合∠A+∠C=90°可求出∠A=45°，进而即可求出∠B的度数.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【解答】解：由32+42=52，满足两条短边的平方和等于最长边的平方，可判定该三角形是直角三角形.
故答案为：D．
【分析】本题依据勾股定理的逆定理进行判定：若一个三角形的三条边满足，其中两边的平方和等于第三边的平方，这个三角形就是直角三角形.
6．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由已知可得：是线段的垂直平分线，
∴点D是AB的中点，
，，，
，
，
故答案为：C．
【分析】由作图过程可得PQ是线段AB的垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出点D是AB的中点，再由勾股定理算出AB的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD的长.
7．【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：．
故答案为：2．
【分析】根据二次根式的性质直接化简即可.
8．【答案】88
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意，按照学期体育成绩的计算规则，小明这学期的体育综合成绩计算过程如下：
分
因此小明这个学期的体育综合成绩为88分.
故答案为：88．
【分析】 直接根据加权平均数的计算方法，结合各项成绩的占比计算综合成绩即可.
9．【答案】
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：将代入Q=I2Rt得，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】将Q=30，R=5，t=1代入焦耳定理公式Q=I2Rt求出I2=6，再算术平方根的意义即可得到答案.
10．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：观察图象可得，当时，，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】从图象角度看，求不等式kx+b＜-1的解集，就是求点B右边图象对应的自变量的取值范围，结合点B的横坐标即可得出答案.
11．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：过点B作于点F，则，
∵菱形中，，
∴，
∴，
∵，
∴CF=2，
∴，
∵，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】过点B作BF⊥CD于点F，由菱形的对角相等及直角三角形两锐角互余可得，根据含30°角直角三角形的性质得出CF=2，然后根据勾股定理算出BF的长，由垂线段最短即可求出BE的最小值.
12．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先根据二次根式的乘法法则及除法法则分别计算，再合并同类二次根式即可.
13．【答案】解：当时，．
点的坐标为
．
当时，．解得．
点的坐标为
∴．
．
【知识点】一次函数中的面积问题
【解析】【分析】根据直线与坐标轴交点的坐标特点，分别令一次函数y=-2x+4中的x=0与y=0，算出对应的y与x的值，从而得出点B与点A的坐标，然后根据点的坐标特点求出OA、OB的长，最后利用三角形面积公式列式计算即可.
14．【答案】解：由题意，得．
在中，
答：此时灯塔与客轮的距离为．
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【分析】由方向角定义及角的构成可求出∠AMB=90°，然后利用勾股定理算出AB即可.
15．【答案】（1）证明：∵，点是中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形；
（2）
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得OB⊥AC，OA=OC，由两对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，进而根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得结论；
（2）根据菱形的面积公式根据两对角线乘积的一半列式计算即可.
（1）证明：∵，点是中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
故答案为：．
16．【答案】（1）解：四边形即为所求作；
（2）解：四边形即为所求作；
（3）解：四边形即为所求作．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及对角线相等且垂直平分的四边形是正方形取格点A、B，并依次连接A、M、B、N即可；
（2）利用方格纸的特点及对角线互相垂直平分的四边形是菱形取格点C、D，并依次连接C、M、D、N即可；
（3）利用方格纸的特点及对角线互相平分的四边形是平行四边形取格点E、F，并依次连接E、M、F、N即可.
（1）解：四边形即为所求作；
（2）解：四边形即为所求作；
（3）解：四边形即为所求作．
17．【答案】解：（1）60~70人数为=50-4-12-20-4=10（人）
如图：
（2）76；78
（3）（人）
估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数为720人．
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（2）第三组出现最多的成绩是76，所以众数是76；
第25和26两个数的平均数为（77+79）÷2=78（分），所以中位数是78；
故答案为：76；78；
【分析】（1）根据频数分布直方图提供的信息，由各组频数之和等于50求出成绩在60≤x＜70的频数，从而即可补全频数分布直方图；
（2）在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此结合统计图表提供的信息解答即可；
（2）用该校学生的总人数乘以样本中成绩不低于80分的人数所占的百分比，即可估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数.
18．【答案】（1）证明：∵折叠，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵四边形为矩形，
∴，
∵折叠，
∴，
又∵
∴
∴，
设，则：，
在中，
，
即：，
解得：；
∴，
∴．
答：三角形BED的面积为10.
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）由折叠的性质以及矩形的性质和平行线的性质可得，根据等角对等边可得BE=DE，然后由等腰三角爱哦写的定义可判断求解；
（2）由题意，用角角边可证 DEC ≌ BEA，根据全等三角形的对应边相等可得C E=AE，设，在中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出的值，然后用面积公式计算即可求解．
（1）证明：∵折叠，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵四边形为矩形，
∴，
∵折叠，
∴，
又∵
∴
∴，
设，则：，
在中，
，
即：，
解得：；
∴，
∴．
19．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：把这些点依次连接起来如图所示，
由图可知：与满足一次函数关系，
设解析式为，将点，代入得：
，
解得：
解析式为：；
（3）解：将代入得：
∴估计这个人身高．
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）根据表格信息描点即可.
（2）将各点连线，由图可知：与满足一次函数关系，设解析式为，根据待定系数法将点，代入解析式即可求出答案.
（3）将x=25.8代入解析式即可求出答案.
（1）解：如图所示：
（2）解：把这些点依次连接起来如图所示，
由图可知：与满足一次函数关系，
设解析式为，将点，代入得：
，
解得：
解析式为：；
（3）解：将代入得：
∴估计这个人身高．
20．【答案】（1）矩形；菱形；正方形
（2）证明：∵在四边形中分别是的中点．
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
∴，
∴四边形的形状为平行四边形；
（3）5
（4）
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定；正方形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：（1）①∵在四边形中分别是的中点．
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
∴，
∴四边形的形状为平行四边形；
同理可得，是的中位线，
∴
∵
∴
∴四边形的形状为矩形；
②∵是的中位线，
∴
∵
∴
∴四边形的形状为菱形；
③∵，
∴由以上可得，，
∴四边形的形状为正方形；
故答案为：矩形；菱形；正方形；
（3）∵，，
由（1）得，，，四边形的形状为矩形
∴四边形的面积为；
故答案为：5；
（4）如图所示，连接，交于点O
∵四边形的形状为菱形
∴，，
∴
∵
∴
∴（负值舍去）
∴．
故答案为：.
【分析】（1）根据三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半得出EH=FG=BD，EH∥FG∥BD，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH为平行四边形；然后由AC⊥BD，结合平行线性质可证出EH⊥EF，从而由有一个内角为直角的平行四边形是矩形得到四边形EFGH为矩形；由三角形中位线定理得出EF=AC，结合AC=BD得到EH=EF，从而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出四边形EFGH为菱形；结合（1）（2）可得四边形EFGH的为正方形；
（2）根据三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半得出EH=FG=BD，EH∥FG∥BD，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH为平行四边形；
（3）由三角形中位线的性质得到，，然后根据矩形的面积公式列式计算即可；
（4）如图所示，连接FH，EG交于点O，由菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角得到，，，根据含30°角直角三角形性质得到，然后利用勾股定理求出，从而即可得到AC的长.
（1）①∵在四边形中分别是的中点．
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
∴，
∴四边形的形状为平行四边形；
同理可得，是的中位线，
∴
∵
∴
∴四边形的形状为矩形；
②∵是的中位线，
∴
∵
∴
∴四边形的形状为菱形；
③∵，
∴由以上可得，，
∴四边形的形状为正方形；
（2）∵在四边形中分别是的中点．
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
∴，
∴四边形的形状为平行四边形；
（3）∵，，
由（1）得，，，四边形的形状为矩形
∴四边形的面积为；
（4）如图所示，连接，交于点O
∵四边形的形状为菱形
∴，，
∴
∵
∴
∴（负值舍去）
∴．
21．【答案】（1）4
（2）解：当点在线段上，即时，此时，
∴；
当点在线段上，即2＜x＜4时，
此时，
∴；
当点在线段上，即时，
此时，
∴；
综上，；
（3）解：的值为或或．
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；四边形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴∠ABD=90°，
又，
∴∠ADB=∠A=45°，
∴，
故答案为：4；
（3）解：当点在线段上，即时，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴；
当点在线段上，即时，
∵，点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点在线段上，即时，
延长至点，使，连接，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵点是的中点，点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，的值为或或．
【分析】（1）由垂直的定义及三角形内角和定理可推出∠ADB=∠A=45°，由等角对等边即可得出BD=AB=4；
（2）分三种情况讨论，当点P在线段AB上时，即0＜x≤2时，由路程、速度、时间三者的关系得AP=2x，根据三角形面积公式可求出y关于x的函数解析式；当点P在线段BD上时，即2＜x＜4时，由路程、速度、时间三者的关系及选段和差得DP=8-2x，根据三角形面积公式可求出y关于x的函数解析式；当点P在线段CD上时，即4≤x≤6时，由路程、速度、时间三者的关系得DP=2x-8，根据三角形面积公式可求出y关于x的函数解析式，综上可得答案；
（3）分三种情况讨论，当点P在线段AB上时，即0＜x≤2时，由线段和差算出AQ，根据中点定义得出AP，然后根据AP=2x建立方程，求解得出x的值；当点P在线段BD上时，即2＜x＜4时，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AP的长，然后根据勾股定理算出BP，然后根据AB+BP=2x建立方程，求解得出x的值；当点P在线段CD上时，即4≤x≤6时，延长AB至点E，使BE=AB=4，连接CE、PE，首先证出四边形BDCE是正方形，得出CE=4，∠PCE=90°，由三角形中位线定理得出PE=2BQ=5，然后在Rt△PCE中，利用勾股定理算出CP，然后根据2x=AB+BD+DP=AB+BD+CD-CP列出方程，求解得出x的值，综上可得答案.
（1）解：∵，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：4；
（2）解：当点在线段上，即时，此时，
∴；
当点在线段上，即时，
此时，
∴；
当点在线段上，即时，
此时，
∴；
综上，；
（3）解：当点在线段上，即时，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴；
当点在线段上，即时，
∵，点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点在线段上，即时，
延长至点，使，连接，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵点是的中点，点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，的值为或或．
22．【答案】（1）；
（2）；
（3）①-2
解：②当时，，
∴，
∴，
∵点M在图象V上，
∴，
解得；
当时，，
∴，
∴，
解得；
综上所述：m的值为4或；
③或或
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：设射线的解析式为(k≠0，且)，
将点代入，可得，
∴射线的解析式为，
故答案为：，；
（2）解：设射线的解析式为，
将A、B的坐标代入，可得，
解得，
∴射线解析式为，，
故答案为：，；
（3）解：①∵四边形是正方形，
∴轴，
∵A点在上，
∴；
故答案为：；
③当时，图象V与正方形一定有两个公共点；
当时，M点、O点在正方形上，此时图象V与正方形有三个公共点，
∴时，图象V与正方形有两个公共点；
当时，N点，此时B点、O点在正方形上，图象V与正方形有两个公共点；
∴时，图象V与正方形有三个公共点；
综上所述：或或时，图象V与正方形有两个公共点．
【分析】（1）设射线AO的解析式为y=kx(x≤1)，将点A(1，-2)代入算出k的值，从而即可得到射线OA的解析式；
（2）设射线AB的解析式为y=k'x+b(k'≠0，x≥1)，将点A(1，-2)与点B(2，0)分别代入可得关于字母k'、b的方程组，求解得出k'、b的值，从而即可得到射线AB的解析式；
（3）①根据正方形对边平行得出PM∥x轴，然后根据平行于x轴直线上所有点的纵坐标相同可得点P的纵坐标与点A的纵坐标一样，都是-2，从而得出m的值；
②分类讨论：当时，由点的坐标与图形性质及正方形性质可得，将点M代入求出m的值；当时，由点的坐标与图形性质及正方形性质可得，将点M代入求出m的值；
③当时，图象V与正方形一定有两个公共点；当时，此时图象V与正方形有三个公共点，则时，图象V与正方形有两个公共点；当时，图象V与正方形有两个公共点，则时，图象V与正方形有三个公共点．
（1）解：设直线的解析式为，
将点代入，可得，
∴射线的解析式为，，
故答案为：，；
（2）解：设射线的解析式为，
将A、B的坐标代入，可得，
解得，
∴射线解析式为，，
故答案为：，；
（3）解：①∵四边形是正方形，
∴轴，
∵A点在上，
∴；
故答案为：；
②当时，，
∴，
∴，
∵点M在图象V上，
∴，
解得；
当时，，
∴，
∴，
解得；
综上所述：m的值为4或；
③当时，图象V与正方形一定有两个公共点；
当时，M点、O点在正方形上，此时图象V与正方形有三个公共点，
∴时，图象V与正方形有两个公共点；
当时，N点，此时B点、O点在正方形上，图象V与正方形有两个公共点；
∴时，图象V与正方形有三个公共点；
综上所述：或或时，图象V与正方形有两个公共点．
1 / 1吉林省吉林市丰满区2024—2025学年下学期八年级期末教学质量检测数学试卷
一、单项选择题（每小题3分，共18分）
1． 要使二次根式有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题有：
解得：x≥2，
的取值范围是x≥2.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可.
2．下列统计量中，表示一组数据波动程度的量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】D
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：能反映一组数据波动程度的是方差或标准差，
故答案为：D．
【分析】能反映一组数据的集中趋势的有平均数、中位数、众数；能反映一组数据波动程度的是方差或标准差，结合各选项可判断求解.
3．若正比例函数（是常数，）的函数值随的增大而增大，则的取值可能是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数（为常数，且）的函数值随着的增大而增大，
∴，
只有选项A符合题意，
故答案为：A．
【分析】正比例函数y=kx(k为常数，且k≠0)中，当k＞0时，函数值y随着x的增大而增大，当k＜0时，函数值y随着x的增大而减小，据此解答即可.
4．如图，在平行四边形中，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由平行四边形的对角相等，邻角互补得出∠A=∠C，∠A+∠B=180°，结合∠A+∠C=90°可求出∠A=45°，进而即可求出∠B的度数.
5．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这样做的道理是（　　）
A．直角三角形两个锐角互余
B．三角形内角和等于
C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形
【答案】D
【知识点】勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【解答】解：由32+42=52，满足两条短边的平方和等于最长边的平方，可判定该三角形是直角三角形.
故答案为：D．
【分析】本题依据勾股定理的逆定理进行判定：若一个三角形的三条边满足，其中两边的平方和等于第三边的平方，这个三角形就是直角三角形.
6．如图，在Rt中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线与相交于点，连接．若，，则的长为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由已知可得：是线段的垂直平分线，
∴点D是AB的中点，
，，，
，
，
故答案为：C．
【分析】由作图过程可得PQ是线段AB的垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出点D是AB的中点，再由勾股定理算出AB的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD的长.
二、填空题（每小题3分，共15分）
7．化简：　 　．
【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：．
故答案为：2．
【分析】根据二次根式的性质直接化简即可.
8．晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中平时成绩占，期末考试成绩占．若小明的平时成绩为80分，期末考试成绩为90分，则小明这学期的体育成绩为　 　分．
【答案】88
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意，按照学期体育成绩的计算规则，小明这学期的体育综合成绩计算过程如下：
分
因此小明这个学期的体育综合成绩为88分.
故答案为：88．
【分析】 直接根据加权平均数的计算方法，结合各项成绩的占比计算综合成绩即可.
9．电流通过导线时会产生热量，电流、导线电阻、通电时间与产生的热量满足公式，当时，　 　．
【答案】
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：将代入Q=I2Rt得，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】将Q=30，R=5，t=1代入焦耳定理公式Q=I2Rt求出I2=6，再算术平方根的意义即可得到答案.
10．如图，若一次函数的图象经过两点，则不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：观察图象可得，当时，，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】从图象角度看，求不等式kx+b＜-1的解集，就是求点B右边图象对应的自变量的取值范围，结合点B的横坐标即可得出答案.
11．如图，在菱形中，，E是上一动点，连接，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：过点B作于点F，则，
∵菱形中，，
∴，
∴，
∵，
∴CF=2，
∴，
∵，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】过点B作BF⊥CD于点F，由菱形的对角相等及直角三角形两锐角互余可得，根据含30°角直角三角形的性质得出CF=2，然后根据勾股定理算出BF的长，由垂线段最短即可求出BE的最小值.
三、解答题（本大题共11道小题，共87分）
12．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先根据二次根式的乘法法则及除法法则分别计算，再合并同类二次根式即可.
13．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积．
【答案】解：当时，．
点的坐标为
．
当时，．解得．
点的坐标为
∴．
．
【知识点】一次函数中的面积问题
【解析】【分析】根据直线与坐标轴交点的坐标特点，分别令一次函数y=-2x+4中的x=0与y=0，算出对应的y与x的值，从而得出点B与点A的坐标，然后根据点的坐标特点求出OA、OB的长，最后利用三角形面积公式列式计算即可.
14．如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的南偏西方向，且与货轮相距．同时，在它的南偏东方向又发现客轮，且与货轮相距，求此时灯塔与客轮的距离．（：海里）
【答案】解：由题意，得．
在中，
答：此时灯塔与客轮的距离为．
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【分析】由方向角定义及角的构成可求出∠AMB=90°，然后利用勾股定理算出AB即可.
15．如图，在中，是的中点，连接并延长至点，使，连接．
（1）求证四边形是菱形．
（2）若，则菱形的面积为______．
【答案】（1）证明：∵，点是中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形；
（2）
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得OB⊥AC，OA=OC，由两对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，进而根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得结论；
（2）根据菱形的面积公式根据两对角线乘积的一半列式计算即可.
（1）证明：∵，点是中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
故答案为：．
16．图1，图2，图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上．请用无刻度直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图1中，分别找到格点，使四边形为正方形．
（2）在图2中，分别找到格点，使四边形为菱形，但不是正方形．
（3）在图3中，分别找到格点，使四边形为平行四边形，但不是菱形．
【答案】（1）解：四边形即为所求作；
（2）解：四边形即为所求作；
（3）解：四边形即为所求作．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及对角线相等且垂直平分的四边形是正方形取格点A、B，并依次连接A、M、B、N即可；
（2）利用方格纸的特点及对角线互相垂直平分的四边形是菱形取格点C、D，并依次连接C、M、D、N即可；
（3）利用方格纸的特点及对角线互相平分的四边形是平行四边形取格点E、F，并依次连接E、M、F、N即可.
（1）解：四边形即为所求作；
（2）解：四边形即为所求作；
（3）解：四边形即为所求作．
17．2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日．某校开展了一次党史知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩，经过整理数据，得到以下信息：
信息一：50名学生竞赛成绩的频数分布直方图如图所示（数据分成5组：，，，，），从左到右依次为第一组到第五组．
信息二：第三组的成绩（单位：分）为71，72，73，73，74，74，75，76，76，76，77，79．
根据信息解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图（直接在图中补全）；
（2）第三组竞赛成绩的众数是______分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是______分；
（3）若该校共有1500名学生参赛，估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数．
【答案】解：（1）60~70人数为=50-4-12-20-4=10（人）
如图：
（2）76；78
（3）（人）
估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数为720人．
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（2）第三组出现最多的成绩是76，所以众数是76；
第25和26两个数的平均数为（77+79）÷2=78（分），所以中位数是78；
故答案为：76；78；
【分析】（1）根据频数分布直方图提供的信息，由各组频数之和等于50求出成绩在60≤x＜70的频数，从而即可补全频数分布直方图；
（2）在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此结合统计图表提供的信息解答即可；
（2）用该校学生的总人数乘以样本中成绩不低于80分的人数所占的百分比，即可估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数.
18．如图，将长方形沿对角线折叠，使点落在点处， 交于点．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明：∵折叠，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵四边形为矩形，
∴，
∵折叠，
∴，
又∵
∴
∴，
设，则：，
在中，
，
即：，
解得：；
∴，
∴．
答：三角形BED的面积为10.
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）由折叠的性质以及矩形的性质和平行线的性质可得，根据等角对等边可得BE=DE，然后由等腰三角爱哦写的定义可判断求解；
（2）由题意，用角角边可证 DEC ≌ BEA，根据全等三角形的对应边相等可得C E=AE，设，在中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出的值，然后用面积公式计算即可求解．
（1）证明：∵折叠，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵四边形为矩形，
∴，
∵折叠，
∴，
又∵
∴
∴，
设，则：，
在中，
，
即：，
解得：；
∴，
∴．
19．一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长（） … 23 24 25 26 27 28 …
身高（） … 156 163 170 177 184 191 …
（1）在图1中描出表中数据对应的点；
（2）把这些点依次连接起来，根据图象猜想身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式；
（3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：把这些点依次连接起来如图所示，
由图可知：与满足一次函数关系，
设解析式为，将点，代入得：
，
解得：
解析式为：；
（3）解：将代入得：
∴估计这个人身高．
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）根据表格信息描点即可.
（2）将各点连线，由图可知：与满足一次函数关系，设解析式为，根据待定系数法将点，代入解析式即可求出答案.
（3）将x=25.8代入解析式即可求出答案.
（1）解：如图所示：
（2）解：把这些点依次连接起来如图所示，
由图可知：与满足一次函数关系，
设解析式为，将点，代入得：
，
解得：
解析式为：；
（3）解：将代入得：
∴估计这个人身高．
20．综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量、猜想得出结论：原四边形对角线的数量关系和位置关系对中点四边形的形状有着决定性作用．以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
在四边形中，分别是的中点．
探究一 探究二 探究三 探究四
题设：如图1，和不相等，和不垂直． 题设：如图2，和不相等，． 题设：如图3，，和不垂直． 题设：如图4，，．
结论：四边形的形状为平行四边形． 结论：四边形的形状为①___________． 结论：四边形的形状为②___________． 结论：四边形的形状为③___________．
（1）①______．②_______．③_____．
（2）如图1，请完成探究一的证明．
（3）如图2，，若，，则四边形的面积为_______．
（4）如图3，，连接，若，，则________．
【答案】（1）矩形；菱形；正方形
（2）证明：∵在四边形中分别是的中点．
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
∴，
∴四边形的形状为平行四边形；
（3）5
（4）
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定；正方形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：（1）①∵在四边形中分别是的中点．
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
∴，
∴四边形的形状为平行四边形；
同理可得，是的中位线，
∴
∵
∴
∴四边形的形状为矩形；
②∵是的中位线，
∴
∵
∴
∴四边形的形状为菱形；
③∵，
∴由以上可得，，
∴四边形的形状为正方形；
故答案为：矩形；菱形；正方形；
（3）∵，，
由（1）得，，，四边形的形状为矩形
∴四边形的面积为；
故答案为：5；
（4）如图所示，连接，交于点O
∵四边形的形状为菱形
∴，，
∴
∵
∴
∴（负值舍去）
∴．
故答案为：.
【分析】（1）根据三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半得出EH=FG=BD，EH∥FG∥BD，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH为平行四边形；然后由AC⊥BD，结合平行线性质可证出EH⊥EF，从而由有一个内角为直角的平行四边形是矩形得到四边形EFGH为矩形；由三角形中位线定理得出EF=AC，结合AC=BD得到EH=EF，从而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出四边形EFGH为菱形；结合（1）（2）可得四边形EFGH的为正方形；
（2）根据三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半得出EH=FG=BD，EH∥FG∥BD，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH为平行四边形；
（3）由三角形中位线的性质得到，，然后根据矩形的面积公式列式计算即可；
（4）如图所示，连接FH，EG交于点O，由菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角得到，，，根据含30°角直角三角形性质得到，然后利用勾股定理求出，从而即可得到AC的长.
（1）①∵在四边形中分别是的中点．
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
∴，
∴四边形的形状为平行四边形；
同理可得，是的中位线，
∴
∵
∴
∴四边形的形状为矩形；
②∵是的中位线，
∴
∵
∴
∴四边形的形状为菱形；
③∵，
∴由以上可得，，
∴四边形的形状为正方形；
（2）∵在四边形中分别是的中点．
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
∴，
∴四边形的形状为平行四边形；
（3）∵，，
由（1）得，，，四边形的形状为矩形
∴四边形的面积为；
（4）如图所示，连接，交于点O
∵四边形的形状为菱形
∴，，
∴
∵
∴
∴（负值舍去）
∴．
21．如图，在平行四边形中，，，．点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿折线运动到点停止，连接，．设点运动时间为秒，的面积为．
（1）______；
（2）求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）取的中点为，连接，当时，直接写出的值．
【答案】（1）4
（2）解：当点在线段上，即时，此时，
∴；
当点在线段上，即2＜x＜4时，
此时，
∴；
当点在线段上，即时，
此时，
∴；
综上，；
（3）解：的值为或或．
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；四边形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴∠ABD=90°，
又，
∴∠ADB=∠A=45°，
∴，
故答案为：4；
（3）解：当点在线段上，即时，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴；
当点在线段上，即时，
∵，点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点在线段上，即时，
延长至点，使，连接，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵点是的中点，点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，的值为或或．
【分析】（1）由垂直的定义及三角形内角和定理可推出∠ADB=∠A=45°，由等角对等边即可得出BD=AB=4；
（2）分三种情况讨论，当点P在线段AB上时，即0＜x≤2时，由路程、速度、时间三者的关系得AP=2x，根据三角形面积公式可求出y关于x的函数解析式；当点P在线段BD上时，即2＜x＜4时，由路程、速度、时间三者的关系及选段和差得DP=8-2x，根据三角形面积公式可求出y关于x的函数解析式；当点P在线段CD上时，即4≤x≤6时，由路程、速度、时间三者的关系得DP=2x-8，根据三角形面积公式可求出y关于x的函数解析式，综上可得答案；
（3）分三种情况讨论，当点P在线段AB上时，即0＜x≤2时，由线段和差算出AQ，根据中点定义得出AP，然后根据AP=2x建立方程，求解得出x的值；当点P在线段BD上时，即2＜x＜4时，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AP的长，然后根据勾股定理算出BP，然后根据AB+BP=2x建立方程，求解得出x的值；当点P在线段CD上时，即4≤x≤6时，延长AB至点E，使BE=AB=4，连接CE、PE，首先证出四边形BDCE是正方形，得出CE=4，∠PCE=90°，由三角形中位线定理得出PE=2BQ=5，然后在Rt△PCE中，利用勾股定理算出CP，然后根据2x=AB+BD+DP=AB+BD+CD-CP列出方程，求解得出x的值，综上可得答案.
（1）解：∵，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：4；
（2）解：当点在线段上，即时，此时，
∴；
当点在线段上，即时，
此时，
∴；
当点在线段上，即时，
此时，
∴；
综上，；
（3）解：当点在线段上，即时，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴；
当点在线段上，即时，
∵，点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点在线段上，即时，
延长至点，使，连接，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵点是的中点，点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，的值为或或．
22．如图，点的坐标为，点的坐标为，以点为端点分别作射线，将射线所组成的图形记为图象V．
（1）射线的解析式为________，自变量的取值范围是_______．
（2）射线的解析式为________，自变量的取值范围是________．
（3）点为轴上一动点，其纵坐标为．连接，以为边向右作正方形．
①当点在上时，________．
②当点在图象V上时，求的值．
③当图象V与正方形有两个公共点时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）①-2
解：②当时，，
∴，
∴，
∵点M在图象V上，
∴，
解得；
当时，，
∴，
∴，
解得；
综上所述：m的值为4或；
③或或
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：设射线的解析式为(k≠0，且)，
将点代入，可得，
∴射线的解析式为，
故答案为：，；
（2）解：设射线的解析式为，
将A、B的坐标代入，可得，
解得，
∴射线解析式为，，
故答案为：，；
（3）解：①∵四边形是正方形，
∴轴，
∵A点在上，
∴；
故答案为：；
③当时，图象V与正方形一定有两个公共点；
当时，M点、O点在正方形上，此时图象V与正方形有三个公共点，
∴时，图象V与正方形有两个公共点；
当时，N点，此时B点、O点在正方形上，图象V与正方形有两个公共点；
∴时，图象V与正方形有三个公共点；
综上所述：或或时，图象V与正方形有两个公共点．
【分析】（1）设射线AO的解析式为y=kx(x≤1)，将点A(1，-2)代入算出k的值，从而即可得到射线OA的解析式；
（2）设射线AB的解析式为y=k'x+b(k'≠0，x≥1)，将点A(1，-2)与点B(2，0)分别代入可得关于字母k'、b的方程组，求解得出k'、b的值，从而即可得到射线AB的解析式；
（3）①根据正方形对边平行得出PM∥x轴，然后根据平行于x轴直线上所有点的纵坐标相同可得点P的纵坐标与点A的纵坐标一样，都是-2，从而得出m的值；
②分类讨论：当时，由点的坐标与图形性质及正方形性质可得，将点M代入求出m的值；当时，由点的坐标与图形性质及正方形性质可得，将点M代入求出m的值；
③当时，图象V与正方形一定有两个公共点；当时，此时图象V与正方形有三个公共点，则时，图象V与正方形有两个公共点；当时，图象V与正方形有两个公共点，则时，图象V与正方形有三个公共点．
（1）解：设直线的解析式为，
将点代入，可得，
∴射线的解析式为，，
故答案为：，；
（2）解：设射线的解析式为，
将A、B的坐标代入，可得，
解得，
∴射线解析式为，，
故答案为：，；
（3）解：①∵四边形是正方形，
∴轴，
∵A点在上，
∴；
故答案为：；
②当时，，
∴，
∴，
∵点M在图象V上，
∴，
解得；
当时，，
∴，
∴，
解得；
综上所述：m的值为4或；
③当时，图象V与正方形一定有两个公共点；
当时，M点、O点在正方形上，此时图象V与正方形有三个公共点，
∴时，图象V与正方形有两个公共点；
当时，N点，此时B点、O点在正方形上，图象V与正方形有两个公共点；
∴时，图象V与正方形有三个公共点；
综上所述：或或时，图象V与正方形有两个公共点．
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