资源简介 2025-2026八年级下册数学期末测试卷【押题A卷】答题卡姓名：______________班级：______________准考证号一、选择题（请用2B铅笔填涂）1 2 3 4 5 6 7 8[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]二、填空题三、解答题14题、15题、16题、17题、18题、19题、20题、一一一十一一一1一一一一一7IIL-LL1I11II1I下7II1I1I/I一一一一十一一一一十十一一一1I11IL11111OI1X1Ar一一厂71II11CI1I人+111ILI7LDAEBFCADEDDABBCCBE⌒图1图2图3/ 让教学更有效2025-2026八年级下册数学期末测试卷【押题A卷】【北师版】考试时间：90分钟 满分：100分 考试范围：第1章~第6章注意事项：1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。5.正确填涂第Ⅰ卷（选择题共30分）一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）1．因式分解代数式，应提取的公因式是（ ）A． B． C． D．2．将线段平移得到线段，点的对应点为，则点的对应点D的坐标为（ ）A． B． C． D．3．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ）A． B．C． D．4．（新情境试题·生活应用型）社区公园要设计一个平行四边形形状的休闲区，对角线、相交于点O，在边的中点E处安装一个路灯．经测量，路灯到对角线交点O的距离米．已知整个平行四边形休闲区的周长为16米，则边的长度是（ ）米．A．5 B．4 C． D．35．如图，在中，，，，是上一点，且，则长（ ）A．9 B．8 C．7 D．66．已知关于x的分式方程的解是正数，则n的取值范围是（ ）A．且 B．且C．且 D．且7．如图所示，在等腰中，，为边上的高线，，且交的延长线于点E．若，则的度数为（ ）A． B． C． D．8．如图，在中，点D在上，连接，过D作于点E，延长交的延长线于点F，的平分线分别与，相交于点G，H，且．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）9．如图，在中，，，将沿方向向右平移得到，交于，已知，，则阴影部分的面积为_______．10．如图，正比例函数和一次函数交于点，不等式的解集为______．11．（新情境试题·生活应用型）如图，小明从A点出发，沿直线前进3米后向左转，再沿直线前进3米，又向左转，……，照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为______米．12．若整数a使得关于x的不等式组解集为，使得关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的和为__________．13．（新情境试题·规律型）观察下列各式：．，，，根据上述规律计算的值为________．三、解答题（本大题共7个小题，共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）14．（6分）因式分解：．（7分）求不等式组：的所有整数解．16．（8分）如图，正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题．(1)求的面积．(2)将向上平移5个单位长度，画出平移后的．(3)将绕坐标原点顺时针方向旋转，画出旋转后的．17．（8分）（新情境试题·生活应用型）某辣椒种植户今年打算种植一批新品种辣椒，市场上有常规和高产两种种子，已知高产种子的单价是常规种子单价的3倍，用48元购买常规种子比用48元购买高产种子多8包．(1)分别求两种辣椒种子的单价．(2)若该种植户用不超过1000元的资金购买这两种种子共150包进行试种，则最多能购进高产种子多少包？18．（10分）如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长．19．（10分）（新情境试题·综合与实践）已知在中，平分，．【特例探究】(1)如图（a），，垂足为，若，，则的度数为___________；【一般推导】(2)如图（b），点在线段上，过点作，垂足为．请写出与，之间的数量关系：___________【拓展应用】如图（c），在中，，垂足为分别平分和，过点作交延长线于点．若，，求的度数．20．（12分）（新情境试题·综合与实践）探究与应用：(1)【问题提出】如图1，和都是等边三角形，将绕点C旋转，使点D落在内部，连接．①求证：；②若，求证：；(2)【问题探究】如图2，和都是等边三角形，将绕点C旋转，使点D落在外部，连接，若仍然成立，求的度数；(3)【问题拓展】如图3，和都是等腰直角三角形，，将绕点A旋转，使点D落在外部，连接，若，，，请直接写出的长．/ 让教学更有效2025-2026八年级下册数学期末测试卷【押题A卷】答题卡姓名：______________班级：______________准考证号一、选择题（请用2B铅笔填涂）1 2 3 4 5 6 7 8[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]二、填空题三、解答题14题、15题、16题、17题、18题、19题、20题、一一一十一一一1一一一一一7IIL-LL1I11II1I下7II1I1I/I一一一一十一一一一十十一一一1I11IL11111OI1X1Ar一一厂71II11CI1I人+111ILI7LDAEBFCADEDDABBCCBE⌒图1图2图32025-2026八年级下册数学期末测试卷【押题A卷】【北师版】考试时间：90分钟 满分：100分 考试范围：第1章~第6章注意事项：1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。5.正确填涂第Ⅰ卷（选择题共30分）一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）1．因式分解代数式，应提取的公因式是（ ）A． B． C． D．2．将线段平移得到线段，点的对应点为，则点的对应点D的坐标为（ ）A． B． C． D．3．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ）A． B．C． D．4．（新情境试题·生活应用型）社区公园要设计一个平行四边形形状的休闲区，对角线、相交于点O，在边的中点E处安装一个路灯．经测量，路灯到对角线交点O的距离米．已知整个平行四边形休闲区的周长为16米，则边的长度是（ ）米．A．5 B．4 C． D．35．如图，在中，，，，是上一点，且，则长（ ）A．9 B．8 C．7 D．66．已知关于x的分式方程的解是正数，则n的取值范围是（ ）A．且 B．且C．且 D．且7．如图所示，在等腰中，，为边上的高线，，且交的延长线于点E．若，则的度数为（ ）A． B． C． D．8．如图，在中，点D在上，连接，过D作于点E，延长交的延长线于点F，的平分线分别与，相交于点G，H，且．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）9．如图，在中，，，将沿方向向右平移得到，交于，已知，，则阴影部分的面积为_______．10．如图，正比例函数和一次函数交于点，不等式的解集为______．11．（新情境试题·生活应用型）如图，小明从A点出发，沿直线前进3米后向左转，再沿直线前进3米，又向左转，……，照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为______米．12．若整数a使得关于x的不等式组解集为，使得关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的和为__________．13．（新情境试题·规律型）观察下列各式：．，，，根据上述规律计算的值为________．三、解答题（本大题共7个小题，共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）14．（6分）因式分解：．15．（7分）求不等式组：的所有整数解．16．（8分）如图，正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题．(1)求的面积．(2)将向上平移5个单位长度，画出平移后的．(3)将绕坐标原点顺时针方向旋转，画出旋转后的．17．（8分）（新情境试题·生活应用型）某辣椒种植户今年打算种植一批新品种辣椒，市场上有常规和高产两种种子，已知高产种子的单价是常规种子单价的3倍，用48元购买常规种子比用48元购买高产种子多8包．(1)分别求两种辣椒种子的单价．(2)若该种植户用不超过1000元的资金购买这两种种子共150包进行试种，则最多能购进高产种子多少包？18．（10分）如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长．19．（10分）（新情境试题·综合与实践）已知在中，平分，．【特例探究】(1)如图（a），，垂足为，若，，则的度数为___________；【一般推导】(2)如图（b），点在线段上，过点作，垂足为．请写出与，之间的数量关系：___________【拓展应用】(3)如图（c），在中，，垂足为分别平分和，过点作交延长线于点．若，，求的度数．20．（12分）（新情境试题·综合与实践）探究与应用：(1)【问题提出】如图1，和都是等边三角形，将绕点C旋转，使点D落在内部，连接．①求证：；②若，求证：；(2)【问题探究】如图2，和都是等边三角形，将绕点C旋转，使点D落在外部，连接，若仍然成立，求的度数；(3)【问题拓展】如图3，和都是等腰直角三角形，，将绕点A旋转，使点D落在外部，连接，若，，，请直接写出的长．试卷第1页，共3页试卷第1页，共3页/ 让教学更有效2025-2026八年级下册数学期末测试卷【押题A卷】【北师版】考试时间：90分钟 满分：100分 考试范围：第1章~第6章注意事项：1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。5.正确填涂第Ⅰ卷（选择题共30分）一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）1．因式分解代数式，应提取的公因式是（ ）A． B． C． D．2．将线段平移得到线段，点的对应点为，则点的对应点D的坐标为（ ）A． B． C． D．3．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ）A． B．C． D．4．（新情境试题·生活应用型）社区公园要设计一个平行四边形形状的休闲区，对角线、相交于点O，在边的中点E处安装一个路灯．经测量，路灯到对角线交点O的距离米．已知整个平行四边形休闲区的周长为16米，则边的长度是（ ）米．A．5 B．4 C． D．35．如图，在中，，，，是上一点，且，则长（ ）A．9 B．8 C．7 D．66．已知关于x的分式方程的解是正数，则n的取值范围是（ ）A．且 B．且C．且 D．且7．如图所示，在等腰中，，为边上的高线，，且交的延长线于点E．若，则的度数为（ ）A． B． C． D．8．如图，在中，点D在上，连接，过D作于点E，延长交的延长线于点F，的平分线分别与，相交于点G，H，且．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）9．如图，在中，，，将沿方向向右平移得到，交于，已知，，则阴影部分的面积为_______．10．如图，正比例函数和一次函数交于点，不等式的解集为______．11．（新情境试题·生活应用型）如图，小明从A点出发，沿直线前进3米后向左转，再沿直线前进3米，又向左转，……，照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为______米．12．若整数a使得关于x的不等式组解集为，使得关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的和为__________．13．（新情境试题·规律型）观察下列各式：．，，，根据上述规律计算的值为________．三、解答题（本大题共7个小题，共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）14．（6分）因式分解：．（7分）求不等式组：的所有整数解．16．（8分）如图，正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题．(1)求的面积．(2)将向上平移5个单位长度，画出平移后的．(3)将绕坐标原点顺时针方向旋转，画出旋转后的．17．（8分）（新情境试题·生活应用型）某辣椒种植户今年打算种植一批新品种辣椒，市场上有常规和高产两种种子，已知高产种子的单价是常规种子单价的3倍，用48元购买常规种子比用48元购买高产种子多8包．(1)分别求两种辣椒种子的单价．(2)若该种植户用不超过1000元的资金购买这两种种子共150包进行试种，则最多能购进高产种子多少包？18．（10分）如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长．19．（10分）（新情境试题·综合与实践）已知在中，平分，．【特例探究】(1)如图（a），，垂足为，若，，则的度数为___________；【一般推导】(2)如图（b），点在线段上，过点作，垂足为．请写出与，之间的数量关系：___________【拓展应用】如图（c），在中，，垂足为分别平分和，过点作交延长线于点．若，，求的度数．20．（12分）（新情境试题·综合与实践）探究与应用：(1)【问题提出】如图1，和都是等边三角形，将绕点C旋转，使点D落在内部，连接．①求证：；②若，求证：；(2)【问题探究】如图2，和都是等边三角形，将绕点C旋转，使点D落在外部，连接，若仍然成立，求的度数；(3)【问题拓展】如图3，和都是等腰直角三角形，，将绕点A旋转，使点D落在外部，连接，若，，，请直接写出的长．2025-2026八年级下册数学期末测试卷【押题A卷】【北师版】考试时间：90分钟 满分：100分 考试范围：第1章~第6章注意事项：1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。5.正确填涂第Ⅰ卷（选择题共30分）一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）1．因式分解代数式，应提取的公因式是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】公因式是多项式各项都含有的公共因式，确定规则为：相同字母取最低次幂，乘积即为所求公因式．【详解】解：∵ 多项式为，各项均含有的公共字母为和，又∵在两项中的次数分别为和，最低次数为；在两项中的次数分别为和，最低次数为，∴公因式为．2．将线段平移得到线段，点的对应点为，则点的对应点D的坐标为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】线段平移时所有点的平移规律一致，先根据点A及其对应点C得到平移规律，再计算点B的对应点D的坐标即可．【详解】解：∵线段平移得到线段，点的对应点为．∴平移规律为横坐标增加，纵坐标增加．∵点的坐标为．∴点的对应点的横坐标为，纵坐标为．即的坐标为．3．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：解得，解得，∴不等式组的解集是，在数轴上表示如下：4．（新情境试题·生活应用型） 社区公园要设计一个平行四边形形状的休闲区，对角线、相交于点O，在边的中点E处安装一个路灯．经测量，路灯到对角线交点O的距离米．已知整个平行四边形休闲区的周长为16米，则边的长度是（ ）米．A．5 B．4 C． D．3【答案】A【分析】根据平行四边形的性质得到，然后根据三角形的中位线定理求得米，再根据平行四边形的周长等于16列方程求解即可．【详解】解：连，四边形是平行四边形，，，，是边的中点，，（米），整个平行四边形休闲区的周长为16米，，即，解得（米）．5．如图，在中，，，，是上一点，且，则长（ ）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，由勾股定理可得，作于点，再由三角形的面积公式计算得出，再由等腰三角形的性质得出，求出，得到，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：∵在中，，，，∴，如图，作于点，，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，故选：C．6．已知关于x的分式方程的解是正数，则n的取值范围是（ ）A．且 B．且C．且 D．且【答案】D【分析】先解分式方程得到关于的表达式，再根据分式方程的解是正数，且分母不为零，列出不等式求解的范围即可．【详解】解：，原方程可化为，方程两边同乘，得，展开整理得，解得，∵分式方程的解是正数，且分母不能为零，∴，解得且．7．如图所示，在等腰中，，为边上的高线，，且交的延长线于点E．若，则的度数为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求解，，再利用平行线的性质求解即可．【详解】解：在等腰中，，，∴，∵为边上的高线，∴，∵，∴．8．如图，在中，点D在上，连接，过D作于点E，延长交的延长线于点F，的平分线分别与，相交于点G，H，且．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，逐项判断，即可．【详解】解：∵，，∴，∴，∴，故①正确；∵是的角平分线，∴，∵分别为的外角，∴，∴，即，故②正确；∵，∴，∴，∵是的角平分线，∴，∴，∵为的外角，∴，即，故③正确；∵是的外角，∴，∵，，∴，故④正确；综上所述，正确的为①②③④，共4个．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）9．如图，在中，，，将沿方向向右平移得到，交于，已知，，则阴影部分的面积为_______．【答案】14【分析】由平移得，于是阴影部分面积等于梯形的面积，求得梯形的面积即可得出结果．【详解】解：∵沿着点A到点C的方向平移到的位置，∴，∴，∴阴影部分面积等于梯形的面积，由平移的性质得，，∴，∴，∵，∴，∴梯形的面积为，∴阴影部分的面积为．10．如图，正比例函数和一次函数交于点，不等式的解集为______．【答案】【分析】利用正比例函数解析式确定A点坐标，结合图形即可求解．【详解】解：正比例函数和一次函数交于点，，解得．．结合图形可知，当时，．11．（新情境试题·生活应用型） 如图，小明从A点出发，沿直线前进3米后向左转，再沿直线前进3米，又向左转，……，照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为______米．【答案】24【分析】由已知条件得走的图形是正多边形，且每个外角为，由外角和求出边数，即可求解．【详解】解：第一次回到出发点A时，走的图形是正多边形，且每个外角为，，解得，共走路程为（米）．12．若整数a使得关于x的不等式组解集为，使得关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的和为__________．【答案】【分析】解不等式组，根据不等式组的解集确定的初步取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为正数且分母不为零确定的最终取值范围，排除增根对应的值，找出范围内所有整数计算其和．【详解】解：解不等式得，解不等式得，不等式组的解集为，，解得，解分式方程得，分式方程的解为正数，且分母不为，且，解得且，可得的取值范围为且，满足条件的整数为，计算和为：．13．（新情境试题·规律型）观察下列各式：．，，，根据上述规律计算的值为________．【答案】【分析】先根据已知给出的式子总结出一般规律，再将所求式子对照规律变形计算，即可得到结果．【详解】解：根据已知各式，总结规律得：，令，，代入规律得：，∴．三、解答题（本大题共7个小题，共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）14．（6分）因式分解：．【答案】【详解】解：．15．（7分）求不等式组：的所有整数解．【答案】，0，1，2，3【详解】解：解不等式①，得，解不等式②，得，不等式组的解集为，不等式组的所有整数解为，0，1，2，3．16．（8分）如图，正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题．(1)求的面积．(2)将向上平移5个单位长度，画出平移后的．(3)将绕坐标原点顺时针方向旋转，画出旋转后的．【答案】(1)(2)如图所示：(3)如图所示：【分析】（1）根据正方形的面积减去三个三角形的面积可得答案；（2）将三角形的三个顶点A，B，C向上平移5个单位长度得到点，再依次连接可得；（3）将的三个顶点绕原点O顺时针旋转得到点，再依次连接即可．【详解】（1）解：；（2）略（3）略17．（8分）（新情境试题·生活应用型） 某辣椒种植户今年打算种植一批新品种辣椒，市场上有常规和高产两种种子，已知高产种子的单价是常规种子单价的3倍，用48元购买常规种子比用48元购买高产种子多8包．(1)分别求两种辣椒种子的单价．(2)若该种植户用不超过1000元的资金购买这两种种子共150包进行试种，则最多能购进高产种子多少包？【答案】(1)常规辣椒种子单价为4元/包，高产辣椒种子单价为12元/包.(2)最多能购进高产种子50包.【分析】（1）设常规种子的单价为x元，高产种子的单价为元，再根据48元购买常规种子的数量比48元购买高产种子的数量多8包列出分式方程，求出解；（2）设购买a包高产种子，则购买包常规种子，再根据总资金小于等于1000列出不等式，求出解集即可得出答案．【详解】（1）解；设常规种子的单价为x元，高产种子的单价为元，根据题意，得，解得，经检验，是原方程的解，则，所以常规种子的单价为4元，高产种子的单价为12元；（2）解：设购买a包高产种子，则购买包常规种子，根据题意，得，解得，所以最多能购进高产种子50包18．（10分）如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平行四边形的性质证明，证明，即可证明结论；（2）根据平行四边形的性质证明，得到，根据勾股定理求出，，即可得到答案．【详解】（1）证明：平行四边形，，，，，，即，，四边形是平行四边形；（2）解：四边形是平行四边形，，平行四边形，，，平分，，，，，，，平行四边形的周长．19．（10分）（新情境试题·综合与实践）已知在中，平分，．【特例探究】(1)如图（a），，垂足为，若，，则的度数为___________；【一般推导】(2)如图（b），点在线段上，过点作，垂足为．请写出与，之间的数量关系：___________【拓展应用】(3)如图（c），在中，，垂足为分别平分和，过点作交延长线于点．若，，求的度数．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）首先利用三角形内角和定理求出，然后由角平分线求出，然后求出，进而求解即可；（2）首先由角平分线和三角形内角和定理得到，然后由三角形外角的性质得到，然后利用直角三角形两锐角互余求解；（3）设，得到，根据角平分线的定义得到，，表示出，得到，利用列方程求解即可．【详解】（1）解：∵，，∴∵平分，∴∵∴∴∴；（2）解：∵平分，∴∴，∵∴∴；（3）解：设，∵平分，，，，∵，∴，、分别平分和，，，，∴，∵，，，∴，，．20．（12分）（新情境试题·综合与实践）探究与应用：(1)【问题提出】如图1，和都是等边三角形，将绕点C旋转，使点D落在内部，连接．①求证：；②若，求证：；(2)【问题探究】如图2，和都是等边三角形，将绕点C旋转，使点D落在外部，连接，若仍然成立，求的度数；(3)【问题拓展】如图3，和都是等腰直角三角形，，将绕点A旋转，使点D落在外部，连接，若，，，请直接写出的长．【答案】(1)①证明：∵和都是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴；②证明：∵是等边三角形，∴，∵，，在中，由勾股定理得：，由①知，∴；(2)的度数为(3)【分析】（1）①证明即可证明结论；②证明，根据即可得出结论；（2）证明，得出是直角三角形，且，即可求出结论；（3）证明，得出是等腰直角三角形，求出，再根据勾股定理求出结论；【详解】（1）略（2）解：∵和都是等边三角形，∴，∴∴，∴，∴，∵∴，∴是直角三角形，且，∴；∴的度数为；（3）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，在中，∵，∴，∴，∴（负值舍去）．试卷第1页，共3页试卷第1页，共3页 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