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四川省雅安市2024-2025学年七年级下学期期末检测数学试题
一、选择题（每小题3分，共36分）下列各题的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填涂在机读卡上．
1．二十四节气是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令．下面四幅设计作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中轴对称图形的是（　　）
A．） B．
C． D．
2．下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（　　）
A．守株待兔 B．大海捞针 C．返老还童 D．旭日东升
3．若，则的余角是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，为了估计池塘两端A，B两点之间的距离，小康采取了如下方法：在池塘的一侧选取了一点P，连接，测得米，米，那么A，B两点之间的距离可能是（　　）
A．7米 B．20米 C．33米 D．35米
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知，点E在边上，的延长线交于点F，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在阴影区域的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，已知直线，将含角的直角三角板按如图方式放置，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，图中所作直线与射线交于点D，点D在边上，根据图中尺规作图痕迹，可得的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．如图1，长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿着运动至点A停止，设点P运动的时间为，的面积为，y与x的关系如图2所示，那么下列说法中正确的个数是（　　）
①；
②长方形的周长为；
③当时，；
④当时，或3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，大正方形与小正方形面积之差是8，则阴影部分的面积是（　　）
A．8 B．4 C．3 D．2
12．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法错误的是（　　）
A． B．
C．若，则 D．
二、填空题（每小题3分，共12分）将答案填在答题卡相应的横线上．
13．杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是　 　事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”）
14．在学习综合与实践《设计自己的运算程序》时，小明设计了一个如下运算程序：任意写出一个三位数（三位数字相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的三位数和一个最小的三位数，然后用最大的数减去最小的数，得到差．重复这个过程…，若以215开始，按照此程序运算2024次后得到的数是　 　．
15．如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边为a米，将阴影部分进行绿化，则阴影部分的面积，　 　（用含有a，b的式子表示）．
16．如图，在纸片中，，将该三角形纸片折叠，使得点A落在边BC上的点D处，折痕为CE，若，则的度数为　 　．
三、解答题（本大题共6个小题，满分52分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：
（1）；
（2）．
18．先化简，再求值：其中．
19．每年的6月14日是“世界献血日”，某地组织居民开展义务献血活动，参与的所有献血者的血型检测结果有“A”“B”“”“O”四种血型．在所有参与献血者中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并制作了下面两幅不完整的统计图表．
血型 A B O
人数 a 10 5 b
（1）这次随机抽取的献血者人数为多少？
（2）图表中的___________，___________，___________；
（3）若活动中该地有2000人参与义务献血，请根据抽样结果回答：
①从所有献血者中随机抽取一人，其血型是O型的概率是多少？
②估计这2000人中有多少人是O型血．
20．如图，一束光线射到平面镜上，经平面镜反射到平面镜上，又经平面镜反射得到光线，反射过程中，，．
（1）若，且，求的度数．
（2）探究与有什么关系时，光线与光线平行．
21．如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1．网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．已知直线l及格点A，B，连接．
（1）画出线段关于直线l的轴对称线段；
（2）在直线l上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请画出点P；若不存在，请说明理由；
（3）在直线l的左侧存在格点C，使为等腰三角形，这样的格点C共有___________个．
22．一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为，两车之间的距离为，如图中的折线表示y与x之间的关系．根据图象进行以下探究：
[信息读取]
（1）甲，乙两地相距___________，两车出发后___________h相遇；
（2）普通列车到达终点共需___________h，普通列车的速度是___________；
[解决问题]
（3）求动车的速度；
（4）图中点M表示的实际意义是：当普通列车行驶___________h时，两车之间的距离为___________；
（5）当时，求出x的值．
四、填空题（本大题共2个小题，满分8分）
23．若3x=4，9y=7，则的值为　 　.
24．如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为　 　．
五、解答题
25．【问题背景】
如图1，在四边形中，，，点分别是上的点，且，试探究之间的数量关系．
【初步探索】
（1）小亮同学认为延长到点，使，连接，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是___________．
【探索延伸】
（2）如图2，在四边形中，，点分别是上的点，若，那么上述结论是否仍然成立？请说明理由．
【结论运用】
（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东方向以海里/时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的距离海里，求此时的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
2．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解∶A．守株待兔是极小概率事件，不符合题意；
B．大海捞针是不可能事件，不符合题意；
C．返老还童是不可能事件，不符合题意；
D．旭日东升是必然事件，符合题意；
故选：D．
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】余角
【解析】【解答】解：∵，
∴的余角为：，
故选：A．
【分析】和为90度的两个角互为余角．
4．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：在中，，
∵米，米，
∴，
∴，
∴A，B两点之间的距离可能是20米．
故选：B
【分析】
三角形的三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故该选项错误，不符合题意；
B、，故该选项错误，不符合题意；
C、，故该选项正确，符合题意；
D、，故该选项错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；
B、幂的乘方，底数不变，指数相乘；
C、同底数幂的除法，底数不变，指数相减；
D、积的乘方，先给积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B
【分析】
先由全等三角形的性质可得，，再由对顶角相等结合三角形内角和定理可得，即，再利用角的和差关系即可求解．
7．【答案】C
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：根据题意得：总面积为18个小三角形的面积，其中阴影区域的面积为6个小三角形的面积，
所以小球最终停留在阴影区域的概率是．
故选：C
【分析】
求阴影区域的面积在总面积中占的比例即可．
8．【答案】A
【知识点】角的运算；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即
∴，
故选：A．
【分析】本题考查平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，结合直角三角板的角度特征，构建角度和的等式求解。已知三角板为直角三角板且含30°角，因此，，直线，则、、与构成同旁内角，其和为180°，据此列出等式，计算即可得出的度数。
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由作法得：垂直平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C
【分析】
由基本尺规作图知垂直平分，平分，则由线段垂直平分线的性质可得DB＝DA，由等边对等角可得，再由角平分线的概念可得，再利用三角形的内角和定理即可.
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：对于①，由图可知，点P在线段上运动的时间为，
，
四边形是长方形，
，
所以①正确；
对于②，由图可知，点P在线段上运动的时间为，
，
长方形的周长为，
所以②正确；
对于③，当时，点P在上，
，
所以③正确；
对于④，当时，，
令，则，
解得，
当时，，
当时，点P在上，
，
令，则，
解得，
当时，或3，
所以④正确；
综上所述，正确的个数是4个．
故选：D．
【分析】
观察函数图象结合矩形的性质知，当点P从点B向点C的运动过程中，y随x的增大而增大，且当P、C垂合时y有最大值，则AD＝BC＝4，AB＝DC＝5，则矩形的周长＝18，故结论 ① 、 ② 正确；当x=5时，点P在CD上运动，此时，故结论③正确；由于点P在CD上运动时y的值保持不变，则当y=7.5时点P可能在BC上也可能在AD上，若点P在BC上，则，即PB＝3，则t=3；若点P在AD上，同理AP＝3，则DP=1，即点P运动的路程为PD+DC+CB＝1+5+4＝10，即t=10．
11．【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，
大正方形与小正方形的面积之差是8，
，
由图可知：
，
故选B．
【分析】
由割补法知阴影部分面积等于三角形CAE与三角形DAE的面积和，即阴影面积为，再利用正方形的性质可得AE＝AB－BE＝BC-BD，再利用平方差公式可得阴影面积恰好等于两正方形面积差的一半．
12．【答案】B
【知识点】三角形的双内角平分线模型；倍长中线构造全等模型；截长补短构造全等模型；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：A、在中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
，
故正确，不符合题意；
B、若，
∴，
∴，
∴，
而由已知条件无法证明，
故错误，符合题意；
C、如图，延长至G，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故正确，不符合题意；
D、如图，在AC上截取CG＝CD，连接FG.
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
，
∴，
∴，
故正确，不符合题意；
故选B．
【分析】
A、由三角形双内角平分线模型可得，故结论正确；
B、若，则，再由角平分线的概念可得，即为等边三角形，但已知未明确说明的形状，故结论不正确；
C、若AB＝2AE，则AE＝BE，可延长CE至G，使GE＝CE，连接BG，由倍长中线构造全等三角形模型可证明，得，再由角平分线的概念可得，再由等角对等边得BC＝BG，再利用等腰三角形三线合一即可得，故结论正确；
D、由于平分，则可在AC上截取CG＝CD可构造全等三角形即，则可得，再由对顶角相等结合已知可得，则可证，即AG＝AE，再利用线段的和差关系结合等量代换即可证明结论成立．
13．【答案】随机
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件．
故答案为：随机．
【分析】根据事件的分类即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；有理数的减法法则
【解析】【解答】解：由题意得，第一次：；
第二次：；
第三次：；
第四次：；
；
∴按照此程序运算2024次后得到的数是，
故答案为：．
【分析】
由题意第一次组成的最大和最小的三位数分别为521和125，则第一次得到的差为396；重复以上操作得第二次的差为594；第三次得到的差为495，第四次得到的差仍然为495，即从第三次以后结果保持不变．
15．【答案】
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式的几何背景；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：阴影部分的面积为：
，
故答案为：．
【分析】
由平行四边形的面积公式知阴影面积等于长为、宽为即的矩形面积，最后再利用平方差公式计算即可．
16．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；二元一次方程组的应用-几何问题；邻补角；翻折全等-公共边模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】∵，，
∴．
∵将折叠后，点A落在边BC上的点D处，折痕为，
∴，
∴；
故答案是：．
【分析】
由于直角三角形两锐角互余，则结合题意可得关于的二元一次方程组，再求解可分别得的度数 ，再由折叠的性质可得，最后再利用邻补角的概念即可．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；整数指数幂的运算
【解析】【分析】
（1）整式的运算，先作同底数幂的乘法和幂的乘方运算，再合并同类项，最后再作同底数幂的除法运算即可；
（2）实数的混合运算，先乘方，再化简绝对值，最后再算加减即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】解：
，
∴当时，原式.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】本题考查了整式的化简求值，先利用乘法公式展开，再合并同类项，最后再代值计算即可．
19．【答案】（1）解：这次随机抽取的献血者人数为（人）；
（2）12，23，20
（3）解： ① 从献血者人群中任抽取一人，其血型是O型的概率，
②（人），
答： 血型是O型的概率是46%，估计这2000人中大约有920人是O型血．
【知识点】扇形统计图；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（2）
解：O型献血的人数（人）；
A型献血的人数（人），
，
∴；
故答案为12，23，20；
【分析】
（1）观察扇形统计图和统计表，可用AB型的人数除以它所占的百分比即可得调查总人数；
（2）先利用总人数与O型人数的占比可得b，再用总人数减去O型、B型、型人数可得A型人数a，再用B型的人数除以调查总人数即可求得m的值；
（3）用样本中O型的人数除以样本人数得到血型是O型的概率，然后用2000乘以此概率可估计这2000人中是O型血的人数．
（1）解：这次随机抽取的献血者人数为（人）；
（2）解：O型献血的人数（人）；
A型献血的人数（人），
，
∴；
故答案为12，23，20；
（3）解：从献血者人群中任抽取一人，其血型是O型的概率，
（人），
估计这2000人中大约有920人是O型血．
20．【答案】（1）解，，
．
，
．
，
．
．
，
．
，
．
（2）解： 当时，光线与光线平行．
理由如下：
，，
．
同理．
，
．
【知识点】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）根据平角的定义求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCD的度数，进而利用平角解题即可；
（2）利用（1）的方法得到，，然后根据同旁内角互补，两直线平行解答即可．
21．【答案】（1）解：如图所示，线段为所求：
（2）解：如图所示，点为所求：
（3）5
【知识点】等腰三角形的判定与性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】
（2）
解：如图所示，点为所求：
由对称的性质得，
则，
此时，最小；
（3）
解：如图所示，
点C共有5个．
故答案为：5．
【分析】
（1）关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变、横坐标互为相反数，即先作点关于y轴的对应点，再连接即可；
（2）将军饮马模型，即连接交直线l于点P，由轴对称知PA+PB可转化为PA+PB`，由两点之间线段最短可得则点P即为所求作的点；
（3）由于两条边相等的三角形是等腰三角形，则可利用格点结合勾股定理分别确定点C，使AB＝AC或CB＝CA或BA＝BC即可．
（1）解：如图所示，线段为所求：
（2）解：如图所示，点为所求：
由对称的性质得，
则，
此时，最小；
（3）解：如图所示，
点C共有5个．
故答案为：5．
22．【答案】（1）1800，6；
（2）18，100；
（3）解：动车的速度为：（）；
（4）9，900；
（5）解：如图所示：
当时，
两车相遇前，
，
解得；
两车相遇后，
，
解得，不合；
动车到达乙地后，
，
解得．
故或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）由图像可知，甲地与乙地相距，两车出发后相遇；
故答案为：1800，6；
（2）由函数图象可知，普通列车到达，
则速度为（），
故答案为：18；100；.
（4）∵（），
∴（），
故答案为：9，900．
【分析】
（1）由图象获取信息，观察函数图象知，当起始时间为0时两车距离最大，即两地之间距离为1800千米；当两车距离为0时即两车相遇，此时用时为6小时；
（2）观察图象知，普通列车在18小时后到达甲地，则其速度为；
（3）由于出发6小时后两车相遇，即两边用6小时走完全程1800千米，则两车速度和为300，即动车速度为300-100＝200；
（4）由（3）知，动车到达乙地用时为9小时，此时普通列车距离乙地900千米，即点M表示的意义是出发9小时后两车相距900千米；
（5）观察图象知，当两车相距1200千米时，可能发生在相遇前，也可能发生在相遇后，即利用待定系数法分别求出直线AB和MN的解析式，再利用直线上点的坐标特征令，再分别解关于x的一元一次方程即可．
23．【答案】28
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵9y=（32）y =32y =7，3x=4
∴3x+2y=3x×32y =4×7=28
故答案为：28.
【分析】根据幂的乘方可得9y=（32）y =32y =7，进而将待求式子利用同底数幂的乘法法则的逆用变形后整体代入即可算出答案.
24．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；角平分线的概念；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；等积变换
【解析】【解答】解：如图，在上取一点，使，连接，作，
平分，
，
，
∴，
，
，
∴当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，
，
，
即的最小值为，
故答案为：．
【分析】在上取一点，使，连接，作，根据角平分线定义可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，再根据三角形面积即可求出答案.
25．【答案】（1），；
（2）成立，理由如下，
如图所示，延长延长到点，使得，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）如图所示，过点作轴于点，延长到点，使得，连接，
∵舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/时的速度前进，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，
∴，轴，则，
∴，则，
∵舰艇乙沿北偏东方向以海里/时的速度前进，
∴，（海里），（海里），
∵轴，
∴，则，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴（海里），
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；方位角
【解析】【解答】解：（1），理由如下，
如图所示，延长到点，使得，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴；
【分析】(1)本题考察全等三角形的判定与性质。延长到使，因为，所以，证明，得，；又，证明，得，故。
(2)本题考察全等三角形在四边形中的综合应用。延长到使，因为，，所以，证明，得，；又，证明，得，故，结论仍然成立。
(3)本题考察方位角、全等三角形及等腰三角形的性质。延长到使，由题意得海里，海里，海里，故海里。证明，得，；再证明，得，故。计算，因此。
1 / 1四川省雅安市2024-2025学年七年级下学期期末检测数学试题
一、选择题（每小题3分，共36分）下列各题的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填涂在机读卡上．
1．二十四节气是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令．下面四幅设计作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中轴对称图形的是（　　）
A．） B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
2．下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（　　）
A．守株待兔 B．大海捞针 C．返老还童 D．旭日东升
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解∶A．守株待兔是极小概率事件，不符合题意；
B．大海捞针是不可能事件，不符合题意；
C．返老还童是不可能事件，不符合题意；
D．旭日东升是必然事件，符合题意；
故选：D．
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
3．若，则的余角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】余角
【解析】【解答】解：∵，
∴的余角为：，
故选：A．
【分析】和为90度的两个角互为余角．
4．如图，为了估计池塘两端A，B两点之间的距离，小康采取了如下方法：在池塘的一侧选取了一点P，连接，测得米，米，那么A，B两点之间的距离可能是（　　）
A．7米 B．20米 C．33米 D．35米
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：在中，，
∵米，米，
∴，
∴，
∴A，B两点之间的距离可能是20米．
故选：B
【分析】
三角形的三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故该选项错误，不符合题意；
B、，故该选项错误，不符合题意；
C、，故该选项正确，符合题意；
D、，故该选项错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；
B、幂的乘方，底数不变，指数相乘；
C、同底数幂的除法，底数不变，指数相减；
D、积的乘方，先给积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
6．如图，已知，点E在边上，的延长线交于点F，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B
【分析】
先由全等三角形的性质可得，，再由对顶角相等结合三角形内角和定理可得，即，再利用角的和差关系即可求解．
7．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在阴影区域的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：根据题意得：总面积为18个小三角形的面积，其中阴影区域的面积为6个小三角形的面积，
所以小球最终停留在阴影区域的概率是．
故选：C
【分析】
求阴影区域的面积在总面积中占的比例即可．
8．如图，已知直线，将含角的直角三角板按如图方式放置，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即
∴，
故选：A．
【分析】本题考查平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，结合直角三角板的角度特征，构建角度和的等式求解。已知三角板为直角三角板且含30°角，因此，，直线，则、、与构成同旁内角，其和为180°，据此列出等式，计算即可得出的度数。
9．如图，在中，，图中所作直线与射线交于点D，点D在边上，根据图中尺规作图痕迹，可得的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由作法得：垂直平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C
【分析】
由基本尺规作图知垂直平分，平分，则由线段垂直平分线的性质可得DB＝DA，由等边对等角可得，再由角平分线的概念可得，再利用三角形的内角和定理即可.
10．如图1，长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿着运动至点A停止，设点P运动的时间为，的面积为，y与x的关系如图2所示，那么下列说法中正确的个数是（　　）
①；
②长方形的周长为；
③当时，；
④当时，或3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：对于①，由图可知，点P在线段上运动的时间为，
，
四边形是长方形，
，
所以①正确；
对于②，由图可知，点P在线段上运动的时间为，
，
长方形的周长为，
所以②正确；
对于③，当时，点P在上，
，
所以③正确；
对于④，当时，，
令，则，
解得，
当时，，
当时，点P在上，
，
令，则，
解得，
当时，或3，
所以④正确；
综上所述，正确的个数是4个．
故选：D．
【分析】
观察函数图象结合矩形的性质知，当点P从点B向点C的运动过程中，y随x的增大而增大，且当P、C垂合时y有最大值，则AD＝BC＝4，AB＝DC＝5，则矩形的周长＝18，故结论 ① 、 ② 正确；当x=5时，点P在CD上运动，此时，故结论③正确；由于点P在CD上运动时y的值保持不变，则当y=7.5时点P可能在BC上也可能在AD上，若点P在BC上，则，即PB＝3，则t=3；若点P在AD上，同理AP＝3，则DP=1，即点P运动的路程为PD+DC+CB＝1+5+4＝10，即t=10．
11．如图，大正方形与小正方形面积之差是8，则阴影部分的面积是（　　）
A．8 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，
大正方形与小正方形的面积之差是8，
，
由图可知：
，
故选B．
【分析】
由割补法知阴影部分面积等于三角形CAE与三角形DAE的面积和，即阴影面积为，再利用正方形的性质可得AE＝AB－BE＝BC-BD，再利用平方差公式可得阴影面积恰好等于两正方形面积差的一半．
12．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法错误的是（　　）
A． B．
C．若，则 D．
【答案】B
【知识点】三角形的双内角平分线模型；倍长中线构造全等模型；截长补短构造全等模型；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：A、在中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
，
故正确，不符合题意；
B、若，
∴，
∴，
∴，
而由已知条件无法证明，
故错误，符合题意；
C、如图，延长至G，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故正确，不符合题意；
D、如图，在AC上截取CG＝CD，连接FG.
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
，
∴，
∴，
故正确，不符合题意；
故选B．
【分析】
A、由三角形双内角平分线模型可得，故结论正确；
B、若，则，再由角平分线的概念可得，即为等边三角形，但已知未明确说明的形状，故结论不正确；
C、若AB＝2AE，则AE＝BE，可延长CE至G，使GE＝CE，连接BG，由倍长中线构造全等三角形模型可证明，得，再由角平分线的概念可得，再由等角对等边得BC＝BG，再利用等腰三角形三线合一即可得，故结论正确；
D、由于平分，则可在AC上截取CG＝CD可构造全等三角形即，则可得，再由对顶角相等结合已知可得，则可证，即AG＝AE，再利用线段的和差关系结合等量代换即可证明结论成立．
二、填空题（每小题3分，共12分）将答案填在答题卡相应的横线上．
13．杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是　 　事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”）
【答案】随机
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件．
故答案为：随机．
【分析】根据事件的分类即可求出答案.
14．在学习综合与实践《设计自己的运算程序》时，小明设计了一个如下运算程序：任意写出一个三位数（三位数字相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的三位数和一个最小的三位数，然后用最大的数减去最小的数，得到差．重复这个过程…，若以215开始，按照此程序运算2024次后得到的数是　 　．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；有理数的减法法则
【解析】【解答】解：由题意得，第一次：；
第二次：；
第三次：；
第四次：；
；
∴按照此程序运算2024次后得到的数是，
故答案为：．
【分析】
由题意第一次组成的最大和最小的三位数分别为521和125，则第一次得到的差为396；重复以上操作得第二次的差为594；第三次得到的差为495，第四次得到的差仍然为495，即从第三次以后结果保持不变．
15．如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边为a米，将阴影部分进行绿化，则阴影部分的面积，　 　（用含有a，b的式子表示）．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式的几何背景；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：阴影部分的面积为：
，
故答案为：．
【分析】
由平行四边形的面积公式知阴影面积等于长为、宽为即的矩形面积，最后再利用平方差公式计算即可．
16．如图，在纸片中，，将该三角形纸片折叠，使得点A落在边BC上的点D处，折痕为CE，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；二元一次方程组的应用-几何问题；邻补角；翻折全等-公共边模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】∵，，
∴．
∵将折叠后，点A落在边BC上的点D处，折痕为，
∴，
∴；
故答案是：．
【分析】
由于直角三角形两锐角互余，则结合题意可得关于的二元一次方程组，再求解可分别得的度数 ，再由折叠的性质可得，最后再利用邻补角的概念即可．
三、解答题（本大题共6个小题，满分52分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；整数指数幂的运算
【解析】【分析】
（1）整式的运算，先作同底数幂的乘法和幂的乘方运算，再合并同类项，最后再作同底数幂的除法运算即可；
（2）实数的混合运算，先乘方，再化简绝对值，最后再算加减即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．先化简，再求值：其中．
【答案】解：
，
∴当时，原式.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】本题考查了整式的化简求值，先利用乘法公式展开，再合并同类项，最后再代值计算即可．
19．每年的6月14日是“世界献血日”，某地组织居民开展义务献血活动，参与的所有献血者的血型检测结果有“A”“B”“”“O”四种血型．在所有参与献血者中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并制作了下面两幅不完整的统计图表．
血型 A B O
人数 a 10 5 b
（1）这次随机抽取的献血者人数为多少？
（2）图表中的___________，___________，___________；
（3）若活动中该地有2000人参与义务献血，请根据抽样结果回答：
①从所有献血者中随机抽取一人，其血型是O型的概率是多少？
②估计这2000人中有多少人是O型血．
【答案】（1）解：这次随机抽取的献血者人数为（人）；
（2）12，23，20
（3）解： ① 从献血者人群中任抽取一人，其血型是O型的概率，
②（人），
答： 血型是O型的概率是46%，估计这2000人中大约有920人是O型血．
【知识点】扇形统计图；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（2）
解：O型献血的人数（人）；
A型献血的人数（人），
，
∴；
故答案为12，23，20；
【分析】
（1）观察扇形统计图和统计表，可用AB型的人数除以它所占的百分比即可得调查总人数；
（2）先利用总人数与O型人数的占比可得b，再用总人数减去O型、B型、型人数可得A型人数a，再用B型的人数除以调查总人数即可求得m的值；
（3）用样本中O型的人数除以样本人数得到血型是O型的概率，然后用2000乘以此概率可估计这2000人中是O型血的人数．
（1）解：这次随机抽取的献血者人数为（人）；
（2）解：O型献血的人数（人）；
A型献血的人数（人），
，
∴；
故答案为12，23，20；
（3）解：从献血者人群中任抽取一人，其血型是O型的概率，
（人），
估计这2000人中大约有920人是O型血．
20．如图，一束光线射到平面镜上，经平面镜反射到平面镜上，又经平面镜反射得到光线，反射过程中，，．
（1）若，且，求的度数．
（2）探究与有什么关系时，光线与光线平行．
【答案】（1）解，，
．
，
．
，
．
．
，
．
，
．
（2）解： 当时，光线与光线平行．
理由如下：
，，
．
同理．
，
．
【知识点】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）根据平角的定义求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCD的度数，进而利用平角解题即可；
（2）利用（1）的方法得到，，然后根据同旁内角互补，两直线平行解答即可．
21．如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1．网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．已知直线l及格点A，B，连接．
（1）画出线段关于直线l的轴对称线段；
（2）在直线l上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请画出点P；若不存在，请说明理由；
（3）在直线l的左侧存在格点C，使为等腰三角形，这样的格点C共有___________个．
【答案】（1）解：如图所示，线段为所求：
（2）解：如图所示，点为所求：
（3）5
【知识点】等腰三角形的判定与性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】
（2）
解：如图所示，点为所求：
由对称的性质得，
则，
此时，最小；
（3）
解：如图所示，
点C共有5个．
故答案为：5．
【分析】
（1）关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变、横坐标互为相反数，即先作点关于y轴的对应点，再连接即可；
（2）将军饮马模型，即连接交直线l于点P，由轴对称知PA+PB可转化为PA+PB`，由两点之间线段最短可得则点P即为所求作的点；
（3）由于两条边相等的三角形是等腰三角形，则可利用格点结合勾股定理分别确定点C，使AB＝AC或CB＝CA或BA＝BC即可．
（1）解：如图所示，线段为所求：
（2）解：如图所示，点为所求：
由对称的性质得，
则，
此时，最小；
（3）解：如图所示，
点C共有5个．
故答案为：5．
22．一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为，两车之间的距离为，如图中的折线表示y与x之间的关系．根据图象进行以下探究：
[信息读取]
（1）甲，乙两地相距___________，两车出发后___________h相遇；
（2）普通列车到达终点共需___________h，普通列车的速度是___________；
[解决问题]
（3）求动车的速度；
（4）图中点M表示的实际意义是：当普通列车行驶___________h时，两车之间的距离为___________；
（5）当时，求出x的值．
【答案】（1）1800，6；
（2）18，100；
（3）解：动车的速度为：（）；
（4）9，900；
（5）解：如图所示：
当时，
两车相遇前，
，
解得；
两车相遇后，
，
解得，不合；
动车到达乙地后，
，
解得．
故或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）由图像可知，甲地与乙地相距，两车出发后相遇；
故答案为：1800，6；
（2）由函数图象可知，普通列车到达，
则速度为（），
故答案为：18；100；.
（4）∵（），
∴（），
故答案为：9，900．
【分析】
（1）由图象获取信息，观察函数图象知，当起始时间为0时两车距离最大，即两地之间距离为1800千米；当两车距离为0时即两车相遇，此时用时为6小时；
（2）观察图象知，普通列车在18小时后到达甲地，则其速度为；
（3）由于出发6小时后两车相遇，即两边用6小时走完全程1800千米，则两车速度和为300，即动车速度为300-100＝200；
（4）由（3）知，动车到达乙地用时为9小时，此时普通列车距离乙地900千米，即点M表示的意义是出发9小时后两车相距900千米；
（5）观察图象知，当两车相距1200千米时，可能发生在相遇前，也可能发生在相遇后，即利用待定系数法分别求出直线AB和MN的解析式，再利用直线上点的坐标特征令，再分别解关于x的一元一次方程即可．
四、填空题（本大题共2个小题，满分8分）
23．若3x=4，9y=7，则的值为　 　.
【答案】28
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵9y=（32）y =32y =7，3x=4
∴3x+2y=3x×32y =4×7=28
故答案为：28.
【分析】根据幂的乘方可得9y=（32）y =32y =7，进而将待求式子利用同底数幂的乘法法则的逆用变形后整体代入即可算出答案.
24．如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；角平分线的概念；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；等积变换
【解析】【解答】解：如图，在上取一点，使，连接，作，
平分，
，
，
∴，
，
，
∴当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，
，
，
即的最小值为，
故答案为：．
【分析】在上取一点，使，连接，作，根据角平分线定义可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，再根据三角形面积即可求出答案.
五、解答题
25．【问题背景】
如图1，在四边形中，，，点分别是上的点，且，试探究之间的数量关系．
【初步探索】
（1）小亮同学认为延长到点，使，连接，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是___________．
【探索延伸】
（2）如图2，在四边形中，，点分别是上的点，若，那么上述结论是否仍然成立？请说明理由．
【结论运用】
（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东方向以海里/时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的距离海里，求此时的度数．
【答案】（1），；
（2）成立，理由如下，
如图所示，延长延长到点，使得，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）如图所示，过点作轴于点，延长到点，使得，连接，
∵舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/时的速度前进，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，
∴，轴，则，
∴，则，
∵舰艇乙沿北偏东方向以海里/时的速度前进，
∴，（海里），（海里），
∵轴，
∴，则，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴（海里），
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；方位角
【解析】【解答】解：（1），理由如下，
如图所示，延长到点，使得，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴；
【分析】(1)本题考察全等三角形的判定与性质。延长到使，因为，所以，证明，得，；又，证明，得，故。
(2)本题考察全等三角形在四边形中的综合应用。延长到使，因为，，所以，证明，得，；又，证明，得，故，结论仍然成立。
(3)本题考察方位角、全等三角形及等腰三角形的性质。延长到使，由题意得海里，海里，海里，故海里。证明，得，；再证明，得，故。计算，因此。
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