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湖南省郴州市资兴市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各点中，在第四象限的点是（　　）
A． B． C． D．
2．下列有关中国航天图标是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．6，8，10 C．，3，5 D．5，12，12
4．某校名学生参加艺术考试，成绩在分的有人，则这个分数段的频率是（　　）
A． B． C． D．
5．一次函数y=2x+1的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形中，，则的长为（　　）
A．2 B．5 C．7 D．9
8．下列说法错误的是（　　）
A．平行四边形的对角相等
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．有一组邻边相等的四边形是菱形
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
9．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点E，交于点F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P；画射线，与相交于点D，点G在边上．若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
10．小明观看了主题为“人生自有诗意”的《中国诗词大会》，受此启发赋诗一首：“老铁学成今日返，老夫早早车站盼，老铁到后细打量，携手同欢把家还”，若用y轴表示老铁与老夫行进中离家的距离，用x轴表示老夫离家的时间，那么下面图象与上述诗的含义大致相吻合的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．函数的自变量x的取值范围是　 　．
12．点关于y轴对称的点的坐标是　 　．
13．在函数中，y随x的增大而　 　．
14．一个样本有50个数据，其中最大值是234，最小值是195，如果取组距为5，那么这组数据应分成　 　个组.
15．如果一个n边形的内角和等于它的外角和，则n＝　 　．
16．如图，，．若，则的度数为　 　度．
17．在平行四边形中，对角线，相交于点O，．若，则线段的长为　 　．
18．如图，在中，，，点M为中点，点N在直线上运动，连接以，将绕点A逆时针方向旋转得到，连接，则点N在运动过程中，的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共8小题，19-20题每小题6分，21-22题每小题8分，23-24题每小题9分，25-26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．若y与成正比例，且当时，．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点在该函数的图象上，求m的值．
20．如图，在点C，F，B，E在同一直线上，．求证：．
21．某中学为了解学生的课外课程的喜爱情况，就“我最喜爱的课外课程”从打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门课外课程进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制成两幅均不完整的统计图表．
最受欢迎的课外课程调查问卷 您好！这是一份关于您最喜欢的课外课程问卷调查表，请在表格中选择一个（只能选一个）您最喜欢的课程选项，在其后空格内打“√”，非常感谢您的合作．
课外课程 频数 频率
A m 0.40
B 20 0.10
C 60 n
D
合计 a 1.00
请根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中 ， ， ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）在这次抽样调查中，哪类课程最爱学生欢迎？哪类课程受欢迎程度最少？
（4）若学校依据调查结果对四类课程的开展与优化进行决策，你能提出什么好的建议？
22．如图，的顶点坐标分别为是．
（1）作关于x轴的轴对称图形，并写出像的坐标；
（2）将向右平移4个单位，再向上平移3个单位，作出平移后的，并写出点的坐标．
23．如图，在中，点D在上，，连接．E，F分别为的中点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求线段的长．
24．某快递公司的快递员小赵，他的月收入与该月的派件量之间成一次函数关系，其图象如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）小赵在没有派件量时的收入是 元；
（2）求小赵的月收入y（元）关于月派件量x（件）的函数表达式；
（3）若小赵要想月收入达到17000元，则小赵当月的派件量要达多少件？
25．如图1，在边长为的正方形中，点、分别为，的动点，且，连接、交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若点为中点时，求的长；
（3）如图2，将正方形沿着折叠，使得点落在边的三等分点处，求的长．
26．如图1，直线与x轴交于A，与y轴交于B．点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线的表达式；
（2）如图1，若点P是线段上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线于点Q，已知的面积为4，求点P的坐标；
（3）如图2，若点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点N，连接，在点M的运动过程中是否存在的情况？若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：A．在第二象限，不符合题意；
B．在第一象限，不符合题意；
C．在第四象限，符合题意；
D．在第三象限，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））分求解即可.
2．【答案】C
【知识点】生活中的旋转现象；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
3．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：选项A：2，3，4．最长边为4，计算得，而，故不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
选项B：6，8，10．最长边为10，计算得，与 相等，故能组成直角三角形，故本选项符合题意．
选项C：，3，5．最长边为5，计算得，而，故本选项不符合题意．
选项D：5，12，12．最长边为12，计算得，而，故本选项不符合题意．
故选：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项解答即可．
4．【答案】C
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：∵成绩在分的学生有人，总人数为人，
∴该分数段的频率为：，
故选：．
【分析】
频率等于频数除以总数．
5．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=2x+1中的2＞0，
∴该直线经过第一、三象限．
又∵一次函数y=2x+1中的1＞0，
∴该直线与y轴交于正半轴，
∴该直线经过第一、二、三象限，即不经过第四象限．
故选：D．
【分析】根据k，b的取值范围来确定图象在坐标平面内的位置．
6．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过点，
∴关于的不等式的解集即为在上方时对应的自变量的取值范围，
∴关于的不等式的解集
故选：A．
【分析】由关于的不等式可得，不等式的解集为在上方时对应的自变量的取值范围，结合函数图象求解即可．
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴．
故选：B
【分析】
平行四边形的对边相等．
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A. 平行四边形的对角相等，正确，符合平行四边形的性质；
B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，符合矩形的定义；
C. 有一组邻边相等的四边形不一定是菱形，必须满足“平行四边形”这一前提条件，故错误；
D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等，正确，符合正方形的性质；
故选：C．
【分析】
A、平行四边形的对边平行且相等、对角相等、邻角互补；
B、矩形的概念，正确；
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，结论错误；
D、正方形既是菱形也是矩形，故对角线互相垂直平分且相等，正确．
9．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，过点D作于点H，
由作法得：平分，
∵，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴．
故选：B
【分析】
如图，过点D作AB的垂线段DH，由基本尺规作图知AD平分，再由角平分线的性质可得DC＝DH，则可利用HL证明，即．
10．【答案】D
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据题意可知老夫离家的距离在这个过程中分为段，先远离后不变最后到家，并且先到达车站；老铁离家的路程也分为3段，先离家越来越近，再停止，最后到家．
故选D．
【分析】
由函数图象获取信息，由诗意知老爸与儿子开始时离家距离最大，之后老爸开始在车站等候儿子，儿子到站后还稍作停留，之后俩人一同回家；观察图象知，A表示的是儿子先到达车站，与诗意不符；B表示的是儿子在车站等到老爸后直接返回并未停留，与诗意不符；C表示的是儿子与老爸同时在车站相遇，与诗意不符，故正确答案为D．
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得：，解得，
故答案为：．
【分析】
此题考据分式有意义的条件是分式的分母不等于 0 ．
12．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于y轴对称的点的坐标是．
故答案为：
【分析】
关于y轴对称的点的坐标特征是横坐标互为相反数，纵坐标不变．
13．【答案】增大
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵在函数中，，
∴y随x的增大而增大，
故答案为：增大．
【分析】
对于一次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
14．【答案】8
【知识点】频数（率）分布表
【解析】【解答】解：(234-195)5=7.8，依题意需要分8个组。
故答案为：8 .
【分析】按照教材所讲的分组方法，先求出最大值与最小值的差值（极差），再除以组距，所得结果用进一法取整数就能求出可以分成多少组。
15．【答案】4
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵一个n边形的内角和等于它的外角和，
∴(n-2)×180°=360°，
∴n=4.
故答案为：4.
【分析】n边形的内角和为(n-2)×180°，外角和为360°，结合题意可得关于n的方程，求解即可.
16．【答案】56
【知识点】两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：56．
【分析】
先由两直线平行内错角相等得出，再根据直角三角形两锐角互余即可．
17．【答案】8
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图：延长EO交AD于点F.
∵四边形是平行四边形，
∴、，
，
，
，
∵∥，
∴四边形EFDC是平行四边形，
∴，
，
∴．
故答案为：8．
【分析】
延长EO交AD于点F，则由平行四边形的性质可判定四边形EFDC是平行四边形，则DC＝EF；再由平行四边形的对边平行、对角线互相平分可利用AAS判定，则由全等得，即CD＝EF＝2OE．
18．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：设的中点为，连接，过点作交直线于点，如图：
在中，，
，
∵点是的中点，
，
，
根据旋转可得，
，
，
，
在和中
，
，
，
∴当为最小时，为最小，
根据“垂线段最短”得：，
∴当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长，
∴的最小值为线段的长，
在中，，
，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】
如图，取AB的中点D，连接DN，再过点D作BC的垂线段DH，则由题意可利用手拉手全等模型可证明，则由全等可得，再由垂线段最短可得当点N与点H重合时DN为最小，最小值为线段DH的长，此时再利用等边对等角并结合三角形内角和可得，再由中点的概念结合直角三角形30度角的性质求出DH的长即可.
19．【答案】（1）解：∵y与成正比例，
∴设，
∵当时，，则，
∴，
∴函数的表达式．
（2）解：∵点在函数的图象上，
∴，
解得：，
∴m的值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）由直线上点的坐标特征可把点代入（1）中所求解析式中得关于m的方程并求解即可．
（1）解：∵y与成正比例，
∴设，
∵当时，，则，
∴，
∴函数的表达式．
（2）解：∵点在函数的图象上，
∴，
解得：，
∴m的值为．
20．【答案】证明：∵，
∴和为直角三角形.
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】
先利用线段的和差关系可得CB＝EF，再利用证明即可．
21．【答案】（1）200，80，0.3
（2）解：
补全图形如下：
（3）解：由图可得：A课程（打印）最受欢迎；B课程（数学史）受欢迎程度最少；
（4）解：由调查可得建议如下：
多开设打印课程，优化数学史课程内容或教学方式以提高受欢迎度．
【知识点】全面调查与抽样调查；频数与频率；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图
【解析】【解答】
（1）
解：，
，
；
（2）
解：∵，
∴的频数为：，
补全图形如下：
【分析】
（1）观察频数统计表，可由的数量除以其频率可得，由总量乘以的频率可得，由的频数除以总量可得，从而可得答案；
（2）先利用总人数分别减去A、B、C的频数可得的频数，再补全图形即可；
（3）直接观察统计图找出频数最大和最小的两个值即可；
（4）根据调查数据提出合理建议即可．
（1）解：，
，
；
（2）解：∵，
∴的频数为：，
补全图形如下：
（3）解：由图可得：A课程（打印）最受欢迎；B课程（数学史）受欢迎程度最少；
（4）解：由调查可得建议如下：
多开设打印课程，优化数学史课程内容或教学方式以提高受欢迎度．
22．【答案】（1）见解析，
（2）见解析，
【知识点】作图﹣轴对称；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（1）如图，为所作，；
（2）如图，为所求，．
【分析】
（1）关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标不变、纵坐标互为相反数，因此先分别作点A，B，C关于x轴的对应点，再顺次连接即可；
（2）沿坐标轴方向平移的点的坐标特征是：右加左减、上加下减，因此分别作出A，B，C的对应点，再顺次连接即可，则给点C的横坐标加4、纵坐标加3即可得出点C2的坐标．
（1）解：如图，为所作，；
（2）解：如图，为所求，．
23．【答案】（1）证明：∵E，F分别为的中点，
∴是的中位线，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，F是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）先由三角形中位线定理可得EF平行CD且等于CD的一半，则由已知可得EF与DA平行且相等，即四边形ADEF是平行四边形；
（2）由平行线的性质结合已知可得，则由等角对等边可得DE＝CD＝2AD＝4，再由平行四边形的对边相等可得AF＝4，再由直角三角形斜边上的中线性质可得DB＝8．
（1）证明：∵E，F分别为的中点，
∴是的中位线，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，F是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴．
24．【答案】（1）2000
（2）解：设一次函数表达式为，把和代入，得：，
解得：，
则一次函数表达式为．
∴小赵的日收入y（元）关于日派件量x（件）的函数表达式为．
（3）解：当时，，
解得：．
答：小赵当月的派件量要达1000件．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】
（1）
解：根据图象可得小赵在没有派件量时的收入是2000元，
故答案为：2000；
【分析】
（1）观察图象知当派件量为0时对应的函数值y＝2000元；
（2）直接利用待定系数法求解即可；
（3）由直线上点的坐标特征令可得关于x的一元一次方程并求解即可．
（1）解：根据图象可得小赵在没有派件量时的收入是2000元，
故答案为：2000；
（2）解：设一次函数表达式为，
把和代入，得：，
解得：，
则一次函数表达式为．
∴小赵的日收入y（元）关于日派件量x（件）的函数表达式为．
（3）解：当时，，
解得：．
答：小赵当月的派件量要达1000件．
25．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图1，延长交的延长线于，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴是斜边上的中线，
∴.
（3）如图2，连接，过点作于，
则在四边形中，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
由翻折变换的性质得，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵点是的三等分点，
当时或，
在中，由勾股定理得：，
当时，，
∴的长为或．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据正方形性质，利用SAS证明，即可得到，然后根据直角三角形的两锐角互余证明即可；
（2）延长交的延长线于，即可得到，进而得到，再根据直角三角形斜边中线性质证明结论；
（3）连接，过点作于，即可得到，进而得到，然后利用勾股定理求出长解答即可．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图1，延长交的延长线于，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴是斜边上的中线，
∴.
（3）如图2，连接，过点作于，
则在四边形中，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
由翻折变换的性质得，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵点是的三等分点，
当时或，
在中，由勾股定理得：，
当时，，
∴的长为或．
26．【答案】（1）解：∵直线与x轴交于A，∴在中，令，得到；令，得到．
∴，．
∵点C与点A关于y轴对称，
∴．
设直线的表达式为，
将，代入得：，
解得：，
∴直线的表达式．
（2）解：∵点P在线段上，点Q在直线上，∴设，则，
，
，
∵，
∴，
得：，
∴．
（3）解：存在；设，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
如图，当M点在y轴右侧时，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
即：，
解得：，
则．
如图2，当M点在y轴左侧时，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
即：，
解得：，
则．
综上所述，点M的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的两点距离公式；一次函数中的面积问题；一次函数中的角度问题
【解析】【分析】
（1）先利用直线上点的坐标特征分别求出B、A的坐标，再利用关于坐标轴对称的点的坐标特征求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线解析式即可；
（2）由于点P在直线AB上，可利用直线上点的坐标特征设点P的坐标为，由于PQ平行y轴，则点P、Q的横坐标相同，即可得点Q的坐标即，再利用两点距离公式可用含m的代数式表示出，再利用铅直法求三角形面积公式即可得关于m的方程并求解即可；
（3）由于A、C两点关于y轴对称，则BA＝BC，由等边对等角可得，再由平行线的性质可得，则当时或，此时再设，则当时点M在x轴的负半轴上，由两点距离公式结合勾股定理可得；反之点在x轴的正半轴上时，有，再分别解关于a的方程即可 ．
（1）解：∵直线与x轴交于A，
∴在中，令，得到；令，得到．
∴，．
∵点C与点A关于y轴对称，
∴．
设直线的表达式为，
将，代入得：，
解得：，
∴直线的表达式．
（2）解：∵点P在线段上，点Q在直线上，
∴设，则，
，
，
∵，
∴，
得：，
∴．
（3）解：存在；
设，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
如图，当M点在y轴右侧时，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
即：，
解得：，
则．
如图2，当M点在y轴左侧时，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
即：，
解得：，
则．
综上所述，点M的坐标为或．
1 / 1湖南省郴州市资兴市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各点中，在第四象限的点是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：A．在第二象限，不符合题意；
B．在第一象限，不符合题意；
C．在第四象限，符合题意；
D．在第三象限，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））分求解即可.
2．下列有关中国航天图标是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】生活中的旋转现象；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
3．以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．6，8，10 C．，3，5 D．5，12，12
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：选项A：2，3，4．最长边为4，计算得，而，故不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
选项B：6，8，10．最长边为10，计算得，与 相等，故能组成直角三角形，故本选项符合题意．
选项C：，3，5．最长边为5，计算得，而，故本选项不符合题意．
选项D：5，12，12．最长边为12，计算得，而，故本选项不符合题意．
故选：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项解答即可．
4．某校名学生参加艺术考试，成绩在分的有人，则这个分数段的频率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：∵成绩在分的学生有人，总人数为人，
∴该分数段的频率为：，
故选：．
【分析】
频率等于频数除以总数．
5．一次函数y=2x+1的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=2x+1中的2＞0，
∴该直线经过第一、三象限．
又∵一次函数y=2x+1中的1＞0，
∴该直线与y轴交于正半轴，
∴该直线经过第一、二、三象限，即不经过第四象限．
故选：D．
【分析】根据k，b的取值范围来确定图象在坐标平面内的位置．
6．如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过点，
∴关于的不等式的解集即为在上方时对应的自变量的取值范围，
∴关于的不等式的解集
故选：A．
【分析】由关于的不等式可得，不等式的解集为在上方时对应的自变量的取值范围，结合函数图象求解即可．
7．如图，在平行四边形中，，则的长为（　　）
A．2 B．5 C．7 D．9
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴．
故选：B
【分析】
平行四边形的对边相等．
8．下列说法错误的是（　　）
A．平行四边形的对角相等
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．有一组邻边相等的四边形是菱形
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A. 平行四边形的对角相等，正确，符合平行四边形的性质；
B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，符合矩形的定义；
C. 有一组邻边相等的四边形不一定是菱形，必须满足“平行四边形”这一前提条件，故错误；
D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等，正确，符合正方形的性质；
故选：C．
【分析】
A、平行四边形的对边平行且相等、对角相等、邻角互补；
B、矩形的概念，正确；
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，结论错误；
D、正方形既是菱形也是矩形，故对角线互相垂直平分且相等，正确．
9．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点E，交于点F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P；画射线，与相交于点D，点G在边上．若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，过点D作于点H，
由作法得：平分，
∵，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴．
故选：B
【分析】
如图，过点D作AB的垂线段DH，由基本尺规作图知AD平分，再由角平分线的性质可得DC＝DH，则可利用HL证明，即．
10．小明观看了主题为“人生自有诗意”的《中国诗词大会》，受此启发赋诗一首：“老铁学成今日返，老夫早早车站盼，老铁到后细打量，携手同欢把家还”，若用y轴表示老铁与老夫行进中离家的距离，用x轴表示老夫离家的时间，那么下面图象与上述诗的含义大致相吻合的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据题意可知老夫离家的距离在这个过程中分为段，先远离后不变最后到家，并且先到达车站；老铁离家的路程也分为3段，先离家越来越近，再停止，最后到家．
故选D．
【分析】
由函数图象获取信息，由诗意知老爸与儿子开始时离家距离最大，之后老爸开始在车站等候儿子，儿子到站后还稍作停留，之后俩人一同回家；观察图象知，A表示的是儿子先到达车站，与诗意不符；B表示的是儿子在车站等到老爸后直接返回并未停留，与诗意不符；C表示的是儿子与老爸同时在车站相遇，与诗意不符，故正确答案为D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．函数的自变量x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得：，解得，
故答案为：．
【分析】
此题考据分式有意义的条件是分式的分母不等于 0 ．
12．点关于y轴对称的点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于y轴对称的点的坐标是．
故答案为：
【分析】
关于y轴对称的点的坐标特征是横坐标互为相反数，纵坐标不变．
13．在函数中，y随x的增大而　 　．
【答案】增大
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵在函数中，，
∴y随x的增大而增大，
故答案为：增大．
【分析】
对于一次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
14．一个样本有50个数据，其中最大值是234，最小值是195，如果取组距为5，那么这组数据应分成　 　个组.
【答案】8
【知识点】频数（率）分布表
【解析】【解答】解：(234-195)5=7.8，依题意需要分8个组。
故答案为：8 .
【分析】按照教材所讲的分组方法，先求出最大值与最小值的差值（极差），再除以组距，所得结果用进一法取整数就能求出可以分成多少组。
15．如果一个n边形的内角和等于它的外角和，则n＝　 　．
【答案】4
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵一个n边形的内角和等于它的外角和，
∴(n-2)×180°=360°，
∴n=4.
故答案为：4.
【分析】n边形的内角和为(n-2)×180°，外角和为360°，结合题意可得关于n的方程，求解即可.
16．如图，，．若，则的度数为　 　度．
【答案】56
【知识点】两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：56．
【分析】
先由两直线平行内错角相等得出，再根据直角三角形两锐角互余即可．
17．在平行四边形中，对角线，相交于点O，．若，则线段的长为　 　．
【答案】8
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图：延长EO交AD于点F.
∵四边形是平行四边形，
∴、，
，
，
，
∵∥，
∴四边形EFDC是平行四边形，
∴，
，
∴．
故答案为：8．
【分析】
延长EO交AD于点F，则由平行四边形的性质可判定四边形EFDC是平行四边形，则DC＝EF；再由平行四边形的对边平行、对角线互相平分可利用AAS判定，则由全等得，即CD＝EF＝2OE．
18．如图，在中，，，点M为中点，点N在直线上运动，连接以，将绕点A逆时针方向旋转得到，连接，则点N在运动过程中，的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：设的中点为，连接，过点作交直线于点，如图：
在中，，
，
∵点是的中点，
，
，
根据旋转可得，
，
，
，
在和中
，
，
，
∴当为最小时，为最小，
根据“垂线段最短”得：，
∴当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长，
∴的最小值为线段的长，
在中，，
，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】
如图，取AB的中点D，连接DN，再过点D作BC的垂线段DH，则由题意可利用手拉手全等模型可证明，则由全等可得，再由垂线段最短可得当点N与点H重合时DN为最小，最小值为线段DH的长，此时再利用等边对等角并结合三角形内角和可得，再由中点的概念结合直角三角形30度角的性质求出DH的长即可.
三、解答题（本大题共8小题，19-20题每小题6分，21-22题每小题8分，23-24题每小题9分，25-26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．若y与成正比例，且当时，．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点在该函数的图象上，求m的值．
【答案】（1）解：∵y与成正比例，
∴设，
∵当时，，则，
∴，
∴函数的表达式．
（2）解：∵点在函数的图象上，
∴，
解得：，
∴m的值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）由直线上点的坐标特征可把点代入（1）中所求解析式中得关于m的方程并求解即可．
（1）解：∵y与成正比例，
∴设，
∵当时，，则，
∴，
∴函数的表达式．
（2）解：∵点在函数的图象上，
∴，
解得：，
∴m的值为．
20．如图，在点C，F，B，E在同一直线上，．求证：．
【答案】证明：∵，
∴和为直角三角形.
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】
先利用线段的和差关系可得CB＝EF，再利用证明即可．
21．某中学为了解学生的课外课程的喜爱情况，就“我最喜爱的课外课程”从打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门课外课程进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制成两幅均不完整的统计图表．
最受欢迎的课外课程调查问卷 您好！这是一份关于您最喜欢的课外课程问卷调查表，请在表格中选择一个（只能选一个）您最喜欢的课程选项，在其后空格内打“√”，非常感谢您的合作．
课外课程 频数 频率
A m 0.40
B 20 0.10
C 60 n
D
合计 a 1.00
请根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中 ， ， ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）在这次抽样调查中，哪类课程最爱学生欢迎？哪类课程受欢迎程度最少？
（4）若学校依据调查结果对四类课程的开展与优化进行决策，你能提出什么好的建议？
【答案】（1）200，80，0.3
（2）解：
补全图形如下：
（3）解：由图可得：A课程（打印）最受欢迎；B课程（数学史）受欢迎程度最少；
（4）解：由调查可得建议如下：
多开设打印课程，优化数学史课程内容或教学方式以提高受欢迎度．
【知识点】全面调查与抽样调查；频数与频率；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图
【解析】【解答】
（1）
解：，
，
；
（2）
解：∵，
∴的频数为：，
补全图形如下：
【分析】
（1）观察频数统计表，可由的数量除以其频率可得，由总量乘以的频率可得，由的频数除以总量可得，从而可得答案；
（2）先利用总人数分别减去A、B、C的频数可得的频数，再补全图形即可；
（3）直接观察统计图找出频数最大和最小的两个值即可；
（4）根据调查数据提出合理建议即可．
（1）解：，
，
；
（2）解：∵，
∴的频数为：，
补全图形如下：
（3）解：由图可得：A课程（打印）最受欢迎；B课程（数学史）受欢迎程度最少；
（4）解：由调查可得建议如下：
多开设打印课程，优化数学史课程内容或教学方式以提高受欢迎度．
22．如图，的顶点坐标分别为是．
（1）作关于x轴的轴对称图形，并写出像的坐标；
（2）将向右平移4个单位，再向上平移3个单位，作出平移后的，并写出点的坐标．
【答案】（1）见解析，
（2）见解析，
【知识点】作图﹣轴对称；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（1）如图，为所作，；
（2）如图，为所求，．
【分析】
（1）关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标不变、纵坐标互为相反数，因此先分别作点A，B，C关于x轴的对应点，再顺次连接即可；
（2）沿坐标轴方向平移的点的坐标特征是：右加左减、上加下减，因此分别作出A，B，C的对应点，再顺次连接即可，则给点C的横坐标加4、纵坐标加3即可得出点C2的坐标．
（1）解：如图，为所作，；
（2）解：如图，为所求，．
23．如图，在中，点D在上，，连接．E，F分别为的中点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求线段的长．
【答案】（1）证明：∵E，F分别为的中点，
∴是的中位线，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，F是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）先由三角形中位线定理可得EF平行CD且等于CD的一半，则由已知可得EF与DA平行且相等，即四边形ADEF是平行四边形；
（2）由平行线的性质结合已知可得，则由等角对等边可得DE＝CD＝2AD＝4，再由平行四边形的对边相等可得AF＝4，再由直角三角形斜边上的中线性质可得DB＝8．
（1）证明：∵E，F分别为的中点，
∴是的中位线，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，F是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴．
24．某快递公司的快递员小赵，他的月收入与该月的派件量之间成一次函数关系，其图象如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）小赵在没有派件量时的收入是 元；
（2）求小赵的月收入y（元）关于月派件量x（件）的函数表达式；
（3）若小赵要想月收入达到17000元，则小赵当月的派件量要达多少件？
【答案】（1）2000
（2）解：设一次函数表达式为，把和代入，得：，
解得：，
则一次函数表达式为．
∴小赵的日收入y（元）关于日派件量x（件）的函数表达式为．
（3）解：当时，，
解得：．
答：小赵当月的派件量要达1000件．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】
（1）
解：根据图象可得小赵在没有派件量时的收入是2000元，
故答案为：2000；
【分析】
（1）观察图象知当派件量为0时对应的函数值y＝2000元；
（2）直接利用待定系数法求解即可；
（3）由直线上点的坐标特征令可得关于x的一元一次方程并求解即可．
（1）解：根据图象可得小赵在没有派件量时的收入是2000元，
故答案为：2000；
（2）解：设一次函数表达式为，
把和代入，得：，
解得：，
则一次函数表达式为．
∴小赵的日收入y（元）关于日派件量x（件）的函数表达式为．
（3）解：当时，，
解得：．
答：小赵当月的派件量要达1000件．
25．如图1，在边长为的正方形中，点、分别为，的动点，且，连接、交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若点为中点时，求的长；
（3）如图2，将正方形沿着折叠，使得点落在边的三等分点处，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图1，延长交的延长线于，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴是斜边上的中线，
∴.
（3）如图2，连接，过点作于，
则在四边形中，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
由翻折变换的性质得，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵点是的三等分点，
当时或，
在中，由勾股定理得：，
当时，，
∴的长为或．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据正方形性质，利用SAS证明，即可得到，然后根据直角三角形的两锐角互余证明即可；
（2）延长交的延长线于，即可得到，进而得到，再根据直角三角形斜边中线性质证明结论；
（3）连接，过点作于，即可得到，进而得到，然后利用勾股定理求出长解答即可．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图1，延长交的延长线于，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴是斜边上的中线，
∴.
（3）如图2，连接，过点作于，
则在四边形中，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
由翻折变换的性质得，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵点是的三等分点，
当时或，
在中，由勾股定理得：，
当时，，
∴的长为或．
26．如图1，直线与x轴交于A，与y轴交于B．点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线的表达式；
（2）如图1，若点P是线段上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线于点Q，已知的面积为4，求点P的坐标；
（3）如图2，若点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点N，连接，在点M的运动过程中是否存在的情况？若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵直线与x轴交于A，∴在中，令，得到；令，得到．
∴，．
∵点C与点A关于y轴对称，
∴．
设直线的表达式为，
将，代入得：，
解得：，
∴直线的表达式．
（2）解：∵点P在线段上，点Q在直线上，∴设，则，
，
，
∵，
∴，
得：，
∴．
（3）解：存在；设，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
如图，当M点在y轴右侧时，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
即：，
解得：，
则．
如图2，当M点在y轴左侧时，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
即：，
解得：，
则．
综上所述，点M的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的两点距离公式；一次函数中的面积问题；一次函数中的角度问题
【解析】【分析】
（1）先利用直线上点的坐标特征分别求出B、A的坐标，再利用关于坐标轴对称的点的坐标特征求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线解析式即可；
（2）由于点P在直线AB上，可利用直线上点的坐标特征设点P的坐标为，由于PQ平行y轴，则点P、Q的横坐标相同，即可得点Q的坐标即，再利用两点距离公式可用含m的代数式表示出，再利用铅直法求三角形面积公式即可得关于m的方程并求解即可；
（3）由于A、C两点关于y轴对称，则BA＝BC，由等边对等角可得，再由平行线的性质可得，则当时或，此时再设，则当时点M在x轴的负半轴上，由两点距离公式结合勾股定理可得；反之点在x轴的正半轴上时，有，再分别解关于a的方程即可 ．
（1）解：∵直线与x轴交于A，
∴在中，令，得到；令，得到．
∴，．
∵点C与点A关于y轴对称，
∴．
设直线的表达式为，
将，代入得：，
解得：，
∴直线的表达式．
（2）解：∵点P在线段上，点Q在直线上，
∴设，则，
，
，
∵，
∴，
得：，
∴．
（3）解：存在；
设，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
如图，当M点在y轴右侧时，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
即：，
解得：，
则．
如图2，当M点在y轴左侧时，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
即：，
解得：，
则．
综上所述，点M的坐标为或．
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