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八年级下册数学期末易错压轴题型（32易错+14压轴）
（人教版教材专用）
易错题型一、最简二次根式判定
易错题型二、二次根式大小比较
易错题型三、同类二次根式
易错题型四 、二次根式的混合运算
易错题型五、分母有理化
易错题型六、勾股数判断
易错题型七、已知直角三角形两边，求第三边
易错题型八、勾股逆定理判定直角三角形
易错题型九 、含特殊角直角三角形计算
易错题型十、勾股定理面积型问题
易错题型十一、多边形对角线的条数问题
易错题型十二、多边形内角和与外角和综合
易错题型十三、平行四边形证明
易错题型十四、矩形判定证明
易错题型十五、菱形判定证明
易错题型十六、正方形判定证明
易错题型十七、四边形周长、面积计算
易错题型十八、四边形折叠题型计算
易错题型十九 、四边形中线段最值计算
易错题型二十、中位线计算
易错题型二十一、函数概念辨析
易错题型二十二、一次函数图象象限判断
易错题型二十三、一次函数增减性比较
易错题型二十四、一次函数坐标轴交点计算问题
易错题型二十五、一次函数函数平移问题
易错题型二十六、自变量取值范围
易错题型二十七、求函数解析式
易错题型二十八、函数与不等式、方程组结合
易错题型二十九、一次函数中最值问题
易错题型三十、平均数、中位数计算
易错题型三十一、方差、标准差计算
易错题型三十二、利用统计量求未知参数
压轴题型一、二次根式与几何结合
压轴题型二、二次根式规律探究题
压轴题型三、勾股定理中折叠问题
压轴题型四、网格中求线段长、判断直角
压轴题型五、将军饮马类最短距离最值计算
压轴题型六、坐标系内四边形综合问题
压轴题型七、四边形中动点探究题
压轴题型八、四边形中存在性问题
压轴题型九、四边形几何探究变式题
压轴题型十、直线围成图形面积
压轴题型十一、坐标几何计算
压轴题型十二、动点存在性问题
压轴题型十三、函数几何动态探究
压轴题型十四、统计图表综合题
易错题型一、最简二次根式判定
1．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）在下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）在 ，，，，，中，最简二次根式的个数是_______．
3．（24-25八年级·全国·期末）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
易错题型二、二次根式大小比较
4．（2025九年级·重庆北碚·专题练习）已知： ，比较m、 n 的大小（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．（25-26八年级下·广东广州·期中）比较大小：_______，_______2，_______．
6．（25-26八年级下·全国·课后作业）课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下：
解：．
，，，．
我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较实数与的大小．
易错题型三、同类二次根式
7．（25-26八年级下·广东汕头·期中）最简二次根式与可以合并，则（ ）
A．48 B．12 C．6 D．3
8．（25-26八年级下·安徽宣城·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则______．
9．（24-25八年级下·上海·暑假作业）判断下列二次根式是否为同类二次根式．
(1)和；
(2)和；
(3)和；
(4)和．
易错题型四、同类二次根式
10．（2026·广东江门·二模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2026·江苏南京·一模）计算的结果是__________．
12．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算：
(1)
(2)
易错题型五、分母有理化
13．（25-26八年级下·河南新乡·期中）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
14．（24-25八年级下·四川泸州·期中）的倒数是______．
15．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）已知，这种化简方法称为分母有理化．
请根据以上方法，解决如下问题：若，求的值．
易错题型六、分母有理化
16．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．1，1，2 B．3，4，5 C．4，5，6 D．6，8，9
17．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）若是一组勾股数，则整数的值为___________．
18．（25-26八年级下·全国·期末）判断下列各组数是不是勾股数．
(1)3，4，7；
(2)5，12，13；
(3)；
易错题型七、已知直角三角形两边，求第三边
19．（25-26八年级下·山西吕梁·期中）以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，三个正方形的面积如图所示，则为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．8
20．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在中，，，，已知D是的中点，连接，则的长为______．
21．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，在的小正方形组成的网格中，的顶点均在小正方形的顶点上（保留作图痕迹）．
(1)在图中作的边上的中线．
(2)在图中作的边上的高．
易错题型八、勾股逆定理判定直角三角形
22．（24-25八年级下·甘肃定西·月考）在中，，，，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
23．（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图所示的一块菜地，，，，，，这块菜地的面积为________．
24．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，在四边形中，，，，，．
(1)连接，判断的形状，并说明理由；
(2)求四边形的面积．
易错题型九、含特殊角直角三角形计算
25．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，的两边往外作的正方形，其面积分别为，，若，，则边长为（ ）
A．8 B．64 C．7 D．49
26．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为__________．
27．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，分别以直角三角形三边（三边长分别为a，b，c）为直径作半圆，设图中两个“月形”图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形的面积为．
(1)请判断，，的关系，并证明；
(2)若，，求阴影部分的面积．
易错题型十、勾股定理面积型问题
28．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在等边中，点，分别是边，上的点且满足．连结，交于点，连接．若已知线段的长度，则可求出（ ）
A．的面积 B．的面积
C．的面积 D．的面积
29．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．图中正方形的面积是90，，则正方形的面积是_____．
30．（25-26八年级下·四川自贡·月考）【阅读】在小学我们就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式．分别是由古希腊的几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为：
海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积；
秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积
【尝试公式应用】
(1)问题：已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请选择一个公式求这个三角形的面积．
【尝试新方法】
尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分）
(2)如图1，已知一个中，，，．求面积（温馨提示，解决后在草纸上可以代入一个公式验证你的结论是否正确）
【尝试证明】
尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算推导秦九韶公式：
(3)如图2，已知一个中，三边分别为，求面积
易错题型十一、多边形对角线的条数问题
31．（25-26八年级下·上海·期中）已知一个多边形的外角和等于内角和的一半，那么这个多边形的对角线条数为（　　）．
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
32．（25-26八年级下·湖北荆州·期中）若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形共有______条对角线．
33．（25-26八年级下·山西朔州·期中）已知一个正多边形木架的每个内角与相邻外角的度数比为．
(1)求这个正多边形木架的边数．
(2)若要使该正多边形木架不变形，至少要钉上m根木条，请直接写出m的值．
易错题型十二、多边形内角和与外角和综合
34．（2026·云南临沧·二模）一个正多边形的内角和是外角和的1.5倍，则该正多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
35．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图：、是五边形的2个外角，若，则________．
36．（2026八年级下·江苏·专题练习）已知：如图，分别为四边形的外角．求证：．
易错题型十三、平行四边形证明
37．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知，要使四边形为平行四边形，则四边形的各内角度数依次为（　　）
A． B．
C． D．
38．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，是直线外一点，在上取两点，，连接，分别以点，为圆心，以，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形，依据是：_________的四边形是平行四边形．
39．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求直线，之间的距离；
(3)求直线，之间的距离．
易错题型十四、矩形判定证明
40．（2026·江西九江·二模）为了判断课桌的桌面是否为矩形，数学小组的同学对四张课桌采用了不同的测量方式，其中不一定能判断桌面是矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
41．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）对于四边形，给出下列4组条件：①；②，；③；④．其中一定能得到“四边形是矩形”的条件有___________．（填给定条件的序号）
42．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，四边形中，，，对角线，相交于点，是等边三角形．求证：四边形是矩形．
易错题型十五、菱形判定证明
43．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，可用的方法是（ ）
A．测量两条对角线是否相等
B．测量门框的一组邻边是否相等
C．测量两条对角线是否互相平分
D．用曲尺测量两条对角线是否互相垂直
44．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，两条宽为的长方形纸条叠放得到四边形，若，则这个四边形的面积为__________．
45．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形的四条边上分别取，，，四点，顺次连接所得四边形为四边形的内接四边形．
(1)如图，矩形，，点在线段上且，四边形是矩形的内接平行四边形，求的长度；
(2)如图，平行四边形中，点在线段上，请你在图中画出平行四边形的内接菱形，点在边上；（尺规作图，保留痕迹）
易错题型十六、正方形判定证明
46．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）下列条件：
①对角线互相垂直且相等的平行四边形；
②对角线互相垂直的矩形；
③对角线相等的菱形；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形；
⑤有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形．
其中能判定四边形为正方形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
47．（24-25八年级下·甘肃天水·期末）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4cm，CE=2cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点处，折痕与边BC交于点E，则BC的长为________cm．
48．（25-26八年级下·山东泰安·期中）【教材呈现】教材中有一个例题：如图1，在中，，垂足是，是的外角的平分线，，垂足是，连接交于点．
(1)求证：四边形为矩形．请给出其证明．
【问题探究】数学兴趣小组在原题上进一步探究：
(2)如图2，当时，四边形是什么特殊的四边形？请帮助小组的同学猜想出结果并给出证明．
易错题型十七、四边形周长、面积计算
49．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，用四张形状大小相同的六边形纸片拼成如图的图案，每个六边形中有四个角相等．拼成的图案的内轮廓是边长为1的正方形，外轮廓是每个内角都相等的八边形，则这个图案外轮廓的周长和阴影部分的面积为（ ）．
A．周长为8，面积为8 B．周长为8，面积为6
C．周长为，面积为8 D．周长为，面积为6
50．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为的矩形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在矩形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为，那么这两个正方形的重叠部分(图中阴影部分所示)的周长为 ____．
51．（25-26八年级下·全国·课后作业）【问题提出】我们知道菱形的面积不仅可以用底乘以高来求，而且知道菱形面积等于两条对角线乘积的一半．那么对于其他四边形是不是也可以用这种方法求面积呢？
【深入探究】
(1)如图1，四边形的对角线、互相垂直，其中对角线长为，长为，垂足为E，求四边形的面积．（请写出求解过程）
由此，我们可以得出一个结论1：对角线互相垂直的四边形的面积等于____________．
【拓展提高】
(2)由上述的结论1给我们的启示：对于两条对角线不垂直的四边形的面积如何求解呢？下面让我们一起来研究．如图2，四边形的对角线长为，点A到的距离与点C到的距离之和为，求四边形的面积．（请写出求解过程）
结论2：任意四边形的面积等于__________．
易错题型十八、四边形折叠题型计算
52．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）已知四边形，其中，，将沿折叠，落于，交于，且为平行四边形（如图）；再将纸片展开，将沿折叠，使点落在上一点（如图）．在两次折叠过程中，两条折痕、的夹角的度数为（　　）
A． B． C． D．不确定
53．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为__________．
54．（2026·河北石家庄·一模）如图1，将纸片沿中位线折叠，使点A的对称点D落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形，
(1)将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段_______，______；_____．
(2)纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长．
(3)如图4，四边形纸片满足，，，，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出两个不同叠合方式的叠合正方形的示意图，并直接写出，的长．
易错题型十九、四边形中线段最值计算
55．（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知正方形，，点E是线段的中点，连接，点M是线段上的动点，点P是线段上的动点，连接，取的中点Q，则线段的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C． D．
56．（2026·四川成都·二模）如图，的直角边，斜边，点P为线段上动点．若F为线段上一点，且，连接，将线段绕点F顺时针方向旋转得线段，连接，则的最小值为______．
57．（25-26八年级下·上海松江·期中）综合与实践
【问题情境】在书法课上，为了实现图的书写效果，需要解决“将正方形书法纸折出均等的三列”的问题．在学习了特殊平行四边形知识后，小华和小海以“正方形的折叠”为主题展开了探索．
【操作探索】
操作一：把正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：沿着再一次折叠纸片，使点落在点处，得到折痕交HE于点；
操作三：将沿过点的直线折叠，使与重合，得到折痕．
【猜想验证】
(1)根据以上操作，小华发现点三点共线，且①_________°；②线段之间的数量关系为：_________．
(2)小海说：“我发现线段与线段的比值是，即点是线段的三等分点．”你认为小海的说法正确吗？请说明理由．
【问题探究】
(3)在（）和（）的条件下，延长交线段于点，连接交于点，你能发现线段与线段的比值吗？请直接写出答案．
易错题型二十、中位线计算
58．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图1是两个小朋友玩跷跷板的实物图，图2是其示意图，支柱垂直于地面，点，分别是，的中点，，那么小朋友在游戏中，点离地面的最大高度是（ ）

A． B． C． D．
59．（25-26八年级下·上海·期中）如图，中，，直线是边上的中线，与交于点，则的长为___________
60．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，D、E分别是、的中点．
(1)若，求的长；
(2)若，求的度数．
易错题型二十一、函数概念辨析
61．（25-26八年级下·广东惠州·期中）下列图象中，是的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
62．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化，在这个变化过程中，因变量为_________．（填“冰的厚度”或“时间”）
63．（24-25八年级下·宁夏中卫·期中）声音在空气中的传播速度 (音速)与气温 x()的关系，如下表．
气温（） 0 5 10 15 20
音速（） 331 334 337 340 343
(1)表格反映了 两个变量之间的关系，其中 是自变量 是因变量
(2)当气温是时，音速y是
(3)当气温是时，估计音速y可能是
易错题型二十二、一次函数图象象限判断
64．（2026·安徽阜阳·二模）已知一次函数的图象经过不同的两点和，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
65．（2026年宁夏回族自治区吴忠区初中学业水平调研九年级数学试卷）如图，在点，，，中，一次函数的图象不可能经过的点是________．
66．（25-26八年级上·全国·寒假作业）已知一次函数，试讨论其图象经过哪些象限？
易错题型二十三、一次函数增减性比较
67．（2026·内蒙古通辽·二模），是一次函数图象上的不同的两点，则（ ）
A． B．
C． D．的符号无法判断
68．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）若一次函数（为常数，且）的图象经过第一、二、四象限，点、在该函数图象上，则_____．（填“”、“”或“”）
69．（25-26八年级下·吉林长春·期中）对于一次函数，我们称函数为它的阶明珠函数（其中为常数），例如，当时，正比例函数的2阶明珠函数为．
(1)点在一次函数的1阶明珠函数的图象上，求的值；
(2)点在正比例函数的-1阶明珠函数的图象上，求的值；
(3)已知一次函数．
①当时，直接写出这个一次函数的2阶明珠函数的函数值的取值范围；
②当时，若这个一次函数的2阶明珠函数的函数值的取值范围是，则直接写出字母的取值范围．
易错题型二十四、一次函数坐标轴交点计算问题
70．（25-26八年级下·福建泉州·期中）对于一次函数，下列结论错误的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．当时，
C．函数的图象与y轴交于点
D．直线与第二、四象限角平分线所在直线平行
71．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图直线分别交轴、轴于点，点为坐标原点，若以点，，为顶点的三角形与全等，（点不与点重合），则点的坐标为_____．
72．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一个正比例函数图象与一个一次函数（为常数，）的图象交于点，一次函数图象与轴、轴分别交于、两点，且．
(1)求直线的解析式；
(2)求的面积．
易错题型二十五、一次函数函数平移问题
73．（2026·广东广州·二模）将一次函数的图象向上平移m个单位长度，若平移后的直线不经过第三象限，则m的值可以为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
74．（25-26八年级下·上海·期中）直线向上平移个单位得到的图像解析式为___________．
75．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，已知直线，分别与轴，轴交于点．
(1)求点的坐标．
(2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作．
①求面积．
②根据图象，直接写出点坐标．
易错题型二十六、自变量取值范围
76．（2026·云南昆明·二模）函数的自变量x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
77．（25-26八年级下·山东滨州·期中）等腰三角形周长为30，底边y与腰x的函数关系式为______，自变量x的取值范围为______．
78．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）用长为的铁丝围成一个等腰三角形，底边长为，一腰长为．
(1)写出表示y与x的函数关系的式子，指出自变量及其取值范围；
(2)当等腰三角形的底边长为时，求出该等腰三角形的面积．
易错题型二十七、求函数解析式
79．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，矩形，点在边上，设的底边长为，边上的高为，它的面积为，且，是关于的函数，则的最大值为（）
A． B． C． D．
80．（2026·江苏淮安·一模）、两地相距，一列火车以的速度从地出发驶向地，设后这列火车离地的距离为，则与之间的函数表达式为___
81．（25-26八年级下·全国·课后作业）今年，果农小林家的刺梨喜获丰收．在销售过程中，刺梨的销售额y（元）与销量x（千克）满足如下关系：
销量x/千克 1 2 3 4 5 6 7 8
销售额y/元 3 6 9 12 15 18 21 24
(1)上表这个关系中，自变量是_______；
(2)刺梨的销售额y与销量x之间的函数解析式为_______；
(3)当刺梨的销量为50千克时，销售额是_______元．
易错题型二十八、函数与不等式、方程组结合
82．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，已知正比例函数和一次函数的图象相交于点，则根据图象可得不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
83．（2026·宁夏吴忠·一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是______．
84．（25-26八年级下·四川成都·期中）【尝试】探究函数的图象与性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整．
(1)列表；
0 1 2 3 4
2 0 b 0
根据表格中的信息可得______．
(2)请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象
【探索】
(3)写出函数的一条性质：当______时（填写的取值范围）
【解决问题】结合画出的函数图象，解决问题：
(4)关于的不等式的解集为______．
(5)关于的方程有两个正数解时，则满足条件的的取值范围是______．
易错题型二十九、一次函数中最值问题
85．（25-26八年级上·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，当（m为常数）时，函数有最大值，则满足条件的m的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．3
86．（25-26九年级上·山东菏泽·月考）李华在数学学习中遇到了如下问题：求函数的最小值．李华的思路如下：将函数改写为，根据两点间距离公式，可将问题转化为在轴上找一点使得到点、距离之和最小．显然在线段上时，最小，此时，即为函数的最小值．根据李华的思路，求解以下问题：
函数的最大值为______；
函数的最小值为______．
87．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)当时，求函数的最大值与最小值的差；
(3)当时，函数的最大值与最小值的差是否会随着的变化而变化？若不变，则求出这个定值；若变化，请说明理由．
易错题型三十、平均数、中位数计算
88．（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知一组数据：3，4，5，x，7，若这组数据的平均数是5，则x的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
89．（2026·河南平顶山·二模）郑州市某一周中每天最低气温情况如图所示，表示这周每天最低气温的七个数据的众数是________．
90．（2026·湖南岳阳·二模）每年4月23日是世界读书日．为传承先贤文脉，厚植校园读书氛围，引导全体师生“爱读书、读好书、善读书”，某校开展了“书香阅读周”的活动，王老师针对学生的阅读打卡积分进行了调查，他分别从A班和B班各随机抽取10名学生，收集了他们的打卡积分数据：
A班：10名学生的积分通过条形统计图展示（见下图）
B班：10名学生的积分直接以数据形式给出（单位：分）：7，8，8，8，8，9，9，9，10，10
王老师对所抽取学生成绩进行了整理与分析，并汇总得到了如下表所示的相关数据：
A班 B班
平均数 8.2
中位数 8 8.5
众数 8
方差 1.56 0.84
根据以上信息，解答下列问题．
(1)补全条形统计图，并直接写出表中，的值：________，________；
(2)若9分及9分以上为班级“阅读小达人”，若B班共50人，请估计B班的“阅读小达人”有多少人？
(3)为了让更多同学坚持阅读、爱上阅读，学校将给阅读氛围更好的班级颁发奖状，请根据统计结果，说明A班与B班哪个班级阅读氛围更好．（写出一条理由即可）
易错题型三十一、方差、标准差计算
91．（2026·江苏常州·一模）小明这学期数学的五次测验成绩分别是：，，，，．这五次测验成绩的方差是（）
A． B． C． D．
92．（25-26八年级下·浙江金华·期中）数据组，的组内离差平方和为_______．
93．（2026·山西临汾·三模）为研究我省某地小米亩产量与海拔高度的关系，某农业研究小组在该地区对除海拔高度外其他条件相同的小米亩产量进行抽样统计，各随机抽取5块试验田，统计亩产量（单位：）并绘制成如下统计图．
该农业研究小组整理了部分统计量如下表：
试验田 平均数 中位数 方差
较高海拔试验田 a
中等海拔试验田 b
请解答下列问题：
(1)______，______；
(2)请你结合表中的统计量分析这两个海拔高度对小米亩产量的影响．
(3)该农业研究小组将亩产量不低于的试验田定为达标田，若该地区规划在中等海拔高度种植小米共亩，估计达标田的面积．
易错题型三十二、利用统计量求未知参数
94．（25-26八年级下·全国·课后作业）学校准备设计一款女生校服，对全校女生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计如下表所示：
颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色
学生人数 100 180 220 80 750
学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数
95．（24-25八年级下·北京东城·期末）为了铸牢学生的安全意识，学校举行了“防溺水”安全知识竞赛，记分员小红将7位评委给某位选手的评分进行整理，并制作成如下表格，若去掉一个最高分和一个最低分后，表中数据一定不发生变化的统计量是__________．
平均数 中位数 众数 方差
8.9 9.1 9.1 0.11
96．（2026·江西·模拟预测）依据现代睡眠医学，人的睡眠状态可分为清醒期、浅睡眠期、深睡眠期和快速眼动睡眠期（），四者共同决定睡眠质量，各阶段的占比（浅睡眠占，深睡眠占，占，清醒期不计入睡眠时间，占比越低越好）直接影响青少年生长发育、学习效率等关键需求的达成．浅睡眠是连接清醒与深睡眠的“桥梁”，无实质修复功能，占比过高将导致睡眠“不实”．深睡眠是身体修复的“黄金期”——分泌生长激素，增强免疫力，缓解躯体疲劳．REM是大脑修复的“关键期”——巩固陈述性记忆，调节情绪，促进大脑发育．

(1)图1是某同学晚上通过智能手表监测的睡眠数据，请判断该同学这次睡眠各阶段的占比情况：浅睡眠________，深睡眠________， ________．（均填“不足”“合适”或“过高”）
(2)图2梳理了该同学最近一周深睡眠与的相关数据，请结合数据回答下列问题：
①计算深睡眠的周平均睡眠时间占比，并结合相关统计数据分析该同学这两项核心阶段的睡眠情况；
②结合自身情况提出1—2条优化青少年睡眠的建议．
压轴题型一、二次根式与几何结合
1．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，现有两张同样大小的长方形纸片，小星采用如图1所示的方式，在其中一张长方形纸片上裁出两张面积分别为和的正方形纸片 A，B．
(1)求原长方形纸片的周长．
(2)写出图1中阴影部分图形(长方形)的长和宽，并求出它的面积．
(3)小红能采用如图2所示的方式，在另一张长方形纸片上裁出两张面积均为的正方形纸片吗？请说明理由．
2．（25-26八年级下·北京·期中）【阅读理解】二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简．
解：将分子、分母同乘以得：
．
(1)化简： ；
(2)【拓展延伸】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形（）的宽．求黄金矩形中边的长；
(3)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论．
3．（25-26八年级下·山东日照·期中）【阅读理解】由，得；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．例如：已知，求式子的最小值．
解：令，，则，得，当且仅当时，即时式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
【问题解决】
(1)已知，当 时，代数式的最小值为 ；
【灵活运用】
(2)当时，求的最小值；
【学以致用】
(3)如图，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？
4．（25-26八年级下·广东广州·期中）根据以下素材，探索完成任务．
设计合适的盒子
素材1 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，小许制作了两面圆形团扇作为春节礼物，其规格为：扇面圆的面积为，手柄长为．
素材2 小许计划利用长和宽分别为 和的长方形硬纸片裁剪成两个无盖的长方体纸盒用来装团扇，设计了一种裁剪方案： 如图，先将纸片的中间剪掉一块边长为 的正方形①，再在四个直角处剪掉四个小正方形，接着剪成两部分，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小且底面为长方形的无盖长方体纸盒．（参考数据：）
任务：
(1)根据素材，该圆形团扇的半径为______；
(2)根据素材，如果不考虑团扇和盒子的厚度，这个长方体盒子能装得下这把团扇吗？请说明理由．
5．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）【阅读理解】通过二次根式和乘法公式可以发现：对于任意正实数，，
∵
∴
∴（当且仅当时，）
【获得结论】在（，均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值．
如：若，则
∴，当且仅当，即时，有最小值2．
【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：
(1)若，则的最小值是_____；
(2)已知，是一个大于0的常数，若的最小值为1，求的值；
(3)如图，四边形的对角线，相交于点，若，，，求的最大值．
压轴题型二、二次根式与几何结合
6．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）（1）填空：，______，______．
（2）观察上述计算，根据式子的规律写出后面连续的两个等式；
（3）用含n的等式表示你所发现的规律，并证明你发现的规律是否正确．
7．（24-25八年级下·广东惠州·期中）观察等式：，，，…．
(1)请用含n(，且n为整数)的式子表示出上述等式的规律________；
(2)按上述规律，若，则a＋b＝________；
(3)仿照上面内容，当时，计算出结果，验证你在（1）中得到的规律．
8．（25-26八年级下·河北保定·期中）根据学习“数与式”积累的经验，探究下面二次根式的运算规律．
①；
②；
③______；
④______；
…
(1)【探究】将题目中的横线处补充完整；
(2)【应用】计算：；
(3)小明写一个等式（a，b均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______．
9．（24-25八年级下·广东江门·期中）下面是晓明的探究过程，请你补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：，
特例5：　　（填写一个符合上述运算特征的例子）．
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　　．
(3)应用运算规律，求的值．
10．（24-25八年级上·北京昌平·期中）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：，
特例5：____________（填写运算结果）；
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：____________；
(3)证明你的猜想．
(4)应用运算规律：
①化简：____________；
②若（a，b均为正整数），则的值为____________．
压轴题型三、勾股定理中折叠问题
11．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）在Rt中，，点为上一点．
(1)如图①，将折叠，使点与点重合，折痕为，若，则的长为______；
(2)如图②，Rt中，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，求线段的长；
(3)如图③，若，点为边上一点，连接，且，将沿折叠，当点恰好落在边上时，求线段的长；
(4)如图④，若，点为的中点，连接，将沿折叠，点的对应点恰好落在边的中线上时，则______是三角形，请说明理由．
12．（25-26八年级下·山西阳泉·月考）综合与探究
问题情境：如图1，在纸片中，，点D是边上的一个动点，连接AD，将沿AD折叠，得到，点C的对应点为．
操作计算：
(1)如图2，当点落在的延长线上时，，．
①求线段的长．
②求线段与的长．
(2)连接，，若，，当是以为一条直角边的直角三角形时，请直接写出的值．
13．（25-26八年级上·山东青岛·期末）折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．一张小小的纸片，通过动手折叠，能够创造出非常奇妙的图形，产生出许多有趣的数学问题．在学习了勾股定理和无理数之后，我们可以用折纸的方式，折出长度为，，等线段．利用一张边长为的正方形纸片，小明进行了如下探究．
探索（1）：如图1，将纸片沿着对角线对折，使得点落到点处；再对折一次，使得点落到点处，将纸片展开，两条折痕交于点，则_____；
探索（2）：如图2，将纸片沿过对边中点的直线对折后展开，折痕为；再将纸片折叠，使得点落在上的点处，折痕为，求线段和折痕的长度；
探索（3）：你能折出长度为的线段吗？
请你在图3中画出折叠后的示意图（用虚线表示折痕），并说明如何得到该线段；
探索（4）：在探索（2）的基础上，你能折出长度为的线段吗？
请你在图4中画出折叠后的示意图（用虚线表示折痕），并写出哪条线段即为所求．
14．（24-25八年级下·河北唐山·期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质来解决相关的问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动，
[操作]如图，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．

[猜想]．
[验证]请将下列证明过程补充完整：
证明：∵矩形纸片沿所在的直线折叠，
，
四边形是矩形，
（矩形的对边平行），
（___①____），
___________②___________=___________③___________（等式的基本事实），
（___________④___________）
[应用]
如图，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为．
（）猜想与的数量关系，并说明理由；
（）若，求的长．
15．（2025·上海浦东新·三模）爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论：
(1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：．
小李的解法如下：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G，
∵是的角平分线，且，，
∴ ．
∵，，
∴；
(2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证：；
(3)【直接应用】如图3所示，在中，，是的平分线，且交于D，若，，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出；
(4)【拓展应用】如图4所示，在中，，，，将先沿的平分线折叠，B点刚好落在上的E点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分（）沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形），直接写出剩余部分的面积为 ．
压轴题型四、网格中求线段长、判断直角
16．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图1，在的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动．
(1)请在的网格纸图2中画出运动时间t为3秒时的线段，其长度为________；
(2)在动点P、Q运动的过程中，若是以或为底的等腰三角形，则t的值为________；
17．（24-25八年级上·山东青岛·期末）问题背景：在中，、、三边的长分别为、、，求此三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示，这样不需要求的高，而是借用网格就能计算出它的面积．请你将的面积直接填写在横线上：_____．
思维拓展：
我们把上述求面积的方法叫做构图法，如果三边长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积．
探索创新：
若三边长分别为、、（，，且），试运用构图法直接写出这个三角形的面积是_______．
18．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图是一个的正方形网格．在网格中建立平面直角坐标系，已知点坐标为，点坐标为．
(1)作出线段关于轴对称的线段；
(2)在正方形网格中作以为斜边的等腰直角三角形，并求出的面积．
19．（25-26八年级上·山西晋中·期末）阅读与思考
下面是小华同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
借助网格解几何题 在课本中有一些利用网格求线段长或图形面积的题．通过做这些题和阅读杂志，我发现可以将网格作为数学工具，帮助我们解决一些几何问题． 例如：如图1，在和中，，点A是的中点，若，，连接，则的长为______． 直接解决本题较难，但是如果把它放到如图2所示的边长为1的正方形网格中就可以化难为易．但关键是要确定在网格中先画哪个三角形，由于的边长已知，所以应先画这个三角形，再画，连接，且让三角形的顶点都在网格的格点上，看上去与题目中图的方向有所不同，但图形与原图形是形状相同的，然后利用网格可以轻松得到的长．
任务：
(1)图2中，______；
(2)借助网格解决以下问题：
如图3，中，，，，点D是的中点，以为直角边作等腰直角，且点A在内部，连接，求线段的长．
①将图3画在图4的边长为1的正方形网格中，并使各三角形的顶点在格点上；
②直接写出线段的长；
(3)反思：借助网格解几何题有一定的局限性，其局限性是什么？
20．（2026·江苏扬州·一模）在“作图专题数学命题”活动中，小明同学设计出了三个作图任务，接下来请同学们来挑战一下相关任务吧！
(1)任务一：网格作图
如图，图均是的正方形网格，点、、均在格点上．请仅用无刻度的直尺，在图网格中作出点（也为格点），使得；在图网格中的线段上取一点，使得．（请利用网格完成作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)任务二：尺规作图
如图，在平面直角坐标系中，已知点在轴上，点在第一象限内，请用尺规作图在第一象限内作出一点，使得是以为腰的等腰直角三角形．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
(3)任务三：方案设计
请设计一个用尺规作直角三角形的方案．
已知，如图，线段，（）．求作：（，），使得它的斜边长为，两直角边的差为．小明在直线上截取了（如图），请你在此基础上继续帮他完成剩下的作图．（注意保留作图痕迹，写出必要的作图步骤）
压轴题型五、将军饮马类最短距离最值计算
21．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）一条东西走向的公路上有A，两个站点（视为直线上的两点）相距，，为两村庄（视为两个点），于点，于点（如图），已知，，现在要在公路上建一个土特产储藏仓库，使得，两村庄到储藏仓库的直线距离相等，请求出储藏仓库到A站点的距离．（精确到）

22．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．
【知识运用】
(1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 米．
(2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离．
(3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为 ．
23．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）综合与实践
【问题情景】光射到两种介质的分界面上时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线和入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角．如图1，光线从点A入射到反射面上的点O，然后反射经过点B，法线，则反射角等于入射角．请根据上面的知识，解决下面问题：
【操作尝试】
（1）如图2，若要让反射光线射中目标A，在激光笔不动的情况下，可将平面镜 ；（填序号）
①竖直向上移动 ②竖直向下移动 ③水平向右移动 ④水平向左移动
【简单应用】
（2）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个数学问题：一位将军需从山峰A处返回营地B处，并在途中经过河边l让马饮水．将军如何选择饮马点P，才能使得行进路程最短？
①请在图3中确定点P的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）：
②若山峰A离河边l的距离为，营地B到河边l的距离为，山峰A与营地B的水平距离为，求出的最小值．
24．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题．
比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长．
(1)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）；
(2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）：
①解方程：；
②求代数式的最大值．
25．（24-25八年级上·吉林·期末）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．请用含、、的最简代数式分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：
______
______
______．
则它们满足的关系式经过化简后为______，即可得到勾股定理．
知识运用：
如图2所示，表示一条铁路，、是两个城市，它们到铁路所在直线的垂直距离分别为千米，千米，且千米，现要在之间设一个中转站．求出应建在离点多少千米处，才能使它到、两个城市的距离相等．
知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，直接写出代数式的最小值．
压轴题型六、坐标系内四边形综合问题
26．（25-26八年级下·上海·月考）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且，点的坐标为．
(1)求，的值及点关于轴对称的点的坐标；
(2)若轴上的点坐标为，求的面积；
(3)若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．（直接写出坐标）
27．（25-26八年级下·湖北随州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，．
(1)直接写出点C，D的坐标．
(2)连接，M为x轴上的一动点，若，求点M的坐标．
28．（24-25八年级下·广东江门·月考）如图1，在平面直角坐标系中，四边形为正方形．
(1)点分别在边上，若，．
①若，求的长；
②点在线段上，，求证：；
(2)如图2，在平面直角坐标系中，，点分别是边上的动点，且，与相交于点．若点为边的中点，点为边上任意一点，则的最小值等于 ．
29．（24-25八年级下·河南新乡·期中）学完《平行四边形》后，老师布置了一道作业：如图，，，，与有什么关系？线段与线段呢？为什么？
聪明的小华很快写出了过程，但不小心被墨水弄脏了．
(1)请你帮小华补全解答过程；
(2)聪明的小华受上面问题的解法的启发，编制了一道试题：在平面直角坐标系中，已知，问：在平面直角坐标系中是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标．请帮小华直接写出答案吧；
(3)结合题目条件，你还能得到什么结论？请写出一个结论（与上述两个结论不同）．
30．（25-26八年级下·山东济宁·期中）【初步感知】
如图1，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，过点和分别作x轴和y轴的垂线，两条垂线交于点，连接，，，求的长度．
(1)请补全下面的过程．
∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴点C的坐标为．
∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴_________．
∵点B的坐标为，点C的坐标为，
∴_________．
在中，
∵_________，_________，
∴_________．
【探究归纳】
(2)如图2，在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为，点N的坐标为，过点M和N分别作坐标x轴和y轴的垂线，两条垂线交于点P，连接，，．类比【初步感知】的过程，求的长度（用含，，，的代数式表示）．
【迁移应用】
(3)直接应用【探究归纳】得到的结论解决下面的问题：
在平面直角坐标系中，已知菱形的四个顶点的坐标分别为，，，，求菱形的面积．
压轴题型七、四边形中动点探究题
31．（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，在四边形中，，，，，动点M从点A出发，以的速度向终点D运动，同时动点N从点C出发，以的速度向终点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当四边形是平行四边形时，求t的值．
(2)当四边形是矩形时，求t的值．
32．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为．
(1)如图1，求边的长度；
(2)如图2，从运动开始，当t取何值时，四边形是矩形，请说明理由；
(3)如图3，当t取何值时，是等腰三角形，请说明理由．
33．（24-25九年级上·江西九江·期末）如图①，在中，．动点P沿边以每秒1个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为t（）秒．
(1)线段的长为 （用含t的代数式表示）；
(2)当平分时，求t的值；
(3)如图②，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
34．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，菱形的边长为，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动．
(1)求的长．
(2)已知动点运动的速度为，动点运动的速度为，经过12秒后，分别到达两点，试判断的形状，并说明理由．
(3)设问题（2）中的动点分别从同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过2秒后，分别到达两点，若为直角三角形，试求值．
35．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在四边形中，，，，，若动点从点出发，以的速度沿线段向终点运动；同时动点从点出发以的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设运动时间为回答下列问题：
(1) ，
(2)当 时，四边形为平行四边形；
(3)如图，若四边形变为平行四边形，，动点从点出发，以的速度沿线段向终点运动；同时动点从点出发以的速度在边上做往返运动，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．设运动时间为．当为何值时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形？
压轴题型八、四边形中存在性问题
36．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，在矩形中，对角线和交于点，是延长线上的点，且，点在上，连接，满足．
(1)求作点；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，是否存在四边形为菱形的情形？若存在，探究矩形的边需要满足的条件；若不存在，请说明理由．
37．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，
(1)求度数．
(2)点是上的动点，将沿直线翻折等到，则线段是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由．
(3)在（2）的条件之下，点是线段上的动点，连接，，是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由．
38．（24-25八年级下·云南红河·期末）已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（）．
(1)如图1，当点P在边上，四边形为平行四边形时，求t的值；
(2)如图2，当点P在边上，时，求t的值；
(3)点P在运动过程中，是否存在四边形的面积等于正方形的面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
39．（24-25八年级下·山东日照·期末）综合与实践：
实践操作：在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点P，折痕为（点是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．
(1)初步思考：若点落在矩形的边上（如图①）．
①当点与点重合时，_____，当点与点重合时， _____；
②当点在上，点在上时（如图②），求证：四边形为菱形；
(2)深入探究：
①若使折痕始终与边有交点，点始终在上，请直接写出的取值范围_____．
②若点与点重合，点在上，线段与线段交于点（如图③）．是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由．
40．（2025·陕西延安·二模）【问题提出】
（1）如图1，为正方形的对角线，为的中点，为上任意一点，连接，若，则的最小值为___________；
【问题解决】
（2）如图2，是李叔叔家的农场平面示意图，李叔叔欲对该农场进行扩建，扩建部分为，其中点在的延长线上，分别为边的中点，在四边形内养殖家禽，为一道栅栏，经测量，米，为两个饲料储存点，其中为的中点，点在上，现要沿，修建两条运输通道，问运输通道的总长度是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．
压轴题型九、四边形几何探究变式题
41．（25-26八年级下·山东临沂·期中）【综合实践：防掉折叠书签的设计与探究】
八年级（2）班数学兴趣小组发现：普通矩形书签夹在书中易滑落，因此设计了一款带折叠卡扣的防掉书签：利用矩形折叠形成的三角结构作为卡扣，让书签能牢牢卡在书页间．已知该书签的原型为矩形纸片，其中短边，长边．
兴趣小组进行了如下设计：
1．在边上取一点，在边上取一点（，均不与矩形顶点重合）；
2．将纸片沿折叠，使点的对应点为，且与边交于点，形成．
探究任务：
(1)基础验证：若在折叠过程中，测得，请直接写出 ；
(2)模型探究：请结合折纸的操作过程，探究的形状，并说明理由；
(3)拓展应用：为了使卡扣结构更稳固，需要的面积尽可能大．请利用备用图探究并求出面积的最大值．
42．（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段检测）综合实践，长方体中蕴藏着丰富的数学知识，善思小组开展长方体中数学知识的探究如图①是底面为正方形的长方体盒子，，，，该小组把长方体的两侧面，剪下来，沿着和剪开，得到四个全等的直角三角形，可拼成如图②和如图③所示的“弦图”，
【探究一】（1）如图②，若每个直角三角形较小锐角为30°，小正方形的面积为16，求大正方形的面积：
【探究二】（2）如图③、若小正方形的面为5，，则大正方形的面积为_____；
【探究三】（3）为了使长方体盒子更加美观，现准备在长方体外表面从点A到点G粘贴一条彩色条（宽度忽略不计）．设所用彩色条的长度为，探究的最小值（用含，的代数式表示）．该小组探究如下：将长方体盒子侧面，展开成图④所示的平面图形，连接，在中，，即的最小值为．上述探究结果是否正确？若不正确，画图并求出的最小值．
43．（24-25八年级下·吉林·期末）综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量、猜想得出结论：原四边形对角线的数量关系和位置关系对中点四边形的形状有着决定性作用．以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
在四边形中，分别是的中点．
探究一 探究二 探究三 探究四
题设：如图1，和不相等，和不垂直． 题设：如图2，和不相等，． 题设：如图3，，和不垂直． 题设：如图4，，．
结论：四边形的形状为平行四边形． 结论：四边形的形状为①___________． 结论：四边形的形状为②___________． 结论：四边形的形状为③___________．
(1)①______．②_______．③_____．
(2)如图1，请完成探究一的证明．
(3)如图2，，若，，则四边形的面积为_______．
(4)如图3，，连接，若，，则________．
44．（25-26八年级下·广西玉林·期中）综合与实践探究：动点形成的四边形形状探究
任务背景：在数学综合实践课上，老师带领同学们开展了以“直角三角形中的动点问题”为主题的探究活动．如图，在Rt中，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接．同学们围绕动点运动过程中形成的线段关系、特殊四边形形状、特殊三角形形状等问题展开探究，请你结合所学知识完成以下任务．
任务一：基础探究——证明线段相等
(1)在下列横线上填空．求证：．
证明：，，
，
是含的直角三角形．
_____，
_____，
又，
．
任务二：拓展探究——特殊四边形的判定
(2)探究四边形的形状变化：
求证：四边形是平行四边形；
当为何值时，四边形是菱形？
任务三：深化探究——特殊三角形的判定
(3)探究的形状变化：
若为直角三角形，请直接写出的值．
45．（25-26八年级下·山西吕梁·期中）阅读与思考
认真阅读材料，并完成相应的任务．
勾股定理的拓展探究 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代《周髀算经》中就有“勾三、股四、弦五”的记载．如图1，在中，，分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，其面积分别为，，． 在此基础上，同学们作了进一步探究： 佳琪同学的探究思路：如图2，在四边形中，，分别以，，，为边向外作正方形，其面积分别为，，，，探究这四个面积之间的等量关系． 知夏同学的探究思路：如图3，在如图1的基础上，分别以，为边向外作正方形，其面积分别为， ，探究，，的等量关系．为探究它们的关系，过点G作于点Q，结合全等三角形的有关知识和勾股定理，计算出，即可求出，……
任务：
(1)在图1中，直接写出，，之间的等量关系：_____；
(2)在图2中，写出，，，之间的等量关系，并证明；
(3)在图3中，直接写出，，之间的等量关系：_____．
压轴题型十、直线围成图形面积
46．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知函数和的图象相交于点点P的横坐标为1．
(1)直接写出关于的方程组的解是___________；
(2)a=___________：
(3)求出函数和的图象与轴围成的的面积．
47．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，与y轴交点为B．且与正比例函数的图象交于点．
(1)求一次函数的表达式．
(2)若点D在y轴上且，求此时点D的坐标；
(3)若点P在y轴左侧的直线上，且的面积是9，则此时P点坐标为 ．
48．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，直线与轴，轴分别交于点，，两条直线交于点，且点的横坐标为；连接．
(1)求直线的函数解析式；
(2)求的面积；
(3)若点在直线上，为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
49．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点；
(1)求直线的表达式；
(2)求点的坐标；
(3)若直线上存在一点，使得的面积是的面积的4倍，求出点的坐标．
(4)当时，对于的每一个值，函数（）的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
50．（24-25八年级下·山东济南·月考）【问题探究】
某学习小组同学按照以下思路研究不等式组的解集：
首先令，通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行探究．
列表：
x … 0 1 2 3 …
y … …
描点与连线：
（1）在列表的空格处填对应的y值，在图1给出的平面直角坐标系中描出以表中各对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；
（2）若为该函数图象上不同的两点，则 ；
（3）观察图象，当时，自变量x的取值范围是 ；
【拓展运用】
函数的图象如图2所示，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象草图，它与函数的图象所围成的图形面积为 ．
压轴题型十一、坐标几何计算
51．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，点均在轴上，点在第一象限，直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解，直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解．
(1)点的坐标为（___________，0），点的坐标为（___________，___________）；
(2)求点的坐标时，小明是这样想的：先设点的坐标为，因为点在直线上，所以是方程的解；又因为点在直线上，所以也是方程的解，从而满足．请据此求出点的坐标；
(3)若点在线段上，且满足，求点的坐标．
52．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，四边形是平行四边形，其中点A的坐标是，点O的坐标是，点C的坐标是．
(1)请求出点B的坐标；
(2)已知点D是直线上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标；
(3)已知直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过多少秒该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分？
53．（24-25八年级上·江苏常州·月考）阅读并解决下面问题：定义：把函数中自变量作为横坐标，函数值作为纵坐标，我们把坐标叫做函数的函数坐标；反过来，把坐标中的横坐标看作自变量，纵坐标看作因变量，得到函数，我们把函数叫做坐标的坐标函数．
(1)坐标是函数______的函数坐标；（填函数表达式）
(2)已知，两点在同一平面直角坐标系中，则线段的最短距离是______；
(3)如图，已知直线与两坐标轴分别交于，两点，与直线交于点，是直线上的动点，点横坐标为，过点作轴的平行线，交直线于点，且，求点的坐标；
(4)在（3）的条件下，点在的内部（不包括边界），则的取值范围是______．
54．（25-26八年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与交于点C．
(1)点A的坐标 ，点B的坐标 ；
(2)在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与，交于点M、N．
①若线段，请求出此时点N的坐标；
②当点M在点N的下方时，问y轴上是否存在点Q，使为等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
55．（25-26九年级上·辽宁阜新·期中）在平面直角坐标系中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．如图①为点P，Q的“相关矩形”的示意图．如图②，已知点A的坐标为．
(1)若点B的坐标为，则点A，B的“相关矩形”的面积为 ；
(2)若点C在y轴上，且点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线的表达式；
(3)若点D的坐标为，当直线与点A，D的“相关矩形”没有公共点时，直接写出k的取值范围；
(4)若点P在直线上，且点A，P的“相关矩形”为正方形，直接写出点P坐标．
压轴题型十二、动点存在性问题
56．（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图1，直线与x轴交于A，与y轴交于B．点C与点A关于y轴对称．
(1)求直线的表达式；
(2)如图1，若点P是线段上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线于点Q，已知的面积为4，求点P的坐标；
(3)如图2，若点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点N，连接，在点M的运动过程中是否存在的情况？若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由．
57．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线交于点．
(1)求四边形的面积；
(2)若动点在轴上，当为最小值时，求这个最小值及直线的表达式；
(3)在平面内直线的右侧是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
58．（24-25八年级下·重庆梁平·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线．
(1)求直线的函数表达式．
(2)M是直线上的一动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，点，P为x轴正半轴上的一动点，以点P为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连结，当的值最小时，请直接写出的周长．
59．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如果四边形的某条对角线垂直平分另一条对角线，那么我们可把这条对角线叫“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”．
【问题发现】（1）如图①，四边形是“对称四边形”，对角线，交于点O，是“对称线”，若，，则四边形的面积是______．
【问题探究】（2）如图②，四边形是“对称四边形”．是“对称线”，，，，P，Q分别为线段，上的动点．求的最小值．
【问题解决】（3）如图③，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，过A作射线轴，交y轴于点P，E为射线上的动点（不与点A重合），G、F分别为线段和x轴正半轴上的动点，连接，，点M是线段与的交点，并且四边形为“对称四边形”，其中是“对称线”．请问的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值以及此时所在直线的表达式；若不存在，请说明理由．
60．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点．
(1)【问题初探】
点的坐标是________，点的坐标是________．
若是直线上一点，求直线的函数表达式．
(2)【应用探究】
在直线上是否存在一点（不与点重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)【拓展延伸】
是轴上一动点，把线段沿着直线翻折，使点落在轴上，请直接写出点的坐标．
压轴题型十三、函数几何动态探究
61．（25-26八年级下·广东广州·期中）动点H以每秒1厘米的速度沿图①的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积S（平方厘米）与时间的关系图象如图②所示，已知，设点H的运动时间为秒．
(1)________，________，________；
(2)当的面积为时，求t的值．
62．（24-25八年级下·贵州六盘水·期末）如图①，在中，，点以的速度从点出发，沿运动一周，连接的面积与点的运动时间之间的关系如图②所示，请解答下列问题：
(1)的面积为____________；
(2)在中，求边上的高；
(3)当为何值时，？
63．（25-26九年级上·江西赣州·月考）如图，在矩形中，，，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，点沿折线方向运动，点沿射线方向运动，当点追上点时，均停止运动．设运动时间为秒，的面积为．
(1)①当时，___________，___________，___________；（用含的代数式填空）
②当点在线段运动时，求出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象．
(3)结合函数图象，
①当___________时，有最大值是___________；
②若的面积为4，求点的运动时间．
64．（2025·北京房山·一模）如图，为半圆，O为圆心．点C是半圆上一动点，过点C作于点D．已知，设弦的长为x，的面积为y（当点C与点A或点B重合时，y的值为0）．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如表：
x 0 1 1.5 2 2.5 3 3.45 3.5 3.8 3.9 4
y 0 0.12 0.39 0.87 1.52 2.23 2.60 2.59 2.13 1.62 m
m的值为________；
(2)建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
(3)结合画出的函数图象，解决问题：当的面积为2时，的长度约为________（精确到0.01）
65．（2025·北京西城·一模）在一次综合实践活动中，小菲设计了两款帐篷．图1是由线段绕竖直的直线旋转一周得到的1号帐篷（点A在直线上，点B在水平地面上）；图2是由曲线段绕竖直的直线旋转一周得到的2号帐篷（点C在直线上，点D在水平地面上）．
已知两个帐篷的底圆半径都是2.0m，点M是线段上的一动点，点N是曲线段上的一动点．当M与B的水平距离和N与D的水平距离都是x（单位：m）时，小菲分别记录了M和N的竖直高度（单位：m）和（单位：m），部分数据如下：
0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0
0 0.60 1.20 1.80 2.40 3.00
0 1.60 2.20 2.42 2.51 2.52 2.53
(1)补全表格（结果保留小数点后两位）；
(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
(3)将某人在帐篷内直立行走不会碰到头部时的底圆区域称为自由活动区，根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①某学生的身高是1.80m，则他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为______m（结果保留小数点后一位）；
②甲、乙、丙三名学生的身高（单位：m）分别为，，，若，且，则在2号帐篷中，甲与乙自由活动区的半径差______乙与丙自由活动区的半径差（填“”“”“”）．
压轴题型十四、函数几何动态探究
66．（2026·海南省直辖县级单位·二模）为了响应东方市2026年全民阅读活动周暨“4.23”世界读书日活动，某校开展“校园读书月”活动，取得了良好的效果．学校数学综合实践小组为了解全校学生最喜爱的一类图书类型，随机抽取部分学生开展调查，调查的图书类型包括“A人文社科类”、“B文学艺术类”、“C科普生活类”、“D少儿类”和“E其它”，并将调查情况绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
(1)本次调查采用的调查方式是__________（填“普查”或“抽样调查”）；
(2)本次调查共抽查了___________名学生；
(3)被调查学生最喜爱的图书类型的众数是__________类（填A、B、C、D、E）；
(4)若该校共有1000名学生，请估计最喜爱“文学艺术类”图书的学生有__________名；
(5)假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议．
67．（2026·陕西榆林·模拟预测）学校读书月期间，为了解学生对“中华古诗词”的掌握情况，该校七、八年级全部学生进行了古诗词知识竞赛，并从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的中华古诗词知识竞赛成绩，对竞赛成绩进行整理分析，得到如下信息：
平均数 众数 中位数
七年级参赛学生成绩 85.5 m 87
八年级参赛学生成绩 85.5 85 n
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空∶ ， ．
(2)七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为 和，观察折线统计图可知 (填“>”“<”或“=”)
(3)若该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人，估计该校七、八年级学生在这次中华古诗词知识竞赛中成绩为“优秀”(成绩≥85)的总人数．
68．（2026·河南三门峡·一模）为坚定历史自信、文化自信，在全社会掀起亲近经典、学习诗词的热潮，河南省举办了“2025年河南省诗词大赛”活动．某校全体学生都参与了该项活动的初赛．活动结束后，从中随机抽取了n名学生的成绩（满分100分）进行整理，分成了A，B，C，D四个等级，并绘制成统计图表，信息如下：
分组 成绩(x分) 频数
A a
B 12
C 24
D b
根据以上信息，回答下列问题：
(1)图表中的 ， ， ，共抽取了 名学生的成绩；
(2)A组所在的扇形的圆心角的度数是 ，抽取的这部分学生成绩的中位数落在 组；
(3)若抽取的这部分学生成绩的平均分82分，某同学的成绩是83分，能不能认为该同学的成绩一定高于一半被抽取的学生成绩呢？请说明理由．
69．（2026·广西南宁·二模）某校开展牛顿杯物理竞赛，并对竞赛成绩开展抽样调查（成绩为百分制，为卓越奖，为优秀奖；为鼓励奖）．
【数据的收集】随机抽取名学生成绩如下：
93.5 75.5 89.5 81 46.5 95.5 82 77.5 81.5 55.5
99 70.5 86 92 95.5 52 57 65.5 68 85.5
【数据的整理】成绩频数分布表如下：
分组 组中值 划记 频数
一
正
【数据的描述】成绩频数分布直方图如下：
【数据的分析与应用】根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空： ； ；并补全成绩的频数分布直方图；
(2)求本次抽样的平均数（计算平均数时，用这组数据的组中值代表该组的实际数据）；
(3)若该校参加竞赛的学生共有人，估算该校获得卓越奖的人数．
70．（2026·江西新余·二模）为研究一般家庭对智能家居设备的偏好，小明所在的数学兴趣小组调查了班级24名学生家庭中以下两类智能家居设备的数量和消费金额．
A类：安全类智能家居设备 （智能门锁等）；
B类：便捷类智能家居设备（智能扫地机器人等）．
整理、描述、分析数据如下：
【整理数据】
①设备数量
24户家庭 A 类设备数量（单位：台）：
0，0， 0， 1， 1， 2， 2， 2， 2， 2， 3， 3， 3， 3， 3， 3， 3， 3，4， 4， 4， 4， 4，4
24户家庭B类设备数量（单位：台）：
0， 0， 0， 0， 1， 1， 1， 1， 1， 2， 2， 2， 2， 2， 2， 3， 3， 3， 3， 3， 4， 4， 4， 4
②消费金额频数分布表（单位：元）
类别 不同消费金额（单位：元）范围内出现的频数 （户数）
A类 2 4 a 7 3
B类 10 b 5 1 0
【描述数据】
根据A 类设备数量绘制不完整扇形统计图，根据B类消费金额频数分布表，绘制不完整频数分布直方图．

【分析数据】
组别 关于智能家居设备数量的统计量
平均数 中位数 众数 方差
A类 2.5 c 3 1.67
B类 2 2 d 1.75
【解决问题】
根据以上信息解决下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)补全频数分布直方图；
(3)扇形统计图中有2台A类智能家居设备的扇形对应的圆心角的度数为 ；
(4)若该校共有学生家庭576户，估计全校B类智能家居设备消费金额2000元及以上的家庭有多少户？
(5)结合设备数量、消费金额两项数据，判断该班学生家庭更偏好哪一类智能家居，并说明理由．
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八年级下册数学期末易错压轴题型（32易错+14压轴）
（人教版教材专用）
易错题型一、最简二次根式判定
易错题型二、二次根式大小比较
易错题型三、同类二次根式
易错题型四 、二次根式的混合运算
易错题型五、分母有理化
易错题型六、勾股数判断
易错题型七、已知直角三角形两边，求第三边
易错题型八、勾股逆定理判定直角三角形
易错题型九 、含特殊角直角三角形计算
易错题型十、勾股定理面积型问题
易错题型十一、多边形对角线的条数问题
易错题型十二、多边形内角和与外角和综合
易错题型十三、平行四边形证明
易错题型十四、矩形判定证明
易错题型十五、菱形判定证明
易错题型十六、正方形判定证明
易错题型十七、四边形周长、面积计算
易错题型十八、四边形折叠题型计算
易错题型十九 、四边形中线段最值计算
易错题型二十、中位线计算
易错题型二十一、函数概念辨析
易错题型二十二、一次函数图象象限判断
易错题型二十三、一次函数增减性比较
易错题型二十四、一次函数坐标轴交点计算问题
易错题型二十五、一次函数函数平移问题
易错题型二十六、自变量取值范围
易错题型二十七、求函数解析式
易错题型二十八、函数与不等式、方程组结合
易错题型二十九、一次函数中最值问题
易错题型三十、平均数、中位数计算
易错题型三十一、方差、标准差计算
易错题型三十二、利用统计量求未知参数
压轴题型一、二次根式与几何结合
压轴题型二、二次根式规律探究题
压轴题型三、勾股定理中折叠问题
压轴题型四、网格中求线段长、判断直角
压轴题型五、将军饮马类最短距离最值计算
压轴题型六、坐标系内四边形综合问题
压轴题型七、四边形中动点探究题
压轴题型八、四边形中存在性问题
压轴题型九、四边形几何探究变式题
压轴题型十、直线围成图形面积
压轴题型十一、坐标几何计算
压轴题型十二、动点存在性问题
压轴题型十三、函数几何动态探究
压轴题型十四、统计图表综合题
易错题型一、最简二次根式判定
1．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）在下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：1 被开方数不含分母；2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐个验证选项即可得出答案.
【详解】根据最简二次根式的定义逐个分析：
A， 的被开方数含分母，不符合题意；
B，，被开方数含能开得尽方的因数，不符合题意；
C ， ，被开方数含能开得尽方的因式m2，不符合题意；
D ， 的被开方数不含分母，且不存在能开得尽方的因式，满足最简二次根式的定义，符合题意．
2．（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）在 ，，，，，中，最简二次根式的个数是_______．
【答案】
【分析】最简二次根式需要满足两个条件：1. 被开方数不含分母；2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此逐个判断．
【详解】解：，被开方数是整式，且不含能开得尽方的因式，是最简二次根式，
，被开方数是整式，且不含能开得尽方的因式，是最简二次根式，
=，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，
=，不属于二次根式，因此不是最简二次根式，
=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，
，被开方数含有分母，不是最简二次根式，
综上，最简二次根式共有个．
3．（24-25八年级·全国·期末）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式，原因见解析
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式；
（2）不是最简二次根式，被开方数含分母．
（3）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；
（4）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；
（5）不是最简二次根式，被开方数含分母．
（6） 不是最简二次根式，被开方数含分母．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
易错题型二、二次根式大小比较
4．（2025九年级·重庆北碚·专题练习）已知： ，比较m、 n 的大小（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】利用作差法比较大小即可.
【详解】解：，
∵，
∴，
∴.
5．（25-26八年级下·广东广州·期中）比较大小：_______，_______2，_______．
【答案】
<
<
>
【分析】实数的大小比较方法： 比较带二次根号的正数，可通过比较被开方数的大小判断结果；比较两个负数，先比较两个数的绝对值，再根据负数大小比较法则判断．
【详解】解：①比较和，
，
；
②比较和，
，
，即；
③比较和，
，，
，
，即，
．
6．（25-26八年级下·全国·课后作业）课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下：
解：．
，，，．
我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较实数与的大小．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的大小比较，掌握作差法比较大小是解题的关键．
将两数相减，差与比较大小，从而得到原数的大小．
【详解】解：．
，
，
，
，
．
易错题型三、同类二次根式
7．（25-26八年级下·广东汕头·期中）最简二次根式与可以合并，则（ ）
A．48 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【分析】先将化为最简二次根式，根据可合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，即可求出的值.
【详解】∵ ，
又∵ 最简二次根式与可以合并，
∴ 两个最简二次根式的被开方数相同，
∴ .
8．（25-26八年级下·安徽宣城·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则______．
【答案】
【分析】先将化为最简二次根式，根据同类二次根式的概念得到关于的一元一次方程，解方程即可得到结果．
【详解】解：，且与最简二次根式是同类二次根式，
，
移项得，
系数化为得．
9．（24-25八年级下·上海·暑假作业）判断下列二次根式是否为同类二次根式．
(1)和；
(2)和；
(3)和；
(4)和．
【答案】(1)不是；
(2)不是；
(3)不是；
(4)是．
【分析】本题主要考查二次根属性及同类二次根式的概念，熟记二次根式性质先化简再判断是解决问题的关键．
（1）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案；
（2）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案；
（3）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案；
（4）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴和不是同类二次根式；
（2）解：∵；
∴和不是同类二次根式；
（3）解：∵；
∴和不是同类二次根式；
（4）解：∵，，
∴和是同类二次根式．
易错题型四、同类二次根式
10．（2026·广东江门·二模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的运算法则，逐一判断选项即可得到结果．
【详解】选项A：∵与不是同类二次根式，不能合并，∴A错误；
选项B：∵===≠4，∴B错误；
选项C：∵===，∴C错误；
选项D：∵==，等式成立，∴D正确．
11．（2026·江苏南京·一模）计算的结果是__________．
【答案】
【分析】先化简二次根式，计算二次根式的除法运算，再合并同类二次根式即可.
【详解】解：.
12．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)5
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
易错题型五、分母有理化
13．（25-26八年级下·河南新乡·期中）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：．
14．（24-25八年级下·四川泸州·期中）的倒数是______．
【答案】
【分析】本题考查了倒数的定义和分母有理化，要将中的根号去掉，要用．
先写出倒数，再直接分母有理化即可．
【详解】解：的倒数是．
故答案为：．
15．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）已知，这种化简方法称为分母有理化．
请根据以上方法，解决如下问题：若，求的值．
【答案】1
【分析】先分母有理化求得，则，进而可得，然后代入所求代数式中求解即可．
【详解】解：，
，
，
．
．
易错题型六、分母有理化
16．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．1，1，2 B．3，4，5 C．4，5，6 D．6，8，9
【答案】B
【详解】解：A选项，，，
，不是勾股数，不符合题意；
B选项，，，
，且3，4，5均为正整数，是勾股数，符合题意；
C选项，，，
，不是勾股数，不符合题意；
D选项，，，
，不是勾股数，不符合题意．
17．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）若是一组勾股数，则整数的值为___________．
【答案】13
【分析】分两种情况讨论：当a最大时，当最大时，即可求解．
【详解】解：当a最大时，，
当最大时， ，不是正整数，
所以a的值为13．
18．（25-26八年级下·全国·期末）判断下列各组数是不是勾股数．
(1)3，4，7；
(2)5，12，13；
(3)；
【答案】(1)不是
(2)是
(3)不是
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股数的定义（可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数．）及勾股定理的逆定理计算判断即可．
（1）分别计算三边的平方，即可完成判断；
（2）分别计算三边的平方，即可完成判断；
（3）根据勾股数不能为分数完成判断．
【详解】（1）解：因为，
所以3，4，7不是勾股数；
（2）解：因为，
所以5，12，13是勾股数；
（3）解：因为勾股数不能为分数，
所以不是勾股数．
易错题型七、已知直角三角形两边，求第三边
19．（25-26八年级下·山西吕梁·期中）以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，三个正方形的面积如图所示，则为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．8
【答案】A
【分析】根据正方形的面积计算，，再根据勾股定理计算即可求解．
【详解】解：如图，
由题意得：，，，
，
的值为6，
20．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在中，，，，已知D是的中点，连接，则的长为______．
【答案】
【分析】此题考查了勾股定理以及逆定理，
首先求出，然后证明出，利用勾股定理求解即可．
【详解】∵，D是的中点
∴
∵
∴
∴．
故答案为：．
21．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，在的小正方形组成的网格中，的顶点均在小正方形的顶点上（保留作图痕迹）．
(1)在图中作的边上的中线．
(2)在图中作的边上的高．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图，取的中点，连接，即为所求；
（2）解：如图，取格点，连接，即为所求．
，
故．
易错题型八、勾股逆定理判定直角三角形
22．（24-25八年级下·甘肃定西·月考）在中，，，，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【分析】将两条较短边的平方和与最长边的平方比较结合勾股定理的逆定理即可得出结论．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴是直角三角形．
23．（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图所示的一块菜地，，，，，，这块菜地的面积为________．
【答案】
【分析】连接，由勾股定理得出，再由勾股定理逆定理判断出，最后再由计算即可得解．
【详解】解：如图，连接．
在中，，
，
在中，，
，
∴这块菜地的面积为
24．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，在四边形中，，，，，．
(1)连接，判断的形状，并说明理由；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)是直角三角形，见解析
(2)
【分析】（1）在中，由勾股定理求出的长度；通过计算与的关系，利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形；
（2）将四边形的面积转化为和的面积之和，分别计算两个三角形的面积后相加．
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：连接．
，
，
在中，，，
，
在中，，，，
，
是直角三角形，
（2）解：．
四边形的面积为．
易错题型九、含特殊角直角三角形计算
25．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，的两边往外作的正方形，其面积分别为，，若，，则边长为（ ）
A．8 B．64 C．7 D．49
【答案】A
【详解】解：由题意，，，
由勾股定理得：，
∴，
∴．
26．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】9
【分析】根据图形和题意，可知阴影部分的面积为，然后根据勾股定理可知，进而可以求得图中阴影部分的面积．
【详解】解：由已知可得，阴影部分的面积为，
∵，，
∴，
∴
．
27．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，分别以直角三角形三边（三边长分别为a，b，c）为直径作半圆，设图中两个“月形”图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形的面积为．
(1)请判断，，的关系，并证明；
(2)若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的应用；
（1）根据半圆面积和勾股定理即可得结论：；
（2）根据（1）的结论，即可求解．
【详解】（1）．证明如下：
，，
．
（2）由（1）可知，阴影部分的面积．
易错题型十、勾股定理面积型问题
28．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在等边中，点，分别是边，上的点且满足．连结，交于点，连接．若已知线段的长度，则可求出（ ）
A．的面积 B．的面积
C．的面积 D．的面积
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
先证明，则可得，以为边，在的上方作等边三角形，连接，可得，再证明，可得，则可得答案．
【详解】解：为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
如图，以为边，在的上方作等边三角形，连接，
，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点作的垂线段，交于点，
，
，
，
综上，已知线段的长度，则可求出的面积，
故选：D．
29．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．图中正方形的面积是90，，则正方形的面积是_____．
【答案】36
【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质，理解题意是解题的关键．
根据题意得到，根据正方形的面积是90，结合勾股定理求出的长，得出的长，再利用正方形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的，
∴，
∵大正方形的面积是90，
∴，
∵，
∴，
则，
解得：（负值舍去），
∴，
∴正方形的面积是．
故答案为：36．
30．（25-26八年级下·四川自贡·月考）【阅读】在小学我们就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式．分别是由古希腊的几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为：
海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积；
秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积
【尝试公式应用】
(1)问题：已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请选择一个公式求这个三角形的面积．
【尝试新方法】
尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分）
(2)如图1，已知一个中，，，．求面积（温馨提示，解决后在草纸上可以代入一个公式验证你的结论是否正确）
【尝试证明】
尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算推导秦九韶公式：
(3)如图2，已知一个中，三边分别为，求面积
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）选择一个公式代入计算即可；
（2）作于，设，则，然后分别在和中，表示出，建立方程求解出，再利用三角形面积公式求解即可；
（3）同（2）的方法解答即可．
【详解】（1）解：选择海伦公式：
，
∴
；
选择秦九韶公式：
；
（2）解：如图，作于，则，
设，则，
由勾股定理可得：，，
∴，
解得，
∴，
∴；
（3）解：如图，作于D，则，
设，则，
由勾股定理可得：，，
∴，
解得，
∴，
∴．
易错题型十一、多边形对角线的条数问题
31．（25-26八年级下·上海·期中）已知一个多边形的外角和等于内角和的一半，那么这个多边形的对角线条数为（　　）．
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
【答案】D
【分析】先利用任意多边形外角和为定值的性质求出多边形内角和，再根据内角和公式求出边数，最后代入对角线条数公式计算得到结果．
【详解】解：设多边形边数为，根据题意得，
，
解得，
即该多边形为六边形，
∴该多边形对角线条数为（条）．
32．（25-26八年级下·湖北荆州·期中）若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形共有______条对角线．
【答案】
【分析】根据任意多边形的外角和为，可求出该多边形的边数，再利用多边形对角线条数公式计算即可得到结果．
【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形每个外角都为，
∴该多边形的边数，
将代入多边形对角线条数公式得：．
33．（25-26八年级下·山西朔州·期中）已知一个正多边形木架的每个内角与相邻外角的度数比为．
(1)求这个正多边形木架的边数．
(2)若要使该正多边形木架不变形，至少要钉上m根木条，请直接写出m的值．
【答案】(1)10
(2)7
【分析】（1）设出外角的度数，利用外角与相邻内角和为求得外角度数，除以这个外角度数即得所求的多边形的边数；
（2）根据三角形的稳定性，多边形从一个顶点出发可以画的对角线条数，进行求解即可．
【详解】（1）解：设这个正多边形的每个外角为，则每个内角为，
由题意得：，
解得：，
，
故这个正多边形木架的边数为10．
（2）解：∵三角形具有稳定性，
∴要使该正多边形木架不变形，需要将这个正多边形木架变成多个三角形，
∵从多边形一个顶点出发，连接其所有不相邻的顶点，可以将多边形分割成多个三角形，
∴从十边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，将十边形分成八个三角形，
即要使该正多边形木架不变形，至少要钉上7根木条．
易错题型十二、多边形内角和与外角和综合
34．（2026·云南临沧·二模）一个正多边形的内角和是外角和的1.5倍，则该正多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】本题利用多边形外角和为定值，结合多边形内角和公式列方程求解边数，属于基础题．
【详解】解：设该正多边形的边数为，
∵任意多边形的外角和为，该正多边形内角和是外角和的倍，
∴该正多边形的内角和为，
又∵边形的内角和公式为，
∴列方程得，解得．
故该正多边形的边数为5．
35．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图：、是五边形的2个外角，若，则________．
【答案】160
【分析】先根据多边形内角和定理求出五边形的内角和，然后由，求出的度数，最后根据多边形内角和外角的关系即可求的度数．
【详解】解：∵五边形的内角和为：，，
∴，
∴．
36．（2026八年级下·江苏·专题练习）已知：如图，分别为四边形的外角．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据邻补角定义得，再根据四边形内角和等于得，据此即可得出结论．
【详解】证明：∵分别为四边形的外角，
∴，
∴，
∵，
∴．
易错题型十三、平行四边形证明
37．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知，要使四边形为平行四边形，则四边形的各内角度数依次为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定得到，再由平行四边形的判定即可得出结论．
【详解】解：要使四边形为平行四边形，则四边形的各内角度数依次为，理由如下：
∵，
∴，
∴
∴四边形为平行四边形．
38．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，是直线外一点，在上取两点，，连接，分别以点，为圆心，以，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形，依据是：_________的四边形是平行四边形．
【答案】两组对边分别相等
【分析】根据平行四边形的判定方法，得出答案即可．
【详解】解：根据作图可知：，，
因此根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可以判定四边形是平行四边形．
39．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求直线，之间的距离；
(3)求直线，之间的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据，可得，即可求证；
（2）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由勾股定理解答即可．
（3）过点作于点，进而根据等面积法即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，即，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
即之间的距离为．
（3）解：如图，过点作于点，
∵
∴
即，之间的距离为．
易错题型十四、矩形判定证明
40．（2026·江西九江·二模）为了判断课桌的桌面是否为矩形，数学小组的同学对四张课桌采用了不同的测量方式，其中不一定能判断桌面是矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．矩形的判定方法有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；由矩形的判定方法即可求解．
【详解】解：A、，同旁内角互补可知一组对边平行，且都等于，可判定是平行四边形，并且有一个角是直角，因此能判定是矩形，故A选项不符合题意；
B、含角的两个三角形不一定全等，有可能相似，不能判定上下两条边一定平行，桌面有可能是等腰梯形，也有可能是矩形，因此不能判定一定是矩形，故B选项符合题意；
C、由两组对边相等可判定是平行四边形，又根据可知左下和右上两个角是直角，因此能判定是矩形，故C选项不符合题意；
D、对角线互相平分且相等，能判定是矩形，故D选项不符合题意．
41．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）对于四边形，给出下列4组条件：①；②，；③；④．其中一定能得到“四边形是矩形”的条件有___________．（填给定条件的序号）
【答案】①
【详解】解：①，可得每个角的度数为，四个角都是直角的四边形是矩形，因此四边形是矩形，故①正确．
②，，可得 ，即，无法推出四个角都是直角，例如等腰梯形可满足该条件，但不是矩形，因此四边形不一定是矩形，故②错误．
③，，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，只能判定该四边形为平行四边形，平行四边形不一定是矩形，因此四边形不一定是矩形，故③错误．
④，可得 ，无法保证四个角都是直角，因此四边形不一定是矩形，故④错误．
42．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，四边形中，，，对角线，相交于点，是等边三角形．求证：四边形是矩形．
【答案】见解析
【分析】首先证明四边形是平行四边形，得出，，再证出，即可得出结论．
【详解】证明：∵∥，∥，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
易错题型十五、菱形判定证明
43．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，可用的方法是（ ）
A．测量两条对角线是否相等
B．测量门框的一组邻边是否相等
C．测量两条对角线是否互相平分
D．用曲尺测量两条对角线是否互相垂直
【答案】A
【分析】已知门框四边形两组对边分别相等，可先判定该四边形是平行四边形，再结合平行四边形判定矩形的判定定理判断各选项即可．
【详解】解：∵四边形两组对边分别相等，
∴该四边形是平行四边形．
对各选项逐一判断
A、根据矩形判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意；
B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；
C、平行四边形的对角线本来就互相平分，不符合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意．
44．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，两条宽为的长方形纸条叠放得到四边形，若，则这个四边形的面积为__________．
【答案】/平方厘米
【分析】首先根据长方形对边平行判定四边形为平行四边形，再利用两条纸条宽度相等证明该平行四边形邻边相等，从而判定为菱形，最后在直角三角形中利用三角函数求出边长，利用底乘高计算面积，即可求解．
【详解】解：由题意可知，两条长方形纸条的对边分别平行
，
四边形是平行四边形，过点作于点，作于点
由题意得，纸条宽度相等，即
平行四边形是菱形
在中，，，
四边形的面积为 ．
45．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形的四条边上分别取，，，四点，顺次连接所得四边形为四边形的内接四边形．
(1)如图，矩形，，点在线段上且，四边形是矩形的内接平行四边形，求的长度；
(2)如图，平行四边形中，点在线段上，请你在图中画出平行四边形的内接菱形，点在边上；（尺规作图，保留痕迹）
【答案】(1)6
(2)见解析
【分析】（1）连接，证明得出，根据，即可求解．
（2）由（1）知：，则，作，连接，再作的垂直平分线，交于，得四边形即为所求作的内接菱形；
【详解】（1）解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，菱形即为所求
易错题型十六、正方形判定证明
46．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）下列条件：
①对角线互相垂直且相等的平行四边形；
②对角线互相垂直的矩形；
③对角线相等的菱形；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形；
⑤有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形．
其中能判定四边形为正方形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】根据正方形的判定定理逐一判断每个条件即可．
【详解】解：①∵该图形是平行四边形，且对角线互相垂直且相等，
∴该平行四边形既是对角线互相垂直的平行四边形（菱形），又是对角线相等的平行四边形（矩形），既是菱形又是矩形的四边形是正方形，
∴该四边形是正方形，符合题意；
②∵该图形是矩形，对角线互相垂直，
∴该四边形是正方形，符合题意；
③∵该图形是菱形，对角线相等，
∴该四边形是正方形，符合题意；
④∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，再加上对角线相等，即可判定对角线相等的菱形是正方形，
∴该四边形是正方形，符合题意；
⑤∵该图形是平行四边形，有一组邻边相等可得它是菱形，有一个角是直角可得它是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，
∴该四边形是正方形，符合题意；
综上其中能判定四边形为正方形的有5个．
47．（24-25八年级下·甘肃天水·期末）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4cm，CE=2cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点处，折痕与边BC交于点E，则BC的长为________cm．
【答案】6
【分析】根据翻折变换的性质可以证明四边形ABE为正方形，得到BE=AB，根据BC=BE+CE即可求答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，∠BA=90°，
根据则折叠的性质可知：AB=A，∠B=∠AE=90°，
∵∠B=90°，∠BA=90°，∠AE=90°，
∴四边形ABE为矩形，
∵AB=A，
∴四边形ABE为正方形，
∴BE=AB=4cm，
∴BC=BE+CE=6cm，
故答案为：6．
【点睛】题目考查的是翻折变换、矩形和正方形的判定和性质，掌握翻折变换的性质和矩形和正方形的判定定理和性质定理是解题的关键．
48．（25-26八年级下·山东泰安·期中）【教材呈现】教材中有一个例题：如图1，在中，，垂足是，是的外角的平分线，，垂足是，连接交于点．
(1)求证：四边形为矩形．请给出其证明．
【问题探究】数学兴趣小组在原题上进一步探究：
(2)如图2，当时，四边形是什么特殊的四边形？请帮助小组的同学猜想出结果并给出证明．
【答案】(1)见解析
(2)当是等腰直角三角形时，四边形为正方形，理由见解析
【分析】（1）根据平分以及是的外角平分线，可得，即可；
（2）证明，即可解答．
【详解】（1）证明：如图，
，，
平分，
，
是的外角平分线，
，
，
，
即，
又，
，
又，
，
四边形是矩形．
（2）解：当是等腰直角三角形时，四边形为正方形，证明如下：
在中，平分，
，
∵，
∴，
，
又四边形是矩形，
矩形为正方形．
易错题型十七、四边形周长、面积计算
49．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，用四张形状大小相同的六边形纸片拼成如图的图案，每个六边形中有四个角相等．拼成的图案的内轮廓是边长为1的正方形，外轮廓是每个内角都相等的八边形，则这个图案外轮廓的周长和阴影部分的面积为（ ）．
A．周长为8，面积为8 B．周长为8，面积为6
C．周长为，面积为8 D．周长为，面积为6
【答案】D
【分析】由六边形的性质证证明是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质结合勾股定理求出，进而求出周长，再求出一个六边形的面积，即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：如图，
图案由相同的六边形纸片拼成，
，，，，，
，
，
外轮廓是每个内角都相等的八边形，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
这个图案外轮廓的周长为；
这个图案外轮廓的面积为，
故选：D．
【点睛】本题考查多边形内角和问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理正方形的性质，熟练掌握多边形内角和问题是解题的关键．
50．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为的矩形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在矩形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为，那么这两个正方形的重叠部分(图中阴影部分所示)的周长为 ____．
【答案】
【分析】本题主要考查了正方形和长方形的性质，整式加减的应用，设较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，阴影部分的长和宽分别为，，然后根据长方形周长公式分别得到，，由此即可得到答案．
【详解】解：设较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，阴影部分的长和宽分别为，，
两个正方形的周长和为，
，
，
，，
矩形的周长为，
，
，
，
，
，
阴影部分的周长．
故答案为：．
51．（25-26八年级下·全国·课后作业）【问题提出】我们知道菱形的面积不仅可以用底乘以高来求，而且知道菱形面积等于两条对角线乘积的一半．那么对于其他四边形是不是也可以用这种方法求面积呢？
【深入探究】
(1)如图1，四边形的对角线、互相垂直，其中对角线长为，长为，垂足为E，求四边形的面积．（请写出求解过程）
由此，我们可以得出一个结论1：对角线互相垂直的四边形的面积等于____________．
【拓展提高】
(2)由上述的结论1给我们的启示：对于两条对角线不垂直的四边形的面积如何求解呢？下面让我们一起来研究．如图2，四边形的对角线长为，点A到的距离与点C到的距离之和为，求四边形的面积．（请写出求解过程）
结论2：任意四边形的面积等于__________．
【答案】(1)；两条对角线乘积的一半；
(2)；一条对角线与另一条对角线两个端点到这条对角线的距离之和的积的一半
【分析】（1）根据，结合三角形面积公式，进行计算推导即可解答；
（2）连接，过点A作于点N，过点C作于点M，同（1）解答即可．
【详解】（1）解：
．
根据上面推导过程可知，对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半；
（2）解：如图2，连接，过点A作于点N，过点C作于点M，
则，
根据上面推导过程可知，任意四边形的面积等于一条对角线与另一条对角线两个端点到这条对角线的距离之和的积的一半．
易错题型十八、四边形折叠题型计算
52．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）已知四边形，其中，，将沿折叠，落于，交于，且为平行四边形（如图）；再将纸片展开，将沿折叠，使点落在上一点（如图）．在两次折叠过程中，两条折痕、的夹角的度数为（　　）
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【分析】如图，过作于点，过作于点，可证，得到，即得，设，，可得，由四边形是矩形得，即得，得到，即可求解．
【详解】解：如图，过作于点，则，
在图中，∵，为平行四边形，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由折叠可得，，
∴，
设，，则，
由折叠可得：，
∵，，
∴ ，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴．
53．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为__________．
【答案】
【分析】根据折叠的性质得出，易得四边形是矩形，则，，根据勾股定理可得：，根据，即可求解．
【详解】解：∵将边折叠到边上得到，折痕为，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴四边形是矩形，，，
∴，
根据勾股定理可得：，
∵将沿着折叠，边恰好落在边上，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴．
54．（2026·河北石家庄·一模）如图1，将纸片沿中位线折叠，使点A的对称点D落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形，
(1)将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段_______，______；_____．
(2)纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长．
(3)如图4，四边形纸片满足，，，，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出两个不同叠合方式的叠合正方形的示意图，并直接写出，的长．
【答案】(1)、；
(2)13
(3)图见解析，，或，
【分析】（1）根据题意得出操作形成的折痕分别是线段；由折叠的性质得出的面积的面积，四边形的面积=四边形的面积，得出，即可得出答案；
（2）由矩形的性质和勾股定理求出，即可得出答案；
（3）折法1中，由折叠的性质得：，，，，，由叠合正方形的性质得出，由勾股定理得出，得出，；
折法2中，由折叠的性质得：四边形的面积梯形的面积，，，，，，求出，由叠合正方形的性质得出，正方形的面积，由勾股定理求出，设，则，由梯形的面积得出，求出，由得出方程，解方程求出，，进而得到、的长．
【详解】（1）解：根据题意得：操作形成的折痕分别是线段、；
由折叠的性质得：，四边形四边形，
∴的面积的面积，四边形的面积=四边形的面积，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，，，，
∴，
由折叠的性质得：，，，
∴，
∴；
（3）解：①折法1中，如图4所示：
由折叠的性质得：，，，，，
∵四边形是叠合正方形，
∴，
∴，
∴，；
②折法2中，如图5所示：
由折叠的性质得：四边形的面积梯形的面积，，，，，，
∴，
∵四边形是叠合正方形，
∴，正方形的面积，
∵，
∴，
设，则，
∵梯形的面积，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，．
易错题型十九、四边形中线段最值计算
55．（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知正方形，，点E是线段的中点，连接，点M是线段上的动点，点P是线段上的动点，连接，取的中点Q，则线段的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先确定动点的轨迹，由在上运动且为中点可知的轨迹为线段（为正方形中心，为中点）；动点的轨迹为线段；分别求出的最大值和最小值，最后求差即可．
【详解】解：取的中点，连接交于点，连接、、，
∵正方形，，点E是线段的中点，
∴，，，
∵点E是线段的中点，
∴是的中位线，
∴，，，
同理由中位线可得，，，，
四点共线，
∴点的轨迹是线段，
∵点在线段上，
当与重合，与重合时，取得最大值，此时；
当且与重合时，取得最小值，此时，
∴，
解得，
的最小值为，
线段的最大值与最小值的差为．
56．（2026·四川成都·二模）如图，的直角边，斜边，点P为线段上动点．若F为线段上一点，且，连接，将线段绕点F顺时针方向旋转得线段，连接，则的最小值为______．
【答案】4
【分析】连接，以为边作等边，连接，证明，得出，说明点G在上运动，根据垂线段最短，得出当时，取得最小值，过点F作于点N，证明四边形为矩形，得出，，根据直角三角形的性质得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：连接，以为边作等边，连接，如图所示：
则，，
根据旋转可得：，，
∴是等边三角形，，
∴，即，
∴，
∴，即点G在上运动，
∵垂线段最短，
∴当时，取得最小值，过点F作于点N，如图所示，
则，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值为4．
57．（25-26八年级下·上海松江·期中）综合与实践
【问题情境】在书法课上，为了实现图的书写效果，需要解决“将正方形书法纸折出均等的三列”的问题．在学习了特殊平行四边形知识后，小华和小海以“正方形的折叠”为主题展开了探索．
【操作探索】
操作一：把正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：沿着再一次折叠纸片，使点落在点处，得到折痕交HE于点；
操作三：将沿过点的直线折叠，使与重合，得到折痕．
【猜想验证】
(1)根据以上操作，小华发现点三点共线，且①_________°；②线段之间的数量关系为：_________．
(2)小海说：“我发现线段与线段的比值是，即点是线段的三等分点．”你认为小海的说法正确吗？请说明理由．
【问题探究】
(3)在（）和（）的条件下，延长交线段于点，连接交于点，你能发现线段与线段的比值吗？请直接写出答案．
【答案】(1)；；
(2)小海说法正确；理由见解析
(3)
【分析】（）利用正方形的直角与两次折叠的角平分性质，推导出；结合折叠的线段相等关系和三点共线，得到；
（）设正方形边长，用勾股定理列方程求解，得出是的三分之一，验证了是的三等分点；
（）先设正方形边长为，利用折叠性质得出折痕为中位线、；再通过证明，设，在中用勾股定理列方程求出，进而得到；最后结合前序结论，计算出与的比值为．
【详解】（1）解：① 由折叠性质：折叠后，，正方形中，
∴，即，
∴，
② 由折叠得：，，且题目给出三点共线，
∴，
即：；
（2）解：设正方形边长为，则，
设，则，
由（）得，
在中，，
由勾股定理： ，
代入得：，
展开化简：，
整理得，
解得，即，
∴是三等分点，小海说法正确；
（3）解：设正方形边长为，
∵与重合，得到折痕，
∴为中位线，，，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
在中，，，
由勾股定理：，
解得：，即，
∴，
∵，
．
易错题型二十、中位线计算
58．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图1是两个小朋友玩跷跷板的实物图，图2是其示意图，支柱垂直于地面，点，分别是，的中点，，那么小朋友在游戏中，点离地面的最大高度是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】因为垂直于地面，B点到地面的垂线也垂直于地面，所以，因为点，分别是，的中点，所以是的三角形中位线，即可建立与所求高度的数量关系．
【详解】解：由题意得，地面，地面，点A、C重合，
∴；
又点，分别是，的中点，
∴是的三角形中位线；
∴．
因此点离地面的最大高度是．
59．（25-26八年级下·上海·期中）如图，中，，直线是边上的中线，与交于点，则的长为___________
【答案】
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得出是边上的中线，利用勾股定理求出的长，根据面积法求解即可．
【详解】解：，，
为的中点，
，
在中，由勾股定理得，
设，则，
∵D为中点，，
∴，
连接，
则，
取中点E，连接，
则是中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得：．
60．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，D、E分别是、的中点．
(1)若，求的长；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用三角形中位线的性质求解即可；
（2）根据三角形中位线的性质以及平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，D、E分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴．
（2）解：∵是的中位线，
∴，
∴．
易错题型二十一、函数概念辨析
61．（25-26八年级下·广东惠州·期中）下列图象中，是的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、由图象可得，对于的每一个确定的值，不都有唯一确定的值与其对应，故不是的函数，不符合题意；
B、由图象可得，对于的每一个确定的值，不都有唯一确定的值与其对应，故不是的函数，不符合题意；
C、由图象可得，对于的每一个确定的值，不都有唯一确定的值与其对应，故不是的函数，不符合题意；
D、由图象可得，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，符合题意．
62．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化，在这个变化过程中，因变量为_________．（填“冰的厚度”或“时间”）
【答案】冰的厚度
【分析】根据因变量的概念，分析冰的厚度和时间在“冰冻三尺，非一日之寒”这个变化过程中的关系，从而确定因变量．
【详解】解：“冰冻三尺，非一日之寒”描述的是冰的厚度随着时间的推移而逐渐增加的过程，时间是主动变化的，冰的厚度会随着时间的变化而变化，即冰的厚度是随着时间这个变量的变化而变化的，
∴根据自变量和因变量的定义，在这个变化过程中，时间是自变量，冰的厚度是因变量．
63．（24-25八年级下·宁夏中卫·期中）声音在空气中的传播速度 (音速)与气温 x()的关系，如下表．
气温（） 0 5 10 15 20
音速（） 331 334 337 340 343
(1)表格反映了 两个变量之间的关系，其中 是自变量 是因变量
(2)当气温是时，音速y是
(3)当气温是时，估计音速y可能是
【答案】(1)气温和音速；气温；音速
(2)
(3)
【分析】（1）根据表格数据确定自变量和因变量即可；
（2）直接从表格中找到气温为时的音速即可；
（3）观察表格数据，得到气温每升高音速增加的量进行计算即可．
【详解】（1）解：表格反映了气温和音速两个变量之间的关系，
由表头可得：气温是自变量，音速是因变量；
（2）解：当气温是时，音速y是；
（3）解：由表格可知，气温每升高音速增加，
，
故当气温是时，估计音速y可能是．
易错题型二十二、一次函数图象象限判断
64．（2026·安徽阜阳·二模）已知一次函数的图象经过不同的两点和，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用待定系数法求得，根据题意得到，求得，据此求解即可判断．
【详解】解：∵一次函数的图象经过不同的两点和，
∴，且，
∴得，
∵，
∴，
∴随的增大而增大，观察四个选项，选项A符合题意．
65．（2026年宁夏回族自治区吴忠区初中学业水平调研九年级数学试卷）如图，在点，，，中，一次函数的图象不可能经过的点是________．
【答案】点
【分析】根据k与b的符号确定一次函数图象经过的象限，结合各点所在的象限进行判断．
【详解】解：在函数中，、，
则该一次函数图象经过第二、三、四象限，
由图可知，点M在第二象限，点N在第一象限，点P在第四象限，点Q在第三象限，
因此，其图象不可能经过点N．
66．（25-26八年级上·全国·寒假作业）已知一次函数，试讨论其图象经过哪些象限？
【答案】当时，图像经过第一、二、三象限；
当时，图像经过第一、三象限（过原点）；
当时，图像经过第一、三、四象限；
当时，图像经过第一、二、四象限．
【分析】本题考查一次函数图像的象限分布，关键在于理解一次函数中和对图像位置的影响．
函数表达式为，可以整理为，或者更直观地写成，即，其中．通过分析的不同取值范围，判断直线与轴交点的位置（的正负），从而确定图像经过的象限．
【详解】解：函数为，图像为一条直线，其经过的象限取决于的正负及的正负．
若，从左下向右上延伸．
令，解得．
此时，直线与y轴交于正半轴．
当时，，图像经过第一、二、三象限．
当时，，直线过原点，图像经过第一、三象限．
当时，，直线与y轴交于负半轴，图像经过第一、三、四象限．
若，直线从左上向右下延伸．
此时，由于，则，
故正数，所以无论为何负数，总是大于0．
即当时，，直线经过第一、第二、第四象限．
当时，图像经过第一、二、三象限；
当时，图像经过第一、三象限（过原点）；
当时，图像经过第一、三、四象限；
当时，图像经过第一、二、四象限．
易错题型二十三、一次函数增减性比较
67．（2026·内蒙古通辽·二模），是一次函数图象上的不同的两点，则（ ）
A． B．
C． D．的符号无法判断
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的性质，函数中，随的增大而减小 ，通过分类讨论进行解答即可．
【详解】解：∵一次函数中，
∴随的增大而减小 ，
当时，，
∴，
∴；
当时，，
∴，
∴；
综上所述，．
68．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）若一次函数（为常数，且）的图象经过第一、二、四象限，点、在该函数图象上，则_____．（填“”、“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查一次函数增减性比较大小，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键．
根据一次函数图象经过第一、二、四象限，确定，且，从而确定一次函数的函数值随的增大而减小，再比较和的纵坐标大小，即可得到横坐标的大小．
【详解】解：一次函数（为常数，且）的图象经过第一、二、四象限，
，且，
则一次函数的函数值随的增大而减小，
由点和在函数图象上，且，可得，
故答案为：．
69．（25-26八年级下·吉林长春·期中）对于一次函数，我们称函数为它的阶明珠函数（其中为常数），例如，当时，正比例函数的2阶明珠函数为．
(1)点在一次函数的1阶明珠函数的图象上，求的值；
(2)点在正比例函数的-1阶明珠函数的图象上，求的值；
(3)已知一次函数．
①当时，直接写出这个一次函数的2阶明珠函数的函数值的取值范围；
②当时，若这个一次函数的2阶明珠函数的函数值的取值范围是，则直接写出字母的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)①的取值范围是;②的取值范围是
【分析】（1）先写出的1阶明珠函数，根据点的横坐标判断所属分段，代入解析式求；
（2）写出的阶明珠函数，分情况讨论的取值；
（3）①写出的2阶明珠函数，分别求两段在对应区间内的取值范围，再合并；②根据函数单调性，结合给定的的取值范围反推的取值范围．
【详解】（1）解：一次函数的1阶明珠函数为
．
点中，
将代入，得
．
故．
（2）解：正比例函数的-1阶明珠函数为
．
当时，，解得；
当时，，解得．
综上，或．
（3）解：一次函数的2阶明珠函数为
．
①当时，随增大而减小，
时，；时，，
；
当时，随增大而增大，
趋近2时，趋近；时，，
；
综上，当时，的取值范围是．
②当时，随增大而减小，
当时，，
当时，，
此时，
∵当时，的取值范围是，
∴，
当时，随增大而增大，
趋近2时，接近；时，．
则时，，
∵当时，的取值范围是，
且时，；，
∴，
解得，
故的取值范围是．
易错题型二十四、一次函数坐标轴交点计算问题
70．（25-26八年级下·福建泉州·期中）对于一次函数，下列结论错误的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．当时，
C．函数的图象与y轴交于点
D．直线与第二、四象限角平分线所在直线平行
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质逐一判断各选项即可．
【详解】解：已知一次函数为，可得，．
A、，∴随的增大而减小，结论正确，不符合题意；
B、令，即，解得，∵随的增大而减小，∴当时，，结论正确，不符合题意；
C、求函数与轴交点，令，得，∴函数图象与轴交于点，原结论错误，符合题意；
D、第二、四象限角平分线所在直线为，与的k相同b不同，∴两直线平行，结论正确，不符合题意．
71．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图直线分别交轴、轴于点，点为坐标原点，若以点，，为顶点的三角形与全等，（点不与点重合），则点的坐标为_____．
【答案】或或
【分析】先得出，，再根据以点，，为顶点的三角形与全等，（点不与点重合），分三种情况讨论即可．
【详解】解：直线分别交轴、轴于点，
当时，即，解得，；
当时，，
，，
，．
若以点，，为顶点的三角形与全等，（点不与点重合），则分情况如下：
①当，且点在点右侧时，如图所示：
则，
．
，
；
②当时，如图所示：
则，
，
；
③当，且点在点左侧时，如图所示：
则，
．
，
．
综上，点的坐标为或或．
72．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一个正比例函数图象与一个一次函数（为常数，）的图象交于点，一次函数图象与轴、轴分别交于、两点，且．
(1)求直线的解析式；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）先根据直线的解析式求出点A的坐标，再根据三角形面积公式求解．
【详解】（1）解：将，代入，得：
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：令，
解得，
，
，
，
．
易错题型二十五、一次函数函数平移问题
73．（2026·广东广州·二模）将一次函数的图象向上平移m个单位长度，若平移后的直线不经过第三象限，则m的值可以为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解析式，根据图象的不经过第三象限，得到，，进行求解即可．
【详解】解：将一次函数的图象向上平移m个单位长度，得到，
由题意知一次函数的图象不经过第三象限，
∴，
∴，
故m的值可以为4，选项D符合条件．
74．（25-26八年级下·上海·期中）直线向上平移个单位得到的图像解析式为___________．
【答案】
【分析】根据一次函数平移“上加下减”的规律解答即可．
【详解】解：将直线向上平移个单位，
根据平移规律可得新直线解析式为，
整理得．
75．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，已知直线，分别与轴，轴交于点．
(1)求点的坐标．
(2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作．
①求面积．
②根据图象，直接写出点坐标．
【答案】(1)、
(2)①；②
【分析】（1）分别将，代入中，分别求出，即可求得点的坐标．
（2）①根据平移的性质可得，结合，可得面积为．
②由题意可得，轴，，结合，即可求得点坐标．
【详解】（1）解：将代入中，可得，
将代入中，可得，
解得：，
∴点的坐标为、，
（2）解：①∵直线向右平移个单位得到直线，
∴
∵
∴
∴面积为．
②由题意可得，轴，，
∴，
∴点坐标为．
易错题型二十六、自变量取值范围
76．（2026·云南昆明·二模）函数的自变量x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵是分式，分式有意义的条件是分母不为0，
∴，
解得．
77．（25-26八年级下·山东滨州·期中）等腰三角形周长为30，底边y与腰x的函数关系式为______，自变量x的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据等腰三角形周长公式列等式推导函数关系式，再结合底边为正和三角形三边关系，确定自变量的取值范围．
【详解】解：由周长公式可得，
整理得．
底边长度大于，
，
解得．
又三角形两边之和大于第三边，
，
即，
将代入不等式得，
解得．
综上可得，．
78．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）用长为的铁丝围成一个等腰三角形，底边长为，一腰长为．
(1)写出表示y与x的函数关系的式子，指出自变量及其取值范围；
(2)当等腰三角形的底边长为时，求出该等腰三角形的面积．
【答案】(1)，自变量为，其取值范围是
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的周长腰长底边长，可得出y与x的函数关系式，根据，可求出自变量及其取值范围；
（2）把自变量的值代入函数关系式，求出，根据三线合一和勾股定理求出底边上的高，然后利用三角形面积公式可得答案．
【详解】（1）解：由已知，得，，．
∴，
，
∴，
∴
∴y关于x的函数表达式是，自变量x的取值范围是；
（2）解：当时，，
如图，，作于H，
∴，
∴，
∴等腰三角形的面积是．
易错题型二十七、求函数解析式
79．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，矩形，点在边上，设的底边长为，边上的高为，它的面积为，且，是关于的函数，则的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形面积公式列出与的函数关系式，利用进行代换，将表示为关于的函数关系式，利用配方即可求出最大值．
【详解】解：∵的底边长为，边上的高为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，有最大值．
80．（2026·江苏淮安·一模）、两地相距，一列火车以的速度从地出发驶向地，设后这列火车离地的距离为，则与之间的函数表达式为___
【答案】
【详解】解：∵、两地相距，一列火车以的速度从地出发驶向地，
∴后这列火车离地的距离为，
当时，，得：，
∴与之间的函数表达式为．
81．（25-26八年级下·全国·课后作业）今年，果农小林家的刺梨喜获丰收．在销售过程中，刺梨的销售额y（元）与销量x（千克）满足如下关系：
销量x/千克 1 2 3 4 5 6 7 8
销售额y/元 3 6 9 12 15 18 21 24
(1)上表这个关系中，自变量是_______；
(2)刺梨的销售额y与销量x之间的函数解析式为_______；
(3)当刺梨的销量为50千克时，销售额是_______元．
【答案】(1)销量x
(2)
(3)150
【分析】本题重点把握函数的表示的方法---解析法：
（1）（2）根据表格即可求解；（3）把代入函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：上表这个关系中，自变量是销量x；
（2）解：由表格可得；
（3）解：当刺梨的销量为50千克时，销售额是（元）．
易错题型二十八、函数与不等式、方程组结合
82．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，已知正比例函数和一次函数的图象相交于点，则根据图象可得不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由图可知，点的左侧，直线低于直线，
∴ 不等式的解集为．
83．（2026·宁夏吴忠·一模）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是______．
【答案】
【分析】 解决本题的关键是理解两函数图象的交点坐标就是对应方程组的解. 观察待求解的方程组，将其变形后可发现正是题目中两个一次函数的解析式，因此直接读取图象交点坐标即可得到方程组的解.
【详解】解：∵一次函数 与 的图象相交于点 .
∴方程组 的解为 .
即方程组 的解为.
84．（25-26八年级下·四川成都·期中）【尝试】探究函数的图象与性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整．
(1)列表；
0 1 2 3 4
2 0 b 0
根据表格中的信息可得______．
(2)请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象
【探索】
(3)写出函数的一条性质：当______时（填写的取值范围）
【解决问题】结合画出的函数图象，解决问题：
(4)关于的不等式的解集为______．
(5)关于的方程有两个正数解时，则满足条件的的取值范围是______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）直接代入求值即可；
（2）通过描点，连线，画图即可；
（3）根据函数图象即可求解；
（4）求出两个函数的交点坐标，结合函数图象即可得到答案；
（5）方程可化为，那么关于的方程有两个正数解，即为函数与函数有两个横坐标为正的交点，再根据函数图象求解即可．
【详解】（1）解：把代入得，，
；
（2）解：如图所示即为所求；

（3）解：根据函数图象可得，当时，；
（4）解：在中，当时，，
当时，，
联立，
解得；
联立，
解得；
∴由函数图象可得，不等式的解集为：；
（5）解：方程可化为
∴关于的方程有两个正数解，即为函数与函数有两个横坐标为正的交点，如图：
当直线经过点时，
解得；
当直线经过点时，，
解得
∴关于的方程有两个正数解时，．
易错题型二十九、一次函数中最值问题
85．（25-26八年级上·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，当（m为常数）时，函数有最大值，则满足条件的m的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．3
【答案】D
【分析】此题考查一次函数的图象与性质，解一元一次方程，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质．
先根据一次函数的增减性确定最大值的取值点，再列方程求解m的值．
【详解】解：∵函数中，
∴随的增大而增大，
∵当时，函数的最大值为，
∴当时，函数取得最大值，
∴，
解得，
故选：D．
86．（25-26九年级上·山东菏泽·月考）李华在数学学习中遇到了如下问题：求函数的最小值．李华的思路如下：将函数改写为，根据两点间距离公式，可将问题转化为在轴上找一点使得到点、距离之和最小．显然在线段上时，最小，此时，即为函数的最小值．根据李华的思路，求解以下问题：
函数的最大值为______；
函数的最小值为______．
【答案】
【分析】（1）结合材料，将整理为，那么表示点到点的距离与到点的距离之差，作直线交轴于点，那么当位于点时，取最大值，然后利用勾股定理求解即可；
（2）将式子整理为，设点，，为的中点，设点，连接，过点作轴于点那么，移动点，让直线与轴正半轴的夹角为，即，延长，并取，
此时，，取得最小值，最小值为，然后利用勾股定理，分别求得，最后利用求得．
【详解】解：整理，
可得：，
表示点到点的距离与到点的距离之差，
设，作直线交轴于点，设，
，
，
那么当位于点时，，取得最大值，最大值为，
的最大值是，
故答案为：；
解：整理，
可得：，
表示点到点的距离的一半与点到点的距离之和的最小值，
设点，，为的中点，设点，连接，过点作轴于点，那么，
为的中点，
，
移动点，使直线与轴正半轴的夹角为，即，过点作交的延长线于点，
，
，
，
此时，，取得最小值，最小值为，
，，
，
，
，
，
不妨设，
，
，
（舍去负值）
，，
，
，
，
,
．
函数的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了两点之间的距离公式，两点之间线段最短，勾股定理，三角形内角和定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点并数形结合是解题的关键．
87．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)当时，求函数的最大值与最小值的差；
(3)当时，函数的最大值与最小值的差是否会随着的变化而变化？若不变，则求出这个定值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)函数的最大值与最小值的差为
(3)不变，定值为
【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，关键是灵活应用知识点解题；
（1）将点坐标代入解析式即可求出结果；
（2）根据一次函数的增减性可得当时函数值最大，当时函数值最小，两者求差即可；
（3）根据一次函数的增减性可得当时函数值最大，当时函数值最小，两者求差即可；
【详解】（1）解：∵一次函数经过点，
，解得．
（2）解：∵，所以随的增大而减小，
∴当时，的最大值为10；当时，的最小值为2，
∴函数的最大值与最小值的差为．
（3）解：定值为，理由如下：
∵，所以随的增大而减小，
∴当时，的最大值为，
当时，的最小值为，
∴最大值与最小值的差为：．
易错题型三十、平均数、中位数计算
88．（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知一组数据：3，4，5，x，7，若这组数据的平均数是5，则x的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【详解】解：由题意可得：
解得.
89．（2026·河南平顶山·二模）郑州市某一周中每天最低气温情况如图所示，表示这周每天最低气温的七个数据的众数是________．
【答案】15
【分析】根据众数定义：一组数据中出现次数最多的数据，观察图中的数据，确定答案．
【详解】解：由图可知，表示这周每天最低气温的七个数据中，13，14，16，17，18各出现了一次，15出现了两次，显然15出现的次数最多，所以表示这周每天最低气温的七个数据的众数是15．
90．（2026·湖南岳阳·二模）每年4月23日是世界读书日．为传承先贤文脉，厚植校园读书氛围，引导全体师生“爱读书、读好书、善读书”，某校开展了“书香阅读周”的活动，王老师针对学生的阅读打卡积分进行了调查，他分别从A班和B班各随机抽取10名学生，收集了他们的打卡积分数据：
A班：10名学生的积分通过条形统计图展示（见下图）
B班：10名学生的积分直接以数据形式给出（单位：分）：7，8，8，8，8，9，9，9，10，10
王老师对所抽取学生成绩进行了整理与分析，并汇总得到了如下表所示的相关数据：
A班 B班
平均数 8.2
中位数 8 8.5
众数 8
方差 1.56 0.84
根据以上信息，解答下列问题．
(1)补全条形统计图，并直接写出表中，的值：________，________；
(2)若9分及9分以上为班级“阅读小达人”，若B班共50人，请估计B班的“阅读小达人”有多少人？
(3)为了让更多同学坚持阅读、爱上阅读，学校将给阅读氛围更好的班级颁发奖状，请根据统计结果，说明A班与B班哪个班级阅读氛围更好．（写出一条理由即可）
【答案】(1)图见解析，，
(2)25名
(3)B班阅读氛围更好．理由：B班的平均分高于A班（答案不唯一，合理即可）．
【分析】（1）先求出成绩为10分的人数，再补画出条形统计图即可；
（2）用样本估算总体方法求解即可；
（3）比较两班平均分或中位数大小即可得出结论．
【详解】（1）解：成绩为10分的人数，
补全条形统计图如图所示：
由图可知，得8分的学生最多，故众数为8分，即，
．
（2）解：（名）．
（3）解：B班阅读氛围更好．
理由：B班的平均分高于A班（答案不唯一，合理即可）．
易错题型三十一、方差、标准差计算
91．（2026·江苏常州·一模）小明这学期数学的五次测验成绩分别是：，，，，．这五次测验成绩的方差是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查方差的计算，按照方差计算步骤，先求出五次成绩的平均数，再代入方差公式计算即可得到结果．
【详解】解：∵
∴方差
92．（25-26八年级下·浙江金华·期中）数据组，的组内离差平方和为_______．
【答案】7
【分析】先分别计算两组数据的平均数，再分别计算每组的离差平方和，最后求和得到总的组内离差平方和．
【详解】解：对于第一组数据，其平均数为 ，
第一组离差平方和为 ；
对于第二组数据，其平均数为 ，
第二组离差平方和为 ；
总的组内离差平方和为．
93．（2026·山西临汾·三模）为研究我省某地小米亩产量与海拔高度的关系，某农业研究小组在该地区对除海拔高度外其他条件相同的小米亩产量进行抽样统计，各随机抽取5块试验田，统计亩产量（单位：）并绘制成如下统计图．
该农业研究小组整理了部分统计量如下表：
试验田 平均数 中位数 方差
较高海拔试验田 a
中等海拔试验田 b
请解答下列问题：
(1)______，______；
(2)请你结合表中的统计量分析这两个海拔高度对小米亩产量的影响．
(3)该农业研究小组将亩产量不低于的试验田定为达标田，若该地区规划在中等海拔高度种植小米共亩，估计达标田的面积．
【答案】(1)，
(2)答案见解析
(3)达标田的面积为亩
【分析】（1）由统计图中数据可得，较高海拔试验田方差为，中等海拔试验田中位数为；
（2）比较哪个海拔高度平均产量更高，产量稳定性更强，哪个海拔就更适合种植小米；
（3）随机抽取5块试验田中达标田数量共有4块，所以估计亩中的达标面积有亩．
【详解】（1）解：由统计图中数据可得，
，
中等海拔5块试验田亩产量（单位：）从低到高排列为：，，，，，
；
（2）解：中等海拔高度比高海拔更适合种植小米，不仅平均产量更高，而且产量稳定性远优于较高海拔；较高海拔产量波动大，整体水平偏低；
（3）解：由题意可知，达标田数量共有4块，所以估计亩中的达标面积有（亩），
答：达标田的面积为亩．
易错题型三十二、利用统计量求未知参数
94．（25-26八年级下·全国·课后作业）学校准备设计一款女生校服，对全校女生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计如下表所示：
颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色
学生人数 100 180 220 80 750
学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数
【答案】C
【分析】根据各统计量的实际意义即可判断．
【详解】解：∵喜欢红色的女生人数最多，是这组数据的众数，符合众数的统计意义，
∴可以用众数解释学校选用红色的现象．
95．（24-25八年级下·北京东城·期末）为了铸牢学生的安全意识，学校举行了“防溺水”安全知识竞赛，记分员小红将7位评委给某位选手的评分进行整理，并制作成如下表格，若去掉一个最高分和一个最低分后，表中数据一定不发生变化的统计量是__________．
平均数 中位数 众数 方差
8.9 9.1 9.1 0.11
【答案】中位数
【分析】此题主要考查了统计量的选择，关键是掌握中位数定义．根据中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数可得答案．
【详解】解：如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数，
故答案为：中位数．
96．（2026·江西·模拟预测）依据现代睡眠医学，人的睡眠状态可分为清醒期、浅睡眠期、深睡眠期和快速眼动睡眠期（），四者共同决定睡眠质量，各阶段的占比（浅睡眠占，深睡眠占，占，清醒期不计入睡眠时间，占比越低越好）直接影响青少年生长发育、学习效率等关键需求的达成．浅睡眠是连接清醒与深睡眠的“桥梁”，无实质修复功能，占比过高将导致睡眠“不实”．深睡眠是身体修复的“黄金期”——分泌生长激素，增强免疫力，缓解躯体疲劳．REM是大脑修复的“关键期”——巩固陈述性记忆，调节情绪，促进大脑发育．

(1)图1是某同学晚上通过智能手表监测的睡眠数据，请判断该同学这次睡眠各阶段的占比情况：浅睡眠________，深睡眠________， ________．（均填“不足”“合适”或“过高”）
(2)图2梳理了该同学最近一周深睡眠与的相关数据，请结合数据回答下列问题：
①计算深睡眠的周平均睡眠时间占比，并结合相关统计数据分析该同学这两项核心阶段的睡眠情况；
②结合自身情况提出1—2条优化青少年睡眠的建议．
【答案】(1)过高，合适，不足
(2)①周平均睡眠时间占比约为，未达到最低标准，仅星期一和星期五达标，表现为深睡眠不足，不利于身体修复；②见解析
【分析】（1）分别计算各项占比，再进行判断即可；
（2）①先计算深睡眠的周平均睡眠时间占比，再分析这两项核心阶段的睡眠情况；②结合影响睡眠的因素提出合理建议即可．
【详解】（1）解：总睡眠时间：分；
浅睡眠占比：，高于的标准；过高
深睡眠占比：，在的标准内；合适
占比：，低于的标准，不足
（2）解：①，
深睡眠的周平均睡眠时间占比约为，未达到最低标准，仅星期二和星期六达标，表现为深睡眠不足，不利于身体修复；
从折线图可以看出占比比较稳定，方差较小，有6天稳定在和之间，并且均超过，所以睡眠质量较好．
②答案不唯一，青少年属于身体成长的关键期，应优先提升深睡眠占比；
固定入睡时间与起床时间：保证前入睡，床；睡前强化放松，适当听听有助于睡眠的轻音乐，避免睡前大量刷题、玩游戏等活动；白天增加运动，加强体育锻炼．
压轴题型一、二次根式与几何结合
1．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，现有两张同样大小的长方形纸片，小星采用如图1所示的方式，在其中一张长方形纸片上裁出两张面积分别为和的正方形纸片 A，B．
(1)求原长方形纸片的周长．
(2)写出图1中阴影部分图形(长方形)的长和宽，并求出它的面积．
(3)小红能采用如图2所示的方式，在另一张长方形纸片上裁出两张面积均为的正方形纸片吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)阴影部分的长为，宽为，面积为6
(3)不能在长方形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片．理由见解析
【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方，结合正方形的面积即可计算正方形纸片A的边长，正方形纸片B的边长，再得出原长方形纸片的长，宽，即可作答；
（2）先找出图①中阴影部分的长和宽，再结合面积公式列式计算，即可作答．
（3）先计算，则，据此即可作答．
【详解】（1）解：依题意，裁出的正方形纸片A的边长为；
裁出的正方形纸片B的边长为，
则原长方形纸片的长为，宽为，
∴周长为.
（2）解：阴影部分的长正方形纸片A的边长，
即阴影部分的长为，
宽为
∴阴影部分的宽为，
∴阴影部分的面积．
（3）解：不能裁出，理由如下：
∵面积为的正方形纸片的边长为，
则，
∴不能在长方形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片．
2．（25-26八年级下·北京·期中）【阅读理解】二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简．
解：将分子、分母同乘以得：
．
(1)化简： ；
(2)【拓展延伸】宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形（）的宽．求黄金矩形中边的长；
(3)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)
(3)矩形是黄金矩形．证明见解析
【分析】（1）模仿阅读材料中的方法，利用平方差公式，将分子和分母同时乘以分母的有理化因式，从而消去分母中的根号，达到化简的目的；
（2）根据黄金矩形的定义建立方程关于的方程，即可求解；
（3）先根据图形关系计算出新矩形的长和宽，然后计算新矩形的宽与长的比值；最后将该比值与黄金比 进行比较，若相等则为黄金矩形，反之则不是．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵ 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形的宽，
∴，
∴=．
（3）解：矩形是黄金矩形．理由如下：
∵ 黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，
∴，，
∴=，
故矩形是黄金矩形．
3．（25-26八年级下·山东日照·期中）【阅读理解】由，得；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．例如：已知，求式子的最小值．
解：令，，则，得，当且仅当时，即时式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
【问题解决】
(1)已知，当 时，代数式的最小值为 ；
【灵活运用】
(2)当时，求的最小值；
【学以致用】
(3)如图，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？
【答案】(1)3；6
(2)5
(3)为10米，为5米时，所用篱笆最短，最短的篱笆为20米
【分析】（1）当时，按照公式（当且仅当时取到等号）来计算即可；
（2）当时，则，则也可以按公式（当且仅当时取到等号）来计算；
（3）设，，则，再照公式（当且仅当时取到等号）来计算求出的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
当取最小值6时，，
解得：或（舍去），
即当时，代数式的最小值为6．
（2）解：∵，
∴，
，
∴当时，式子的最小值为5．
（3）解：设，，
则，欲使最小，
∵，
∴，
当且仅当时取得等号，
由，
解得或（舍去）
即为10米，为5米时，所用篱笆最短，最短的篱笆为20米．
4．（25-26八年级下·广东广州·期中）根据以下素材，探索完成任务．
设计合适的盒子
素材1 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，小许制作了两面圆形团扇作为春节礼物，其规格为：扇面圆的面积为，手柄长为．
素材2 小许计划利用长和宽分别为 和的长方形硬纸片裁剪成两个无盖的长方体纸盒用来装团扇，设计了一种裁剪方案： 如图，先将纸片的中间剪掉一块边长为 的正方形①，再在四个直角处剪掉四个小正方形，接着剪成两部分，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小且底面为长方形的无盖长方体纸盒．（参考数据：）
任务：
(1)根据素材，该圆形团扇的半径为______；
(2)根据素材，如果不考虑团扇和盒子的厚度，这个长方体盒子能装得下这把团扇吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)能装得下这面团扇，理由见解析
【分析】（）设该圆形团扇的半径为，根据圆的面积公式列出方程，再利用算术平方根的定义解答即可求解；
（）分别求出长方体盒子的长宽、团扇的长宽，再比较即可判断求解．
【详解】（1）解：设该圆形团扇的半径为，
由题意得，，
∴，
解得，
∴该圆形团扇的半径为；
（2）解：这个长方体盒子能装得下这把团扇，理由如下：
由题意得，长方体纸盒的宽度为，四个角小正方形边长为，
∴长方体纸盒的长为 ，
∵该圆形团扇的半径为，手柄长为，
∴团扇的长度为 ，直径为，
∵，，
∴这个长方体盒子能装得下这把团扇．
5．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）【阅读理解】通过二次根式和乘法公式可以发现：对于任意正实数，，
∵
∴
∴（当且仅当时，）
【获得结论】在（，均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值．
如：若，则
∴，当且仅当，即时，有最小值2．
【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：
(1)若，则的最小值是_____；
(2)已知，是一个大于0的常数，若的最小值为1，求的值；
(3)如图，四边形的对角线，相交于点，若，，，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查二次根式和完全平方公式：
（1）根据，即可求得答案；
（2）根据，，即可求得答案；
（3）设，则，，，则．
【详解】（1）解：根据题意，得
，当且仅当，即时，有最小值．
故答案为：
（2），，即的最小值为．
根据题意，得．
∴
将代入，得
原式
．
（3）设，则，，．
．
因为，当且仅当，即时，有最小值，
所以当时，取得最大值，最大值．
压轴题型二、二次根式与几何结合
6．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）（1）填空：，______，______．
（2）观察上述计算，根据式子的规律写出后面连续的两个等式；
（3）用含n的等式表示你所发现的规律，并证明你发现的规律是否正确．
【答案】（1）；；（2）；；（3）规律：（n为正整数）；证明见解析
【分析】（1）根据二次根式的性质即可解答；
（2）根据二次根式的性质可知后续两个式子为；；
（3）根据二次根式的性质化简即可解答．
【详解】解：（1），，
故答案为；；
（2）∵ ，
∴后续两个式子为；；
（3）解：规律（n为正整数），理由如下：
∵左边,
∴，
∴左边右边，
∴（n为正整数）．
【点睛】本题考查了根据二次根式的性质探索规律，掌握二次根式的性质是解题的关键．
7．（24-25八年级下·广东惠州·期中）观察等式：，，，…．
(1)请用含n(，且n为整数)的式子表示出上述等式的规律________；
(2)按上述规律，若，则a＋b＝________；
(3)仿照上面内容，当时，计算出结果，验证你在（1）中得到的规律．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）仿照已知等式得到一般性规律，进而可求出关于n的等式；
（2）运用（1）的规律可得，进而求出a、b的值，求解即可；
（3）令（1）中的式子中，运用二次根数的加减法法则进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，…．
∴，
故答案为：；
（2）根据题意得，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）当时，．
【点睛】此题考查了二次根式的加减运算，数字类规律题的理解与运用，正确理解题意掌握二次根式的加减法计算法则是解题的关键．
8．（25-26八年级下·河北保定·期中）根据学习“数与式”积累的经验，探究下面二次根式的运算规律．
①；
②；
③______；
④______；
…
(1)【探究】将题目中的横线处补充完整；
(2)【应用】计算：；
(3)小明写一个等式（a，b均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______．
【答案】(1)，
(2)
(3)22
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可．
（2）分析所给的等式可知第n个等式为：，利用规律进行求解即可；
（3）利用（2）中的规律进行求解即可．
【详解】（1）解：；
；
（2）解：由题意可得第n个等式为：，
∴．
（3）解：∵（，均为正整数）符合上述规律，
∴，，
解得：，，
∴．
9．（24-25八年级下·广东江门·期中）下面是晓明的探究过程，请你补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：，
特例5：　　（填写一个符合上述运算特征的例子）．
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　　．
(3)应用运算规律，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据所给的式子的特点进行求解即可；
（2）分析所给的式子的形式，不难得出其规律；
（3）利用（2）中的规律进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：特例5为：，
故答案为：；
（2）解：，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，数字的变化规律，解题的关键是由所给的式子总结出存在的规律．
10．（24-25八年级上·北京昌平·期中）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：，
特例5：____________（填写运算结果）；
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：____________；
(3)证明你的猜想．
(4)应用运算规律：
①化简：____________；
②若（a，b均为正整数），则的值为____________．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)①；②
【分析】（1）根据题目中的例子可以写出例5；
（2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想；
（3）根据（2）中的猜想，对等号左边的式子化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题；
（4）①②根据（2）中的规律即可求解．
【详解】（1）解：，
故答案是：；
（2），
故答案是：；
（3）证明：
左边，
又右边，
左边右边，
成立；
（4）①，
故答案是：；
②，
根据，
得，
解得：，（舍去），
，
故答案是：．
【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．
压轴题型三、勾股定理中折叠问题
11．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）在Rt中，，点为上一点．
(1)如图①，将折叠，使点与点重合，折痕为，若，则的长为______；
(2)如图②，Rt中，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，求线段的长；
(3)如图③，若，点为边上一点，连接，且，将沿折叠，当点恰好落在边上时，求线段的长；
(4)如图④，若，点为的中点，连接，将沿折叠，点的对应点恰好落在边的中线上时，则______是三角形，请说明理由．
【答案】(1)
(2)8
(3)
(4)等边三角形
【分析】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由折叠的性质可得，由勾股定理即可求解；
（2）由折叠的性质可得，由勾股定理即可求解；
（3）由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，由勾股定理即可求解；
（4）由直角三角形的性质可得，可求，由折叠的性质可证是等边三角形，即可求解．
【详解】（1）在Rt中，，
设，则，
，
，
解得：，
；
（2）将折叠，使点与的中点重合，
，
设，则，
在Rt中，
，
，
解得：，
；
（3）在Rt中，
，
，
，
，
．
（4）是等边三角形，
在Rt中，为斜边的中线，
，
∴是等边三角形，
有折叠可知，
是等边三角形，
，
∴点是的中点，
连接，
则（等边三角形三线合一），
，
点与点关于直线对称，
，
又，
是等边三角形．
12．（25-26八年级下·山西阳泉·月考）综合与探究
问题情境：如图1，在纸片中，，点D是边上的一个动点，连接AD，将沿AD折叠，得到，点C的对应点为．
操作计算：
(1)如图2，当点落在的延长线上时，，．
①求线段的长．
②求线段与的长．
(2)连接，，若，，当是以为一条直角边的直角三角形时，请直接写出的值．
【答案】(1)①；②，
(2)或
【分析】（1）①利用折叠的性质和勾股定理求解即可． ②先求出，由折叠的性质得出，设，，然后根据勾股定理建立方程求解即可进一步得出答案．
（2）分两种情况，当和当，画出图形求解即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
由折叠的性质可知：，
在中，，
∴．
②∵，．
∴，
由折叠的性质可知，
设，，
在中，，
即，
解得，
故，．
（2）解：分两种情况：
当时，如下图：
在中，，
由折叠的性质可知，
设，
在中，．
当时，如下图：
则，
由折叠的性质可知， ，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，则，
∴，
∴．
综上：的值为或．
13．（25-26八年级上·山东青岛·期末）折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．一张小小的纸片，通过动手折叠，能够创造出非常奇妙的图形，产生出许多有趣的数学问题．在学习了勾股定理和无理数之后，我们可以用折纸的方式，折出长度为，，等线段．利用一张边长为的正方形纸片，小明进行了如下探究．
探索（1）：如图1，将纸片沿着对角线对折，使得点落到点处；再对折一次，使得点落到点处，将纸片展开，两条折痕交于点，则_____；
探索（2）：如图2，将纸片沿过对边中点的直线对折后展开，折痕为；再将纸片折叠，使得点落在上的点处，折痕为，求线段和折痕的长度；
探索（3）：你能折出长度为的线段吗？
请你在图3中画出折叠后的示意图（用虚线表示折痕），并说明如何得到该线段；
探索（4）：在探索（2）的基础上，你能折出长度为的线段吗？
请你在图4中画出折叠后的示意图（用虚线表示折痕），并写出哪条线段即为所求．
【答案】（1）；（2）；（3）图见解析，说明见解析；（4）见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，熟知折叠的性质和勾股定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理求出的长，再由折叠的性质即可求出的长；
（2）由折叠的性质可得， ，
，，利用勾股定理可得，可证明得到；设，则，由勾股定理得，解方程得到，再利用勾股定理求出的长即可；
（3）将纸片沿过对边中点的直线对折后展开，折痕为，连接，由勾股定理可得 ，则线段即为所求；
（4）将纸片沿过对边中点的直线对折，折痕为，再把纸片继续对折，折痕为，使得点H落在点T处，连接，由折叠的性质可得，由勾股定理得则线段即为所求．
【详解】解：（1）在中，，
∴，
由折叠的性质可得；
（2）由折叠的性质可得， ，
，，
∵，
∴，，
∴；
同理可得，
∵，
∴，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴；
（3）如图3所示，将纸片沿过对边中点的直线对折后展开，折痕为，连接，则线段即为所求；
（4）如图4所示，折叠将纸片沿过对边中点的直线对折，折痕为，再把纸片继续对折，折痕为，使得点H落在点T处，连接，则线段即为所求．
14．（24-25八年级下·河北唐山·期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质来解决相关的问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动，
[操作]如图，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．

[猜想]．
[验证]请将下列证明过程补充完整：
证明：∵矩

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