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模拟冲刺试题 2026年初中数学中考复习备考
一、单选题
1．若的相反数是2026，则的值是（ ）
A．2026 B． C． D．
2．2026年春节假期，合肥市包河区因春晚分会场效应，文旅市场火爆．截至2月22日，8天接待游客262．14万人次，实现收入亿元，创历史新高．其中亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．“牟合方盖”是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体，两圆柱公共部分形成的几何体．如图的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
6．如图，在中，已知，，边的垂直平分线交于点，交于点，且，则的长是（ ）．
A． B． C． D．
7．已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（ ）
A．B． C． D．
8．如图，在中，为边上一点，，延长交的平行线于点，连接，以，为邻边作平行四边形，交边于点，连接，当的面积为12时，的面积为（ ）
A．24 B．30 C．36 D．48
9．已知二次函数的图象不经过第一、二象限，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．在某公园里，有一个边长为的等边三角形地块，园艺师要在边的中线上设置一个浇水装置，同时在边上有一棵金钱松，已知．现在需要用水管连接和，再连接和来灌溉金钱松．为了更好地规划后续树木种植，要使得水管长度最短，此时（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．列代数式表示“a的相反数与b的和”是___________________．
12．已知反比例函数 y=的图像都过A（1，3）则m=______.
13．一个盒子中装有除颜色外其他都相同的个蓝色小球和若干个红色小球．小明通过多次摸取小球的试验发现，摸取到红色小球的频率稳定在左右，则盒子中约有_______个红色小球．
14．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留）．
15．如图，在直角三角形中，，于点D，点E为边中点，若，则________．
16．如图，在矩形中，的平分线交于点于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：
；
；
；
．

其中正确的有 ___________ 填序号
三、解答题
17．计算：
18．先化简，再求代数式的值，其中．
19．我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里．
20．如图，菱形中，，连接，点是线段上一点（不与点重合），与对角线交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
21．百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：
：，：，：，：，
下面给出了部分信息：
甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中_______， _______， _______．
(2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数．
(3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率．
22．我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即．
（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点O到岸边的距离；
（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．（参考数据：，，，，，）
23．“五一”黄金周期间，丹尼斯百货计划购进A、B两种商品．已知购进3件A商品和2件B商品，需1200元；购进2件A商品和3件B商品，需1300元．
(1)A、B两种商品的进货单价分别是多少？
(2)设A商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当时，A商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：
销售单价x（元/件） 220 380
日销售量y（件） 180 20
请写出当时，y与x之间的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，设A商品的日销售利润为w元，当A商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，经过点、点的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点，是以为斜边的直角三角形．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图1，当点在轴的正半轴时，求的面积；
(3)如图2，若平分，求点的坐标．
25．如图，在中，以为直径的交于点连接且连接并延长交的延长线于点与相切于点．
（1）求证：是的切线：
（2）连接交于点，求证：；
（3）若，求的值．
26．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，点P是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点A，C重合）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，过点P作于点Q，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
(3)过点P作x轴的平行线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点N恰好落在y轴上时，请求出此时点M的坐标．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A D D B A C A B
1．B
【分析】本题考查相反数的定义，利用互为相反数的数的特征求解即可．
【详解】解：的相反数是2026，
，
故选：B．
2．C
【分析】先把亿写成，然后表示形式为，其中，为整数．
【详解】解：亿，将原数表示为科学记数法时，需满足，将1310000000的小数点向左移动9位，可得，所以亿用科学记数法表示为．
3．A
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左边看到的图形即可得到答案．
【详解】解：从左边看，看到的图形分为上下两个部分，上部分是一个长方形，下部分是一个正方形，中间有一个直径等于正方形边长的圆，即看到的图形如下：
，
故选：A．
4．D
【分析】根据幂的乘方、同底数幂乘法、二次根式的性质、完全平方公式逐项判断即可．
【详解】解：A．，故选项A错误；
B．，故选项B错误；
C．，当时，，仅当时，等式不恒成立，故选项 C错误；
D．，故选项D正确．
5．D
【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式的值为，据此列方程求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，解得：．
6．B
【分析】如图：连接，利用线段垂直平分线的性质得，利用等腰三角形的性质得，再利用外角的性质得，最后在中利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，即可求得的长．
【详解】解：如图：连接，
∵是边的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，即．
7．A
【分析】先通过判断一次项系数的符号得到y随x的变化规律，再比较三个点横坐标的大小，即可推导出y值的大小关系．
【详解】解：∵直线解析式为，一次项系数，
∴y随x的增大而增大，
又∵三个点的横坐标满足，
∴．
8．C
【分析】利用同底等高三角形面积相等，将的面积转化为的面积，再利用相似三角形性质和线段比例关系求出的面积．
【详解】解：连接，
根据题意得：，
点、点到直线的距离相等，
，
，
四边形是平行四边形，
∴，
点、点到直线的距离相等，
，
∵，
，
，
，
，即，
与等高（顶点均为），
，
，
，即，
与等高（顶点均为），
．
9．A
【分析】根据二次函数开口方向和图象不经过第一、二象限，推出抛物线恒满足，对应判别式，再结合给定区间的增减性得到对称轴的范围，最后取交集得到的取值范围
【详解】解：∵ 二次函数中，，
∴抛物线开口向下，
∴图象不经过第一、二象限，
∴抛物线恒有，即方程的判别式，
∵
∴，
令，解得
∵ 二次函数对称轴为直线，开口向下时，对称轴右侧随增大而减小，
又∵时，随的增大而减小，
∴ ，
综上可得：
10．B
【分析】利用轴对称性质将转化为，根据两点之间线段最短确定F点位置，结合等边三角形性质求即可．
【详解】解：∵是等边三角形，是边上的中线，
∴ 垂直平分，，
∴点C关于直线的对称点是点B，
∴，
∴，要使最短，即最短，
如图：连接交与点，连接，
当B，，E三点共线时，的最小值，
∵，
∴E为的中点，
∴是的中线， ，即
∵是的中线，
∴是与的交点，
∴也是的角平分线，
∴平分，
∴，
∴当最短，此时．
11．/
【分析】本题主要考查了列代数式，理解代数式的语言描述是解题的关键．
根据题意直接列代数式即可．
【详解】解：列代数式表示“a的相反数与b的和”是．
故答案为：．
12．3．
【分析】把点A（1，3）代入函解析式即可求出m的值．
【详解】解：把点A（1，3）代入函解析式得3=，解得m=3．
故答案为3．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
13．20
【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
根据题意，得到摸取到红色小球的概率为，设盒子里有个红色小球，根据概率公式列出方程进行求解即可．
【详解】解：∵摸取到红色小球的频率稳定在左右，
∴摸取到红色小球的概率为，
设盒子里有个红色小球，
由题意，得：，
解得：，
故盒子中约有个红色小球，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了求扇形面积，利用扇形面积公式，根据即可求解．
【详解】解：
，
故答案为：．
15．38
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等边对等角、直角三角形两锐角互余等知识点，熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
根据三角形内角和定理求出，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求出，再根据等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，点E为边中点，
∴，
∴．
故答案为：38．
16．
【分析】根据角平分线的定义可得，然后求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到；
然后利用角角边证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形两底角相等求出，根据平角等于求出，从而判断出正确；
求出，然后根据等角对等边可得，判断出正确；
连接，利用全等三角形的性质证明，再证明，可得结论．
【详解】解：四边形是矩形，
，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，故正确，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
连接．
，
，
，
，
，
，
，
，故正确．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质；熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键．
17．
【详解】解：原式
．
18．，
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再由特殊角的三角函数值计算出a的值，把a的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式
∵，
∴原式．
19．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里
【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出分式方程是解题的关键，注意要检验；设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里；根据等量关系：快速换轨车更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时，列出分式方程，求解并检验即可．
【详解】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里．
根据题意得：．
解得：．
经检验，是原方程的根，且符合题意．
答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由菱形性质，可证即可；
（2）连接交于点由是菱形的对角线， 可得，，由直角三角形性质可求，由勾股定理，可求，， 由，可证可求即可．
【详解】（1）证明：在菱形中，，，
又，
，
；
（2）解：连接交于点，
是菱形的对角线，，
，，
在中，
，，
，
，
∴，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查菱形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
21．(1)，，
(2)估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人
(3)图见解析，
【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键．
（1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，即可得出的值；
（2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案；
（3）用树状图法求解即可．
【详解】（1）解：甲款评分数据中“满意”的数据中出现的次数最多，
众数．
乙款评分数据中、两组共有个数据，
乙款评分数据的中位数为第个和第个数据的平均数，而这两个数据分别为、，中位数．
乙款评分数据在组人数所占百分比为，
即．
故答案为：，，．
（2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比，
对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为：
（人）．
答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人．
（3）解：画树状图为：
由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为．
22．（1）8.1m；（2）4.58m
【分析】（1）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE,AE;再用求出BF，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC，用;
（2）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据53°和AB的长求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH．
【详解】
（1）过点作，垂足为，延长交于点，
则，垂足为．
由，∴，
∴，即，
∴，
由，∴，
∴，即，
∴．
又，∴，
∴，即，
∴，
即到岸边的距离为．
（2）过点作，垂足为，延长交于点，
则，垂足为．
由，∴，∴，
即，∴．
由，∴，∴，
即，∴．
∴，
∴，
即点到岸边的距离为．
【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解题关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度．
23．(1)A、B两种商品的进货单价分别是200元/件、300元/件
(2)
(3)A商品的销售单价定为300元/件时，日销售利润最大，最大利润是10000元
【分析】（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，然后列出二元一次方程组并求解即可；
（2）设y与x之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可；
（3）先列出利润和销售量的函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设A、B两种商品的进货单价分别是a、b元/件，
由题意得：，
解得：，
∴A、B两种商品的进货单价分别是200元/件、300元/件；
（2）解：设y与x之间的函数关系式为，
将代入得：
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
（3）解：由题意得：
，
∴当时，w取得最大值10000，
∴当A商品的销售单价定为300元/件时，日销售利润最大，最大利润是10000元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、运用待定系数法则求函数解析式以及二次函数的性质求最值等知识点，弄懂题意、列出方程组或函数解析式是解答本题的关键．
24．(1)
(2)
(3)点的坐标为
【分析】（1）将代入一次函数求出，再代入反比例函数求出，得到解析式；
（2）利用中心对称、直角三角形斜边中线定理求出再求出，然后用底高法求面积；
（3）先构造全等三角形，再根据等腰三角形的性质，用坐标法列方程求，再由中点坐标公式求出点．
【详解】（1）解：∵一次函数经过点，
∴，
∴点，
∵反比例函数经过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：作轴于点，轴于点，
∴，，
∵直线与双曲线关于原点中心对称，
∴点，点关于原点中心对称，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为且，
∴在中，，
∴，
∴，
∵，是斜边上的中线，
∴，
一次函数，当时，，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：延长交的延长线于点，
∵平分，
∴，
∵为直角三角形，且斜边，点在第二象限，
∴．
在和中，，
∴，
∴，，
即点是的中点，
∵点在直线上，
∴设点，
∵点在第二象限，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
∴点，
∵点是的中点，
∴点的坐标为．
25．
（1）证明：为直径
又
为的切线
（2）证明：连
为圆的切线
又
弧弧
又
（3）
【分析】（1）证明即可得到结论；
（2）连接OB，由切线长定理可得PA=PB，根据SSS即可证明，进一步得到，，从而可证明；
（3）由可设，得到，根据得列式，最后进行求解即可．
【详解】略
略
在中，
设：，
故
且
即
．
【点睛】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、切线长定理、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
26．(1)
(2)当的值最大时，点P的坐标为，的最大值为
(3)
【分析】1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出直线的解析式为，作轴交直线于，交轴于点，求出，得到，由平行线的性质可得，解直角三角形可得，即当取得最大值时，也取得最大值，设，则，表示出，再由二次函数的性质求解即可；
（3）设交轴于点，由平行线的性质结合折叠的性质可得，即可得出和都是等腰直角三角形，设，则，，求出，得到，代入二次函数解析式计算即可得解．
【详解】（1）解：∵已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，作轴交直线于，交轴于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴当取得最大值时，也取得最大值，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，此时有最大值为，也取得最大值为，
当时，，即；
当的值最大时，点P的坐标为，的最大值为；
（3）解：如图，设交轴于点，
∵轴，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴和都是等腰直角三角形，
设，
∴，，
∴，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式，二次函数综合—线段问题，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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