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第3讲　自由落体运动和竖直上抛运动　多运动过程问题
学习目标　1.掌握自由落体运动和竖直上抛运动的特点。 2.理解竖直上抛运动的对称性和多解性。 3.灵活运用匀变速直线运动的规律处理多过程问题。
1.
2.
1.思考判断
(1)同一地点,轻重不同的物体的g值一样大。(√)
(2)物体做竖直上抛运动,速度为负值时,位移也一定为负值。(×)
(3)做竖直上抛运动的物体,在上升过程中,速度变化量方向是竖直向下的。(√)
2.人教版必修第一册第二章第4节[科学漫步]中,伽利略的斜面实验中如何测量时间的 如何由斜面上的运动规律推出自由落体的运动规律
答案　当时只能靠滴水计时,让铜球沿阻力很小的斜面滚下,“冲淡”了重力,使加速度变小,时间变长,更容易测量。合理外推将斜面的倾角增大到90°。
考点一　自由落体运动
例1 (2026·河北邢台高三期末)一矿井深为125 m,在井口每隔相同的时间由静止释放一小球(视为质点),当第11个小球刚从井口开始下落时,第1个小球恰好到达井底。不计空气阻力,重力加速度大小g=10 m/s2,则与第9个小球相距40 m的小球为(　　)
A.第7个小球 B.第6个小球
C.第5个小球 D.第4个小球
答案　C
解析　设每个球释放时间间隔为t,由自由落体运动规律有h=g(10t)2,解得t=0.5 s,设与第9个小球相距40 m的小球下落时间为t1,则g-g(2t)2=40 m,解得t1=3 s,则与第9个小球相距40 m的小球为n=-1=5,故C正确。
例2 (2026·福建龙岩市高三月考)某校物理兴趣小组,为了了解高空坠物的危害,将一个鸡蛋从离地面20 m高的高楼面由静止释放,下落途中用Δt=0.2 s的时间通过一个窗口,窗口的高度为2 m,忽略空气阻力的作用,重力加速度g取10 m/s2,求:
(1)鸡蛋落地时的速度大小和落地前最后1 s内的位移大小;
(2)高楼面离窗的上边框的高度;
(3)若隔0.5 s先后释放两个鸡蛋,试分析在鸡蛋落地前两鸡蛋之间的距离如何变化
答案　(1)20 m/s　15 m　(2)4.05 m　(3)两鸡蛋之间的距离均匀增大
解析　(1)根据速度与位移关系式v2=2gh,解得鸡蛋落地时速度大小为v=20 m/s
设鸡蛋自由下落时间为t,根据速度与时间关系式得
t==2 s
鸡蛋在第1 s内的位移为h1=g=5 m
则鸡蛋落地前最后1 s内的位移大小为
h2=h-h1=15 m。
(2)由题意知,窗口的高度为h3=2 m
设高楼面离窗的上边框的高度为h0,鸡蛋从高楼面运动到窗的上边框的时间为t0,则
h0=g,h0+h3=g(t0+Δt)2
联立解得h0=4.05 m。
(3)未落地前,设第二个鸡蛋运动了时间T,则第一个鸡蛋运动了T+Δt
第一个鸡蛋下落高度H1=g(T+Δt)2
第二个鸡蛋下落高度为H2=gT2
二者之间的距离ΔH=H1-H2=gΔt2+gΔt·T
ΔH与T为一次函数关系,故在鸡蛋落地前两鸡蛋之间的距离均匀增大。
1.初速度为0的匀变速直线运动规律对自由落体运动都适用。
(1)从开始下落,连续相等时间内下落的高度之比为1∶3∶5∶7∶…。
(2)由Δv=gΔt知,相等时间内,速度变化量相同。
(3)连续相等时间T内下落的高度之差Δh=gT2。
2.物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动,从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动,等效于竖直下抛运动,应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。
3.自由落体运动的两个物体相隔一定时间从同一高度先、后下落,两物体的加速度相同,故先下落物体相对后下落物体做匀速直线运动,两者的距离随时间均匀增大。
跟踪训练
1.(2026·贵州安顺高三期末)攀岩爱好者在野外攀岩,中途休息时,踩落一小石块,约4 s后听到石头直接落到崖底的声音,则小石块落地前最后一秒的平均速度最接近(　　)
A.10 m/s B.25 m/s
C.30 m/s D.35 m/s
答案　D
解析　由题可知,石块第1 s内下落的位移h1=g=5 m,根据匀变速直线运动的推论,可得第一秒和最后一秒的位移之比为h1∶h4=1∶(2×4-1),解得h4=35 m,小石块落地前最后一秒的平均速度==35 m/s,故D正确。
考点二　竖直上抛运动
竖直上抛运动的对称性和多解性
(1)对称性(如图)
(2)多解性:当物体经过抛出点上方某个位置时,可能处于上升阶段,也可能处于下降阶段,造成多解。
例3 (2026·天津南开高三阶段考)在某一高度以v0=20 m/s的初速度竖直上抛一个小球(不计空气阻力),当小球速度大小为10 m/s时,以下判断正确的是(g取10 m/s2)(　　)
A.小球在这段时间内的平均速度大小可能为15 m/s,方向竖直向上
B.小球在这段时间内的速度变化率是5 m/s2,方向竖直向下
C.小球的位移大小可能是15 m,方向竖直向上
D.小球在这段时间内的路程一定是25 m
答案　A
解析　选取竖直向上为正方向,小球初速度v0=20 m/s,当小球的末速度大小为10 m/s,方向竖直向下时,小球在这段时间的平均速度==5 m/s,方向竖直向上;当小球的末速度大小为10 m/s,方向竖直向上时,小球在这段时间的平均速度==15 m/s,方向竖直向上,故A正确;小球在这段时间内的速度变化率等于重力加速度g=10 m/s2,方向竖直向下,故B错误;小球的位移大小一定为h==15 m,方向竖直向上,故C错误;小球上升的最大高度为H==20 m,通过的路程为s=h=15 m,或s=2H-h=2×20 m-15 m=25 m,故D错误。
总结提升　竖直上抛运动的研究方法
分段法 上升阶段:a=g的匀减速直线运动 下降阶段:自由落体运动
全程法 初速度v0向上,加速度g向下的匀变速直线运动,v=v0-gt,h=v0t-gt2(以竖直向上为正方向) 若v>0,物体上升,若v<0,物体下落 若h>0,物体在抛出点上方,若h<0,物体在抛出点下方
跟踪训练
2.(2025·山西吕梁模拟)某物体在一竖直向上的恒定拉力作用下从地面由静止开始竖直向上运动,经过4 s到达距离水平地面40 m高度处,此时撤掉拉力。不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,下列说法正确的是(　　)
A.物体前4 s内的加速度大小为4 m/s2
B.物体在4 s末的速度大小为20 m/s
C.物体上升过程中距离地面的最大高度为40 m
D.物体从开始运动到落回地面的总时间为(4+2) s
答案　B
解析　物体做匀加速运动时,有h1=a,解得a=5 m/s2,A错误;4 s末的速度v1=at1=20 m/s,B正确;撤去拉力后,物体上升的高度h2=,代入数据解得h2=20 m,所以物体上升过程中离地面的最大高度h=h1+h2=40 m+20 m=60 m,C错误;从撤掉拉力到运动至最高点的过程中,由v1=gt2解得t2== s=2 s,从最高点落回地面的过程中,有h=g,代入数据解得t3=2 s,故物体从开始运动到落回地面的总时间t总=t1+t2+t3=(6+2) s,D错误。
考点三　多运动过程问题
1.一般的解题步骤
(1)准确选取研究对象,根据题意画出物体在各阶段运动的示意图,直观呈现物体运动的全过程。
(2)明确物体在各阶段的运动性质,找出题目给定的已知量、待求未知量,设出中间量。
(3)合理选择运动学公式,列出物体在各阶段的运动方程及物体各阶段间的关联方程。
2.解题关键
多运动过程的连接点的速度是联系两个运动过程的纽带,因此,对连接点速度的求解往往是解题的关键。
例4 (多选)某平直公路上,有相距3 600 m的甲、乙两公交车站,公交车从甲站匀加速出发,加速度大小为a,达到某一速度后匀速运动一段时间,再以大小为a的加速度做匀减速直线运动,到达乙站时速度恰好为零,从甲站到乙站所用时间为180 s。则该公交车匀速运动时的速度v及加速度a的大小可能是(　　)
A.v=15 m/s,a=0.25 m/s2
B.v=30 m/s,a=0.5 m/s2
C.v=36 m/s,a=0.45 m/s2
D.v=45 m/s,a=0.75 m/s2
答案　BC
解析　已知甲、乙两公交车站相距s=3 600 m,公交车运行时间为t0=180 s,则全程的平均速度大小为== m/s=20 m/s。如果匀速运动时间为0,则公交车的最大速度vm=2=2×20 m/s=40 m/s,则公交车匀速运动的速度一定大于20 m/s且小于等于40 m/s,故A、D错误;设匀加速和匀减速的时间均为t,匀速运动的速度为v,则有s=v(t0-2t)+t×2=v(t0-t),如果v=30 m/s,解得t=60 s,代入公式v=at可得加速度a=0.5 m/s2;若v=36 m/s,则t=80 s,可得a=0.45 m/s2,故B、C正确。
一题多解
图像法。全程的平均速度== m/s=20 m/s,若匀速运动时间为0,则公交车的最大速度vm=40 m/s,所以公交车匀加速→匀速→匀减速运动时,匀速运动的速度一定是20 m/s多过程问题的处理方法
(1)不同过程之间衔接的关键物理量是衔接速度。
(2)充分借助v-t图像,图像反映物体运动过程经历的不同阶段,可获得的重要信息有加速度(斜率)、位移(面积)和速度。
①多过程v-t图像的“上凸”模型,如图所示。
特点:全程初、末速度为零,匀加速直线运动过程和匀减速直线运动过程平均速度相等。设匀加速运动的时间为t1,匀减速运动时间为t2,速度与时间关系公式:v=a1t1,v=a2t2,得=
速度与位移关系公式:v2=2a1x1,v2=2a2x2,得=
平均速度与位移关系公式:x1=,x2=,得=
全程的最大速度vm=2=
②多过程v-t图像的“下凹”模型,如图所示。
车较之匀速行驶耽搁的距离为阴影面积表示的位移Δx的大小,耽搁的时间Δt=。
A级　基础对点练
对点练1　自由落体运动
1.(2024·广西卷,3)让质量为1 kg的石块P1从足够高处自由下落,P1在下落的第1 s末速度大小为v1,再将P1和质量为2 kg的石块绑为一个整体P2,使P2从原高度自由下落,P2在下落的第1 s末速度大小为v2,g取10 m/s2,则(　　)
A.v1=5 m/s B.v1=10 m/s
C.v2=15 m/s D.v2=30 m/s
答案　B
解析　重物做自由落体运动,下落速度与质量无关,则下落1 s后速度为v1=v2=gt=10×1 m/s=10 m/s,故B正确。
2.(2026·江苏东台中学月考)如图所示,甲突然释放刻度尺,乙迅速夹住,由此判断乙的反应时间。现在尺上贴上间隔0.02 s的刻度制成反应时间尺。下列说法正确的是(　　)
A.反应时间尺的“0”刻度位于A处
B.反应时间尺的刻度疏密均匀
C.反应时间尺的刻度A处较密
D.反应时间尺的刻度B处较密
答案　D
解析　反应时间为零指的是甲一释放刻度尺,乙就夹住,刻度尺并未下落,故反应时间尺的“0”刻度应位于B处,A错误;做匀加速直线运动的物体,相同时间内的位移逐渐增大,即随着刻度尺的下落,每隔0.02 s的位移逐渐增大,可知反应时间尺的刻度疏密不均匀,反应时间尺的刻度B处较密,A处较疏,B、C错误,D正确。
3.甲、乙两物体距水平地面的高度之比为1∶2,所受重力之比为1∶2。某时刻两物体同时由静止开始下落。不计空气阻力的影响。下列说法正确的是(　　)
A.甲、乙落地时的速度大小之比为1∶
B.所受重力较大的乙物体先落地
C.在两物体均未落地前,甲、乙的加速度大小之比为1∶2
D.在两物体均未落地前,甲、乙之间的距离越来越近
答案　A
解析　由于不计空气阻力,则两物体均做自由落体运动,由v2=2gh可知v=,所以甲、乙落地时的速度大小之比为1∶,故A正确;由h=gt2可知t=,所以物体做自由落体运动的时间取决于下落高度,与物体所受重力的大小无关,即甲物体先落地,故B错误;由于两物体都做自由落体运动,加速度均为重力加速度,故C错误;由于两物体都做自由落体运动且同时下落,则在两物体均未落地前,甲、乙之间的距离不变,故D错误。
4.如图所示,长为4 m的竖直杆从竖直管道正上方由静止释放,它完全通过这一竖直管道的时间为2 s,已知竖直杆释放时其下端到竖直管道上端的高度为5 m,不计空气阻力,重力加速度大小g取10 m/s2,则这个管道长为(　　)
A.40 m B.36 m
C.32 m D.30 m
答案　B
解析　设竖直杆的下端运动到管道上端的时间为t1,竖直杆的上端运动到管道下端的时间为t2,由自由落体运动公式得h1=g,h1+h2+L=g,其中Δt=t2-t1=2 s,h1=5 m,h2=4 m,联立解得这个管道长为L=36 m,故B正确。
对点练2　竖直上抛运动
5.(2026·河南周口五校联考)利用频闪照相仪研究小球的竖直上抛运动,频闪仪的频率为50 Hz,如图甲所示是频闪仪拍到小球上升过程中的5个位置,t=0时刻对应第1个位置为小球的抛出点,绘制出小球的v-t图像如图乙所示,第3个位置对应时刻,重力加速度g=10 m/s2,则下列说法正确的是(　　)
A.小球到达第5个位置前后,速度方向不变
B.t1=0.08 s
C.第2个位置与第3个位置之间距离为0.002 m
D.小球上升过程中距抛出点的最大距离为0.03 m
答案　B
解析　竖直上抛运动是匀变速运动,由于第3个位置对应时刻,则第5个位置的速度为零,即到达第5个位置前后速度方向改变,A错误;相邻位置时间间隔t= s=0.02 s,则上升到最高点的时间为t1=4t=0.08 s,B正确;第2个位置与第3个位置之间的距离为x23=g(3t)2-g(2t)2=0.01 m,C错误;小球上升过程中距抛出点的最大距离为x=g=0.032 m,D错误。
对点练3　多运动过程问题
6.(2025·安徽卷,4)汽车由静止开始沿直线从甲站开往乙站,先做加速度大小为a的匀加速运动,位移大小为x;接着在t时间内做匀速运动,最后做加速度大小也为a的匀减速运动,到达乙站时速度恰好为0。已知甲、乙两站之间的距离为8x,则(　　)
A.x=at2 B.x=at2
C.x=at2 D.x=at2
答案　A
解析　设汽车匀加速运动的时间为t0,则汽车匀速运动的位移x1=at0t,由对称性可知,汽车匀加速运动过程和匀减速运动过程的位移均为x=a,又x1+2x=8x,联立解得x=at2,A正确,B、C、D错误。
7.某跳伞运动员做低空跳伞表演。从该运动员离开悬停的飞机开始计时,运动员先做自由落体运动,当速度达到50 m/s时打开降落伞做匀减速直线运动,加速度大小为5 m/s2,到达地面时速度为5 m/s,重力加速度取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A.运动员离开飞机10 s后打开降落伞
B.运动员在空中下落过程用时9 s
C.运动员距离地面245 m时打开降落伞
D.悬停的飞机距离地面372.5 m
答案　D
解析　由速度与时间关系式有v1=gt1,解得t1=5 s,故A错误;减速时,由速度与时间关系式有v2=v1-at2,解得t2=9 s,下落时间为t=t1+t2=14 s,故B错误;打开降落伞时距地面高度为h2=t2=247.5 m,故C错误;运动员自由下落高度为h1=g=125 m,悬停飞机距地面高度H=h1+h2=372.5 m,故D正确。
8.(多选)(2026·四川成都月考)一物体由静止开始沿一直线运动,先后经过匀加速、匀速和匀减速运动过程,已知物体在这三个运动过程中的位移均为x,所用时间分别为2t、t和t,则(　　)
A.物体做匀加速运动的加速度大小为
B.物体做匀减速运动的加速度大小为
C.物体在这三个运动过程中的平均速度大小为
D.物体做匀减速运动的末速度大小为
答案　BD
解析　对匀加速运动过程,有x=a1(2t)2,解得a1=,故A错误;匀速运动的速度为v=,设匀减速直线运动的末速度为v2,根据匀变速直线运动的平均速度公式有=,解得v2=,匀减速直线运动的加速度大小a2===,故B、D正确;物体在这三个运动过程中的平均速度大小==,故C错误。
B级　综合提升练
9.(2026·河北廊坊部分学校联考)在一条平直公路上,一辆汽车(视为质点)从计时开始到停止运动的总时间为t0,速度—时间图像如图所示,在第一段时间内做加速度大小为a(a为未知量)的匀减速直线运动,在第二段时间内做匀速直线运动,在第三段时间内也做加速度大小为a(a为未知量)的匀减速直线运动,三段运动时间相等,已知v-t图像与时间轴围成的面积为S0,下列说法正确的是(　　)
A.a的值为
B.汽车的初速度为
C.汽车在前两段时间内的平均速度为
D.汽车在后两段时间内的平均速度为
答案　C
解析　设汽车的初速度为v0,时刻的速度为v1,则有v1=v0-,最后时间内有0=v1-,由v-t图像知S0=·+v1·+·,联立解得a=,v0=,v1=,A、B错误;汽车在前两段时间内的平均速度==,C正确;汽车在后两段时间内的平均速度为==,D错误。
10.(多选)(2025·四川乐山模拟)如图甲,小球A(视为质点)从地面开始做竖直上抛运动,同时小球B(视为质点)从距地面高度为h0处由静止释放,两小球距地面的高度h与运动时间t的关系图像如图乙,重力加速度大小为g,不计空气阻力,则(　　)
A.A的初速度与B落地时速度大小相等
B.A上升过程的平均速度小于B下降过程的平均速度
C.A、B处于同一高度时距地面h0
D.A、B落地的时间差为
答案　AC
解析　由题图乙可知,B由静止释放时距地面的高度与A上升到最高点时距地面的高度相等,B由静止释放直到落地与A由抛出直到上升到最高点所用时间相等,所以,A的初速度与B落地时的速度大小相等,A上升过程的平均速度与B下降过程的平均速度大小相等,故A正确,B错误;设A竖直上抛的初速度为v0,则当A、B到达同一高度时有gt2+v0t-gt2=h0,=2gh0,联立解得t=,v0=,所以A、B处于同一高度时距地面高度为h=v0t-gt2=h0,故C正确;B落地时A刚好上升到最高点,所以A、B落地的时间差就等于A从最高点下落到地面所用的时间,满足h0=g·(Δt)2,解得Δt=,故D错误。
C级　培优加强练
11.ETC是电子不停车收费系统的简称。汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示。假设汽车以v1=12 m/s的速度朝收费站沿直线行驶,如果过ETC通道,需要在距收费站中心线前d=10 m处正好匀减速至v2=4 m/s,匀速通过中心线后,再匀加速至v1正常行驶;如果过人工收费通道,需要恰好在中心线处匀减速至零,经过t0=20 s缴费成功后,再启动汽车匀加速至v1正常行驶,设汽车加速和减速过程中的加速度大小均为1 m/s2。求:
(1)汽车过ETC通道时,从开始减速至恢复正常行驶过程中的位移大小;
(2)汽车过人工收费通道时,应在离收费站中心线多远处开始减速
(3)汽车过ETC通道比过人工收费通道节约的时间。
答案　(1)138 m　(2)72 m　(3)25 s
解析　(1)过ETC通道时,减速的位移和加速的位移相等,则x1==64 m
故总的位移=2x1+d=138 m。
(2)过人工收费通道时,开始减速时距离中心线的距离为x2==72 m。
(3)过ETC通道的时间
t1=×2+=18.5 s
过人工收费通道的时间t2=×2+t0=44 s
过人工收费通道时,从开始减速到恢复正常行驶的总位移
=2x2=144 m
二者的位移差Δx=-=6 m
在这段位移内过ETC通道的汽车以正常行驶速度做匀速直线运动,则汽车过ETC通道比过人工收费通道节约时间为Δt=t2-=25 s。(共51张PPT)
第3讲　自由落体运动和竖直上抛运动　多运动过程问题
第一章　运动的描述　匀变速直线运动的研究
1.掌握自由落体运动和竖直上抛运动的特点。 2.理解竖直上抛运动的对称性和多解性。 3.灵活运用匀变速直线运动的规律处理多过程问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
提升素养能力
03
夯实必备知识
1
静止
1.
gt
gt2
2gh
向上
2.
重力
v0-gt
v0t-gt2
-2gh
1.思考判断
(1)同一地点,轻重不同的物体的g值一样大。( )
(2)物体做竖直上抛运动,速度为负值时,位移也一定为负值。( )
(3)做竖直上抛运动的物体,在上升过程中,速度变化量方向是竖直向下的。( )
×
√
√
2.人教版必修第一册第二章第4节[科学漫步]中,伽利略的斜面实验中如何测量时间的 如何由斜面上的运动规律推出自由落体的运动规律
答案　当时只能靠滴水计时,让铜球沿阻力很小的斜面滚下,“冲淡”了重力,使加速度变小,时间变长,更容易测量。合理外推将斜面的倾角增大到90°。
研透核心考点
2
考点二　竖直上抛运动
考点一　自由落体运动
考点三　多运动过程问题
考点一　自由落体运动
例1 (2026·河北邢台高三期末)一矿井深为125 m,在井口每隔相同的时间由静止释放一小球(视为质点),当第11个小球刚从井口开始下落时,第1个小球恰好到达井底。不计空气阻力,重力加速度大小g=10 m/s2,则与第9个小球相距40 m的小球为(　　)
A.第7个小球 B.第6个小球
C.第5个小球 D.第4个小球
解析　设每个球释放时间间隔为t,由自由落体运动规律有h=g(10t)2,解得t=0.5 s,设与第9个小球相距40 m的小球下落时间为t1,则g-g(2t)2=40 m,解得t1=3 s,则与第9个小球相距40 m的小球为n=-1=5,故C正确。
C
例2 (2026·福建龙岩市高三月考)某校物理兴趣小组,为了了解高空坠物的危害,将一个鸡蛋从离地面20 m高的高楼面由静止释放,下落途中用Δt=0.2 s的时间通过一个窗口,窗口的高度为2 m,忽略空气阻力的作用,重力加速度g取10 m/s2,求:
(1)鸡蛋落地时的速度大小和落地前最后1 s内的位移大小;
答案　20 m/s　15 m
解析　根据速度与位移关系式v2=2gh,解得鸡蛋落地时速度大小为v=20 m/s
设鸡蛋自由下落时间为t,根据速度与时间关系式得
t==2 s
鸡蛋在第1 s内的位移为h1=g=5 m
则鸡蛋落地前最后1 s内的位移大小为
h2=h-h1=15 m。
(2)高楼面离窗的上边框的高度;
解析　由题意知,窗口的高度为h3=2 m
设高楼面离窗的上边框的高度为h0,鸡蛋从高楼面运动到窗的上边框的时间为t0,则
h0=g,h0+h3=g(t0+Δt)2
联立解得h0=4.05 m。
答案　4.05 m
(3)若隔0.5 s先后释放两个鸡蛋,试分析在鸡蛋落地前两鸡蛋之间的距离如何变化
解析　未落地前,设第二个鸡蛋运动了时间T,则第一个鸡蛋运动了T+Δt
第一个鸡蛋下落高度H1=g(T+Δt)2
第二个鸡蛋下落高度为H2=gT2
二者之间的距离ΔH=H1-H2=gΔt2+gΔt·T
ΔH与T为一次函数关系,故在鸡蛋落地前两鸡蛋之间的距离均匀增大。
答案　两鸡蛋之间的距离均匀增大
1.初速度为0的匀变速直线运动规律对自由落体运动都适用。
(1)从开始下落,连续相等时间内下落的高度之比为1∶3∶5∶7∶…。
(2)由Δv=gΔt知,相等时间内,速度变化量相同。
(3)连续相等时间T内下落的高度之差Δh=gT2。
2.物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动,从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动,等效于竖直下抛运动,应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题。
3.自由落体运动的两个物体相隔一定时间从同一高度先、后下落,两物体的加速度相同,故先下落物体相对后下落物体做匀速直线运动,两者的距离随时间均匀增大。
1.(2026·贵州安顺高三期末)攀岩爱好者在野外攀岩,中途休息时,踩落一小石块,约4 s后听到石头直接落到崖底的声音,则小石块落地前最后一秒的平均速度最接近(　　)
跟踪训练
A.10 m/s B.25 m/s
C.30 m/s D.35 m/s
D
解析　由题可知,石块第1 s内下落的位移h1=g=5 m,根据匀变速直线运动的推论,可得第一秒和最后一秒的位移之比为h1∶h4=1∶(2×4-1),解得h4=35 m,小石块落地前最后一秒的平均速度==35 m/s,故D正确。
考点二　竖直上抛运动
竖直上抛运动的对称性和多解性
(1)对称性(如图)
(2)多解性:当物体经过抛出点上方某个位置时,可能处于上升阶段,也可能处于下降阶段,造成多解。
例3 (2026·天津南开高三阶段考)在某一高度以v0=20 m/s的初速度竖直上抛一个小球(不计空气阻力),当小球速度大小为10 m/s时,以下判断正确的是(g取10 m/s2)
(　　)
A.小球在这段时间内的平均速度大小可能为15 m/s,方向竖直向上
B.小球在这段时间内的速度变化率是5 m/s2,方向竖直向下
C.小球的位移大小可能是15 m,方向竖直向上
D.小球在这段时间内的路程一定是25 m
A
解析　选取竖直向上为正方向,小球初速度v0=20 m/s,当小球的末速度大小为
10 m/s,方向竖直向下时,小球在这段时间的平均速度==5 m/s,方向竖直向上;当小球的末速度大小为10 m/s,方向竖直向上时,小球在这段时间的平均速度==15 m/s,方向竖直向上,故A正确;小球在这段时间内的速度变化率等于重力加速度g=10 m/s2,方向竖直向下,故B错误;小球的位移大小一定为h==
15 m,方向竖直向上,故C错误;小球上升的最大高度为H==20 m,通过的路程为s=h=15 m,或s=2H-h=2×20 m-15 m=25 m,故D错误。
总结提升　竖直上抛运动的研究方法
分段法 上升阶段:a=g的匀减速直线运动
下降阶段:自由落体运动
全程法 初速度v0向上,加速度g向下的匀变速直线运动,v=v0-gt,h=v0t-gt2(以竖直向上为正方向)
若v>0,物体上升,若v<0,物体下落
若h>0,物体在抛出点上方,若h<0,物体在抛出点下方
2.(2025·山西吕梁模拟)某物体在一竖直向上的恒定拉力作用下从地面由静止开始竖直向上运动,经过4 s到达距离水平地面40 m高度处,此时撤掉拉力。不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,下列说法正确的是(　　)
A.物体前4 s内的加速度大小为4 m/s2
B.物体在4 s末的速度大小为20 m/s
C.物体上升过程中距离地面的最大高度为40 m
D.物体从开始运动到落回地面的总时间为(4+2) s
跟踪训练
B
解析　物体做匀加速运动时,有h1=a,解得a=5 m/s2,A错误;4 s末的速度v1=at1
=20 m/s,B正确;撤去拉力后,物体上升的高度h2=,代入数据解得h2=20 m,所以物体上升过程中离地面的最大高度h=h1+h2=40 m+20 m=60 m,C错误;从撤掉拉力到运动至最高点的过程中,由v1=gt2解得t2== s=2 s,从最高点落回地面的过程中,有h=g,代入数据解得t3=2 s,故物体从开始运动到落回地面的总时间t总=t1
+t2+t3=(6+2) s,D错误。
1.一般的解题步骤
(1)准确选取研究对象,根据题意画出物体在各阶段运动的示意图,直观呈现物体运动的全过程。
(2)明确物体在各阶段的运动性质,找出题目给定的已知量、待求未知量,设出中间量。
(3)合理选择运动学公式,列出物体在各阶段的运动方程及物体各阶段间的关联方程。
考点三　多运动过程问题
2.解题关键
多运动过程的连接点的速度是联系两个运动过程的纽带,因此,对连接点速度的求解往往是解题的关键。
例4 (多选)某平直公路上,有相距3 600 m的甲、乙两公交车站,公交车从甲站匀加速出发,加速度大小为a,达到某一速度后匀速运动一段时间,再以大小为a的加速度做匀减速直线运动,到达乙站时速度恰好为零,从甲站到乙站所用时间为180 s。则该公交车匀速运动时的速度v及加速度a的大小可能是(　　)
A.v=15 m/s,a=0.25 m/s2
B.v=30 m/s,a=0.5 m/s2
C.v=36 m/s,a=0.45 m/s2
D.v=45 m/s,a=0.75 m/s2
BC
解析　已知甲、乙两公交车站相距s=3 600 m,公交车运行时间为t0=180 s,则全程的平均速度大小为== m/s=20 m/s。如果匀速运动时间为0,则公交车的最大速度vm=2=2×20 m/s=40 m/s,则公交车匀速运动的速度一定大于20 m/s且小于等于40 m/s,故A、D错误;设匀加速和匀减速的时间均为t,匀速运动的速度为v,则有s=v(t0-2t)+t×2=v(t0-t),如果v=30 m/s,解得t=60 s,代入公式v=at可得加速度a=0.5 m/s2;若v=36 m/s,则t=80 s,可得a=0.45 m/s2,故B、C正确。
一题多解
图像法。全程的平均速度== m/s=20 m/s,若匀速运动时间为0,则公交车的最大速度vm=40 m/s,所以公交车匀加速→匀速→匀减速运动时,匀速运动的速度一定是20 m/st=80 s,则a==0.45 m/s2,故B、C正确。
多过程问题的处理方法
(1)不同过程之间衔接的关键物理量是衔接速度。
(2)充分借助v-t图像,图像反映物体运动过程经历的不同阶段,可获得的重要信息有加速度(斜率)、位移(面积)和速度。
①多过程v-t图像的“上凸”模型,如图所示。
特点:全程初、末速度为零,匀加速直线运动过程和匀减速直线运动过程平均速度相等。设匀加速运动的时间为t1,匀减速运动时间为t2,速度与时间关系公式:v=a1t1,v=a2t2,得=
速度与位移关系公式:v2=2a1x1,v2=2a2x2,得=
平均速度与位移关系公式:x1=,x2=,得=
全程的最大速度vm=2=
②多过程v-t图像的“下凹”模型,如图所示。
车较之匀速行驶耽搁的距离为阴影面积表示的位移Δx的大小,耽搁的时间Δt=。
提升素养能力
3
A级　基础对点练
B
对点练1　自由落体运动
1.(2024·广西卷,3)让质量为1 kg的石块P1从足够高处自由下落,P1在下落的第1 s末速度大小为v1,再将P1和质量为2 kg的石块绑为一个整体P2,使P2从原高度自由下落,P2在下落的第1 s末速度大小为v2,g取10 m/s2,则(　　)
A.v1=5 m/s B.v1=10 m/s
C.v2=15 m/s D.v2=30 m/s
解析　重物做自由落体运动,下落速度与质量无关,则下落1 s后速度为v1=v2=gt=10×1 m/s=10 m/s,故B正确。
D
2.(2026·江苏东台中学月考)如图所示,甲突然释放刻度尺,乙迅速夹住,由此判断乙的反应时间。现在尺上贴上间隔0.02 s的刻度制成反应时间尺。下列说法正确的是(　　)
A.反应时间尺的“0”刻度位于A处
B.反应时间尺的刻度疏密均匀
C.反应时间尺的刻度A处较密
D.反应时间尺的刻度B处较密
解析　反应时间为零指的是甲一释放刻度尺,乙就夹住,刻度尺并未下落,故反应时间尺的“0”刻度应位于B处,A错误;做匀加速直线运动的物体,相同时间内的位移逐渐增大,即随着刻度尺的下落,每隔0.02 s的位移逐渐增大,可知反应时间尺的刻度疏密不均匀,反应时间尺的刻度B处较密,A处较疏,B、C错误,D正确。
A
3.甲、乙两物体距水平地面的高度之比为1∶2,所受重力之比为1∶2。某时刻两物体同时由静止开始下落。不计空气阻力的影响。下列说法正确的是(　　)
A.甲、乙落地时的速度大小之比为1∶
B.所受重力较大的乙物体先落地
C.在两物体均未落地前,甲、乙的加速度大小之比为1∶2
D.在两物体均未落地前,甲、乙之间的距离越来越近
解析　由于不计空气阻力,则两物体均做自由落体运动,由v2=2gh可知v=,所以甲、乙落地时的速度大小之比为1∶,故A正确;由h=gt2可知t=,所以物体做自由落体运动的时间取决于下落高度,与物体所受重力的大小无关,即甲物体先落地,故B错误;由于两物体都做自由落体运动,加速度均为重力加速度,故C错误;由于两物体都做自由落体运动且同时下落,则在两物体均未落地前,甲、乙之间的距离不变,故D错误。
B
4.如图所示,长为4 m的竖直杆从竖直管道正上方由静止释放,它完全通过这一竖直管道的时间为2 s,已知竖直杆释放时其下端到竖直管道上端的高度为5 m,不计空气阻力,重力加速度大小g取10 m/s2,则这个管道长为(　　)
A.40 m B.36 m
C.32 m D.30 m
解析　设竖直杆的下端运动到管道上端的时间为t1,竖直杆的上端运动到管道下端的时间为t2,由自由落体运动公式得h1=g,h1+h2+L=g,其中Δt=t2-t1=2 s,h1=5 m,h2=4 m,联立解得这个管道长为L=36 m,故B正确。
B
对点练2　竖直上抛运动
5.(2026·河南周口五校联考)利用频闪照相仪研究小球的竖直上抛运动,频闪仪的频率为50 Hz,如图甲所示是频闪仪拍到小球上升过程中的5个位置,t=0时刻对应第1个位置为小球的抛出点,绘制出小球的v-t图像如图乙所示,第3个位置对应时刻,重力加速度g=10 m/s2,则下列说法正确的是(　　)
A.小球到达第5个位置前后,速度方向不变
B.t1=0.08 s
C.第2个位置与第3个位置之间距离为0.002 m
D.小球上升过程中距抛出点的最大距离为0.03 m
解析　竖直上抛运动是匀变速运动,由于第3个位置对应时刻,则第5个位置的速度为零,即到达第5个位置前后速度方向改变,A错误;相邻位置时间间隔t= s=
0.02 s,则上升到最高点的时间为t1=4t=0.08 s,B正确;第2个位置与第3个位置之间的距离为x23=g(3t)2-g(2t)2=0.01 m,C错误;小球上升过
程中距抛出点的最大距离为x=g=0.032 m,D错误。
A
对点练3　多运动过程问题
6.(2025·安徽卷,4)汽车由静止开始沿直线从甲站开往乙站,先做加速度大小为a的匀加速运动,位移大小为x;接着在t时间内做匀速运动,最后做加速度大小也为a的匀减速运动,到达乙站时速度恰好为0。已知甲、乙两站之间的距离为8x,则(　　)
A.x=at2 B.x=at2
C.x=at2 D.x=at2
解析　设汽车匀加速运动的时间为t0,则汽车匀速运动的位移x1=at0t,由对称性可知,汽车匀加速运动过程和匀减速运动过程的位移均为x=a,又x1+2x=8x,联立解得x=at2,A正确,B、C、D错误。
D
7.某跳伞运动员做低空跳伞表演。从该运动员离开悬停的飞机开始计时,运动员先做自由落体运动,当速度达到50 m/s时打开降落伞做匀减速直线运动,加速度大小为5 m/s2,到达地面时速度为5 m/s,重力加速度取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A.运动员离开飞机10 s后打开降落伞
B.运动员在空中下落过程用时9 s
C.运动员距离地面245 m时打开降落伞
D.悬停的飞机距离地面372.5 m
解析　由速度与时间关系式有v1=gt1,解得t1=5 s,故A错误;减速时,由速度与时间关系式有v2=v1-at2,解得t2=9 s,下落时间为t=t1+t2=
14 s,故B错误;打开降落伞时距地面高度为h2=t2=247.5 m,故C错误;运动员自由下落高度为h1=g=125 m,悬停飞机距地面高度H=h1+h2=372.5 m,故D正确。
BD
8.(多选)(2026·四川成都月考)一物体由静止开始沿一直线运动,先后经过匀加速、匀速和匀减速运动过程,已知物体在这三个运动过程中的位移均为x,所用时间分别为2t、t和t,则(　　)
A.物体做匀加速运动的加速度大小为
B.物体做匀减速运动的加速度大小为
C.物体在这三个运动过程中的平均速度大小为
D.物体做匀减速运动的末速度大小为
解析　对匀加速运动过程,有x=a1(2t)2,解得a1=,故A错误;匀速运动的速度为v=,设匀减速直线运动的末速度为v2,根据匀变速直线运动的平均速度公式有=,解得v2=,匀减速直线运动的加速度大小a2===,故B、D正确;物体在这三个运动过程中的平均速度大小==,故C错误。
B级　综合提升练
C
9.(2026·河北廊坊部分学校联考)在一条平直公路上,一辆汽车(视为质点)从计时开始到停止运动的总时间为t0,速度—时间图像如图所示,在第一段时间内做加速度大小为a(a为未知量)的匀减速直线运动,在第二段时间内做匀速直线运动,在第三段时间内也做加速度大小为a(a为未知量)的匀减速直线运动,三段运动时间相等,已知v-t图像与时间轴围成的面积为S0,下列说法正确的是(　　)
A.a的值为
B.汽车的初速度为
C.汽车在前两段时间内的平均速度为
D.汽车在后两段时间内的平均速度为
解析　设汽车的初速度为v0,时刻的速度为v1,则有v1=v0-,最后时间内有0=v1-,由v-t图像知S0=·+v1·+·,联立解得a=,v0=,v1=,A、B错误;汽车在前两段时间内的平均速度==,C正确;汽车在后两段时间内的平均速度为==,D错误。
AC
10.(多选)(2025·四川乐山模拟)如图甲,小球A(视为质点)从地面开始做竖直上抛运动,同时小球B(视为质点)从距地面高度为h0处由静止释放,两小球距地面的高度h与运动时间t的关系图像如图乙,重力加速度大小为g,不计空气阻力,则(　　)
A.A的初速度与B落地时速度大小相等
B.A上升过程的平均速度小于B下降过程的平均速度
C.A、B处于同一高度时距地面h0
D.A、B落地的时间差为
解析　由题图乙可知,B由静止释放时距地面的高度与A上升到最高点时距地面的高度相等,B由静止释放直到落地与A由抛出直到上升到最高点所用时间相等,所以,A的初速度与B落地时的速度大小相等,A上升过程的平均速度与B下降过程的平均速度大小相等,故A正确,B错误;设A竖直上抛的初速度为v0,则当A、B到达同一高度时有gt2+v0t-gt2=h0,=2gh0,联立解得t=,v0=,所以A、B处于同一高度时距地面高度为h=v0t-gt2=h0,故C正
确;B落地时A刚好上升到最高点,所以A、B落地的
时间差就等于A从最高点下落到地面所用的时间,
满足h0=g·(Δt)2,解得Δt=,故D错误。
11.ETC是电子不停车收费系统的简称。汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示。假设汽车以v1=12 m/s的速度朝收费站沿直线行驶,如果过ETC通道,需要在距收费站中心线前d=10 m处正好匀减速至v2=4 m/s,匀速通过中心线后,再匀加速至v1正常行驶;如果过人工收费通道,需要恰好在中心线处匀减速至零,经过t0=20 s缴费成功后,再启动汽车匀加速
至v1正常行驶,设汽车加速和减速过程中的
加速度大小均为1 m/s2。求:
(1)汽车过ETC通道时,从开始减速至恢复正常
行驶过程中的位移大小;
(2)汽车过人工收费通道时,应在离收费站中心
线多远处开始减速
(3)汽车过ETC通道比过人工收费通道节约的时间。
C级　培优加强练
答案　(1)138 m　(2)72 m　(3)25 s
解析　(1)过ETC通道时,减速的位移和加速的位移相等,则x1==64 m
故总的位移=2x1+d=138 m。
(2)过人工收费通道时,开始减速时距离中心线
的距离为x2==72 m。
(3)过ETC通道的时间
t1=×2+=18.5 s
过人工收费通道的时间t2=×2+t0=44 s
过人工收费通道时,从开始减速到恢复正常行
驶的总位移
=2x2=144 m
二者的位移差Δx=-=6 m
在这段位移内过ETC通道的汽车以正常行驶速度做匀速直线运动,则汽车过ETC通道比过人工收费通道节约时间为Δt=t2-=25 s。
本节内容结束
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