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专题强化二　追及相遇问题
学习目标　1.会分析追及相遇问题,掌握追及相遇问题的分析方法和技巧。 2.会在图像中分析追及相遇问题。 3.熟练运用运动学公式结合运动学图像解决追及相遇问题。
　追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置。追及相遇问题的基本物理模型:以甲追乙为例。
1.二者距离变化与速度大小的关系
(1)无论v甲增大、减小或不变,只要v甲v乙,追上之前,甲、乙的距离就不断减小。
(2)若v甲=v乙,甲、乙的距离保持不变。
2.解答追及相遇问题的三种方法
情境 分析法 抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键,认真审题,挖掘题目中的隐含条件,建立一幅物体运动关系的情境图
图像 分析法 将两个物体运动的速度—时间关系或位移—时间关系画在同一坐标系中,然后利用图像分析求解相关问题
函数 分析法 设相遇时间为t,根据条件列方程,得到关于位移x与时间t的函数关系,由此判断两物体追及或相遇情况
角度　情境分析法
例1 (2026·山东烟台高三期中)无人驾驶汽车依靠先进的传感器、算法和人工智能技术,能够实现自主导航、避障、决策等功能,极大地提高了交通的效率和安全性。如图所示,在平直公路上有两辆无人驾驶汽车A、B(均可看作质点),在不同车道沿同一方向做匀速直线运动,A车在前,B车在后,A车速度大小为v1=30 m/s,B车速度大小为v2=20 m/s。当两车沿车道方向距离x0=100 m时,A车因突发情况紧急刹车做匀减速直线运动,加速度大小为a=2 m/s2,从刹车时开始计时,求:
(1)两车在运动方向上的最远距离;
(2)从A车开始减速到两车相遇所用的时间。
答案　(1)125 m　(2)16.25 s
解析　(1)当两车速度相等时距离最远,则
v1-at=v2
解得t=5 s
两车在运动方向上的最远距离
Δx=x0+t-v2t=125 m。
(2)A车停止运动需要时间t0==15 s
前进的距离为xA=t0=225 m
此时B的位移xB=v2t0=300 m
此时两车相距Δs=x0+xA-xB=100 m+225 m-300 m=25 m
相遇时还需要用时间t1== s=1.25 s
从A车开始减速到两车相遇所用的时间
T=t0+t1=16.25 s。
拓展　A、B两车相遇时,A车恢复正常,立刻以a1=4 m/s2的加速度加速行驶,但速度只能加速到原来的30 m/s,求A、B两车再经多长时间第二次相遇
答案　11.25 s
解析　设A车经过时间t2加速到30 m/s,则
t2==7.5 s
A车前进的距离xA1=a1=112.5 m
B车前进的距离xB1=v2t2=150 m
之后A车以30 m/s的速度匀速行驶,设再经t3追上B车,有
v1t3=(xB1-xA1)+v2t3
解得t3=3.75 s
则t'=t2+t3=11.25 s,即再经过11.25 s两车第二次相遇。
总结提升
1.情境分析法的基本思路
2.特别提醒
若被追赶的物体做匀减速直线运动,一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。
跟踪训练
1.(2026·辽宁葫芦岛高三期末)机器狗已经发展到了应用阶段,人们开始享受科技带来的效率和成果。某科技小组在测试中,将甲、乙两机器狗放在平直的路面上,测试距离为L=20 m。甲、乙同时同地开始测试,甲以v1=2 m/s的速度匀速行进,乙由静止开始以a=0.5 m/s2的加速度匀加速直线运动,乙能达到的最大速度是v2=2.5 m/s,之后保持最大速度匀速运动。在测试距离内,求:
(1)甲、乙相距的最远距离多大;
(2)判断到达终点前乙能否超过甲。若乙能超过甲,乙到达终点时,与甲的距离多大 若乙不能超过甲,甲到达终点时,乙还需多长时间到达终点。
答案　(1)4 m　(2)不能　0.5 s
解析　(1)当乙达到v1=2 m/s时甲、乙相距最远,设用时t1,
则v1=at1,解得t1=4 s
最远距离Δxm=v1t1-a
解得Δxm=4 m。
(2)当乙的速度达到v2=2.5 m/s时,设用时t2,则
v2=at2,解得t2=5 s
此时甲的位移x1=v1t2=10 m
此时乙的位移x2=a=6.25 m
甲距离终点x3=L-x1,乙距离终点x4=L-x2
甲、乙分别再用时t3、t4到达终点
则t3==5 s,t4==5.5 s
由此可以看出,乙不能超过甲,甲到达终点时乙还需时间Δt=t4-t3=0.5 s。
角度　图像分析法
例2 (2026·山东青岛高三期末)在一平直路面上,甲、乙两车做匀变速直线运动,其速度与时间的关系图像如图。t=0时刻,乙车在甲车前方15 m处。则下列说法正确的是(　　)
A.t=2 s时刻,甲车刚好追上乙车
B.t=4 s时刻,甲车刚好追上乙车
C.乙车的加速度大小大于甲车的加速度大小
D.0~4 s过程中甲、乙两车之间的距离先增大后减小
答案　A
解析　由v-t图像与横轴所围面积表示位移,可知在t=2 s时刻,甲车比乙车多走的距离为Δx=×(20-5)×2 m=15 m,因为Δx=x0=15 m,则此时甲车刚好追上乙车,A正确,B错误;由v-t图像的斜率表示加速度,可知a甲= m/s2=5 m/s2,a乙= m/s2=2.5 m/s2,所以乙车的加速度大小小于甲车的加速度大小,C错误;0~2 s内两车距离减小,2 s后甲车速度小于乙车速度,两车距离又增大,故0~4 s过程中甲、乙两车之间的距离先减小后增大,D错误。
总结提升　图像法分析追及相遇问题的方法和思路
方法 基本思路
数理 转换 定量画图时,需根据物体在不同阶段的运动情况,通过定量计算分阶段、分区间作出x-t图像或v-t图像等;或根据已知的运动图像分析物体的运动情况
用图 利用图像中斜率、面积、截距、交点等的含义进行定性分析或定量计算,进而解决相关问题
跟踪训练
2.(2026·江苏泰州中学月考)甲、乙两物体(均可视为质点)从同一出发点沿水平面朝同一方向运动,两物体运动的v-t图像如图所示,下列说法正确的是(　　)
A.甲、乙两物体同时出发
B.在t=4 s时甲、乙两物体相遇
C.前4 s内两物体的平均速度相同
D.相遇前甲、乙最远距离为6 m
答案　D
解析　由题图可知,乙物体比甲物体延迟3 s出发,A错误;t=4 s时,甲、乙两物体的速度相等,甲的位移为x甲= m=8 m,乙的位移为x乙= m=2 m,可知两物体未相遇,B错误;因为前4 s内两物体的位移不同,所以前4 s内两物体的平均速度不同,C错误;在t=4 s前甲的速度比乙的速度大,在达到相同速度前它们之间的距离在变大,甲、乙的速度相等时二者距离最远,由v-t图线与横轴围成的面积表示位移大小可得,相遇前甲、乙最远距离为x甲-x乙=6 m,D正确。
角度　函数分析法
例3 (2025·河北承德模拟)一汽车在直线公路上以54 km/h的速度匀速行驶,突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶。经过0.4 s的反应时间后,司机开始刹车,则:
(1)为了避免相撞,汽车的加速度大小至少为多少
(2)若汽车刹车时的加速度为4 m/s2,在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速行驶,则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞
答案　(1)5 m/s2　(2)1 m/s2
解析　(1)初速度v汽=54 km/h=15 m/s,初始距离d=14 m
设汽车的加速度大小为a,减速时间为t,则自行车的位移为x自=v自(t+t0)
汽车的位移为x汽=v汽(t+t0)-at2
假设汽车能追上自行车,有x汽=x自+d
代入数据整理得at2-10t+10=0
要保证不相撞,则此方程至多只有一个解,即
Δ=102-20a≤0
解得a≥5 m/s2
所以,为了避免相撞,汽车的加速度大小至少为5 m/s2。
(2)设自行车的加速度为a',加速时间为t',同理可得
v汽(t'+t0)-a汽t'2=v自(t'+t0)+a't2+d
代入数据整理得t'2-10t'+10=0
要保证不相撞,则此方程至多只有一个解,即
Δ=102-20a'-80≤0
解得a'≥1 m/s2
所以,自行车的加速度至少为1 m/s2才能保证两车不相撞。
函数分析法讨论追及相遇问题的思路
设运动时间为t,根据条件列方程,得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系,Δx=0时,表示两者相遇。方程中Δ=b2-4ac,若Δ>0,即有两个解,说明可以相遇两次;若Δ=0,即有一个解,说明刚好追上或相遇;若Δ<0,无解,说明追不上或不能相遇。当t=-时,函数有极值,代表两者距离有最大值或最小值。
A级　基础对点练
1.(2025·云南昆明模拟)在一条平直的公路上,一辆自行车以8 m/s的速度匀速经过一辆停在路边的汽车,此时汽车正好启动,并以4 m/s2的加速度匀加速行驶,则由此刻开始计时,汽车将经过多长时间追上自行车(　　)
A.2 s B.4 s
C.6 s D.8 s
答案　B
解析　设经过时间t汽车追上自行车,两者同时同地出发,汽车追上自行车时,两者的位移相等,有v0t=at2,解得t=4 s,故B正确。
2.(2026·重庆八中模拟)如图所示,在一条足够长的水平直道上,汽车甲做匀速直线运动,汽车乙从t=0时刻由静止开始做匀加速直线运动。在t=0到t=t0时间段内,下列说法正确的是(　　)
A.若t=0时刻,甲在前、乙在后,则乙一定能追上甲
B.若t=0时刻,甲在前、乙在后,则乙可能追上甲
C.若t=0时刻,甲在后、乙在前,则甲一定能追上乙
D.若t=0时刻,甲在后、乙在前,则甲可能追上乙
答案　D
解析　若t=0时刻,甲在前、乙在后,则乙与甲的距离将越来越大,乙一定不能追上甲,故A、B错误;若t=0时刻,甲在后、乙在前,当甲、乙的初始距离较小(小于或等于0~t0内的相对位移)时,甲能追上乙,反之则不能追上乙,故D正确,C错误。
3.(2025·贵州六盘水模拟)一辆轿车在平直公路上以30 m/s的速度行驶,突然发现前方90 m处旁边车道上的重型货车以10 m/s的速度匀速行驶,由于前方路况复杂,为规避风险轿车刹车做匀减速运动,轿车减速的加速度大小为2 m/s2,轿车与货车在共速前运动的x-v2(x为位移,v为速度)图像如图中①、②所示,则轿车与货车共速前(　　)
A.轿车会超过货车
B.轿车刚好能追上货车
C.轿车不能追上货车
D.两者间的距离先增大后减小
答案　A
解析　由图可知共速时轿车位移为x1== m=200 m,共速时间t==10 s,货车位移为x2=vt=100 m,共速时的位移差为Δx=x1-x2=100 m,超过初始距离90 m,故轿车会超过货车,两者间的距离先减小后增大,故A正确。
4.(2025·湖南长沙模拟)一汽车在直线公路段上以72 km/h的速度匀速行驶,突然发现在其正前方24 m处有一辆自行车以4 m/s的速度同向匀速行驶。经过0.5 s的反应时间后,司机开始刹车,则为了避免相撞,汽车的加速度大小至少为(　　)
A.8 m/s2 B.7 m/s2
C.6 m/s2 D.5 m/s2
答案　A
解析　设汽车的加速度大小为a,刹车后经时间t与自行车速度相等时刚好追上自行车,有v汽-at=v自,自行车的位移为x自=v自(t+t0),汽车的位移为x汽=v汽t0+t,满足x汽=x自+d,代入数据解得t=2 s,a=8 m/s2,所以为了避免相撞,汽车的加速度大小至少为8 m/s2,故A正确。
5.(2026·山东潍坊模拟)汽车自动防撞系统,是防止汽车发生碰撞的一种智能装置,计算机对两车间距以及两车的瞬时相对速度进行处理后,判断两车的安全距离,如果两车间距小于安全距离,系统就会发出指令使汽车开始制动。在某次测试中设置的两车安全距离x与两车瞬时相对速度Δv的关系图像如图所示,甲车在前、乙车在后在平直路面上以90 km/h的速度向前行驶,两车间距为96 m,某时刻甲车以大小为4 m/s2的加速度开始做匀减速运动,则乙车自动防撞系统开启时甲车的速度大小为(　　)
A.1.0 m/s B.1.2 m/s
C.2.0 m/s D.2.2 m/s
答案　A
解析　由图可知x=|Δv|,又Δv=at=4t,两车间距x=96-=96-2t2,联立得t2+2t-48=0,解得t=6 s,则此时甲车的速度为v1=v-at=25 m/s-24 m/s=1 m/s,故A正确。
6.(2026·河南郑州高三阶段考)某平直公路上有一酒驾检测点,嫌疑车辆匀加速闯卡时,路旁的测速仪显示车辆的速度大小为v0=10 m/s,同时检测点旁的警车立即由静止加速追赶,不计警车的反应时间,已知警车的加速度大小恒为a1=4 m/s2,若从嫌疑车辆闯卡时开始计时,测得在警车与嫌疑车辆共速之前的一段时间内,嫌疑车辆与警车的速度大小之差Δv与时间t的关系图像如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.嫌疑车辆的加速度大小为1 m/s2
B.两车相距最远的距离为50 m
C.t=12 s时,警车恰好追上嫌疑车辆
D.警车追上嫌疑车辆时,警车通过的位移大小为200 m
答案　D
解析　嫌疑车辆与警车的速度大小之差Δv=v0+a2t-a1t=10-(a1-a2)t,结合图像可知a1-a2= m/s2=2 m/s2,解得a2=2 m/s2,故A错误;警车追上嫌疑车辆之前,当两者的速度相等时,其间距最大,由图像可知t1=5 s时,两者速度相等,有Δxm=v0t1+a2-a1=25 m,故B错误;警车追上嫌疑车辆时有v0t2+a2=a1,解得t2=10 s,警车通过的位移x=a1=200 m,故C错误,D正确。
7.(多选)甲、乙两质点沿同一直线运动,其中甲做匀变速直线运动,乙以大小为5 m/s速度做匀速直线运动,在t=3 s时两质点相遇,他们的位置随时间变化及相遇时切线数据如图所示,在0~3 s时间内,下列判断正确的是(　　)
A.相遇时甲质点的速度大小为3 m/s
B.甲质点的初速度大小为7 m/s
C.甲质点的加速度大小为2 m/s2
D.在t=1.5 s时,甲、乙两质点相距最远
答案　BC
解析　根据x-t图像的斜率表示速度,可知甲质点的速度大小为v3= m/s=1 m/s,故A错误;设甲质点的初速度为v0,加速度大小为a,有v3=v0-at,x甲=v0t-at2,其中t=3 s,x甲=12 m,联立解得v0=7 m/s,a=2 m/s2,故B、C正确;甲、乙速度相等时,两质点相距最远,有v0-at1=v乙,解得t1=1 s,故D错误。
B级　综合提升练
8.(2025·山东临沂模拟)如图所示,某景区中A、B两景点间可通过缆车往返,当甲车以6 m/s的速度开始减速时,对向的乙车从B景点由静止启动,两车加速度大小均为0.5 m/s2,甲车到B景点速度减为零。则甲、乙相遇时,甲车到B景点的距离为(　　)
A.9 m B.18 m
C.27 m D.36 m
答案　A
解析　设A景点到B景点的距离为x,设甲车以v0=6 m/s的速度减速到0时,有=2ax,解得x=36 m。设甲、乙两车经过时间t相遇,甲车的位移x甲=v0t-at2=6t-×0.5t2,乙车的位移x乙=at2=×0.5t2,因为x甲+x乙=x,解得t=6 s,则相遇时,甲车到B景点的距离x乙=at2=×0.5×62 m=9 m,A正确。
9.(2026·广东广州越秀区统考)ETC是高速公路不停车电子收费系统的简称,甲车通过ETC通道,乙车通过人工通道,两车同时到达收费站中心线并开始计时,如图(a)所示。此时甲车速度为5 m/s,ETC自动抬杆放行,乙车停在人工通道中心线处缴费,缴费后乙车开始加速。过中心线后的最初一段时间内两辆车的v-t图像如图(b)所示,下列说法正确的是(　　)
A.乙车在t=25 s时追上甲车
B.乙车启动时,甲车在其前方50 m处
C.乙车超过甲车后,两车还会再次相遇
D.运动过程中,乙车落后甲车的最大距离为100 m
答案　D
解析　由v-t图线与横轴围成图形的面积表示位移可知,乙车启动时,甲车在其前方x=×10 m=75 m,故B错误;由题图(b)可知,t=25 s时,乙车启动了15 s,其位移x乙=×10 m+5×20 m=200 m,此时甲车距离中心线的距离为x甲=75 m+10×15 m=225 m>200 m,此时乙车没有追上甲车,故A错误;由题图(b)可知,乙车超过甲车后,乙车速度一直大于甲车,两车不会再次相遇,故C错误;当二者速度相等时,两车相距最远,此时甲车位移为x甲'=75 m+10×5 m=125 m,乙车位移为x乙'=×5 m=25 m,则两车最大距离为Δx=x甲'-x乙'=100 m,故D正确。
10.(2026·广东深圳中学综测)A、B两辆汽车同时从坐标原点沿同一方向做直线运动,A车做刹车运动,B车做初速度为零的加速度运动,它们速度的平方v2随位置x变化的图像如图所示,分别对应直线A和直线B。以两车运动方向为正方向,下列说法正确的是(　　)
A.汽车A的加速度为2 m/s2
B.汽车B的加速度为2 m/s2
C.汽车A在0~4 s内的位移大小为9 m
D.汽车A、B在x=6 m处相遇
答案　C
解析　对汽车A,根据速度与位移的关系有v2-=2a1x,则有v2=2a1x+,结合图像有=36 m2·s-2,2a1=- m/s2,解得v0=6 m/s,a1=-2 m/s2,即汽车A的加速度为-2 m/s2,故A错误;对汽车B,根据速度与位移的关系有v2=2a2x,结合图像有2a2= m/s2,解得a2=1 m/s2,故B错误;汽车A处于刹车状态,利用逆向思维,A停止运动的时间t0==3 s,表明4 s时A已经停止运动,则A在0~4 s内的位移x0=t0=9 m,故C正确;A、B两辆汽车同时从坐标原点沿同一方向做直线运动,相遇时有a2t2=v0t+a1t2,解得t=4 s>t0=3 s,表明相遇前A已经停止运动,此时的位移x==9 m,故D错误。
C级　培优加强练
11.(2026·陕西西安期末)如图所示,A车临时停在一水平路面上,B车在后面以速度vB匀速向A车靠近,A车司机发现后经1 s的反应时间启动了A车,A车启动后做匀加速直线运动,加速度大小为6 m/s2。以A车司机发现B车为计时起点,已知B车在第1 s内与A车的距离缩短了x1=24 m,两车恰好没有相撞。
(1)求B车运动的速度大小vB;
(2)求A车司机发现B车时两车的距离x0;
(3)若A车司机一直没有发现B车,B车的制动加速度最大为5 m/s2,为了避免两车相撞,求在A车与B车相距x0后,B车司机最多还可向前行驶多长的距离然后再制动(忽略B车司机的反应时间)
答案　(1)24 m/s　(2)72 m　(3)14.4 m
解析　(1)A车司机的反应时间为1 s,B车在第1 s内与A车的距离缩短了x1=24 m,
则有x1=vBt反
解得B车的速度为vB=24 m/s。
(2)两车恰好没有相撞,即两车的速度达到相等时,两车的距离恰好为0。
则根据vB=at1
解得t1=4 s
该段时间内A车的位移大小xA=a=48 m
B车的位移大小xB=vB(t1+t反)=120 m
则A车司机发现B车时两车的距离
x0=xB-xA=72 m。
(3)B车制动的距离为xB'==57.6 m
B车司机最多还可向前行驶的距离
Δx=x0-xB'=14.4 m。(共45张PPT)
专题强化二　追及相遇问题
第一章　运动的描述　匀变速直线运动的研究
1.会分析追及相遇问题,掌握追及相遇问题的分析方法和技巧。 2.会在图像中分析追及相遇问题。 3.熟练运用运动学公式结合运动学图像解决追及相遇问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升素养能力
追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置。追及相遇问题的基本物理模型:以甲追乙为例。
1.二者距离变化与速度大小的关系
(1)无论v甲增大、减小或不变,只要v甲v乙,追上之前,甲、乙的距离就不断减小。
(2)若v甲=v乙,甲、乙的距离保持不变。
2.解答追及相遇问题的三种方法
情境 分析法 抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键,认真审题,挖掘题目中的隐含条件,建立一幅物体运动关系的情境图
图像 分析法 将两个物体运动的速度—时间关系或位移—时间关系画在同一坐标系中,然后利用图像分析求解相关问题
函数 分析法 设相遇时间为t,根据条件列方程,得到关于位移x与时间t的函数关系,由此判断两物体追及或相遇情况
角度　　情境分析法
例1 (2026·山东烟台高三期中)无人驾驶汽车依靠先进的传感器、算法和人工智能技术,能够实现自主导航、避障、决策等功能,极大地提高了交通的效率和安全性。如图所示,在平直公路上有两辆无人驾驶汽车A、B(均可看作质点),在不同车道沿同一方向做匀速直线运动,A车在前,B车在后,A车速度大小为v1=30 m/s,B车速度大小为v2=20 m/s。当两车沿车道方向距离x0=100 m时,A车因突发情况紧急刹车做匀减速直线运动,加速度大小为a=2 m/s2,从刹车时开始计时,求:
(1)两车在运动方向上的最远距离;
答案　125 m
解析　当两车速度相等时距离最远,则
v1-at=v2
解得t=5 s
两车在运动方向上的最远距离
Δx=x0+t-v2t=125 m。
(2)从A车开始减速到两车相遇所用的时间。
答案　16.25 s
解析　A车停止运动需要时间t0==15 s
前进的距离为xA=t0=225 m
此时B的位移xB=v2t0=300 m
此时两车相距Δs=x0+xA-xB=100 m+225 m-300 m=25 m
相遇时还需要用时间t1== s=1.25 s
从A车开始减速到两车相遇所用的时间
T=t0+t1=16.25 s。
拓展　A、B两车相遇时,A车恢复正常,立刻以a1=4 m/s2的加速度加速行驶,但速度只能加速到原来的30 m/s,求A、B两车再经多长时间第二次相遇
答案　11.25 s
解析　设A车经过时间t2加速到30 m/s,则
t2==7.5 s
A车前进的距离xA1=a1=112.5 m
B车前进的距离xB1=v2t2=150 m
之后A车以30 m/s的速度匀速行驶,设再经t3追上B车,有
v1t3=(xB1-xA1)+v2t3
解得t3=3.75 s
则t'=t2+t3=11.25 s,即再经过11.25 s两车第二次相遇。
总结提升
1.情境分析法的基本思路
2.特别提醒
若被追赶的物体做匀减速直线运动,一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。
1.(2026·辽宁葫芦岛高三期末)机器狗已经发展到了应用阶段,人们开始享受科技带来的效率和成果。某科技小组在测试中,将甲、乙两机器狗放在平直的路面上,测试距离为L=20 m。甲、乙同时同地开始测试,甲以v1=2 m/s的速度匀速行进,乙由静止开始以a=0.5 m/s2的加速度匀加速直线运动,乙能达到的最大速度是v2=2.5 m/s,之后保持最大速度匀速运动。在测试距离内,求:
跟踪训练
(1)甲、乙相距的最远距离多大;
(2)判断到达终点前乙能否超过甲。若乙能超过甲,乙到达终点时,与甲的距离多大 若乙不能超过甲,甲到达终点时,乙还需多长时间到达终点。
答案　(1)4 m　(2)不能　0.5 s
解析　(1)当乙达到v1=2 m/s时甲、乙相距最远,设用时t1,
则v1=at1,解得t1=4 s
最远距离Δxm=v1t1-a
解得Δxm=4 m。
(2)当乙的速度达到v2=2.5 m/s时,设用时t2,则
v2=at2,解得t2=5 s
此时甲的位移x1=v1t2=10 m
此时乙的位移x2=a=6.25 m
甲距离终点x3=L-x1,乙距离终点x4=L-x2
甲、乙分别再用时t3、t4到达终点
则t3==5 s,t4==5.5 s
由此可以看出,乙不能超过甲,甲到达终点时乙还需时间Δt=t4-t3=0.5 s。
角度　　图像分析法
例2 (2026·山东青岛高三期末)在一平直路面上,甲、乙两车做匀变速直线运动,其速度与时间的关系图像如图。t=0时刻,乙车在甲车前方15 m处。则下列说法正确的是(　　)
A.t=2 s时刻,甲车刚好追上乙车
B.t=4 s时刻,甲车刚好追上乙车
C.乙车的加速度大小大于甲车的加速度大小
D.0~4 s过程中甲、乙两车之间的距离先增大后减小
A
解析　由v-t图像与横轴所围面积表示位移,可知在t=2 s时
刻,甲车比乙车多走的距离为Δx=×(20-5)×2 m=15 m,因
为Δx=x0=15 m,则此时甲车刚好追上乙车,A正确,B错误;由
v-t图像的斜率表示加速度,可知a甲= m/s2=5 m/s2,a乙=
m/s2=2.5 m/s2,所以乙车的加速度大小小于甲车的加
速度大小,C错误;0~2 s内两车距离减小,2 s后甲车速度小于乙车速度,两车距离又增大,故0~4 s过程中甲、乙两车之间的距离先减小后增大,D错误。
总结提升　图像法分析追及相遇问题的方法和思路
方法 基本思路
数理 转换 定量画图时,需根据物体在不同阶段的运动情况,通过定量计算分阶段、分区间作出x-t图像或v-t图像等;或根据已知的运动图像分析物体的运动情况
用图 利用图像中斜率、面积、截距、交点等的含义进行定性分析或定量计算,进而解决相关问题
2.(2026·江苏泰州中学月考)甲、乙两物体(均可视为质点)从同一出发点沿水平面朝同一方向运动,两物体运动的v-t图像如图所示,下列说法正确的是(　　)
跟踪训练
A.甲、乙两物体同时出发
B.在t=4 s时甲、乙两物体相遇
C.前4 s内两物体的平均速度相同
D.相遇前甲、乙最远距离为6 m
D
解析　由题图可知,乙物体比甲物体延迟3 s出发,A错误;t=4 s时,甲、乙两物体的速度相等,甲的位移为x甲= m=8 m,乙的位移为x乙= m=2 m,可知两物体未相遇,B错误;因为前4 s内两物体的位移不同,所以前4 s内两物体的平均速度不同,C错误;在t=4 s前甲的速度比乙的速度大,在达到相同速度前它们之间的距离在变大,甲、乙的速度相等时二者距离最远,由v-t图线与横轴围成的面积表示位移大小可得,相遇前甲、乙最远距离为x甲-x乙=6 m,D正确。
角度　　函数分析法
例3 (2025·河北承德模拟)一汽车在直线公路上以54 km/h的速度匀速行驶,突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶。经过0.4 s的反应时间后,司机开始刹车,则:
(1)为了避免相撞,汽车的加速度大小至少为多少
解析　初速度v汽=54 km/h=15 m/s,初始距离d=14 m
设汽车的加速度大小为a,减速时间为t,则自行车的位移为x自=v自(t+t0)
汽车的位移为x汽=v汽(t+t0)-at2
假设汽车能追上自行车,有x汽=x自+d
代入数据整理得at2-10t+10=0
要保证不相撞,则此方程至多只有一个解,即
Δ=102-20a≤0
解得a≥5 m/s2
所以,为了避免相撞,汽车的加速度大小至少为5 m/s2。
答案　5 m/s2
(2)若汽车刹车时的加速度为4 m/s2,在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速行驶,则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞
答案　1 m/s2
解析　设自行车的加速度为a',加速时间为t',同理可得
v汽(t'+t0)-a汽t'2=v自(t'+t0)+a't2+d
代入数据整理得t'2-10t'+10=0
要保证不相撞,则此方程至多只有一个解,即
Δ=102-20a'-80≤0
解得a'≥1 m/s2
所以,自行车的加速度至少为1 m/s2才能保证两车不相撞。
函数分析法讨论追及相遇问题的思路
设运动时间为t,根据条件列方程,得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系,Δx=0时,表示两者相遇。方程中Δ=b2-4ac,若Δ>0,即有两个解,说明可以相遇两次;若Δ=0,即有一个解,说明刚好追上或相遇;若Δ<0,无解,说明追不上或不能相遇。当t=-时,函数有极值,代表两者距离有最大值或最小值。
提升素养能力
2
A级　基础对点练
B
1.(2025·云南昆明模拟)在一条平直的公路上,一辆自行车以8 m/s的速度匀速经过一辆停在路边的汽车,此时汽车正好启动,并以4 m/s2的加速度匀加速行驶,则由此刻开始计时,汽车将经过多长时间追上自行车(　　)
A.2 s B.4 s
C.6 s D.8 s
解析　设经过时间t汽车追上自行车,两者同时同地出发,汽车追上自行车时,两者的位移相等,有v0t=at2,解得t=4 s,故B正确。
D
2.(2026·重庆八中模拟)如图所示,在一条足够长的水平直道上,汽车甲做匀速直线运动,汽车乙从t=0时刻由静止开始做匀加速直线运动。在t=0到t=t0时间段内,下列说法正确的是(　　)
A.若t=0时刻,甲在前、乙在后,则乙一定能追上甲
B.若t=0时刻,甲在前、乙在后,则乙可能追上甲
C.若t=0时刻,甲在后、乙在前,则甲一定能追上乙
D.若t=0时刻,甲在后、乙在前,则甲可能追上乙
解析　若t=0时刻,甲在前、乙在后,则乙与甲的距离将越来越大,乙一定不能追上甲,故A、B错误;若t=0时刻,甲在后、乙在前,当甲、乙的初始距离较小(小于或等于0~t0内的相对位移)时,甲能追上乙,反之则不能追上乙,故D正确,C错误。
A
3.(2025·贵州六盘水模拟)一辆轿车在平直公路上以30 m/s的速度行驶,突然发现前方90 m处旁边车道上的重型货车以10 m/s的速度匀速行驶,由于前方路况复杂,为规避风险轿车刹车做匀减速运动,轿车减速的加速度大小为2 m/s2,轿车与货车在共速前运动的x-v2(x为位移,v为速度)图像如图中①、②所示,则轿车与货车共速前(　　)
A.轿车会超过货车
B.轿车刚好能追上货车
C.轿车不能追上货车
D.两者间的距离先增大后减小
解析　由图可知共速时轿车位移为x1== m
=200 m,共速时间t==10 s,货车位移为x2=vt=100 m,
共速时的位移差为Δx=x1-x2=100 m,超过初始距离90 m,
故轿车会超过货车,两者间的距离先减小后增大,故A正确。
A
4.(2025·湖南长沙模拟)一汽车在直线公路段上以72 km/h的速度匀速行驶,突然发现在其正前方24 m处有一辆自行车以4 m/s的速度同向匀速行驶。经过0.5 s的反应时间后,司机开始刹车,则为了避免相撞,汽车的加速度大小至少为(　　)
A.8 m/s2 B.7 m/s2
C.6 m/s2 D.5 m/s2
解析　设汽车的加速度大小为a,刹车后经时间t与自行车速度相等时刚好追上自行车,有v汽-at=v自,自行车的位移为x自=v自(t+t0),汽车的位移为x汽=v汽t0+t,满足x汽=x自+d,代入数据解得t=2 s,a=8 m/s2,所以为了避免相撞,汽车的加速度大小至少为8 m/s2,故A正确。
A
5.(2026·山东潍坊模拟)汽车自动防撞系统,是防止汽车发生碰撞的一种智能装置,计算机对两车间距以及两车的瞬时相对速度进行处理后,判断两车的安全距离,如果两车间距小于安全距离,系统就会发出指令使汽车开始制动。在某次测试中设置的两车安全距离x与两车瞬时相对速度Δv的关系图像如图所示,甲车在前、乙车在后在平直路面上以90 km/h的速度向前行驶,两车间距为96 m,某时刻甲车以大小为4 m/s2的加速度开始做匀减速运动,则乙车自动
防撞系统开启时甲车的速度大小为(　　)
A.1.0 m/s B.1.2 m/s
C.2.0 m/s D.2.2 m/s
解析　由图可知x=|Δv|,又Δv=at=4t,两车间距x=96-=96-2t2,联立得t2+2t-48=0,解得t=6 s,则此时甲车的速度为v1=v-at=25 m/s-24 m/s=1 m/s,故A正确。
D
6.(2026·河南郑州高三阶段考)某平直公路上有一酒驾检测点,嫌疑车辆匀加速闯卡时,路旁的测速仪显示车辆的速度大小为v0=10 m/s,同时检测点旁的警车立即由静止加速追赶,不计警车的反应时间,已知警车的加速度大小恒为a1=4 m/s2,若从嫌疑车辆闯卡时开始计时,测得在警车与嫌疑车辆共速之前的一段时间内,嫌疑车辆与警车的速度大小之差Δv与时间t的关系图像如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.嫌疑车辆的加速度大小为1 m/s2
B.两车相距最远的距离为50 m
C.t=12 s时,警车恰好追上嫌疑车辆
D.警车追上嫌疑车辆时,警车通过的位移大小为200 m
解析　嫌疑车辆与警车的速度大小之差Δv=v0+a2t-a1t=10-(a1-a2)t,结合图像可知a1-a2= m/s2=2 m/s2,解得a2=2 m/s2,故A错误;警车追上嫌疑车辆之前,当两者的速度相等时,其间距最大,由图像可知t1=5 s时,两者速度相等,有Δxm=v0t1+a2-a1
=25 m,故B错误;警车追上嫌疑车辆时有v0t2+a2=a1,解得t2=10 s,警车通过的位移x=a1=200 m,故C错误,D正确。
BC
7.(多选)甲、乙两质点沿同一直线运动,其中甲做匀变速直线运动,乙以大小为5 m/s速度做匀速直线运动,在t=3 s时两质点相遇,他们的位置随时间变化及相遇时切线数据如图所示,在0~3 s时间内,下列判断正确的是(　　)
A.相遇时甲质点的速度大小为3 m/s
B.甲质点的初速度大小为7 m/s
C.甲质点的加速度大小为2 m/s2
D.在t=1.5 s时,甲、乙两质点相距最远
解析　根据x-t图像的斜率表示速度,可知甲质点的速度大小为v3= m/s=1 m/s,故A错误;设甲质点的初速度为v0,加速度大小为a,有v3=v0-at,x甲=v0t-at2,其中t=3 s,x甲=12 m,联立解得v0=7 m/s,a=2 m/s2,故B、C正确;甲、乙速度相等时,两质点相距最远,有v0-at1=v乙,解得t1=1 s,故D错误。
A
8.(2025·山东临沂模拟)如图所示,某景区中A、B两景点间可通过缆车往返,当甲车以6 m/s的速度开始减速时,对向的乙车从B景点由静止启动,两车加速度大小均为0.5 m/s2,甲车到B景点速度减为零。则甲、乙相遇时,甲车到B景点的距离为(　　)
A.9 m B.18 m
C.27 m D.36 m
B级　综合提升练
解析　设A景点到B景点的距离为x,设甲车以v0=6 m/s的速度减速到0时,有=
2ax,解得x=36 m。设甲、乙两车经过时间t相遇,甲车的位移x甲=v0t-at2=6t-×0.5t2,乙车的位移x乙=at2=×0.5t2,因为x甲+x乙=x,解得t=6 s,则相遇时,甲车到B景点的距离x乙=at2=×0.5×62 m=9 m,A正确。
D
9.(2026·广东广州越秀区统考)ETC是高速公路不停车电子收费系统的简称,甲车通过ETC通道,乙车通过人工通道,两车同时到达收费站中心线并开始计时,如图(a)所示。此时甲车速度为5 m/s,ETC自动抬杆放行,乙车停在人工通道中心线处缴费,缴费后乙车开始加速。过中心线后的最初一段时间内两辆车的v-t图像如图(b)所示,下列说法正确的是(　　)
A.乙车在t=25 s时追上甲车
B.乙车启动时,甲车在其前方50 m处
C.乙车超过甲车后,两车还会再次相遇
D.运动过程中,乙车落后甲车的最大距离为100 m
解析　由v-t图线与横轴围成图形的面积表示位移可知,乙车启动时,甲车在其前方x=×10 m=75 m,故B错误;由题图(b)可知,t=25 s时,乙车启动了15 s,其位移x乙=×10 m+5×20 m=200 m,此时甲车距离中心线的距离为x甲=75 m+10×15 m=
225 m>200 m,此时乙车没有追上甲车,故A错误;由题图(b)可知,乙车超过甲车后,乙车速度一直大于甲车,两车不会再次相遇,故C错误;当二者速度相等时,两车相距最远,此时甲车位移为x甲'=75 m+10×5 m
=125 m,乙车位移为x乙'=×5 m=25 m,则
两车最大距离为Δx=x甲'-x乙'=100 m,故D正
确。
C
10.(2026·广东深圳中学综测)A、B两辆汽车同时从坐标原点沿同一方向做直线运动,A车做刹车运动,B车做初速度为零的加速度运动,它们速度的平方v2随位置x变化的图像如图所示,分别对应直线A和直线B。以两车运动方向为正方向,下列说法正确的是(　　)
A.汽车A的加速度为2 m/s2
B.汽车B的加速度为2 m/s2
C.汽车A在0~4 s内的位移大小为9 m
D.汽车A、B在x=6 m处相遇
解析　对汽车A,根据速度与位移的关系有v2-=2a1x,则有v2=
2a1x+,结合图像有=36 m2·s-2,2a1=- m/s2,解得v0=6 m/s,
a1=-2 m/s2,即汽车A的加速度为-2 m/s2,故A错误;对汽车B,根据
速度与位移的关系有v2=2a2x,结合图像有2a2= m/s2,解得a2=
1 m/s2,故B错误;汽车A处于刹车状态,利用逆向思维,A停止运动
的时间t0==3 s,表明4 s时A已经停止运动,则A在0~4 s内的位
移x0=t0=9 m,故C正确;A、B两辆汽车同时从坐标原点沿同一方向做直线运动,相遇时有a2t2=v0t+a1t2,解得t=4 s>t0=3 s,表明相遇前A已经停止运动,此时的位移x==9 m,故D错误。
11.(2026·陕西西安期末)如图所示,A车临时停在一水平路面上,B车在后面以速度vB匀速向A车靠近,A车司机发现后经1 s的反应时间启动了A车,A车启动后做匀加速直线运动,加速度大小为6 m/s2。以A车司机发现B车为计时起点,已知B车在第1 s内与A车的距离缩短了x1=24 m,两车恰好没有相撞。
(1)求B车运动的速度大小vB;
(2)求A车司机发现B车时两车的距离x0;
(3)若A车司机一直没有发现B车,B车的制动加速度最大为5 m/s2,为了避免两车相撞,求在A车与B车相距x0后,B车司机最多还可向前行驶多长的距离然后再制动(忽略B车司机的反应时间)
C级　培优加强练
答案　(1)24 m/s　(2)72 m　(3)14.4 m
解析　(1)A车司机的反应时间为1 s,B车在第1 s内与A车的距离缩短了x1=24 m,
则有x1=vBt反
解得B车的速度为vB=24 m/s。
(2)两车恰好没有相撞,即两车的速度达到相等时,两车的距离恰好为0。
则根据vB=at1
解得t1=4 s
该段时间内A车的位移大小xA=a=48 m
B车的位移大小xB=vB(t1+t反)=120 m
则A车司机发现B车时两车的距离
x0=xB-xA=72 m。
(3)B车制动的距离为xB'==57.6 m
B车司机最多还可向前行驶的距离
Δx=x0-xB'=14.4 m。
本节内容结束
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