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立体空间共点力的平衡问题
类型　竖直分力与重力平衡
例1 (2025·广东惠州模拟)戥(děng)子是我国古代一种小型杆秤,图为使用戥子称量中药的模型图,秤盘和中药材的总质量为150 g,秤杆和秤钩的总质量为100 g,秤砣质量为50 g,其余质量忽略不计。当杆秤处于平衡状态时,对称地固定在秤盘上三根长度相等的轻绳与竖直方向的夹角均为30°,重力加速度g取10 m/s2,则(　　)
A.手对提绳的拉力大小为2 N
B.秤钩对三根轻绳的拉力大小为1 N
C.每根轻绳对秤盘的拉力大小均为 N
D.仅将三根轻绳加长一点,每根轻绳拉力大小不变
答案　C
解析　根据平衡条件手对提绳的拉力大小T=m总g=(0.15+0.1+0.05)×10 N=3 N,故A错误;根据平衡条件秤钩对三根轻绳的拉力大小应等于秤盘和中药材的总重力1.5 N,故B错误;对秤盘和中药材,根据平衡条件3T0cos 30°=m0g,解得T0= N,故C正确;仅将三根轻绳加长一点,则轻绳与竖直方向的夹角变小,根据3T0cos θ=m0g知,每根轻绳拉力大小变小,故D错误。
解决对称结构非共面力的平衡问题的技巧
(1)注意结构对称特点,找出某一关键角。
(2)只需分解对称力中的某一个力,然后在某一方向(比如竖直方向)列平衡方程。
跟踪训练
1.(2026·重庆九龙坡一模)如图所示,是外地游客来重庆旅游的热门打卡地之一的长江索道。索道轿厢通过四根等长的吊臂吊在钢丝上,吊臂的张力可视为沿吊臂方向,每根吊臂与竖直方向的夹角接近30°,轿厢和乘客的总重力为G,轿厢静止时,每根吊臂的张力近似为(　　)
A.G B.G
C.G D.G
答案　D
解析　轿厢静止时,根据平衡条件可得4Fcos 30°=G,求得每根吊臂的张力F=G,故D正确。
2.(2026·江苏无锡月考)如图所示,嫦娥五号探测器静止在月球平坦表面处。已知探测器质量为m,四条腿与竖直方向的夹角均为θ,月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的。每条腿对月球表面压力的大小为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由于探测器静止在月球平坦表面处,月球表面对每条腿的支持力都竖直向上,则4FN=m·g,解得FN=,根据牛顿第三定律可知每条腿对月球表面的压力大小为,D正确,A、B、C错误。
类型　空间共点力转换成平面共点力
例2 (2025·山东聊城模拟)我国古建筑屋顶较多采用蝴蝶瓦方式铺设。如图甲是两片底瓦和一片盖瓦的铺设示意图,三根椽子所在平面与水平面夹角为θ。如图乙为截面示意图,弧形底瓦放置在两根相互平行的椽子正中间,椽子对底瓦的支持力FN与三根椽子所在平面的垂线方向夹角为α,盖瓦的底边恰与底瓦的凹槽中线接触,受到底瓦垂直椽子所在平面向上的支持力。已知盖瓦和底瓦质量均为m,认为最大静摩擦力与滑动摩擦力相等,重力加速度为g,在无扰动的情况下,底瓦与盖瓦均保持静止。若仅研究这三片瓦,则下列说法正确的是(　　)
A.椽子对底瓦的支持力FN=
B.椽子对底瓦的支持力FN=
C.底瓦与椽子间的动摩擦因数μ≥
D.底瓦与椽子间的动摩擦因数μ≥
答案　B
解析　以两片底瓦和盖瓦整体为研究对象,可得这个整体的重力在垂直椽子所在平面方向上的分力为3mgcos θ,垂直椽子所在平面方向上处于平衡状态,有3mgcos θ=4FNcos α,可得椽子对底瓦的支持力FN=,故A错误,B正确;在无外界干扰的情况下,为使底瓦与盖瓦不下滑,应使4μFN≥3mgsin θ,解得μ≥tan θ·cos α,故C、D错误。
跟踪训练
3.(2025·四川遂宁模拟)如图所示,在野营时需要用绳来系住一根木桩。轻绳OA、OB、OC在同一平面内,两等长绳OA、OB的夹角是90°,绳OC与竖直木桩的夹角为60°,绳CD水平。如果绳CD的拉力大小等于50 N,为使木桩受到轻绳作用力的方向竖直向下,则绳OA的拉力大小应等于(　　)
A.50 N B.100 N
C.50 N D.50 N
答案　D
解析　对C点分析可知FCO==100 N,对O点分析可知FOA==50 N,故D正确。
4.如图所示,解放军战士在水平地面上拉着轮胎做匀速直线运动进行负荷训练,运动过程中保持双肩及两绳的端点A、B等高。两绳间的夹角为θ=60°,所构成的平面与水平面间的夹角恒为α=53°,轮胎重为G,地面对轮胎的摩擦阻力大小恒为Ff,则每根绳的拉力大小为(　　)
A.Ff B.Ff
C.Ff D.Ff
答案　C
解析　设每根绳的拉力为F,则这两根绳拉力的合力F合=2Fcos ,方向沿两绳夹角的角平分线,与水平面的夹角为α,轮胎受力分析如图所示,则F合cos α=Ff,解得F==Ff,故A、B、D错误,C正确。(共12张PPT)
增分微点2 立体空间共点力的平衡问题
第二章　相互作用——力
例1 (2025·广东惠州模拟)戥(děng)子是我国古代一种小型杆秤,图为使用戥子称量中药的模型图,秤盘和中药材的总质量为150 g,秤杆和秤钩的总质量为100 g,秤砣质量为50 g,其余质量忽略不计。当杆秤处于平衡状态时,对称地固定在秤盘上三根长度相等的轻绳与竖直方向的夹角均为30°,重力加速度g取10 m/s2,则(　　)
类型　　竖直分力与重力平衡
A.手对提绳的拉力大小为2 N
B.秤钩对三根轻绳的拉力大小为1 N
C.每根轻绳对秤盘的拉力大小均为 N
D.仅将三根轻绳加长一点,每根轻绳拉力大小不变
C
解析　根据平衡条件手对提绳的拉力大小T=m总g=(0.15+0.1+0.05)×10 N=3 N,故A错误;根据平衡条件秤钩对三根轻绳的拉力大小应等于秤盘和中药材的总重力1.5 N,故B错误;对秤盘和中药材,根据平衡条件3T0cos 30°=m0g,解得T0= N,故C正确;仅将三根轻绳加长一点,则轻绳与竖直方向的夹角变小,根据3T0cos θ=m0g知,每根轻绳拉力大小变小,故D错误。
解决对称结构非共面力的平衡问题的技巧
(1)注意结构对称特点,找出某一关键角。
(2)只需分解对称力中的某一个力,然后在某一方向(比如竖直方向)列平衡方程。
1.(2026·重庆九龙坡一模)如图所示,是外地游客来重庆旅游的热门打卡地之一的长江索道。索道轿厢通过四根等长的吊臂吊在钢丝上,吊臂的张力可视为沿吊臂方向,每根吊臂与竖直方向的夹角接近30°,轿厢和乘客的总重力为G,轿厢静止时,每根吊臂的张力近似为(　　)
跟踪训练
A.G B.G
C.G D.G
D
解析　轿厢静止时,根据平衡条件可得4Fcos 30°=G,求得每根吊臂的张力F=G,故D正确。
2.(2026·江苏无锡月考)如图所示,嫦娥五号探测器静止在月球平坦表面处。已知探测器质量为m,四条腿与竖直方向的夹角均为θ,月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的。每条腿对月球表面压力的大小为(　　)
A. B.
C. D.
D
解析　由于探测器静止在月球平坦表面处,月球表面对每条腿的支持力都竖直向上,则4FN=m·g,解得FN=,根据牛顿第三定律可知每条腿对月球表面的压力大小为,D正确,A、B、C错误。
B
例2 (2025·山东聊城模拟)我国古建筑屋顶较多采用蝴蝶瓦方式铺设。如图甲是两片底瓦和一片盖瓦的铺设示意图,三根椽子所在平面与水平面夹角为θ。如图乙为截面示意图,弧形底瓦放置在两根相互平行的椽子正中间,椽子对底瓦的支持力FN与三根椽子所在平面的垂线方向夹角为α,盖瓦的底边恰与底瓦的凹槽中线接触,受到底瓦垂直椽子所在平面向上的支持力。已知盖瓦和底瓦质量均为m,认为最大静摩擦力与滑动摩擦力相等,重力加速度为g,在无扰动的情况下,底瓦与盖瓦均保持静止。若仅研究这三片瓦,则下列说法正确的是(　　)
类型　　空间共点力转换成平面共点力
A.椽子对底瓦的支持力FN=
B.椽子对底瓦的支持力FN=
C.底瓦与椽子间的动摩擦因数μ≥
D.底瓦与椽子间的动摩擦因数μ≥
解析　以两片底瓦和盖瓦整体为研究对象,可得这个整体的重力在垂直椽子所在平面方向上的分力为3mgcos θ,垂直椽子所在平面方向上处于平衡状态,有3mgcos θ
=4FNcos α,可得椽子对底瓦的支持力FN=,故A错误,B正确;在无外界干扰的情况下,为使底瓦与盖瓦不下滑,应使4μFN≥3mgsin θ,解得μ≥tan θ·cos α,故C、D错误。
3.(2025·四川遂宁模拟)如图所示,在野营时需要用绳来系住一根木桩。轻绳OA、OB、OC在同一平面内,两等长绳OA、OB的夹角是90°,绳OC与竖直木桩的夹角为60°,绳CD水平。如果绳CD的拉力大小等于50 N,为使木桩受到轻绳作用力的方向竖直向下,则绳OA的拉力大小应等于(　　)
跟踪训练
A.50 N B.100 N
C.50 N D.50 N
D
解析　对C点分析可知FCO==100 N,对O点分析可知FOA==50 N,故D正确。
4.如图所示,解放军战士在水平地面上拉着轮胎做匀速直线运动进行负荷训练,运动过程中保持双肩及两绳的端点A、B等高。两绳间的夹角为θ=60°,所构成的平面与水平面间的夹角恒为α=53°,轮胎重为G,地面对轮胎的摩擦阻力大小恒为Ff,则每根绳的拉力大小为(　　)
A.Ff B.Ff
C.Ff D.Ff
C
解析　设每根绳的拉力为F,则这两根绳拉力的合力F合=2Fcos ,方向沿两绳夹角的角平分线,与水平面的夹角为α,轮胎受力分析如图所示,则F合cos α=Ff,解得F==Ff,故A、B、D错误,C正确。
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