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第五章
5.2　平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量与复数
复习目标　1. 了解平面向量的基本定理及其意义.2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
基底→平面向量的
基本定理→平面向
量的坐标表示
活 动 方 案
活动一　基础引入
1 [2025苏州期初]已知向量a＝(1，－1)，b＝(x－2，x2)，则“x＝－2”是“a∥b”的 (　　)
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【解析】由a∥b，得x2＝2－x，解得x＝－2或x＝1，所以“x＝－2”是“a∥b”的充分且不必要条件．
A
2 [苏教版必修二P28练习T2]若e1，e2是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是 (　　)
A. e1＋e2和e1－e2 B. 3e1－2e2和4e2－6e1
C. e1＋3e2和e2＋3e1 D. e2和e1＋e2
【解析】对于A，不存在一个非零实数λ使得e1＋e2＝λ(e1－e2)成立，故可以作为一组基底；对于B，存在一个实数－2使得4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，则此两向量共线，故不能作为基底；对于C，D，显然两个向量是不共线的，故可以作为一组基底．
B
C
4 [2025苏锡常镇二模]已知平面向量a＝(1，2)，b＝(x，3)，若a∥(a
＋2b)，则实数x的值为______．
活动二　典例悟法
题组一　平面向量基本定理及其应用
1
A
B
利用平面向量基本定理时如何选择基底？向量共线的结论是什么？
1
1. 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
2. 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择在同一平面内两个不共线的向量作为一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
题组二　向量坐标的基本运算
2
(－5，－3)
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2).
如何进行向量的坐标运算？
2
1. 向量的坐标运算实际上就是利用向量的加、减、数乘运算法则进行的．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标．
2. 体会方程思想．
题组三　向量共线的应用
3
[2025海门中学月考改编]已知向量a＝(－3，1)，b＝(1，－2)，m＝a＋kb，其中k∈R.若向量c＝(1，－1)，且向量m与向量kb＋c平行，求实数k的值．
(1) [2026保定部分示范高中联考]已知直线l的方向向量为m＝(1，2)，且l经过A(0，2)，B(－1，b)两点，则实数b的值为 (　　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. 4
A
B
向量共线的等价条件是什么？
3
1. 两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(b≠0)，则存在实数λ，使得a＝λb.
2. 向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
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复习目标　1. 了解平面向量的基本定理及其意义.2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
基底→平面向量的基本定理→平面向量的坐标表示
活动一 基础引入
1 [2025苏州期初]已知向量a＝(1，－1)，b＝(x－2，x2)，则“x＝－2”是“a∥b”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
2 [苏教版必修二P28练习T2]若e1，e2是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是(　　)
A. e1＋e2和e1－e2
B. 3e1－2e2和4e2－6e1
C. e1＋3e2和e2＋3e1
D. e2和e1＋e2
3 [苏教版必修二P49本章测试T8]在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2，4)，＝(1，3)，则等于(　　)
A. (－2，－4) B. (3，5)
C. (－3，－5) D. (2，4)
4 [2025苏锡常镇二模]已知平面向量a＝(1，2)，b＝(x，3)，若a∥(a＋2b)，则实数x的值为________．
5 [2025南京六校联合体期中调研改编]如图，已知点G为△ABC的重心，过点G的直线分别与边AB，AC交于点P，Q，则的最小值为________．
活动二 典例悟法
题组一　平面向量基本定理及其应用
1 [2025延边二中期中]如图，点G为△ABC的重心，PQ过点G，＝m，＝n，则＋的值为(　　)
A. 3 B. 2 C. 1 D.
[2026南京六十六中期初]解决平面向量问题的一个重要定理：＝λ＋μ，λ＋μ＝1的充要条件是A，B，C三点共线．如图，B，D分别是AM，BC的中点，则的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. D.
1. 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
2. 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择在同一平面内两个不共线的向量作为一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
题组二　向量坐标的基本运算
2 已知点A(2，1)，B(3，5)，C(3，2)，＝＋t(t∈R)，若点P在第二象限，则实数t的取值范围是________．
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2).
(1) 若＋＋＝0，求的坐标；
(2) 若＝m＋n (m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，求m－n的值．
1. 向量的坐标运算实际上就是利用向量的加、减、数乘运算法则进行的．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标．
2. 体会方程思想．
题组三　向量共线的应用
3 [2025海门中学月考改编]已知向量a＝(－3，1)，b＝(1，－2)，m＝a＋kb，其中k∈R.若向量c＝(1，－1)，且向量m与向量kb＋c平行，求实数k的值．
(1) [2026保定部分示范高中联考]已知直线l的方向向量为m＝(1，2)，且l经过A(0，2)，B(－1，b)两点，则实数b的值为(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
(2) [2025常州联盟学校学情调研]已知＝(1，cos α)，＝(2，0)，＝(2，2sin α)，若A，B，D三点共线，则tan α的值为(　　)
A. －2 B. 2 C. D. －
1. 两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(b≠0)，则存在实数λ，使得a＝λb.
2. 向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
5．2　平面向量的基本定理及坐标表示
1. A　解析：由a∥b，得x2＝2－x，解得x＝－2或x＝1，所以“x＝－2”是“a∥b”的充分且不必要条件．
2. B　解析：对于A，不存在一个非零实数λ使得e1＋e2＝λ(e1－e2)成立，故可以作为一组基底；对于B，存在一个实数－2使得4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，则此两向量共线，故不能作为基底；对于C，D，显然两个向量是不共线的，故可以作为一组基底．
3. C　解析：在平行四边形ABCD中，＝＝－＝(1，3)－(2，4)＝(－1，－1)，＝－＝(－1，－1)－(2，4)＝(－3，－5).
4. 　解析：由题意，得a＋2b＝(1＋2x，8).因为a∥(a＋2b)，所以8＝2(1＋2x)，解得x＝.
5. 　解析：如图，连接AG，延长AG交BC于点D.因为点G为△ABC的重心，所以D是BC的中点，则＝＝×(＋)＝＋.因为P，G，Q三点共线，所以可设＝λ＋(1－λ)，0<λ<1. 设＝m，＝n，则＝λm＋(1－λ)n，所以λm＝(1－λ)n＝，即m＝，n＝.又因为点G为△ABC的重心，所以S△BGC＝S△ABC，所以＝＝3×＝3×＝3mn.因为3mn＝3××＝≥＝，当且仅当λ＝时，等号成立，所以的最小值为.
例1　A　解析：由题意，得＝＝(＋)＝＋.因为＝m，＝n，且P，G，Q三点共线，所以存在唯一的实数λ，使得＝λ，即－＝λ(－)，所以n－m＝λ(＋－m)＝λ＋，所以整理，得3mn＝m＋n，所以＋＝3.
变式训练　B　解析：由B，D，C三点共线，D是BC的中点，得＝＋ ①. 设＝x.由M，D，N三点共线，B是AM的中点，得＝y＋(1－y)＝2y＋x(1－y) ②，由①②，得解得所以＝，则＝2，所以＝2.
例2　(－5，－3)　解析：设点P(x，y)，则由 ＝＋t (t∈R)，得(x－2，y－1)＝(1，4)＋t(1，1)＝(1＋t，4＋t)，所以解得由点P在第二象限，得解得－5＜t＜－3.
变式训练　(1) 设点P的坐标为(x，y).
因为＋＋＝0，
所以(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)＝0，
所以解得
所以点P的坐标为(2，2)，故＝(2，2).
(2) 设点P的坐标为(x0，y0).
因为点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，所以＝(1，2)，＝(2，1).
因为＝m＋n，
所以(x0，y0)＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，
所以两式相减，得m－n＝y0－x0.
又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，
所以y0－x0＝1，所以m－n＝1.
例3　由题意，得kb＋c＝k(1，－2)＋(1，－1)＝(k＋1，－2k－1).
又向量m与向量kb＋c平行，且m＝(k－3，－2k＋1)，
所以(k－3)(－2k－1)－(－2k＋1)(k＋1)＝0，
整理，得3k＋1＝0，解得k＝－.
变式训练　(1) A　解析：由题意，得m∥，＝(－1，b－2)，所以1×(b－2)－2×(－1)＝0，解得b＝0.
(2) B　解析：由题意，得＝＋＝(2＋2，0＋2sin α)＝(4，2sin α). 因为A，B，D三点共线，所以与共线，可得1×2sin α－4×cos α＝0，即2sin α＝4cos α，易知cos α≠0，所以＝tan α＝2.5.2　平面向量的基本定理及坐标表示
一、 单选题
1 已知非零向量e1，e2不共线，若＝e1＋e2，＝－3e1＋7e2，＝2e1－3e2，则A，B，C，D四点(　　)
A. 一定共线
B. 恰是空间四边形的四个顶点
C. 一定共面
D. 肯定不共面
2 [2025南京金陵中学期中]已知向量a＝(－2，2)，b＝(1，2)，若c＝(x，y)，且满足(c＋b)∥a，则x＋y的值为(　　)
A. －3 B. －2
C. 2 D. 4
3 [2026襄阳四中月考]向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用．平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势．已知对任意平面向量＝(x，y)，将绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量＝(x cos θ－y sin θ，x sin θ＋y cos θ)，叫作将点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点A(0，1)，点B(2，3)，将点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为(　　)
A. (2，－1) B. (1－，2＋)
C. (0，－1) D. (1＋，2－)
4 [2026无锡三校联考]在梯形ABCD中，＝2，E为CD的中点，AC，BE交于点F，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)
A. B.
C. D.
二、 多选题
5 已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是(　　)
A. (4，8) B. (4，－8)
C. (－4，－8) D. (－4，8)
6 [2025沧州二模]如图，直线l过△ABC的重心G(三条中线的交点)，与边AB，AC交于点P，Q，且＝λ，＝μ，直线l将△ABC分成两部分，分别为△APQ和四边形PQCB，其对应的面积依次记为S△APQ和S四边形PQCB，则下列结论中正确的是(　　)
A. λ＋μ＝
B. ＋＝3
C. 的最大值为
D. 的最大值为
7 [2025海门中学月考]已知等边三角形ABC的边长为2，＝λ，＝λ(0<λ<1)，AD交BE于点M，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若λ＝，则＝＋
B. 若＋＋＝0，则λ＝
C. 若λ＝，则·＝－
D. 若λ＝，则M为AD的中点
三、 填空题
8 [2025雅礼中学期初]已知向量a＝(sin θ，cos θ)，b＝(3，1)，若a∥b，则sin2θ＋sin2θ＝________．
9 若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标．已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为________．
10 [2026南宁月考]已知向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，则|a|2－|b|2＝________．
四、 解答题
11 [2025遵义月考]设A，B，C，D为平面内的四点，A(－2，0)，B(0，4)，C(2，－3).
(1) 若＝2，求点D的坐标；
(2) 设向量a＝，b＝，若(a＋2b)与(ka－b)平行，求实数k的值．
12 已知三点A(a，0)，B(0，b)，C(2，2)，其中a＞0，b＞0.
(1) 若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，求a，b的值；
(2) 若A，B，C三点共线，求a＋b的最小值．
5．2　平面向量的基本定理及坐标表示
1. C　解析：因为非零向量e1，e2不共线，所以＋2＝(－3e1＋7e2)＋2(2e1－3e2)＝e1＋e2＝，由平面向量基本定理可知A，B，C，D四点共面．
2. A　解析：由题意，得c＋b＝(x＋1，y＋2).又(c＋b)∥a，所以2(x＋1)＝－2(y＋2)，可得x＋y＝－3.
3. D　解析：由题意，得＝(2，2)，将点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P，则＝(2cos －2sin ，2sin ＋2cos )＝(1＋，1－).又A(0，1)，所以＝＋＝(0，1)＋(1＋，1－)＝(1＋，2－)，所以点P的坐标为(1＋，2－).
4. C　解析：如图，连接BD，交AC于点G.在梯形ABCD中，由＝2，得AB∥DC，且CD∶AB＝1∶2，所以＝＝，所以＝，且＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.因为E为CD的中点，所以AB∥EC，且EC∶AB＝1∶4，所以＝＝，所以＝，所以＝＝(＋)＝＋，所以λ＝，μ＝，即λ＋μ＝.
5. BD　解析：设b＝(x，y).由|b|＝4|a|，a∥b，得解得或故选BD.
6. BC　解析：因为G是△ABC的重心，所以＝＋.因为＝λ，＝μ，所以＝＋.因为P，G，Q三点共线，所以＋＝1，所以＋＝3，故A错误，B正确；因为S△ABC＝·AB·AC·sin ∠BAC，S△APQ＝·AP·AQ·sin ∠BAC，所以λμS△ABC＝S△APQ，S四边形PQCB＝(1－λμ)S△ABC，所以＝＝－1.因为λ>0，μ>0，所以＋≥2，即3≥2，可得≤，当且仅当λ＝μ时取等号，所以＝－1≤－1＝，故C正确，D错误．故选BC.
7. AB　解析：对于A，当λ＝时，＝＋＝＋(－)＝＋，故A正确；对于B，由＋＋＝0，得点M为△ABC的重心，所以D，E分别是BC和AC的中点，所以λ＝，故B正确；对于C，当λ＝时，＝＋＝＋，＝－＝－，所以·＝||2－·－||2＝－，故C错误；对于D，如图，当λ＝时，设＝k＝k(＋)＝k(2＋)＝2k＋.由B，M，E三点共线，得2k＋＝1，解得k＝≠，故D错误．故选AB.
8. 　解析：因为a∥b，所以sin θ＝3cos θ，所以sin2θ＋sin2θ＝＝＝＝.
9．(0，2)　解析：由题意，得a＝－2p＋2q＝(－2，2)＋(4，2)＝(2，4).设a在基底m，n下的坐标为(λ，μ)，则a＝λ(－1，1)＋μ(1，2)＝(－λ＋μ，λ＋2μ)＝(2，4)，所以解得即a在基底m，n下的坐标为(0，2).
10. －1　解析：由a＋b＝(2，3)，a－b＝(－2，1)，得2a＝(2，3)＋(－2，1)＝(0，4)，2b＝(2，3)－(－2，1)＝(4，2)，所以a＝(0，2)，b＝(2，1)，所以|a|2－|b|2＝22－()2＝－1.
11. (1) 因为A(－2，0)，B(0，4)，所以＝(2，4).
设D(x，y).
又C(2，－3)，所以＝(x－2，y＋3).
因为＝2，所以解得
所以点D的坐标为(3，－1).
(2) a＝＝(2，4)，b＝＝(2，－7)，
所以a＋2b＝(6，－10)，ka－b＝(2k－2，4k＋7).
因为(a＋2b)与(ka－b)平行，
所以(4k＋7)×6＝－10×(2k－2)，解得k＝－.
12. (1) 因为四边形OACB是平行四边形，
所以＝，即(a，0)＝(2，2－b)，
所以解得
(2) ＝(－a，b)，＝(2，2－b).
由A，B，C三点共线，得∥，
所以－a(2－b)－2b＝0，即2(a＋b)＝ab.
因为a＞0，b＞0，
所以2(a＋b)＝ab≤，
即(a＋b)2－8(a＋b)≥0，
解得a＋b≥8或a＋b≤0(舍去)，
当且仅当a＝b＝4时，等号成立，
所以a＋b的最小值为8.

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