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2025-2026学年新疆乌鲁木齐市第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若复数z满足iz=1+i，则z的虚部为（　　）
A. 1 B. i C. -1 D. -i
2.已知，则，设所成的角为60°，则=（　　）
A. 1 B. 2 C. D. 3
3.如图，矩形O′A′B′C′是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中O′A′=3，O′C′=1，那么平面四边形OABC的面积为（　　）
A. 3 B. C. 6 D.
4.如图，三棱锥S-ABC中，SA=SB=SC=2，△ABC为正三角形，∠BSC=40°，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（　　）
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
5.在△ABC，若acosB=bcosA，且a=bsinC，则△ABC的形状是（　　）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
6.若点G是△ABC所在平面上一点，且，H是直线BG上一点，（x,y∈R），则xy的最大值是（　　）
A. 2 B. 1 C. D.
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,若A=60°，b=4，，则△ABC的面积为（　　）
A. B. C. D.
8.如图，在正方形ABCD中，边长为，E是BC边上的一点，∠EAB=30°，以A为圆心，AE为半径画弧交CD于点F，P是弧上（包括边界点）任一点，则的取值范围是（　　）
A. [1-，]
B. [，1-]
C. [，]
D. [，1]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量，，则下列说法正确的有（　　）
A. 若，则m=0
B. 若，则
C. 若m=2，则在方向上的投影向量为（1，-2）
D. 若与夹角为钝角，则
10.设，z2=1+i,，则（　　）
A. z1z2=2 B.
C. D.
11.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a=2，，下列选项正确的是（　　）
A.
B. 若b=3，则△ABC有两解
C. 若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是
D. 若D为BC边上的中点，则AD的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知|z|=1，则的最大值是 ．
13.上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其高为 .
14.如图，已知两条公路AB，AC的交汇点A处有一所学校，现拟在两条公路之间的区域内建一个工厂P，在两公路旁M，N（异于点A）处设两个销售点，且满足∠BAC=∠PMN=75°，，，设∠AMN=θ，（注：）为使工厂产生的噪声对学校的影响最小，则工厂与学校的距离为 km.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数，复数z2在复平面内对应的向量为.
（1）若z1z2为纯虚数，求a的值；
（2）若在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围.
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且ab=c2-a2-b2.
（1）求角C；
（2）若△ABC的面积为，，求a、b的值.
17.(本小题15分)
已知在△ABC中，N为AB中点，，，.
（1）若∠BAC=120°，求；
（2）设和的夹角为θ，若，求：和的夹角的余弦值.
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求角A；
（2）若，，∠A的平分线交边BC于点T，求AT的长；
（3）若a=1，且△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的取值范围.
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且asinA=bsinB+csinC.
（1）求A；
（2）若bc=2，设点P为△ABC的费马点，求；
（3）设点P为△ABC的费马点，|PB|+|PC|=t|PA|，求实数t的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】3
13.【答案】
14.【答案】6
15.【答案】-4
16.【答案】解：（1）因为ab=c2-a2-b2，
由余弦定理有，
因为0＜C＜π，
可得；
（2）因为△ABC的面积为，，
可得，可得ab=8，
又由，
有ab=28-a2-b2，可得a2+b2=20，
则，
联立方程，解得，或，
故a=2，b=4或a=4，b=2．
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】解：（1）因为asinA=bsinB+csinC，所以由正弦定理得a2=b2+c2，
所以△ABC为直角三角形，
即；
（2）由（1）知，，
所以三角形ABC的三个角都小于120°，
则由费马点定义可知：∠APB=∠BPC=∠APC=120°，
设，
由SΔAPB+SΔBPC+SΔAPC=SΔABC，得，
整理得：，
则=；
（3）点P为△ABC的费马点，则，
设|PB|=m|PA|，|PC|=n|PA|，|PA|=x，m＞0，n＞0，x＞0，
则由|PB|+|PC|=t|PA|，得m+n=t；
由余弦定理得，
，
，
故由|AC|2+|AB|2=|BC|2，得（n2+n+1）x2+（m2+m+1）x2=（m2+n2+mn）x2，
即m+n+2=mn，
而m＞0，n＞0，所以，
当且仅当m=n，结合m+n+2=mn，解得时，等号成立，
又m+n=t，即有t2-4t-8≥0，解得或（舍去），
故实数t的最小值为．
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